Ripasso e integrazioni

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1 Riasso e integrazioni 1. LE EQUAZIONI RAZIONALI 1.1 Le equazioni di secondo grado Un'equazione di secondo grado ridotta in forma normale ha semre la forma ax bx c ˆ 0 dove si suone che sia a 6ˆ 0 e le sue soluzioni si trovano alicando la formula b b 4ac a Se b eá un numero ari si uoá alicare la formula s b b ac Se l'equazione non eá comleta si ossono alicare metodi alternativi, come si uoá vedere negli esemi che seguono. a Gli esercizi di questo aragrafo sono a ag. 14 ESEMPI 1. x x 1 ˆ 0 alicando la formula risolutiva si ottiene x ˆ 1 9 ˆ 4 1 quindi l'equazione ha due soluzioni reali distinte.. x 6x 7 ˆ 0 alicando la formula ridotta si ottiene x ˆ 9 ˆ 6 quindi l'equazione non ha soluzioni reali.. 4x 1x 9 ˆ 0 alicando la formula ridotta si ottiene x ˆ ˆ 4 quindi l'equazione ha due soluzioni reali coincidenti. 4. 9x 1 ˆ 0! x ˆ 1 9! x ˆ 1. x x ˆ 0! x x ˆ 0! x ˆ 0 _ x ˆ Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA RIPASSO E INTEGRAZIONI 1

2 1. Le equazioni di grado sueriore al secondo Non avendo a disosizione formule er la risoluzione dell'equazione Px ˆ 0 quando Px eá di grado sueriore al secondo, la sola ossibilitaá che abbiamo di trovarne le radici eá quella di scomorre Px in fattori al iuá di secondo grado ed alicare oi la legge di annullamento del rodotto. Se P x non si uoá scomorre, non abbiamo la ossibilitaá di risolvere algebricamente l'equazione P x ˆ0. Legge di annullamento del rodotto: A x B x ˆ0 se e solo se A x ˆ0 _ B x ˆ0 ESEMPI 1. 6x 11x x 1 ˆ 0 Per scomorre il olinomio al rimo membro ricerchiamo i ossibili binomi divisori della forma x a dove a eá un divisore di 1 : P 1 ˆ ˆ non eá divisibile er x 1 P 1 ˆ ˆ 0 eá divisibile er x 1 Alichiamo lo schema di Ruffini: L'equazione che dobbiamo risolvere eá: x 1 6x 17x 1 ˆ 0 Alichiamo la legge di annullamento del rodotto: l una soluzione eá x ˆ 1 l le altre si ottengono annullando il secondo fattore: 6x 17x 1 ˆ 0! x ˆ 4 _ x ˆ. x 6x x ˆ 0 Per scomorre il olinomio effettuiamo dei raccoglimenti a fattor comune: x x x ˆ 0! x x 1 ˆ 0 Alichiamo la legge di annullamento del rodotto: l x ˆ 0! x ˆ l x 1 ˆ 0 x ˆ 1! x ˆ. LE DISEQUAZIONI.1 Le disequazioni di secondo grado Una disequazione di secondo grado assume la forma: ax bx c > 0 oure ax bx c < 0 con a 6ˆ 0 e nella quale, cambiando eventualmente i segni e il verso, ossiamo semre suorre che sia a > 0. Gli esercizi di questo aragrafo sono a ag. 1 RIPASSO E INTEGRAZIONI Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA

3 La rocedura er risolvere questa disequazione eá la seguente: l l l si risolve l'equazione ax bx c ˆ 0 ad essa associata si raresenta la arabola y ˆ ax bx c evidenziando soltanto la sua osizione risetto all'asse delle ascisse si individuano gli intervalli in corrisondenza dei quali la arabola assume risettivamente valori ositivi oure negativi. ESEMPI 1. x x 1 > 0 Consideriamo la arabola di equazione y ˆ x x 1ad essa associata che ha concavitaá rivolta verso l'alto; le sue intersezioni con l'asse x sono le soluzioni dell'equazione x x 1 ˆ 0, cioeá i unti di Figura 1 ascissa 1 e 1 (figura 1). I valori di x che rendono ositivo il trinomio sono quelli esterni all'intervallo da essi individuato, quindi l'insieme delle soluzioni della disequazione eá dato dagli intervalli. 6x x < 0 x < 1 _ x > 1 Figura La arabola associata al binomio, che ha equazione y ˆ 6x x, interseca l'asse x nei unti di ascissa 0 e 1 ed ha concavitaá rivolta verso l'alto (figura ). Dal grafico deduciamo allora che l'insieme delle soluzioni 6 della disequazione eá raresentato dall'intervallo 0 < x < x 1x 10 > 0 L'equazione 4x 1x 10 ˆ 0 non ha soluzioni reali ercheâ ha un Figura discriminante negativo: 4 ˆ 6 40 ˆ 4. Questo significa che la arabola di equazione y ˆ 4x 1x 10, che volge la concavitaá verso l'alto, non interseca l'asse x ed assume semre valori ositivi; l'insieme delle soluzioni eá dunque R.. Le disequazioni di grado sueriore al secondo e frazionarie Una disequazione di questo tio, una volta sviluati i calcoli, si uoá semre scrivere nella forma Ex > < 0seeÁ intera Ax Bx 0 se eá frazionaria dove Ex, Ax, Bx sono olinomi di grado anche sueriore al secondo. > < Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA RIPASSO E INTEGRAZIONI

4 Le soluzioni si trovano in questo modo: l l l l l si scomongono in fattori al iuá di secondo grado i olinomi della disequazione si studia il segno di ogni fattore ottenuto onendo ciascuno di essi maggiore di zero si costruisce la tabella dei segni (una riga er ogni fattore di cui si eá studiato il segno) si deduce il segno comlessivo si scelgono gli intervalli delle soluzioni. Ricordiamo oi che, nelle disequazioni frazionarie, non eá ossibile eliminare i denominatori che contengono l'incognita ercheâ di essi non eá noto il segno. ESEMPI 1. x x x 6 0 Scomoniamo in fattori il olinomio E x al rimo membro ottenendo la disequazione equivalente x x 0 Studiamo il segno di ogni fattore del rodotto chiedendoci quando ciascuno di essi eá ositivo o nullo: x 0 se x x 0 x R. E' evidente che, dove un olinomio non eá ositivo o nullo, eá negativo. Riortiamo allora sulla retta dei numeri reali il segno di ciascun fattore come nella tabella a lato (una linea di segni er ogni fattore); osserva il allino nero in corrisondenza del er indicare che il olinomio x si annulla er tale valore. Dall'analisi della tabella risulta che il olinomio E x eá ositivo se eá x >, nullo se eá x ˆ, negativo se eá x <. La disequazione data chiede di stabilire quando il olinomio eá ositivo o nullo, l'insieme delle soluzioni eá quindi dato dall'intervallo: x x x 9x 4 0 Poiche deve essere x 9x 4 6ˆ 0, il dominio della disequazione eá l'insieme D ˆ R 1,4. Studiamo la variazione dei segni dei olinomi che la comongono, tenendo resente che stiamo ricercando anche i valori di x che annullano la frazione x 0 se x x 9x 4 > 0 se x < 1 _ x > 4 Nella tabella dei segni mettiamo una linea doia in corrisondenza dei valori esclusi dal dominio. Dall'analisi della tabella deduciamo le soluzioni: x < 1 _ x > 4 4 RIPASSO E INTEGRAZIONI Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA

5 . I sistemi di disequazioni Risolvere un sistema di disequazioni significa chiedersi quando tutte le disequazioni del sistema sono verificate contemoraneamente. La soluzione di un sistema si determina quindi calcolando l'intersezione degli insiemi soluzione delle disequazioni che lo comongono. Tale intersezione uoá essere facilmente individuata mediante una tabella in cui vengano riortati gli intervalli soluzione di ciascuna disequazione mediante linee a tratto continuo. L'insieme intersezione eá costituito dagli intervalli in cui tutte le disequazioni sono verificate; dal unto di vista grafico quindi dagli intervalli in cui troviamo che tutte le linee sono a tratto continuo. 1. ESEMPI x x > 0 x x 10 0 A B. Determiniamo le soluzioni delle due disequazioni del sistema, indicate con A e B: (A) x x > 0 se x < 1 _ x > (B) x x 10 0 se x _ x Tracciata la retta dei numeri reali, riortiamo le soluzioni di ciascuna disequazione arallelamente ad essa come nella tabella a lato. Gli intervalli dove tutte le disequazioni del sistema sono verificate sono indicati dalla linea rossa. Nel nostro caso, le soluzioni del sistema sono quindi: x _ x > < x 0 A x : 6x x > 0 B La rima disequazione del sistema eá frazionaria di dominio D ˆ R f0g. In tale insieme il denominatore della frazione eá semre ositivo quindi le sue soluzioni sono quelle che rendono negativo o nullo il numeratore; si ha cosõá che x 0 se x 0 cioe se x ^ x 6ˆ 0 x La seconda disequazione eá verificata se 1 < x <. Dall'analisi della tabella a lato, deduciamo che l'insieme delle soluzioni del sistema eá: 1 < x < ^ x 6ˆ 0. LE EQUAZIONI IRRAZIONALI Un'equazione irrazionale che contiene un solo radicale si uoá semre scrivere nella forma n Ax ˆ Bx Gli esercizi di questo aragrafo sono a ag. 4 Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA RIPASSO E INTEGRAZIONI

6 I casi iuá significativi sono quelli in cui n ˆ en ˆ. Per risolvere l'equazione Ax ˆ Bx si uoá rocedere in due modi: n elevare al quadrato entrambi i membri dell'equazione, risolvere quella ottenuta e rocedere oi alla verifica delle soluzioni n orre la condizione di equivalenza Bx 0, risolvere l'equazione Ax ˆ Bx Š e accettare solo le soluzioni che soddisfano la condizione di equivalenza. IL CASO n ˆ Per esemio risolviamo l'equazione: x ˆ x Isoliamo innanzi tutto il radicale scrivendo l'equazione nella forma x ˆ x. I metodo: rocediamo elevando al quadrato i due membri dell'equazione senza orci roblemi di equivalenza; questo significa che dovremo oi rocedere alla verifica delle soluzioni. 4x ˆ x 6x 9! x 10x 9 ˆ 0! x ˆ 9 _ x ˆ 1 Verifichiamo che i valori trovati siano anche soluzioni dell'equazione irrazionale: l l er x ˆ 9 otteniamo 9 ˆ 9 6 ˆ 9 l'equazione eá verificata er x ˆ 1otteniamo 1 ˆ 1 ˆ 1l'equazione non eá verificata Dunque S ˆf9g. II metodo: l'equazione eá equivalente al sistema x 0 4x ˆ x L'insieme di equivalenza eá x ; le soluzioni dell'equazione sono x ˆ 9 _ x ˆ 1; oicheâ solo la rima aartiene a tale insieme, S ˆf9g. Per risolvere l'equazione A x ˆ B x basta elevare al cubo entrambi i membri e risolvere l'equazione ottenuta. IL CASO n ˆ Per esemio risolviamo l'equazione: x ˆ x 7 Il radicale eá di indice disari; eleviamo al cubo i due membri e risolviamo l'equazione ottenuta: x ˆ x 7! x 4x 7x 19 ˆ 0!! x 11 4x 0x 9 ˆ 0 Poiche il secondo fattore ha un discriminante negativo, la sola soluzione reale eá x ˆ RIPASSO E INTEGRAZIONI Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA

7 4. LE DISEQUAZIONI IRRAZIONALI Come nel caso delle equazioni, er risolvere una disequazione irrazionale si rende necessario elevare i suoi membri ad una otenza che consenta l'eliminazione del simbolo di radice; dovremo allora comortarci in modo diverso a seconda che n sia ari oure disari. n Per risolvere la disequazione f x > < g x basta elevare alla terza otenza entrambi i membri e risolvere la disequazione algebrica ottenuta. Gli esercizi di questo aragrafo sono a ag. LE REGOLE n Per risolvere la disequazione f x < g x si deve risolvere il sistema >< f x 0 g x > 0 >: f x < g x Š n Per risolvere la disequazione f x > g x si devono risolvere i due sistemi ( ( f x 0 g x 0 _ g x < 0 f x > g x Š La soluzione della disequazione eá l'unione degli insiemi delle soluzioni di ciascuno dei due sistemi. ESEMPI 1. x > x 6x 10 Per riconoscerne il tio, riscriviamo la disequazione nella forma f x < g x : Essa eá quindi equivalente al sistema >< x 6x 10 0 esistenza del radicale A x > 0 il membro deve essere ositivo B >: x 6x 10 < x verifica della disuguaglianza C x 6x 10 < x x R >< x > >: x < _ x >. L'insieme delle soluzioni della disequazione si deduce immediatamente dalla tabella, ed eá x >. x 1 > x 1 La disequazione ha la forma x 1 0 x 1 0 _ x 1 < 0 x 1 > x 1 f x > g x. Essa eá quindi equivalente ai due sistemi Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA RIPASSO E INTEGRAZIONI 7

8 >< x 1 >: x < 1 _ >< x 1 >: 0 < x < 4 l Disoniamo i dati del rimo sistema in tabella! S1 : 1 x < 1 l Disoniamo i dati del secondo sistema in tabella! S : 1 x < 4 Le soluzioni della disequazione sono date dall'unione dei due insiemi (tabella a lato): S ˆ S 1 [ S : 1 x < 4.. x 1 > L'indice del radicale eá disari, quindi er risolvere la disequazione basta elevare entrambi i membri al cubo. Elevando al cubo otteniamo la disequazione equivalente x 1 >! x > 9! x < _ x >. LE EQUAZIONI E LE DISEQUAZIONI CON I MODULI Il modulo alicato a un'esressione A x eá un oeratore matematico che sostanzialmente serve a mantenere non negativo il valore di Ax ; si one cioeá: ( jax j ˆ Ax er tutti gli x che rendono ositiva Ax A x er tutti gli x che rendono negativa Ax Gli esercizi di questo aragrafo sono a ag. Per l'uso che ne faremo in seguito, ci interessano in articolare le equazioni e le disequazioni che si resentano nella forma: Ax ˆ k A x > k A x < k con k numero reale ositivo L'equazione Ax ˆ k eá equivalente alle due equazioni: Ax ˆ k _ Ax ˆ k L'insieme delle soluzioni eá quindi quello formato dalle soluzioni di entrambe le equazioni. LE EQUAZIONI RIPASSO E INTEGRAZIONI Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA

9 Per esemio: l l'equazione jx 4xj ˆ 1 eá equivalente a: x 4x ˆ 1 _ x 4x ˆ 1 cioeá: x 4x 1 ˆ 0 _ x 4x 1 ˆ 0 7 Risolvendo la rima troviamo: x ˆ Risolvendo la seconda troviamo: x ˆ 1 1 ˆ 1 7 L'insieme delle soluzioni eá quindi S ˆ, 1, 1. n La disequazione Ax > k eá equivalente alle due disequazioni: Ax < k _ Ax > k L'insieme delle soluzioni eá quindi quello formato dall'unione delle soluzioni di entrambe le disequazioni. n La disequazione Ax < k eá equivalente al sistema: Ax > k Ax < k LE DISEQUAZIONI Vediamo alcuni esemi. l La disequazione jx 7j > eá equivalente alle due disequazioni: x 7 < _ x 7 > La rima disequazione eá verificata se x < _ x >. 6 La seconda eá verificata se < x < 6. L'insieme delle soluzioni eá quindi S : 6 x < _ < x < 6 _ x > l La disequazione jx 6xj < 1eÁ equivalente al sistema >< x < 1 x 6x > 1 _ x > 1! x 6x < 1 14 < x < 14 >: ed il suo insieme delle soluzioni eá S : 14 < x < 1 _ 1 < x < 14 Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA RIPASSO E INTEGRAZIONI 9

10 6. LE TRASFORMAZIONI NEL PIANO CARTESIANO Per l'uso che ne faremo in seguito, rivediamo le equazioni delle rinciali isometrie che sono giaá state studiate nel biennio. Ricordiamo che si dice isometria la trasformazione che ad ogni coia di unti A e B di un iano associa altri due unti A 0 e B 0 dello stesso iano in modo che il segmento A 0 B 0 sia congruente al segmento AB. Le isometrie sono quindi quelle trasformazioni che, conservando le distanze, trasformano una figura geometrica in un'altra ad essa congruente. Ricordiamo oi che si dicono uniti i unti che hanno er trasformati se stessi. La traslazione Ricordiamo che un vettore eá un segmento orientato del iano; esso eá quindi caratterizzato da una direzione, un verso e un modulo. La traslazione di vettore ~v eá la trasformazione geometrica che ad ogni unto P di un iano associa il unto P 0 che si ottiene alicando ~v a P (figura 4). Lavorando nel iano cartesiano eá utile assegnare tale vettore mediante le sue comonenti lungo gli assi cartesiani; esse sono in sostanza le misure dei segmenti orientati che si ottengono roiettando ~v sull'asse x e sull'asse y (figura a). Indicando risettivamente con a e b queste misure, er indicare il vettore ~v si scrive ~v a, b Per esemio, il vettore ~v, 4 ha come comonenti un segmento di misura lungo l'asse x e un segmento di misura 4 lungo l'asse y ed eá raresentato in figura b. In un sistema di riferimento cartesiano ortogonale le equazioni della traslazione di vettore ~v a, b sono le seguenti x 0 ˆ x a y 0 ˆ y b Gli esercizi di questo aragrafo sono a ag. 9 Figura 4 Figura a. In tale trasformazione: n se dobbiamo trovare le coordinate del unto P 0 che corrisonde ad un unto Px, y nella traslazione di vettore ~v a, b dobbiamo sostituire al osto di x e y le esressioni x a e y b x! x a y! y b n se dobbiamo trovare l'equazione della curva 0 che corrisonde ad una curva che ha una certa equazione, dobbiamo sostituire al osto di x e y le esressioni x a e y b x! x a y! y b b. Per esemio, la traslazione di vettore ~v 1,1 ha equazioni x 0 ˆ x 1 y 0 ˆ y 1 In essa: 10 RIPASSO E INTEGRAZIONI Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA

11 l il segmento di vertici A 1,0 eb, ha come corrisondente il segmento A 0 B 0 di vertici: A 0 : 1 1 ˆ ˆ 1! A 0 0, 1 B 0 : 1 ˆ 1 ˆ 4! B 0, 4 Figura 6 l la retta di equazione y ˆ x 1ha come corrisondente quella la cui equazione si ottiene alicando le sostituzioni x! x 1 e y! y 1 cioeá: y 1 ˆ x 1 1! y ˆ x (figura 6) La simmetria risetto all'asse x Dato un unto P x, y, consideriamo il suo simmetrico P 0 x 0, y 0 risetto all'asse delle ascisse (figura 7). P e P 0 hanno la stessa ascissa e, giacendo uno nel semiiano ositivo delle ordinate e l'altro in quello negativo, hanno ordinate ooste. Le equazioni di tale trasformazione sono dunque x 0 ˆ x y 0 ˆ y Un unto P 0 eá simmetrico di un unto P risetto a una retta r se r eáasse del segmento PP 0, vale a dire che PP 0 eá erendicolare a r e H, unto di intersezione di r con PP 0,eÁ il unto medio di PP 0. Ad esemio, il corrisondente del unto P, 1 in tale simmetria eá il unto P 0, 1. Per trovare l'equazione della curva simmetrica di una data dobbiamo ricavare le esressioni di x ediy x ˆ x 0 x! x e oerare le sostituzioni y ˆ y 0 y! y Figura 7 Per esemio, la simmetrica della arabola di equazione y ˆ x x 4ha equazione (figura ) y ˆ x x 4 cioe y ˆ x x 4 In ratica, data una funzione di equazione y ˆ f x, oicheâ nella simmetria considerata x non varia e y cambia segno, l'equazione della sua trasformata eá y ˆ f x cioeá y ˆ f x Figura Tenendo oi resente che: ossiamo affermare che: jf x jˆ ( f x f x quando f x 0 quando f x < 0 n il grafico della funzione f x si ottiene da quello di f x er simmetria risetto all'asse x; n il grafico di jf x j si ottiene da quello di f x mantenendo le arti ositive del grafico e considerando le simmetriche risetto all'asse x delle arti negative. Per esemio il grafico di y ˆ jx 1j si ottiene disegnando la y ˆ x 1e ribaltando risetto all'asse x le arti negative (figura 9 di agina seguente). IL GRAFICODI f x EDIjf x j Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA RIPASSO E INTEGRAZIONI 11

12 Figura 9 La simmetria risetto all'asse y In modo del tutto analogo, la simmetria che ha er asse quello delle ordinate ha equazioni x 0 ˆ x y 0 ˆ y Figura 10 Infatti, due unti che si corrisondono in tale simmetria hanno la stessa ordinata ed ascisse ooste (figura 10). Sono ad esemio simmetriche le coie di unti P, e P 0,, Q,1 e Q 0,1 Anche in questo caso, er trovare l'equazione della curva simmetrica di una curva data risetto all'asse delle ordinate dobbiamo ricavare le esressioni di x ediy x ˆ x 0 x! x ed oerare le sostituzioni y ˆ y 0 y! y Figura 11 In articolare, la simmetrica risetto all'asse delle ordinate della funzione y ˆ f x ha equazione y ˆ f x. Ad esemio, la funzione di equazione y ˆ x 1si trasforma nella curva di equazione y ˆ x 1cioe y ˆ x 1 In figura 11 i grafici delle due funzioni. La simmetria risetto all'origine Due unti simmetrici risetto all'origine degli assi hanno sia le ascisse che le ordinate ooste (figura 1). Le equazioni della trasformazione sono dunque Figura 1 x 0 ˆ x y 0 ˆ y Ad esemio, sono simmetrici risetto all'origine i unti P 4, e P 0 4,, Q 1, e Q 0 1, Oerando come nei casi recedenti, er trovare l'equazione di una curva che sia simmetrica di una data risetto all'origine dobbiamo oerare sulla sua equazione con le sostituzioni x! x y! y 1 RIPASSO E INTEGRAZIONI Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA

13 Ad esemio, data la funzione di equazione y ˆ x 4x, la sua simmetrica risetto ad O ha equazione (figura 1) y ˆ x 4 x cioe y ˆ x 4x Figura 1 La simmetria risetto alla bisettrice y ˆ x Sia Pa, b un unto del iano; il suo simmetrico risetto alla bisettrice del rimo e terzo quadrante eá il unto P 0 in figura 14. Le rette arallele agli assi cartesiani condotte da P edap 0 individuano un quadrato e si uoá dire che: l l il vertice S ha la stessa ordinata b del unto P e oicheâ aartiene alla bisettrice, anche l'ascissa eá uguale a b : Sb, b di conseguenza anche l'ascissa del unto P 0 eá b l il vertice R ha la stessa ascissa a del unto P e oicheâ aartiene alla bisettrice, anche l'ordinata eá uguale ad a : Ra, a l di conseguenza anche l'ordinata del unto P 0 eá a. Figura 14 In definitiva P 0 b, a. Allora due unti che sono simmetrici risetto alla bisettrice del rimo e terzo quadrante si scambiano i valori delle ascisse con quelli delle ordinate. Per esemio: l il simmetrico di A, eá il unto A 0,, l il simmetrico di B, eá il unto B 0, (figura 1a). Le equazioni di questa trasformazione sono allora x 0 ˆ y y 0 ˆ x e le sostituzioni da oerare sull'equazione di una curva sono dunque x! y y! x Per esemio, la simmetrica della retta r di equazione y ˆ 7x 4eÁ la retta s che si ottiene scambiando la variabile x con la variabile y cioeá la retta di equazione x ˆ 7y 4; in figura 1b i loro grafici. Figura 1 a. b. Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA RIPASSO E INTEGRAZIONI 1

14 Riasso e integrazioni LE EQUAZIONI RAZIONALI la teoria eá a ag. 1 Comrensione 1 Quale tra le seguenti rocedure si deve seguire er risolvere l'equazione x x ˆ x? a. Scomorre i due olinomi al rimo e al secondo membro e annullare ciascuno dei fattori ottenuti: x x 1 ˆ 4x 1! x ˆ 0 _ x 1 ˆ 0 _ 4x 1 ˆ 0 b. Trasortare tutti i termini al rimo membro, scomorre il olinomio ottenuto e annullare ciascuno dei fattori: x x x ˆ 0! x 1 x x ˆ 0! x 1 ˆ 0 _ x x ˆ 0 c. Lasciare al secondo membro il termine noto, scomorre il olinomio al rimo membro e orre ogni fattore ottenuto uguale al termine noto: x x x ˆ! x x x ˆ! x ˆ _ x x ˆ Senza risolverle, ma solo guardando il segno dei coefficienti, indica quali tra le seguenti equazioni hanno soluzioni in R : a. x 4 1 ˆ 0 b. x ˆ 0 c. 7x 1 ˆ 0 SI SI SI NO NO NO d. 1 x4 4 ˆ 0 SI NO e. 4 x4 1 ˆ 0 SI NO Le soluzioni dell'equazione Ax ˆ 0 sono i valori reali di x er i quali: Bx a. Ax ˆ 0 _ Bx ˆ 0 b. Ax ˆ 0 ^ Bx ˆ 0 c. Ax ˆ 0 ^ B x 6ˆ 0 d. Ax ˆ 0 _ B x 6ˆ 0 Alicazione Leequazionidisecondogrado Risolvi le seguenti equazioni intere. 4 x x x ˆ 0 S ˆ f0, gš 1 x 1 1 x ˆ 1 x 1 6 x 1 x ˆ x x 6 6 S ˆ, x 1 S ˆ 1Š 14 RIPASSO E INTEGRAZIONI Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA

15 7 1 x x ˆ x S ˆ 0, x x 4x ˆ x 6x 9 S ˆ f1gš 9 x x ˆ x 1x 6 7 x 1 S ˆ fgš x 1 x ˆ 0 x x 1 x S ˆ x x ˆ x 1 1 x x 6 x 1 xx 1 ˆ x 6 14 x x 1 x ˆ 6 1 xx S ˆ 1, 1 S ˆ 1Š ˆ 1 x S ˆ f0, 4gŠ S ˆ 0, 1 ˆ x 1 1 S ˆ f0, 4gŠ 1 16 x 1 x 7 ˆ 1 x x S ˆ, xx x 1 ˆ x S ˆ 16, 1 x 1 1 x 1 11 ˆ x 1 6 x 1 S ˆ, 1 19 x x 6 ˆ 0 S ˆ, 0 x x ˆ 0 S ˆ, 1 x x ˆ 0 S ˆ, Risolvi le seguenti equazioni frazionarie. ESERCIZIO GUIDA 1 x x x ˆ 0 Per le condizioni di esistenza dobbiamo orre: x 6ˆ 0 e x 6ˆ Scriviamo l'equazione in forma normale: x x ˆ 0. Ordiniamo i termini e alichiamo la formula risolutiva: x x ˆ 0 x ˆ 6 ˆ 1 6 Entrambe le soluzioni sono accettabili, quindi S ˆ 1, ˆ 1. x x 1 ˆ x 1 S ˆ 1Š Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA RIPASSO E INTEGRAZIONI 1

16 4 x x ˆ x 1 S ˆ 0, x x 1 x x 4 ˆ 0 S ˆ f0, 1gŠ x 1 x x x x ˆ 1 x 1 S ˆ 7 x ˆ x x x x 1 x 1 ˆ 1 x x 1 x x x x ˆ 1 x 1 x x x x 1 x x ˆ 1 x 9 x 1 x x ˆ x x 1 1 x 4 x 1 ˆ x x x x 1 ˆ x x 4 4 x 1 x 1 1 x 1 x 1 ˆ x x 1 4x 1 x S ˆ f1, gš S ˆ fgš S ˆ f1gš S ˆ 1 S ˆ 1, S ˆ 1Š S ˆ 9, 1 S ˆ 1Š Leequazionidigradosueriorealsecondo Risolvi le seguenti equazioni scomonendo in fattori e alicando la legge di annullamento del rodotto. x x x 1 ˆ 0 S ˆ f1gš 6 x 7x 7x ˆ 0 S ˆ 1,, 1 7 x 4 x x ˆ 0 S ˆ 1, 1, x x x ˆ 0 S ˆ, 1, 1 9 x 4 x 7x x 6 ˆ 0 S ˆ f1,, gš 40 x 7x 9 ˆ 0 S ˆ 1,, 41 x 17x x 1 ˆ 0 S ˆ,, 4 6x 7x 4 6x 6x 1 ˆ 0 S ˆ 1, 1, 1 4 x 4 x 4x 0x 16 ˆ 0 S ˆ, 16 RIPASSO E INTEGRAZIONI Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA

17 44 x x 1x 1 ˆ 0 S ˆ 1, 4 x x 16x 16 ˆ 0 S ˆ f4, 1gŠ 46 4x 1x 1x 4 ˆ 0 S ˆ 4, 1 4,1 47 x 4 x x 1 ˆ 0 S ˆ, 1, 1,1 4 4x 4 17x 17x 4 ˆ 0 S ˆ 1, 1 4,1,4 Esercizi riassuntivi sulle equazioni 49 0 x x x 7x 7 ˆ x 4 4 x S ˆ fgš x 1 : x x : x ˆ 0 9 S ˆ f 6gŠ 1 1 x x ˆ 1 x x x x 6 x 1 x ˆ x x x x 1 x x x 4 x 1 ˆ x x x S ˆ 1 S ˆ 1Š x 10 x ˆ 0 S ˆ 1Š S ˆ f 1, 0gŠ x 1 x 7 4x 9 x x ˆ 0 S ˆ 4, 1 6 x 1 x 1 ˆ x x x S ˆ x 7 x x x x 1 ˆ x 1 x x x 1 S ˆ f 1gŠ x x 1 x ˆ 4 x x x ˆ x 1 x 4 x : x 4x x 9 S ˆ f gš S ˆ 60 1 x ˆ S ˆ 1 x 61 1 x ˆ S ˆ 4 1 x 4 6 x 6 x x ˆ x x x 1 x 1 ˆx 7x x x 1 x x S ˆ f1, gš S ˆ Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA RIPASSO E INTEGRAZIONI 17

18 64 x ˆ x S ˆ 1Š x 6 x ˆ x S ˆ, 4 66 x x 1 x 4 ˆ S ˆ 1, x 9 x 1 x 4 x ˆ 1 S ˆ, 1 x 6 x x 1 x 9 x x x x 9 ˆ x x x 9 1 S ˆ, 1 69 x 1 ˆ x 1 x 4 S ˆ 1, 9 LE DISEQUAZIONI la teoria eá a ag. Comrensione 70 Stabilisci quali fra le seguenti coie di disequazioni sono equivalenti: a. x 1 > x x x > 1 b. x 4 > 0 4 x < 0 c. x x < 6x 9 x x < x d. x x x > 0 x x > 0 e. x 4x 1 x < 0 x 4x 1 < 0 f. x 4 x > 0 4 x x < 0 71 Il trinomio ax bx c non si annulla mai in R. Si uoá dire che la disequazione: a. ax bx c > 0 non eá mai verificata a R b. ax bx c < 0 ha soluzione R se a < 0 c. ax bx c > 0 non eá mai verificata se a > 0 d. ax bx c > 0 ha soluzione R se a < 0 V V V V F F F F 7 Considera il trinomio ax bx c e indica con x 1 e x i valori reali er cui esso si annulla. Indica se, al variare di x in R, i disegni di seguito riortati raresentano una corretta valutazione del suo segno. a. R se a < 0 b. R a c. R se a > 0 d. R se a < 0 e. R se a < 0 e se il trinomio non si annulla mai 1 RIPASSO E INTEGRAZIONI Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA

19 7 La disequazione Ax 0 eá verificata se x ; la disequazione Bx 0 eá verificata se x 0 _ x 1; la disequazione Ax 0 ha come soluzioni gli intervalli: Bx a. x 0 _ 1 x b. x < 0 _ 1 < x c. x _ 0 < x < 1 _ x d. 0 < x < 1 74 Siega ercheâ le seguenti affermazioni sono vere: x a. x > 0 eá equivalente a x > 0 b. c. d. < 0 eá equivalente a x < 0 x x x 1 x 1 x < 0 eá equivalente a x x < 0 x 6ˆ 1 x 4 > 0 eá equivalente a x 4 < 0 x 6ˆ 0 x 7 La disequazione A x 0eÁ verificata se x 1 _ x ; la disequazione B x < 0eÁ verificata se A x 0 x < 0 _ x >. Il sistema eá verificato se: B x < 0 a. x b. x < 0 _ x c. x < 0 _ x > d. x < 0 Alicazione Le disequazioni di secondo grado 76 ESERCIZIO GUIDA x 4x 7 < 0 La arabola associata alla disequazione volge la concavitaá verso l'alto e incontra l'asse x nei unti le cui ascisse sono soluzioni dell'equazione x 4x 7 ˆ 0 cioeá in x ˆ 7 _ x ˆ 1 La osizione della arabola risetto all'asse x eá raresentata in figura e l'insieme delle soluzioni eá ercioá: 7 < x < 1 77 x 0 x _ x Š 7 x 4 < 0 < x < Š 79 16x 40x > 0 x 6ˆ 4 0 x 7x > 0 x < 0 _ x > 7Š 1 x x < 0 x < 0 _ x > Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA RIPASSO E INTEGRAZIONI 19

20 x x 0 x _ x 0 1 7x < 0 S ˆ 1Š 4 x 1 x < 0 < x < 1 x x > 0 0 < x < Š 6 4x 1 7 x 1 4 < 0 S ˆ RŠ > x 4 x x x 1 < 1x 7 0 < x < Š 1 < x < x 1 x x 6 10 < 0 x < 1 _ x > 6 90 x x 1 > 0 x < _ x > 4 91 x x 4 x x 7 > 0 x < 10 _ x > 9 x < 9 x 9 < x < 9 4x 1 x < 7 x < x < x x 1 x x > 6 x 1 x < 6 _ x > 6Š 9 x x < 7x S ˆ 1Š Le disequazioni di grado sueriore al secondo 96 ESERCIZIO GUIDA x x 1x > 0 Scomoniamo in fattori il olinomio E x al rimo membro ottenendo la disequazione equivalente: x x x 1 > 0 Studiamo il segno di ogni fattore del rodotto: x > 0 se x > 0 x x 1 > 0 se x < _ x > Riortiamo sulla retta dei numeri reali le variazioni di segno di ciascuno dei fattori come in figura; dall'analisi di tale tabella risulta che il olinomio dato eá ositivo se < x < 0 _ x >. 0 RIPASSO E INTEGRAZIONI Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA

21 97 x x x < 0 x < 0 _ < x < 1 9 x x 4x 7 < 0 x < _ 1 < x < x 4x x 0 x _ x x 1x 6x 1 > 0 x > x 4x 9x x 16 0 x 4 _ 1 x 4 _ 4 x 10 x 7x 7x 0 x 1 _ x 1 10 x x x < 0 x < 1 _ 0 < x < x 4 17x 17x x 1 4 _ 1 x 4 10 x 4 x x > 0 x < _ 1 < x < 1 _ x > 1 Le disequazioni frazionarie 106 ESERCIZIO GUIDA 6x 14 x 1 Poiche deve essere x 1 6ˆ 0, cioeá x 6ˆ 1, il dominio della disequazione eá D ˆ R 1 Svolgendo i calcoli si ottiene la disequazione: 6x 14 10x x 1 0! x 4 x 1 0 Per determinare il segno della frazione e stabilire quando essa eá ositiva o nulla, studiamo come variano il segno del numeratore e quello del denominatore, e costruiamo oi la relativa tabella. x 4 0 se x 4 x 1 > 0 se x > 1 La disequazione eá verificata se: 1 < x x x 6 < < x < 6Š 10 x 9 < x x x 4 x < x < _ x > Š x 1 x x > 0 x < 1 _ x > Š x 1 x x 0 x < _ 1 x < 4Š Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA RIPASSO E INTEGRAZIONI 1

