INDICE EQUIVALENZA E MISURA DELLE FIGURE

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1 INIE 2 Unità di apprendimento 5 EQUIVLENZ E MISUR ELLE FIGURE 3 ttività per iniziare verso le competenze fondamentali 4 1 Equivalenza delle figure piane Equicomposizione ed equivalenza delle figure geometriche, 4 onfronto tra figure geometriche piane in base alla loro estensione superficiale, 4 onfronto tra figure geometriche piane mediante quadrettato, 5 onfronto tra la relazione di equivalenza superficiale e la relazione di congruenza, 7 Proprietà dell equivalenza, rea dei poligoni rea del rettangolo, 10 rea del quadrato, 12 rea del parallelogrammo, 13 rea del triangolo, 14 rea del triangolo rettangolo, 16 rea del rombo, 17 rea del trapezio, rea delle figure irregolari rea di figure irregolari a contorno rettilineo, 21 rea di figure irregolari a contorno curvilineo, rea dei poligoni regolari 29 he cosa hai studiato 30 Ricorda esercizi di consolidamento 31 1 Equivalenza delle figure piane 37 2 rea dei poligoni 73 3 rea delle figure irregolari 76 4 rea dei poligoni regolari 78 Fai il tuo bilancio 81 ttività di recupero 83 Laboratorio per lo sviluppo delle competenze pprofondimenti: 1. Pavimentazioni, Rettangoli isoperimetrici e rettangoli equiestesi, 89. Uso di strumenti: 1. abrì e l equivalenza delle figure, 91. III

2 94 Unità di apprendimento 6 IL TEOREM I PITGOR 95 ttività per iniziare verso le competenze fondamentali 96 1 Il teorema di Pitagora Le terne pitagoriche, pplicazioni del teorema di Pitagora ai poligoni Triangoli, 101 Parallelogrammi, 104 Trapezi, 106 Poligoni regolari, he cosa hai studiato 109 Ricorda esercizi di consolidamento Il teorema di Pitagora pplicazioni del teorema di Pitagora ai poligoni 141 Fai il tuo bilancio 143 ttività di recupero 145 Laboratorio per lo sviluppo delle competenze pprofondimenti: 1. Pitagora e il suo teorema, 145. Uso di strumenti: 1. L aspetto dei disegni con abrì, Unità di apprendimento 7 IL PINO RTESINO 151 ttività per iniziare verso le competenze fondamentali Il sistema di riferimento cartesiano del piano Punti che stanno sulla stessa retta, 154 istanza tra due punti, 156 istanza tra due punti generici del piano, 158 Punto medio di un segmento del piano, 160 Figure sul piano cartesiano, Simmetrie e traslazioni sul piano cartesiano Simmetrie sul piano cartesiano, 162 Traslazioni sul piano cartesiano, he cosa hai studiato 169 Ricorda esercizi di consolidamento Il sistema di riferimento cartesiano del piano Simmetrie e traslazioni sul piano cartesiano 186 Fai il tuo bilancio IV

3 189 ttività di recupero 193 Laboratorio per lo sviluppo delle competenze pprofondimenti: 1. Piano cartesiano e rappresentazione di funzioni, 193. Uso di strumenti: 1. abrì e il piano cartesiano, Unità di apprendimento 8 OMOTETIE E SIMILITUINI 205 ttività per iniziare verso le competenze fondamentali Le omotetie Il concetto di omotetia, 206 Ingrandimenti e impiccolimenti in un omotetia, 208 Omotetia diretta e omotetia inversa, 209 Proprietà delle figure omotetiche, Le figure simili Il concetto di poligoni simili, 212 Figure simili e figure omotetiche, 214 Proprietà di figure simili, I criteri di similitudine dei triangoli Primo criterio di similitudine, 219 Secondo criterio di similitudine, 220 Terzo criterio di similitudine, 220 Una proprietà particolarmente significativa, 221 Il teorema di Talete, I teoremi di Euclide Proiezioni di un segmento su una retta, 223 Primo teorema di Euclide, 224 Secondo teorema di Euclide, he cosa hai studiato 229 Ricorda esercizi di consolidamento Le omotetie Le figure simili I criteri di similitudine dei triangoli I teoremi di Euclide 261 Fai il tuo bilancio 265 ttività di recupero 269 Laboratorio per lo sviluppo delle competenze pprofondimenti: 1. a Talete a Euclide: lo sviluppo della matematica razionale, 269. Problemi applicativi: 1. Progettare la sistemazione del pianterreno di una villetta, 273. Uso di strumenti: 1. abrì e le omotetie, Soluzioni 277 Tavole numeriche V

