a A 5 F sen 2 a k 3 e z5 dz 5 2 Fa sen a cos a

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1 3txtI_NUNZINTE_21 3/6/11 17:6 Pagina j La trave infessa j 161 N 3 52F sen a N 4 5 N 5 52F cos a a B 5 F cos 2 a a 5 F sen 2 a È immediato rievare da equiibrio in direione verticae dee aioni su nodo C, in cui convergono e aste (1) e (2) aventi a stessa direione oriontae e asta (4), a quae risuta scarica N 4 5 e che N 1 5 N 2. i noti indipendena dea souione de equiibrio dae dimensioni geometriche dea struttura. Le dimensioni geometriche h 5, 4, a, b e, peratro sono tra oro egate e reaionate a vaore de angoo a. In seguito si vedrà che e dimensioni geometriche dea struttura e dee seioni dee aste sono di fondamentae importana per a verifica di sicurea di funionaità e per quea di stabiità dea struttura. La souione statica trovata in termini di sfori N i, inserita nea reaione di easticità e i 5 N i >k e, conduce aa determinaione dee deformaioni assiai:,,. Tramite integraione dee equaioni di compatibiità spostamento-diataione e i 5 dw i >d i, si ottengono gi spostamenti reativi di D rispetto ad e a B, e di B rispetto ad : Dw D 5 3,3 e 3 d 5 2 Fb tana Dw DB 5 k 3 e 5 d 5 2 Fa e k e, 5 e 1 5 F sen a cos a5e k 2 e e 3 52 F sen a5e k 5 e e 4 5 Dw B 5 3, e 1 d 5 F, k e sen a cos a 3.2 j Trave infessa In questo paragrafo viene trattata a deformaione dea trave rettiinea soggetta a fessione, viene introdotta a noione di curvatura dea trave e ricavata equaione differeniae dea inea eastica Noione di curvatura È utie qui richiamare a noione di curvatura di una curva piana j ne piano (, ) (Figura 3.13), che in questo contesto rappresenta a inea eastica, e cioè a curva trasformata de asse baricentrico dea trave, per effetto dea deformaione fessionae. La j, che viene ipotiata regoare, è identificabie con i grafico dea funione spostamento v() dea inea d asse. i consideri sua j un tratto di dimensione infinitesima ds avente come estremi a seione e quea Q, corrispondenti aa seione di ascissa iniiae e di ascissa incrementata 1 d rispettivamente. iano w e w Q gi angoi formati con asse dae tangenti aa j in corrispondena di e Q rispettivamente. i ha w 52arctg v9, in cui con apice si è indicata a derivata rispetto a : v9 5dv>d. L incremento de angoo ne passaggio da a Q, a meno di infinitesimi di ordine superiore, si può cacoare tramite i suo differeniae: Curvatura Dw > dw 5 dw d 2 d(arctanv9) d 5 d 5 d 2 v 1 1 v9 2 d

2 3txtI_NUNZINTE_21 3/6/11 17:6 Pagina j Capitoo 3 j Travi eastiche Figura d v() ξ Q ϕ Q ϕ ds dϕ La unghea infinitesima de arco di curva fra e Q, d atro canto vae ds 5 "1 1 v9 2 d. questo punto si può definire a curvatura x tramite i rapporto: x5 dw ds 5 2v "(1 1 v9 2 ) 3 (3.6) Teorema aureo di G. Bernoui che esprime i cosiddetto Teorema ureo (G. Bernoui, 1694). otto ipotesi di deformaioni infinitesime, si assume che nea radice a denominatore dea (3.6), addendo v9 2 sia trascurabie rispetto a unità, sicché a curvatura assume i vaore approssimato x52 d2 v d 2 52v (3.7) Dw im Ds Ds 5 dw ds Per riassumere, a curvatura dea curva piana j, ne punto è definita tramite i imite de rapporto incrementae, con a derivata cacoata in. È utie rimarcare che nea convenione utiiata e rotaioni w sono positive se antiorarie (verso positivo dea rotaione che porta su ), mentre e derivate positive deo spostamento v rispetto a corrispondono a tratti in cui a v 5 v() è crescente, ne riferimento (, ). Rinviando a trattaione estesa dea fessione dea trave piana inearmente eastica a Capitoo 6, in questa sede ci si imita soo a richiamare i principae risutato di quea trattaione, consistente nea reaione ineare fra momento fettente M x e curvatura eastica x: M x 5 k x x (3.8) nea quae a costante di proporionaità k x 5 EI x si chiama rigidea fessionae. Questo è i principae risutato dea cassica trattaione di Euero-Bernoui, che parte da dato sperimentae che una trave piana come quea di Figura 3.14, soecitata ae due estremità da due coppie, di vaori rispettivamente (2C, C), agenti ne piano (, ) con direione principae d ineria dea seione, soggetta a momento fettente costante M 5 C, assume una curvatura uniforme x.

3 3txtI_NUNZINTE_21 3/6/11 17:6 Pagina j La trave infessa j 163 P P R ξ R = (P) dϕ ε σ dϕ C + + G C d a) x d ds b) Figura 3.14 Ne consegue che a fibra dea trave iniiamente sovrapposta a asse baricentrico, per effetto dea deformaione fessionae si trasforma ne arco di circonferena j di raggio R e centro P, che viene detto inea eastica dea trave. causa de assunione dea curvatura, e fibre dea trave paraee a a disopra de piano (x, ) si contraggono, quee a disotto si diatano. Questo risutato dipende esseniamente da ipotesi cinematica che e seioni dea trave, che iniiamente sono normai a asse, a seguito dea deformaione si mantengono ancora piane e convergono ne centro di curvatura P. La deformaione e dee fibre dea trave paraee a, presenti aa quota, si determina osservando che a dimensione iniiae e quea deformata di un eemento d sono d 5 2Rdw, ds 5 (2R 1 )dw. ssumendo per a diataione e, come già fatto ne paragrafo precedente, i vaore, si ottiene, in cui a curvatura è pari a inverso de raggio di curvatura (cambiato di segno). Qui R, raggio di curvatura, è stato assunto come ordinata de centro di curvatura P: R 5 (P). otto ipotesi di easticità ineare (s 5 Ee, Equaione 5.25), si deduce una tensione data daa ben nota formua di Navier s 5 Ee 5 2E>R, con E moduo di Young de materiae isotropo e omogeneo costituente a trave (Capitoo 6). Le s sono, come e e, ineari e omogenee sua seione. I momento fettente si cacoa per equiibrio con gi sfori interni s : e 5 im d ds 2 d d e 5 2 R x52 1 R Reaione momento-curvatura M x 5 3 s d 5 2 E R 3 2 d 5 2 EI x R ove è i momento d ineria dea seione rispetto a asse x, e fornisce a reaione momento-curvatura sopra richiamata: M x 5 k x x, con k x 5 EI rigidea fessionae dea seione e a curvatura. Lo spostamento v() è egato aa rotaione w dea seione da equaione I x d x5 2 1 R w5 2 dv d (3.9)

4 3txtI_NUNZINTE_21 3/6/11 17:6 Pagina j Capitoo 3 j Travi eastiche Figura 3.15 σ x Curvatura eastica La curvatura geometrica dea inea eastica j nea trattaione infinitesima vae x52d 2 v>d 2, sicché a (3.8) fornisce: x52 1 R 5 2d2 v d 2 5 M x k x (3.1) equaione che ega o spostamento v dea trave e a sua curvatura eastica x a momento fettente. La (3.1) fornisce dunque equaione costitutiva dea trave di Euero-Bernoui, che si riassume nea proporionaità fra momento fettente e curvatura: M x 5 k x x (3.11) a meo dea costante di proporionaità rigidea fessionae k x 5 EI x. In Figura 3.15 viene rappresentato i grafico dee s tramite i diagramma bitriangoare. Derivando a (3.1) rispetto a e tenendo conto de equaione di equiibrio dm x >d 5 T si ottiene T 5 dm x d 5 2 d d a k xd 2 v b d 2 (3.12) Quest utima, derivata rispetto a, tramite equaione di equiibrio dt d 5 d2 M x 52q d 2 (3.13) conduce aa d 2 d a k d 2 v 2 x d b 5 q 2 (3.14) equaione differeniae dea trave infessa inearmente eastica, che ega i carico trasversae ao spostamento. Ne caso di rigidea k x 5 EI x costante nea trave, e (3.12) e (3.14) si scrivono rispettivamente

