Valutazione delle opzioni col modello di Black e Scholes

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1 Valutazone delle opzon col modello d Black e Scholes Rosa Mara Mnnn a.a Introduzone L applcazone del moto Brownano all economa é stata nnescata prncpalmente da due cause. Attorno agl ann 70, passato l perodo de grand fnanzament alla rcerca per la corsa al nucleare, e n seguto per l esplorazone spazale, l governo degl Stat Unt rduce fortemente l enttà de fond. Molt fsc che avevano trovato mpegh nelle unverstà statuntens, s trovano così alla rcerca d lavoro. Cò sprona molt d ess ad applcare le propre conoscenze a nuov camp della scenza. Contemporaneamente, l embargo del petrolo arabo del 1973 causa un aumento vertgnoso de prezz della benzna e de tass d nteresse. La paura d nflazone spnge prezz dell oro oltre gl 800 dollar l onca. Improvvsamente, mercat fnanzar nzano a dventare estremamente pù volatl. I bond, ttol tradzonalmente scur, nzano a dventare ncert. Non funzonano pù le vecche regole. Comprendere la dnamca de tass d nteresse e de prezz delle azon dventa allora vtale per le sttuzon fnanzare. Fscher Black e Myron Scholes hanno l dea d applcare l moto brownano alla fluttuazone de prezz de ttol azonar. Tale dea non é nuovssma, e trova un precedente negl stud d un altro scenzato, Bacheler, che svluppò un rudmentale modello matematco, basato sul moto brownano, propro per descrvere gl andament osservat ne mercat fnanzar, ottenendo però rsultat contraddttor e poco ascolto da parte della comuntà scentfca del tempo. Black e Scholes, e, ndpendentemente, Robert Merton nel 1973, creano un modello d dnamca de prezz delle azon molto soldo, e da rsultat puttosto consstent. Per questo motvo, l modello d Black- Merton-)Scholes ottenne dffusone mmedata negl ambent della fnanza e, n breve tempo, s moltplcano gl stud che lo verfcano e lo amplano. Questo modello ha avuto una forte nfluenza sul modo n cu gl operator valutano le opzon. Inza così a prendere pede una pratca nterdscplnare che lega economa e fsca, e che verrà battezzata econofsca alla fne degl ann 90 dal fsco H. Eugene Stanley. Nel 1997, l mportanza del modello è stata rconoscuta con l assegnazone del premo Nobel per l economa a Scholes e a Merton, pochè Fscher Black è morto nel Dpartmento d Matematca, Unverstà d Bar Aldo Moro 1

2 2 In questa dspensa vedremo come s rcava la formula d Black e Scholes per la valutazone d call e put europee scrtte su ttol azonar che non pagano dvdend. 2 Ipotes del modello d Black-Scholes Introdurre l modello d Black-Scholes senza far rcorso alla complesstà del calcolo stocastco é operazone velletara ed un qualunque tentatvo d semplfcarne la sostanza matematca non resce ad elmnare del tutto lat oscur del modello. In quanto segue, qund, s salterà drettamente alla formula orma classca ed al modo nel quale la s applca, senza svluppare le tematche pù complesse che toccano l ntegrazone stocastca e la celebre formula d Itô. È ntanto nteressante osservare che l mpanto teorco che sta alla base del modello d Black-Scholes é dello stesso tpo d quello analzzato nel descrvere la procedura d prezzaggo d opzon tramte alber bnomal. Anche affrontando l problema tramte process stcastc contnu é necessaro nfatt passare attraverso la costruzone d un portafoglo d replca e l utlzzo del prncpo della assenza d arbtraggo. Quello che dfferenza sostanzalmente l approcco contnuo da quello dscreto a parte le conseguent dffcoltà formal che s ncontrano nel caso contnuo) é l tpo d processo che sta alla base dell evoluzone del prezzo dell attvtà sottostante. Nel caso contnuo l processo utlzzato è l moto brownano. 1. Il mercato é perfetto, ovvero: é perfettamente compettvo, coè gl operator non sono n grado d nfluenzare l prezzo de ttol con le loro operazon; é prvo d attrt, coè non c sono cost d transazone, tasse ed è possble vendere allo scoperto senza nessuna penaltà; s può acqustare e/o vendere n quanttà abtrare ed nfntamente dvsbl ad un tasso d nteresse r costante e che concde con l tasso d rendmento de ttol a captalzzazone ntegrale zero coupon bond); c è assenza d arbtragg non rschos. S not che le prme due potes sono tecnche d mnmo mpatto su rsultat che otterremo, l potes d non arbtraggo è nvece crucale. 2. l prezzo del ttolo sottostostante è un moto brownano geometrco con meda e varanza not e costant nel tempo; 3. l prezzo d eserczo K dell opzone é noto e costante nel tempo e l ttolo sottostante non dstrbusce dvdend.

