Preparazione al corso di statistica Prof.ssa Cerbara

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1 Preparazioe al corso di statistica Prof.ssa Cerbara

2 Esistoo molti isiemi umerici, ciascuo co caratteristiche be precise. Alcui importatissimi isiemi umerici soo: N: isieme dei umeri aturali, cioè tutti i umeri iteri positivi, compreso lo zero. 0, 1, 2, 3,, Z: isieme dei umeri relativi, cioè tutti i umeri iteri positivi e egativi compreso lo zero -,, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,, Q: isieme dei umeri razioali, cioè tutti i umeri che possoo essere scritti come rapporto tra due umeri relativi dove ed m soo umeri relativi co m m 0 R: isieme dei umeri reali, cioè tutti i umeri razioali più alcui umeri che o possoo essere scritti come rapporto di umeri relativi, come ad esempio 2 = 1, 41421, ache detta costate di Pitagora e = 2, , detta Numero di Eulero o Numero di Nepero π = 3,14159, detto Pi Greco.

3 a + (b + c) = (a + b) + c = a + b + c a + b = b + a a + 0 = a a (b c) = (a b) c = a b c a b = b a a (b + c) = a b + a c a 1 = a proprietà associativa dell'addizioe proprietà commutativa dell'addizioe esisteza e uicità dell'elemeto eutro dell'addizioe (zero) proprietà associativa della moltiplicazioe proprietà commutativa della moltiplicazioe proprietà distributiva della moltiplicazioe rispetto all'addizioe esisteza e uicità dell'elemeto eutro della moltiplicazioe (uo)

4 Defiizioe: la poteza di u umero è il prodotto del umero per se stesso tate volte quate e idica l'espoete a = a a a a a co N e a R a 1 = a, a 0 = 1 co a 0, 0 0 o ha sigificato 1 a proprietà: il prodotto tra due o più poteze aveti la stessa base è uguale ad ua poteza avete per base la stessa base e per espoete la somma degli espoeti. a a m = a +m 2 a proprietà: il quoziete tra due poteze aveti la stessa base (o ulla) è uguale ad ua poteza avete per base la stessa base e per espoete la differeza degli espoeti. a = a m a am = 1 a

5 3 a proprietà: la poteza di ua poteza è uguale ad ua poteza avete per base la stessa base e per espoete il prodotto degli espoeti. a m =a m 4 a proprietà: il prodotto tra due o più poteze aveti gli stessi espoeti è uguale ad ua poteza avete per base il prodotto delle basi e per espoete lo stesso espoete. a b = a b 5 a proprietà: il quoziete tra due poteze aveti gli stessi espoeti è uguale ad ua poteza avete per base il quoziete delle basi e per espoete lo stesso espoete. a b = a b

6 Per dare ua defiizioe corretta di radicale di u umero, o radice -esima di u umero reale a, dobbiamo distiguere due casi: - Se è dispari: si dice radice -esima di a quel umero b che elevato ad al umero aturale ci restituisce a, ovvero: se è dispari a = b vuol dire trovare u umero b che elevato ad dia a, cioè b = a - Se è pari: si dice radice -esima di a quel umero positivo b che elevato ad ci restituisce a, ovvero: se è pari a = b vuol dire trovare u umero positivo b che elevato ad dia a, cioè b = a tale che a 0 e b 0 Il che vuol dire che metre 4 esiste el campo R e il suo valore è 2, 4 o esiste i R i quato o ci soo umeri reali che elevati al quadrato diao -4. Ifatti 2 2 = 4 e 2 2 = 4. I ogi caso, la radice di ordie pari di u umero è sempre cosiderata positiva per covezioe. I etrambi i casi, a si chiama radicado, si dice idice di radice e è detto simbolo di radice.

7 Può essere utile sapere che i radicali si possoo sempre scrivere come poteze. Ifatti si può scrivere Ma ache a m a = a 1 co N e 0 = a m co, m N e 0 E ioltre a m = 1 a m co, m N e 0 Quidi per i radicali valgoo le stesse proprietà delle poteze.