5 3txtI_NUNZINTE_21 3/6/11 17:6 Pagina j Equiibrio eastico dea trave infessa j 165 2k x d 3 v d 3 5 T k x d 4 v d 4 5 q (3.15) (3.16) Equaione differeniae dea inea eastica Quest utima è a ben nota equaione differeniae dea inea eastica dea trave infessa a cui integraione consente di ottenere o spostamento trasversae dea trave infessa. Equaione differeniae dea inea eastica dea trave infessa 3.3 j Equiibrio eastico dea trave infessa In questo paragrafo viene introdotto i probema de equiibrio eastico dea trave infessa per a quae si considera a trattaione di Euero-Bernoui richiamata ne paragrafo precedente. Per fissare e idee si faccia riferimento aa trave rettiinea di Figura Le ipotesi che si assumono sono quee esposte ne paragrafo precedente, che sono a base dea trattaione ineariata. Le aioni esterne che qui si considerano sono costituite da carico trasversae distribuito q 5 q () e da fore f e coppie concentrate C di estremità. In questa sede si farà riferimento espicito aa soa deformabiità fessionae, e cioè aa curvatura eastica x. La curvatura dea trave ne modeo puramente fessionae di Euero-Bernoui è stata definita ne paragrafo precedente tramite a: Dw x5 im D D 5 dw d (3.17) uccessivamente questo modeo di trave verrà arricchito tenendo conto anche dea deformabiità estensionae e di quea da scorrimento da tagio. Le coppie q () B q () x d q () T + dt N + dn d B N M x + dm x M x T Figura 3.16

6 3txtI_NUNZINTE_21 3/6/11 17:6 Pagina j Capitoo 3 j Travi eastiche distribuite C che pure vengono prese in consideraione, in quanto determinano effetti statici, non sono però interessanti per a cinematica dea trave, in quanto non associandosi a un ente spostamento duae in questo modeo, non determinano effetti su spostamenti e rotaioni; tae questione è trattata ne Esempio 3.7 e ne Paragrafo 3.5. Ne caso dea trave infessa incognita principae è costituita dao spostamento trasversae v 5 v(). La souione de probema di equiibrio eastico per a trave infessa viene effettuata seguendo formamente a stessa procedura già introdotta per e aste in sforo assiae, che viene qui speciaiata nei cinque sistemi di equaioni seguenti: Equaioni de probema di equiibrio eastico per a trave infessa Le quattro integraioni 1) equaioni di congruena con i vincoi presenti ae estremità dea trave che impongono condiioni suo spostamento v 5 v e sua rotaione 2dv>d 5w; 2) equaioni di compatibiità (3.1) fra spostamento e curvatura x 52d 2 v>d 2 ; 3) equaioni di equiibrio interno fra carichi e soecitaioni già introdotte precedentemente per a trave infessa dt >d 52q, dm x >d 51T, q 52d 2 M x >d 2 ; 4) equaioni di equiibrio ai imiti ae estremità caricate T 52f ; T, 5 f, ; M x 52C ; M x, 5 C, che egano tagio e momento ae estremità dea trave con e risutanti dee fore e dee coppie ivi appicate; 5) reaione eastica momento-curvatura x 52d 2 v>d 2 5 M x >k x. Le prime due equaioni costituiscono vincoi di tipo cinematico per i campo di spostamento souione, a tera e a quarta impongono equiibrio interno e ai imiti, utima stabiisce i egame costitutivo ineare fra momento e curvatura eastica. I probema di equiibrio eastico dea trave infessa qui esposto si presta a due tipi di strategie soutive. La prima strategia è basata su esecuione dee quattro seguenti integraioni in sequena: T 52 3 q d (a) M x 5 3 T d (b) w5 3 xd 5 3 M k x d (c) v 52 3 wd (d) (3.18) Integraione diretta espicitando e condiioni ai imiti, dae quai si ottengono ordinatamente e funioni tagio T, momento fettente M x, rotaione w e spostamento v, quindi a souione nea sua competea. La seconda strategia soutiva è basata su integraione diretta de equaione dea inea eastica (3.16). i ottiene così una souione generae che tramite imposiione dee condiioni ai imiti di tipo statico e cinematico determina e funioni risoventi. Ne seguito si espongono attraverso acuni esempi e modaità operative dei procedimenti qui esposti. j Esempio 3.6 i consideri a trave di Figura 3.17 doppiamente appoggiata ae estremità e B e sottoposta a un carico trasversae q 5 q uniforme. La trave, di uce,, ha moduo di Young E e ineria I x costanti. trategia soutiva 1 L integraione dea prima dee (3.18) fornisce: T 52q 1 C 1. La successiva integraione (3.18b) fornisce: M x 52q 2 >2 1 C 1 1 C 2.

7 3txtI_NUNZINTE_21 3/6/11 17:6 Pagina j Equiibrio eastico dea trave infessa j 167 Imponendo e condiioni ai imiti di momento nuo M x 5 nee seioni di estremità, in 5 e 5, si ha: M x () 5 1 C 2 5 ; M (,) 5 1 C 1 5 q,>2 e e espressioni de tagio e de momento diventano: T 52q 1 q,>2; M x 52q 2 >2 1 q,>2 e presentano i grafici di Figura La curvatura eastica vae: x 5M>k x 5 q (2 1,)>(2k x ). questo punto i probema, da punto di vista statico, è competamente risoto; infatti si riconosce che e reaioni degi appoggi in e in B si ottengono specificando ivi i vaori de tagio: a 5 T() 5 q,/2 a B 52T(,) 5 q,/2 Inotre sono note e funioni tagio e momento, dee quai si forniscono i reativi grafici. i nota che i tagio è ineare con vaore nuo a centro dea trave. I momento presenta andamento paraboico, con massimo a centro dea trave di vaore M max 5 q, 2 >8. L equaione de equiibrio interno dm x >d 5 T mostra che a derivata a origine dea funione momento è pari a vaore iniiae de tagio: T () 5 q,>2 5 (dm x >d) 5 ; tae tangente sottende pertanto un segmento di ampiea q, 2 >4 in meeria. La souione de probema deformativo dea trave viene ottenuta integrando a tera dee (3.18) nea quae viene espicitato i vaore dea funione momento (ove: k x 5 EI x ): B M x q a = + 2 Figura 3.17 q = q Momento /2 q a B = + 2 /2 q 2 8 q 2 4 w5 3 xd 5 3 M x >k x d 5 1>k x 3 (2q2 >2 1 q,>2)d 5 5 (1k x )(2q 3 >6 1 q, 2 >4) 1 C 3 q 2 Tagio q 2 L espressione ottenuta per a rotaione w sostituita nea quarta dee (3.18) consente di determinare o spostamento: T v 52 3 wd 52(1/k x ) 3 3(2q 3 /6 1 q, 2 /4) 1 C 3 4d 5 Figura 3.18 Rotaione ϕ 5 (1/k x )(q 4 /24 2 q, 3 /12 1 C 3 ) 1 C 4 Le condiioni cinematiche ai imiti di spostamento nuo in corrispondena degi appoggi in e in B, consentono a determinaione dee costanti di integraione: 5 v() 5 5, v(,) 5 1 C 4 5 C 3 52q, 3 /(24k x ) e determinano a souione deformativa rappresentata dae funioni rotaione e spostamento: w52(q/k x )( 3 /6 2, 2 /4 2, 3 /24) v 5 (q/24k x )( 4 2 2, 3 1, 3 ) i cui diagrammi sono riportati in Figura Lo spostamento presenta vaore massimo pari a v max 5 (5>384) q, 4 >k x in meeria dea trave. ϕ v postamenti v /2 q 3 24 EI Figura 3.19 q3 24 EI 5q EI /2 trategia soutiva 2 Lo stesso eserciio qui sopra sviuppato può svogersi integrando direttamente equaione differeniae (3.16) dea inea eastica k x d 4 v>d 4 5 q, a cui omogenea associata è: d 4 v>d 4 5 L integrae generae de omogenea associata è:

