Stati Coerenti. Definizione di stato coerente Consideriamo un oscillatore 1-dimensionale descritto dalla hamiltoniana. p = i d.

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1 1 Stati Coerenti Definizione di stato coerente Consideriamo un oscillatore 1-dimensionale descritto dalla hamiltoniana H = 1 m p + 1 m ω x (1) Per semplicitá introduciamo gli operatori autoaggiunti adimensionali Q = ( ) 1 mω h x P = che, dalle relazioni di commutazione degli operatori x e p p = i d mω h dq () soddisfano le relazioni di commutazione [x, p] = i h (3) [Q, P ] = i (4) Definiamo gli operatori (non hermitiani) di creazione e distruzione a, a (a é l aggiunto di a): che soddisfano le relazioni di commutazione L eq.(1) puó essere scritta nella forma Cerchiamo gli autostati di a Eq.(8) ha come soluzione a = 1 (Q ip ) a = 1 (Q + ip ) (5) [a, a + ] = 1 (6) H = h ω ( (P + Q ) = h ω a a + 1 ) a ψ λ = 1 (Q + d dq ) ψ λ = λ ψ λ ψ λ L λ C (8) (7) ψ λ = N e λq Q / = N e λ r e i λ i Q e (Q λ r) / (9) dove λ = λ r + iλ i = λ e iθ e N é una costante di normalizazione. Tali stati sono chiamati stati coerenti e sono rappresentati da gaussiane centrate in Q = λ r a parte uno sfasamento dato da λ i. Non esistono autostati di a appartenti allo spazio di Hilbert delle funzioni a quadrato integrabile: infatti a ψ λ = 1 (Q d dq ) ψ λ = λ ψ λ N e λq+q / L (10)

2 Proprietá degli stati coerenti In seguito assumiamo che gli stati coerenti siano stati normalizzati, (ψ λ, ψ λ ) = 1. Ricordiamo che il valore medio di una osservabile A su uno stato non normalizzato é dato da < A >= Valore medio dell operatore posizione Q < Q >= (ψ λ, Qψ λ ) = (ψ λ, a + a (ψ, Aψ) (ψ, ψ) (11) ψ λ ) = λ + λ = λ r = λ cos θ (1) Valore medio dell operatore momento P < P >= (ψ λ, P ψ λ ) = (ψ λ, i a a ψ λ ) = i λ λ = λ i = λ sin θ (13) Valore quadratico medio dell operatore posizione Q < Q > = (ψ λ, Q ψ λ ) = (ψ λ, (a ) + a + a a + aa = (λ + λ ) + 1 = λ r ψ λ ) = λ + λλ + (λ ) + 1 (14) Valore quadratico medio dell operatore momento P < P > = (ψ λ, P ψ λ ) = (ψ λ, (a ) + a a a aa ψ λ ) = (λ λ ) + 1 = λ i (15) Relazione di indeterminazione Dall eqs.(14)-(1) si ottiene Q =< Q > < Q > = 1 (16) dall eqs.(15)-(13) si ottiene P =< P > < P > = 1 = Q (17) quindi Q P = 1 x p = h (18) Gli stati coerenti saturano le relazioni d indeterminazione di Heisenberg.

3 3 Valore medio dell energia < E >= (ψ λ, Hψ λ ) = (ψ λ, (a a + 1 ) ψ λ) = hω ( λ + 1 ) (19) Valore quadratico medio dell energia < E > = (ψ λ, H ψ λ ) = (ψ λ, (a aa a + a a ) ψ λ) ( = h ω λ 4 + λ + 1 ) 4 (0) dove si é usata l eq.(7) e l eq.(6). Quindi uno stato coerente non é autostato dell energia, come si puó anche dedurre dalla sua definizione come autostato dell operatore a. Siccome la hamiltoniana non commuta con l operatore distruzione ([H, a] = hωa 0) solo lo stato corrispondente all autovalore λ = 0 é simultaneamente autostato di H e a. Tuttavia notiamo che dall eq.(0)-(19) si ha E < E > = λ λ + 1/ λ 0 (1) cioé l incertezza relativa sull energia va a zero quando il valore dell energia media tende all infinito. Inoltre dall eq.(19) deduciamo che < E > di un oscillatore quantistico in uno stato coerente equivale, a meno dell energia di punto zero E 0 = hω/, all energia di un oscillatore classico di ampiezza A =< Q >= λ r e quantitá di moto mv =< P >= λ i, confronta con eqs.(14)-(15). Uno stato coerente non é autostato dell operatore paritá P. Questo é una immediata conseguenza del fatto che l operatore paritá non commuta con l operatore a. Si ha infatti P Q P = Q P P P = P P a P = a P a P = a () Costruzione di stati coerenti Un espressione molto utile di uno stato coerente puó essere data in termini dell azione dello operatore creazione a sullo stato ψ 0, autostato dell operatore distruzione a corrispondente all autovalore 0 e autostato della hamiltoniana corrispondente all autovalore minimo E 0 a ψ 0 = 0 H ψ 0 = E 0 ψ 0 (3) Assumeremo che lo stato fondamentale ψ 0 é normalizzato ψ 0 = (ψ 0, ψ 0 ) = 1. Dimostriamo infatti che ψ λ = N e λa ψ 0 (4) soddisfa l eq.(8). Si ha dove abbiamo usato l identitá (A, B operatori) aψ λ = N a e λa ψ 0 = [a, λa ] N e λa ψ 0 = λ ψ λ (5) [A, e B ] = [A, B] e B iff [[A, B], B] = 0 (6)