8 Siao a e b due umeri reali co a 1. Defiiamo log a b u umero reale c, tale che a c = b Quidi, il logaritmo i base a di b è quel umero c tale che, elevado a a c si ottiee b. I altre parole, il logaritmo è l operazioe iversa dell elevameto a poteza. Diamo i omi corretti agli attori pricipali: a è detta base del logaritmo b è detto argometo del logaritmo c è detto valore del logaritmo Ad esempio: log = 7 perché 2 7 = 128 log = 3 perché 5 3 = 125 log = 3 perché 10 3 = 1000 log 10 1 = 0 perché 10 0 = 1 U particolare logaritmo spesso usato è quello i base e (umero di Nepero, vale circa 2,7) e si chiama logaritmo aturale. Questo logaritmo è talmete importate che quado o è scritta la base si itede i base e. log e x = log x

9 Pricipali proprietà dei logaritmi Il logaritmo del prodotto è uguale alla somma dei logaritmi log a b c = log a b + log a c se a, b, c > 0 Il logaritmo del rapporto è uguale alla differeza dei logaritmi Regola dell espoete log a b c = log a b log a c se a, b, c > 0 log a b c = c log a b se a, b > 0 Cambiameto di base Iversioe base-argometo log a b = log c b log c a log a b = 1 log b a se a, b, c > 0 se a, b > 0

10 U equazioe è u uguagliaza tra due espressioi algebriche che possoo essere umeriche o letterali. Almeo u lato dell uguagliaza cotiee ua o più icogite. Lo scopo dell equazioe è dare ua regola che cosete di arrivare a stabilire per quali valori dell icogita l equazioe è soddisfatta. Si dice equazioe di primo grado u uguagliaza i cui compaia u icogita co espoete 1 e o moltiplicata per altre icogite. L espressioe geerica dell equazioe di primo grado è ax + b = 0 Quest equazioe cotiee ua icogita x e due valori a e b che possoo essere ache umeri determiati. La soluzioe, detta ache radice dell equazioe si trova isolado l icogita x: x = b a Questo passaggio è stato possibile grazie alle due segueti proprietà: 1- Aggiugedo o sottraedo uo stesso valore da ambo i membri si ottiee u equazioe equivalete a quella iiziale; 2- moltiplicado o dividedo uo stesso valore da ambo i membri si ottiee u equazioe equivalete a quella iiziale. Esempio: la radice dell equazioe 6x + 3 = 0 è x = 1 2

11 L espressioe geerica dell equazioe di secodo grado è ax 2 + bx + c = 0 Essa ha geeralmete due radici, o soluzioi che si determiao secodo la seguete regola geerale: x 1,2 = b ± b2 4ac 2a La quatità b 2 4ac è ache defiita. Essa, essedo coteuta i ua radice, deve rispettare u campo di esisteza. Le soluzioi x 1 e x 2 esistoo reali e distite solo se > 0. Se ivece = 0 le due soluzioi soo coicideti (o si dice che l equazioe ammette ua soluzioe reale. Ifie, per < 0, o esistoo soluzioi el campo dei umeri reali. Quado o c è il sego di uguale ma compare uo dei segi idicati disuguagliaza, (<,, >, ) si parla di disequazioi. Ache sesse possoo essere di primo o secodo grado (e oltre). Le soluzioi di ua disequazioe possoo essere itervalli reali

12 Dati umeri a 1, a 2,, a, dipedeti da u idice h, possiamo idicare u umero qualuque co a h e possiamo idicare la somma a 1 +a a h co la simbologia che si dice sommatoria degli a h al variare di h tra 1 ed La lettera h si chiama idice di sommazioe e può essere sostituita da ua qualuque altre lettera. Dalle proprietà della somma discedoo le proprietà della sommatoria. Proprietà associativa m m a h a h + a h h=m+1 = a 1 + a a m + a m a = a h

13 Proprietà commutativa a h + b h = a h + b h ifatti a h + b h = a 1 + a a 1 + a + b 1 + b b 1 + b = a 1 + b 1 + a 2 + b a + b Proprietà distributiva E ioltre ca h = c a h c + c + + c c = = c volte

14 Aalogamete per il prodotto di umeri: a 1 x a 2 x x a h che si può scrivere i forma di produttoria E valgoo le proprietà del prodotto m a h a h a h h=m+1 = a h a h b h = a h b h a h c = a h c

15 Ua matrice è u isieme di xk elemeti disposti i righe e k coloe, co e k iteri maggiori di zero. Quado =k la matrice si dice quadrata. Se a ij =a ji, la matrice si dice simmetrica. A A,k a,k a 1,1 a 1,2 a i,1 a i,2 a,1 a,2 a 1,j a 1,k a i,j a i,k a,j a,k Esempio: Vediamo alcui esempi di matrici di dati questa è ua matrice di 4 righe e 2 coloe A 4, questa è ua matrice quadrata e simmetrica di 3 righe e 3 coloe A 3,

16 Il miore di ua matrice si ottiee elimiado u certo umero di righe e di coloe dalla matrice data. Esempio. U miore della matrice A 3,3 è la matrice A 2,2, che si ottiee elimiado dalla matrice A 3,3 la secoda riga e la secoda coloa: A 3, A 2, Data ua matrice A,k di ordie (,k) si chiama matrice trasposta di A,k la matrice che si ottiee scambiado le righe e le coloe di A,k. Di solito si idica co u apice T a siistra o a destra di A. La matrice trasposta di ua matrice A,k avrà k righe e coloe A,k t A,k A,k t