8 3txtI_NUNZINTE_21 3/6/11 17:6 Pagina j Capitoo 3 j Travi eastiche mentre un integrae particoare dea (3.16) è: v 1 5 q 4 >(24k x ). L integrae generae dea (4.28) è pertanto dato da: e e sue derivate sono: v 5 a 1 b 1 c 2 1 d 3 v 5 v 1 v 1 5 a 1 b 1 c 2 1 d 3 1 q 4 /(24k x ) v9 5dv/d 5 b 1 2c 1 3d 2 1 q 3 /(6k x ) Poiché a trave è staticamente determinata, e quattro costanti a, b, c, d vengono determinate tramite imposiione di due condiioni ai imiti di tipo statico e due di tipo cinematico, come ne seguito si riporta. 1 a condiione cinematica. postamento nuo su appoggio in : 5, v() 5 1 a 5. 1 a condiione statica. Momento nuo su appoggio in. Tramite a (3.1) si ha M 52k x v, che cacoata in 5 fornisce 22k x c 5 e quindi c 5. 2 a condiione cinematica. postamento nuo su appoggio in B: 5,, v(,) 5, che determina: b, 1 d, 3 1 q, 4 >(24k x ) 5 da cui b 52d, 2 2 q, 3 >(24k x ); 2 a condiione statica. Momento nuo in B: M 52k x v5, cacoata in 5, fornisce 26k x d, 2 q, 2 >2 5 1 d 52q,>(12k x ) che consente di espicitare a b 5 q, 3 >(24k x ). I vaori sopra cacoati dee costanti determinano a souione in termini deo spostamento v: Tramite a (3.9) si ottiene: v 5d 2 v/d 2 5 2c 1 6d 1 q 2 /2k x v 5 q( 4 2 2, 3 1, 3 )/(24k x ) w52dv/d 5 v9 52q( , 2 1, 3 )/(24k x ) v 5 q(2 2,) 2k x M x 52k x v5 q(2 2,) 2 Noto i campo di spostamento, si determina i tagio T e i momento fettente M x tramite e (3.13) e (3.12): infatti derivando a v9 si ha da cui si ottiene i momento. Derivando a v si ha: v- 5q(2 2,)>(2k x ) da cui si ottiene i tagio q(, 2 2) T 5 2 k x vt 5 2 j Esempio 3.7 i consideri a trave di Figura 3.2 incastrata in e appoggiata in B, di seione uniforme e materiae omogeneo con moduo di Young E. I carico appicato è inearmente variabie con egge: q 5 q () 5 q>,. Daa (3.16) k x v IV 5 q() si deduce che per q() ineare a funione spostamento v è un poinomio di quinto grado. L omogenea associata aa (3.16) è a: k x v IV 5

9 3txtI_NUNZINTE_21 3/6/11 17:6 Pagina j Equiibrio eastico dea trave infessa j 169 i cui integrae generae è: v 5 a 1 b 1 c 2 1 d 3. Un integrae particoare dea (3.16) è v 1 5 q 5 >(12k x,). L integrae generae dea (3.16) si scrive q e cui derivate sono: v 5 v 1 v 1 5 a 1 b 1 c 2 1 d 3 1 q 5 /(12k x,) v9 5b 1 2c 1 3d 2 1 q 4 /(24k x,) v 52c 1 6d 1 q 3 /(6k x,) vt 5 6d 1 q 2 /(2k x,) v IV 5 q/(k x,) Le quattro costanti di integraione a, b, c, d si determinano imponendo e condiioni ai imiti egate a rispetto dee condiioni di vincoo in e in B. In particoare, in e condiioni cinematiche di spostamento e rotaione nui determinano: 5 v() 5 1 a 5 5 w52v9() 5 1 b 5. In B a condiione di spostamento nuo conduce aa: 5, v(,) 5 1 c 52[(,d 1 q, 2 >(12k x )] In B a condiione di momento nuo si scrive: 5, M1,2 52k x v1,2 5 1 c 523,d 1 q 12k x, 2 espressione che unita a quea qui sopra trovata determina: c 5 7q, 2 >(24k x ), d 523q,>(8k x ); a souione diventa: v 5 q 2 (7, 2 >6 2 3,>2 1 3 >3)>(4k x ) Tramite a w 52dv>d, daa v si ottiene: w52dv>d 52q37, 2 >15 2 9,>1 1 3 >(3,)4>(8k x ) E con derivaioni successive: M x 52k x v; T 5 dm x >d 52M x 52k x v-. M x 52k x d 2 v d 2 5 q, 2 a 2 7 6, , 2 b T 52k x d 3 v d 3 5 q 2 a 3 2, 2 2, b I grafici di v, w, M x, T sono rappresentati in Figura I momento massimo ottenibie con a condiione dm>d 5 si ha in 5 3,>2!5 e vae M max 5 q(27, , )>(12,). Con i seguenti vaori dei dati:, 5 6 cm; q 5 1 Ncm 21 ; E Ncm 21 ; profiato IPE 2: I x cm 4 si ottiene: v cm M x Ncm T N Figura 3.2 B

10 3txtI_NUNZINTE_21 3/6/11 17:6 Pagina j Capitoo 3 j Travi eastiche Figura 3.21 Tagio T Rotaione ϕ ϕ T Momento M x postamenti v M x v j Esempio 3.8 C ϕ Figura 3.22 B δ La trave incastrata e appoggiata di Figura 3.22 di uce, è caricata daa coppia C nea seione B e presenta una distorsione rotaionae w in e un cedimento d de appoggio B. La seione è uniforme, i materiae è inearmente eastico, isotropo e omogeneo. Per determinare a souione dea struttura si segue a procedura già sviuppata ne esempio precedente. L equaione differeniae dea trave infessa, poiché q 5, coincide con quea omogenea: k x v IV 5 i cui integrae generae è: v 5 a 1 b 1 c 2 1 d 3 e presenta derivate: v95b 1 2c 1 3d 2 ; v52c 1 6d; v-56d. Le condiioni ai imiti si specificano come ne seguito: 5 ; v() 5 1 a 5 ; 5, w() 52v9() 5w1b52C; 5,, v(,) 5d; 5,, M(,) 52k x v5c; c 5 (6k x d1c, 2 22k x,w)>(4k x, 3 ); d 5 (22k x d2c, 2 22k x,w)>4k x, 3. La souione si espicita come di seguito: v52w1(6k x d1c, 2 16k x,w) 2 >(4k x, 2 )1(22k x d2c, 2 22k x,w) 3 >(4k x, 3 ) w5w1(26k x d2c, 2 26k x,w)>(2k x, 2 )13(2k x d1c, 2 12k x,w) 2 >(4k x, 3 ) M x 52k x v5(26k x d2c, 2 26k x,w)>(2, 2 )1(26k x d23c, 2 26k x,w)>(2k x, 3 ) T 52k x vt 5 3(2k x d1c, 2 1 2k x,w)>(2, 2 ) In Figura 3.23 si riportano i diagrammi dee funioni risoventi, cacoati per i seguenti vaori dei parametri:, 5 45 cm; profiato normae a C: I x cm 4 ; moduo di Young de acciaio: 21 kn>cm 2 Dw 5.1 rad; C 528 kncm; d51 cm. Le funioni risoventi sono in (N, cm): v w M ( ) T

