Lezione 40 - I corollari di Mohr
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- Vito Motta
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1 ezione 40 - I corollari di Mohr ü [.a : ultima revisione 9 agosto 011] In questa ezione si illustra un metodo per calcolare lo spostamento o la rotazione di un punto di una trave rettilinea, sfruttando equazioni di equilibrio. 'analogia di Mohr Si consideri una generica trave di Eulero-ernoulli. Per essa, e' ben noto che equilibrando un concio elementare nei riguardi della traslazione verticale e della rotazione si ottengono due relazioni differenziali che legano tra loro il carico verticale applicato qhx, lo sforzo di taglio T Hx ed il momento flettente M 1 Hx : dt dx = q dm 1 dx = T Ne segue subito, derivando la () ed usando la (1): (1) () d M 1 dx = q D'altro canto, e' anche noto che la teoria di Eulero-ernoulli si basa sull'ipotesi di planeita' delle sezioni rette, per cui esiste una relazione lineare tra momento flettente e curvatura della sezione retta: dφ dx = M 1 dove fhx rappresenta la rotazione della sezione retta, e la costante di proporzionalita' e' la rigidezza flessionale, ossia il prodotto tra il modulo di Young E del materiale, ed il momento di inerzia I 11 della sezione retta. Infine, l'ulteriore ipotesi a base della teoria della trave di Eulero-ernoulli impone che la sezione retta ruoti dello stesso angolo di cui ruota l'asse neutro, e quindi la rotazione puo' essere espressa in termini di derivata dello spostamento verticale u Hx : () (4) du dx = φ Inserendo la (5) nella (4) si ha poi la nota equazione: (5) d u dx = M 1 Paragonando la (6) con la () si nota che la funzione u Hx puo' essere riguardata come un momento fittizio M Hx causato da un carico fittizio: (6) q = M 11 Dalla (4), poi, paragonata alla (1), si trae che le rotazioni possono riguardarsi come lo sforzo di taglio fittizio (7)
2 94 ezione 40 - I corollari di Mohr.nb -T causato dallo stesso carico fittizio. à a trave ausiliaria e le condizioni ai limiti Si e' visto che gli spostamenti e le rotazioni possono calcolarsi come se rappresentassero una distribuzione di momenti flettenti e tagli dovuti ad un particolare carico fittizio (7). Corrispondentemente, le condizioni di vincolo della trave di partenza devono essere opportunamente modificate, giungendo a definire una trave ausiliaria su cui calcolare le caratteristiche. ü I vincoli di estremita' E' noto che l'estremo di una trave puo' essere: 1. incastrato, e per esso: u = 0 φ = 0 M 1 0 T 0 In questo caso, il vincolo sulla trave ausiliaria dovra' annullare il momento fittizio M ed il taglio fittizio T, e quindi l'incastro si trasformera' in una sezione libera. appoggiato, e per esso: u = 0 φ 0 M 1 = 0 T 0 In questo caso, il vincolo sulla trave ausiliaria dovra' annullare il momento fittizio M mentre il taglio fittizio T potra' essere diverso da zero, e quindi l'appoggio si trasformera' in un appoggio. dotato di bipendolo, e per esso: u 0 φ = 0 M 1 0 T = 0 (8) (9) (10) In questo caso, il vincolo sulla trave ausiliaria dovra' annullare il taglio fittizio T mentre il momento fittizio M potra' essere diverso da zero, e quindi il bipendolo rimarra' un bipendolo 4. libero, e per esso: u 0 φ 0 M 1 = 0 T = 0 (11) In questo caso, il vincolo sulla trave ausiliaria dovra' permettere un taglio fittizio T ed un momento fittizio M diversi da zero, e quindi l'estremo libero si dovra' trasformare in un incastro ü I vincoli esterni intermedi Un vincolo locato all'ascissa generica x = z che non interrompa la continuita' fisica della trave, puo' essere: 1. un appoggio intermedio, e per esso: u ζ = 0 φ ζ 0 M 1 ζ = 0 T ζ 0 (1) In questo caso, il vincolo sulla trave ausiliaria dovra' annullare il momento fittizio M z mentre il taglio fittizio T z potra' essere diverso da zero, e quindi l'appoggio si trasformera' in una cerniera 1. un bipendolo intermedio esterno, e per esso: u ζ 0 φ ζ = 0 M ζ 0 T ζ = 0 (1) In questo caso, il vincolo sulla trave ausiliaria dovra' annullare il taglio fittizio T z mentre il momento fittizio
