per Scienze Geologiche prof. Maurizio Spurio

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1 pe Scienze Geologiche pof. Mauizio Spuio 1

2 Il Metodo Scientifico La stoia della Scienza modena inizia in Gecia: nascita della logica, della filosofia, della matematica e pimi tentativi di studiae il mondo utilizzando un abbozzo di metodo scientifico Ossevazioni e misue Costuzione di un modello matematico Utilizzo pedittivo del modello Confonto ta pedizioni e nuove ossevazioni La Scienza è la gande avventua di esploazione collettiva dell Umanità. Galileo, Il metodo scientifico è distibuito e non è appannaggio di un solo soggetto. Gli scienziati non sono isolati, ma fomano una comunità unica.

3 Da infinito I mattoni dell Univeso sono gli atomi, costituiti a loo volta da elettoni, potoni e neutoni. Gli atomi si iuniscono e fomano Molecole Gli elettoni sono legati al nucleo dalla foza elettica. Potoni e neutoni sono legati ta loo da una foza più intensa, la foza fote. - Le stelle splendono pe tanto tempo a causa della foza debole. - Gli oggetti celesti sono legati dalla foza di gavità.a infinito 3

4 Fisica e Geologia 4

5 Le illustazioni utilizzate sono nella maggio pate estatte da: Halliday-Resnick-Walke, CEA. Libi di Testo Gli agomenti tattati sono pesenti in tutti i libi di Fisica Geneale che contengano: Meccanica Elettomagnetismo 5

6 Alto libo in altenativa: Fisica pe ingegneia e scienze - Ristampa iveduta e coetta di: Michael E. Bowne Pezzo: Euo 3,00, 480 pagine collana: Schaum's 6

7 Catoon Physics: non un libo di testo, ma.. The catoon guide to physics di Lay Gonick & At Huffman HapeCollins Publishes divetente, coetto (ed utile pe l inglese ) 7

8 Avvetenza Le seguenti taspaenze sono utilizzate duante la lezione. NON possono quindi essee consideate autoconsistenti, ma necessitano delle spiegazioni, di alcune dimostazioni e passaggi pesentate duante la lezione (magai sulla tadizionale lavagna). Sono peò utili pe aiutae lo studente a pendee appunti, pe avee sottomano le fomule da usae negli esecizi e pe selezionae nei libi consigliati le pati svolte. Mauizio Spuio 8

9 L esame L iscizione agli esami è OBBLIGATORIA: basta un mail a mauizio.spuio@unibo.it L esame è ORALE. Pe accedee all oale occoe supeae un (semplice) scitto con voto in 30mi. Il voto dello scitto non condiziona il voto finale (con 18 allo scitto si può avee 30 e lode) Genealmente, la duata dell esame oale è invesamente popozionale al voto dello scitto. Dopo due scitti insufficienti, si può sostenee l oale. Dall espeienza, la pobabilità di pendee un voto> 18 è piccola. La validità degli scitti è di due sessioni. Il voto dello scitto con cui si patecipa all oale è comunque il miglioe ta i voti conseguiti. Alte domande? 9

10 1. Misuae oggetti 10

11 Sistemi di ifeimento Sistemi di ifeimento: necessai pe localizzae un evento nello spazio e nel tempo Genealmente, utilizzeemo un Sistema di Rifeimento Catesiano Otogonale (SiRCO). Un evento e localizzato con le coodinate: (x,y,z,t) 11

12 Misue di segmenti e distanze: il METRO misuae un segmento significa adottae una pocedua di misua, utilizzando una gandezza omogenea da confontae Meto Campione (1796) Definizione di campione. Requisiti: peciso accessibile ipoducibile invaiabile Oggi: Si utilizzano le conoscenze della Fisica (quantistica, atomica, elatività ) 1 m = lunghezza pecosa dalla luce in 1/ s 1

13 Misue di Tempo Misua di un intevallo di tempo: si utilizza un fenomeno peiodico Il giono solae è stato un buon campione e pe molto tempo. Tuttavia, la duata del giono e vaiabile (pe motivi astonomici) 1 s = tempo necessaio all atomo di 133 Cs pe effettuae oscillazioni 13

14 Un alto moto peiodico: il pendolo (lo studieemo più avanti) 14

15 Il Sistema Intenazionale - Misua di Massa: il Kg Esiste un campione di massa (1 kg), un cilindo di platino-iidio consevato pesso l Ufficio Int. Pesi e Misue di Seves Oggi, si pefeisce utilizzae come campione l atomo di 1 C, il quale ha una massa di: m( 1 C) = kg 15

16 Alte unità di misua del SI - Misua di Tempeatua: il Kelvin (K) (Cap. xx) - Misua di Caica Elettica: Il Coulomb (C)* - Misua di quantità di sostanza: la mole (mol) (Cap. xx) (Cap. xx) - Misua di intensità luminosa: la candela (cd) *nota: il ealtà il C nel SI è ecentemente divenuta gandezza deivata dall Ampee. Pe semplicità didattica, consideo l Ampee deivato dal Coulomb, e non vicevesa. 16

17 -Gandezze scalai e vettoiali La posizione di un copo in un SiRCO è definita da una tena di gandezze (x,y,z). Le gandezze che, come la posizione, hanno bisogno di 3 numei pe essee definite, sono chiamate vettoi. In maniea analoga, un vettoe può essee definito da (vedi esempio a lato): un modulo (o intensità dalla sua diezione da un veso Una gandezza vettoiale viene sempe indicata in gassetto o con la feccia : v, v Il modulo del vettoe viene indicato senza feccia! Il tempo è invece una gandezza scalae: si indica con il caattee nomale: t 17

