BREVE APPENDICE SULLE UNITA' LOGARITMICHE
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- Federigo Nardi
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1 BREVE APPENDICE SULLE UNITA' LOGARITMICHE Per esprimere gudgni e ttenuzioni, nonché cifre di rumore e rpporti segnle-rumore si usno frequentemente le unità logritmiche. Come risultto, l grndezz in questione viene espress in deciel (ovvero, revemente, db). Gudgni ed ttenuzioni possono essere espressi si come rpporti tr mpiezze di segnli, si come rpporti tr potenze di segnli. Nel primo cso, detti A 1 e A i livelli di mpiezz d confrontre, si pone: A 1 A db A = 0 log 1 (1) A Nel secondo cso, detti P 1 e P i livelli di potenz d confrontre, si pone: P 1 P db P = 1 P () E' fcile verificre che il rpporto espresso in db non cmi nei due csi. L cifr di rumore e i rpporti segnle-rumore 1, essendo definiti come rpporti tr potenze, vengono espressi secondo l convenzione (). Il vntggio che si consegue utilizzndo le unità logritmiche è duplice: d un prte, tenendo conto dell'ndmento dell funzione logritmo, dinmiche molto estese vengono trsformte in intervlli più semplici d trttre; dll'ltr, si può ridurre l'onere computzionle, visto che i prodotti vengono sostituiti d somme e i rpporti d differenze. A giustificre nliticmente questi vntggi, si ricordi inftti che vlgono le seguenti proprietà: log( X α )=α X (3) log( X 1 X )= log X 1 + log X (3) log X 1 = log X 1 log X X (3c) Se un grndezz è dimensionle ed è espress in unità ssolute (d esempio un potenz P espress in W) le unità logritmiche non possono, rigore, essere pplicte. Vi è però un "scpptoi", che consiste nel riferire l grndezz in questione ll corrispondente unità di misur o d un suo multiplo o sottomultiplo. In prtic, un potenz espress in W si può dividere per 1 W con ciò ottenendo, qule risultto dell divisione, un quntità dimensionle e dunque ncor esprimiile 1 Questi prmetri srnno introdotti, e formlmente definiti, in un dispens successiv. 1
2 in unità logritmiche. A memori dell'rtificio relizzto, perltro, non si prl, genericmente, di db m di dbw. L misur in dbw di un potenz corrisponde quindi ll vlutzione di volte il logritmo in se dell potenz espress in W. In formul: (P) dbw = log [(P) W ] (4) Più frequentemente, tenendo conto dei livelli in gioco nell trttzione di sistemi di comuniczione, le potenze vengono espresse in mw (l potenz ssolut P viene quindi divis per 1 mw). In luogo dei dbw si hnno llor i dbm, per cui: (P) dbm = log [(P) mw ] (5) E' evidente che, per un dt P, risult: (P) dbm = (P) dbw + 30 (6) Così, d esempio, l potenz di rumore termico, su un lrghezz di nd di 4 khz (qule quell che viene dottt convenzionlmente come nd lord di un cnle del servizio telefonico) e ll tempertur stndrd T o = 90 o K, vle 168 dbw, ovvero 138 dbm. Può essere utile ricordre questo numero per le ppliczioni (vedi not precedente). * * * Un prolem che sistemticmente si pone nell progettzione e crtterizzzione di sistemi di comuniczione è quello del pssggio d unità ssolute d unità logritmiche (db) e vicevers. E evidente che tle prolem può sempre essere risolto disponendo di un semplice clcoltore tscile. Nondimeno, risult in certi csi utile, ed è comunque grtificnte, poter prescindere dl ricorso ll elortore, per relizzre l trsformzione mente, e dimostrndo in tl modo pdronnz del concetto mtemtico di deciel. In quest'ottic, si mostrerà or come, dll semplice memorizzzione di due risultti fondmentli, vle dire: log =, (7) 3, (7) si possiile ricvre il vlore ssoluto corrispondente d un qulsisi numero intero di db. Come le (7) lscino chirmente intendere, ci si riferirà ll situzione in cui l misur in db di un grndezz incognit si espress come. E in effetti quest l situzione di mggior interesse pplictivo, in qunto le unità logritmiche vengono, più frequentemente utilizzte per
3 esprimere rpporti tr potenze. In questo senso, l regol che ci si pprest d enuncire può essere, d esempio, utilizzt per ottenere l misur ssolut di gudgni G, ttenuzioni A, o cifre di rumore F, prtire dll conoscenz del loro vlore espresso in db (come viene tipicmente ssegnto in sede di specifiche). Lddove fosse invece un rpporto di tensioni o di correnti (e, conseguentemente, l su espressione in db fosse dt d 0 log ), l regol in oggetto potrà essere ugulmente pplict, m del risultto ottenuto si dovrà fre, ll fine, l rdice qudrt. Si dunque d risolvere il seguente prolem: nell funzione y=, (8) che esprime l misur in db di, quest ultim quntità è incognit, mentre y è un numero intero ssegnto. E immedito verificre che, qulunque si il vlore di y, è sempre possiile scrivere o y= + 3 (9) y= 3 () con e, interi loro volt, opportuni, l cui determinzione è immedit (e non necessit certo del clcoltore). Nel seguito del prgrfo si dimostrerà che l conoscenz di e è tutto qunto serve per determinre esplicitmente il vlore di incognito. Inftti, sull se delle (9) e (), l (8) può essere riscritt come o come + 3 = (11) 3 =. (1) Applicndo or le proprietà dei logritmi (già ricordte più sopr con le (3)) ed utilizzndo come premesso le (7), prtire dll (11) si ricv log + log + ( ) (13) donde, per confronto, si deduce 3
4 ; (14) llo stesso modo, prtire dll (1) si ricv (15) log donde, sempre per confronto, si deduce. (16) Se dunque, per ottenere e, si è utilizzt l (11), il vlore di potrà essere ricvto dll (14); se, invece, si è utilizzt l (1), il vlore di potrà essere ricvto dll (16). E del tutto evidente che queste vlutzioni elementri possono essere gestite, per così dire, mente, senz richiedere l utilizzo del clcoltore. Esempi: ) y = 3 = =, = 1 1 = 00 ) y = 14 = 3 =, = = 5. Nell esempio ) sono stte utilizzte l (11) e l (14); il vlore vero sree pri Nell esempio ), invece, sono stte utilizzte l (1) e l (16); il vlore vero sree ugule 5.1. Come si vede, in medue i csi (e l conclusione è ovvimente generlizzile), l pprossimzione risult del tutto ccettile. In generle, visto che l (7) fornisce un relzione pprossimt, mentre l (7) fornisce un relzione estt, è consigliile individure un decomposizione del vlore y noto (in ccordo con le (11) e (1)) che minimizzi il vlore di. Così, d esempio, è meglio decomporre y = 1 come y = 3 3 3, con ciò ottenendo 15, nziché come y = , con ciò ottenendo 18, più lontno dl vlore vero (che è = 15.89). Infine, è opportuno rilevre come l procedur descritt poss essere utilizzt nche per stimre il vlore ssoluto corrispondente d un numero di db rele; sterà inftti considerre gli interi immeditmente superiore ed inferiore (ed pplicre d essi l regol) per ottenere un intervllo di vlori entro il qule srà contenuto il vlore di incognito. 4
5 Esempio: y = < y < 14 0 < < 5. L entità dell pprossimzione potree in questo cso essere migliort con degute procedure di interpolzione, sul cui merito, comunque, non semr utile né opportuno insistere. 5
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