Capitolo 5 La trasmissione dell informazione

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1 Capitolo 5 La trasmissione dell informazione

2 Sistema di comunicazione Sorgente messaggio Sistema di trasmissione Trasmettitore Canale di trasmissione segnale Ricevitore rumore messaggio Destinazione

3 Caratterizzazione della sorgente Un messaggio è costituito da una successione di lunghezza finita di simboli scelti in un a alfabeto a alfabeto della sorgente X = {x 1,, x n }); Un simbolo x i porta una quantità di informazione I(x i ) definibile formalmente in modo quantitativo <Numeri di simboli + probabilità di essere trasmessi dalla sorgente > ma in questa sede seguiamo essenzialmente un approccio qualitativo La quantità di informazione che portano i simboli emessi dalla sorgente : - è una grandezza con cui si misura la libertà di scelta che la sorgente ha di selezionare un simbolo da comunicare - è legata al grado di imprevedibilità dei simboli che vengono emessi (i meno prevedibili sono i più informativi) - è legata alla numerosità dei simboli tra i quali la sorgente può scegliere quello da inviare (nessuna libertà se c èc un solo simbolo!)

4 Caratterizzazione della sorgente Un simbolo x i porta una quantità di informazione I(x i ) <Numeri di simboli + probabilità di essere trasmessi dalla sorgente > I simboli x i possono essere associati alla probabilità di emissione p S (x i ) da parte della sorgente (probabilità di sorgente): la probabilità non è uguale per tutti i simboli; la somma delle probabilità di tutti i simboli dell alfabeto è pari a 1 Per completare la caratterizzazione della sorgente serve anche la velocità V(X) con cui una sorgente emette i simboli, misurata in simboli al secondo. Se l alfabeto l è binario e i due simboli dell alfabeto sono equiprobabili, allora la velocità di trasmissione è data dal numero di simboli per secondo - si misura in bit/s (bps, bit per secondo) si chiama flusso di informazione della sorgente. - si chiama

5 Caratterizzazione del canale I simboli emessi dalla sorgente passano, dopo la codifica, attraverso un canale di trasmissione Per caratterizzare il comportamento del canale si deve indicare per ogni simbolo x i in ingresso al canale il simbolo y j che si ottiene in uscita Per la presenza di rumore, può accadere che nel passaggio attraverso il canale il simbolo in ingresso venga trasformato in un altro simbolo. E possibile definire: la capacità teorica di trasmissione di canale, condizionata da vincoli fisici la capacità di canale che rappresenta la massima quantità di informazione che può transitare lungo un canale per unità di tempo (in bps) tenendo conto rispetto alla precedente anche degli errori di trasmissione (che limitano la capacità ulteriormente)

6 Probabilità di ricezione La probabilità di ricezione (o di osservazione) di un simbolo, emesso da una sorgente, all uscita di un canale di trasmissione (o comunicazione) dipende: dalla probabilità p(x 1 ),,p(,p(x n ) di emissione dei vari simboli x 1,, x n, da parte della sorgente, e dal comportamento del canale,, cioè la probabilità p(y i x i ) che all uscita del canale si osservi y i avendo la sorgente emesso si osservi x i

7 Probabilità di ricezione Caratterizza, in termini statistici, la rumorosità di un canale dato un alfabeto X = {x 1,, x n } date le probabilità di sorgente p S (x i ) dato il comportamento del canale, cioè le probabilità p(y i x i ) con cui si osserva il simbolo y i quando è stato trasmesso il simbolo x i si ricava la probabilità di ricezione di un simbolo p R (y i ) = i=1..n p (x S i ).p(y i x i )