18 Vesoi I vesoi unitai Una volta scelto uno SiRCO, ciascun vettoe spostamento può essee costuito con te componenti sugli assi otogonali: a = a 1 + a + a 3 a = a x i+ a y j + a z k a a Caso bidimensionale: Si può veificae che: x y = a cosϑ = asinϑ a = tgϑ = a x a a y x + a y 18

19 Caso tidimensionale: Pe definie el 3 componenti di un vettoe, occoe un modulo e due angoli: a a a x y z = a cosϑ cosϕ = a cosϑ sinϕ = sinϑ a = a x + a y + a z Esecizio: mostae che se c=a + b, alloa: c x = a x +b x, c y = a y +b y, c z = a z +b z tg ϕ = tg ϑ = a a y x a a x z + a y 19

20 Somma di vettoi Si può andae dalla patenza all aivo sia con un unico step, sia con due (o più) Questa opeazione e la somma vettoiale di due vettoi. Pe la somma dei vettoi si usa gaficamente la egola del paallelogamma. Esecizio.1: Mostae come devono essee i vettoi a e b peché i) a + b = a ii) a + b = a iii) a + b = 0 0

21 Moltiplicazione di uno scalae pe un vettoe Il isultato del podotto di uno scalae k pe un vettoe v è una gandezza vettoiale, con la stessa diezione e veso concode (se k>0) del vettoe, e modulo pai al podotto kv. Esecizio : mostae che se k=-1 la diezione del vettoe si invete 1

22 Podotto Scalae ta vettoi Dati i vettoi a e b: a = a x i+ a y j + a z k b = b x i+ b y j + b z k Si definisce podotto scalae ta vettoi la gandezza scalae: a b = a b cosφ Il podotto scalae (il puntino è obbligatoio!) è una opeazione molto impotante in Fisica; infatti, molte gandezze vettoiali (spostamento, velocità, foza ) si combinano ta loo pe fomae alte gandezze scalai tamite il podotto scalae. Il pototipo di queste è il lavoo (dimensionalmente, F s) Esecizio: mostae che: a b= a x b x + a y b y + a z b z

23 Podotto vettoiale ta vettoi Dati i vettoi a e b: a = a x i+ a y j + a z k ; b = b x i+ b y j + b z k Si definisce podotto vettoiale ta vettoi la gandezza vettoiale: c = a b il modulo e : a b sinφ la diezione è pependicolae al piano contenente a e b; il veso è dato dalla egola della mano desta. Esecizio: mostae che: a b= (a y b z - a z b y ) i+ (a z b x - a x b z ) j+ (a x b y - a y b x ) k 3

24 I vettoi e le leggi della fisica Supponiamo di avee due ossevatoi, ciascuno con il suo SiRCO. Nei due sistemi, i vettoi a e b avanno diffeenti componenti; tuttavia, le opeazioni di somma, podotto scalae e podotto vettoiale ta vettoi imangono immutate. Ogni volta che ho espesso una legge in foma vettoiale, non ho bisogno di veificae se la legge esta immutata se io taslo (=sposto l oigine del SiRCO) o uoto il SiRCO. Esecizio: mostae che se a= a x + a y alloa a= (a x + a y ) con: a x = (a x cosφ+ a y sinφ) a y = (a x sinφ - a y cosφ) Esecizio: mostae che se a b= a x b x + a y b y + a z b z Alloa è anche: a b= a x b x + a y b y + a z b z 4

25 3- Cinematica del punto 5

26 Un punto mateiale è localizzato dal vettoe posizione Una vaiazione di posizione si definisce spostamento e viene indicata da = - 1 Si definisce l insieme dei punti nello spazio toccati dal punto in istanti di tempo successivi taiettoia della paticella. 6

27 Vaiazione della posizione Si definisce velocità media il appoto ta lo spostamento della paticella e la duata t dell intevallo in cui avviene. Nel caso in cui l intevallo di tempo sia infinitesimo (dt), la diezione dello spostamento d coincide con la tangente alla taiettoia. 7

28 Velocità Si definisce velocità (o velocità istantanea) il appoto: v = d dt La velocità e una gandezza le cui dimensioni sono [spazio]/[tempo]. Nel S.I. si misua in m/s La velocità di una paticella in un punto ha sempe la diezione di d, ossia della etta tangente alla cuva che appesenta la taiettoia. Se la taiettoia è data in foma paametica del tempo come: = x(t)i + y(t) j + z(t)k (questa equazione si chiama legge oaia) alloa le componenti della velocita sono: dx dy dz vx = ; vy = ; vz = dt dt dt 8

29 Acceleazione Si definisce acceleazione di un copo il appoto: a = dv dt = d dt L acceleazione e una gandezza le cui dimensioni sono [spazio]/[tempo ]. Nel S.I. si misua in m/s La acceleazione di una paticella appesenta la vaiazione di velocità al vaiae del tempo. L acceleazione è una gandezza molto impotante. Mosteemo che il moto di un copo (= legge oaia!) è noto se è nota l acceleazione. In alti temini: conosci a pe conoscee il moto! 9

