Influenza degli spostamenti sull equilibrio

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1 Influenza degli spostamenti sull equilibrio Le strutture ingegneristiche sono spesso sufficientemente rigide e vincolate da assicurare che gli spostamenti siano piccoli ed ininfluenti sull equilibrio Le equazioni di equilibrio possono allora essere scritte in configurazione indeformata Esistono tuttavia dei casi in cui non è lecito ignorare lo scostamento dalla configurazione indeformata ai fini della scrittura delle equazioni di equilibrio Come nel caso delle funi, che si suppongono capaci di resistere solo a trazione ed infinitamente flessibili 1

2 Influenza degli spostamenti sull equilibrio Per esempio in strutture molto deformabili come le funi l equilibrio è possibile solo in configurazione deformata

3 Influenza degli spostamenti sull equilibrio Introducendo le variabili adimensionali L equazione di equilibrio 1-Equilibrio possibile solo se f<1 1-Equilibrio possibile solo se f<1 -Per f piccoli relazione lineare 3- Per tiro crescente gli spostamenti calano (effetto Dischinger negli stralli) 4-Gli spostamenti sono indispensabili 5-Rigidezza funzione del carico e dello spostamento 3

4 Influenza degli spostamenti sull equilibrio 3 cerniere allineate: Curva (A) Posto N lo sforzo di piena plasticizzazione Per N>N le aste possono plasticizzarsi a trazione costate Collasso se materiale elasto-fragile Curva (B) 4

5 Funi nella pratica applicativa Cavi di trasmissione ponti sospesi 5

6 Funi nella pratica applicativa Ponti strallati 6

7 Equazione catenaria: fune in equilibrio sotto peso proprio Equilibrio in direzione verticale Equilibrio in direzione orizzontale 7

8 Equazione catenaria: fune in equilibrio sotto peso proprio 8

9 Equazione catenaria: fune in equilibrio sotto peso proprio 9

10 Equazione catenaria: fune in equilibrio sotto peso proprio 1

11 Equazione catenaria: fune in equilibrio sotto peso proprio Equazione catenaria 11

12 Equazione catenaria: fune in equilibrio sotto peso proprio 1

13 Instabilità: equazione della linea elastica in presenza di spostamenti finiti Equilibrio trave configurazione deformata Equazione equilibrio EIv iv Hv ii p +condizioni al contorno 13

14 Instabilità EIv iv Hv ii p EI Equazione equilibrio fune EIv iv + Pv ii p H-P compressione Equazione equilibrio trave instabile pressoinflessa 14

15 Instabilità dell equilibrio come problema dinamico L.Corradi III cap 17 p 46 Alla fine del XIX secolo (189) Poincaré e Liapunov formalizzarono lo studio della stabilità del moto di sistemi meccanici a numero finito di gradi di libertà e più in generale della stabilità della soluzione di problemi descritti da sistemi di equazioni differenziali 15

16 Instabilità dell equilibrio come problema dinamico Definizione di stabilità secondo Liapunov Sia u(t) la traiettoria di un corpo o più in generale la soluzione di un problema di equilibrio dinamico La soluzione u(t) si dice stabile secondo Liapunov se ad ogni arbitrario numero ε> è possibile associare un altro numero mε> tale per cui, ad ogni variazione u della soluzione rispettosa delle condizioni iniziali per t per cui risulti u() Consegue una variazione della risposta che soddisfa la diseguaglianza < m u (t) < ε t > ε (*) (**) 16

17 Instabilità dell equilibrio come problema dinamico Definizione di stabilità secondo Liapunov La soluzione si dice poi asintoticamente stabile se lim t u k (t) k Dove uk rappresenta le k-esima componente del vettore u Se invece non è possibile associare ad un qualunque ε alcun mε > comunque piccolo tale che valgano le (*) e (**) la soluzione si dice instabile 17

18 Instabilità dell equilibrio come problema dinamico Sia Yk la soluzione del problema del moto Se per una variazione delle condizioni iniziali t tutte le curve del moto sono come la curva (a) allora il moto è stabile Se sono tutte come la curva (b) allora è asintoticamente stabile Se almeno una delle curve fuoriesce dalla striscia ampia ε allora il moto è instabile 18

19 Esempio: stabilità dell equilibrio per un sistema ad 1 grado di libertà θ l PMg FI l FI PMg θ Mu & Ml & θ Forza d inerzia P Mg Forza conservativa 19 F i