8 Esempio 1: probabilità di ricezione p R (A) Alfabeto: X = {A, C, G, T} Probabilità di sorgente: p S (A) = 1/2, p S (C) = 1/4, p S (G) = p S (T) = 1/8 p S (A) = 0.5, p S (C) = 0.25, p S (G) = p S (T) = Comportamento del canale: p(c C C C) ) = p(g G G G) ) = p(t T T T) ) = 1 (nessun errore) p(a A A A) ) = 0.75 = ¾ p(c A C A) ) = 0.25 = ¼ ; Probabilità di ricezione p R (A) = i=1..n p S (x i ).p(a x i ) = p S (A).p(A A A A) = 0,5 x 0,75 = 0,375, cioè 1/3

9 Esempio 2: probabilità di ricezione p R (C) Alfabeto: X = {A, C, G, T} Probabilità di sorgente: p S (A) = 1/2, p S (C) = 1/4, p S (G) = p S (T) = 1/8 p S (A) = 0.5, p S (C) = 0.25, p S (G) = p S (T) = Comportamento del canale: p(c C C C) ) = p(g G G G) ) = p(t T T T) ) = 1 (nessun errore) p(a A A A) ) = 0.75 = ¾ p(c A C A) ) = 0.25 = ¼ ; Probabilità di ricezione p R (C) = i=1..n p S (x i ).p(c x i ) = p S (C).p(C C C C) ) + p S (A).p(C A C A) = (0,25 x 1) + (0,5 x 0,25) = 0,25 + 0,125 = 0,375, cioè 1/3

10 Esempio 3: probabilità di ricezione p R (G) Alfabeto: X = {A, C, G, T} Probabilità di sorgente: p S (A) = 1/2, p S (C) = 1/4, p S (G) = p S (T) = 1/8 p S (A) = 0.5, p S (C) = 0.25, p S (G) = p S (T) = Comportamento del canale: p(c C C C) ) = p(g G G G) ) = p(t T T T) ) = 1 (nessun errore) p(a A A A) ) = 0.75 = ¾ p(c A C A) ) = 0.25 = ¼ ; Probabilità di ricezione p R (G) = i=1..n p S (x i ).p(g x i ) = p S (G).p(G G G G) = 0,125 x 1 = 0,125, cioè 1/8

11 Esempio 4: probabilità di ricezione p R (T) Alfabeto: X = {A, C, G, T} Probabilità di sorgente: p S (A) = 1/2, p S (C) = 1/4, p S (G) = p S (T) = 1/8 p S (A) = 0.5, p S (C) = 0.25, p S (G) = p S (T) = Comportamento del canale: p(c C C C) ) = p(g G G G) ) = p(t T T T) ) = 1 (nessun errore) p(a A A A) ) = 0.75 = ¾ p(c A C A) ) = 0.25 = ¼ ; Probabilità di ricezione p R (T) = i=1..n p S (x i ).p(t x i ) = p S (T).p(T T T T) = 1/8 x 1 = 1/8

12 Inverso della probabilità di ricezione Per ogni simbolo y i effettivamente osservato in uscita del canale, si può calcolare la probabilità p T (x i y i ) che il corrispondente simbolo trasmesso fosse x i p T (x i y i ) = p S (x i ).p(y i x i ) p R (y i ) Esempi: p T (A C)) = [p(c A).p s (A)] / P R (C) = [0,25 x 0,5] / 0,375 = 0,333 p T (C C)) = [p(c C).p s (C)] / P R (C) = [1 x 0,25] / 0,375 = 0,67 p T (A A)= p T (G G)= p T (T T)=1

13 Codifica e ridondanza Confronto tra flusso della sorgente F(X) e capacità del canale K(C) misurata in BPS se la sorgente emette informazione a una velocità superiore alla capacità del canale, K(C)<F(X) gli effetti del rumore non sono eliminabili se invece K(C)>F(X), il rumore presente sul canale può essere gestito Si può usare un messaggio ridondante sfruttando la capacità di canale residua contiene simboli che in assenza di disturbi non sarebbero necessari al suo corretto riconoscimento (adattamento al canale). i simboli aggiuntivi riducono l incertezza

