7. Risposta in frequenza degli amplificatori

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1 7. Risposta i frequeza degli amplificatori 7. Cosiderazioi geerali sulla risposta i frequeza I calcoli che abbiamo svolto fiora sui circuiti equivaleti per piccoli segali degli amplificatori, volti a valutare i guadagi e le resisteze ai termiali dei vari stadi cosiderati, soo sempre stati codotti cosiderado segali di igresso aveti frequeza abbastaza alta da poter cosiderare i codesatori di disaccoppiameto e di bypass come dei cortocircuiti. I tal modo il circuito equivalete degli amplificatori cosiderati o cotiee elemeti reattivi e risulta essere puramete statico, per cui, i particolare, il guadago dell amplificatore risulta essere del tutto idipedete dalla frequeza. I realtà, proprio a causa della preseza dei codesatori esteri di disaccoppiameto e di bypass, il guadago dell amplificatore comicia a dimiuire se si riduce la frequeza del segale di igresso al di sotto di u certo limite iferiore, laddove i codesatori stessi o possoo più essere cosiderati dei cortocircuiti. Il guadago si riduce a zero se si cosiderao le evetuali compoeti cotiue del segale di igresso, i quato questo era proprio lo scopo dell iserzioe dei codesatori di disaccoppiameto e cioè evitare che il segale potesse avere qualche iflueza sul puto di lavoro scelto per i trasistori del circuito, come el caso di C i i fig. 7.. I altre parole, grazie alla preseza dei codesatori di disaccoppiameto, il guadago si riduce a zero a frequeza ulla. V CC R R C R S C i v o v S R 2 R V Figura 7.: Codesatore di disaccoppiameto C i a variazioe del comportameto del circuito i fig. 7., e quidi del suo guadago, al variare della frequeza di u segale siusoidale applicato i igresso si può descrivere cosiderado il circuito equivalete lieare per piccoli segali dell amplificatore, icludedo però gli effetti della capacità C i. I geerale il comportameto diamico di u circuito lieare coteete dei codesatori si può studiare facilmete el domiio della trasformata di aplace. I pratica ogi codesatore è rappresetato tramite la sua impedeza complessa Z c (s)= sc : applicado le leggi di Kirchhoff al circuito equivalete si ottiee quidi il rapporto tra le trasformate di aplace rispettivamete dei

2 segali di uscita e di igresso, che si preseta ella forma del rappporto tra due poliomi ella variabile s. Si ottiee così la fuzioe di trasferimeto del circuito A(s): A(s) m VO (s) a 0 as... a ms N(s) (7.) V (s) b b s... b s D(s) S 0 I particolare il grado del deomiatore rappreseta l ordie del circuito, che risulta essere pari al umero di codesatori idipedeti del circuito, otteuto sottraedo al umero totale di codesatori preseti ella rete il umero di maglie idipedeti formate solo da codesatori oppure da codesatori e geeratori di tesioe ideali. Se si cosiderao gli zeri del poliomio al umeratore, cioè le radici dell equazioe N(s)=0, e gli zeri del deomiatore (soluzioi dell equazioe D(s)=0), si può riscrivere l equazioe (7.) ella seguete forma: s s s... V O (s) z z2 zm A (s) A 0 (7.2) VS (s) s s s... p p2 p e soluzioi dell equazioe N(s)=0, e cioè z, - z2,, - zm, si chiamao zeri del circuito, metre le soluzioi di D(s)=0, cioè p, - p2,, - p, soo i poli del circuito. Si può dimostrare che, se il circuito è costituito da stadi elemetari del tipo studiato ei capitoli precedeti oppure dalla cascata di tali stadi, i poli del circuito soo tutti reali egativi, cioè che p, p2,, p ell equazioe (7.2) soo umeri positivi. I questa situazioe, se si cosidera la fuzioe A(j), otteuta sostituedo ella (7.2) oppure ella (7.) la variabile s co la variabile j, essa ha delle proprietà otevoli: j j j... z z2 zm A (j) A 0 (7.3) j j j... p p2 p Se si applica i igresso al circuito ua siusoide a pulsazioe, quado il circuito è a regime (regime siusoidale), si ha che, essedo il circuito lieare, l uscita è ua siusoide alla stessa pulsazioe. a fuzioe A(j) possiede le segueti proprietà: a) Il modulo della fuzioe, A(j), è pari al rapporto tra l ampiezza della siusoide di uscita e l ampiezza della siusoide i igresso b) a fase della fuzioe, A(j), è pari alla differeza tra la fase della siusoide i uscita e la fase della siusoide i igresso. a fuzioe A(j) si chiama fuzioe di risposta armoica o fuzioe di risposta i frequeza del circuito e i particolare siamo iteressati al suo modulo, i quato ci iteressa l ampiezza del segale siusoidale che si ottiee all uscita dell amplificatore al variare della

