SEGNALI A TEMPO CONTINUO. Impulso e altri segnali canonici. Trasformata di Laplace. Serie di Fourier. Trasformata di Fourier
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- Alessio Pasquali
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1 SEGNALI A TEMPO CONTINUO Impulso e altri segnali canonici Trasformata di Laplace Serie di Fourier Trasformata di Fourier Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 1
2 IMPULSO E ALTRI SEGNALI CANONICI Segnali canonici sca(t) = ram(t) = par(t) = n 0 t < 0 1 t 0 n 0 t < 0 t t 0 0 t < 0 t 2 =2 t 0 (scalino) (rampa) (parabola) Z t Z t ;1 sca( )d = ram(t) ;1 ram( )d = par(t) Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 2
3 Impulso di Dirac imp(t) = 0 t 6= 0 ;1 imp(t)dt = 1 imp (t) = n 1= 0 t < 0 altrove lim imp (t) = imp(t)!0 Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 3
4 '(t)imp(t ; ) = '( )imp(t ; ) + ;1 '(t)imp(t ; )dt = '( ) imp(t ; )dt = '( ) ;1 Z t ;1 imp( )d = sca(t) t 6= 0 d(sca(t)) dt = imp(t) Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 4
5 TRASFORMATA DI LAPLACE Generalità Funzione complessa f di variabile reale t, s = + j!: F (s) = L[f(t)] = 0 f(t)e ;st dt? 9s: convergenza integrale ) : ascissa di convergenza (F (s) esiste nel semipiano Re(s) > Trasformata razionale F (s) = N (s) D(s)? radici di N (s) = 0: zeri? radici di D(s) = 0: poli (f reale: = max(re(s))) Formula di antitrasformazione ( > ) f(t) = L ;1 [F (s)] = 1 2j Z +j1 ;j1 F (s)est ds? f(t) = 0, t < 0 ) corrispondenza biunivoca Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 5
6 Trasformata dell impulso L[imp(t)] = 0; imp(t)e ;st dt = e ;s0 = 1 Trasformata dello scalino ( = 0) L[sca(t)] = 0 = e;st ;s sca(t)e ;st dt = +1 0 = = 0 ; 1 ;( + j!) = 1 s e ;st dt 0 e +1 ;t ;( + j!) (cos (!t) ; jsin (!t)) 0 Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 6
7 Proprietà principali Linearità L[f(t) +g(t)] = F (s) +G(s) Traslazione nel dominio del tempo L h i ^f (t) = L[f(t ; )] = e ;s F (s)? f(t) = sca(t ; 1 )+sca(t ; 2 ) L[f(t)] = L[sca(t ; 1 )] + L[sca(t ; 2 )] = L[sca(t ; 1 )] + L[sca(t ; 2 )] = e; 1s s + e; 2s s Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 7
8 Traslazione nel dominio della variabile complessa L h i ^f (t) = L[e t f(t)] = F (s ; )? trasformata dell esponenziale ( = ) L e t sca(t) = 1 s ;? trasformata del coseno ( = 0) e j!t + e ;j!t L[cos (!t)sca(t)] = L sca(t) 2 = s ; j! + 1 s + j! = s s 2 +! 2 Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 8
9 Derivazione nel dominio del tempo L h f _(t) i = sf (s) ; f(0 ; )? derivate successive (s operatore di derivazione) L h i f (t) = s 2 F (s) ; sf(0) ; _ f (0) L.. = d n f(t) = s n F (s) ; dt n. nx i=1 s n;i di;1 f(t) dt i;1 t=0? trasformata del seno ( = 0) 1 d(cos (!t)sca(t)) L[sin (!t)sca(t)] = L imp(t) ;! dt = 1 s! 1 ; s =! s 2 +! 2 s 2 +! 2 Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 9
10 Derivazione nel dominio della variabile complessa df (s) L[tf(t)] = ; ds? trasformata della rampa d L[ram(t)] = ; 1 s ds = 1 s 2 Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 10
