f(x) = 1 x 2 Per determinare il dominio di f(x) dobbiamo imporre che il determinante sia diverso da zero

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1 . Data la funzione approssimarne il grafico. f() = 2 Per determinare il dominio di f() dobbiamo imporre che il determinante sia diverso da zero 2 0 = 2 = ± perciò il dominio ` D = R \ {, } =], [ ], [ ], + [. Quando, come in questo caso, il dominio è simmetrico rispetto a 0 ha senso chiedersi se, eventualmente, il grafico della funzione f è simmetrico rispetto all asse delle y (cioè se f è una funzione pari, ovvero tale che f( ) = f()) oppure se è simmetrico rispetto all origine O degli assi cartesiani (cioè se f è una funzione dispari, ovvero f( ) = f()). Nel caso della funzione assegnata si ha f( ) = ( ) ( ) = 2 = f() 2 quindi f è una funzione dispari, cioè simmetrica rispetto all origine O. Cerchiamo eventuali punti di intersezione con gli assi: = 0 = f(0) = 0 = O(0, 0) y = 0 = f() = 0 = 2 = 0 = = 0 = = 0 = O(0, 0) Abbiamo dunque un solo punto di intersezione che coincide con l origine O degli assi coordinati. Per studiare la positività della funzione dobbiamo risolvere la sequente disequazione f() > 0 = 2 > 0. Si tratta di una disequazione frazionaria perciò studiamo separatamente il segno positivo di numeratore e denominatore: N > 0 = > 0 = > 0 D > 0 = 2 > 0 = < < D è tale che se D anche D (lo zero divide esattamente il dominio in due parti speculari, una di valori positivi e l altra di valori negativi.)

2 allora la funzione è positiva per < oppure 0 < < ed è negativa altrove. Vediamo se ci sono asintoti: - asintoti verticali: f() = + + = 2 0 = f() = = 2 0 = + + da cui si deduce che = è asintoto verticale (bilatero); f() = + + = 2 0 = + f() = + = 2 0 = + da cui si deduce che anche = è asintoto verticale (bilatero). - asintoti orizzontali: f() = f() = 2 = 2 = + da cui si deduce che non ci sono asintoti orizzontali; - asintoti obliqui: [f() + ] = f() = ( 2 ) = [ ] + 2 = 2 = 0 2

3 da cui si deduce che y = è asintoto obliquo per +. Analogamente si procede quando ritrovando [f() + ] = f() = ( 2 ) = [ ] + = 2 2 = 0 quindi y = è asintoto obliquo anche per. Passiamo al calcolo della derivata prima. Per ogni D si ha f () = 2 ( 2 ) ( 2) =... = 2 ( 2 ) ( 2 ) 2 ( 2 ) 2 Studiamo la positività di f () in D: f () 0 = 2 ( 2 ) ( 2 ) 2 0 (2 0, ( 2 ) 2 > 0) = 2 0 = quindi + + la funzione presenta in = un punto di minimo relativo, f( ) = 2, mentre presenta in = un punto di massimo relativo, f( ) = 2. Dallo studio della derivata seconda f () =... = 2(2 + ) ( 2 ) 4 0 ( 2 + 0, ( 2 ) 4 > 0) = >

4 si evince la presenza di un punto di flesso per = 0. Il grafico della funzione è il numero. 2. Data la funzione approssimarne il grafico. f() = Per determinare il dominio di f() dobbiamo imporre che il radicando sia 0 0 =... = 0oppure > perciò il dominio ` D =], 0] ], + [. Non ci sono simmetrie. Cerchiamo eventuali punti di intersezione con gli assi: = 0 = f(0) = 0 = O(0, 0) y = 0 = f() = 0 = = 0 = = 0 oppure = 0 = O(0, 0) Abbiamo dunque un solo punto di intersezione che coincide con l origine O degli assi coordinati. Per studiare la positività della funzione dobbiamo risolvere la sequente disequazione f() > 0 = > 0. Visto che la radice è sempre positiva nel suo insieme di definizione, f è positiva se è positivo il primo dei due fattori, ovvero se > 0. Questa soluzione va intersecata con il dominio percò f è positiva per > e negativa altrove. Vediamo se ci sono asintoti: - asintoti verticali: f() = = + pertanto = è asintoto verticale (sinistro); - asintoti orizzontali: f() = = + 4