17 Esempio. La matrice trasposta della matrice A 4,2 MATRICI PARTICOLARI: a) Matrice idetità I è B 2, b) Matrice uità U c) Matrice ulla

18 Se la matrice è formata da ua sola riga, si chiama vettore riga, se è formata da ua sola coloa, si dice vettore coloa. Perciò ua matrice di righe e di k coloe può ache dirsi formata da vettori riga di k elemeti oppure da k vettori coloa di elemeti. I vettori riga e coloa vegoo spesso idicati co la lettera miuscola. Ad esempio b k per i vettori riga e t b k per quelli coloa. Comiciamo a vedere le operazioi algebriche sulle matrici. Due matrici co lo stesso umero di righe e di coloe si dicoo uguali se gli elemeti corrispodeti soo uguali. Cioè se a i,j =b i,j

19 La somma di due matrici della stessa dimesioe è la matrice C,k avete per elemeti c i,j =a i,j +b i,j Per la somma di due matrici vale la proprietà commutativa: A,k +B,k =B,k +A,k Il prodotto di due matrici A,k e B k, è defiito quado il umero di coloe di A è uguale al umero di righe di B. Ossia, l elemeto della matrice prodotto che occupa la posizioe (i,j) è uguale alla somma dei prodotti degli elemeti della riga i della matrice A per i corrispodeti elemeti della coloa j di B c i,j = k a i,j b j,k i=1 Duque per le matrici o vale la proprietà commutativa del prodotto i quato AxB BxA

20 Esempio. Proviamo a fare il prodotto e la somma di alcue matrici Somma: A 4,2 3 4 B 5 6 4,2 4 1 C 5 9 4,2 A 4,2 + B 4, Prodotto: A 4, B 2, C 4,4 A 4,2 B 2, i quato 5 = = = = = = = = = = = = = = = =

21 Il prodotto di ua matrice A per u umero reale λ è defiito dalla relazioe b i,j = λ a i,j Esempio: 7 A 3, Il prodotto di ua matrice e di u vettore coloa, diveta u sistema lieare di equazioi i icogite. Pertato tale sistema si può scrivere ache co otazioe matriciale: A, t x b a 11 x 1 + a 12 x a 1 x = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2 x = b 2 a 1 x 1 + a 2 x a x = b dove A, è ua matrice quadrata di elemeti a ij e t x è u il vettore trasposto del vettore riga [x 1, x 2,, x ] e b è il vettore coloa di elemeti b i E possibile ache pesare al prodotto di più matrici. Il risultato è ua matrice co il umero di righe della prima e il umero di coloe dell ultima A m, B,p C p,q = D m,q

22 Valgoo le segueti proprietà: A0=0A e AI=IA ABC=(AB)C=A(BC) (A+B)C=AC+BC (AB) =B A (matrici trasposte) Esempio. verifichiamo l ultima proprietà Date le matrici A = 2 3 e B = 1 si ha AB 2 3 = = 8 14 = = B A

23 La traccia di ua matrice quadrata di ordie è uguale alla somma degli elemeti sulla diagoale pricipale. tra, = La traccia di ua matrice ha le segueti proprietà tr(aa+bb)=atra+btrb dove a e b soo due costati e A e B soo due matrici Quadrate di ordie. Quado a=b=1 questa proprietà dice che la traccia della somma di due matrici è uguale alla somma delle tracce delle due matrici tr(ab)=tr(ba) proprietà commutativa dove A,k e B k, la traccia di ua matrice è uguale alla traccia della sua trasposta tra=tra T i=1 a i,i

24 DETERMINANTE DI UNA MATRICE Il determiate di ua matrice quadrata di 2 righe e 2 coloe è il prodotto degli elemeti della diagoale pricipale meo quello degli elemeti della diagoale secodaria: det(a 2,2 )= A 2,2 =a 11 a 22 -a 21 a 12 a 11 a 12 a 13 Per ua matrice di quadrata di ordie 3 A 3,3 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 il determiate è A 3,3 =a 11 a 22 a 33 +a 12 a 23 a 31 +a 13 a 21 a 32 -a 21 a 12 a 31 -a 12 a 21 a 33 -a 11 a 23 a 32 Geeralizzado ad ua matrice di ordie il determiate può scriversi come: A, 1 r a 1,r1 a 2,r2 a,r dove i valori ri rappresetao ua permutazioe degli idici e la somma è estesa alle! permutazioi possibili