30 Esecizio 3.1. Calcolae le componenti della velocità se: = kt i - bt j. Esecizio 3.. Disegnate la taiettoia della paticella dell es. 3.1 (k=4, b=1) Esecizio 3.3. Calcolae le componenti della acceleazione se: = kt i - bt j. 30

31 Il poblema dietto della cinematica: dalla taiettoia all acceleazione Speimentalmente, è possibile conoscee la taiettoia di un oggetto lanciato da un cannone : y=-αx +βx (vedi figua). Siete in gado di icavae velocità ed acceleazione? Risposta: si. Occoe dappima scivee la legge oaia (paametizzae le coodinate in funzione del tempo): x(t) = v ox t y(t) = -½ g t +v oy t z(t) = 0 (sostituite pe deteminae v ox, v oy,g da α e β) 31

32 Toveete così che il moto lungo l asse x avviene a velocità costante e senza acceleazione (moto ettilineo unifome), mente lungo l asse delle y avviene con velocità che aumenta lineamente col tempo, ed acceleazione costante (moto unifomemente acceleato). I due moti sono indipendenti l uno dall alto Una volta nota la taiettoia, si possono icavae dalla definizione velocità ed acceleazione del copo in movimento. Nel nosto caso: v v x y dx( t) = = vxo; dt dy( t) = = gt + v dt yo ; dvx( t) ax = = 0 dt dvy( t) a y = = g dt 3

33 Il poblema inveso: dalla acceleazione alla taiettoia. Il punto fondamentale saà che avemo una legge che ci pemetteà di conoscee l acceleazione di un copo note le sue inteazioni con gli alti copi. In tal caso, si potà isolvee il poblema inveso della cinematica: ossia potemo isalie dalle inteazioni ta copi al moto dei copi stessi. Se conosciamo le inteazioni, potemo lanciae satelliti, fa muovee come vogliamo gli elettoni nei tubi catodici della TV 33

34 4. La foza 34

35 Definizione opeativa di foza Tutti conoscono il concetto antopomofico di sfozo muscolae, che è un descittoe (NON una gandezza fisica) di una sensazione comune. Toveemo che dovemo applicae uno sfozo muscolae pe vincee una foza che può essee di vaia natua (gavitazionale, elettica ) Dobbiamo tovae un pocedimento opeativo con cui espimee questo nuovo concetto. Lo stumento che ci pemette di essee quantitativi è il dinamometo (D). Noi dobbiamo esecitae uno sfozo pe sollevae un cocomeo. La molla del (D) si allunga di una quantità l. Dobbiamo esecitae uno sfozo doppio pe sollevae due cocomei: la molla del (D) si allungheà di l. Attenzione: dovemo cuae le popietà dello stumento (lineaità). 35

36 Il dinamometo e la foza Vi è coispondenza ta lo sfozo e la foza esecitata. Lo stumento è lineae Quando notiamo che vi è una vaiazione di velocità su un copo, possiamo affemae che su questo si è esecitata una foza Lo stumento che utilizziamo pe misuae le foze è il dinamometo. La foza è una gandezza vettoiale: infatti, la somma di due foze dà come isultato una foza il cui modulo,diezione e veso è dato dalla somma dei 36 vettoi.

37 Natua vettoiale della Foza E anche questa una ossevazione di caattee speimentale. Foze con divese diezioni: Foze con la stessa diezione Risultante delle foze con la egola del paallelogamma 37

38 La massa e la II Legge della Dinamica Speimentalmente, si è ossevato che se viene applicata una foza, su un copo si poduce una acceleazione (l ossevazione poviene da Galileo). F a Newton fissò il coefficiente di popozionalità, che dipende da una popietà del copo soggetto alla foza: la sua massa. F = ma Seconda legge di Newton. La foza (misuabile con un dinamometo) agente su un punto mateiale è popozionale all acceleazione podotta tamite un coefficiente che è la massa del punto mateiale. 38

39 Le unità di misua della foza Tale elazione espime una legge, che lega gandezze fisiche divese (F, misuabile con un dinamometo, e a, misuabile con meti e conometi). Poiché l unità di massa è fissata, e l acceleazione è definita, la II Legge di Newton pemette di definie l unità di foza: Se un oggetto di massa 1 kg subisce una acceleazione di 1 m/s, su di esso si esecita una foza pai a 1 Newton (N). 1 N= 1 kg ms -. Le dimensioni della Foza sono: [Foza] = [MLT - ]. 39

40 La pima legge della Dinamica Esistono delle situazioni in cui la II Legge di Newton semba falsa: Ad es, su di una giosta otante un oggetto non ancoato inizia a muovesi, senza che appaentemente vi sia una foza esecitata. Newton si ese conto di questo nella sua I legge: Pima legge di Newton. Se su un copo non agisce nessuna foza, la velocità del copo non può cambiae, ossia il copo non accelea. Come coollaio, ne consegue che la II legge NON è valida in tutti i sistemi di ifeimento (ad es. su una giosta). I sistemi di ifeimento in cui è veificata la II legge della Dinamica si chiamano sistemi di ifeimento ineziali (SRI). La giosta non costituisce un SRI. Qual è un SRI è un poblema di natua speimentale, e dipende dal gado di pecisione con cui si devono isolvee i poblemi. Esecizio 4.1. La tea è un sistema di ifeimento ineziale? Ese.4.. Sapeste fa vedee che se conoscete 1 SRI, alloa ne conoscete infiniti? 40