4 ONOSENZE Equiscomponibilità di semplici figure poligonali ILITÁ Risolvere problemi usando le proprietà geometriche delle figure ricorrendo a modelli materiali e a semplici deduzioni e a opportuni strumenti di rappresentazione (riga, squadra, compasso e, eventualmente, software di geometria) alcolare aree e perimetri di figure piane OMPETENZE Esprimere la relazione di equivalenza superficiale, indicandone le proprietà istinguere tra figure equivalenti e figure congruenti Giustificare le regole per calcolare l area del quadrato, del rettangolo, del parallelogrammo, del triangolo, del rombo, del trapezio e usarle correttamente nel risolvere i relativi problemi alcolare, eventualmente in modo approssimato, l area di alcune figure irregolari alcolare l area dei poligoni regolari PREREQUISITI Le figure geometriche piane: poligoni, triangoli, quadrilateri Misura delle grandezze geometriche Trasformazioni geometriche sul piano

5 Il tangram è un antico gioco cinese costituito da un quadrato composto da sette figure geometriche più piccole, dette tan. on i pezzi del tangram è possibile comporre figure fantastiche di vario tipo. Eccone alcune. Prova a costruire anche tu un tangram con un cartoncino resistente e sbizzarrisciti a comporre, utilizzando tutti i sette pezzi, figure sempre nuove, anche geometriche. Secondo te la superficie del piano ricoperta da tutte queste figure è sempre la stessa o varia? Per rispondere devi tenere presente che non interessa il perimetro delle varie figure, che varia da figura a figura, per forma e lunghezza, ma solo la superficie che esso racchiude. Nelle U precedenti abbiamo considerato figure geometriche piane illimitate e limitate. bbiamo anche ricordato che la misura di una superficie piana è chiamata area di quella superficie. ioè l area di una superficie piana è data dal valore del rapporto tra questa e una superficie campione, presa come unità di misura. In questa U chiariremo il concetto di equivalenza tra superfici piane e svilupperemo i metodi che consentono di trovare le aree delle principali figure geometriche del piano.

6 U5 Equivalenza e misura delle figure 1 Equivalenza delle figure piane Equicomposizione ed equivalenza delle figure geometriche Il caso del tangram è esemplare: tutte le figure che riesci a costruire risultano composte dagli stessi pezzi e questi occupano sempre la stessa superficie del piano. È facile allora rispondere che in ogni caso la superficie ricoperta è la stessa. Queste figure si dicono equicomposte. Si tratta di superfici diverse per forma, ma equivalenti per area. ioè misurando la superficie che ricoprono si ottiene sempre lo stesso valore. ue figure geometriche si dicono equicomposte se risultano somma delle stesse figure uguali (congruenti). Esse sono tra loro equivalenti, cioè hanno la stessa area. onfronto tra figure geometriche piane in base alla loro estensione superficiale Talvolta due figure geometriche possono essere confrontate direttamente, per vedere quale occupa la maggiore estensione superficiale. Per esempio, i due rettangoli a fianco possono essere sovrapposti mediante un movimento rigido, facendo combaciare uno dei loro angoli retti. Si vede subito che uno di essi ha maggiore estensione dell altro, in quanto tutti i punti del rettangolo sono punti anche di, mentre esistono punti di che non appartengono ad. Nello stesso modo è facile confrontare direttamente due quadrati, o due triangoli equilateri. Questo discorso, però, non vale in generale. Non è possibile, infatti, confrontare direttamente due figure che hanno forma diversa. Occorre allora ricorrere a una terza figura, che fa da unità di confronto, detta anche unità di misura, e vedere quante volte quest ultima sta nell una e nell altra figura. In altri termini si devono scomporre, almeno idealmente, le due figure geometriche in parti che siano direttamente confrontabili. Molto spesso per far questo si ricorre a quadrettati. 4 Esercizi da pag. 31