11 Integrazione nel dominio del tempo (1=s operatore di integrazione) L Z t 0 f( )d = 1 s F (s)? trasformata della parabola L[par(t)] = 1 s L[ram(t)] = 1 s 3 Convoluzione nel dominio del tempo? prodotto di convoluzione f 1 (t)?f 2 (t) = = ;1 f 1( )f 2 (t ; )d = 0 f 1 ( )f 2 (t ; )d = ;1 f 1(t ; )f 2 ()d 0 f 1 (t ; )f 2 ()d + L[f 1 (t)?f 2 (t)] = F 1 (s)f 2 (s)? f 1 (t) = e t sca(t), f 2 (t) = sca(t) L[f 1 (t)?f 2 (t)] = 1 s(s ; ) Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 11
12 Teorema del valore iniziale (f ha trasformata razionale F con grado del denominatore maggiore del grado del numeratore) f(0 + ) = lim sf (s) s!1 Teorema del valore finale (f ha trasformata razionale F con grado del denominatore maggiore del grado del numeratore e poli nulli o con parte reale negativa) lim f(t) = lim sf (s) t!1 s!0? f(t) = e t sca(t) e t sca(t) t=0 + = lim s!1 s 1 s ; = 1 lim t!1 et sca(t) = lim s!0 s 1 s ; = n 0 < 0 1 = 0 Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 12
13 Tabella di trasformate f(t) F (s) imp(t) 1 sca(t) ram(t) par(t) e t sca(t) te t sca(t) sin (!t)sca(t) cos (!t)sca(t) tsin (!t)sca(t) tcos (!t)sca(t) e t sin (!t)sca(t) e t cos (!t)sca(t) te t sin (!t)sca(t) te t cos (!t)sca(t) 1 s 1 s 2 1 s 3 1 s ; 1 (s ; ) 2! s 2 +! 2 s s 2 +! 2 2!s (s 2 +! 2 ) 2 s 2 ;! 2 (s 2 +! 2 ) 2! (s ; ) 2 +! 2 s ; (s ; ) 2 +! 2 2!(s ; ) [(s ; ) 2 +! 2 ] 2 (s ; ) 2 ;! 2 [(s ; ) 2 +! 2 ] 2 Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 13
14 Sviluppo di Heaviside Antitrasformazione di funzione razionale F (s) = N (s) D(s)? grado di D(s) maggiore del grado di N (s)? N (s) e D(s) a coefficienti reali Poli distinti D(s) = ny i=1 (s + p i ) p h 6= p j h6= j Q n N (s) i=1 (s + p i) nx i=1 P i s + p i Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 14
15 ? calcolo dei residui P i = Q n N (;p i ) (p j=1 j6=i j ; p i ) = N (;p i ) dd(s) ds s=;p i = [(s + p i )F (s)]j s=;p i + f(t) = L ;1 [F (s)] = L ;1 " n X i=1 # P i s + p i = nx i=1! P i e ;p it sca(t) Esempio F (s) = s ; 10 (s + 2)(s +5) s ; 10 (s +2)(s +5) P 1 s +2 + P 2 s +5 P 1 = ;2 ; 10 ;2 +5 = ;4 P 2 = + ;5 ; 10 ;5 +2 = 5 f(t) = L ;1 s ; 10 (s + 2)(s +5) = ; ;4e ;2t +5e ;5t sca(t) Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 15
16 Poli complessi coniugati (p j = p i ) P i s + p i + P j s + p j = P i s + p i + P i s + p i + P i e ;p it + P j e ;p j t = P i e ;p it + P i e ;p it = 2jP i je Re(;p i)t cos (Im(;p i )t +argp i )? in alternativa: identità dei polinomi Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 16
17 Esempio F (s) = 100 (s + 1)(s 2 +4s + 13) P 1 = P 2 = 100 (2 ; j3 ; 1)(2 + j3 ; 1) = (1 ; 2+j3)(2 + j3 ; 2+j3) = ; (3 ; j) f(t) = L ;1 = 10 " 100 (s +1)(s 2 +4s + 13) p 10 e ;t + 3 e;2t cos (3t +arg(j ; 3)) # sca(t) Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 17
18 ? in alternativa 100 (s +1)(s 2 +4s + 13) P 1 s +1 + s + s 2 +4s +13 f(t) = L ; (s 2 +4s +13)+(s + )(s +1) = L ;1 10 s +1 + (s = 0, s = 1) 100 = = ( + )2 = ;10 = ; (s +1)(s 2 +4s +13) ; 10(s +3) s 2 +4s +13 = 10L ;1 1 s +1 ; s +3 s 2 +4s = 10L ;1 s +1 ; s +2 (s +2) 2 +3 ; (s +2) = 10 e ;t ; e ;2t cos (3t) + 13 sin (3t) sca(t) Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 18
