Lezione 18. Orbite e cicli di una permutazione.

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1 Lezoe 8 Peequst: Lezo 4, 7. Obte e ccl d ua pemutazoe. I questa lezoe toducamo, pe u'abtaa pemutazoe, la cosddetta decomposzoe ccl dsgut, che e vela la stuttua, agevolado la detemazoe del suo peodo e della sua classe d patà. Sa u teo postvo. Defzoe 8. S dce cclo (o pemutazoe cclca) og S pe cu esstoo u teo a,..., a,..., a due a due dstt tal che postvo l e l ) ( a ) = a2, ( a2) = a3,..., ( al ) = al, ( al ) = a ; ) ( k) = k pe og k {,..., } \{ a,..., al }. Il umeo l s dce lughezza d. Ua pemutazoe cclca d lughezza l s dce ache u l- cclo. Nota Pe l cclo della Defzoe 8. esste, olte alla otazoe matcale, la scttua cclca ( a, a,..., ). 2 a l Esempo 8.2 (a) Il solo cclo d lughezza è la pemutazoe detca. Ifatt, base alla Defzoe 8., pe og a {,2,..., }, la pemutazoe = ( a ) è tale che ( a ) = a (codzoe )) e, pe og k,...,, k a, ( k) k = (codzoe )). Qud lasca fsso og elemeto, e duque = d. (b) La pemutazoe α S dell'eseczo 4.8 è l 2-cclo (, 2). (c) I 3, (d) I 4, S 2 3 = ( ) 2 3,2,3. S = ( ) 3 4 2,3,2,4. Ossevazoe 8.3 La scttua cclca d u l cclo o è uca. Se l >, l cclo della pecedete Nota ammette esattamete l scttue cclche dstte, otteute tamte otazo successve degl dc veso ssta: ( a, a,..., a, a, a ), ( a, a,... a, a, a ), ( a, a,... a, a, a ),..., ( a, a, a,..., a, a ). 2 l 2 l l 2 3 l l 3 4 l 2 l 2 l 2 l I patcolae, la pemutazoe dell'esempo 8.2 (d) ammette le seguet 4 scttue cclche:

2 (,3, 2,4), (3,2,4,), (2, 4,,3), (4,,3,2). Poposzoe 8.4 ( l -ccl S ) Sa l u teo maggoe d e o maggoe d. I S v soo esattamete ccl d lughezza l.! l ( l)! Dmostazoe: Il pù geeale cclo d lughezza l S è = ( a,..., al ). L'seme { a,..., a } {,...,! l } può essee scelto esattamete = mod dstt. D'alta pate, l ( l)! l! gl elemet a,..., a l possoo essee dspost esattamete l! mod dstt. Petato esstoo! esattamete! = l sequeze l ( l)! a,..., a l umeo delle scttue cclche d lughezza l. I base all'ossevazoe 8.3, queste appesetao, pese a l a l, lo stesso l - cclo. Esempo 8.5 I S 4 v soo - u solo cclo d lughezza ; 4! - 2 (4 2)! = 6 ccl d lughezza 2; 4! - 3 (4 3)! = 8 ccl d lughezza 3; 4! - 4 (4 4)! = 6 ccl d lughezza 4. d l elemet scelt {,..., }. Questo è qud l Qud le pemutazo cclche d S 4 soo complessvamete = 2. Eseczo 8.6* Tovae tutt 3-ccl d S 5. Ossevazoe 8.7 Poché l guppo S 4 ha ode 4! = 24, dall'esempo 8.5 segue che o tutte le pemutazo d S 4 soo cclche. Pecsamete, e esstoo 3 o cclche. S tatta delle seguet: = (,2)(3, 4) = (,3)(2,4) = (,4)(2,3) Ogua d esse è podotto d due 2-ccl. Cò è dovuto ad ua mpotate popetà geeale, che c appestamo a dmostae.