3 ezione 40 - I corollari di Mohr.nb 95 M z potra' essere diverso da zero, e quindi il bipendolo esterno si trasformera' in un bipendolo interno ü I vincoli interni intermedi (snodi) Un vincolo locato all'ascissa generica x = z che interrompa la continuita' fisica della trave, puo' essere: 1. una cerniera, e per essa: u ζ 0 φ ζ 0 M 1 ζ = 0 T ζ 0 (14) In questo caso, il vincolo sulla trave ausiliaria dovra' permettere una discontinuita' del taglio fittizio T z, e quindi la cerniera si trasformera' in un appoggio 1. un bipendolo interno, e per esso: u ζ 0 φ ζ 0 M 1 ζ 0 T ζ = 0 (15) In questo caso, il vincolo sulla trave ausiliaria dovra' permettere una discontinuita' del momento fittizio M z, e quindi il bipendolo interno diverra' un bipendolo esterno a trave appoggiata Si consideri una trave appoggiata ad ambedue gli estremi, di luce, soggetta ad un carico distribuito qhx, forze verticali e coppie concentrate, e si vogliano calcolare le rotazioni in corrispondenza dei vincoli f e f. a trave ausiliaria e' ancora appoggiata agli estremi, sicche' le rotazioni richieste possono identificarsi con i tagli in e per la trave appoggiata soggetta al carico fittizio q: φ = T φ = T (16) e poiche' come e' noto, il taglio a sinistra e' uguale e contrario alla reazione dell'appoggio, mentre a destra il taglio e' uguale alla reazione, si puo' anche scrivere: φ = R φ = R Nel seguito, si illustrano in dettaglio alcuni carichi particolari: (17) à a trave appoggiata soggetta a forza in mezzeria e reazioni R ed R sono fornite da: R = R = F (18) Il momento flettente e' distribuito con legge lineare, si annulla ad ambedue gli estremi, e raggiunge un massimo in corrispondenza della forza, dove vale: M 1 max = M 1 = R = F 4 Si assoggetti allora la trave ausiliaria al carico bi-triangolare di Figura, e si calcolino le reazioni: R = R = 1 F 4 = F 16 Infine, le rotazioni si deducono in base alla (17): (19) (0)
4 96 ezione 40 - I corollari di Mohr.nb f =R = - F f =-R = F (1) F F 4 F 16 F 16 R R 6 6 Figura 1 - Trave appoggiata soggetta a forza concentrata in mezzeria 'abbassamento in mezzeria e' ricavabile tramite la (7), ossia calcolando il momento flettente sulla trave ausiliaria: u max = M max = R 1 F 1 4 = 48 F () à a trave appoggiata soggetta a carico uniformemente distribuito e reazioni R ed R sono fornite da: R = R = q () Il momento flettente e' distribuito con legge parabolica, si annulla ad ambedue gli estremi, e raggiunge un massimo in corrispondenza della forza, dove vale: M max = M 1 = R q 4 = q 8 Ne segue che la funzione momento e' esprimibile come: (4) M 1 Hx = qx H x (5)
5 ezione 40 - I corollari di Mohr.nb 97 Si assoggetti allora la trave ausiliaria al carico parabolico: q Hx = qx H x e si calcolino le reazioni, sfruttando la simmetria del sistema: (6) q q 8 q 4 q 4 R R Figura - Trave appoggiata soggetta a carico distribuito R = R = 1 H x qx x = Infine, le rotazioni si deducono in base alla (17): q 4 (7) q φ = R = φ = R = 4 q 4 (8) 'abbassamento in mezzeria e' ricavabile tramite la (7), ossia calcolando il momento flettente sulla trave ausiliaria. Tenendo conto che il baricentro del carico parabolico e' situato a /8 della semiluce si ha (cfr. Figura ) u max = M max = R q 4 8 = 5 84 q 4 (9)