19 Poli multipli D(s) = Y i=1 (s + p i ) n i p h 6= p j h6= j Q N (s) i=1 (s + p i) n i X n X i i=1 h=1 P i h (s + p i ) h? calcolo dei residui 1 P i h = (n i ; h)! d n i;h [(s + p i ) n i F (s)] ds n i;h s=;p i f(t) = L ;1 [F (s)] = L ;1 " X = X n X i i=1 h=1 + n X i i=1 h=1 P i h t h;1 e ;p it (h ; 1)!! # P i h (s + p i ) h sca(t) Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 19
20 Esempio F (s) = s +18 s(s + 3) 2 s +18 s(s +3) P s + P 2 1 s +3 + P 2 2 (s +3) 2 P 1 1 = [sf (s)]j s=0 = s +18 (s +3) 2 s=0 d (s +3) 2 F (s) P 2 1 = ds s=;3 = ;2 P 2 2 = (s +3) 2 F (s) s=;3 = ;5 s +18 f(t) = L ;1 s(s +3) 2 = ; 2 ; 2e ;3t ; 5te ;3t sca(t) + = 2 = L ;1 2 s ; 2 s +3 ; 5 (s +3) 2 Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 20
21 SERIE DI FOURIER Forma esponenziale Funzione periodica f(t + T ) = f(t) 8t? coefficienti di Fourier (! 0 = 2=T) Z F n = 1 f(t)e ;jn! 0t dt n = ::: ;2 ; ::: T T Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 21
22 Spettro di f: F n? spettro di ampiezza: jf n j? spettro di fase: arg(f n ) serie di Fourier f(t) = +1X n=;1 F ne jn!0t Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 22
23 Forma trigonometrica f reale (F;n = F n, n = 1 2 :::) f(t) = F 0 + = F 0 +2 = F X Fn e jn! 0t + F n e ;jn! 0t n=1 +1X n=1 +1X n=1 [F cn cos (n! 0 t)+f sn sin (n! 0 t)] jf n jcos (n! 0 t +argf n ) Z F cn = 2Re(F n ) = 2 T F sn = ;2Im(F n ) = 2 T Z T f(t)cos (n! 0 t)dt T f(t)sin (n! 0 t)dt n = 1 2 ::: n = 1 2 ::: Analisi armonica (nel dominio della frequenza)? F 0 : componente a pulsazione nulla? F n : armoniche (n = 1 fondamentale)? min n 1 : F n 1 6= 0 (pulsazione minima), max n 2 : F n 2 6= 0 (pulsazione massima) ) [n 1! 0 n 2! 0 ] (banda) Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 23
24 Sviluppo in serie dell onda quadra f(t) = 8 < 0 ;T=2 t < ;T=4 1 ;T=4 t < T=4 : 0 T=4 t < T=2 F n = 1 T Z T=2 ;T=2 f(t)e ;jn!0t dt = 1 T Z T=4 ;T=4 f(t)e ;jn! 0t dt + Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 24
25 ? segnale a banda illimitata F 0 = 1 2 jf n j = 1 sin (n=2) 2 n=2 1 sin (n=2) argf n = arg 2 n=2 1=n = n dispari 0 n pari = 0 n = ::: n = ::: Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 25
26 Esempio f(t) = 2 T t ; T=2 t < T=2? segnale a banda illimitata F 0 = 0 F n = j 1 cos (n) n n = ::: ;2 ;1 1 2 ::: Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 26
27 Sviluppo in serie di un treno di impulsi f(t) = +1X k=;1 imp(t ; kt)? segnale a banda illimitata F n = 1 T = 1 T Z T=2 ;T=2 Z T=2 ;T=2 +1X k=;1 imp(t ; kt)e;jn!0t dt imp(t ; kt)e ;jn! 0t dt = 1 T Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 27
28 Esempio (! 0 = 2=15) f(t) = 3 + sin 2 3 t +2cos 4 5 t? segnale a banda limitata [0 4=5] F 0 = 3 F s5 = 1 F c6 = 2 Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 28
29 Proprietà principali Linearità: f con spettro F n, g con spettro G n ) f + g con spettro F n + G n Funzione pari: f(;t) = f(t) ) F sn = 0, n = 1 2 ::: Funzione dispari: f(;t) = ;f(t) ) F 0 = 0, F cn = 0, n = 1 2 ::: Uguaglianza di Parseval 1 T Z T jf(t)j 2 dt = =1X n=;1 jf nj 2? f reale ) potenza media del segnale? banda essenziale: tra la minima e quella a cui 95% della potenza media Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 29