5 f() = = da cui si deduce che non ci sono asintoti orizzontali; - asintoti obliqui: f() = = ] [f() ] = [ =... razionalizzo = + = 2 da cui si deduce che y = + è asintoto obliquo per +. Analogamente 2 si procede quando ritrovando che y = + è asintoto obliquo anche 2 per. Passiamo al calcolo della derivata prima. Per ogni D \ {0} (escludiamo 0 perchè deriviamo solo nei punti interni al dominio; per vedere cosa succede in 0 si deve fare un discorso a parte, ovvero si deve studiare la derivabilità della funzione in 0) si ha f () = + d (2 ) =... = d 2 ( ) Studiamo la positività di f () in D: quindi f () 0 = (2 ) 2 ( ) 0 N 0 = (2 ) 0 = 0 oppure /2 D > 0 = 2 ( ) > 0 = ( ) > 0 sempre in D \ {0} 0 / la funzione presenta in = 0 un punto di massimo relativo, f(0) = 0, mentre presenta in = /2 un punto di minimo relativo, f(/2) = 2. 5

6 Cosa accade nel punto = 0 alla derivata? Calcoliamo il seguente ite f (2 ) () = ( ) = 2 = 0 ( ) 2 0 ( ) = 0. quindi in 0 la derivata esiste e vale 0, ovvero la tangente al grafico della funzione nel punto 0 coincide con l asse delle. Dallo studio della derivata seconda f () =... = 4( ) ( ) Studiamo f () 0 = 4( ) 0 = > 0 = > ( ) perciò la funzione non ha punti di flesso (perchè non si annulla mai la f ) ed ha la concavità rivolta verso l alto per > e verso il basso per < 0. Il grafico della funzione è il numero 2.. Data la funzione approssimarne il grafico. f() = log Per determinare il dominio osservo che l argomento del logaritmo deve essere strettamente positivo e il denominatore della frazione deve essere diverso da zero. Mettendo a sistema queste due condizioni si ha { > 0 0 = 0 (perchè la prima disequazione è verificata per ogni che non annulla l argomento del modulo) quindi il dominio è D = R\{}. Non ci sono simmetrie. Vediamo i punti eventuale di intersezione con gli assi: log = 0 = f(0) = = 0 = O(0, 0) y = 0 = f() = 0 = log = 0 = = = = ± = = 2 oppure = 0 = A(2, 0) oppure O(0, 0). 6

7 Vediamo dove la funzione è positiva. f() > 0 = log > 0 N > 0 = log > 0 = > = > oppure < = > 2 oppure < 0 D > 0 = > 0 = > dunque f è positiva per 0 < < oppure per > 2 e negativa altrove. Cerchiamo gli eventuali asintoti: - asintoti verticali: log f() = + + log f() = quindi = è asintoto verticale bilatero; - asintoti orizzontali: f() = log = 0 + = = 0 = + log( ) = = 0 2 quindi y = 0 è asintoto orizzontale per +. Allo stesso modo si calcola il ite per ritrovando di nuovo che fa 0, quindi y = 0 è asintoto orizzontale anche per. Calcoliamo la derivata prima di f. Visto che c è il modulo prima bisognerà capire come disfarsene : f() = log log( ) = log( ) se > se < 2 log t ho usato il ite notevole = 0. Si poteva anche applicare De l Hôpital. t + t 7