41 5-Alcuni esempi di foze? 41

42 5.1 foza peso Noi abbiamo espeienza del fatto che, se lasciamo un copo ad una ceta altezza, esso cade. Sul copo agisce una foza, che è la foza gavitazionale (di cui discuteemo in seguito). In possimità della tea, qualunque copo (se tascuiamo l attito), cade con la stessa acceleazione, ossia è soggetto a una foza costante lungo la veticale che si chiama foza peso: F = mg Attenzione 1: il peso è una foza, e si misua in Newton, la massa si misua in kg! Attenzione : con la foza peso, conviene fa coincidee uno degli assi di un SiRCO con la veticale. In tal caso, si possono omettee anche i simboli di vettoe! 4

43 La III legge della dinamica (azione e eazione) Se appoggiate un oggetto su un tavolo, su di esso agisce la foza peso, ma l oggetto non cade! Questo avviene peché la supeficie del tavolo spinge il copo con una foza N, esattamente contaia al peso. (La supeficie,anche se appaentemente igida, si defoma. Sono foze elettiche ta i micoscopici costituenti della mateia che eagiscono al peso) Teza legge di Newton. Quando due copi inteagiscono, le foze esecitate da un copo sull alto sono uguali in modulo e diezione, ma veso opposto. Impaeemo che le foze possono esecitasi non solo quando vi sia un contatto, ma anche con azione a distanza (foze gavitazionali, elettiche ). Anche in tal caso si applica la teza legge 43

44 Esempio: il moto dei poiettili Studiamo il moto di un poiettile, sottoposto alla foza peso F=-mg lungo l asse delle y. Esso e lanciato con velocità v o = 330 km/h dall oigine del SiRCO ad un angolo θ o = 60 o ispetto l oizzonte. Deteminae la gittata R e la sua massima altezza. Risoluzione: occoe dappima scivee le equazioni del moto: F x = mdv x /dt= 0 v x (t)= v 0x x(t)= v 0x t F y = mdv y /dt= - mg v y (t)= - gt + v 0y y(t)= - ½gt + v 0y t La gittata R e la massima altezza possono essee deteminate icavando la taiettoia del copo (una paabola): y(x)= - ½(g/v 0x)x + (v 0y/ v 0x )x e ichiedendo che intesechi l asse y=0. La massima altezza come si può deteminae? 44

45 5. L attito La nosta espeienza quotidiana è contaminata dalla foza di attito, sia quando tasciniamo un oggetto appoggiato su una supeficie (attito dinamico) sia quando lasciamo cadee un oggetto leggeo in aia (esistenza del mezzo). Un paticolae di cosa avviene a livello quasi micoscopico ta due mateiali in contatto, da cui si oigina la foza di attito 1- Attito dinamico: il modulo della foza viene paametizzato dalla fomula: F= µn dove N è la componente nomale della foza, e µ un coefficiente che dipende dai mateiali in contatto In pesenza di attito, oggetti divesi possono avee velocità divese! - Resistenza del mezzo: il modulo della foza viene paametizzato dalla fomula: F=ηv Dove v è la velocità del copo, η è un coefficiente. 45

46 Fisica e Matematica: la velocità di caduta limite Esecizio 5.1. Calcolae la massima velocità aggiunta da un oggetto (goccia di pioggia, paacadutista) con coefficiente η in caduta libea. F m dv dt = mg ηv Equazione del moto dalla II legge della dinamica dv dt = Soluzione g η v m η d( g v) m m η dt g v( t) = η η g = t m 1 e η m t >> η Equazione diffeenziale da isolvee pe sepaazione delle vaiabili η m dy = g v = m η dt y dy y v η = dt m limite Esecizio 5.. Cosa succede se η=0? 46

47 5.3 La foza elastica Soluzione: sciviamo l equazione del moto: La funzione che soddisfa questa equazione è: In Natua molte situazioni possono essee assimilate alla foza di ichiamo di una molla. Se si sposta dalla posizione di iposo una molla di una quantità x, questa esecita una foza di ichiamo che viene paametizzata da: F= -k x (legge di Hooke) Esecizio 5.3. Descivee il moto di un oggetto mateiale allontanato di x 0 dall equilibio e soggetto ad una foza di ichiamo elastica, tascuando l attito. d x m dt = kx ( ϖt) x(t) = x o cos, con ϖ = 47 k m

48 5.4 Il moto cicolae unifome θ Un moto si chiama cicolae unifome, se achi di ciconfeenza θ della stessa gandezza, vengono spazzati in tempi uguali (ossia, con velocità in modulo costante). Quindi, pe definizione dθ/dt = cost = ω In Natua molte situazioni sono equipaabili a questo moto (i pianeti attono al Sole, gli elettoni negli atomi ). Nel caso della figua, le componenti del moto sono descitte dalle eq: x(t) = cos( ϖ t) y(t) = sin( ϖ t) Ciò significa che a t=0 x(0) =, y(0)=0 48

49 Velocità nel moto cicolae unifome Esecizio 5.4:Come sciveeste le coodinate del vettoe uotato di +90 o (senso antioaio) ispetto ad? Nel Moto cicolae unifome, la velocità cambia istantaneamente di diezione, ed è sempe pependicolae al aggio. v x (t) v y (t) dx dt dy dt = ϖ sen( ϖ t) = ϖ cos( ϖ t) Esecizio 5.5 Mostae l affemazione pecedente. Soluzione: Povae a calcolae il podotto scalae v. Poiché vi è vaiazione di velocità (anche se il modulo della velocità imane costante), vi e acceleazione!! Ossia, deve esseci una foza che deflette continuamente il vettoe v 49