7 verso le competenze fondamentali U5 onfronto tra figure geometriche piane mediante quadrettato onsidera queste figure geometriche, disegnate sopra un foglio a quadretti con il lato di un centimetro. Pur avendo forma differente, è facile scomporle in quadratini di 1 cm 2 e verificare che sono equicomposte. nche l area di ciascuna di esse risulta uguale a 9 cm 2. In effetti figure che ricoprono la stessa superficie hanno la stessa area, mentre una figura che ricopre una superficie maggiore di un altra ha anche area maggiore. In generale, date due figure piane e, si possono avere le tre situazioni seguenti. 1. Se la figura ha la stessa estensione superficiale della figura, allora le figure sono equivalenti e l area di è uguale all area di. è equivalente a area = area 2. Se la figura ha un estensione superficiale maggiore della figura, allora la figura è prevalente rispetto a e l area di è maggiore dell area di. è prevalente a area > area 3. Se la figura ha un estensione superficiale minore della figura, allora la figura è suvvalente rispetto alla figura e l area di è minore dell area di. è suvvalente a area < area ue figure geometriche del piano sono equivalenti se hanno la stessa estensione superficiale. In questo caso esse hanno anche la stessa area. Esercizi da pag. 31 5

8 U5 Equivalenza e misura delle figure check point onsidera le seguenti coppie di figure geometriche e verifica se esse sono equivalenti o meno, usando come riferimento il quadrettato su cui sono disegnate. Scrivi sui puntini la relazione esistente tra le loro aree utilizzando i segni >, =, < il linguaggio degli insiemi La relazione di equivalenza superficiale La relazione di equivalenza superficiale (o di uguaglianza di area) è un caso particolare di equivalenza tra elementi di un insieme. Se consideriamo, infatti, le diverse figure geometriche limitate del piano, esse possono essere poste in relazione tra loro suddividendole in sottoinsiemi, o classi, che contengono figure equivalenti tra di loro. Possiamo anche scegliere come figura di riferimento per ogni sottoinsieme quella di forma quadrata. Una relazione di equivalenza R è una relazione tra elementi di un insieme che possiede queste tre proprietà: 1. ogni elemento a è equivalente a se stesso (proprietà riflessiva): a R a 2. se un elemento a è equivalente a un elemento b, allora anche l elemento b è equivalente all elemento a (proprietà simmetrica): a R b b R a 3. se un elemento a è equivalente a un elemento b, e questo è equivalente a un elemento c, allora anche a è equivalente a c (proprietà transitiva): (a R b) e(brc) a R c 6 Esercizi da pag. 31

9 verso le competenze fondamentali U5 onfronto tra la relazione di equivalenza superficiale e la relazione di congruenza Prova a rispondere a queste domande, tenendo presente quanto è stato finora affermato. check point Se due figure sono congruenti, esse sono anche equivalenti?... Se due figure sono equivalenti, esse sono anche congruenti?... La relazione di congruenza è una relazione molto più esigente di quella di equivalenza. ue figure congruenti non solo devono essere equivalenti, cioè occupare la stessa superficie, ma devono anche avere la stessa forma. llora, figure equivalenti che abbiano la stessa forma sono congruenti? Uguale, simile, equivalente, congruente Vediamo di mettere un po d ordine in tutte queste parole. La parola più generalmente usata è uguale. È una parola generica e, talora, equivoca. Per esempio, nella ostituzione italiana si dice che tutti i cittadini sono uguali di fronte alla legge. he cosa vuol dire, che sono tutti maschi o tutte femmine? he hanno tutti un uguale reddito? Età uguale? No di certo. L uguaglianza tra i cittadini è considerata da un preciso punto di vista: quello dell applicazione delle leggi. Infatti possono esserci persone che sono uguali per età, per luogo di nascita, per residenza ecc. Quindi è necessario specificare il punto di vista secondo il quale viene considerata l uguaglianza tra gli elementi di un insieme (i cittadini di uno Stato, gli alunni di una classe, le figure geometriche del piano ecc.). In geometria: 1. due figure geometriche possono essere uguali per forma, ma non per estensione; vedremo allora che figure di questo tipo si dicono simili; 2. due figure geometriche possono essere uguali per estensione, ma non per forma, e allora le figure vengono dette equivalenti; 3. due figure possono essere uguali per forma e per estensione, cioè possono essere sovrapposte in modo da far coincidere tutti i loro punti, e allora le figure vengono dette congruenti. Per indicare le varie relazioni di uguaglianza, evitando confusioni sempre possibili, si usano simboli differenti: = per la relazione di uguaglianza numerica per la relazione di congruenza per la relazione di equivalenza Esercizi da pag. 31 7