3 Fssamo ua pemutazoe S. Cosdeamo, sull'seme X =,...,, la elazoe baa così defta: pe og a, b X poamo a b se esste u teo tale che ( a) = b. Poposzoe 8.8 La elazoe è ua elazoe d equvaleza. Dmostazoe: Pe og a X, 0 ( a) = d( a) = a, qud a a. Cò pova la popetà flessva. Sao a, b X tal che a b. Alloa esste u teo tale che ( a) = b. Ma alloa = ( ) ( ) = ( ), qud b a. a b b Cò pova la popetà smmetca. j Sao a, b, c X tal che a b e b c. Alloa esstoo te, j tal che ( a) = b, ( b) = c. j j j Segue che c = ( ( a)) = ( a) = + ( a), qud a c. Cò pova la popetà tastva. Defzoe 8.9 Pe og a X, la classe d equvaleza d a spetto alla elazoe s dce obta d a sotto l'azoe d. La s deota co Ω ( a). Gl sem Ω ( a), al vaae d a X, s dcoo le obte d. S ha Ω a = { a Z } ( ) ( ). Poposzoe 8.0 Sa a X. Alloa esste u teo postvo l tale che 0 l Ω ( a) = ( a), ( a),..., ( a), ove gl elemet elecat soo a due a due dstt. Dmostazoe: Essedo Ω ( a) X, l'seme Ω ( a) è fto. Qud esstoo, j Z, > j, tal j j+ j che ( a) = ( a). Petato ( a) = ( ( a)) = a. Poché j > 0, l'seme { Z, > 0 ( a) = a} è o vuoto, e qud, pe l'assoma d buo odameto, possede u mmo l. Sa Z. Sao q, l quozete ed l esto della dvsoe d pe l. Alloa l poché ( a) = a. l ( ) lq+ ( a) = ( a) = ( a) = ( a), Sccome 0, q l cò pova che { 0 l Ω a a a a } ( ) ( ), ( ),..., ( ). L'alta clusoe è ovva. Cò pova l'uguaglaza voluta. La dmostazoe della secoda pate dell'eucato è lascata pe eseczo. Nota Il umeo l della Poposzoe 8.0 è la cadaltà dell'seme Ω ( a). Pe questo lo s dce lughezza dell'obta Ω ( a). 0 Defzoe 8. La pemutazoe cclca ( ( a), ( a),..., l ( a)) s dce cclo assocato all'obta d a sotto l'azoe d. Al vaae d a X, ccl assocat alle obte d a sotto l'azoe d s dcoo ccl d.

4 Ossevazoe 8.2 (a) Il cclo assocato ad og obta d lughezza (obta baale) è la pemutazoe detca. 0 l (b) Sa ( ( a), ( a),..., l = ( a)) l cclo assocato a Ω ( a). Alloa = ( a, ( a),..., ( a)) e, patcolae, ( a) = ( a). Iolte, Ω ( a) = Ω ( a). Eseczo 8.3 Detemae le obte ed ccl della pemutazoe = Svolgmeto: Le obte d soo Ω () =, 4,2, 3, 7 = Ω (4) = Ω (2) = Ω (3) = Ω (7), Ω (2) = 2,5 = Ω (5), Ω (6) = 6,9,8 = Ω (6) = Ω (9) = Ω (8), Ω (0) = 0, Ω () =. Qud ccl d soo: (, 4,2,3,7), (2,5), (6,9,8), (0), (). I ccl (0) e () cocdoo co la pemutazoe detca. Il osto possmo obettvo è stable l modo cu ua pemutazoe può essee costuta a pate da suo ccl. Defzoe 8.4 S dce suppoto d ua pemutazoe l'seme degl elemet che essa o lasca fss. Esempo 8.5 (a) La pemutazoe detca è l'uca pemutazoe avete suppoto vuoto. (b) Se l è u teo maggoe d, l suppoto del cclo ( a, a2,..., a l ) è { a, a2,..., a l }, che è ache la sua uca obta o baale. (c) Pù geeale, l suppoto d ua pemutazoe è l'uoe delle sue obte o baal. Defzoe 8.6 Due pemutazo d dsgut. S s dcoo dsgute se loo suppot soo sem Ossevazoe 8.7 I ccl assocat ad ua pemutazoe soo a due a due dsgut. Ifatt loo suppot o vuot soo le obte della pemutazoe, che, quato class d equvaleza, soo sem a due a due dsgut. Lemma 8.8 Il podotto ta pemutazo dsgute è commutatvo.