50 Acceleazione nel Moto Cicolae Unifome a a x y (t) (t) dv dt dv dt x y = ϖ = ϖ cos( ϖ t) sen( ϖ t) = ϖ = ϖ Nel moto cicolae unifome, deve esistee una acceleazione che continuamente deflette il moto. L acceleazione deve essee adiale, veso il cento e di modulo: a=ω = v / L acceleazione saà dovuta ad una foza estena. Questa foza si chiama centipeta, e saà dovuta a qualche fenomeno fisico (ad es. l attazione ta pianeti, o la foza elettostatica attattiva ta potoni ed elettoni). Poiché la paticella non cade nel cento, la foza centipeta è esattamente contobilanciata dalla foza centifuga, di modulo pai a F C =mω =mv / x y In alti temini, si ha un moto cicolae unifome qualoa una foza centale (gavitazionale, Coulombiana) venga esattamente bilanciata dalla foza 50 centifuga. In seguito: moto di pianeti, atomo

51 6. Il Lavoo e l enegia 51

52 Lavoo, enegia cinetica e enegia potenziale Di seguito, definiemo alcune nuove gandezze fisiche scalai: il lavoo, l enegia cinetica e l enegia potenziale. (Il lavoo è l integale su un pecoso, del podotto scalae ta la foza e uno spostamento infinitesimo sul pecoso.) Toveemo che, gazie alla II legge di Newton, potemo calcolae il lavoo di una foza ta due punti nello spazio, come la vaiazione di enegia cinetica ta i due punti. Infine toveemo che, pe alcune foze dette consevative, il lavoo non dipende dal (pecoso) cammino scelto. In questo caso, è definita una nuova gandezza (l enegia potenziale) che dipende dai soli punti di aivo e patenza. Nel caso delle foze consevative, la somma di l enegia cinetica e l enegia potenziale (=enegia) sono costanti del moto (ossia, l enegia è la stessa in tutti i punti del pecoso). 5

53 Il Lavoo di una foza 1- Supponiamo di conoscee la foza F in tutti i punti di una egione di spazio (=campo di foze) F=F(), F=F(x,y,z) - Consideiamo una cuva nello spazio che connetta i punti A e B Possiamo DEFINIRE una nuova gandezza fisica, come l integale del podotto scalae ta la foza ed un elemento infinitesimo di cuva. L integale è sempe calcolabile, ed il isultato è uno scalae L B F d s A La nuova gandezza si chiama lavoo, e si misua in (Newton Meto) = Joule 53

54 Casi semplici: spostamento unidimensionale e 1- Foza costante e paallela allo spostamento [caso (d) in fig.] - Foza costante e nomale allo spostamento [(b) in fig.] 3- Foza costante ad angolo fisso ispetto allo spostamento [casi (a,c) in figua] s 4- Lavoo svolto dalla Foza peso F g =mg: Nel secondo caso sposto la massa m veso l alto pe un tatto lungo h: L= mgh(cos180 o )=-mgh Nel pimo caso, la massa m viene spinta veso il basso: L= mgh(cos0 o )=+mgh Es Cosa succede se mi sposto di h in oizzontale? I h mg II h 54

55 Lavoo della foza elastica Allontaniamo un blocco (fissato con una molla) dalla posizione di equilibio (foza negativa sull asse x, spostamento positivo sull asse x): L B A F d s x x o ( ks) d s = 1 kx o 1 kx = numeo ( J ) Occoe fonie un lavoo dall esteno pe allontanae il blocco dalla posizione di iposo. Il lavoo è negativo se compiuto sulla molla. Es Cosa succede se sposto il blocco, compimendo la molla? 55

56 Il lavoo è sempe calcolabile, note le foze In geneale, il lavoo è una gandezza scalae (numeo!) che è sempe calcolabile se la foza è nota (potanno eventualmente esseci poblemi di calcolo, avemo bisogno di un calcolatoe). Può succedee che il numeo sia diffeente se il pecoso scelto è diffeente. 56

57 Enegia cinetica (Teoema delle foze vive) In vitù della II Legge di Newton: F=ma=mdv/dt il lavoo ha una impotante popietà: L B A F d s = B A m d v dt d s = 1 mv B 1 mv A Definiamo enegia cinetica la gandezza: T 1 mv (Teoema delle foze vive): Il lavoo compiuto dalla isultante delle foze agenti su un punto mateiale da A a B è uguale alla diffeenza ta l enegia cinetica posseduta dal punto nella posizione finale ed in quella iniziale: L = T B -T A 57

58 La potenza Un lavoo può essee svolto in più o meno tempo. Pe molti scopi questo aspetto è impotante. La apidità con la quale viene eseguito un lavoo si chiama potenza (appoto di quantità scalai=scalae): P dl dt = ( F d s ) dt Una foza non compie lavoo se la foza è pependicolae allo spostamento (ovveo, foza e velocità otogonali). P>0 se la foza e lo spostamento sono concodi: la foza esecita un lavoo P<0 se foza e spostamento sono discodi: occoe esecitae un lavoo esteno sul copo pe muovelo conto la foza in questione. = F v La potenza nel SI si misua in Joule/s. Poiché è una unità molto comune: 1 Watt = 1 joule/s 58