3 frequeza, più che la sua fase. Ricordiamo che la relazioe tra pulsazioe e frequeza f è: =2f, per cui da ora i poi parleremo idifferetemete di pulsazioe (espressa i rad/s) o di frequeza f (espressa i Hz), cofodedo le due gradezze. a fuzioe di risposta armoica A(j) di u amplificatore per piccoli segali si può ache ricavare semplicemete cosiderado, apputo, il circuito equivalete per piccoli segali dell amplificatore compredete ache i codesatori, cosiderati come impedeze complesse di valore pari a Z C (j)=/jc. Studiado il circuito co le leggi dell elettrotecica si può quidi ricavare la fuzioe V O (j)/v S (j), cioè, apputo la fuzioe di risposta armoica del circuito A(j). 7.2 Diagramma di Bode delle ampiezze Il modulo della fuzioe di risposta armoica A(j) viee rappresetato i fuzioe della frequeza i u diagramma logaritmico, detto diagramma di Bode delle ampiezze. Tale diagramma riporta il valore di A(j) espresso i decibel i fuzioe della frequeza (o meglio della pulsazioe ) i scala logaritmica. Il valore i decibel di A(j) è il seguete: A db (j)=20log 0 A(j) (7.4) A questo puto i sigoli termii prodotto che compogoo la fuzioe di risposta armoica ella forma che evidezia poli e zeri riportata ella (7.3) darao u loro cotributo el diagramma di Bode delle ampiezze. I vari cotributi dei termii prodotto associati ai sigoli poli e ai sigoli zeri si sommao, dato che il logaritmo di u prodotto è pari alla somma dei logaritmi dei sigoli fattori. samiiamo quidi il cotributo al diagramma di Bode associato a uo zero, cioè forito da u termie del tipo + j. Notiamo che, pesado i termii asitotici, per frequeze molto piccole z rispetto a quella dello zero, cioè << z, il termie si riduce a u valore uitario, che, espresso i decibel, corrispode a zero. Se ivece cosideriamo frequeze alte rispetto a quella dello zero, cioè >> z, otteiamo che l uità è trascurabile rispetto a, per cui il modulo del ostro termie è pari apputo a z z, cioè è direttamete proporzioale alla frequeza. Se si esprime questo i decibel, si ottiee u adameto el diagramma di Bode delle ampiezze di tipo rettilieo, co pedeza pari a 20dB/decade, come ella seguete figura (7.2). A db (j) 20dB/decade z Figura 7.2: Cotributo di uo zero, piazzato alla pulsazioe z, al diagramma di Bode delle ampiezze

4 importate osservare che il diagramma riportato i fig. 7.2 è asitotico, cioè riporta solo gli asitoti corrispodeti al comportameto del termie associato a uo zero ella A(j). Questo comportameto asitotico è però abbastaza vicio all adameto reale della fuzioe associata al termie. Per avviciarci maggiormete all adameto reale, otiamo che, i corrispodeza della frequeza dello zero, cioè per = z, il modulo del termie che stiamo cosiderado vale esattamete 2, che, espresso i decibel, forisce u guadago pari a +3dB, per cui il diagramma asitotico i fig. 7.2 va raccordato i modo da forire apputo u valore pari a 3dB i = z. Se passiamo a cosiderare il cotributo al diagramma di Bode delle ampiezze forito da u termie associato a u polo ella (7.3), cioè a u termie del tipo / (+ j ), otiamo che per valori di pulsazioe << p, il cotributo è acora ua volta pari a zero decibel (cioè u valore uitario), metre per pulsazioi >> p, si ottiee u cotributo pari a i quato l uità diveta trascurabile. Ciò sigifica che a frequeze sufficietemete alte rispetto a quella del polo il modulo del guadago e la frequeza soo iversamete proporzioali. Ciò corrispode, el diagramma di Bode delle ampiezze, i cui i moduli soo espressi i db, a ua retta co pedeza pari a 20dB/decade. Il tutto è raffigurato ella seguete fig A db (j) p p p -20dB/decade Figura 7.3: Cotributo di u polo, piazzato alla pulsazioe p, al diagramma di Bode delle ampiezze Ache qui otiamo che i corrispodeza della frequeza del polo il valore del modulo del termie che stiamo cosiderado vale / 2 =0.707, il che corrispode a 3dB, per cui il diagramma asitotico riportato i fig. 7.3 adrebbe corretto i tal seso se lo si vuole redere più aderete alla realtà. 7.3 Diagramma di Bode tipico di u amplificatore alle basse frequeze Torado al caso di u amplificatore che cotiee codesatori di disaccoppiameto e di bypass, come quello rappresetato ella seguete figura 7.4, il suo equivalete per piccolo segale cotiee tre codesatori idipedeti (o esistoo maglie formate da codesatori o da codesatori e geeratori di tesioe ideali), per cui la fuzioe di risposta armoica A(j) dell amplificatore è caratterizzata dalla preseza di tre poli.