14 Esempio: introduzione della ridondanza p(c C) = p(g G) = p(t T) = 1 p(a A) = 0.75 (3/4) p(c A) = 0.25 (1/4) Il 25% dei simboli A viene frainteso come C Supponendo che la capacità di canale lo permetta, si possono duplicare i simboli in trasmissione : C --> CC A --> AA G --> GG T --> TT Per A si avrebbe : p(aa A) = p(a A) x p(a A) = ¾ x ¾ = 9/16 p(ac A) = p(ca A) = p(c A) x p(a A)= ¼ x ¾ = 3/16 p(cc A) = p(c A) x p(c A) = ¼ x ¼ = 1/16 l errore (che A raggiunga il destinatario come C) scende da 1/4 a 1/16!! Prezzo da pagare: lunghezza doppia del messaggio e quindi tempo doppio di trasmissione

15 Altri esempi di codifica e ridondanza Bit di parità a una sequenza di bit si aggiunge un ulteriore bit in trasmissione per ottenere un numero pari (o dispari) di bit posti a 1 Esempio: se il segnale generato dalla codifica a lunghezza costante R=4 è (es. due simboli), il segnale codificato con bit di parità sarà: , quindi se il segnale diventa allora l errore si è verificato sul primo simbolo su simboli di n bit ridondanza introdotta di (n+1)/n (più bassa del caso precedente 2n) poca ridondanza: permette di rilevare un errore ma non di correggerlo

16 Altri esempi Linguaggi naturali I linguaggi naturali sono naturalmente ridondanti a livello sintattico e a livello semantico è generalmente facile comprendere correttamente una parola scritta con grafia errata: trasmixione trasmixione viene corretta in trasmissione trasmissione Il significato della parola nel contesto è ulteriormente utile a correggere il messaggio a livello semantico

17 I segnali

18 Il concetto di segnale Segnale è una quantità che varia in una dimensione continua (nel tempo o nello spazio). L altezza del canotto rispetto alla costa è un segnale che varia nel tempo. La temperatura che varia nelle varie ore del giorno può essere considerato un segnale. La pressione che agisce sul martelletto in diversi istanti di tempo è un segnale. Quest ultimo ultimo è proprio il nostro segnale sonoro

19 I segnali Un segnale è l insieme dei valori che una grandezza assume nel tempo e che costituiscono il supporto per la trasmissione di informazione. Un segnale è una funzione s che in ogni istante t assume un valore s(t) scelto in un opportuno insieme S. Il valore s(t) viene detto ampiezza del segnale al tempo t. Un esempio significativo: s(t) = x 0 sin(2πf 0 +Φ 0 ) x 0 è l ampiezza massima del segnale; f 0 rappresenta la frequenza del segnale, misurata in hertz (Hz); Φ 0 rappresenta la fase del segnale.

20 Segnali analogici e digitali Una metafora: Una nave di passaggio (sorgente( sonora) ) genera un onda nel mare L onda si propaga verso la costa (onda( di pressione) Un canotto (martelletto( martelletto), all ancora, ancora, sale e scende seguendo l andamento dell onda

21 Suono analogico vs digitale Un suono è il risultato della vibrazione (periodica) di un corpo immerso nell aria aria. La vibrazione genera un onda di pressione che si propaga nell aria a partire dalla sorgente. l onda sonora fa vibrare il martelletto (cartilagine) e la sensazione sonora viene trasmessa al cervello. in diversi istanti temporali la pressione dell aria varia e, di conseguenza, varia il suo modo di vibrare.

