COMPORTAMENTO DINAMICO DI ASSI E ALBERI

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1 COMPORTAMENTO DNAMCO D ASS E ALBER VBRAZON TORSONAL Costruzone d Macchne

2 Generaltà l problema del progetto d un asse o d un albero non è solo statco Gl ass e gl alber, come sstem elastc, sotto l azone d forze varabl nel tempo devono essere analzzat dnamcamente l rscho da evtare è che con ecctazon prossme alle rsonanze le amplfcazon dano orgne a sforz e deformazon non accettabl Costruzone d Macchne

3 Ass e alber Gl ass e gl alber, descrtt come element monodmensonal, mostrano dfferent comportament dnamc: assale, flessonale e torsonale. n realtà essendo sstem elastc contnu dotat d massa, nerza e smorzamento esbscono un unco comportamento dnamco, rappresentable da un sstema d equazon dfferenzal. Tal equazon ntegrate nel domno del tempo permettono d rappresentare l comportamento dnamco. Costruzone d Macchne

4 Ass e alber E possble dmostrare che sotto certe potes comportament dnamc relatv alla deformazone assale, flessonale e torsonale sono completamente dsaccoppat. noltre, n generale, le prme frequenze propre d vbrazone d cascun tpo d comportamento s presentano n camp d frequenze ben dstnt (torsonal basse frequenze, flessonal frequenze ntermede, assal alte frequenze). Cò consente d semplfcare grandemente l problema consderando un numero nferore d varabl ndpendent. Costruzone d Macchne 4

5 VBRAZON TORSONAL sstem costtut da alber con volan hanno, oltre alle vbrazon flessonal, anche la possbltà d vbrare torsonalmente. Supponamo pertanto d avere un sstema del tpo d quello n fgura n cu l albero ha nerza trascurable rspetto a volan e quest possono essere consderat, a loro volta, rgd. n- n- n Costruzone d Macchne 5

6 VBRAZON TORSONAL l sstema descrtto ha la partcolartà, rspetto a quell fn qu esamnat, d essere strutturalmente lable n quanto lbero d ruotare attorno al propro asse. Vedremo pù avant come questa propretà consente d mettere a punto un metodo partcolarmente effcace per determnare le veloctà crtche torsonal. Dal punto d vsta de mod propr questa caratterstca determna l fatto che l prmo modo è sempre nullo, corrspondendo ad un moto rgdo d rotazone (Deformata senza nod). Costruzone d Macchne 6

7 Sstema a volan l sstema pù semplce da esamnare è quello rportato n fgura. Defnte φ e φ le rotazon n corrspondenza de due volan, è possble scrvere le equazon d equlbro tra moment delle forze nerza e moment delle reazon elastche: G,J Dove è la costante elastca torsonale del tratto d albero compreso tra due volan ed è pertanto par a: l && φ ( φ φ ) && φ ( φ φ ) Costruzone d Macchne 7 GJ l

8 Costruzone d Macchne 8 Sstema a volan Se, n analoga con quanto gà vsto per sstem elastc n generale, s rcavano soluzon del tpo φ sn ( t δ) s rcava, manpolando l sstema scrtto: che ammette soluzon non banal se l determnante de coeffcent è nullo. ) ( ) (

9 Costruzone d Macchne 9 Sstema a volan Esplctando tale condzone s ottene l equazone: che fornsce, per la veloctà crtca torsonale, la soluzone espressa dalla relazone 4 l GJ

10 Sstema a volan n realtà l equazone scrtta ammette anche la soluzone che corrsponde ad un moto rgdo d rotazone. Questa condzone è tpca d tutt sstem labl. Con le opportune modfche a sstem torsonal a volan s applcano tutte le concluson gà vste n generale per sstem a gdl H() Angolo d fase δ...5 δ.5 δ,,5,,5,,5, π/ δ.5 /...5,,5,,5,,5 / Costruzone d Macchne

11 Sstema a volan n partcolare se s nsersce nelle equazon l valore calcolato d, s può calcolare l valore d / che possamo chamare autovettore del sstema ( ) ( G,J l ) Costruzone d Macchne

12 Costruzone d Macchne Sstema a volan Se s esamna po l sstema d fgura, che ha tre volan, e s applca lo stesso procedmento è possble defnre l equazone d secondo grado 4 ( ) ( ) ( )

13 Costruzone d Macchne Sstema a volan Le soluzon dell equazone s ottengono ponendo Le frequenze propre rsultano allora par a Analogamente al sstema a volan s possono calcolare gl autovettor o o o o o o o B ( ) o o o o o o o o C C B B f, m π

14 Sstema a volan È da notare che due autovettor presenta no due dverse dstrbuzon degl angol massm d torsone φ, caratterzzat rspettvamente, da uno e due punt n cu gl angol sono dentcamente null. Tal punt vengono dett a nod mentre punt cu la deformata raggunge un massmo sono chamat ventr. l rsultato raggunto è generalzzable nel senso che la prma veloctà crtca ammette una deformata caratterzzata da un nodo, la seconda da due e così va. Costruzone d Macchne 4

