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1 1. Applicazioni lineari Esercizio 1.1. Sia T : R 2 R 3 l applicazione lineare definita sulla base canonica di R 2 nel seguente modo: T (e 1 ) = (1, 2, 1), T (e 2 ) = (1, 0, 1). a) Esplicitare T (x, y). b) Determinare la matrice A associata a T (rispetto alle basi canoniche). c) Stabilire se (3, 4, 1) appartiene a Im(T ). Esercizio 1.2. Sia T : R 4 R 4 l applicazione lineare tale che x 1 T x 2 x 3 = x 4 x 1 + x 2 + 2x 3 + x 4 x 1 + 2x 2 + 4x 3 + x 4 2x 1 + 2x 2 + 4x 3 + 3x 4 x 1 2x 2 + (k 4)x 3 + 2x 4 dove k R Ã un parametro reale. a) Discutere l iniettività e suriettività di T al variare di k R. b) Determinare una base degli spazi vettoriali Im(T ) e Ker(T ) al variare di k R. Esercizio 1.3. Sia T : R 3 R 4 la funzione lineare definita da: T (x 1, x 2, x 3 ) = (2kx 1 x 2, x 2 + kx 3, x 1 + x 2 x 3, x 1 x 2 ) a) Trovare le dimensioni del nucleo e dell immagine di T al variare del parametro reale k. b) Stabilire per quali valori di k il vettore v = (3, 3, 1, 0) appartiene all immagine di T. Esercizio 1.4. Sia T : R 3 R 3 l applicazione lineare definita da T (x, y, z) = (2x, y, 0) (1) Dato il vettore w = (2, 1, 1), calcolare T (w). (2) Determinare la matrice A associata a T rispetto alla base canonica. (3) Calcolare T (w) utilizzando la matrice A. (4) Determinare la dimensione e una base degli spazi vettoriali Im(T ) e Ker(T ). (5) Verificare che l insieme B = {v 1, v 2, v 3 } con v 1 = (1, 0, 1), v 2 = (0, 1, 1), v 3 = (1, 1, 1) è una base di R 3. (6) Determinare la matrice B associata a T rispetto alla base B dello spazio di partenza e alla base canonica C dello spazio di arrivo. (7) Determinare le componenti del vettore w = (2, 1, 1) rispetto alla base B. (8) Calcolare T (w) utilizzando la matrice B. Esercizio 1.5. Sia T : R 3 R 2 l applicazione lineare tale che T (x, y, z) = (2x, y + z) (1) Verificare che T è un applicazione lineare. (2) Dato il vettore w = (1, 1, 1), calcolare T (w). (3) Determinare la matrice A associata a T rispetto alla base canonica. (4) Calcolare T (w) utilizzando la matrice A. (5) Determinare la dimensione e una base degli spazi vettoriali Im(T ) R 2 e Ker(T ) R 3. (6) Verificare che l insieme B = {v 1, v 2, v 3 } con v 1 = (2, 1, 0), v 2 = (0, 1, 0), v 3 = (1, 0, 1) è una base di R 3. (7) Determinare la matrice B associata a T rispetto alla base B di R 3 e alla base canonica di R 2. (8) Calcolare T (w) utilizzando la matrice B. Esercizio 1.6. Sia f : R 3 R 3 l applicazione lineare definita ponendo f(x, y, z) = (x + y 2z, 3x z, 2x y + z) e sia g : R 3 R 3 l applicazione lineare definita ponendo g(x, y, z) = (x + z, x y + z, y) Si trovino le dimensioni dei nuclei delle applicazioni lineari g f e f g. 1