22 una metafora Una nave di passaggio (sorgente( sonora) ) genera un onda nel mare L onda si propaga verso la costa (onda( di pressione) Un canotto (martelletto( martelletto), all ancora, ancora, sale e scende seguendo l ondal

23 max Com-PRESSIONE Frequenza (Hz) è il numero di cicli in un secondo parametro fisico che indica l altezza (acuto/grave) del suono CICLO PERIODO T = [t 0,,t,t 4 ] A De-PRESSIONE min t 0 t 1 t 2 t 3 t 4 t 5 t 6 t 7 t 8 t 9 Esempio: se A ha una frequenza 10 Hz, allora effettua 10 cicli al secondo

24 Frequenza (Hz) è il numero di cicli in un secondo es. parametro fisico che indica l altezza (acuto/grave) del suono max Com-PRESSIONE CICLO PERIODO T = [t 0,,t,t 4 ] A B De-PRESSIONE min t 0 t 1 t 2 t 3 t 4 t 5 t 6 t 7 t 8 t 9 PERIODO T T = [t 0,,t,t 2 ] Esempio: se A ha una freq. 10 Hz (10 cicli al secondo), allora B ha 2 volte la frequenza di A

25 Ampiezza: indica la variazione di pressione es. distingue suoni di intensità forte da quelli di intensità debole max picco picco PRESSIONE t 0 t 1 t 2 t 3 t 4 t 5 t 6 t 7 t 8 t 9 min due suoni di frequenza uguale e ampiezza diversa

26 Forma d ondad (es.: il timbro di un violino vs il timbro di una chitarra) max sinusoidale a dente di sega AMPIEZZA min t 0 t 1 t 2 t 3 t 4 t 5 t 6 t 7 t 8 t 9 due suoni di: frequenza uguale ampiezza diversa forma diversa

27 Dominio del tempo vs dominio delle frequenze s(t) = x 0 sin(2πf 0 +Φ 0 ) ampiezza x 0 frequenza ampiezza f 0 s(t) x 0 tempo T

28 Dominio del tempo vs dominio delle frequenze s 1 (t) = x 0 sin(2πf 1 +Φ 0 ) s 2 (t) = x 0 sin(2πf 2 +Φ 0 ) ampiezza x 0 frequenza ampiezza f 1 f 2 s(t) tempo

29 Dominio del tempo vs dominio delle frequenze ampiezza x 1 s 1 (t) = x 1 sin(2πf 1 +Φ 0 ) s 2 (t) = x 2 sin(2πf 2 +Φ 0 ) x 2 frequenza ampiezza f 1 f 2 s(t) tempo

30 Scomposizione di Fourier Una funzione periodica è la somma di funzioni sinusoidali s n (t), caratterizzate da ampiezza x n e frequenza f n, con f n = n/t = n f 1. e.g. s(t) = 0.8 sin(2πf 1 t) sin(2π2f 2f 1 t) sin(2π3f 1 t) f 1 2f 1 3f 1 s 1 (t) = 0.8 sin(2π f 1 t) s 2 (t) = 1.2 sin(2π 2f 2 t) s 3 (t) = 0.4 sin(2π 3f 1 t)

31 Scomposizione di Fourier Una funzione periodica è la somma di funzioni sinusoidali s n (t), caratterizzate da ampiezza x n e frequenza f n, con f n = n/t = n f 1. e.g. s(t) = 0.8 sin(2πf 1 t) sin(2π2f 2f 1 t) sin(2π3f 1 t) s 1 (t) = 0.8 sin(2π f 1 t) s 2 (t) = 1.2 sin(2π 2f 2 t) s 3 (t) = 0.4 sin(2π 3f 1 t)

32 Scomposizione di Fourier Una funzione periodica è la somma di funzioni sinusoidali s n (t), caratterizzate da ampiezza x n e frequenza f n, con f n = n/t = n f 1. e.g. s(t) = 0.8 sin(2πf 1 t) sin(2π2f 2f 1 t) s 1 (t) = 0.8 sin(2π f 1 t) s 2 (t) = 1.2 sin(2π 2f 2 t)

33 Scomposizione di Fourier Una funzione periodica è la somma di funzioni sinusoidali s n (t), caratterizzate da ampiezza x n e frequenza f n, con f n = n/t = n f 1. e.g. s(t) = 0.8 sin(2πf 1 t) sin(2π2f 2f 1 t) sin(2π3f 1 t) s 1 (t) = 0.8 sin(2π f 1 t) s 2 (t) = 1.2 sin(2π 2f 2 t) s 3 (t) = 0.4 sin(2π 3f 1 t)