11 3txtI_NUNZINTE_21 3/6/11 17:6 Pagina j Equiibrio eastico dea trave infessa j 171 Tagio T Rotaione ϕ Figura 3.23 ϕ T ϕ Momento M x postamenti v M x v La trave di Figura 3.17 di seione uniforme è caricata da una distribuione di coppie C uniformemente distribuite. j Esempio 3.9 ono già state dedotte precedentemente e seguenti equaioni de equiibrio interno in presena di coppie distribuite: dt>d 5 2q (a) dm>d 2 T 52c (b) La prima di queste, poiché è q 5, fornisce dt>d 5 1 T 5 C 1. Per equiibrio aa trasaione in direione de intera trave risuta a 5 a B. Pertanto si ha T 5 a B 5 C 1 (c). Per equiibrio aa rotaione de intera trave si ha c, 2 a B, 5 1 a B 5 c; ne segue T 5 c (d). La (b) a questo punto, per integraione, fornisce: M 5 (2c 1 T) 1 C 2 La condiione a imite in B: 5,, M 5 fornisce: C 2 5 (c 2 T), e M 5 (2c 1 T) 2 (2c 1 T), che graie aa (d) definisce M 5 uniformemente nea trave. L integraione dea fornisce w 5C 3 che per a condiione di vincoo in : 5, w 5, determina C 3 5. imimente integrando a, si ha v 5 C 4, che associata aa condiione iniiae 5, v 5 impica C 4 5. Risutano nui pertanto sia e rotaioni sia gi spostamenti. Ne discende che ne modeo sopra trattato di trave infessa, pur essendo presenti e coppie distribuite C, che producono tagio, non si hanno né momento né rotaioni né spostamenti. w5 3 M>k x d v 52 3 wd

12 3txtI_NUNZINTE_21 3/6/11 17:6 Pagina j Capitoo 3 j Travi eastiche naogia di Mohr 3.4 j naogia di Mohr Consideriamo i due grandi gruppi di equaioni risoventi de probema statico e cinematico dea trave infessa, nea oro forma integrae: T 52 3 qd M 5 3 Td (a) w5 3 xd v 52 3 wd (b) con x5m>k x (3.19) In questo paragrafo si considera a trave eastica piana ad asse rettiineo isostatica, caricata da carico trasversae distribuito q e da coppie e fore concentrate. Per questa trave, come si è già mostrato precedentemente, e Equaioni (3.19a) con due successive integraioni de carico trasversae q e e condiioni ai imiti, consentono di determinare tagio, momento e reaioni vincoari, quindi a souione sotto i profio statico. Le (3.19b) poi, con due successive integraioni dea curvatura x 5M>k x e e condiioni di congruena ai imiti, determinano rotaione e spostamento trasversae, quindi a souione sotto i profio cinematico. I confronto dei due sistemi di Equaioni (3.19a) e (3.19b) mostra che gi operatori presenti sono gi stessi operatori di integrae rispetto a ascissa. I probema cinematico può a questo punto eggersi in chiave statica, ne senso che se a trave viene considerata soggetta a un carico fittiio pari aa curvatura eastica, q * 5 M k x (3.2) Tagio e momento fittiio tramite due successive integraioni, e (3.18a, b) determinano a rotaione e o spostamento quai tagio e momento fittiio: T * 52 3 q * d52 3 M k x d52w (c) M * 5 3 T * d52 3 wd5v (d) (3.21) Una vota osservata a simiitudine fra i due gruppi di equaioni, si può risovere i probema cinematico riconducendoo a probema statico di una trave equivaente: a simiitudine osservata va sotto i nome di anaogia di Mohr (Coroari di O. Mohr, 1868). Peratro, dagi integrai generai sopra determinati, è necessario, tramite i soddisfacimento dee reai condiioni di vincoo su rotaioni e spostamenti, determinare a souione cinematica effettiva, quindi gi integrai particoari. Resta dunque da precisare quai sono e condiioni di vincoo che debbono essere presenti sua trave ausiiaria o fittiia di Mohr, capaci di interpretare in senso statico e effettive condiioni cinematiche dea trave reae. Nea Tabea 3.1 si riportano e condiioni di vincoo reai e e corrispondenti condiioni statiche dea trave di Mohr, individuandone pertanto i corrispondenti vincoi. j Esempio 3.1 Come primo esempio di appicaione dei coroari di Mohr, si consideri a trave doppiamente appoggiata di rigidea fessionae costante k x 5 EI e uce, (Figura 3.24) sottoposta a aione di due fore F appicate rispettivamente aa distana a dai due appoggi di estremità. i vogia determinare a rotaione de estremo in e o spostamento dea seione di meeria.

13 3txtI_NUNZINTE_21 3/6/11 17:6 Pagina j L anaogia di Mohr j Tabea 3.1 Vincoi trave reae Vincoi trave di Mohr w? T*? v5 M* 5 Dw? DT *? Dv 5 DM * 5 w? T*? v? M*? Dw 5 DT * 5 Dv 5 DM * 5 w? T*? v5 M* 5 Incastro di estremità w5 T* 5 v5 M* 5 Doppio pendoo di estremità w5 T* 5 v? M*? ppoggio di estremità Cerniera interna ppoggio esterno intermedio ppoggio di estremità ppoggio esterno intermedio Cerniera interna Estremo ibero Doppio pendoo di estremità Gifo Gifo Doppio pendoo interno Estremo ibero Dw 5 DT * 5 Dv? DM? w? T*? v? M*? w? T*? v? M*? * Incastro Figura 3.24 Trave reae F F B M Trave di Mohr q* = M/kx B a 2a a Doppio pendoo esterno intermedio 173

14 3txtI_NUNZINTE_21 3/6/11 17:6 Pagina j Capitoo 3 j Travi eastiche Le reaioni sono ambedue di vaore 2F. I momento fettente nei tre tratti vae rispettivamente: M 1 5 F; M 2 5 Fa; M 3 5 F (, 2 ). La trave ausiiaria o trave di Mohr è a trave appoggiata caricata da carico curvatura eastica q * 5 M>k x come rappresentato in Figura Le reaioni dea trave di Mohr sono a * 52Fa (, 2 a)>(2k x ). La (3.21) consente di determinare a rotaione in come tagio fittiio in -destra nea trave di Mohr, quindi a cercata rotaione vae: w 52T * 51a * 52Fa (, 2 a)>(2k). Lo spostamento in meeria dea trave in studio si ottiene cacoando i momento fittiio dea trave di Mohr in 5,>2; con facii passaggi si ottiene i cercato spostamento: v (,>2) 5 M * (,>2) 5 Fa (3, 2 2 4a 2 )>(24k x ). j Esempio 3.11 Tramite anaogia di Mohr si determini a rotaione dea seione B dea trave di Figura Con sempici equaioni di equiibrio è facie ottenere a funione momento fettente nea trave. Tratto B: M 5 2f>5; tratto BD: M 52f (, 2 ). La trave di Mohr, aa uce de anaogia sopra determinata, presenta appoggio in, cerniera in B e incastro a estremità destra; i carico è costituito da q * 5 M>k x. La cercata rotaione in B si determina come opposta de tagio nea trave di Mohr. Tramite equaioni di equiibrio è facie determinare w52t * (B) 5 f, 2 >(125 k x ). j Esempio 3.12 i determini o spostamento de estremità a destra dea trave de Esempio I cercato spostamento è dato da momento ne incastro dea trave di Mohr rappresentata in Figura Le equaioni di equiibrio scritte per a trave di Mohr determinano i cercato spostamento: v 5 M * 5 2f, 3 >(125 k x ). j Esempio 3.13 Con riferimento aa trave di Figura 3.26 di rigidea uniforme k x caricata da una coppia C in D, si determini i sato di spostamento Dv in corrispondena de doppio pendoo interno in B. I momento fettente è costante, di vaore M 5 C. La trave di Mohr è quea rappresentata in Figura 3.25, caricata da carico q * 5 M>k x 5 C>k x. Figura 3.25 Trave reae M f B Trave di Mohr q* = Mk x B /5