3 3 3 La formula d Black-Scholes S consder ora una opzone call con prezzo d eserczo K e scadenza al tempo T. Sa r l tasso d nteresse costante calcolato n manera contnua. Sulla base delle potes sopra consderate è possble stablre l prezzo d non arbtraggo dell opzone. Sa S = S t ) t [0,T ] l processo stocastco che descrve la dnamca del prezzo del ttolo azonaro sottostante. Per potes, S è un moto brownano geometrco defnto n uno spazo d probabltà Ω, F, P), coè S t = S 0 e Wt, t [0, T ], dove S 0 > 0 è noto e W = W t ) t [0,T ] è un moto brownano con drft µ e varanza σ 2, defnto nello stesso spazo d probabltà. S rcord W t Nµt, σ 2 t) può essere scrtta come W t = µt + σ tz, t [0, T ] 1) dove Z N0, 1). Sa F t ) t [0,T ] la fltrazone standard per W e qund per S). Abbamo vsto che l valore atteso condzonato del processo S al tempo u + t u, t [0, T ]), nota la stora del processo fno al tempo u, é dato da E P [S u+t F u ] = S u e µ t+σ2 t/2. Inoltre, abbamo vsto che, applcando l Teorema d Grsanov, è possble trasformare la msura d probabltà P n una msura equvalente Q n un mondo neutrale verso l rscho n modo tale che l processo W sa trasformato n un moto brownano W = W t ) t [0,T ] con drft r σ2 2 e varanza σ2 tale che E Q [S u+t F u ] = S u e rt. Osserva. L potes che la dnamca de prezz dell attvtà sottostante sa matematcamente modellzzata tramte un moto brownano geometrco è fondamentale, n quanto mpedsce che l prezzo dvent negatvo. D questo problema se ne accorse Bacheler quando, nella sua tes d dottorato, fece l potes sbaglata che l processo S fosse un moto brownano, ottenendo n alcun cas prezz negatv coè prv d sgnfcato. Inoltre, l fatto che ad essere dstrbuto normalmente sa l logartmo del rapporto, nvece che la dfferenza fra prezz successv, può essere vsto come un modo d descrvere la dnamca del prezzo non n termn d varazon assolute da cu derverebbe la sottrazone), ma puttosto n termn d varazon relatve. Volendo semplfcare, s può affermare che sono le percentual d varazone, nvece delle varazon d prezzo, ad essere dstrbute normalmente. Avendo trasformato l processo scontato del prezzo n una Q-martngala, con msura d probabltà Q neutrale rspetto al rscho, l prezzo d equlbro d un opzone europea é semplcemente l valore atteso del suo payoff scontato, ossa: f t = E Q [e rt t) f T ] = e rt t) E Q [f T ], 0 t < T, 2)

4 4 dove rcordamo che f T = S T K) + = max0, S T K), nel caso d una opzone call. Indcando con S T l prezzo alla scadenza del sottostante, applcando la??) s ha S T = S t e r σ2 /2) T t)+σ T t Z, 0 t < T. 3) Sa A = {S T > K} F e I A la v.a. ndcatrce dell evento A o funzone caratterstca d A) così defnta: { 1, se ω A; I A ω) = 0, se ω / A. S not che dove Ne consegue che la??) può scrvers: Utlzzando la??), calcolamo S T > K e r σ2 /2) T t)+σ T t Z > K/S t Z > lnk/s t) r σ 2 /2) T t) σ T t Z > σ T t d 1, 4) d 1 = r + σ2 /2) T t) + lns t /K) σ. T t f t = e rt t) E Q [max0, S T K)] = e rt t) E Q [I A S T K)] = e rt t) E Q [I A S T ] K e rt t) E Q [I A ]. 5) E Q [I A ] = QS T > K) = QZ > σ T t d 1 ) dove Φ è la cdf della dstrbuzone normale standard. Utlzzando la??) e la??), calcolamo s é posto c = σ T d 1 = 1 Φσ T t d 1 ) = Φd 1 σ T t), 6) E Q [I A S T ] = E Q [S T A] QA) = E Q [S T Z > σ T t d 1 ] QZ > σ T t d 1 ) = 1 + S t e r σ2 /2) T t)+σ T t x e x2 /2 dx 2π c = 1 + S t exp{r σ 2 /2) T t)} exp{ x 2 2σ T t x)/2} dx 2π c = 1 + S t e r T t) exp{ x σ T t) 2 /2} dx 2π c