10 U5 Equivalenza e misura delle figure Proprietà dell equivalenza ue figure geometriche piane sono equivalenti se sono scomponibili in figure congruenti tra loro (equivalenza per equiscomponibilità). ue figure geometriche piane sono equivalenti se sono somma di figure congruenti oppure equivalenti (equivalenza per somma). ue figure geometriche piane sono equivalenti se sono differenza di figure congruenti oppure equivalenti (equivalenza per differenza). Quest ultima è la proprietà più difficile da cogliere, ma spesso è la più utile. Ecco tre casi di figure equivalenti per differenza. O O a) b) O c) Se osservi le figure dei due quadrati, quello giallo fisso e quello azzurro che ruota sul giallo, ti accorgi che la porzione di superficie che si sovrappone all altra (quella verde) è uguale per entrambi i quadrati in tutti e tre i casi. a ciò è facile dedurre che in ciascun caso le due porzioni di superfici non sovrapposte (quella azzurra e quella gialla) sono figure equivalenti. 8 Esercizi da pag. 31

11 verso le competenze fondamentali U5 ue figure geometriche piane sono equivalenti se: sono scomponibili in figure congruenti; sono somma di figure congruenti oppure equivalenti; sono differenza di figure congruenti oppure equivalenti. Lo gnomone Uno dei casi più significativi di equivalenza per differenza è dato dallo gnomone. Ecco di che cosa si tratta. onsidera un parallelogrammo. Traccia la diagonale. onsidera inoltre due angoli opposti al vertice, i cui lati siano paralleli a quelli del parallelogrammo e il cui vertice scorra lungo la diagonale. Nel disegno puoi osservare alcune posizioni che possono assumere i due angoli opposti al vertice a mano a mano che il loro vertice scorre lungo la diagonale e i parallelogrammi (in verde) che si vengono a determinare come intersezione tra gli angoli opposti al vertice e il parallelogrammo. Questi due parallelogrammi sono sempre equivalenti per sottrazione. Infatti, risultano entrambi differenza tra metà parallelogrammo e due triangoli uguali perché simmetrici. STOP ricorda L estensione lineare, riguarda le figure lineari o linee; la misura dell estensione lineare si chiama lunghezza; la parola lunghezza viene spesso usata sia per indicare l estensione lineare sia la sua misura. L estensione superficiale, riguarda le figure piane e indica la parte di piano che esse occupano; la misura dell estensione superficiale si chiama area. L estensione spaziale, riguarda le figure solide e indica la parte di spazio che esse occupano; la misura dell estensione spaziale si chiama volume. Esercizi da pag. 31 9