4 4 L eq.(6) si dimostra facilmente sviluppando in serie l operatore e B e B = k=o B k k! (7) Determiniamo la costante N normalizzando lo stato ψ λ 1 (ψ N λ, ψ λ ) = (e λa ψ 0, e λa ψ 0 ) = (ψ 0, e λ a e λa ψ 0 ) = e λ (ψ 0, e λa ψ 0 ) = e λ (e λ a ψ 0, ψ 0 ) = e λ (ψ 0, ψ 0 ) = e λ (8) Nel secondo rigo dell eq.(8) si é fatto uso della proprietá che a é l aggiunto di a e che, se ψ λ é autostato dell operatore a corripondente all autovalore λ, allora ψ λ é anche autostato di ogni funzione F (αa) dell operatore a corrispondente all autovalore F (αλ) (α C) come si puó facilmente dimostrare facendo uno sviluppo formale di F (αa) in potenze di αa. Nel terzo rigo si é fatto della proprietá: F (αa) ψ λ = F (αλ) ψ λ (9) e λa ψ 0 = ψ 0 (30) che segue dallo sviluppo dell esponenziale eq.(7) e dalla eq.(3). Si ha quindi dall eq.(8), scegliendo N reale, ψ λ = N e λ = 1 N = e λ / (31) Lo stesso risultato si puó ottenere usando nel secondo rigo dell eq.(8) la relazione valida solo se e A+B = e A e B e 1 [A,B] (3) [[A, B], A] = [[A, B], B] = 0 (33) Gli stati coerenti corrispondenti ad autovalori diversi non sono ortogonali (ψ λ, ψ µ ) = N λn µ (e λa ψ 0, e µa ψ 0 ) = (34) N λn µ (ψ 0, e λ a e µa ψ 0 ) = N λn µ e λ µ 0 Questo risultato non é sorprendente perché a non é un operatore autoaggiunto. Si ha (ψ λ, ψ µ ) = e λ µ λ µ 0 (35) NOTA - Un altra rappresentazione degli stati coerenti puó essere data in termine dell operatore T (λ) definito da T (λ) = e (λa λ a) (36) Usando l eqs.(3)-(30) si deduce immediamente che T (λ)ψ 0 ci da l espressione della ψ λ normalizzata se ψ O é normalizzata. Infatti T (λ) essendo per definizione l esponenziale di un operatore antihermitiano é un operatore unitario (T = T 1 ) e quindi conserva la norma dei vettori. Si ha la proprietá T (λ) a T (λ) = a + λ [a, T (λ)] = λ T (λ) (37)

5 5 che si dimostra dall identitá e A B e A = B + (ada) k (B) ada(b) [A, B] (38) k=1 Tale identitá, se [[A, B], B] = 0, quindi in particolare se [A, B] C diventa l eq.(6). Dall eq.(37) si ha che: T (α) ψ λ = ψ α+λ α C (39) Sviluppo di uno stato coerente in autostati della hamiltoniana Gli autostati dell energia ψ n H ψ n = E n ψ n (40) con E n = hω(n + 1/) ψ n = (a ) n ψ 0 (41) formano un insieme completo, quindi ogni stato, in particolare uno stato coerente puó essere espresso come combinazione lineare degli stati ψ n. ψ λ = Dalla normalizzazione sia di ψ λ che di ψ n segue la condizione c n ψ n c n = (ψ n, ψ λ ) (4) c n = 1 (43) Per determinare i coefficienti c n utilizziamo l eq.(4) e lo sviluppo in serie dell operatore esponenziale eq.(7) (a ) n (a ) ψ λ = N e λa ψ 0 = N ψ 0 = c n n ψ 0 (44) Identificando le uguali potenze di a nelle ultime espressioni dell eq(44) ed usando l espressione della costante di normalizzazione N ricavata in eq.(31) si ha c n = e λ / λn (45) Il modulo quadro di c n da la probabilit che una misura di energia sullo stato coerente ψ λ dia il valore E n P n = c n λ n λ = e (46) Dall eq.(46) si vede che la distribuzione in energia é una distribuzione di Poisson in λ. Il valore piú probabile dell energia, cioé il massimo della distribuzione eq.(46), si ha per λ = n. Sommando su n i moduli quadri delle costanti, cioé le probabilitá date dall eq.(46), ed usando l espressione in