5 5 S consder la trasformazone d varabl y = x σ T t, qund dove E Q [I A S T ] == S t e r T t) 1 + e y2 /2 dy 2π d 1 = S t e r T t) QZ > d 1 ) Sosttuendo n??) la??) e la??), s ottene = e r T t) S t Φd 1 ). 7) f t = e r T t) e r T t) S t Φd 1 ) K e r T t) Φd 1 σ T t) = S t Φd 1 ) K e r T t) Φd 1 σ T t). Dalla precedente relazone s rcava la formula d Black-Scholes C t = CS t, T, K, σ, r) = S t Φd 1 ) K e r T t) Φd 1 σ T t), 0 t < T 8) d 1 = r + σ2 /2) T t) + lns t /K) σ. T t Tale formula fornsce l prezzo d non arbtraggo d una call europea n ogn stante dalla data della stpula t = 0) fno alla scadenza T. Pochè parametr K, σ, r sono delle costant fssate, s può semplcemente assumere C t = CS t, T ), 0 t < T. Osserva. Il prmo termne S t Φd 1 ) rappresenta l valore atteso del sottostante alla scadenza T, condzonato alla crcostanza che l opzone sa eserctata alla scadenza, mentre la quanttà K Φd 1 σ T t) = K QS T > K) é l valore atteso del pagamento fatto dall holder della call al wrter eserctando l opzone alla scadenza. In partcolare, per t = 0 s ottene l prezzo da pagare alla stpula del contratto: C 0 = S 0 Φd 1 ) K e r T Φd 1 σ T ) 9) S not che se t = T, allora { +, se lns t /K) > 0, coè se S T > K, d 1 =, se lns t /K) < 0, coè se S T < K, e qund Φd 1 ) = { 1, se S T > K, 0, se S T < K. D conseguenza, la??) contnua a valere anche per t = T, rcavandos { S T K, se S T > K, C T = = S T K) +, 0, se S T < K.

6 6 come gà noto. Osserva. L equazone??) vale anche per opzon call amercane, avendo mostrato come, n assenza d dvdend, una call amercana non verrà ma eserctata prma della scadenza e dunque vale quanto una call europea. Osserva. Per opzon europee, nel caso n cu l sottostante non fornsca dvdend e senza opportuntà d arbtragg, vale la cosddetta relazone d partà put-call. Consderamo due portafogl: Portafoglo A: una call pù un obblgazone, Portafoglo C: una put. Supponamo che entrambe le opzon sano scrtte sullo stesso ttolo azonaro con prezzo S t ) t [0,T ], hanno prezzo d eserczo K e scadenza T e sa r l tasso d nteresse prvo d rscho. S suppone noltre che alla scadenza T l obblgazone da drtto ad un pagamento par a K. Entramb portafogl valgono maxs T, K) alla scadenza delle opzon e pochè le opzon non possono essere eserctate prma della scadenza, esse devono avere uguale valore ogg, coè C 0 + K e r T = P 0 + S 0, 10) dove C 0 e P 0 ndcano l prezzo nzale rspettvamente della call e della put. Questa relazone è la relazone d partà put-call e mostra che l valore d una call europea può essere dedotto dal valore d una put europea con la stessa scadenza e lo stesso prezzo d eserczo, e vceversa. Utlzzando la relazone??), anche per le opzon put europee é possble stablre un equazone del tutto smle alla??). Infatt r T t) P S t, T, K, σ, r) = CS t, T, K, σ, r) S t + K e = S t Φd 1 ) K e r T t) Φd 1 σ r T t) T t) S t + K e = K e r T t) Φσ T t d 1 ) S t Φ d 1 ), 0 t < T 11) In partcolare, per t = 0 s ottene l prezzo da pagare alla stpula del contratto: P 0 = K e r T Φσ T d 1 ) S 0 Φ d 1 ) Esempo 3.1. Calcolare, medante la formula d Black-Scholes, l valore nzale d una call europea che scade tra 3 mes T = 3/12 = 0, 25) su un ttolo azonaro con quotazone nzale S 0 = 100 untà monetare nell potes che: 1. l prezzo d eserczo sa K = 125;