15 3txtI_NUNZINTE_21 3/6/11 17:6 Pagina j L anaogia di Mohr j 175 Trave reae C Figura 3.26 M Trave di Mohr B D B D I cercato sato di spostamento assume i vaore de sato di momento nea trave di Mohr. L equaione di equiibrio aa rotaione dea trave di Mohr determina a coppia fittiia de doppio pendoo esterno in B, cui corrisponde i sato di momento fittiio e quindi i cercato sato di spostamento: Dv 5 c, 2 >(2k x ). i vogia determinare a rotaione dea seione D dea trave di Figura Questa rotaione viene cacoata come opposta de tagio nea seione D dea trave. L equaione di equiibrio aa trasaione verticae dea trave di Mohr, di Figura 3.26, fornisce i vaore dea reaione de appoggio in D dea trave di Mohr, cui corrisponde un tagio fittiio i cui opposto determina a cercata rotaione 2T * 5w5C,>k x. j Esempio 3.14 È assegnata a trave di Figura 3.27 avente k x uniforme, caricata daa fora F 5 F in. i vogia determinare con anaogia di Mohr a rotaione dea piastra destra de doppio pendoo G. j Esempio 3.15 /4 /3 2/3 Figura 3.27 F Trave reae M D G H Trave di Mohr M = k x D G H

16 3txtI_NUNZINTE_21 3/6/11 17:6 Pagina j Capitoo 3 j Travi eastiche Con sempici equaioni di equiibrio si ottengono e seguenti reaioni, tagio e momento nea struttura q * 52 M k x a D 5 F a Gx 52 F 4 a H 5 a Hx 5 F 4 T D 52F T DH 5 M D 52F M DH 52 F, 4 La trave ausiiaria di Mohr è quea rappresentata nea figura, che viene caricata con i carico fittiio curvatura. La cercata rotaione w G è pari a tagio fittiio T * G in G dea trave di Mohr. Per equiibrio de tratto GH aa trasaione verticae si ha e quindi a cercata rotaione in G. T G * 5 F 4k x 2 3, 5 F,2 6k x 51w G 3.5 j Equiibrio eastico dea trave: trattaione generae In questo paragrafo viene trattato i probema de equiibrio eastico dea trave rettiinea piana, svoto in precedena per travi soggette unicamente a deformaione assiae (Paragrafo 3.1) o fessione (Paragrafo 3.3) in presena dee tre soecitaioni di sforo normae, tagio e momento fettente e dee deformaioni a esse associate: deformaione assiae, scorrimento e curvatura. Questa trattaione costituisce a generaiaione di quee già sopra esposte. i consideri a trave rettiinea piana soggetta a carichi distribuiti q (), q () e a coppie distribuite C() di asse x (Figura 3.28). I carico distribuito generaiato è rappresentato da vettore q 5 [q q c] T (3.22) ove e componenti q (), q () hanno dimensione [FL 21 ] mentre a c() ha dimensione [FLL 21 ] 5 [F]. e estremità sono presenti condiioni di vincoo di equaione u 5 u o fore e coppie concentrate raccote ne vettore f 5 [f f C] T. Le equaioni di equiibrio vengono scritte con riferimento aa configuraione rettiinea indeformata, graie a ipotesi di piccoi spostamenti; si assume come riferimento a terna centrata su baricentro dea base iniiae (G, e 1, e 2, e 3 ). I sistema è piano ne senso che asse dea trave, una direione principae d ineria dea sua seione, dei suoi carichi e dee sue reaioni, appartengono a piano (, ). Pertanto ae soecitaioni tagio T e momento fettente M non è necessario apporre pedici, essendo chiaro in questo contesto che si tratta dee componenti T e M x ; simimente per a coppia distribuita C 5 C x (). Le soecitaioni nea trave sforo assiae, tagio e momento fettente vengono raccote ne vettore dea soecitaione s 5 [N TM] T Equiibrio Le equaioni de equiibrio interno o indefinite, ottenute precedentemente, si scrivono: Equiibrio aa trasaione in direione dn>d 52q (3.23)

17 3txtI_NUNZINTE_21 3/6/11 17:6 Pagina j Equiibrio eastico dea trave: trattaione generae j 177 d Figura d B u() u( + d) c q q n k M N T N + dn M + dm ϕ n d T + dt Equiibrio aa trasaione in direione dt>d 52q (3.24) Equiibrio aa rotaione intorno a x dm>d 2 T 52c (3.25) Negi equiibri, e fore si considerano positive se equiverse agi assi e, e coppie se antiorarie. Le equaioni di equiibrio ai imiti si scrivono, sua base iniiae e su quea finae, rispettivamente: I modeo che qui si scegie per definire i comportamento dea trave eastica piana ad asse rettiineo è queo che tiene in consideraione, otre aa deformabiità assiae e a quea fessionae, quea da scorrimento dovuta aa deformaione associata a tagio. Questo modeo di trave, viene correntemente chiamato trave di Timoshenko (. Timoshenko, J.N. Goodier, Theor of Easticit, McGraw-Hi Book Compan, 1951). Questo modeo di trave trae origine da concetto di direttore per primo inf 52N f 52T C 52M f 5 N f 5 T C 5 M (3.26) Deformaioni e compatibiità corrimento Trave di Timoshenko

18 3txtI_NUNZINTE_21 3/6/11 17:6 Pagina j Capitoo 3 j Travi eastiche trodotto per i continuo poare da Duhem (1893), sviuppato dai fratei Cosserat ( ), ed esteso a continuo deformabie da J.L. Ericksen e C. Truesde (1958). La generica seione dea trave è univocamente identificata, nea configuraione iniiae indeformata, daa sua ascissa ; inotre, poiché gi scorrimenti possono determinare rotaioni tra e seioni e a normae aa inea eastica, è necessario associare a ogni seione i versore n a essa normae (Figura 3.28). Nea configuraione indeformata iniiae dea trave rettiinea, ogni seione presenta versore dea normae n coincidente con i versore k de asse. Nea configuraione deformata, a seione 9 trasformata è ruotata di w rispetto aa posiione iniiae ; quindi i versore dea normae aa seione trasformata, indicato con n, forma angoo w con originario asse dea trave che coincide con. La configuraione deformata dea trave è caratteriata daa curva j trasformata dea inea d asse baricentrico, nonché da campo dei versori n() normai ae trasformate 9 dee seioni, che vengono chiamati direttori. Lo spostamento generaiato u dea trave è dunque rappresentato dae due componenti deo spostamento de baricentro dea seione, rispettivamente assiae w e trasversae v, e daa rotaione w de direttore (Figura 3.28): u 5 [w() v() w()] T (3.27) Nea trave di Timoshenko a noione di curvatura rimane a stessa già sopra richiamata per a trave di Euero-Bernoui; resta soo da osservare che qui e normai ae seioni non coincidono con e tangenti aa trasformata j dea inea d asse corrimento Lo scorrimento, che verrà trattato per esteso ne capitoo dedicato a soido di de aint Venant, è a deformaione dea trave duae dea soecitaione tagiante T, e corrisponde aa variaione de angoo iniiamente retto compreso fra asse dea trave e asse su cui giace a seione trasversae. Questo tipo di deformaione può essere esempificato dao scorrimento che nasce tra e carte di un mao di carte da gioco o tra i fogi di un ibro (Figura 3.29a). tro esempio di meccanismo di scorrimento è queo che si ipotia a iveo macroscopico per i teai mutipiani, detti shear-tpe sotto fore oriontai de tipo sismico (Figura 3.29b). Meccanismi di scorrimento da tagio si determinano anche nei soidi voumetrici, quai per esempio i terreni in pendio, i banchi rocciosi composti da diversi strati di rocce sovrapposti; o scorrimento, frequentemente innescato ne banco instabie da sismi o da saturaione di acqua dei terreni, può produrre meccanismi di frane o scivoamento dei pendii (Figura 3.29c). Con riferimento aa Figura 3.3 si consideri a seione e a sua trasformata 9. ia n i direttore di 9. Per o spostamento dea seione in 9, se non vi fosse scorrimento da tagio a seione 9 risuterebbe ortogonae aa tangente aa inea media deformata. L eemento di trave di unghea d fra e Q si porterebbe nea posiione 9Q * ; esso invece si deforma così da occupare a posiione deformata 9Q9, in quanto è avvenuto o scorrimento g rispetto a 9Q *. Daa geometria dea figura è agevoe dedurre a seguente reaione geometrica: g5w1 dv (3.28) d che ega o scorrimento g aa rotaione w dea seione e aa derivata rispetto a deo spostamento trasversae v dea inea d asse trasformata j. e risuta w5 si ha puro scorrimento di vaore (Figura 3.3): g5 dv d (3.29)

