Criteri di Scelta Finanziaria

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1 3 Criteri di Scelta Finanziaria 3.1 Introduzione Spesso occorre confrontare operazioni definite su scadenzari diversi. Nel seguito presentiamo due criteri, quello del valore attuale netto (VAN) e quello del tasso interno di rendimento (TIR). Senza perdita di generalità 1, ipotizziamo che sia data l o.f. x/t={x 0,x 1,...,x n }/{0,1,...,n}. (3.1) 3.2 Valore Attuale Netto Il valore attuale netto è semplicemente il valore attualizzato del flusso di importi futuri. Definizione 3.1. Assegnata una una certa legge esponenziale, il VAN è il valore attuale netto al tempo 0 dell o.f. (3.1): x h (1+ i) h. Sia che si debba scegliere tra due investimenti che tra due finanziamenti, verrà preferita l alternativa che ha associato il VAN maggiore. Il punto critico del criterio del VAN è come scegliere il tasso da usare per attualizzare le poste x h. 3.3 Il Tasso Interno di Rendimento Un altro criterio per confrontare operazioni finanziarie è quello del TIR. 1 Supponiamo che inizialmente lo scadenzario sia t = {t 0,t 1,...,t n }, con t h t h 1. Per fare in modo che la prima epoca sia 0, poniamo t h = t h t 0. Infine poniamo t h = t h /t, dove t = min h (t h t h 1 ). Se necessario, alcune poste nulle vengono aggiunte per ottenere il nuovo scadenzario t = {0,1,...}. Se ad esempio lo scadenzario iniziale espresso in anni è {0,1/6,5/6,11/12}, t = 1/12 e il nuovo scadenzario espresso in mesi è {0,2,10,11}.

2 3.3 Il Tasso Interno di Rendimento 21 Definizione 3.2. Il tasso interno di rendimento è quell unico tasso di interesse positivo i che rende il VAN nullo: x h (1+ i ) h = 0. (3.2) In altri termini il TIR è quel tasso che rende l operazione equa secondo una legge esponenziale. La critica che si può muovere al criterio del TIR è che questo presuppone che si sia in grado di impiegare i capitali ad un tasso pari al TIR. Questo può non essere sempre vero. In termini del fattore di sconto, l equazione da risolvere è x h v h = 0. (3.3) È evidente che il TIR potrebbe non esistere in quanto 1. La (3.3) non ammette alcuna soluzione 0 v 1 2. La soluzione v della (3.3) in [0,1] non è unica. Esempio 3.3. Si consideri l o.f. {0. 882, 1. 88,1}/{0,1,2}. Allora l equazione (3.3) ha associate due soluzioni, v1 =.9 e v 2 =.98. Se invece l o.f. in esame è { , 1,1}/{0,1,2} (3.3) ha associate due soluzioni, v1 = 1.98 e v 2 =.98. Anche in questo secondo caso, dunque, il TIR non esiste. Si noti però che se avessimo ammesso tassi interni negativi, il TIR sarebbe esistito in questo secondo caso e sarebbe stato pari a i = %. Si può dimostrare 2 che se gli importi x 0,x 1,...,x n cambiano segno una sola volta, allora la (3.3) ammette un unica soluzione positiva. In altri termini Condizione sufficiente affinchè la (3.3) ammetta un unica soluzione positiva v è che gli importi x 0,x 1,...,x n cambino segno una sola volta, ossia che l o.f. sia di investimento (dapprima tutti esborsi e in seguito tutti incassi) oppure di finanziamento (dapprima tutti incassi e quindi tutti esborsi.) Si noti che definendo il montante all epoca k dell o.f. x calcolato al tasso i come M k (i,x)= k x h (1+ i) h, una condizione alternativa per l esistenza di un unica soluzione positiva v = (1+ i ) 1 della (3.3) è M n (i,x)=0 e oppure M k (i,x) 0 k= 0,1,...,n 1 (3.4) M k (i,x) 0 k= 0,1,...,n 1. (3.5) 2 La dimostrazione segue dal Teorema di Cartesio.

