Lezione 8. Campo e potenziale elettrici

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1 Lezione 8. Campo e potenziale elettrici Legge di Coulomb: Unitá di misura: F = 1 q 1 q 2 4πɛ 0 r 2 1 4πɛ 0 = Nm 2 /C 2 Campi elettrici E = F/q 1 F = qe Unitá di misura del campo elettrico: [E] = N/C = V/m Principio di sovrapposizione lineare: F Tot = i F i E Tot = i E i Legge di Coulomb (19.1) Due sferette conduttrici identiche sono poste in modo che i loro centri distino 0.3 m. Una possiede una carica di 12. nc e l altra di -18 nc; (a) trovare 1

2 la forza elettrostatica esercitata da una sfera sull altra. (b) le sfere sono collegate con un filo conduttore. Dopo che si sono stabilite le consizioni di equilibrio, trovare le forze su di esse. Soluzione Trascuriamo l estensione delle sfere e consideriamole come punti materiali con raggio nullo. La forza con cui le due sferette si attraggono (le cariche sono di segno opposto) ha modulo dato dalla legge di Coulomb: numericamente: q 1 = 12.0nC = C q 2 = 18.0nC = C e dunque: F = 1 q 1 q 2 4πɛ 0 r 2 F = ( 12 18) = N Quando le sfere vengono collegate, le cariche si equilibriano (le sfere sono identiche!) e si ha: q 1 = q 2 = q in modo che la carica totale si conservi q 1 + q 2 = q 1 + q 2, ossia: 2q = = 6nC da cui F = 1 (q ) 2 4πɛ 0 r 2 = N Legge di Coulomb (19.4) Nella teoria di Bohr dell atomo di idrogeno, un elettrone si muove attorno ad un protone su un orbita circolare di raggio m; a) trovare la forza elettro statica tra le due cariche. se questa forza serve come forza centripeta sull elettrone, qual é la velocitá dell elettrone? Soluzione Ricordiamo che le cariche dell elettrone e del protone sono e = q e = C q p = e = C Come per l esercizio precedente é facile scrivere: F = 1 q 1 q 2 4πɛ 0 r 2 2

3 la forza é attrattiva (le cariche sono di segno opposto) e il suo modulo vale: ossia: F = Nm 2 /C N = N la forza centripeta necessaria a mantenere un corpo di massa m su una circonferenza di raggio R a velocitá v é data da: F c = mv2 R = ma c Affinché la forza elettrostatica di N bilanci la forza centrifuga deve allora essere: N = mv2 R ricordando che la massa dell elettrone é m e = Kg si ha: v 2 = R N m = mn Kg = m/s 2 ossia: v = m/s c 100 Moto di una particella carica in un campo I () In un fascio di elettroni ciascuno di essi ha eneria cinetica J. qual é il modulo e la direzione del campo elettrico che li fermerá in 10 cm? Soluzione baionetta in canna: La velocitá iniziale si calcola facilmente; l accellerazione necessaria per ridurre tale velociá nello spazio s é data risolvendo: 0 = v f = v i + at ossia risolvendo: s = v i t + 1/2at 2 s = v2 i a + v2 i 2a = v2 i 2a a = v2 i 2s 3

4 ossia ma Soluzione alternativa: con il teorema dell energia cinetica: numericamente: E = K = K f K i = K i = F s F = K i s E = F/q = K i qs J Cm = = 10 3 N/C = 10 3 V/m Moto di una particella carica in un campo I (19.10) Una perlina carica positivamente di massa 1.0 g cade da ferma, nel vuoto, da una altezza di 5 m, un un campo elettrico uniforme, verticale di intensitá 10 4 N/C. la pallina colpisce il suolo con una velocitá di 21.0 m/s. determinare il verso del campo e la carica della pallina. Soluzione baionetta in canna: Il campo gravitazionale dá una accellerazione diretta verso il basso di g; il campo elettrico dá una accellerazione a = F m = qe m l accelerazione totale (e uniforme) deve portare ad una velocitá finale di 21.0 m/s, nello spazio percorso di 5 m, quindi: da cui: e infine: v2 2s = a = g + qe m g v2 2s = qe m q = mg E mv2 2sE 4