2 2 Esercizio 1.7. Sia S : R 3 R 3 la funzione lineare associata a: rispetto alla base B = {(1, 1, 1), (0, 2, 2), (0, 0, 3)} di R 3. a) Si scriva la matrice associata a S rispetto alle basi canoniche. b) Determinare basi dell immagine Im(S) e del nucleo N(S). Esercizio 1.8. Sia S : M n (R) M n (R) la funzione lineare così definita: S(A) = A A T a) Si determini il nucleo e l immagine di S. b) Posto n = 2, si determini la matrice associata a S rispetto alla base {[ ] [ ] [ ] [ ]} B =,,, c) Per n = 2, la funzione lineare S è diagonalizzabile? Esercizio 1.9. Sia S : M n (R) M n (R) la funzione lineare così definita: S(A) = A + A T a) Si determini il nucleo e l immagine di S. b) Posto n = 2, si determini la matrice associata a S rispetto alla base {[ ] [ ] [ ] [ ]} B =,,, c) Per n = 2, la funzione lineare S è diagonalizzabile? Esercizio Si f : R 2 [x] R 2 [x] l applicazione lineare definita ponendo f(ax 2 + bx + c) = (a b)x 2 + (b c)x + a c a) Si trovi la matrice rappresentativa di tale applicazione rispetto alla base B = { x 2 + 2, x 1, x + 1 } b) Si trovi la dimensione e una base di Ker(f) e Im(f). 2. Determinante e rango Esercizio 2.1. Calcolare il rango della seguente matrice A, utilizzando il calcolo del determinante. 1 k A = k k k R 1 2k 3 0 Esercizio 2.2. Calcolare l inversa delle seguenti matrici (invertibili) utilizzando il metodo della riduzione a gradini. A = Esercizio 2.3. Sia A la matrice reale [ ] A = k B = a) Calcolare il determinante di A e stabilire per quali valori di k la matrice è invertibile. b) Trovare la matrice inversa di A per k = 1.

3 3 Esercizio 2.4. Sia A la matrice reale A = k k 1 k 0 2k k 1 2 k (k reale). a) Si determini per quali valori di k la matrice A è invertibile. Si calcoli la matrice inversa di A per k = 1. b) Calcolare il rango di A al variare del parametro k. Esercizio 2.5. Sia A la matrice reale A = k 8 + 2k k 1 0 8k (t reale). a) Calcolare il rango di A al variare del parametro k. b) Esistono valori di k per i quali la matrice è invertibile? 3. Prodotto scalare, ortogonalità e basi ortonormali Esercizio 3.1. Siano u = (4, 2, 2) e v = (3, 3, 2) vettori di R 3. a) Calcolare le lunghezze di u e di v (rispetto al prodotto scalare canonico di R 3 ). b) Trovare tutti i vettori w di lunghezza 1 ortogonali a u e a v. Esercizio 3.2. Si considerino i vettori di R 4 v 1 = (0, 2, 1, 1), v 2 = (1, 0, 0, 1). a) Calcolare le lunghezze di v 1 e di v 2 (rispetto al prodotto scalare canonico di R 4 ). b) Determinare la proiezione ortogonale di v 1 su v 2. Esercizio 3.3. Data la base B = {v 1 = ( 1, 0, 1), v 2 = (0, 1, 0), v 3 = (1, 0, 1)} di R 3, si determini una base ortonormale di R 3 utilizzando il procedimento di Gram-Schmidt a partire da B. Esercizio 3.4. Sia V il seguente sottospazio di R 4 Si determini il complemento ortogonale V di V. V = v 1 = (1, 1, 0, 0), v 2 = (1, 2, 1, 3) Esercizio 3.5. Sia V il sottospazio di R 3 di base B = {v 1 = (1, 2, 0), v 2 = (2, 4, 1)}. a) Si trovi una base ortonormale di V a partire da B. b) Si trovi una base ortonormale del complemento ortogonale V di V. Esercizio 3.6. Sia V = R 2 [x] lo spazio vettoriale dei polinomi di grado al più 2. Si consideri il prodotto scalare così definito: p(x) q(x) = p(1)q(1) + p(0)q(0) + p( 1)q( 1). a) Si trovi una base ortonormale di V. b) Si determini la distanza tra i polinomi x 2 2x + 4 e 2x 2 + x 3.