3 22 Criteri di Scelta Finanziaria La (3.4) corrisponde ad una operazione di finanziamento, mentre la (3.5) corrisponde ad una operazione di investimento. Si noti che le condizioni appena enunciate non garantiscono ancora l esistenza del TIR, in quanto si potrebbero avere operazioni di investimento o di finanziamento con associati tassi interni negativi, corrispondenti al caso v > 1. Supponiamo di seguito che il segno negli importi cambi immediatamente dopo l epoca 0. In altri termini, sia nel caso di un operazione di investimento che di finanziamento ipotizziamo occorra risolvere la seguente equazione R h (1+ i) h P = 0, (3.6) dove gli importi P e R h sono non-negativi e P rappresenta il prezzo da pagare per assicurarsi il flusso di pagamenti rappresentato dagli R h. Si noti che se la somma degli R h è più grande di P allora il TIR esiste. In altri termini se R h P, allora l unica soluzione della (3.6) è i 0. Conviene riscrivere la (3.6) in termini del fattore di sconto v: Nel seguito consideriamo la funzione R h v h P = 0. f (v)= R h v h e risolviamo quindi f (v) P = 0. La condizione di esistenza del TIR diventa allora f (1) P. Il TIR si calcola come i = 1/v 1, dove il fattore di sconto v è tale che f (v )= P. Essendo gli importi R h non negativi, la funzione f ( ) è crescente, in quanto La derivata seconda è f (v)= f (v)= hr h v h 1. h(h 1)R h v h 2 0 e quindi la funzione è convessa. Nel seguito vengono presentati alcuni metodi numerici per il calcolo del TIR.

4 3.3 Il Tasso Interno di Rendimento 23 f (v) P v v 2 v 0 v 1 v Figura 3.1: Il metodo di Newton-Raphson Il Metodo di Newton-Raphson Il metodo di Newton-Raphson è illustrato in Figura 3.1. Dato il valore iniziale 3 v 0, consideriamo la retta per tangente al grafico di f passante per il punto (v 0,f (v 0 )). Questa retta ha equazione y= y(v)= f (v 0 )+ f (v 0 )(v v 0 ). L approssimazione successiva per la soluzione v si ottiene come l ascissa del punto di intersezione tra la retta tangente e la retta parallela all asse delle ascisse y= P: v 1 = v 0 + P f (v 0) f. (v 0 ) Ripetendo la stessa procedura partendo da v 1 troviamo Quindi, dopo k iterazioni si ha L algoritmo viene arrestato quando v 2 = v 1 + P f (v 1) f. (v 1 ) v k = v k 1 + P f (v k 1) f. (3.7) (v k 1 ) v k v k 1 <ǫ oppure f (v k ) P <ǫ, dove ǫ è un numero positivo prefissato, ad esempio ǫ= Nella situazione illustrata in Figura 3.1 si ha che v 0 < v. Come esercizio si può verificare che anche quando v 0 > v l algoritmo converge verso la soluzione v.

5 24 Criteri di Scelta Finanziaria f (v) P v 0 v 1 v 2 v v M v Figura 3.2: Il metodo delle corde Il Metodo delle Corde Il metodo delle corde è presentato in Figura 3.2. Dato il valore iniziale 4 v 0 e v M > v 0, consideriamo la retta per i punti (v 0,f (v 0 )) e (v M,f (v M )). Questa retta ha equazione y= y(v)= f (v 0 )+[f (v M ) f (v 0 )](v v 0 )/(v M v 0 ). L approssimazione alla soluzione dopo il primo passo si ottiene facendo l intersezione di questa retta con la retta y= P: v 1 = v 0 + P f (v 0) f (v M ) f (v 0 ) (v M v 0 ). Nella seconda iterazione si considera l intersezione tra la retta per (v 1,f (v 1 )) e (v M,f (v M )) e la retta y= P. Continuando in questa maniera, dopo k iterazioni si trova v k = v k 1 + P f (v k 1) f (v M ) f (v k 1 ) (v M v k 1 ). (3.8) Si noti che il termine f (v k 1 ) nella (3.7) viene sostituito da [f (v M ) f (v k 1 )]/(v M v k 1 ) nella (3.8). La condizione per arrestare l algoritmo è la stessa del metodo di Newton Il Metodo di Bisezione Il metodo di bisezione riduce ad ogni iterazione l ampiezza dell intervallo che contiene la soluzione v. L algoritmo parte da due valori v 0,v M tali che v 0 < v < v M e un livello di tolleranza ǫ. 4 Nella situazione illustrata in Figura 3.2 si ha che v 0 < v < v M. Come esercizio si può verificare che anche quando v 0 > v oppure v > v M l algoritmo converge verso la soluzione v.