5 V CC R 2 R C R S C i v S R R C C R v o Figura 7.4: Amplificatore a emettitore comue Il relativo diagramma di Bode delle ampiezze ha però sicuramete pedeza ulla per frequeze abbastaza alte, alle quali tutti e tre i codesatori possoo essere cosiderati dei cortocircuiti e quidi il guadago diveta costate al variare della frequeza. Di cosegueza, sicuramete devoo essere preseti, oltre ai tre poli, ache tre zeri alle basse frequeze ella fuzioe di risposta armoica dell amplificatore, i quali, co il loro cotributo totale alla pedeza del diagramma di Bode che è pari a +60dB/decade, equilibrao il cotributo totale alla stessa pedeza dei tre poli, che è pari a 60dB/decade. Si può dimostrare facilmete che due dei tre zeri, associati ai codesatori di disaccoppiameto C i e C, soo i cotiua, cioè si trovao alla frequeza =0, metre il terzo zero, associato al codesatore di bypass, è piazzato alla frequeza =/R C. Abbiamo quidi tre poli e tre zeri e u diagramma di Bode delle ampiezze che è molto complicato alle basse frequeze e poi si appiattisce, diveedo costate a frequeze abbastaza alte, quado tutti i codesatori iseriti ella rete possoo essere cosiderati dei corto-circuiti. Per semplificare le cose, cosidereremo, al posto del diagramma di Bode vero dell amplificatore, ua sua approssimazioe a u solo polo e u solo zero. o zero sarà cosiderato piazzato ell origie, cioè a =0, metre l uico polo dell approssimazioe sarà posizioato alla pulsazioe alla quale il diagramma delle ampiezze o approssimato risulta essere iferiore di 3dB rispetto al valore costate che esso assume alle alte frequeze. I tal modo il diagramma di Bode delle ampiezze semplificato rappreseterà abbastaza fedelmete la risposta i frequeza del circuito o perlomeo avrà praticamete lo stesso limite iferiore per la parte di risposta piatta, detta bada passate del circuito. a pulsazioe precedetemete defiita prede il ome di pulsazioe di taglio iferiore del circuito. Di cosegueza la frequeza di taglio iferiore del circuito sarà pari a f = /2. Ua situazioe del tipo appea descritto è rappresetata ella seguete fig A db (j) Figura 7.5: Diagramma di Bode delle ampiezze approssimato (liea puteggiata) e o approssimato (liea tratteggiata) per l amplificatore co tre zeri e tre poli alle basse frequeze