25 DETERMINANTE DI UNA MATRICE: secodo teorema di Laplace I termii pratici, per calcolare il determiate di ua matrice quadrata si sommao i prodotti di ua riga o di ua coloa per i rispettivi cofattori o complemeti algebrici che si ottegoo elimiado dalla matrice la riga e la coloa a cui quell elemeto appartiee, co il sego + o - a secoda che la somma degli idici sia pari o dispari: A, = a ir A ir r=1 a 11 a 12 a 13 a a 21 a 22 a 22 a 23 a 21 a 23 a 21 a = a 11 a 31 a a 32 a 32 a a a 31 a a a 31 a Questo teorema cosete di ridurre il calcolo del determiate di ua matrice alla somma di determiati più semplici

26 DETERMINANTE DI UNA MATRICE: Proprietà il determiate di ua matrice quadrata è uguale a quello della sua trasposta A = A se ua matrice ha ua riga o ua coloa di elemeti ulli tutto il determiate è ullo se si scambiao due righe o due coloe di ua matrice il determiate cambia di sego se si moltiplicao o si dividoo per u umero k 0 tutti gli elemeti di ua riga o di ua coloa di ua matrice quadrata, ache il determiate sarà moltiplicato per k = = 28

27 DETERMINANTE DI UNA MATRICE: Proprietà se ua matrice ha due righe o due coloe uguali il determiate è ullo =0 Questa proprietà è molto importate ell aalisi multidimesioale dei dati quado bisoga selezioare ua matrice dei dati i cui o ci soo coloe duplicate (variabili uguali) o ua proporzioale all altra. I questo caso ifatti, la matrice è ridodate o c è multicolliearità, cioè due variabili dipedoo ua dall altra e o aggiugoo iformazioe. il determiate del prodotto è uguale al prodotto dei determiati, ma ciò o vale per la somma A B = A B A + B A + B

28 MATRICE INVERSA Se A è ua matrice o sigolare, cioè tale che il suo determiate o è ullo, allora esiste u uica matrice A -1, chiamata iversa per la quale vale la relazioe: AA -1 =I Esempio. L iversa di A è A -1 i quato AA -1 =I A 2,2 = 1 2 A ,2 = AA 1 = = Per la matrice iversa valgoo le proprietà (AB) -1 =A -1 B -1 =I (ABC) -1 =C -1 A -1 B-1=I I -1 =I

29 0 RANGO DI UNA MATRICE Il rago di ua matrice è il umero massimo di righe liearmete idipedeti. a 11 a 12 a 13 Ad esempio questa matrice 2a 11 2a 12 2a 13 a 31 a 32 a 33 o può avere rago 3 perché la riga 1 e la riga 2 soo liearmete dipedeti. Si può ache dire che il rago o caratteristica di ua matrice è l ordie massimo di sottomatrici di essa co determiate diverso da zero. a 11 a 12 a 13 Ache questa matrice o può avere rago a 31 a 32 a 33 Perché almeo u determiate di ua sottomatrice è ullo Il rago di ua matrice A,k o può superare il miimo tra e k. E il rago di ua matrice ulla è 0.

30 AUTOVALORI E AUTOVETTORI Data la matrice quadrata A di ordie il prodotto Ax= λ idividua u umero detto autovalore e u vettore x, detto autovettore. La relazioe precedete si può scrivere ache come (A-λ I)x=0 che è verificata se e solo se il determiate della matrice del sistema è ullo e cioè se e solo se (A-λI)=0 che è detta equazioe caratteristica. Essa è u equazioe di grado ell icogita λ e gli autovalori soo le soluzioi di questa equazioe. Proprietà: la somma degli autovalori è uguale alla traccia della matrice il prodotto degli autovalori è uguale al determiate della matrice. Pertato basta che u autovalore sia ullo perché il determiate sia ullo. Ad ogi autovalore corrispodoo ifiiti autovettori U autovettore si dice ormalizzato se la somma dei quadrati delle sue compoeti è uguale a 1.

31 Per idicare che ua variabile y è fuzioe di u'altra variabile x si usa il simbolo y = f(x) che sta ad idicare che c è ua corrispodeza precisa tra i valori assuti da x e quelli assuti da y. Per questa ragioe si dice che: y è ua fuzioe di x e che x è la variabile idipedete. Ifatti, al variare di x varia il valore di y : quidi x è la variabile idipedete ed y la variabile dipedete (dato che il suo valore dipede dal valore della x). Le coppie di valori che soddisfao questa uguagliaza, rappresetao l isieme dei puti che si possoo disegare su u piao cartesiao, cioè u piao idividuato da due rette ortogoali, dette assi cartesiai. Ad esempio, la retta del piao può essere scritta fuzioe di primo grado di x: y = ax + b I questo caso a determia l icliazioe della retta (crescete per a > 0 e decrescete per a < 0) e b rappreseta l itercetta, cioè la distaza tra l origie degli assi e il puto i cui la retta iterseca l asse delle ordiate.