20 Esempio di un sistema ad 1 grado di libertà l θ FI P l θ FI A A P ) ( ) ( ) ( ) ( sin + + t g t t M t Mg θ θ θ θ l && && l l Equilibrio alla rotazione in A A ) ( ) ( ) ( ) ( sin + t g t t M t Mg θ θ θ θ l && && l l Equazione caratteristica l l g i g ± + ω ω l l g g ± ω ω

21 Esempio di un sistema ad 1 grado di libertà A θ l P FI l FI P A θ Moto periodico limitato Moto non periodico STABILE INSTABILE (diverge per t ) θ( t) C sin ωt + C cosωt 1 ωt ωt θ(t) C1e + Ce θ() ; θ& () θ& θ() ; θ& () θ& θ& 1 θ& t ω 1 θ& θ( t) θ cosωt + sin ωt θ(t) ( θ + )e + ( θ α α ω )e ωt 1

22 Sistemi conservativi Un sistema di forze si definisce conservativo se il lavoro compiuto non dipende dal percorso ma solo dal punto di partenza ed arrivo In tal caso esso deriva da un potenziale Le forze a retta d azione costante (forza peso) sono conservative Forze la cui retta d azione cambia al variare delle deformata possono essere non conservative forze follower (esempio spinta di un jet)

23 Sistemi conservativi Forza follower (LC III p 18 ) Lavoro > Lavoro < 3

24 Criteri di stabilità per sistemi a nr finito di gradi di libertà Sia la configurazione del sistema determinata dal vettore X delle coordinate Lagrangiane Si applichi un sistema di forze conservative, allora la Energia Potenziale Totale (EPT) si scrive Π ( X) Φ (X) Le (X) Dove Φ è il potenziale elastico ed Le il lavoro dei carichi esterni La configurazione iniziale X è di equilibrio stabile se piccole perturbazioni dalla configurazione iniziale provocano solo piccole oscillazioni attorno a X 4

25 Criteri di stabilità per sistemi a nr finito di gradi di libertà Sia una configurazione di equilibrio stabile, allora una qualunque variazione da dovrà comportare un aumento della Energia Potenziale Totale Π (, + ) >, Possiamo sviluppare in serie di Taylor Π 1, + ) Π(, + ) + Π(, + ) ( Variazione prima Variazione seconda +K 5

26 Criteri di stabilità per sistemi a nr finito di gradi di libertà +K ), ( 1 ), ( ), ( Π Π Π i n i i Π Π + 1 ), ( n n Π Dove: j n j i n i j i Π Π ), ( Condizione necessaria affinché sia di equilibrio stabile è che i i n i i Π Π + ), ( 1 6

27 Criteri di stabilità per sistemi a nr finito di gradi di libertà Π Tale condizione è verificata se risulta che (condizione sufficiente) j i j n j i n i j i Π Π, ), ( 1 1 > + 7

28 Criteri di stabilità per sistemi a nr finito di gradi di libertà Mentre l imposizione dell annullamento della variazione prima equivale a scrivere le equazioni di equilibrio, la positività della variazione seconda implica che l equilibrio è stabile La variazione seconda si può anche scrivere in forma matriciale come 1 1 T Π(, + ) K Dove la matrice K ha componenti K ij i Π j 8

29 Criteri di stabilità per sistemi a nr finito di gradi di libertà Allora l equilibrio è stabile se la forma quadratica 1 è definita positiva 1 T Π(, + ) K K è detta matrice Hessiana della forma quadratica associata con l energia 9

30 Criteri di stabilità per sistemi a nr. finito di gradi di libertà F Pensiamo ad una sfera su una superficie rigida e consideriamo la sua Energia Potenziale Totale A,B,D configurazione equilibrio stabile E,F configurazione equilibrio instabile 3

31 Osservazioni -Scrittura del P.L.V è equivalente all imposizione della condizione Π -La condizione Π si traduce nella scrittura di n equazioni di equilibrio del tipo Π g i i 1, K n i dove i indica il grado di libertà i-esimo. - La K è la matrice di rigidezza del mio sistema: essa è simmetrica (teorema di Schwartz sull invertibilità dell ordine di derivazione) -Se i carichi non sono conservativi non derivano da un potenziale e dunque non è più garantita la simmetria 31

32 Esempio: sistema elastico ad 1 grado di libertà L(1 cosϑ) L(1 cos ϑ) Π( ϑ) 1 Kϑ PL(1 cos ϑ) L imposizione della condizione di stazionarietà A Π( ϑ) ϑ >, K PL cosϑ, Π(ϑ) ( ) g Kϑ PLsin ϑ ϑ è equivalente alla scrittura dell equilibrio alla rotazione attorno ad A P P < K Lcosϑ K L cosϑ stabile instabile 3