59 7. Legge della consevazione dell Enegia 59

60 Foze consevative e non Supponendo di spostae il punto mateiale dalla posizione P 1 a P su divesi pecosi, toviamo che pe alcuni campi di foze il lavoo NON dipende dal pecoso scelto. In questo caso, la foza e detta consevativa. In caso contaio, il campo è non consevativo In alti temini, il lavoo complessivo svolto da una foza consevativa su una paticella che si muove su un pecoso chiuso è zeo. 60

61 Esempi di foze: quali sono convevative? Foza peso, F z =mg Foza di tipo centale, F = k Foza di attito F x = xy ; F y =y ; F z =0 Caso impotante! 61

62 Enegia Potenziale Se (e solo se) il campo di foze è consevativo, alloa è possibile definie una funzione scalae della sola posizione, l Enegia Potenziale U(). Il lavoo della foza dipende solo dalla vaiazione dei valoi della funzione U() ta i punti iniziale e finale. L = B [ U ( B) U ( A ] = U F d s ) A Esempi: Foza peso, U=mgz Foza di tipo centale, U = k 1 6

63 In geneale, la funzione enegia potenziale U() deve essee deteminata poblema pe poblema! Se tiene fissa la posizione di patenza (ad es., nell oigine del SiRCO o ad una distanza dall oigine), la funzione enegia potenziale dipende solo dal punto di aivo. In tal caso, U() è definita a meno di una costante additiva (abitaietà della posizione di patenza). Enegia Meccanica Definiamo enegia meccanica E la somma di enegia cinetica T ed enegia potenziale U: E = T + U -L enegia totale E di un sistema può vaiae solo se viene tasfeita enegia dal (al) di fuoi del sistema. Se questo non può avvenie, il sistema si chiama isolato. - In un sistema isolato, l enegia meccanica si conseva. 63

64 Legge di consevazione dell enegia meccanica 64

65 Teoema delle foze vive: il lavoo svolto dalle foze eguaglia la vaiazione di enegia cinetica: L=T -T 1 Se il campo di foze è consevativo, L=U 1 -U alloa la quantità: E U +T =U 1 +T 1 imane costante lungo tutta la taiettoia del moto -La legge della consevazione dell enegia meccanica è molto impotante e veà genealizzata. - E una legge pedittiva (possiamo icavae infomazioni) Es. 7.1 A quale velocità deve essee spaato un azzo sulla supeficie teeste in modo che iesca a fuggie all attazione della Tea? 65

66 8. Sistemi di punti, quantità di moto e uti 66

67 67 Come si muove un insieme di punti? Cos è un copo igido? Occoe definie il cento di massa. Mosteemo l equazione che govena il moto del cento di massa Consideiamo un insieme di punti in un SiRCO. Si definisce C.M. Cento di Massa (C.M) il punto di cood: = = = = = = N i i N i i i m c N i i N i i i m c N i i N i i i m c m m z z m m y y m m x x ; ; Il C.M. è un punto fittizio che può coispondee a nessun punto eale. = = N i i N i i i m c m m Cento di massa

68 Copi igidi Un Copo igido è composto da costituenti la cui distanza elativa non cambia. La distanza viene mantenuta costante da Foze Intene. Anche pe un copo igido può essee definito il C.M., sostituendo il denominatoe con la massa M del copo, ed il numeatoe da un integale. (Un copo igido è costituito infatti da un numeo così gande di punti che può essee consideato come una distibuzione continua di massa.) Equazione del Moto pe i Copi Rigidi F net = M a c. m Acceleazione del C.M. Somma vettoiale di tutte le Foze Estene. Dimostazione: alla lavagna. 68

69 Quantità di moto Si definisce quantità di moto di un oggetto la gandezza: p m v Si definisce quantità di moto di un sistema di N punti: p N = i 1 m i v La quantità di moto è una gandezza fisica impotante. Infatti, se sul sistema di punti non agiscono foze estene (ma solo intene) la quantità di moto del sistema non vaia (si conseva) Dim: dp dt p = costante d = dt i (sistema chiuso e isolato) dv dt N N i m i i vi = m i i = Fext + F = 1 = 1 int = F ext 69

70 Uti La quantità di moto è utile pe studiae gli uti. Un uto è un evento nel quale una foza agisce pe un tempo elativamente beve, su ciascuno di due copi in contatto. Sistema chiuso e isolato 1 In un sistema chiuso ed isolato, la quantità di moto P esta invaiata. p 1, i + p, i = p1, f + p, f Se nell uto ta due copi l enegia cinetica totale non cambia, l uto si chiama elastico. Negli usuali uti ta oggetti comuni, una ceta pozione di enegia si tasfeisce da cinetica ad alte fome. 70 In questi casi, l uto si chiama anelastico.