5 Dmostazoe: Sao, 2 S pemutazo dsgute. Sa a X. Alloa a o appatee al suppoto d oppue o appatee al suppoto d. 2 Possamo suppoe, seza ledee la geealtà, che valga l secodo caso. Alloa a vee lascato fsso da 2, qud 2( a) = ( a). Se ( a) = a alloa 2( a) = ( a) = a = 2( a). Altmet l'obta Ω ( a) o è baale, ed è qud coteuta el suppoto d. Poché ( a) ( a), Ω segue che ( a) appatee al suppoto d. Ma alloa ( a) o appatee al suppoto d, qud vee lascato fsso da. 2 2 Petato 2 ( a) = ( a). Abbamo così povato che, ache questo caso, ( a) = ( a). State l'abtaetà d a, segue che = Poposzoe 8.9 (Decomposzoe ccl dsgut) Og pemutazoe è uguale al podotto de suo ccl. Dmostazoe: Sa S, e sao,..., suo ccl dves dalla pemutazoe detca. Sao Ω,..., Ω le cospodet obte, tutte o baal. I base all'ossevazoe 8.7, queste soo a due a due dsgute. Sa a X. Alloa, se a vee lascato fsso da, o appatee al suo suppoto, e qud o appatee ad alcua delle obte Ω,...,, Ω che soo suppot de ccl,..., (v. Esempo 8.5 (b)). Petato a vee lascato fsso da cascuo de ccl,...,. Segue che ( a) = a = ( a). Suppoamo alloa che a o vega lascato fsso da. I tal caso a appatee ad ua delle obte Ω,...,. Ω Suppoamo, seza ledee la geealtà, che appatega all'obta Ω, assocata al cclo. Alloa, base all'ossevazoe 8.2 (b), Ω = Ω ( a) e, qud, ( a) = ( a). Iolte quest'ultmo elemeto, che appatee a Ω = Ω ( a), o appatee a essua delle obte Ω,..., Ω, ossa o appatee a suppot d,...,, e qud vee lascato fsso da tutt ccl,...,. Petato vee lascato fsso ache dal podotto. Segue che ( a) = ( ) ( a) = ( a) = ( a). Abbamo così povato che, pe og a X, ( a) = ( a), ossa che =. Ossevazoe 8.20 Alla luce del Lemma 8.8, ella scttua = è dffeete l'ode de fatto a secodo membo. Nota Og appesetazoe d ua pemutazoe come podotto de suo ccl s dce decomposzoe ccl dsgut. I essa possoo essee, dffeetemete, clus oppue omess ccl d lughezza, che cocdoo co la pemutazoe detca. Defzoe 8.2 Sao,..., ccl della pemutazoe S, v compes tutt quell d lughezza. Sa, pe og =,...,, l la lughezza d. Possamo suppoe che ccl sao stat odat modo che l l 2 l. Alloa ( l, l ) s dce la stuttua cclca d. Chaamete s avà l + l l =, poché l, l soo le lughezze delle obte d, che fomao ua patzoe dell'seme X. Esempo 8.22 (a) I base all'eseczo 8.3,

6 = = (, 4,2,3, 7)(2, 5)(6,9,8) (0) (). Questa è ua decomposzoe d ccl dsgut. Petato la stuttua cclca d è (5,3,2,,). (b) Le decomposzo pesetate ell'ossevazoe 8.7 soo le decomposzo ccl dsgut delle te pemutazo o cclche d S. 4 Ossevazoe 8.23 L'eucato del Lemma 8.8 o s estede alle pemutazo o dsgute. Ad esempo, S3 ccl (,2) e (2,3) o soo dsgut, e s ha (, 2)(2,3) = (,2,3), (2,3)(,2) = (,3,2). Eseczo 8.24 Calcolae (,3,7,2,4)(6,8,,4,7,5) S8. Svolgmeto: S ha (, 3, 7, 2, 4)(6,8,, 4, 7,5) = () (2, 4)(3,7,5,6,8). La stuttua cclca è utle a f della detemazoe del peodo d ua pemutazoe e, come vedemo pù avat, della sua classe d patà. Dalla dmostazoe della Poposzoe 8.0 s deduce faclmete l seguete sultato auslao, la cu dmostazoe è lascata pe eseczo al lettoe. Lemma 8.25 Sa S. Sa a X, e sa l la lughezza d Ω ( a). Alloa, pe og Z, ( a) = a se e solo se l dvde. Poposzoe 8.26 Sa S, e sa ( l, l ) la sua stuttua cclca. Alloa o( ) = mcm( l, l,..., l ). 2 Dmostazoe: Sao,..., ccl (o baal) d, d lughezze l, l. Sa a X, e sa l cclo assocato all'obta Ω ( a), che, base all'ossevazoe 8.2 (b), è uguale a Ω ( a) ed è l suppoto d. I tal caso, pe og Z, ( a) Ω ( a), e qud ( a) è lascato fsso da,...,, cu suppot soo dsgut da Ω ( a). Petato ( a) è ache lascato fsso dal podotto e da tutte le sue poteze. Qud, pe og Z, ( a) = ( ) ( a) = ( ) ( a) = ( a), () dove abbamo utlzzato, ell'ode, l Lemma 8.8 e la Poposzoe 7.6 (d). Oa, base al Lemma 8.25, ( a) = a se e solo se l dvde. Oa, al vaae d a X, all'dce s sosttuscoo tutt gl dc k =,2,...,. Qud, base alla (), s ha ( a) = a pe og a se e solo se l k dvde pe og k =,2,...,. Il pù pccolo teo postvo sffatto è = mcm( l, l ).