33 Sistema elastico ad 1 grado di libertà con imperfezione L(1 cosϑ) + esin ϑ Π( ϑ) 1 Kϑ PL(1 cosϑ + ηsin ϑ) η: e L Ipotesi piccole imperfezioni, η <<1 A g Π( ϑ) ϑ Kϑ PL(sin ϑ + ηcos ϑ) P L equilibrio è stabile e non si hanno biforcazioni se Kϑ L(sin ϑ + ηcos ϑ) ϑ Π( ϑ) ϑ K 1 PL K ( cosϑ ηsin ϑ) > 33

34 Sistema elastico ad 1 grado di libertà Sistema perfetto, Sistema imperfetto, η.5 Hp piccoli spostamenti, appro II ordine sinθθ cosθ1-θ / 34

35 EPT di un sistema 1 gr. Libertà con imperfezione Π( ϑ) Kϑ PL(sin ϑ + ηcos ϑ) ϑ P ϑ L(sin ϑ + ηcos ϑ) K Troviamo le radici dell equazione di equilibrio per P1. K/L ed η.5 Analizzando la derivata seconda si ha una valutazione della qualità dell equilibrio ϑ 1.93, ϑ.317, ϑ Π( ϑ) ϑ K 1 PL K ( ) cosϑ ηsin ϑ 35

36 E.P.T. di un sistema ad 1 grado di libertà con imperfezione Energia potenziale totale Π/K Equilibrio instabile A Pto di Minimo locale equilibrio stabile stabile Pto di Minimo Approssimazione Equilibrio II ordine nell intorno di θ stabile 36

37 Comportamento post-critico senza imperfezione η. Con imperfezione P PE PL K sin ϑ ϑ + η cos ϑ Il sistema perfetto con carico critico Euleriano PE presenta un comportamento post-critico simmetrico stabile; l imperfezione elimina la biforcazione del carico, 37 sospinge l asta lungo un solo percorso deformativo

38 Comportamento post-critico senza imperfezione η. Con imperfezione P PE P KL sin ϑcosϑ sin ϑ + ηcosϑ Il sistema perfetto presenta un comportamento postcritico simmetrico instabile Si dice sensibile alle imperfezioni 38

39 Comportamento post-critico senza imperfezione η. Con imperfezione P P cosϑ 1 sin ϑ PE KL sin ϑ + ηcosϑ Il sistema perfetto presenta un comportamento postcritico asimmetrico instabile fortemente sensibile alle imperfezioni La risposta dipende dal segno delle imperfezioni 39

40 Teoria del II ordine Risulta pertanto importante conoscere la natura discendente od ascendente dei percorsi di equilibrio postbiforcazione Per semplificare la trattazione si suppone che gli spostamenti e le rotazioni in atto, pur se abbastanza grandi da influenzare la stabilità del sistema, siano abbastanza piccoli da poter sviluppare la EPT in un intorno della configurazione di riferimento (θ) ed arrestare lo sviluppo al II ordine Tale pratica è equivalente ad effettuare le approssimazioni al II ordine sulle grandezze trigonometriche 4

41 Esempio Teoria del II ordine Π( ϑ) 1 Kϑ PL(1 cosϑ + ηsin ϑ) η: Sviluppiamo in serie di Taylor attorno all origine fino al II ordine e L Π 1 Π ϑ + ϑ ϑ ϑ ϑ Π( ϑ) Π() + ϑ 1 Π( ϑ) PLηϑ + (K PL) ϑ Lo stesso risultato si ottiene ponendo e sostituendo nella EPT sin ϑ ϑ, cos ϑ 1 ϑ 41

42 Teoria del II ordine: caso nr qualunque di gradi di libertà Nel caso di un numero finito di gradi di libertà si ha Π() N Π + 1 N i i 1 i i 1 j 1 i j i i N Π Π j i j X {,, L } T 1 N Poniamo { } T P p, p, p p i 1 i Π Dunque l EPT si scrive N K ij Π i Π j Π() P T X + 1 X T KX 4

43 Equivalenza metodo energetico del II ordine e metodo statico Il Metodo Energetico basato sulla teoria del II ordine porta agli stessi risultati del metodo statico (detto anche dell equilibrio indifferente o di Eulero ) Solo che nel caso del metodo statico nell equazione di equilibrio occorre arrestare lo sviluppo dei termini al I ordine 43

44 Problemi di tipo Euleriano Sono caratterizzati da una configurazione di equilibrio fondamentale o banale quale quella rettilinea nelle aste compresse ove il comportamento pre-critico è lineare In tal caso l analisi del II ordine o linearizzata consiste nella determinazione del carico critico mediante un analisi agli autovalori I problemi non Euleriani presentano un comportamento non-lineare in fase pre-critica 44