6 3.3 Il Tasso Interno di Rendimento 25 STEP 0 Poni v a = v 0, v b = v M STEP 1 Ripeti finchè v b v b <ǫ Calcola v m = (v a + v b )/2 e f m = f (v m ) Se f m > P poni v b = v m Altrimenti poni v a = v m Esempio 3.4 (TIR di un titolo a cedola fissa). L acquisto di un titolo a cedola fissa può essere descritto dall o.f. { P,C,C,...,C,C+N}/{0,1,2,...,n 1,n}. Pagando il prezzo P si ha diritto al pagamento delle n cedole C pagate periodicamente a partire dall epoca 1 fino all epoca n. Unitamente all ultima cedola viene pagato l importo N che prende il nome di valore facciale o nominale. Il rapporto C/N prende il nome di tasso cedolare. La somma delle cedole pagate nell anno diviso il valore facciale prende il nome di tasso nominale annuo. Se m è il numero di cedole pagate nell anno definiamo quindi j nom (m)= mc/n = tasso nominale annuo convertibile m volte l anno. Il titolo è quotato Il TIR del titolo soddisfa C sotto la pari se alla pari se P < N P = N sopra la pari se P > N. (1+ i) k + N(1+ i) n = P. (3.9) k=1 In generale è necessario usare uno dei metodi numerici descritti in 3.3 per il calcolo del TIR. Tuttavia, quando il titolo è quotato alla pari esiste una formula chiusa. In questo caso la (3.9) diventa N = C (1+ i) k + N(1+ i) n k=1 N [ 1 (1+ i) n] = Ca i n N [ 1 (1+ i) n] 1 (1+ i) n = C. i Di conseguenza il TIR è i = C/N = tasso cedolare. Nel caso il titolo non sia quotato alla pari, possiamo però dire che il TIR è i > C/N i < C/N se è quotato sotto la pari se è quotato sopra la pari. I titoli a cedola fissa emessi dallo Stato italiano prendono il nome di Buoni del Tesoro Poliennali (BTP). Il valore facciale è stabilito in N = 100. Le cedole vengono pagate con frequenza semestrale e vengono tassate al 12.5%. Cioè se C è la cedola lorda, la cedola netta è data da C = C Il prezzo di vendita (detto prezzo

7 26 Criteri di Scelta Finanziaria tel-quel) viene scomposto in corso secco (ossia il prezzo riportato nelle quotazioni) e rateo (detto anche dietimo.) Quest ultimo rappresenta la parte di cedola maturata fino all istante di vendita t e si calcola come R= C t t dove t 0 è l epoca in cui è stata pagata l ultima cedola. Il TIR netto viene calcolato usando il prezzo tel-quel e le cedole nette. A titolo esemplificativo, consideriamo il BTP con scadenza 01/01/2020 che in data 01/01/2010 (immediatamente dopo il pagamento della cedola, di modo che il rateo è nullo 5 ) ha prezzo P = 104. Il titolo ha inoltre un tasso nominale annuo del j nom (2)=4.5%. Le cedole lorde su un nominale N = 100 sono quindi C = 2.25 e quelle nette C= Il TIR netto su base semestrale è quel tasso che soddisfa la (3.9) con n=20. La soluzione è data dal fattore di sconto v2 = che corrisponde al tasso semestrale i 2 = %. Si noti che il TIR è più piccolo del tasso cedolare C/N = %. Il tasso annuo equivalente è i = %. 5 In realtà stiamo ignorando il fatto che, relativamente all ultima cedola, bisogna corrispondere tasse pari al 12.5% della differenza tra il valore facciale e il prezzo di emissione.