6 6 serie della funzione esponenziale é immediato verificare l eq.(43). Usando l eq.(44) e l interpretazione probabilistica di c n, possiamo calcolare l energia media nello stato coerente dalla formula classica: < E > = P n E n = = hω + hω n=1 λ n λ e hω(n + 1/) (47) e λ λ n (n 1)! = hω + hω λ che coincide con l eq.(19). Nell ultimo rigo dell eq.(48) si é riscalata la somma introducendo un indice k = n 1 e si é utilizzata l eq.(43). Evoluzione temporale degli stati coerenti Vogliamo studiare l evoluzione temporale degli stati ψ λ. L evoluzione temporale di ogni stato é determinata dall operatore evoluzione U(t t 0 ) ψ(t) = U(t t 0 ) ψ(t 0 ) = e ih(t t 0)/ h ψ(t 0 ) (48) Per valutare l evoluzione di ψ λ dobbiamo applicare l operatore evoluzione costruito con la hamiltoniana eq.(7). Non possiamo valutare l azione dell operatore evoluzione sullo stato coerente usando l eq.(4) poerché dovremmo valutare il prodotto di due operatori esponenziali costruiti con H e a il cui commutatore non commuta con H, quindi non possiamo usare l eq.(3). Conviene quindi usare l eq.(4) e la proprietá (in seguito sceglieremo il tempo iniziale t 0 = 0) si ha dove H ψ n = E n ψ n e iht/ h ψ n = e ient/ h ψ n (49) ψ λ (t) = e iht/ h ψ λ = e iht/ h ( = = e iωt/ c n e ient/ h ψ n = c n ψ n ) e λ / λn e i(ω(n+1/))t ψ n e λ / (λe i(ωt ) n ψ n = e iωt/ ψ λ(t) (50) λ(t) = λ e iωt = λ e i(θ ωt) (51) cioé lo stato coerente evolve nel tempo rimanendo stato coerente, cioé autostato di a, ma con autovalore dato dall eq.(51), che differisce dall autovalore λ al tempo t = 0 per un fattore di fase (exp( iωt)). Quindi dall eq.(1)-(13) si ha < Q(t) > = (ψ λ (t), Qψ λ (t)) = λ r (t) = λ cos(θ ωt) = < Q > cos ωt + < P > sin ωt (5) < P (t) > = (ψ λ (t), P ψ λ (t)) = λ i (t) = λ sin(θ ωt) = < P > cos ωt < Q > sin ωt (53)

7 7 Dalle precedenti equazioni vediamo che la variazione temporale dei valori medi della posizione e del momento in uno stato coerente é del tutto simile all equazioni classiche. Dall eq.(19) si vede che il valore medio dell energia non varia con il tempo, come é naturale aspettarsi. Inoltre siccome la struttura di stato coerente non cambia con il tempo, dall eq.(18) segue che le relazioni di indeterminazioni rimangono invariate, quindi lo stato coerente non si slarga, da qui il suo nome coerente. Da quanto detto si vede che, nello stato quantistico descritto da uno stato coerente, l oscillatore armonico segue un andamento quanto piú possibile classico. NOTA - L evoluzione temporale degli stati coerenti puó, in modo equivalente, essere calcolato dall evoluzione temporale dell operatore a nella rappresentazione di Heisenberg i h d dt a = [a, H] = hωa a(t) = a e iωt (54) NOTA - L andamento temporale dei valori medi Q e P puó essere calcolato con il teorema di Ehrenfest, valido perché il potenziale dell oscillatore armonico é quadratico nelle x, che, per ogni stato ψ, si scrive Dall eq.(7) si ha i h d dt < Q(t) > ψ = < [Q, H] > ψ i h d dt < P (t) > ψ = < [P, H] > ψ (55) i d dt < Q(t) > = ω < P (t) > i d dt < P (t) > = ω < Q > (56) il sistema di equazioni accoppiate si risolve derivando ancora una volta rispetto al tempo. Integrando ed usando le condizioni iniziali si trovano l eqs.(5)-(53). Equivalentemente si puó usare la rappresentazione di Heisenberg per calcolare l evoluzione temprale di Q e P o l espressione eq.(5) esprimendo a e a in funzione del tempo, eq.(54) e la hermitiana coniugata Q(t) = 1 (a e iωt + a e iωt ) (57) P (t) = i (a e iωt a e iωt ) (58)