8 Per > dobbiamo calcolare la derivata di f() = f () = e studiarne il segno: ( ) log( ) = ( ) 2 log( ) : log( ) ( ) 2 f log( ) () 0 = 0 = log( ) 0 ( ) 2 = log( ) = < e = < + e quindi per questa parte di dominio, ovvero per >, si ha + e + + e quindi = + e è un punto di massimo relativo per f() e log( + e ) f( + e) = = log(e) = + e e e. Per < dobbiamo calcolare la derivata di f() = f () = e studiarne il segno: ( ) log( ) = ( ) 2 log( ) : log( ) ( ) 2 f log( ) () 0 = 0 = log( ) 0 ( ) 2 = log( ) = < e = > e quindi per questa parte di dominio, ovvero per <, si ha e + + 8

9 quindi = e è punto di minimo relativo per f() e f( ) = log( + ) e e = e log( ) e e = /e = e. Il grafico è stato abbozzato a meno dello studio della derivata seconda (grafico n.) ma si intuisce che ci devono essere almeno due punti di flesso, uno prima di /e e l altro dopo + e. 4. Si studi la seguente funzione e se ne tracci approssimativamente il grafico f() = Si tratta d una funzione con valore assoluto; essa è definita per + 0 e quindi il suo dominio è D = R\{ }. Si riconosce subito che f non ha simmetrie. Intersecando con gli assi si ha: = 0 = f(0) = 4 = A(0, 4) y = 0 = f() = 0 = 4 2 = 0 Per risolvere questa equazione con valore assoluto si distinguono due casi: - se 0 l equazione diventa = 0 da cui segue ( 2) 2 = 0 ovvero = 2 (che è e quindi accettabile come valore) = B(2, 0) - se < 0 < l equazione diventa = 0 da cui segue = 0 le cui soluzioni sono = 2 ± 2 2 (entrambe < ) = C( , 0), D( 2 2 2, 0) Per quanto riguarda il segno della funzione si osservi che il denominatore + è sempre positivo in D perciò sarà sufficiente studiare la positività del numeratore: 4 2 > 0. Le soluzioni di questa disequazione sono date dall unione delle soluzioni dei seguenti sistemi: - { > 0 = { ( 2) 2 < 0 = nessuna soluzione 9

10 { { < < > 0 = < < = < < Allora la soluzione della disequazione di partenza è < < ovvero qui la funzione risulta essere positiva. Passiamo alla ricerca di eventuali asintoti. Da 4 2 f() = + = + segue che la retta = è asintoto verticale (bilatero). Inoltre si ha f() = 4 2 ± ± + = dunque non ci sono asintoti orizzontali. Vediamo se ce ne sono obliqui: f() = ( ) 2 = ( + ) = f() ( ) = 4( ) = + + = 5 da cui segue che la retta y = + 5 è asintoto obliquo per +. Inoltre f() = f() = 4( + ) 2 = 4( + ) 2 = ( ) = 4 = da cui segue che la retta y = + è asintoto obliquo per. Poiché il valore assoluto è derivabile in ogni punto in cui non si annulla, si può dire subito che la funzione è derivabile per in tutti i punti del dominio tranne che in. Per il calcolo della derivata può essere utile fare le seguenti considerazioni. Studiamo il segno degli argomenti dei singoli valori assoluti: + > 0 = > 0 = 0

11 + + + Allora la funzione assegnata si può scrivere nel modo seguente se < + f() = se < < se Utilizzando questa nuova espressione di f, per D,, si ha se < ( + ) 2 f () = ( + ) 2 se < < ( + ) 2 se > Dal teorema sulla continuità della derivata nel punto si ha f () = f () = ( + ) 2 = 4 f +() = + f () = ( + ) 2 = 5 4 e quindi f non è derivabile in. Studiamo il segno della derivata prima in ognuno degli intervalli (, ), (, ) e (, + ): { < f () 0 = < { < = ( + ) 2 = <

12 { < < f () 0 < < { < = = ( + ) 2 = nessuna soluzione { > f () 0 = = > ( + ) 2 0 = { > 4 2 = < 2 { > Concludendo si ha che f è crescente per < oppure < 2 e = 2 è un punto di massimo relativo per la funzione e si ha f(2) = 0. Grafico n. 4. 2