7 7 2. l tasso stantaneo d nteresse su base annua sa r = 0, 12; 3. la volatltà su base annua sa σ = 0, 62. Calcolamo C 0 = S 0 Φd 1 ) K e r T Φd 1 σ T ). S ha: d 1 = r + σ2 /2) T + lns 0 /K) σ T d 2 = d 1 σ T = 0, 778, = 0, , 62)2 /2) 0, 25 + ln100/125) 0, 62/2 = 0, 468 da cu e pertanto Φd 1 ) = Φ 0, 468) 0, 320 Φd 2 ) = Φ 0, 778) 0, 218, C 0 = 100 0, 320) 125 e 0,12 0,25 0, 218) 5, Approssmazone dscreta del modello contnuo Abbamo vsto come sa agevole prezzare un opzone se s accetta l potes che l prezzo dell attvtà sottostante segua un processo partcolarmente semplce: quello bnomale. Effettvamente un approcco del genere ha l vantaggo d consentre la scelta d ntervall temporal pccol a pacere ad esempo l gorno o l ora) calbrando fattor u up) e d down) n manera che rappresentno le varazon pù plausbl per l untà temporale prescelta. Come è gà stato menzonato, la nascta d quest modell la s deve ad una nzatva d Cox, Ross e Rubnsten nel 1979 l cu obettvo prmaro era d fornre una semplfcata rappresentazone del modello n tempo contnuo formulato da Black e Scholes. Un nteressante rsultato contenuto nell artcolo orgnaro d CRR é anche la dmostrazone che rendendo sempre pù pccola l ampezza degl ntervall temporal, facendo così tendere a nfnto l numero de pass, al lmte s ottene propro l modello d Black e Scholes. S osserv che la formula bnomale multperodale per la valutazone del prezzo nzale d un opzone call ) C 0 = e r T n p 1 p) n max0, u d n S 0 K), 12) s può scrvere n manera dversa. Infatt, se l prezzo del bene sottostante l opzone assume alla scadenza T un valore mnore o uguale al prezzo d eserczo K, l opzone call non vene eserctata e, pertanto, tra le possbl traettore che descrvono l andamento del prezzo alla scadenza s possono tralascare quelle con u d n S 0 K. Indcato con a l pù pccolo degl nter = 0,..., n tale che u d n S 0 > K, la formula??) s può rscrvere

8 8 come C 0 = e r T n = S 0 e r T ) n p 1 p) n u d n S 0 K) ) p 1 p) n u d n K e r T n ) p 1 p) n. Osservato che e posto p 1 p) n u d n = p u) [1 p) d] n, b = p u e 1 b = 1 p) d, la formula bnomale s può scrvere come segue ) C 0 = S 0 e r T n b 1 b) n K e r T n ) p 1 p) n dove = S 0 e r T Bn, a, b) K e r T Bn, a, p), 13) Bn, a, b) = n ) b 1 b) n rappresenta la probabltà che l prezzo del bene sottostante l opzone su n pass present almeno a movment al ralzo e qund che l prezzo fnale del bene sottostante sa superore al prezzo d eserczo K, essendo uguale a b = p u la probabltà che s verfch un ralzo. È evdente lanaloga fra la formula bnomale??) e la formula d BlackScholes. Nasce pertanto l problema d stablre sotto qual condzon l modello bnomale multperodale converga per n, dove n rappresenta l numero d pass, al modello d Black-Scholes. A tal proposto, abbamo vsto che se l tasso d nteresse r per le attvtà non rschose é noto, l modello bnomale é completamente ndvduato da parametr u, d e p, dove p é la probabltà neutrale al rscho. In partcolare, se l prezzo dell opzone deve varare una volta ogn T = T/n untà d tempo, l prezzo può crescere per un fattore u = e σ T oppure decrescere per un fattore con probabltà p = er T d u d, d = u 1 = e σ T con probabltà 1 p. Approssmando la funzone e x con prm tre termn della sua sere d Taylor centrata n 0 l che fornsce un approssmazone tanto pù corretta quanto pù é grande n) s ottene: e ±σ T = 1 ± σ T + σ2 2 T,