5 Differenza di potenziale: V = U q 0 U essendo la variazione di energia potenziale: U = F ds per un capo elettrico uniforme: U = Eq 0 d V = Ed Unitá di misura: [ V ] = N/Cm = J/C V(olt) Moto di particelle cariche II (19.10) Una perlina carica positivamente di massa 1.0 g cade da ferma, nel vuoto, da un a altezza di 5 m, un un campo elettrico uniforme, verticale di intensitá 10 4 N/C. la pallina colpisce il suolo con una velocitá di 21.0 m/s. determinare il verso del campo e la carica della pallina. Soluzione alternativa: Scelto il livello di terra come zero del potenziale elettrico l energia potenziale elettrostatica all altezza h é qeh L energia totale si conserva. L energia all inizio e l energia alla fine é: cosicché: da cui possiamo trovare q: U G + U E + K i = mgh + qeh U G + U E + K f = mv2 2 (mg + qe)h = mv2 2 q = mv2 2hE mg E 5

6 Batteria (20.2) quanto lavoro viene svolto (da una batteria, un generatore o qualche altra sorgente di energia elettrica) per movere un numero di Avogadro di elettroni da un punto in cui il potenziale é 9.0 V ad un altro dove il potenziale é -5.0 V? Soluzione: Per definizione: q 0 V = U essendo U la differenza di energia potenziale e dunque il lavoro che bisogna compiere. si ha: q 0 = N 0 e = C = C ed essendo la differenza di potenziale V = 5.0V 9.0V = 14.0V si ha, ricordando che V=J/C: U = J Campo elettrico uniforme, condensatore piano (20.6) La differenza di potenziale tra le due placche di un condensatore é V; se le placche distano 1.5 cm, trovare il campo elettrico uniforme tra la due placche. Soluzione: essendo il campo uniforme, V = E.d ne segue subito che E = d 1 V si ha subito: E = 25/ V/m = 16.6kV/m Particelle cariche in un campo II () un elettrone che si muove parallelamente all asse x con velocitá iniziale di m/s ha velocitá m/s quando raggiunge x = 2.0 cm. Calcolare la differenza di potenziale tra l origine e il punto a x = 2.0 cm; quale punto ha il potenziale maggiore? Soluzione: La variazione di energia cinetica dell elettrone dá il lavoro compiuto su di esso: K = m(v2 f v 2 i ) 2 = J 6

7 essendo la massa m e = Kg. poiché la particella rallenta la differenza di energia cinetica é negativa. l energia totale si conserva, dunque: K i + U i = K f + U f K = K f K i = U i U f = DeltaU = q 0 V dalla definizione di potenziale. si ha quindi: m(v 2 f v 2 i ) 2 = q 0 V e dunque V = K q = = J (La variazione di eneregia cinetica e la carica sono negative) La variazione di potenziale é negativa, quindi il punto V f V i < 0 V f < V i poiché la carica é negativa, aumenta l energia potenziale (e quindi diminuisce energia cinetica) nel verso del campo; poichè quindi il potenziale decresce nel verso del campo il potenziale finale é minore. Campo di tre cariche puntiformi (20.12) Siano date tre cariche disposte come in figura P (due cariche di 2.0 µc a x = ±0.8m e una carica q nell origine) a) quale é la forza risultante su q esercitata dalle due cariche. b) quale é il campo generato due cariche? c) qual é il potenziale geenrato dalle due cariche nel punto dove é posta la carica q? Soluzione: a) La forza é additiva. La forza che la carica destra esercita sul punto d origine é uguale e contraria a quella generata dalla carica sinistra. quindi F T = 0 Piú dettagliatamente, per la carica destra, F 1 = 1 qq 4πɛ 0 d 2 7