30 TRASFORMATA DI FOURIER Forma esponenziale Funzione f complessa ) spettro di f F (j!) = F[f(t)] = ;1 f(t)e;j!t dt? jf (j!)j: spettro di ampiezza? argf (j!): spettro di fase Formula di antitrasformazione f(t) = F ;1 [F (j!] = 1 2 ;1 F (j!)ej!t d!? f reale (F (;j!) = F (j!)) f(t) = F ;1 [F (j!] = F (j!)e j!t + F (j!)e ;j!t d! Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 30
31 Forma trigonometrica f(t) = [F (j!)(cos(!t) +jsin (!t)) + F (j!) (cos (!t) ; jsin (!t)) d! = 1 2 = [F c (j!)cos (!t) + F s (j!)sin (!t)] d! jf (j!)jcos (!t + argf (j!))d! F c (j!) = 2Re(F (j!)) = 2 F s (j!) = ;2Im(F (j!)) = 2 ;1 ;1 f(t)cos (!t)dt f(t)sin (!t)dt Analisi armonica (nel dominio della frequenza)? infinità di armoniche? min! 1 : F j! 1 6= 0 (pulsazione minima), max! 2 : F j! 2 6= 0 (pulsazione massima) ) [! 1! 2 ] (banda) Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 31
32 Trasformata dell impulso F[imp(t)] = ;1 imp(t)e;j!t dt = e ;j!0 = 1 Trasformata di funzioni esponenziali ( 2 R ; ) F[e t sca(t)] = = ;1 et sca(t)e ;j!t dt 0 e (;j!)t dt = e(;j!)t ; j! +1 0 = 1 j! ; F[e ;t sca(;t)] = Z 0 ;1 e;(+j!)t dt = ;1 j! + Esempio (banda:! =! 0 ) F e j! 0t = 2imp(! ;! 0 ) Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 32
33 Trasformata dell impulso rettangolare (a > 0) f(t) = n 1 ;a t < a 0 altrove? segnale a banda illimitata + F (j0) = 2a F (j!) = ;1 f(t)e;j!t dt = Z a ;a sin (!a) e ;j!t dt = 2a!a Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 33
34 Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 34
35 Proprietà principali Linearità F[f(t) +g(t)] = F (j!)+g(j!) Trasformata del seno, del coseno e delle funzioni sviluppabili in serie di Fourier F[cos (! 0 t)] = [imp(! ;! 0 ) +imp(! +! 0 )] F[sin (! 0 t)] = j[imp(! +! 0 ) ; imp(! ;! 0 )] Trasformata della funzione segno sgn(t) = ; lim e t sca(t) ; e ;t sca(;t) t 6= 0!0; F[sgn(t)] = lim!0; + 1 j! ; + 1 j! + = 2 j! Trasformata della costante F[1] = 2imp(;!) = 2imp(!) Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 35
36 Trasformata dello scalino F[sca(t)] = imp(!) + 1 j! Funzione pari: f(t) = f(;t) ) F s (j!) = 0,! 0 Funzione dispari: f(t) = ;f(;t) ) F c (j!) = 0,! 0 Uguaglianza di Parseval ;1 jf(t)j2 dt = 1 2 ;1 jf (j!)j2 d!? f reale ) energia del segnale? banda essenziale: tra la minima e quella a cui 95% dell energia totale Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 36
37 Tabella di trasformate f(t) F (j!) imp(t) 1 1 2imp(!) e j! 0t 2imp(! ;! 0 ) sin (! 0 t) j [imp(! +! 0 ) ; imp(! ;! 0 )] cos (! 0 t) [imp(! ;! 0 )+imp(! +! 0 )] sgn(t) 2 j! sca(t) imp(!) + 1 j! e t sca(t) < 0 1 j!; e ;t sca(;t) < 0 ; 1 j!+ sin (! 0 t)sca(t) cos (! 0 t)sca(t) 2j [imp(! ;! 0) ; imp(! +! 0 )] +! 0! 2 0;! 2 [imp(! ;! 0) + imp(! +! 0 )] + j!! 0;! 2 e t sin (! 0 t)sca(t) < 0 e t cos (! 0 t)sca(t) < 0!0 (j!;) 2 +! 0 2 j!; (j!;) 2 +! 0 2 Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 37
38 Relazioni con la trasformata di Laplace f(t) = 0, t < 0, < 0 F[f(t)] = F (j!) = F (s) = L[f(t)]j s=j! 0 L[f(t)] = F[f(t)e ;t ] Utilità della trasformata di Fourier in forma trigonometrica: segnali (non periodici) come somma di un infinità numerabile di armoniche Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 38
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