45 Problemi di tipo Euleriano Si consideri un problema a nr finito di gradi di libertà Il problema sia caratterizzato da una configurazione di equilibrio banale pre-critico in cui la struttura si comporta in modo lineare Detto X il vettore relativo ai carichi, la soluzione sarà proporzionale ad esso attraverso il moltiplicatore dei carichi p px 45

46 Problemi di tipo Euleriano Anche la variazione II dell EPT deve essere lineare in p Dove W K p K 1 K 1 1 G T E T T Φ Π G E G T E T pk K K K p W K 1 > Φ Variazione II energia di deformazione Lavoro II ordine carichi esterni K semi-definita > 46

47 Problemi di tipo Euleriano La configurazione banale cessa di essere di equilibrio stabile quando det K si ottiene un equazione da risolvere ponendo il polinomio caratteristico Il carico critico P E è la minore radice ovvero il più piccolo autovalore Tale autovalore risulta > e reale per la E G semidefinizione positiva di K K pk 47

48 Esempio di problema Euleriano a 3 gr di libertà L.Corradi III p 196 Avendo assunto come incognite le rotazioni 1,,3, l energia potenziale totale V si scrive Poniamo ( carico base PK/L) L EPT a meno del fattore K> diventa 48

49 Esempio di problema Euleriano a 3 gr di libertà L.Corradi III p 196 Una configurazione banale è quella rettilinea La variazione II dell EPT in un intorno della configurazione di equilibrio rettilinea K E K G 49

50 Esempio di problema Euleriano a 3 gr di libertà L.Corradi III p 196 Il problema agli autovalori porta a trovare le radici del polinomio caratteristico ovvero Carico critico Euleriano 5

51 Esempio di problema Euleriano a 3 gr di libertà L.Corradi III p 196 Gli autovettori associati sono (detto α un parametro che definisce l ampiezza della configurazione) 51

52 L.Corradi III p65 Rapporto di Rayleigh Si definisce Rapporto di Rayleigh R() Φ() W() 1 1 T T K K E G Si dimostra che: A) Il carico critico di un sistema Euleriano rende minimo R() p C min R() B) Se rende stazionario R() si ha che R( rappresenta una configurazione di equilibrio non banale della struttura sotto il carico ', ' + ) p' R(') 1 ' 1 ' T T K K 5 E G ' '

53 Esempio di problema non Euleriano L.Corradi III p 384 Sistema conservativo non lineare in fase pre-critica Le aste sono deformabili assialmente Snap through 53

54 Esempio di problema non Euleriano: influenza della deformabilità assiale L.Corradi III p Nei problemi Euleriani il comportamento pre-critico è lineare, ovvero è possibile confondere la configurazione attuale con quella iniziale Nelle travi ciò è possibile se è possibile trascurare le deformazioni assiali nei confronti di quelle flessionali, cosa vera per travi normalmente dimensionate Consideriamo un caso in cui non è possibile trascurare la deformabilità assiale 54

55 Esempio di problema non Euleriano: influenza della deformabilità assiale L.Corradi III p Sia k la rigidezza assiale dell asta K la rigidezza rotazionale della molla alla base Coordinate Lagrangiane: rotazione asta ϑ η accorciamento asta 55

56 Esempio di problema non Euleriano: influenza della deformabilità assiale EPT Le equazioni di Equilibrio ammettono la soluzione (config. banale ) rettilinea ma deformata assialmente: 56

57 Esempio di problema non Euleriano: influenza della deformabilità assiale Per verificare se la configurazione di equilibrio banale è stabile occorre calcolare la variazione II dell EPT Tale variazione II risulta una funzione quadratica (nonlineare ) del carico P Quindi se si considera la deformabilità assiale di un asta il problema non è Euleriano 57

58 Esempio di problema non Euleriano: influenza della deformabilità assiale Tuttavia la soluzione può essere comunque di equilibrio stabile se la variazione II di EPT è > La condizione di stabilità si riconduce a scrivere Dove si è posto 58

59 Esempio di problema non Euleriano: influenza della deformabilità assiale Al crescere di β il termine p /β Asta rigida assialmente f(p)tende alla retta ed il risultato è quello noto Per aste reali β ~1 59

60 Esempio di problema non Euleriano: influenza della deformabilità assiale La configurazione di equilibrio diviene instabile solo per carichi poco superiori a quelli valutati nell ipotesi di indeformabilità assiale e torna stabile solo per valori elevati poco realistici Ai fini tecnici è lecito trascurare la deformabilità assiale 6