34 Potenza del segnale Si definisce potenza del segnale al tempo t il valore P(t) = s 2 (t). Il rapporto segnale/rumore (S/N) esprime quanto il segnale (che porta informazione) è più intenso del rumore (segnale indesiderato). Invece dei rapporti P1/PP /P2 di potenze si usano valori espressi nella forma 10 log 10 P1/P2,, [decibel[ db]: valori negativi si riferiscono alla situazione in cui S < N 0 db indica che la potenza del rumore è uguale a quella del segnale 20 db indica che il segnale è 100 volte più potente del rumore.

35 Larghezza di banda Il segnale, transitando attraverso il canale, perde potenza, ma non tutte le componenti armoniche del segnale subiscono la stessa attenuazione. Il canale trasmette le frequenze del segnale in modo selettivo: le componenti armoniche di frequenza comprese tra f min e f max vengono trasmesse senza un apprezzabile riduzione di potenza, le altre subiscono un attenuazione così sensibile da risultare praticamente eliminate dal segnale. Il segnale in uscita dal canale ha una forma differente da quella del segnale inviato dalla sorgente, viene distorto. B = f max f min, misurato in Hz, è la larghezza di banda e rappresenta una caratteristica fondamentale di un canale di trasmissione.

36 Trasmissione di valori binari Valori trasmessi Canale ideale Valori rilevati

37 Trasmissione di valori binari Valori trasmessi solo la I armonica 0 NA NA NA NA NA Valori rilevati

38 Trasmissione di valori binari Valori trasmessi le prime 3 armoniche NA 0 Valori rilevati

39 Trasmissione di valori binari Valori trasmessi le prime 5 armoniche Valori rilevati

40 Trasmissione di valori binari Valori trasmessi le prime 10 armoniche Valori rilevati

41 Larghezza di banda e capacità di canale In assenza di rumore un canale con una larghezza di banda pari a B Hz può trasportare al più 2B simboli al secondo [Nyquist 1924]. In condizioni di equiprobabilità ogni simbolo porta log 2 (n) bit di informazione, quindi la quantità di informazione trasferibile nell unit unità di tempo è K(C) = 2 B log 2 (n). Un segnale con una frequenza massima B Hz è perfettamente ricostruibile a partire da 2B suoi campioni acquisiti per unità di tempo. Nel caso generale (canali affetti da disturbo con rapporto segnale/rumore S/N) si ottiene K(C) = B log 2 (1+S/N) indipendentemente dal numero di simboli [Shannon[ 1948].

42 La trasmissione dei segnali Canale Analogico Digitale Segnale Analogico Digitale Modulazione (e.g. AM, FM, PM) Modulazione (e.g. Modem) Digitalizzazione (campionamento e quantizzazione) Codifica

43 Trasmissione su canali analogici Adattare i segnali alle caratteristiche del canale scegliere un onda sinusoidale ad alta frequenza, portante, e modificarne opportunamente i parametri in accordo con l informazione da trasmettere; modulazione in ampiezza: variare l ampiezza della portante con il segnale in bassa frequenza, modulante, che si vuole trasmettere; modulazione in frequenza: portante e modulante vengono combinate in modo tale che il segnale modulato risultante abbia una frequenza variabile; modulazione di fase: portante e modulante vengono combinate in modo tale che il segnale modulato risultante abbia una fase variabile. Trasmissione di un segnale digitale POTS, Plain Old Telephone System, progettato la voce umana, caratterizzata da uno spettro compreso tra i 400 Hz e i 3400 Hz; i segnali digitali vengono modulati con una portante compresa nella banda; modem (modulatore/demodulatore).

44 Segnali analogici su canali digitali Segnale di sincronizzazione del campionamento (Clock) Segnale analogico Pulse Amplitude Modulation Pulse Duration Modulation Pulse Position Modulation