4 4 4. Geometria nello spazio Esercizio 4.1. Stabilire se i punti A(1, 2, 3), B( 2, 1, 3), C(3, 2, 1) e D(4, 1, 0) sono complanari. Esercizio 4.2. Determinare l equazione cartesiana del piano passante per i punti A(1, 2, 3), B( 2, 1, 3) e C(3, 2, 1). Esercizio 4.3. Determinare l equazione cartesiana della retta passante per i punti A(3, 1, 2) e B(1, 1, 0)). Esercizio 4.4. Si determini la distanza del punto P (3, 1, 2) dalla retta di equazione parametrica x = 6 + t y = 2 + 2t z = 1 3t Esercizio 4.5. Si determini la distanza del punto P ( 1, 0, 2) dal piano di equazione x 2y + 3z = 9. Esercizio 4.6. Si determini la distanza tra le rette di equazioni x = t x = 4 + s r : y = 1 + t r : y = s z = 4 t z = 2 s Esercizio 4.7. Si determini la distanza tra le rette di equazioni x = 1 t x = 2 + s r : y = 1 + 3t r : y = s z = t z = 1 t Esercizio 4.8. Nello spazio R 3 si considerino i piani π 1 : 2x + y = 1 e π 2 : x = 2y. a) Determinare la mutua posizione dei due piani. b) Scrivere equazioni cartesiane della retta parallela a π 1, perpendicolare a π 2 e passante per l origine. 5. Autovalori, autovettori e diagonalizzazione di endomorfismi Esercizio 5.1. Sia T : R 3 R 3 l endomorfismo a cui, rispetto alla base canonica, è associata la matrice A = a) Determinare autovalori e autovettori di T. b) Stabilire se T è diagonalizzabile. Esercizio 5.2. Sia T : R 3 R 3 l endomorfismo a cui, rispetto alla base canonica, è associata la matrice A = a) Si determinino gli autovalori di T e si stabilisca se T è diagonalizzabile. b) Si determini una base di R 3 formata da autovettori di T. Esercizio 5.3. Sia T : R 2 R 2 l endomorfismo a cui, rispetto alla base canonica, è associata la matrice [ ] 2 2 A = 1 3 a) Si determini il polinomio caratteristico e gli autovalori di T. b) Si determini l autospazio V λ relativo ad ogni autovalore λ trovato.

5 5 c) Si verifichi che T è diagonalizzabile. d) Si trovi la matrice diagonale B simile alla matrice A. Esercizio 5.4. Sia S l endomorfismo di R 4 con matrice associata A = rispetto alla base canonica. a) Determinare autovalori e autovettori di S. b) Stabilire se S è diagonalizzabile. Esercizio 5.5. Sia T l endomorfismo di R 4 definito dalla matrice A = Stabilire se T è diagonalizzabile. Esercizio 5.6. Data la matrice M = 1 1 k k Discutere la diagonalizzabiltà di M al variare del parametro k R. Esercizio 5.7. Siano A e B le matrici reali A = e B = k k 1 1 Determinare, se esistono, i valori del parametro reale k per cui A e B sono simili. Esercizio 5.8. Sia T l endomorfismo di R 2 [x] la cui matrice associata, rispetto alla base canonica è A = a) Stabilire se 4 è autovalore di T. Calcolare gli autovalori e autovettori di T. b) T è diagonalizzabile? In caso affermativo trovare una base di autovettori di T. Esercizio 5.9. Sia T l endomorfismo di R 2 [x] che associa al polinomio p(x) = ax 2 + bx + c R 2 [x] il polinomio T (p(x)) = (a + kb)x 2 + (ka + b)x + kc. a) Trovare la matrice associata a T rispetto alla base {x 2, x, 1}. b) Calcolare gli autovalori di T. Esercizio Sia T l endomorfismo di R 4 definito dalla matrice A = a) Determinare autovalori e autovettori di T. b) Determinare una base ortonormale di R 4 formata da autovettori di T.

6 6 Esercizio Sia T l endomorfismo do R 4 cosí definito: T (x 1, x 2, x 3, x 4 ) = (3x 1, x 3, x 4, 3x 2 + x 3 + 3x 4 ) a) Mostrare che 1 è autovalore di T. b) Stabilire se T è diagonalizzabile e in caso affermativo trovare una base rispetto a cui T ha matrice diagonale. c) L endomorfismo T è simmetrico? Esercizio Sia T : R 3 R 3 l endomorfismo avente come autovettori i vettori v 1 = (1, 1, 0), v 2 = (0, 1, 1), v 3 = (0, 0, 1), rispetto agli autovalori 1, 1, 2. a) Calcolare la matrice A che rappresenta T rispetto alla base canonica. b) T è invertibile? c) T è un endomorfismo simmetrico?

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