Analisi dei sistemi in retroazione
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- Saverio Grimaldi
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1 Facoltà di Ingegneria di Reggio Emilia Corso di Controlli Automatici Corsi di laurea in Ingegneria Meccatronica ed in Ingegneria della Gestione Industriale Ing. Alessandro Macchelli web: Università di Reggio Emilia Corso di Controlli Automatici 1 Analisi dei sistemi in retroazione Università di Reggio Emilia Corso di Controlli Automatici 2 Funzione d anello molte delle caratteristiche della funzione di trasferimento complessiva F(s) dipendono direttamente dalle proprietà della funzione d anello L(s). le proprietà del sistema in retroazione vengono dedotte da uno studio opportuno della funzione L(s). il diagramma di Bode della funzione L(s) è uno strumento potenete per descrivere le proprietà del sistema complessivo e per progettare il controllore C(s) in modo da ottenere un desiderato comportamento per il sistema in retroazione. Università di Reggio Emilia Corso di Controlli Automatici 3
2 Introduzione controllore C(s) interconnesso in retroazione al sistema G(s): r(t) + e(t) - u(t) C(s) G(s) y(t) f.d.t. complessiva: L(s) = C(s)G(s) è detta funzione d anello. Università di Reggio Emilia Corso di Controlli Automatici 4 Margine di guadagno Margine di fase (1) margine di guadagno: massima amplificazione del segnale consentita nel controllo in retroazione margine di fase: massimo ritardo del segnale consentito nell anello di controllo (T max = φ / ω c ) ω c è detta pulsazione critica. Università di Reggio Emilia Corso di Controlli Automatici 5 Margine di guadagno Margine di fase (2) il margine di guadagno ed il margine di fase possono essere facilmente evidenziati nei diagrammi di Bode (modulo e fase) della funzione d anello L(s). margine di guadagno: si evidenzia la pulsazione ω n alla quale la fase vale 18 o e sul diagramma del modulo si osserva la distanza dall asse a db. margine di fase: si evidenzia la pulsazione ω c alla quale il modulo vale db e sul diagramma della fase si osserva la distanza dalla retta a 18 o. Università di Reggio Emilia Corso di Controlli Automatici 6
3 Margine di guadagno Margine di fase (3) Esempio: Università di Reggio Emilia Corso di Controlli Automatici 7 Stabilità del sistema in retroazione (1) analisi dei poli della f.d.t.: se L(s) = N L (s) / D L (s), si ottiene quindi: gli zeri della f.d.t. complessiva sono gli stessi della f.d.t. d anello i poli della f.d.t. complessiva non coincidono con quelli della f.d.t. d anello, ma dipondono dagli zeri e dai poli di L(s). Università di Reggio Emilia Corso di Controlli Automatici 8 Stabilità del sistema in retroazione (2) la stabilità della f.d.t. F(s) può essere analizzata applicando il criterio di Routh al polinomio al denominatore, dato dalla somma: sarebbe comodo possedere un metodo per studiare la stabilità a partire dal diagramma di Bode di L(s)???!! Università di Reggio Emilia Corso di Controlli Automatici 9
4 Criterio di Bode ipotesi: L(s) stabile diagramma di Bode di L(s) attraversa solo una volta e dall alto in basso l asse a db tesi: il sistema complessivo è (asintoticamente) stabile se e solo se: il guadagno di L(s) è positivo il margine di fase di L(s) è positivo non è necessario calcolare la f.d.t. del sistema in retroazione Università di Reggio Emilia Corso di Controlli Automatici 1 Esempio (1) margini di ampiezza / fase: K = 7.4dB - φ = 29 o Università di Reggio Emilia Corso di Controlli Automatici 11 Esempio (2) G(s) in retroazione unitaria fornisce un sistema stabile (per il criterio di Bode) Università di Reggio Emilia Corso di Controlli Automatici 12
5 Esempio Criteri di Bode & Routh (1) consideriamo il sistema in retroazione seguente r(t) + e(t) - u(t) C(s) G(s) y(t) con abbiamo che: Università di Reggio Emilia Corso di Controlli Automatici 13 Esempio Criteri di Bode & Routh (2) diagramma di Bode di G(s): 5 margine di guadagno di circa 4dB, da cui K= Università di Reggio Emilia Corso di Controlli Automatici 14 Esempio Criteri di Bode & Routh (3) verifichiamo con il criterio di Routh applicato al denominatore di F(s): condizione K < 12.2 per la stabilità (margine di guadagno) Università di Reggio Emilia Corso di Controlli Automatici 15