8 la direzione é repulsiva (cioé verso sinistra) se q > 0 e attrattiva viceversa. La forza dovuta alla carica sinistra é, come detto uguale e contraria. b) Il campo elettrico totale, per lo stesso motivo, é nullo; quello generato dala carica destra é E 1 = 1 Q 4πɛ 0 d 2 con lo stesso verso del campo E 1. c) Il potenziale é definito solo a meno di una costante additiva. Segliamo sempre (a meno che non sia specificato) V = 0 a x =. Si osservi che il fatto che il campo é nullo non implica che il potenziale lo sia. implica solo che la sua derivata sia nulla. il potenziale dovuto alla carica destra é: quello dovuto alla carica sinistra, V 1 = 1 Q 4πɛ 0 d V 2 = 1 Q 4πɛ 0 d in totale: V 1 + V 2 = 1 2Q 4πɛ 0 d Poiché Q = 2µC e d = 0.8m si ha: V = J/C Campo di due cariche puntiformi () Una carica +q é posta nell origine, mentre una carica 2q é posta nel punto x = 2.0m. a) per quali valori finiti di x il campo elettrico é nullo? b) per quali valori il potenziale elettrico é nullo? Soluzione: in un punto x generico, la distanza dall origine é proprio x, mentre la distanza dal punto x = 2 é 2 x Il campo elettrico é dato da: per x < 0 il campo dovuto alla carica positiva nell origine é rivolto verso la direzione negativa delle x. viceversa, il campo dovuto alla carica negativa é qui rivolto verso le x positive. il campo é nullo se: k e q/x 2 = k e 2q/(2 x) 2 8

9 ossia se: che ha soluzione 2x 2 = 4 4x + x 2 x = 2 ± 2 2 ossia x =.8 o x = 4.8, di cui solo la seconda é accettabile. per 0 < x < 2 si ha che entrambi i campi sono rivolti verso le x positive, e non si annullano a vicenda. per x > 2 il campo docuto alla carica positiva é verso le x positive, l altro verso le x negative, quindi l equazione da risolvere è ancora quella data sopra, che non ha soluzioni in questo intervallo. il potenziale dovuto alla carica positiva é sempre positivo, l altro sempre negativo, il potenziale totale é: il potenziale é nullo se: ossia se: x = 1 x/2 ossia in Energia potenziale (20.16) V = k e (q/ x 2q/ 2 x ) k e q/ x = k e 2q/ 2 x x = 2/3.666 Due cariche Q 1 = 5nC e Q 2 = 3nC distano 35. cm. qual l energia potenziale della coppia? qual é il significato algebrico del segno della risposta? qual é ilpotenziale nel punto medio tra le due cariche? Condensatori piani (tema d esame) Una particella ha massa m = 1 mg e carica q = 10 9 C. Essa è inserita in un condensatore piano le cui piastre, disposte orizzontalmente, distano d = 1 cm e subisce l effetto della gravità terrestre. Si determini la differenza di potenziale da applicare ai capi del condensatore affinché la particella rimanga sospesa in equilibrio. Soluzione: m = 10 6 kg Q = 10 9 C 9

10 d = 10 2 m mg = qe E = V d V = mgd = 98 V q Condensatori piani (tema d esame) Un condensatore piano ha facce di area A = 1 dm 2 che sono separate da d = 0.1 mm di vuoto. Tale condensatore è collegato ad una batteria che gli applica una differenza di potenziale V = 10 V. Quanta carica è immagazzinata sulle facce del condensatore? (Ricorda che la costante dielettrica del vuoto è: ɛ 0 = C 2 /(Nm 2 )) soluzione: Il condensatore piano ha capacità (attenti alle equivalenze!): la carica è quindi: C = ɛ 0 A d = = C 2 /(Nm 2 ) 10 2 m m = = C 2 /(Nm) = F Q = CV = F 10 V = C Condensatori piani (tema d esame) Una particella di massa m=10 g e carica q=+1 mc è posta tra due piastre orizzontali e piane di un condensatore ed è soggetta alla gravità terrestre. Le piastre distano tra loro d=1 cm. Calcolare la differenza di potenziale V che bisogna applicare al condensatore affiché la particella rimanga sospesa in equilibrio, specificando quale delle due piastre ha potenziale maggiore. soluzione: La particella rimane in equilibrio quando il suo peso mg è uguale alla forza qe esercitata dal campo elettrico E = V/d. Quindi mg = q V d da cui si ottiene, sostituendo i valori numerici, V = 0.98 V 10

11 Essendo la carica positiva in equilibrio, deve essere respinta dalla piastra inferiore, che quindi sarà anch essa positiva e dunque ad un potenziale maggiore (di una quantità 0.98 V ) rispetto alla piastra superiore. Energia immagazzinata da un condensatore Un condensatore ha capacitá C = 0.3µF e sopporta tensioni di 10V ; Sapendo che la massa di tale condensatore é 10 g, si calcoli a che altezza si puó sollevarlo nel campo gravitazionale terrestre, utilizzando l energia che puó immagazzinare. soluzione: E C = = J quindi: E g = h h = = = 0.15mm 11

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