19 3txtI_NUNZINTE_21 3/6/11 17:6 Pagina j Equiibrio eastico dea trave: trattaione generae j 179 truttura a teaio nea configuraione indeformata truttura a teaio nea configuraione deformata (meccanismo shear-tpe) a) b) Porione di terreno interessata da possibii meccanismi di scivoamento Terreno uperficie di scorrimento c) Figura 3.29 corrimento d Figura 3.3 n Q + d v() v + dv Q * w() n dv d ϕ γ n + dn dv γ = ϕ + dv d Q

20 3txtI_NUNZINTE_21 3/6/11 17:6 Pagina j Capitoo 3 j Travi eastiche Equaioni di compatibiità Ne caso di scorrimento nuo g5 si ha: w52 dv (3.3) d a trave si comporta come ne modeo puramente fessionae di Euero-Bernoui e i direttore n è in ogni seione tangente aa deformata dea inea d asse. La diataione e, o scorrimento angoare g e a curvatura x descrivono a deformaione dea trave nea generica seione e sono e caratteristiche dea deformaione, o deformaioni generaiate dea trave di Timoshenko. Le equaioni: e5 dw d (a) g5w1dv d (b) x5dw d (c) (3.31) costituiscono e equaioni differeniai di compatibiità cinematica fra spostamenti e deformaioni. I vettore d 5 [e gx] T raccogie e componenti dea deformaione dea trave. Noto i campo di spostamento u 5 [w vw] T, per derivaione tramite e (3.31) si ottengono e deformaioni. Viceversa, assegnato o stato di deformaione d 5 [egx] T, integraione dee (3.3) determina e componenti deo spostamento u: w 5 3 ed w5 3 xd v 5 3 (g2w)d (3.32) a cui souione effettiva dipende dae condiioni ai imiti di tipo cinematico. 3.6 j Principio dei Lavori Virtuai per a trave infessa Indipendena da egame costitutivo istema fore-tensioni equiibrato In questo paragrafo viene introdotto i Principio dei Lavori Virtuai (PLV) per a trave infessa, a cui deformaione è stata descritta precedentemente. La trattaione può considerarsi a naturae estensione aa trave deformabie de Principio già ampiamente trattato per e travi rigide. Peratro a trattaione esposta costituisce a riduione, aa trave infessa, di que Principio vaido in generae per i soido deformabie, che verrà introdotto ne Capitoo 5. I PLV è di fondamentae importana nea deduione dea generaità dei risutati sua meccanica dea trave, in tema di teoria de Easticità, nea teoria dea Pasticità e ne naisi Limite: infatti esso non presuppone acun egame costitutivo e si può dunque utiiare in vaste parti dea teoria e dee appicaioni in tema di soidi e strutture, indipendentemente da comportamento de materiae costitutivo. I PLV costituisce un ponte fra i mondo dea statica e queo dea cinematica dea trave deformabie, in quanto fornisce condiioni di equiibrio e condiioni di compatibiità Equiibrio i consideri a trave piana F ad asse rettiineo di seione e di uce, di Figura 3.31 sottoposta a carico distribuito trasversae q 5 q(), considerato appicato con opportuna regoarità aa trave. La trave F assumerà i ruoo di sistema fore-tensioni. La trave, priva di vincoi, viene considerata ibera ne piano; in dipendena de suo effettivo inserimento in una struttura più generae, o quai effetti di vincoi presenti ne caso reae, sono presenti sue sue due basi iniiae e finae, fore e coppie, connesse con a deformabiità fessionae, indicate rispettivamente con (F, C x ) e (F, C x ).

21 3txtI_NUNZINTE_21 3/6/11 17:6 Pagina j Principio dei Lavori Virtuai per a trave infessa j 181 Figura 3.31 q = q() C x F F, F C x Le aioni appicate ae due basi e i carico distribuito q() sono per ipotesi in equiibrio fra oro ne senso che soddisfano e equaioni cardinai dea statica de intera trave. Per equiibrio esistente, i carico q() appicato insieme ai sistemi di fore agenti ae estremità, sono in equiibrio con e soecitaioni interne T(), M() 5 M x suscitate nea trave, ne senso che sono soddisfatte e equaioni indefinite di equiibrio interno dea trave (Paragrafo 2.9): dt dm 1 q() 5 (a), d (3.33) e e equaioni di equiibrio ai imiti nee seioni di estremità coinvogenti e soecitaioni e e aioni esterne ivi appicate: d 2 T() 5 (b) T 52F T 5 F x M 52C in e (3.34) x M 5 C in (3.35) Compatibiità i consideri poi a trave di Figura 3.32, avente a stessa geometria (, ) di quea già introdotta, sua quae si considera presente un generico campo di spostamento trasversae v() appartenente a una casse V di spostamenti infinitesimi di opportuna regoarità (per esempio di casse C (2) ), a quae sono connesse e rotaioni infinitesime w() e a curvatura x() ineariata, soddisfacenti con o spostamento e equaioni di compatibiità spostamento-deformaione: w52 dv() d (3.36) istema spostamento-deformaione cinematicamente compatibie x5 dw d 52d2 v() d 2 (3.37) v w v() L v L Figura 3.32, w L