6 Studio della f.d.t. complessiva (1) comportamento ideale del sistema in retroazione: F(s) = 1. studio del modulo della f.d.t. complessiva: nel caso L >> 1 nel caso L << 1 Università di Reggio Emilia Corso di Controlli Automatici 16 Studio della f.d.t. complessiva (2) Esempio: Università di Reggio Emilia Corso di Controlli Automatici 17 Studio della f.d.t. complessiva (3) il diagramma di Bode (modulo e fase) della f.d.t. complessiva F(s) possono essere facilmente disegnati sulla base del corrispondente diagramma della f.d.t. di anello L(s). gli zeri di F(s) sono quelli della f.d.t. d anello L(s). i poli a bassa frequenza che precedono la pulsazione critica vengono traslati in prossimità di essa (o in prossimità degli zeri da cancellare ), mentre gli altri poli ad alta frequenza rimangono quasi del tutto invariati. Università di Reggio Emilia Corso di Controlli Automatici 18
7 Studio della f.d.t. complessiva (4) il sistema in retroazione ha guadagno unitario per tutte le frequenze fino alla pulsazione critica ω c (larghezza di banda) un taglio dell asse a db con pendenza unitaria (-2 db/dec.) dà luogo ad un unico polo con valore pari alla pulsazione critica un taglio dell asse a db con pendenza doppia (-4 db/dec.) dà luogo a due poli complessi coniugati (oppure reali) con pulsazione pari a quella critica lo smorzamento della coppia di poli complessi è direttamente proporzionale al margine di fase Università di Reggio Emilia Corso di Controlli Automatici 19 Prestazioni dinamiche il sistema ha una velocità di risposta ad una variazione del riferimento (ingresso a scalino) legata alla larghezza di banda del sistema in anello chiuso (polo dominante) il guadagno complessivo è unitario lo smorzamento di eventuali poli complessi coniugati è legato al margine di fase della f.d.t. d anello attraverso la seguente relazione empirica: i poli sono considerati reali se: Università di Reggio Emilia Corso di Controlli Automatici 2 Prestazioni dinamiche Esempio (1) Università di Reggio Emilia Corso di Controlli Automatici 21
8 Prestazioni dinamiche Esempio (2) sistema in retroazione instabile: 1 Amplitude Step Response Time (sec) risposta al gradino unitario Università di Reggio Emilia Corso di Controlli Automatici 22 Prestazioni dinamiche Esempio (3) f.d.t. d anello L(s) >> 1 su tutte le frequenze Università di Reggio Emilia Corso di Controlli Automatici 23 Prestazioni dinamiche Esempio (4) f.d.t. d anello L(s) >> 1 su tutte le frequenze, ma a fase non minima sistema risultante instabile 4 Amplitude Step Response Time (sec) risposta al gradino unitario Università di Reggio Emilia Corso di Controlli Automatici 24
9 Effetto dei disturbi (1) i segnali d 1 (t) e d 2 (t) sono disturbi d 1 (t) r(t) + e(t) u(t) + C(s) G(s) - y(t) + d 2 (t) il disturbo (1) agisce sull uscita secondo la f.d.t. il disturbo (2) agisce sull uscita secondo la f.d.t. Università di Reggio Emilia Corso di Controlli Automatici 25 Effetto dei disturbi (2) il disturbo (1) viene attenuato in bassa fraquenza in quanto L(jω) >> 1; se si allarga la banda passante del sistema in retroazione, si ottengono maggiori benefici sul segnale di uscita anche se la parte in alta frequenza del disturbo rimane. il disturbo (2) viene visto a bassa frequenza come un segnale di riferimento da inseguire e deve essere evitato a tutti i costi. Viene attenuato in alta frequenza. il rumore sul sensore di misura è un tipico disturbo che agisce in retroazione Università di Reggio Emilia Corso di Controlli Automatici 26 Facoltà di Ingegneria di Reggio Emilia Corso di Controlli Automatici Corsi di laurea in Ingegneria Meccatronica ed in Ingegneria della Gestione Industriale Ing. Alessandro Macchelli amacchelli@deis.unibo.it web: Università di Reggio Emilia Corso di Controlli Automatici 27
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