7 Coollao 8.27 Il peodo d u cclo è uguale alla sua lughezza. Dmostazoe: Se S è u cclo d lughezza l, alloa la sua stuttua cclca è ( l,,...,). La tes segue alloa mmedatamete dalla Poposzoe l Esempo 8.28 La pemutazoe dell'esempo 8.22 (a) ha peodo uguale a mcm(2, 3,5) = 30. I potagost del esto d questa lezoe saao 2-ccl. Ess vegoo dett ache tasposzo o scamb, poché, pe og teo 2, l cclo ( a, a2 ) S è la pemutazoe che va a a 2 e vcevesa, mete lasca fsso og alto elemeto. Le tasposzo o solo soo le pemutazo pù semplc dopo la pemutazoe detca, ma soo ache costtuet fodametal dell'seme delle pemutazo, poché, a pate da esse, s può costue og pemutazoe, el modo che oa dcheemo. Poposzoe 8.29 (Ccl e tasposzo) Sa l u teo maggoe d. Og d l tasposzo. l cclo è podotto Dmostazoe: Sa u l cclo. A meo d deomae gl elemet, possamo suppoe che = (,). S vefca faclmete che (, ) = (,2)(2,3) l (, l ). Ossevazoe 8.30 L'eucato della Poposzoe 8.29 o ha seso pe l =. Tuttava, ache la pemutazoe detca d S ( 2) s scve come podotto d tasposzo: d = (, 2)(, 2). Dalla Poposzoe 8.9 e dalla Poposzoe 8.29 segue subto l Coollao 8.3 (Pemutazo e tasposzo) Sa u teo maggoe d. Alloa og pemutazoe d S s scve come podotto d tasposzo. Abbamo povato, ell'eseczo 4.8 (a), che la tasposzoe (,2) è dspa. Cò s può geealzzae. Poposzoe 8.32 (Dspatà delle tasposzo) Og tasposzoe è ua pemutazoe dspa. Dmostazoe: Sa u teo maggoe d, e sa ua tasposzoe d ove S. Alloa = ( a, b) a, b, 2,...,, a b. Se = (, 2) l sultato è oto. Altmet uo ta e 2 o appatee all'seme { a, b}. Suppoamo dappma che ccl ( a, b ) ed (,2) o sao dsgut. Seza ledee la geealtà possamo alloa suppoe che a =, b 2. I tal caso (2, b) (2, b) = (2, b)(, b)(2, b) = (,2). Dalle egole d moltplcazoe date ell'ossevazoe 4.5, segue che ed (,2) hao la stessa patà, qud è dspa. Suppoamo oa che ccl ( a, b ) ed (,2) sao dsgut. Alloa (2, b)(, a) (, a)(2, b) = (2, b)(, a)( a, b)(, a)(2, b) = (,2).

8 Segue uovamete che ed (,2) hao la stessa patà, qud è dspa ache questo caso. Dalla Poposzoe 8.32 e dalle egole d moltplcazoe segue mmedatamete l seguete: Coollao 8.33 (Classe d patà d ua pemutazoe) Sa u teo maggoe d. Alloa ua pemutazoe d S è pa se e solo se è podotto d u umeo pa d tasposzo. Coollao 8.34 (Classe d patà d u cclo) U cclo è pa se e solo se è d lughezza dspa. Dmostazoe: L'uco cclo d lughezza è l'dettà ed è qud pa. Sa u cclo d lughezza l >. Alloa, base alla Poposzoe 8.29, esso è podotto d l tasposzo. I base al Coollao 8.33 segue che è pa se e solo se l è pa, coè se e solo se l è dspa. Il Coollao 8.34, seme alla decomposzoe ccl dsgut, cosete d detemae la classe d patà d ua pemutazoe maea molto pù agevole spetto a pocedmet segut ella Lezoe 4 ed, patcolae, ell'eseczo Eseczo 8.35 De se la pemutazoe è pa o dspa. Svolgmeto: La decomposzoe d ccl dsgut è Qud è pa = S = (,5,)(2, 7, 9)(3, 6)(4,2,8,0) pa pa dspa dspa La classe d patà d ua pemutazoe è qud detemata dalla sua stuttua cclca, che, ell'eseczo 8.35, è (4,3,3,2). I geeale ua pemutazoe è pa se e solo se, ella sua stuttua cclca, l umeo d lughezze pa è pa. Eseczo 8.36* Detemae tutt gl elemet d A 3 ed A4 utlzzado le stuttue cclche. 2