22 3txtI_NUNZINTE_21 3/6/11 17:6 Pagina j Capitoo 3 j Travi eastiche postamento virtuae La casse degi spostamenti-deformaioni v(), w(), x() assunti ne ambito dea cinematica infinitesima, costituisce un insieme chiamato spostamento virtuae. La assumerà i ruoo di sistema spostamenti-deformaioni. L aggettivo virtuae sottintende in sintesi: a) indifferena dea sceta di v() a interno dea casse V; b) che v() sia infinitesimo e regoare; c) che da esso tramite e equaioni di compatibiità (4) e (5) si deducano rotaione w() e curvatura ineariata x(). i nota qui espicitamente che tra e fore-soecitaioni presenti su F sopra introdotte e questi spostamenti deformaioni presenti su non vi è, in generae, acuna reaione di causa ed effetto. Lavoro virtuae esterno Equaione dei avori virtuai criviamo ora i cosiddetto avoro virtuae dee fore presenti sua trave F per gi spostamenti dea trave. Questo avoro, atrimenti detto avoro dee fore o avoro esterno, è i prodotto scaare degi enti fore e coppie presenti su F, per i corrispondenti spostamenti-deformaioni presenti su : L e 5 F v 1 C x w 1 F v 1 C w 1 3 q()v()d (3.38) Lavoro virtuae I avoro virtuae non è un avoro reamente compiuto in senso meccanico, ma è soo un prodotto scaare, uno strumento matematico che inferisce importanti risutati su equiibrio e compatibiità dee travi. Facendo uso dee (3.34) e (3.35), graie a ipotiata regoarità degi enti coinvoti e de significato dea funione primitiva, a (3.38) si trasforma come di seguito. L e 5 (T v 1 M w 2 T v 2 M w ) 1 3 q()v()d 5 5 3Tv 1 Mw4 1 3 q()v()d 5 3 c d (Tv 1 Mw) 1 q()v() d d 5 d (3.39) 5 3 ca dt dm 1 q() b v() 1 a d d w1tdv() d b 1 M dw d d d Lavoro virtuae interno L i 5 3 Mxd Ne utimo membro dea (3.39), a prima parentesi tonda in fora dea (3.33a) è nua, a seconda parentesi tonda graie ae (3.33b) e aa (3.36) è nua, sicché utimo membro dea (3.39) si riduce a espressione de cosiddetto avoro virtuae interno fessionae de momento presente su F per a curvatura presente in :. In definitiva si ottiene equaione che esprime i Principio dei Lavori Virtuai dea trave infessa: L e 5 F v 1 C x w 1 F v 1 C w 1 3 q()v()d 5 L i 5 3 Mxd (3.4)

23 3txtI_NUNZINTE_21 3/6/11 17:6 Pagina j Principio dei Lavori Virtuai per a trave infessa j 183 La (3.4) afferma che i avoro virtuae dee fore agenti sua trave F per gi spostamenti dea trave, o avoro virtuae esterno L e, eguagia i avoro virtuae dea soecitaione momento fettente equiibrato con e fore su F per a deformaione di curvatura compatibie con o spostamento di, chiamato avoro virtuae interno L i. otto opportune ipotesi di regoarità degi enti coinvoti vagono i seguenti Teoremi dei Lavori Virtuai. Condiione necessaria di equiibrio Nea dimostraione svota sopra si è fatta ipotesi che e fore-soecitaioni presenti su sistema di fore F siano equiibrate ne senso dee equaioni cardinai dea statica e ne senso dee equaioni di equiibrio interno e ai imiti (3.33), (3.34) e (3.35). i è poi utiiato o spostamento virtuae v() con a rotaione e a curvatura w(), x() ottenute da v() a meo dee equaioni di compatibiità (3.36) e (3.37): questa procedura dà pertanto a equaione (3.4) de PLV i significato di condiione necessaria di equiibrio. I teorema si enuncia: Condiione necessaria di equiibrio Un sistema di fore-soecitaioni [F, C x, F, C x, q(), M()] in equiibrio sua trave ne senso de equiibrio gobae, interno e ai imiti, soddisfa equaione (3.4) de PLV L e 5 L i scritta con riferimento a uno spostamento virtuae v() e ae corrispondenti deformaioni compatibii. Questo teorema si chiama anche teorema degi spostamenti virtuai, a sottoineare i carattere di parametro di prova o riveatore assunto da campo di spostamento virtuae v(), e può essere sintetiato daa seguente impicaione simboica: Teorema degi spostamenti virtuai 3F,C x,f,c x,q(),m()4 equiibrato 1 L e 5L i per un 3v(),w(),x()4 virtuae Con tecnica dimostrativa anaoga è possibie dimostrare gi atri teoremi che qui di seguito si enunciano, rinviando per approfondimenti a ampia etteratura esistente su argomento [1, 25]. Condiione sufficiente di equiibrio Un sistema di fore [F, C x, F, C x, q()] è in equiibrio con e soecitaioni M(), T() se equaione (3.4) dei avori virtuai L e 5 L i è soddisfatta per ogni possibie spostamento deformaione virtuae v(), w(), x(). I teorema è sintetiabie con a seguente impicaione: Condiione sufficiente di equiibrio L e 5L i per ogni 3v(),w(),x()4 virtuae 1 3F,C x,f,c x,q(),m()4 equiibrato Condiione sufficiente di compatibiità e o spostamento v(), a rotaione w() e a curvatura x(), assegnati separatamente, soddisfano equaione de PLV L e 5 L i, scritta per tutti i possibii sistemi di fore-tensioni equiibrati [F, C x, F, C x, q(), M()], aora o spostamento, a rotaione e a curvatura v(), w(), x() soddisfano fra oro e reaioni di compatibiità cinematica (3.36) e (3.37). Condiione sufficiente di compatibiità

24 3txtI_NUNZINTE_21 3/6/11 17:6 Pagina j Capitoo 3 j Travi eastiche I teorema è sintetiabie con a seguente impicaione L e 5 L i per ogni 3F,C x,f,c x,q(),m()4 equiibrato 1 1 v(), w(), x() fra oro compatibii Teorema dee fore virtuai Quest utimo teorema, che costituisce una condiione sufficiente di compatibiità fra v(), w(), x(), si chiama anche teorema dee fore virtuai, in quanto utiia i sistemi di fore-soecitaioni equiibrati [F, C x, F, C x, q(), M()] come campi di prova. I Principio dei Lavori Virtuai per a trave infessa, qui sopra presentato, diventa un formidabie strumento per a ricerca di spostamenti eastici e per a deduione di incognite iperstatiche, come verrà dimostrato operativamente tramite acuni esempi di travi sempici eastiche sviuppati qui di seguito. Ne Capitoo 4 si generaieranno queste noioni introduttive a strutture più compesse, in presena di carichi, cedimenti e distorsioni e utiiando e tre deformabiità già introdotte: assiae, da scorrimento e fessionae. Ne pprofondimento 3.1 viene presentata estensione de Principio dei Lavori Virtuai aa trave dotata di deformabiità assiae, fessionae e tagiante, comunemente detta trave di Timoshenko. I PLV è, d atro canto, utiiabie anche in ambito easto-pastico ed eastoviscoso, come si mostrerà ne Capitoo 8. j pprofondimento 3.1 PLV per a trave: trattaione generae In questo paragrafo viene generaiato i Principio dei Lavori Virtuai già presentato, aa trave nea quae sono presenti deformabiità assiai, scorrimento e curvatura, in presena anche di coppie distribuite. i consideri una trave piana ad asse rettiineo di seione e di uce, sottoposta a fore e coppie concentrate agenti sue due basi, raccote ne vettore f 5 [f f C] T, nonché a carico distribuito q 5 [q q c] T ungo a trave (Figura P3.1). Per equiibrio ai imiti nee due seioni di estremità, si ha: f 52N f 52T C 52M (P3.1) f, 5 N, f, 5 T, C, 5 M, Nea generica seione a ascissa dea trave, sono presenti e caratteristiche dea soecitaione s 5 [NTM] T equiibrate con i carichi q 5 [q q c] T ne senso de soddisfacimento dee equaioni de equiibrio interno (3.23) (3.24) (3.25). dn d 52q dt d 52q dm d 2 T 52c (a) (b) (c) (P3.2) i consideri poi un atra trave, avente a stessa geometria (,,) dea prima, che presenta un campo di spostamento generaiato piccoo u 5 [w() v() w()] T (Figura P3.2). Figura P3.1 c f = N f = T q q q C = M f = N F = +T C = M