71 Esempio: uti uni-dimensionali Uto elastico Uto completamente anelastico m v 1 1 1, i m v = 1, i m + 0 = m m v 1 1 1, f m v 1 + m v 1, f +, f 1 m v m, f 1 1 v 1, f = v1, i; v, f = v1, i m1 + m m1 + m m v i + = ( m m ) V 1 1, m 1 V = v1, i ( m1 + m) 71

72 Esempio: il pendolo balistico Esecizio 8.1: Il pendolo balistico ea un dispositivo usato pe misuae la velocità dei poiettili. Assumendo che la massa del legno in figua sia M=5.4 kg, quella del poiettile che si aesta nel blocco di legno m=9.5 g, e che il pendolo si sollevi pe una distanza veticale di h=6.3 cm, deteminae la velocità del poiettile pima della collisione. Risoluzione. Occoe suddividee il poblema in due pati: (1) l uto completamente anelastico ta poiettile e legno, e () l innalzamento del blocco conto la foza di gavità. Dopo l uto, la velocità complessiva del blocco è V=mv/(m+M). Pe innalzamento, l enegia cinetica del sistema [1/ (m+m)v ] si tasfoma in enegia potenziale gavitazionale [(m+m)gh], da cui si icava: M + m v = gh = 630m / s m 7

73 9. Gandezze angolai; Momento di una foza; Momento Angolae 73

74 Gandezze angolai Posizione angolae: misuata in adianti θ= lunghezza aco/aggio=s/ Spostamento angolae: θ = θ 1 θ Velocità angolae: ϑ ϖ = lim = t 0 t dθ dt Nel caso in cui la posizione angolae vaia in modo costante (s=θ), la velocità angolae ω è costante (moto cicolae unifome). La velocità del punto è semplicemente: v=ds/dt = ω Il peiodo è semplicemente: (lunghezza ciconfeenza/velocità) =π π/v =π/ω 74

75 Momento di una foza Empiicamente, sappiamo che è più semplice apie una pota vicino alla maniglia, piuttosto che in possimità dei cadini, anche con la stessa foza. Peché si causi una otazione, non solo è necessaia una foza, ma anche che sia applicata in un punto conveniente. Definiamo il momento della foza la gandezza: il modulo è τ=f sinφ, diezione nomale al piano di e F. Condizione peché un copo venga messo in otazione, è che vi sia un momento della foza non nullo. τ F Es. 9.1 Mostae che nel caso di una foza centale, il momento della foza e nullo. 75

76 Momento angolae Il concetto di quantità di moto, e la sua consevazione, ci consentono di pevedee gli effetti di una collisione, senza conoscene la dinamica in dettaglio. La nuova gandezza che intoduciamo (il momento angolae) è soggetto ad una analoga legge di consevazione. Consideiamo una paticella con quantità di moto p=mv. Possiamo definie il momento angolae (o momento della quantità di moto): l = p Vettoe otogonale al piano di p e, e di modulo p senφ Momento angolae di un sistema di paticelle L = i= 1,N l1 + l l N = l i 76

77 Relazione ta τ e l Ta momento della foza e momento angolae, esiste una elazione analoga alla II legge di Newton F =dp/dt = τ dl dt Dimostazione: dl dt dv d = m( + dt dt = ( ma ) = τ v) = m( a c. v. d. + 0) = Una vaiazione del momento angolae induce un momento della foza, che povoca una otazione di un oggetto (sistema) 77

78 Momento angolae e foze centali Un caso impotante e quando la foza e di tipo centale F=F() In tal caso infatti, il momento τ della foza e nullo, e quindi: dl dt = 0 l = cost (Vedemo avanti che la foza gavitazionale è una foza centale) Il momento angolae e costante in intensità, diezione e veso. Nota: In alcuni testi, il momento angolae viene chiamato momento 78 della quantità di moto

79 Consevazione del momento angolae Se il momento netto delle foze agenti su un sistema è nullo, alloa si ha dl/dt = 0, ossia : L = costante (sistema isolato) indipendentemente dai cambiamenti che intevengono all inteno del sistema. Pe la natua vettoiale di τ, se una componente e nulla, alloa la componente dil lungo quella diezione imane costante, indipendentemente dalle alte. 79

80 Implicazioni in astofisica: pulsa La consevazione del momento angolae ha impotanti conseguenze anche in Astofisica: una pulsa e oggetto di aggio R~ 10 km che imane dopo la mote di una stella. Poiché le Stelle come il Sole ( sun =10 9 m,) uotano (T sun =30 gioni), si ha: mϖ ϖ T pulsa pulsa Sta Sta = = 10 sta pulsa 10 = mϖ T Sta ϖ pulsa Sta = 10 pulsa 10 ~ ϖ Sta s = 0.3ms 80

81 10. Gavitazione Univesale 81

82 Sinoa, abbiamo palato di gandezze cinematiche (velocità, acceleazione) e di gandezze dinamiche (foze,..). Abbiamo tovato la elazione ta queste gandezze (Leggi di Newton, leggi di consevazione). Rimane una domanda: Che cosa oigina le foze? E questo il poblema che deve isolvee la fisica; sino a poco tempo fa si conoscono 4 tipi di foze fondamentali: Foza gavitazionale, oiginata dalle masse; Foze elettomagnetiche, oiginate dalle caiche elettiche e dal loo moto; Foze foti, all inteno dei potoni (e alti adoni), oiginate da caiche di coloe; Foze deboli. Regolano le eazioni nelle stelle [Negli anni 70, si e compeso che le foze deboli e le foze elettomagnetiche sono aspetti divesi dello stesso meccanismo] L Uomo pe pimo ha avuto espeienza coi fenomeni gavitazionali. 8