15 Sstem real e sstem d calcolo. sstem, per qual è necessaro calcolare la veloctà crtche torsonal, non sempre sono mmedatamente rconducbl ad element ad asse rettlneo su un unco allneamento. D altra parte dsporre d un sstema equvalente d tal caratterstche è ndspensable per esegure calcol. Cò comporta la necesstà d stablre crter per rcavare da un certo sstema reale comunque complesso un sstema equvalente semplfcato. Costruzone d Macchne 5

16 Sstem real e sstem d calcolo Rduzone delle lunghezze. S tratta d rcavare un sstema a sezone costante d lunghezza ncognta con rgdezza uguale a quello reale. La condzone è ovvamente la seguente R eq Dove R è la rgdezza torsonale del sstema reale, da cu s rcava mmedatamente: GJ l x Pertanto per calcolare la lunghezza l x s stablsce R arbtraramente l materale (G) e la sezone (J) del tronco equvalente. Applcando nfne la relazone d equvalenza ora scrtta s ottene l x. Questo procedmento s applca quando s vuole trasformare un sstema comunque complesso, per esempo un albero a sezone varable o un albero a gomt, n un tratto rettlneo a sezone costante equvalente. GJ l x Costruzone d Macchne 6

17 Sstem real e sstem d calcolo Rduzone delle nerze. Quando s hanno volan che ruotano a veloctà dverse, la conversone s ottene mponendo che l energa cnetca de due sstem, quello reale e quello equvalente, sa la stessa. S ottene pertanto: Da cu s rcava mmedatamente, detto Che l momento d nerza equvalente è R R eq eq r eq R R eq r Costruzone d Macchne 7

18 Sstem real e sstem d calcolo Rduzone delle nerze. Nel caso d due alber conness da ruote dentate, qund, le nerze sull albero condotto possono essere rportate all albero motore, moltplcandole per l quadrato del rapporto d trasmssone. Coè s assume eq m Nel caso d rduttor essendo r< le nerze equvalent, rdotte all albero motore sono nferor a quelle real. Costruzone d Macchne 8

19 Sstem real e sstem d calcolo Rduzone delle nerze. È da notare nfne che nel caso d sstem con ngranagg anche la rgdezza dell albero condotto deve essere corretta per rportarlo all albero motore medante la relazone: eq R r Anche n questo caso, ne rduttor, le rgdezze equvalent sono nferor a quelle real Costruzone d Macchne 9

20 Costruzone d Macchne Sstem a n volan Per un sstema a n volan, s può scrvere l sstema d equazon dfferenzal che descrvono l moto. Ad esse, n modo del tutto analogo a quanto vsto per sstem semplfcat, s possono assocare le equazone algebrche d seguto rportate ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n n n

21 Sstem a n volan l sstema scrtto ammette soluzon non banal se l determnante de coeffcent è nullo e, n tal modo, s rcava la condzone necessara per l calcolo degl (n - ) valor delle veloctà crtche essendo la prma, come gà detto pù volte, nulla. l sstema scrtto, noltre, è adatto per una procedura d soluzone teratva. Costruzone d Macchne

22 Costruzone d Macchne Sstem a n volan Se s dvdono tutte le equazon per f, è possble, n generale scrvere:......,,,,,

23 Sstem a n volan Alle relazon scrtte è possble po aggungere l equazone che s ottene sommando tutte le equazon del sstema algebrco fondamentale; s rcava qund: M ( ) n n La funzone M può essere rappresentata n funzone d ed ha l andamento rportato n fgura, n cu s hanno gl zer n corrspondenza alle veloctà crtche. M Costruzone d Macchne

24 Sstem a n volan Rsulta qund possble defnre una procedura rsolutva d tpo teratvo da esegure: a) S assume b) S assume un valore d prmo tentatvo per c) S calcolano valor d) S mpone la condzone che consente l calcolo d M; esso, n generale sarà dverso da zero, s corregge allora l valore d fnché non s ottene un cambamento d segno per M: n tal caso l valore della veloctà crtca cercata è compreso tra e - (essendo l ndce del tentatvo) e può essere ottenuto con una opportuna formula d nterpolazone. Assumendo successvamente dvers valor nzal per s possono determnare tutte le veloctà crtche del sstema. La loro dentfcazone completa va fatta valutando le deformate attraverso l calcolo de rapport / ndvduando così l numero e la poszone de nod. Costruzone d Macchne 4

25 Sstem a 4 volan Per comprendere meglo l procedmento esplctamo le relazon per un sstema a 4 volan Le equazon sono qund 4 ( ) ( ) ( 4 ) ( ) Costruzone d Macchne 5

26 Sstem a 4 volan l determnante de coeffcent rsulta allora ( ) ( ) ( 4 ) 4 ( ) l sstema s può rsolvere attraverso l uso d una procedura teratva che nza con l dvdere tutte le equazon per e con l sommare tutte le equazon del sstema Costruzone d Macchne 6

27 Sstem a 4 volan S ottengono le relazon n cu s è assunto L ultma equazone s ottene sommando tutte le equazon del sstema. 4 4 [ ( ) ] [ ( ) ] Costruzone d Macchne 7

28 Sstem a 4 volan Ponendo allora s calcolano valor d,, 4 e s possono allora trovare valor d che annullano l ultma equazone. Test omega Costruzone d Macchne 8