12 U5 Equivalenza e misura delle figure 2 rea dei poligoni rea del rettangolo Misurare l area di un rettangolo significa calcolare il rapporto esistente tra la sua superficie e quella dell unità di misura prescelta. onsidera il rettangolo a fianco. Esso è disegnato su un quadrettato i cui quadratini misurano 1 cm 2 ciascuno. In questo caso il centimetro quadrato è l unità di misura per calcolare la sua area. a quanti centimetri quadrati è formato il rettangolo? asta contare quelli della prima fila e poi moltiplicare per il numero delle file. In pratica, basta moltiplicare la lunghezza della base del rettangolo per la lunghezza della sua altezza per trovare il risultato giusto. Ma... occorre fare attenzione al significato dell operazione, per evitare possibili confusioni. La formula, infatti, nasconde il fatto che misuriamo una superficie a partire da due lunghezze. Si tratta di un metodo abbreviato per calcolare il numero dei quadratini unità di misura che coprono la superficie. ovremmo scrivere: le file sono formate da: 4 q il numero delle file è: 3 in tutto si hanno: 4 q 3 = 12 q Oppure, secondo un modo di scrivere un po più complicato: area = (1 cm 2 4) 3 = 4 cm 2 3 = 12 cm 2 superficie superficie di 1 fila di 3 file Più brevemente si può calcolare l area in questo modo: area = base altezza = 4 cm 3 cm = 12 cm 2 In simboli: = b h = 4 cm 3 cm = 12 cm 2 L area del rettangolo si trova moltiplicando la misura della base per la misura dell altezza. 1 cm 2 onsidera ora il rettangolo a fianco. ome vedi la superficie non contiene un numero intero di quadratini di 1 cm 2. Puoi disegnarlo su carta millimetrata e in questo caso l unità di misura è 1 mm 2. a quanti millimetri quadrati è formato il rettangolo? b = 35 mm h = 23 mm Per calcolare l area si opera come in precedenza: area = 35 mm 23 mm = 805 mm 2 Se vogliamo conoscere le stesse misure in centimetri, avremo: b = 35 mm = 3,5 cm h = 23 mm = 2,3 cm area = 3,5 cm 2,3 cm = 8,05 cm 2 b b h h 10 Esercizi da pag. 41

13 verso le competenze fondamentali U5 rea del rettangolo Formula diretta = b h Formule inverse Per trovare la base, conoscendo l area e l altezza: b = h Per trovare l altezza, conoscendo l area e la base: h = b alcola l area di un rettangolo che ha la base di 18 cm e l altezza di 0,8 dm. ati conosciuti alcoli base = 18 cm 0,8 dm = 8 cm altezza = 0,8 dm = 18 cm 8 cm = ati da trovare = 144 cm 2 area del rettangolo Formula da applicare Risposta = b h L area del rettangolo misura 144 cm 2. b problema 1 h Un rettangolo ha l area di 600 dm 2. Sapendo che l altezza misura 48 dm, trova la lunghezza della base. ati conosciuti area = 600 dm 2 altezza = 48 dm ati da trovare base del rettangolo Formula da applicare b = h Un rettangolo ha l area di 108 cm 2 e la base che misura 1,2 dm. Qual è l altezza del rettangolo? ati conosciuti area = 108 cm 2 base = 1,2 dm ati da trovare altezza del rettangolo Formula da applicare h = b alcoli b = 600 dm 2 : 48 dm = 12,5 dm Risposta La base del rettangolo misura 12,5 dm. alcoli 1,2 dm = 12 cm h = 108 cm 2 : 12 cm = 9 cm Risposta L altezza del rettangolo misura 9 cm. problema 2 h b problema 3 h b Esercizi da pag

14 U5 Equivalenza e misura delle figure rea del quadrato Per trovare l area del quadrato basta tener conto che si tratta di un rettangolo particolare, un rettangolo che ha tutti i lati uguali. ioè nel quadrato la lunghezza della base è uguale alla lunghezza dell altezza: b = h. Se indichiamo con l la lunghezza del lato del quadrato, otteniamo subito la regola per trovare l area del quadrato. rea del quadrato Formula diretta = l l = l 2 l L area del quadrato si trova moltiplicando la misura del lato per se stessa. Formula inversa Per trovare il lato, conoscendo l area (ricorda che la radice quadrata è l operazione inversa dell elevamento alla seconda potenza, o al quadrato): l = alcola la misura dell area di un quadrato il cui perimetro misura 60 cm. problema 1 ati conosciuti perimetro = 60 cm ati da trovare lato, area del quadrato alcoli 60 cm : 4 = 15 cm = (15 cm) 2 = 225 cm 2 Formule da applicare l = p : 4 = l 2 Risposta L area del quadrato misura 225 cm 2. l Un giardino di forma quadrata ha una superficie di 169 m 2. Quanto misura un lato? problema 2 ati conosciuti area = 169 m 2 ati da trovare lato del quadrato Formula da applicare l = alcoli l = 169 m 2 = 13 m Risposta Un lato del giardino misura 13 m. 12 Esercizi da pag. 49