6 Il diagramma di Bode approssimato a u solo zero ell origie e a uo solo polo alla pulsazioe corrispode quidi alla seguete espressioe approssimata della fuzioe di risposta armoica j A (j) A0 (7.5) j che preseta u guadago alle alte frequeze >> costate e pari a A 0. Co queste cosiderazioi, lo studio della risposta i frequeza del ostro amplificatore si può quidi ridurre alla stima della frequeza di taglio iferiore f del circuito. Tale stima si può effettuare utilizzado il cosiddetto metodo delle costati di tempo i corto circuito. 7.4 Metodo delle costati di tempo i corto circuito Defiiamo iazitutto le costati di tempo i corto circuito di ua rete. Cosideriamo u circuito lieare, coteete solo elemeti lieari statici (resistori e geeratori pilotati) e codesatori lieari. Per semplicità, assumiamo che il circuito o cotega essua maglia costituita da soli codesatori e/o da codesatori e geeratori di tesioe ideali. I questo caso si dimostra che l ordie del circuito, cioè il umero dei suoi poli, coicide co il umero dei codesatori preseti. Come esempio di circuito che ricade i questa tipologia, cosideriamo il circuito equivalete per piccolo segale del tipico amplificatore a emettitore comue (per esempio quello di fig. 7.4) completo di codesatori di disaccoppiameto e di bypass, rappresetato i fig I esso, per semplicità, suppoiamo trascurabile, quidi molto grade, il parallelo R //R 2. v S R S C i r + _ v g m v R C C R v o R C Figura 7.6: Circuito equivalete per piccolo segale dell amplificatore a emettitore comue alle basse frequeze Cosideriamo u codesatore della rete, per esempio C i. Iazittutto passiviamo il geeratore di igresso v S, mettedo al suo posto u corto circuito; se avessimo i igresso u geeratore di correte avremmo dovuto staccarlo dalla rete. A questo puto mettiamo i corto circuito tutti gli altri codesatori della rete e calcoliamo la resisteza R isc che si vede alla porta a cui è collegato il codesatore C i. Tale calcolo si effettua collegado u geeratore di tesioe idipedete di prova v x a tale porta, calcolado la correte erogata i x da tale geeratore ed effettuado il rapporto R isc =v x /i x. Tutte le operazioi descritte soo illustrate ella seguete fig. 7.7.

7 Figura 7.7: Procedura per il calcolo di R isc Il prodotto della resisteza R isc, così calcolata, per la capacità C i che stiamo prededo i cosiderazioe, si chiama costate di tempo i corto circuito i associata alla capacità C i : i = R C isc i Nel ostro caso otteiamo, dalla fig. 7.7, R isc =R S +r, per cui abbiamo che i =( R S +r )C i. Possiamo calcolare le costati di tempo i corto circuito ache per le altre capacità della rete. a seguete figura 7.8 riporta i circuiti che devoo essere utilizzati per il calcolo di R SC e di R SC, cioè rispettivamete la resisteza vista da C quado C i e C soo cortocircuitate e la resisteza vista da C quado C i e C soo cortocircuitate. R S r + _ v g m v R C i x2 R S v x + R r _ v g m v R C R R i x2 v x2 Figura 7.8: Circuiti per il calcolo di R SC =v x /i x e di R SC = v x2 /i x2 Per quato riguarda R SC è evidete che v è ulla, quidi che la correte g m v è ulla. Di cosegueza, la resisteza R SC e la costate di tempo i corto circuito associata alla capacità C valgoo rispettivamete: R SC =R C +R ; = R C = (R SC C+R ) C

8 Ivece l espressioe della resisteza R SC è evidetemete idetica a quella della resisteza di uscita di u iseguitore di emettitore, cioè: R SC R r R // ( ) S, che è di solito molto piccola, per cui risulta che la costate di tempo i corto circuito associata alla capacità C vale: = R SC C R r R S // C ( ) Abbiamo così defiito le costati di tempo i corto circuito e, cotestualmete, imparato come si calcolao. Si può dimostrare che la somma degli iversi delle costati di tempo di u circuito o coteete maglie di codesatori e/o geeratori di tesioe ideali è pari alla somma degli poli del circuito stesso: j j j j (7.6) Nell ipotesi di preseza di u polo domiate, cioè di u polo a frequeza D otevolmete più alta rispetto a quella di tutti gli altri poli, si avrà che la pulsazioe di taglio iferiore del circuito sarà molto vicia a quella del polo domiate, cioè D, per cui, i accordo co la (7.6), si coclude che, i caso di preseza di u polo domiate: D j j e, i defiitiva, che: j j j j (7.7) a (7.7) è l espressioe del metodo delle costati di tempo i corto circuito, che cosiste ello stimare la pulsazioe di taglio iferiore di u circuito come la somma degli iversi delle sue costati di tempo i corto circuito. Nell'esempio di fig. 7.4, quidi, ua stima della pulsazioe di taglio iferiore sarà data da: j j i Si è detto che la (7.7) rappreseta ua stima abbastaza buoa della pulsazioe di taglio iferiore di u amplificatore coteete capacità di disaccoppiameto e/o bypass el caso di preseza di u polo domiate. I realtà si può dimostrare che l'approssimazioe forita dal metodo delle costati di tempo i corto circuito è accettabile ache el caso i cui o sia rispettata la codizioe sulla preseza di u polo domiate, per esempio el caso i cui le capacità iserite el circuito diao luogo alla preseza di due poli coicideti elle viciaze della frequeza di taglio iferiore del circuito. I pratica il metodo forisce ua stima coservativa della frequeza di taglio, el seso che la sovrastima. I altre parole la (7.7) forisce u valore di pulsazioe leggermete più alto