9 9 da cu s ottene p r ) σ2 /2) T. σ Con quest parametr, s dmostra che per n, l processo stocastco che defnsce l prezzo del ttolo sottostante tende, per n, a un moto brownano geometrco con parametro d derva r σ 2 /2) e volatltà σ. Ne consegue, qund, che l modello bnomale a n perod, con le potes sopra esposte, converge, per n, al modello d Black-Scholes. 5 La stratega Delta Hedgng Consderamo la creazone d un portafoglo coperto, formato da una poszone lunga su un ttolo azonaro e da una poszone corta su un certo numero 1 d opzon call sullo stesso ttolo, n modo che, n equlbro, l suo rendmento sa uguale a quello d un attvtà prva d rscho procedura d delta hedgng). Se la copertura vene effettuata con contnutà, l portafoglo é mmunzzato dalle fluttuazon aleatore del prezzo S t ) t [0,T ] del sottostante ed l suo rendmento è certo. S prova che = s Cs, T ) rapporto d copertura), dove S t = s, coè é l tasso d varazone nel valore dell opzone call rspetto alla varazone del prezzo del sottostante. S prova che Infatt, dalla??) = Φd 1 ). t) Cs, T ) = e rt s s E Q[I A S T K)] [ ] = e rt t) E Q s I AS T K) )] = e rt t) E Q [I A s S T K). Dalla??) s ha che per cu, utlzzando la??) s S T K) = s S T = S T s, = e rt t) Cs, T ) = E Q [I A S T ] = Φd 1 ) > 0. 14) s s Con sml argoment s possono calcolare le dervate parzal d CS t, T ) rspetto alle costant K, r, σ, T.

10 10 Dalla??) s rcava drettamente che la dervata parzale d CS t, T ) rspetto a K é: Dalla??) s rcava che: K CS t, T ) = e rt t) Φd 1 σ T t) < 0. 15) a) la dervata parzale d CS t, T ) rspetto a r é: ed é detta rho; r CS t, T ) = K T t) e rt t) Φd 1 σ T t) > 0, 16) b) la dervata parzale d CS t, T ) rspetto a σ é: σ CS t, T ) = s T t Φ d 1 ) > 0, 17) dove s é posto S t = s e Φ x) = 1 2π e x2 /2 é la pdf della normale standard. Tale dervata parzale é detta vega; c) la dervata parzale d CS t, T ) rspetto a T é: T CS t, T ) = ed é detta theta; σ 2 T s Φ d 1 ) + K r e rt t) Φd 1 σ T t) > 0, 18) Osserva. Il portafoglo d copertura non é prvo d rscho per tutta la durata dell opzone, ma solo stantaneamente n t, t + t). Infatt = s Cs, T ) vara al varare d S t e t e dunque per mantenere l portafoglo prvo d rscho occorre vararne contnuamente la composzone. Nella pratca, a causa de cost d transazone, la varazone vene effettuata solo quando s sposta consderevolmente. Il fattore gamma: Γ = 2 s 2 Cs, T ) = s = 1 s σ T t Φ d 1 ) > 0 19) ne é un ndce. Tanto maggore é Γ n genere Γ é pù alto quando S t K), tanto maggore é la sensbltà d e qund tanto pù spesso bsogna rcalbrare l tutto per mantenere la poszone mmunzzata. Le dervate parzal sopra determnate permettono d fare uno studo analtco del comportamento della funzone CS t, T ) ottenuta tramte la formula d Black-Scholes. Infatt, da??) e calcolando 2 K 2 CS t, T ) = e rt t) Φ d 1 σ 1 T t) K σ T t > 0, s deduce che CS t, T ) é una funzone decrescente e convessa rspetto a K.

11 Da??) e??) s deduce che CS t, T ) é una funzone crescente e convessa rspetto a S t. Infne, da??),??) e??) s può affermare che CS t, T ) é una funzone monotona crescente rspetto a tutt e tre parametr, ma non é nè convessa nè concava rspetto ad ess pochè cascuna delle dervate seconde non é sempre negatva o sempre postva. 11

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