Equazioni di primo grado ad un incognita

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1 Equazioni di primo grado ad un incognita Identità Si dice IDENTITÀ un uguaglianza fra due espressioni letterali che è verificata per ogni valore attribuito alle lettere. 2 = 2 è un identità =3 2 3=2 3 6=6 = 5 10 = =15 6 è un identità = = = = = = 3 è un identità? Verificare un identità significa: 1. eseguire tutte le operazioni del primo e del secondo membro dell uguaglianza; +2 5 = 3 2. eseguire tutte le possibili semplificazioni; 3 = 3 3. confrontare le due espressioni letterali ottenute e verificare che siano uguali. È un identità! 1

2 Equazioni Si dice EQUAZIONE un uguaglianza fra due espressioni che si può verificare solo per particolari valori attribuiti alle lettere, che si dicono INCOGNITE. 5 3=12 Questa uguaglianza è verificata solo se =3, infatti: 5 3 3= =12 12=12 Quindi =3 è l unica soluzione dell equazione Se nell equazione vi è una sola incognita con esponente 1, si dice che l equazione è di primo grado ad un incognita. NOTA BENE: Esistono equazioni intere, nelle quali l incognita non figura al denominatore, ed equazioni fratte, in cui compare l incognita a denominatore. Due equazioni si dicono EQUIVALENTI se hanno la stessa soluzione. L equazione: 2 4=3 +5 ha per soluzione = 9, infatti: 2 9 4= = = 22 Anche l equazione 6 12=9 +15 ha per soluzione = 9, infatti: = = = 66 Quindi le due equazioni sono EQUIVALENTI. Osservazione: Il concetto di equazioni equivalenti viene applicato nella risoluzione delle equazioni, trasformando un equazione in un altra più semplice, ad essa equivalente. 2

3 La trasformazione avviene applicando due PRINCIPI DI EQUIVALENZA: PRIMO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA ADDIZIONANDO O SOTTRAENDO DAI DUE MEMBRI DI UN EQUAZIONE UNO STESSO NUMERO O UNA STESSA ESPRESSIONE ALGEBRICA CONTENENTE L INCOGNITA, OTTENIAMO UN EQUAZIONE EQUIVALENTE A QUELLA DATA. Consideriamo l equazione x +1= 4 e ad entrambi i membri sottraiamo 1: x + 1 1= 4 1, eseguiamo i calcoli e otteniamo: x=3 soluzione dell equazione data. Consideriamo l equazione x 3= 5 e ad entrambi i membri aggiungiamo 3: x 3 + 3= 5+ 3, eseguiamo i calcoli e otteniamo: x=8 soluzione dell equazione data. REGOLA: In ogni equazione un termine può essere trasportato da una parte all altra dell uguale, cambiando il suo segno. Se nei due membri di un equazione compaiono due termini uguali, essi possono essere semplificati. 5=3 =5+3= = = +2 2 =+2 =2 SECONDO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA Moltiplicando o dividendo i due membri di un equazione per uno stesso numero (diverso da zero), otteniamo un equazione equivalente a quella data. Consideriamo l equazione +1=4 e moltiplichiamo entrambi i membri per =+4 1 3

4 + 1= 4 = 4+1 = 3 Consideriamo l equazione =1 6 per risolverla conviene eliminare i denominatori facendo il m.c.m.:... 2,3,6 =6 Moltiplichiamo TUTTI I TERMINI del primo e del secondo membro per il : =1 6 6 Semplifichiamo = =1 9 =1 2 9 = = 1 9 = 1 9 un equazione si dice RIDOTTA A FORMA NORMALE se al primo membro c è un solo termine in x e al secondo membroun solo termine noto: = è il coefficiente dell equazione e è il termine noto. Nota bene: seun equazione non è ridotta in forma normale, si devono utilizzare i principi di equivalenza per trasformarla in un equazione ridotta in forma normale. DISCUSSIONE EQUAZIONE DI PRIMO GRADO Dopo aver trasformato un equazione di I grado in FORMA NORMALE, per trovare la sua soluzione si eseguono i seguenti passaggi: = = I CASO: EQUAZIONE DETERMINATA: 0 = 4

5 La soluzione è = In particolare, se =0 la soluzione sarà = =0, cioè la soluzione è nulla. In questo caso l equazione è determinata e ha una sola soluzione. 3 =5 = =0 = 0 3 =0 II CASO: EQUAZIONE IMPOSSIBILE: =0 0. L equazione non ha soluzioni perché l uguaglianza 0 = non è possibile, non esiste un numero che moltiplicato per 0 dia come risultato un numero diverso da 0. L equazione si dice impossibile, non ha soluzioni. 0 =5impossibile: R (non esistono appartenenti all insieme dei numeri reali che sono soluzioni dell equazione data) III CASO: EQUAZIONE INDETERMINATA: =0 =0 L equazione ha infinite soluzioni perché l uguaglianza 0 =0 è verificata per qualsiasi valore attribuito alla poiché qualsiasi numero moltiplicato per 0 da come risultato 0. L equazione si dice indeterminata, ha infinite soluzioni. Ogni equazione indeterminata è un identità. 0 =0 : R (l equazione è verificata per ogni x appartenente all insieme dei numeri reali) Riassumendo: Equazione in forma normale = Equazione determinata = = e Equazione impossibile Nessuna soluzione = e = Equazione indeterminata Infinite soluzioni 5