25 3txtI_NUNZINTE_21 3/6/11 17:6 Pagina j Principio dei Lavori Virtuai per a trave infessa j 185 w Figura P3.2 v v v w ϕ w n ϕ ϕ n dv d ϕ o spostamento u considerato corrispondono tramite e (3.31), e deformaioni generaiate con esso compatibii. Questi spostamenti-deformaioni (u, d), assunti ne ambito dea teoria infinitesima, per ipotesi sono dotati di opportuna regoarità matematica e costituiscono uno stato di spostamenti-deformaioni chiamato cinematicamente compatibie. Di norma si assume che u sia continuo con derivate prime e seconde continue. i nota espicitamente che tra e fore-tensioni sopra introdotte e questi spostamenti-deformaioni non vi è acuna reaione. criviamo ora i cosiddetto avoro virtuae, che e fore de primo sistema compiono per i corrispondenti spostamenti de secondo sistema: L F 5 f, w, 1 f, v, 1 C, w, 1 f w 1 f v 1, (P3.3) 1 C w 1 3 (q w 1 q v 1 cw)d tenendo conto dee (P3.1), a (P3.3) si trasforma come di seguito:, L F 5 3Nw1Tv1Mw4, 1 3 (q w1q v1cw)d5, 5 3 c d d 1Nw1Tv1Mw2 1(q w1q v1cw) d d5, 5 3 ca dn d 1q b w1 a dt d 1q b v1 a dm 1c b w1 d d 5 3egx4 T 5 c dw d a w1dv d b dw T d d 1 a N dw (P3.4) d 1 Tdv d 1 Mdw d bdd Poiché e soecitaioni s 5 [N TM] T sono in equiibrio con i carichi q 5 [q q c] T ne rispetto dee equaioni di equiibrio interno (P3.2), e prime due parentesi tonde ne utimo membro dea (P3.4) sono nue; a tera parentesi tonda produce i termine Tw. Le equaioni di compatibiità spostamento-deformaione (3.31) consentono in definitiva di scrivere a (P3.4) nea forma:, L F 5 3 3Ne1Tg1Mx4d5L i (P3.5) L equaione (P3.5) esprime i cosiddetto Principio dei Lavori Virtuai (PLV) i quae afferma che i avoro virtuae de sistema di fore de primo sistema per gi spostamenti de secondo sistema eguagia i avoro virtuae dee soecitaioni equiibrate con e fore de primo, per e deformaioni compatibii con gi spostamenti de secondo; quest utimo si chiama avoro virtuae interno L i. È opportuno notare che i avoro di cui qui si para, non è un avoro meccanico reamente compiuto, ma sempicemente un prodotto scaare fra campi di fore per certi spostamenti virtuai (avoro virtuae esterno o dee fore), e fra soecitaioni e deformaioni generaiate (avoro virtuae interno). La virtuaità deo spostamento utiiato ne equaione (e dee corrispondenti deformaioni infinitesime compatibii) risiede ne fatto che o spostamento u, arbitrario, è i generico rappresentante di un intera casse di spostamenti infinitesimi, dotati di opportuna regoarità. u tae questione i ettore interessato ad approfondimenti può consutare diversi testi di iveo superiore esistenti su argomento. otto opportune ipotesi di regoarità degi enti coinvoti vagono i seguenti teoremi dei Lavori Virtuai. Condiione necessaria di equiibrio Un sistema di fore soecitaioni [(f, f 1, q); s] equiibrato, in quanto in accordo con e equaioni ai imiti

26 3txtI_NUNZINTE_21 3/6/11 17:6 Pagina j Capitoo 3 j Travi eastiche (P3.1) e interne (P3.2), soddisfa equaione dei avori virtuai (P3.5): f, w 1 f, v, 1 C, w, 1 f w 1 f v 1, 1 C w 1 3 (q w 1 q v 1 cw)d 5 5 3, (Ne 1Tg 1Mx)d (P3.6) scritta per un quaunque campo di spostamenti virtuai u 5 [w vw] T compatibii con e deformaioni d 5 [e gx] T. La (P3.5) scritta sinteticamente: L F 5 L i evidenia uguagiana fra i avoro virtuae dee fore L F e i avoro virtuae interno L i. Questo teorema si chiama anche teorema degi spostamenti virtuai, a sottoineare i carattere di pa- rametro di prova o riveatore assunto da campo di spostamento virtuae u che entra nea (P3.6), con e corrispondenti deformaioni compatibii d. Condiione sufficiente di equiibrio Un sistema di fore [f, f 1, q] è in equiibrio con e soecitaioni s 5 [N TM] T se equaione (P3.6) è soddisfatta per ogni possibie stato compatibie di spostamento deformaione virtuae (u, d). Condiione sufficiente di compatibiità e o spostamento u e e deformaioni d, assegnati separatamente, soddisfano equaione de PLV, scritta per tutti i possibii sistemi di fore-tensioni [f, f 1, q, s] equiibrati, aora u e e deformaioni d sono fra oro compatibii, ne senso che soddisfano e equaioni (3.31). Quest utimo teorema si chiama anche dee fore virtuai a sottoineare i ruoo di campi di prova assunto dei parametri fore-tensioni equiibrate [f, f 1, q, s]. j Esempio 3.16 Ricerca di spostamenti e rotaioni mediante i PLV i vogia determinare o spostamento dea seione D dea trave eastica dea Figura La trave isostatica, soecitata da una fora F su estremità deo sbao, presenta e reaioni R e R B deducibii tramite e due equaioni di equiibrio aa rotaione intorno ai punti B e : 2R 2 Fa 5 1 R 5 2Fa d R B 2 F1 1 a2 5 1 R B 5 F a 1 1 a b Nei due tratti i momento fettente è rappresentato rispettivamente dae funioni: M R 52 Fa 5 [3, 4 d M 2 52F1 1 a [3, 1 a4 Figura 3.33 R M() (1) B (2) R B F D L a v D

27 3txtI_NUNZINTE_21 3/6/11 17:6 Pagina j Principio dei Lavori Virtuai per a trave infessa j 187 F M () M () 1 2 (1) B (2) a B 1 D Figura 3.34 L a momento fettente presente sua trave corrisponde a curvatura eastica, daa quae è deducibie o spostamento v, rappresentato in figura, ottenibie con a procedura più sopra presentata di doppia integraione. La curvatura eastica e o spostamento presenti sua trave B sono tra oro compatibii ne senso de soddisfacimento dee equaioni: x5 M EI istema spostamenti x5 M EI 5 dw d 5 2 d2 v d 2 I costituisce dunque i sistema di spostamento a fine de utiio de PLV. fine dea ricerca deo spostamento v D dea seione di estremità deo sbao, si utiia a F di Figura 3.34, uguae per geometria a quea da studiare, caricata nea seione D da una fora F 5 1 unitaria. Per questo motivo a presente procedura nea etteratura angosassone assume i nome di unit force method. Nea F si destano e reaioni. I momento fettente è dato da: m a 52 a 5 [3, 4 c m a 5 [3, 1 a4 u questa trave F, a fora unitaria F 5 1, e reaioni a i e i momento m sono fra oro equiibrati, ne senso de soddisfacimento dee equaioni cardinai dea statica e di quee di equiibrio indefinito: i sistema (F 5 1, a i, m) agente sua F è equiibrato. i può quindi scrivere equaione dei Lavori Virtuai fra a F costituente i sistema di fore in quanto equiibrato e quae sistema spostamenti in quanto (x,v) costituenti a souione, sono fra oro compatibii. L equaione si scrive: Unit force method a 5 2a a B a istema fore L e 5 1 # vd 5 L i 5 3 b m M EI d 5 3 e determina incognito spostamento v D. sistema F (F 5 1, a i, m) è richiesto soo i soddisfacimento de equiibrio: esso dipende daa sceta dea fora unitaria F 5 1 appicata in corrispondena dea seione D, in quanto ente duae de cercato spostamento v D, e cioè con esso egato ne espressione de avoro virtuae esterno. Con a sceta di una trave IPE 14 e dei seguenti parametri F 5 1 kn, 5 5 m, a 5 1 m, I cm 4, si ottiene v D cm. 1a m 1 M 1 EI d 1 3 m 2 M 2 EI d