9 rispetto alla vera del circuito, per cui, i defiitiva, la situazioe reale corrispode a ua maggiore estesioe della bada passate del circuito verso le basse frequeze rispetto a quella prevista dalla stima. 7.6 Uso del metodo delle costati di tempo i corto circuito per i dimesioameto delle capacità di disaccoppiameto e di bypass Il metodo delle costati di tempo i corto circuito può essere utilizzato ache per dimesioare i codesatori di disaccoppiameto e di bypass iseriti i u amplificatore i modo da otteere u certo valore della frequeza di taglio iferiore del circuito e, quidi, ua estesioe della bada passate del circuito verso le basse frequeze che sia adeguata rispetto alle specifiche. Per esempio, el caso i cui si debba amplificare u segale audio, sarà ecessario avere ua bada passate, i cui il guadago sia costate al variare della frequeza, che si estede fio a 20Hz, verso il basso, per cui dovremo essere i grado di piazzare la apputo itoro ai 20Hz. Riprededo il circuito che era stato utilizzato come esempio el calcolo delle costati di tempo i corto circuito, rappresetato i fig. 7.4 e i fig. 7.6 i termii di equivalete per piccoli segali (co R //R 2 cosiderata trascurabile), si devoo scegliere i valori delle tre capacità C i, C e C i modo da otteere la pulsazioe di taglio iferiore desiderata. Si può adottare la seguete procedura: - Si cosidera il codesatore al quale è associato il valore più basso per quato riguarda la resisteza che cotribuisce alla determiazioe della relativa costate di tempo i corto circuito. Nel r R S ostro esempio le tre resisteze soo R isc =R S +r, R SC =R C +R e R SC R //. I ( ) codizioi ormali la resisteza di gra luga più piccola fra le tre è la R SC. - Si poe l'iverso della costate di tempo i corto circuito relativa a tale codesatore circa uguale alla pulsazioe di taglio iferiore del circuito: el ostro caso imporremo quidi R C SC - Ifie si dimesioao le altre capacità i modo che il cotributo delle relative costati di tempo i corto circuito ella espressioe (7.7) sia del tutto trascurabile. I pratica si deve imporre che: i Per esempio, si può imporre che ciascu cotributo sia pari a /20 della pulsazioe di taglio iferiore. Di cosegueza la (7.7) forirà il valore desiderato per la frequeza di taglio iferiore f = /2. Si può procedere ache i u altro modo, leggermete differete. Si assega alla capacità associata alla resisteza più piccola u valore tale che 0.8 e quidi R C SC 0.8,

10 cioè si assega al cotributo della relativa costate di tempo l' 80% della pulsazioe di taglio iferiore. Il restate 20% viee assegato i parti uguali ai cotributi delle altre due costati di tempo: i 0. Utilizzado uo di questi due approcci si riesce a miimizzare il valore massimo delle capacità utilizzate, rededo ioltre ache abbastaza omogeei tra loro i diversi valori. Per fare u esempio umerico, suppoiamo che vogliamo otteere ua frequeza di taglio iferiore pari a f =00Hz el circuito preso ad esempio. Suppoiamo di avere R S =5k, R =5k, R C =8k, R =3.3k, =00 e r =2.5k e dobbiamo dimesioare le tre capacità. a resisteza vista da C co le altre due capacità i corto circuito R SC è pari a: r RS R SC R // 3.3// k ( ) 0 metre le altre due resisteze ecessarie per il calcolo delle costati di tempo i corto circuito relative rispettivamete a C i e C soo: R isc =R S +r k e R SC =R C +R =8+5=3 k. Di cosegueza la resisteza miore è quella associata a C, per cui poiamo: f, cioè, che a sua volta forisce il valore di C : 0.8 2f C 0.8 2f R SC [F] 27.4F Ifie si dimesioao le altre capacità: 0. R 0. R Ci 3 isc x x0 C 3 SC [F] 2.F [F].2F Se utilizziamo il metodo delle costati di tempo i corto circuito per stimare la frequeza di taglio iferiore, ua volta assegati i valori calcolati per le tre capacità, otterremmo ovviamete: i 3 7.5x0 2.x x0.2x x rad / s da cui, ovviamete, si ha f = /2 00.4Hz