83 [In temini di fisica modena, si pensa che una massa possa defomae la geometia dello spazio-tempo. Anche se matematicamente complicato, questo concetto ha una semplice appesentazione nel caso bidimensionale! ] La Foza Gavitazionale. Tutto si basa sull ossevazione che le masse si attaggono! Non solo oggetti vengono attatti dalla Tea (caduta libea) ma anche la Luna e attatta (e cade!!) sulla Tea. I. Newton (1665) fomulo la Legge di Gavitazione Univesale: F m m 1 11 = G ˆ G = ( Nm / kg ) m 1 ed m appesentano le masse, la distanza mente G e la costante Gavitazionale (da misuae speimentalmente) 83

84 Gavita sulla supeficie Teeste In ealtà, la mela attae la Tea così come la Tea attae la mela (III Legge). Tuttavia, gli effetti sono più evidenti sulla mela, in quanto l acceleazione (II legge) sulla mela e molto più gande, mente e tascuabile pe la tea. Povae a veificalo! [La cosa difficile da mostae, e che se la mateia si distibuisce unifomemente a gusci, alloa e come se tutta la massa fosse concentata nel suo cento. Newton invento il calcolo integale pe isolvee questo poblema!] Noi conosciamo gia che i copi cadono in possimita della supeficie Teeste con una acceleazione costante veso il basso: F=mg. E compatibile tale legge con la Legge di Gavitazione Univesale? Supponiamo m = massa tea, T =6300 km 84

85 pesiamo la Tea = massa della Tea F = G mmt ( + h) T Gm T T m = mg g = Gm T T m T = gt G = 9.8 ( ) = kg (Tascuiamo h ispetto a T ; la diezione saa sempe pependicolae alla supeficie teeste) 85

86 La cinematica dei pianeti Sin dall antichità l Uomo ha studiato il moto degli oggetti celesti. Il moto di questi isultava estemamente complicato, a causa pincipalmente di pegiudizi che condizionavano la scelta del sistema di ifeimento. Moto appaente di Mate ossevato dalla Tea nel

87 Ossevazione cinematica del Sistema Solae Tolomeo (10 a.c.): oigine del Sistema di ifeimento: Tea. Composizione di moti cicolai Copenico (1500): oigine del S. di ifeimento: Sole. Composizione di moti cicolai Ossevazioni speimentali di Tycho Bahe ( ) Kepleo (1600):oigine del S. di ifeimento: Sole. Obite dei pianeti ellittiche Le leggi di Kepleo povengono da misue di cinematica. Tuttavia, esse pemettono una intepetazione dei dati in temini di legge dinamica In patica, si tatta di un complesso poblema inveso di cinematica: avendo le infomazioni sul moto dei pianeti, possiamo icavae 87 infomazioni sulla natua di F? SI

88 Le 3 leggi di Kepleo: 1- Le obite dei pianeti sono i) piane (ciascun pianeta la popia) e ii) sono di foma ellittica, con un fuoco occupato dal Sole. - Il aggio vettoe dal Sole al pianeta descive aee popozionali ai tempi impiegati a descivele (velocità aeolae costante) 3- I quadati dei peiodi T di ivoluzione dei pianeti attono al Sole sono popozionali ai cubi del semiasse maggioe a delle ispettive obite ellittiche, T a 3 88

89 Intepetazione in temini di legge dinamica La pima pate della I Legge (obite piane) di Kepleo, e la II Legge implicano che la Foza e di tipo centale: F = F () Un obita piana implica che il vettoe velocita giaccia in un piano. Questo e veo se il vettoe momento angolae l= p e costante. Se la diezione dile costante, v e in un piano 89

90 Foza e di tipo centale consevazione del momento angolae (modulo, diezione, veso). Consevazione del modulo II Legge di Kepleo Se l= p e costante in modulo, si ha la legge delle aee. Infatti: l = = mv p = = psinθ = mω p Consideiamo oa l aea A in aancio in figua: A da dt = 1 ( θ ) 1 dθ = dt 1 ϖ (Questa elazione diviene esatta quando t (ossia θ) tende a 0) da dt l = = m cost 90

91 La teza legge di Kepleo Dalla teza legge di Kepleo, possiamo icavae che la foza ta Sole e pianeti deve essee invesamente popozionale al quadato della distanza. Pe semplicità assumiamo che le obite siano cicolai, ed utilizziamo la condizione di stabilità dell obita (pa. 5.4): F F c N = mϖ GMm = π m = T GMm T 3 = GM 4π 91

92 Si noti che dal valoe speimentale di 3 /T si può deteminae il podotto GM (che noi abbiamo esplicitamente inseito in F N ). In ealta, le obite non sono che appossimativamente cicolai. Utilizzando le obite ellittiche, i diffeenti valoi di 3 /T nella tabella sono spiegati (leggea dipendenza dalla massa del pianeta)!. Tuttavia anche con questa modifica, il valoe pe Mecuio esta leggemente anomalo. Questa anomalia venne spiegata ivoluzionando la teoia della Gavitazione (Teoia della Relatività Geneale di Einstein). La pate matematicamente più complessa da studiae e il fatto che le obite dei pianeti sono ellittiche ( a pate della I legge). Anche questo e conseguenza del fatto che F~1/ 9

93 Conclusioni Le leggi di Newton sono state l esempio più impotante di come ossevazioni cinematiche possano podue leggi dinamiche. La spiegazione della gavita teeste e di quella ta pianeti appesenta il pimo esempio di unificazione dei fenomeni Foti delle leggi della dinamica, possiamo estendee il nosto campo di indagini ad alte banchie della fisica Le leggi di Newton,con la Legge di Gavitazione Univesale, appesentano una delle maggioi conquiste intellettuali dell Umanità 93