6 98 ezione 40 - I corollari di Mohr.nb à a trave appoggiata soggetta a coppia concentrata in un estremo e reazioni R ed R sono fornite da: R = M R = M (0) Il momento flettente e' distribuito con legge lineare, si annulla a sinistra, e raggiunge un massimo in corrispondenza della coppia. Ne segue che la funzione momento e' esprimibile come: M 1 Hx = M x Si assoggetti allora la trave ausiliaria al carico triangolare: (1) q Hx = M x () e si calcolino le reazioni, imponendo l'equilibrio alla traslazione ed alla rotazione. Si hanno le due equazioni M M M R R Figura - Trave appoggiata soggetta a coppia nell'estremo R + R + 1 M = 0 R + 1 M = 0 che possono risolversi a fornire: ()
7 ezione 40 - I corollari di Mohr.nb 99 R = M 6 R = M Infine, le rotazioni si deducono in base alla (17): (4) φ = R = M 6 φ = R = M (5) a trave a mensola Si consideri ora una trave a mensola, di luce, con incastro a sinistra e libera a destra, soggetta ad un carico distribuito qhx, forze verticali e coppie concentrate, e si vogliano calcolare la rotazione f e l'abbassamento u in corrispondenza deell'estremo libero. a trave ausiliaria e' ancora una mensola, in cui pero' estremo libero e' a sinistra e l'incastro e' a destra, sicche' la rotazione e l'abbassamento richiesti possono identificarsi con il taglio ed il momento in per la trave libera-incastrata soggetta al carico fittizio q: φ = T u = M Nel seguito, si illustrano in dettaglio alcuni carichi particolari: (6) à a trave a mensola soggetta a forza nell'estremo libero Il momento flettente e' distribuito con legge lineare, si annulla nell'estremo libero, e raggiunge un minimo in corrispondenza dell'incastro, dove vale: M 1 max = M 1 = F Si assoggetti allora la trave ausiliaria al carico triangolare di Figura, e si calcolino le reazioni: (7) R = 1 F = F (8) M r = 1 F = F Ne segue infine che le richieste rotazioni e spostamenti sono: (9) φ = F (40) u = F (41)
8 400 ezione 40 - I corollari di Mohr.nb F F F R M r Figura 4 - Trave a mensola soggetta a forza nell'estremo à a trave a mensola soggetta a carico uniformemente distribuito e reazioni R ed M r sono fornite da: R = q M r = q (4) Il momento flettente e' distribuito con legge parabolica, si annulla nell'estremo libero, insieme alla sua derivata, e raggiunge un minimo in corrispondenza dell'incastro, dove vale: M 1 min = M r = q Ne segue che la funzione momento e' esprimibile come: (4) M Hx = q + qx q x Si assoggetti allora la trave ausiliaria al carico parabolico: q Hx = q + q q x x e si calcolino le reazioni: (44) (45)
9 ezione 40 - I corollari di Mohr.nb 401 R = q Hx x = 0 0 q + q x q x x = q 6 M r = q Hx H x x = 0 0 q + q x q x H x x = Infine, le rotazioni e gli spostamenti si deducono in base alla (17): q 4 8 (47) φ = R = q 4 u = M = q 4 8 (48) q q R M r Figura 5 - Trave a mensola soggetta a carico distribuito à a trave a mensola soggetta a coppia concentrata in un estremo Il momento flettente e' distribuito con legge costante: M Hx = M Si assoggetti allora la trave ausiliaria al carico costante: (49)
10 40 ezione 40 - I corollari di Mohr.nb M q Hx = e si calcolino le reazioni, imponendo l'equilibrio alla traslazione ed alla rotazione. Si ha: R = M M r = M Infine, le rotazioni e gli spostamenti si deducono in base alla (17): φ = R = M u = M = M (50) (51) (5) Figure
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