22 x x > 4x x x 6 x 1 x 1 9 > x x x 1 < x < _ x > 4Š x < 1 _ 7 < x < 7 x 9 x 9 x > 0 9 < x < 6 _ 0 < x < 9 6 Š 114 x x 1 x < x 11 < x < 11 x 10 x 4 4x 17 x 7 x < _ x < 4Š x x < x 7x x 4 1 x x 4x x x 7x 1 x 1 10 x x < x x x 1 x 1 x R f 1, 1gŠ 1 x < _ x > 4 < x < 1 _ 1 < x < 1 " r < x r # _ < x < I sistemi di disequazioni 10 ESERCIZIO GUIDA < x 4 0 : 1 x < x 7 < x 4 0 : 7 x < 7 Determiniamo le soluzioni di ogni disequazione: x 4 0 se x (A) 7 x < 7 se x < (B) Dall'analisi della tabella ricaviamo che la soluzione del sistema eá l'intervallo x x x > 0 x x 40 < 0 < x 1 x 6 < x : 4x 9x < 0 ( x 4 x < 17 6 x 4 x 1 14 > 0 < x < 0 _ < x < Š 1 < x < 4 1 < x < Š RIPASSO E INTEGRAZIONI Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA

23 < x x 1 > 6 x : 4 x x 1 > x x x 1 0 x 7x > 0 < 1 x 1 x : x 1 > 0 >< x 4x > x 1 >: x > 1 4 x 1 >< x 1 x 1 > >: x 1 x > 1 >< x x 1 < 0 >: x x x x 4 x > 0 x x 1 x < x 7 1 >< x > 4x >: x x > x x < x x > 0 x 6x 7 < 0 : x > 0 >< x 0 x 14 > 0 >: x 6x 9 0 < x x > 0 x > 0 : x 9 < 0 >< x x 6 > 0 x > x 1 >: x < x 1 x x 0 >< x < 0 >: x 4 x 9 0 x < _ 4 < x < 9Š S ˆ RŠ 1 < x < _ x 4Š x < 0 _ x > 6Š x < 4 _ x > 0 ^ x 6ˆ 1Š 0 x < 1 < x < 1 4 < x < 4 _ 1 < x < _ x > 79 x < 1Š 14 < x Š < x < Š 1 < x < _ < x < 4Š S ˆ 0 x 1 Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA RIPASSO E INTEGRAZIONI

24 LE EQUAZIONI IRRAZIONALI la teoria eá a ag. RICORDA n Per risolvere l'equazione Ax ˆ Bx si uoá rocedere in due modi: Bx 0 l I modo: risolvendo il sistema Ax ˆ Bx Š l II modo: risolvendo l'equazione Ax ˆ Bx Š e rocedendo alla verifica delle soluzioni. n Per risolvere l'equazione Ax ˆ Bx si risolve l'equazione equivalente: Ax ˆ Bx Š Comrensione 17 L'equazione Ax Š nˆ Bx Š n, con n ari, eá equivalente in R: a. all'equazione Ax ˆ Bx b. all'equazione Ax ˆ Bx c. alle due equazioni Ax ˆ Bx e Ax ˆ Bx 1 L'equazione Ax Š nˆ Bx Š n, con n disari, eá equivalente in R: a. all'equazione Ax ˆ Bx b. all'equazione Ax ˆ Bx c. alle due equazioni Ax ˆ Bx e Ax ˆ Bx 19 L'equazione Ax ˆ Bx Š ha soluzione k; affincheâ k sia anche una radice dell'equazione Ax ˆ Bx eá sufficiente che sia: a. Bk 0 c. Ak 0 ^ Bk 0 b. Ak 0 d. Ak 0 _ Bk 0 Alicazione Risolvi in R le seguenti equazioni irrazionali rocedendo alla verifica delle soluzioni. 6x 1 ˆ x x 4x ˆ x 1 4x 7x ˆ x x x 1 ˆ x 1 S ˆf4gŠ S ˆ 1Š S ˆf1, gš S ˆfgŠ Risolvi le seguenti equazioni irrazionali imostando il sistema equivalente. x 4 ˆ x S ˆ 1 6 x x ˆ x 1 S ˆ 4 x 1 ˆ x S ˆ fgš ˆ x S ˆ fgš 4 RIPASSO E INTEGRAZIONI Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA

25 x 1 ˆ x 9 S ˆ f4gš x x ˆ x S ˆf0, 1gŠ Risolvi in R le seguenti equazioni irrazionali con il metodo che ritieni iuáoortuno. 10 x 1 ˆ x S ˆ x x 6 ˆ 1 x 1 S ˆ f gš 1 x x 4 ˆ x 1 S ˆ 1Š 1 x x 6 ˆ x S ˆf 1gŠ 14 x x 9 ˆ 1 S ˆ 1Š 1 16 x 1 1 ˆ x x 9 x 17 x x 7x S ˆ 11 ˆ 1 S ˆ f0gš ˆ x 1 x 1 x 4 x 19 S ˆ fgš ˆ x S ˆ f7gš 1 x x ˆ 1 S ˆ ˆ 1 x 7 S ˆ fgš 161 x x 4 ˆ 1 x S ˆ 1Š 16 x x 1 ˆ S ˆ 0, 16 9x 16 x ˆ x S ˆ f1gš 164 x 1 x ˆ 14 6 x x S ˆf4, g Š LE DISEQUAZIONI IRRAZIONALI la teoria eá a ag. 7 RICORDA n La disequazione f x n La disequazione f x < g x eá equivalente al sistema > g x eá equivalente ai sistemi >< f x 0 g x > 0 >: f x < g x Š f x 0 g x < 0 n La disequazione f x > g x eá equivalente alla disequazione f x > g x Š <-- _ <--- g x 0 f x > g x Š Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA RIPASSO E INTEGRAZIONI

26 Comrensione 16 Se una disequazione irrazionale eá data nella forma f x > g x, quale fra i seguenti sistemi eá ad essa equivalente? f x 0 g x 0 a. _ g x < 0 f x > g x Š f x 0 b. _ g x 0 >< f x 0 c. g x 0 >: f x > g x Š f x < 0 f x > g x Š 166 Sia S l'insieme delle soluzioni della disequazione Ax > Bx e sia P l'insieme delle soluzioni della disequazione Ax > Bx Š ; quale delle seguenti relazioni eá corretta? a. S ˆ P b. S P c. P S d. S \ P ˆ La disequazione A x Š > B x ha come insieme delle soluzioni un insieme K; la disequazione B x < A x ha come insieme delle soluzioni un insieme H. Si uoá dire che: a. H K b. K H c. H ˆ K d. H \ K ˆ 1 Alicazione Risolvi algebricamente le seguenti disequazioni irrazionali con radicali cubici. 16 ESERCIZIO GUIDA 169 x x x x < x x x 1 17 x x 1 x 17 x > x 6x 174 x > x 9 Trattandosi di un radicale di indice disari, si uoá elevare al cubo e risolvere la disequazione che si ottiene: x > x 9! x 9x 7x 7 > x 9 9x 7x 1 > x ˆ ˆ La disequazione eá verificata se: x < _ x > 1. x 1 x 1Š x < 4 1 x S ˆ RŠ x < 1 _ 1 < x < x 10x x 1 x 6 x 1Š 1 6 RIPASSO E INTEGRAZIONI Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA

27 Risolvi algebricamente le seguenti disequazioni irrazionali con radicali quadratici. 17 ESERCIZIO GUIDA 176 x < 1 4 < x Š 177 x x 1 17 ESERCIZIO GUIDA x < 10x 6 10 x > x x 11 7x 1 < x 1 7 x x 1 4 x > x x > x 1 9 x x x 10 x > Š S ˆ 1Š x < 6 49 x 4Š 4 x < 4 x < x 7 S ˆ 1Š > x x _ x > Š 17 x x 1 < < x < x x x > 0 x 1Š 19 x 4x < x 1 L'indice della radice eá ari e la disequazione ha la forma f x < g x. Essa eá quindi equivalente al sistema: >< x 4x 0 esistenza del radicale x 1 > 0 il secondo membro deve essere ositivo >: x 4x < x 1 verifica della disuguaglianza 1 x Š x 1 < x 4x Puoi riscrivere la disequazione nella forma x 4x > x 1 Essa eá del tio f x > g x ed eá quindi equivalente ai due sistemi x 4x 0 x 1 0 _ x 1 < 0 x 4x > x 1 Risolvendo ciascuno di essi e considerando l'unione delle loro soluzioni trovi quella della disequazione. x 0Š r 4x x > x < Š Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA RIPASSO E INTEGRAZIONI 7

28 190 x 1 x x > S ˆ 1Š 191 x 10 > x x > Š 19 r x 9 < x < x 1 _ x x 1 > 194 x < 16x x 19 x < 9 4 _ x > x < Š x x 1 < x x > 1Š LE EQUAZIONI E LE DISEQUAZIONI CON I MODULI la teoria eá a ag. RICORDA n L'equazione jf x j ˆ k eá equivalente a f x ˆ k _ f x ˆk n La disequazione jf x j > k eá equivalente a f x < k _ f x > k n La disequazione jf x j < k eá equivalente al sistema f x > k f x < k Comrensione 196 L'equazione jx 1j ˆ eá equivalente a: a. x 1 ˆ b. x 1 ˆ c. x 1 ˆ _ x 1 ˆ d. eá imossibile 197 La disequazione jxj > ha soluzione: a. x > b. x < c. x > d. x < _ x > 19 La disequazione jxj < 1 ha soluzione: a. x < 1 b. x > 1 c. 1 < x < 1 d. x < 1 _ x > 1 Alicazione Risolvi le seguenti equazioni con i moduli. 199 ESERCIZIO GUIDA jx 1j ˆ L'equazione eá equivalente a x 1 ˆ _ x 1 ˆ Risolvendo le due equazioni otteniamo risettivamente x ˆ 4! equazione imossibile x ˆ! x ˆ L'insieme delle soluzioni eá quindi S ˆ,. RIPASSO E INTEGRAZIONI Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA

29 00 jx 4xj ˆ S ˆ f 1, gš 01 1 jx x 1j ˆ S ˆ 1,1 0 j4x 9j ˆ 0 S ˆ 6, 0 j4x x 1j ˆ 0 S ˆ 1Š 04 x j 4x 4j ˆ 10 S ˆ 1,1, j x 4x 1j ˆ x 1 S ˆ f1gš 06 4 ˆ jx xj S ˆ 1Š Risolvi le seguenti disequazioni con i moduli. 07 ESERCIZIO GUIDA jx x j 1 La disequazione uoá essere scritta nella forma 1 x x 1 ( :::::::::::::::::::: 1 che eá equivalente al sistema :::::::::::::::::::: 1 1 x Š 0 jx 7j > (Suggerimento: un modulo eá un numero semre ositivo) S ˆ RŠ h 09 jx 6j < 14 i < x < 4 10 x x 1 < 1 < x < 1Š 11 j x x j < 0 S ˆ 1Š 1 jx x 1j > 9 x < 4 _ x > 1 j4x x j > 7 x < 1 _ x > 7 14 jx 9x 1j > 1 x < _ 9 17 < x < 9 17 _ x > 7 LE TRASFORMAZIONI NEL PIANO CARTESIANO la teoria eá a ag. 10 Comrensione 1 Indica quali fra le seguenti sono le leggi della traslazione di vettore ~v 1, : x 0 ˆ x 1 x 0 ˆ x 1 x 0 ˆ x 1 a. b. c. d. y 0 ˆ y y 0 ˆ y y 0 ˆ y x 0 ˆ x 1 y 0 ˆ y Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA RIPASSO E INTEGRAZIONI 9

30 x 0 ˆ x 16 Le equazioni di una traslazione sono ; il vettore di traslazione eá: y 0 ˆ y a. ~v, b. ~v, c. ~v, d. ~v, 17 x 0 ˆ x 1 Una traslazione ha equazioni ; er trovare la retta r 0 y 0 ˆ y r : y ˆ 4x 1 si deve: che corrisonde alla retta a. sostituire x 1 al osto di x e y al osto di y b. sostituire x 1 al osto di x e y al osto di y c. sostituire 1 x al osto di x e y al osto di y 1 Nella simmetria risetto alla bisettrice del rimo e terzo quadrante, la retta di equazione x y 4 ˆ 0 ha er corrisondente: a. x y 4 ˆ 0 b. y x 4 ˆ 0 c. y x 4 ˆ 0 d. x y 4 ˆ 0 19 E' dato il unto A, 1 ; fra i seguenti unti: B, 1 C 1, D, 1 E 1, F, 1 individua qual eá: a. il simmetrico risetto all'asse x b. il simmetrico risetto all'asse y c. il simmetrico risetto all'origine. 0 Il simmetrico del unto P, : a. risetto all'asse x ha coordinate:,,, b. risetto all'asse y ha coordinate:,,, c. risetto all'origine ha coordinate:,,, d. risetto alla bisettrice y ˆ x ha coordinate:,,, 1 La retta di equazione y ˆ x 6 : a. ha come simmetrica risetto all'asse x quella di equazione: y ˆ x 6 y ˆ x 6 y ˆ x 6 b. ha come simmetrica risetto all'asse y quella di equazione: y ˆ x 6 y ˆ 1 x 6 y ˆ x 6 c. ha come simmetrica risetto all'origine quella di equazione: y ˆ x 6 y ˆ x 6 y ˆ x 6 Alicazione La traslazione ESERCIZIO GUIDA Al segmento di estremi A 9, e B, viene alicata una traslazione di vettore ~v 4,. Determina le coordinate dei nuovi estremi e verifica che la lunghezza del segmento resta invariata. x Le equazioni della traslazione sono 0 ˆ x 4 y 0 ˆ y I nuovi estremi del segmento hanno ertanto coordinate: 0 RIPASSO E INTEGRAZIONI Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA

31 l x 0 ˆ 9 4 y 0 ˆ A 0, 4 Il segmento iniziale ha lunghezza quello traslato eá lungo x 0 ˆ 4 l B 0 1, 7 y 0 ˆ q AB ˆ 9 ˆ 6 9 ˆ q A 0 B 0 ˆ ˆ 6 9 ˆ Nella traslazione, essendo una isometria, la lunghezza dei segmenti eá invariante. Calcola le coordinate dei unti P 0 corrisondenti dei unti P assegnati, in una traslazione di vettore ~v le cui comonenti sono indicate a fianco di ciascuno di essi: a. P 1, ~v 1, b. P, 1 ~v, 0 c. P, 4 ~v 1, d. P, 4 ~v 0, 7 4 Considera il segmento di estremi A, 4 e B 7,. Determina le coordinate del unto M 0 trasformato del unto medio M di AB nella traslazione di vettore ~v di comonenti e. M 0 1, Considera il triangolo di vertici A 1,, B, 1 e C, 1. Determina le coordinate dei vertici x 0 ˆ x del triangolo trasformato mediante la traslazione di equazioni. y 0 ˆ y 4 6 Il triangolo A 0 B 0 C 0 eá il trasformato del triangolo ABC di vertici A,, B 1,, C, nella traslazione di vettore ~v,. Trova i vertici di A 0 B 0 C 0 e le coordinate del suo baricentro. G 0 4, 7 Il unto P 0 ha coordinate, ed eá l'immagine del unto P in una traslazione di vettore ~v, 4. Calcola le coordinate di P. (Suggerimento: conosci x 0 e y 0, devi trovare x e y) Al segmento AB corrisonde, in una traslazione di vettore ~v,, il segmento A 0 B 0.SeA 0, e B 0 4,, quali sono le coordinate di A edib? A 0, 1, B 9, Š 9 Il triangolo di coordinate A 0 4, 4, B 0, 1, C 0, 1 eá il trasformato di un triangolo ABC in una traslazione di vettore ~v,. Determina le coordinate del triangolo ABC. A 1, 1, B 0, 6, C, 4 Š Date le funzioni di equazione assegnata scrivi quella delle loro trasformate nella traslazione di vettore indicato. 0 ESERCIZIO GUIDA y ˆ x ~v, Scriviamo le equazioni della traslazione x 0 ˆ x y 0 ˆ y da esse ricaviamo Dobbiamo quindi oerare nell'equazione iniziale con le sostituzioni x ˆ x 0 y ˆ y 0 x! x y! y Otteniamo cosõá l'equazione della curva trasformata: y ˆ x da cui y ˆ x 1 Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA RIPASSO E INTEGRAZIONI 1

32 1 y ˆ x ~v, y ˆ x 1Š y ˆ x 6 ~v, y ˆ x 9Š y ˆ x 4 ~v, y ˆ x 4Š 4 y ˆ x ~v 1, y ˆ x x 4 y ˆ 1 x ~v 4, y ˆ 1 x 4x 11 6 y ˆ x 4x ~v, 1 y ˆ x 7 y ˆ x ~v, 4 y ˆ x 1x 14 y ˆ 1 x x 4 ~v, 1 y ˆ 1 x x La simmetria risetto all'asse delle ascisse 9 Calcola le coordinate dei unti P 0 simmetrici risetto all'asse x dei unti P assegnati: P, 7 P, P,0 P 0, 4 40 Individua quali fra i seguenti unti sono simmetrici risetto all'asse x: A, 4 B 1, C 4,7 D, 4 E, 1 F 4, 7 1 G, H, 1 41 Dato il segmento di estremi A 1,, B, 6, trova le coordinate del simmetrico del suo unto medio M risetto all'asse delle ascisse. 9 4 Il triangolo ABC ha i vertici di coordinate A 1,, B,, C 0,. Determina le coordinate dei vertici del triangolo A 0 B 0 C 0 simmetrico di ABC risetto all'asse x; trova oi il erimetro e l'area dei due trian- goli e verifica che sono uguali. 4 Dato il triangolo di vertici A, 1, B 4, 4, C 1, 4, trova il suo simmetrico risetto all'asse delle ascisse e verifica che le aree dei due triangoli sono uguali. 44 Scrivi l'equazione delle curve simmetriche risetto all'asse x di quelle date: a. y ˆ 1 x y ˆ x y 4x 1 ˆ 0 y x ˆ 0 b. y ˆ 1 x x y ˆ 4 x y ˆ x 1 4 Ciascuno dei seguenti raresenta il grafico di una funzione y ˆ f x ; costruisci il grafico di y ˆjf x j. y ˆ x a. b. c. RIPASSO E INTEGRAZIONI Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA

33 d. e. f. La simmetria risetto all'asse delle ordinate 46 Calcola le coordinate dei unti P 0 simmetrici risetto all'asse y dei unti P assegnati: P 1,0 P 1, 4 7 P 7, 4 P 4, 47 Dato il triangolo di vertici A 0,, B 4, 1, C 0,, trova le coordinate dei vertici del suo simmetrico risetto all'asse y. Ci sono unti uniti? Quali sono? 4 Doo aver verificato che il quadrilatero di vertici A,, B,, C 0, 1, D, eá un arallelogramma, trova le coordinate dei vertici del suo simmetrico risetto all'asse y. Quali sono i unti uniti? 49 Per ognuna delle seguenti curve, determina l'equazione della simmetrica risetto all'asse delle ordinate e calcola le coordinate di eventuali unti uniti: a. y ˆ x 1 b. x y ˆ 0 c. x y ˆ 0 d. y ˆ 1 x e. y ˆ x 4x f. y ˆ x 6x g. x y x ˆ 0 h. y ˆ x 6x 0 Trova le equazioni delle simmetriche risetto all'asse y delle seguenti curve: a. y ˆ x x b. y ˆ x 1 x c. y ˆ x x 1 x d. y ˆ x 1 x La simmetria risetto all'origine degli assi 1 Calcola le coordinate dei unti P 0 simmetrici risetto all'origine degli assi dei unti P assegnati: 1 P, P, 1 P, P 4, 0 4 Un arallelogramma ha due vertici consecutivi di coordinate, 1 e 1, ed ha centro in O. Quali sono le coordinate degli altri vertici? Trova le equazioni delle curve simmetriche di quelle date risetto all'origine degli assi. Fra esse, ci sono delle curve unite (cioeá che hanno er trasformate se stesse) nella trasformazione? a. y ˆ x 4 b. x y 1 ˆ 0 c. x y ˆ 0 d. x y ˆ 0 e. x ˆ f. y ˆ 0 g. y ˆ x 4x h. x y ˆ 0 4 Individua fra le seguenti curve quali si corrisondono nella simmetria avente centro nell'origine: a. y ˆ x x y ˆ x x y ˆ x x b. y ˆ 1 x 1 x y ˆ 1 x 1 x y ˆ 1 x 1 x Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA RIPASSO E INTEGRAZIONI

34 La simmetria risetto alla bisettrice y ˆ x Scrivi l'equazione della retta simmetrica di quella di equazione 4x 7y ˆ 0 risetto alla retta y ˆ x. 7x 4y ˆ 0Š 6 Un triangolo isoscele ABC ha er asse di simmetria la retta y ˆ x. Un estremo della base eá il unto A 1, e il suo vertice C ha ascissa. Calcola le coordinate di B e C. B, 1, C, Š 7 Un quadrato con i lati aralleli agli assi cartesiani ha un vertice in P 1, ed ha come asse di simmetria la bisettrice del rimo e terzo quadrante; calcola le coordinate degli altri vertici. 1, 1 ;, 1 ;, Una retta ha equazione x y 1 ˆ 0; trova l'equazione della sua simmetrica risetto alla bisettrice y ˆ x e verifica che le due rette si intersecano sulla bisettrice. y x 1 ˆ 0; 1, 1 Š Risultati di alcuni esercizi. 1 b. a. no, b. si, c. si, d. si, e. no c. 70 a., b., f. 71 a. F, b. V, c. F, d. F 7 a. si, b. no, c. no, d. si, e. no 7 b. 7 c. 17 c. 1 a. 19 a. 16 a. 166 b. 167 c. 196 c. 197 d. 19 c. 1 b. 16 c. 17 b. 1 b. 19 a. F, b. D, c. B 0 a., b., c., d. 1 a., b., c. 4 RIPASSO E INTEGRAZIONI Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA