x n (1.1) n=0 1 x La serie geometrica è un esempio di serie di potenze. Definizione 1 Chiamiamo serie di potenze ogni serie della forma

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1 1 Serie di poteze È stato dimostrato che la serie geometrica x (1.1) coverge se e solo se la ragioe x soddisfa la disuguagliaza 1 < x < 1. I realtà c è covergeza assoluta i ] 1, 1[. Per x 1 la serie diverge positivamete, per x 1 essa risulta idetermiata. L isieme di covergeza è u itervallo co cetro i x = 0. Se x ] 1, 1[, la somma della serie è (1 x) 1. Quidi, possiamo scrivere x = 1, x ] 1, 1[. (1.2) 1 x La serie geometrica è u esempio di serie di poteze. Defiizioe 1 Chiamiamo serie di poteze ogi serie della forma a (x x 0 ) = a 0 + a 1 (x x 0 ) + a 2 (x x 0 ) (1.3) I umeri reali a e il puto x 0 soo assegati e si chiamao, rispettivamete, coefficieti e cetro della serie di poteze (1.3). Ivece x R è variabile. Si tratta pertato di ua serie di fuzioi, visto che il termie geerale dipede dalla variabile reale x. La serie (1.1) si ottiee i corrispodeza delle scelte a = 1, per ogi, e x 0 = 0. Data ua serie di poteze, il problema più aturale che ci si poe è quello relativo alla sua covergeza, che, come ci si aspetta, dipederà da x. Osservazioe 1 L isieme di covergeza della serie (1.3), ossia l isieme degli x per cui (1.3) coverge, è o vuoto perché cotiee sempre il cetro x 0. Ifatti, se x = x 0, la serie (1.3) si riduce all uico addedo a 0 e quidi coverge. Vediamo acora due esempi di serie di poteze. Esempio 1 Prediamo la serie x, x R. (1.4)! + Qui x 0 = 0 e a = 1!. Applicado il criterio del rapporto alla serie x!, si trova che (1.4) è assolutamete covergete per ogi x R. Duque, l isieme di covergeza è (come per la serie geometrica) u itervallo di cetro 0. 1

2 Esempio 2 La serie di poteze!x, x R, (1.5) co x 0 = 0 e a =!, coverge solo per x = 0 giacchè per x 0 il termie geerale o è eppure ifiitesimo. L isieme di covergeza {0} può essere cosiderato u itervallo degeere, i quato ridotto ad u solo puto. Duque, i tutti gli esempi cosiderati gli isiemi di covergeza soo itervalli cetrati el puto 0, cetro delle serie, di raggi rispettivamete 1, + e 0. Ciò o è casuale. Sussiste ifatti il seguete importate teorema che stabilisce la atura dell isieme di covergeza di ua serie di poteze. Teorema 1 Per la serie (1.3) vale ua delle segueti alterative. 1. La serie coverge solo per x = x La serie coverge (e la covergeza è assoluta) per ogi x R. 3. Esiste R > 0 tale che la serie coverge assolutamete per x x 0 < R e o coverge per x x 0 > R. Il carattere i corrispodeza degli estremi x = x 0 ± R varia di caso i caso. Dim. Assumiamo che x 0 = 0. Ciò è sempre possibile tramite il cambiameto di variabile y = x x 0. Suppoiamo che esista x 1 0 tale che la serie a x 1 coverge. Proviamo che a x 1 è covergete, si ha a x coverge assolutamete per ogi x < x 1. Siccome lim a x + 1 = 0 e quidi esiste M > 0 tale che a x 1 M, N. Ne segue che, per ogi N a x = a x 1 x Siccome x + < 1, la serie x x 1 x 1 x 1 M x x 1. coverge e quidi, dalla disuguagliaza precedete, applicado il criterio del cofroto, ricaviamo che ache la serie 2 a x

3 coverge. Risulta così dimostrato che l isieme di covergeza è u itervallo. Poiamo { R = sup x : } a x coverge (1.6) Osserviamo che l isieme di cui R è l estremo superiore o è vuoto, per l Osservazioe 1. Quidi la defiizioe è be posta. Se R = 0, allora si verifica il caso 1. Se R = + allora vale 2. Se 0 < R < +, la serie coverge assolutamete se x < R e o coverge per x > R. Quidi vale 3. Se x 0 0, basta effettuare il cambio di variabile y = x x 0 che trasforma la serie a (x x 0 ) cetrata i x 0 ella serie quest ultima la prima parte. a y cetrata i 0 e applicare a I geerale, se x 0 0, al posto di (1.6) avremo { R = sup x x 0 : } a (x x 0 ) coverge. R, che può essere u umero o ullo oppure 0 oppure +, si chiama raggio di covergeza della serie (1.3). Osservazioe 2 Come cosegueza del Teorema, per idividuare il raggio di covergeza R di ua serie di poteze è sufficiete studiare la covergeza assoluta. Fatto questo, resta solo da stabilire il carattere della serie agli estremi dell itervallo ]x 0 R, x 0 + R[. Esempio 3 Determiiamo l itervallo di covergeza della serie di poteze (x + 3) 3 8 2, x R (1.7) cetrata i x 0 = 3. Osserviamo che la serie di poteze o è completa poiché macao tutte le poteze per cui l espoete o è multiplo di 3: Ciò sigifica che (x + 3) 3 (x + 3)3 (x + 3)6 (x + 3)9 8 2 = a = 8 k k 2 se = 3k, 0 altrimeti. 3

4 Studiamo la covergeza assoluta della serie tramite il criterio del rapporto: x+3 3(+1) 8 +1 (+1) 2 x = (x + 3) ( + 1) x = x x ( + 1) 2 8 Se x < 1, ossia x + 3 < 2, la serie coverge assolutamete. Se x + 3 > 2, la serie o coverge. Duque R = 2. Resta da vedere cosa fa la serie quado x + 3 = 2, cioè per x = 5 e x = 1. Sostituedo x = 5 i (1.7) otteiamo ( 2) 3 8 ( 1) ( 1) 8 2 = 8 2 = 2 che è ua serie assolutamete covergete. Sostituedo x = 1, ivece, la serie (1.7) diveta (2) = 1 2. Quidi ache per x = 1 la serie coverge. I coclusioe, la serie (1.7) coverge se e solo se x [ 5, 1]. Osservazioe 3 A ribadire il fatto che il carattere di ua serie di poteze i corrispodeza dei valori x = x 0 ± R dipede da caso i caso, cosideriamo le segueti serie cetrate i x 0 = 0 e aveti tutte raggio di covergeza R = 1: x, x, + x 2. La prima serie coverge solo i ] 1, 1[, la secoda i [ 1, 1[, la terza i [ 1, 1]. Il prossimo risultato riguarda il comportameto delle serie di poteze rispetto alle operazioi elemetari. Per semplicità prediamo serie cetrate i 0. Proposizioe 1 (b) Se per cui (a) Se c R \ {0}, allora a x coverge. a x coverge per x < R a e la serie somma risulta (c a )x = c a x, per ogi x b x coverge per x < R b, allora (a + b )x ha raggio di covergeza R mi{r a, R b } e (a + b )x = 4 a x + b x

5 per tutti gli x per cui etrambe le serie a x e b x covergoo. Il seguete teorema afferma che ua serie di poteze può essere derivata e itegrata termie a termie. Pertato, essa si comporta a tutti gli effetti come u poliomio di grado ifiito. Teorema 2 Sia Sia f la sua somma, cioè f(x) = a x ua serie di poteze co raggio di covergeza R > 0. a x = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 +, per ogi x ] R, R[. Allora valgoo le segueti proprietà. 1. La serie derivata (otteuta derivado termie a termie la serie di parteza) a x 1 = a 1 + 2a 2 x + 3a 3 x 2 + ha lo stesso raggio di covergeza R (ma o lo stesso isieme di covergeza, i geerale). Ioltre f è derivabile i ] R, R[ e f (x) = per ogi x ] R, R[. a x 1 = a 1 + 2a 2 x + 3a 3 x 2 +, 2. La serie itegrata (otteuta itegrado termie a termie la serie di parteza) a x = a 0x + a 2 x a 3 x ha lo stesso raggio di covergeza R (ma o lo stesso isieme di covergeza, i geerale). Ioltre, per ogi x ] R, R[ risulta x 0 f(t)dt = La formula (1.8) può essere riscritta ella forma più esplicita x 0 a t dt = 5 x 0 a x (1.8) a t dt.

6 Naturalmete è possibile iterare la procedura e quidi derivare acora ua volta la serie derivata. Si trova così che la somma f è derivabile due volte e che la sua derivata secoda si ottiee derivado due volte la serie di poteze i parteza. E così via, per iduzioe. Abbiamo quidi il seguete importate corollario. Corollario 1 Sia f(x) la somma della serie di poteze a x, avete raggio di covergeza R > 0. Allora f C (] R, R[). Ioltre, per ogi k N, la derivata di ordie k di f si ottiee derivado la serie termie a termie k volte, cioè f (k) (x) = =k per ogi x ] R, R[. ( 1) ( k + 1)a x k = k! a k + k! a k+1 x +, I risultati mostrati riguardao la regolarità della fuzioe somma di ua serie di poteze all itero dell itervallo di covergeza. Cosa si può dire i u puto al bordo, supposto ovviamete che la serie sia ivi covergete? La risposta è coteuta el seguete Teorema. Teorema 3 (Abel) Suppoiamo che la serie di poteze a x abbia raggio di covergeza fiito R > 0. Suppoiamo ioltre che la serie coverga per x = R (risp. per x = R). Allora, deotata co f la sua somma, risulta che f è cotiua a siistra el puto R (risp. cotiua a destra i x = R) e f(r) = lim f(x) = + a R, x R (risp. f( R) = lim f(x) = + a ( R) ). x R + Osservazioe 4 Ovviamete il Teorema 2, il Corollario 1 e il Teorema di Abel cotiuao a valere ache per serie di poteze cetrate i u geerico puto x 0. Ifatti, data la serie a (x x 0 ), covergete i ]x 0 R, x 0 + R[, co il cambio di variabile y = x x 0, essa può essere trasformata ella serie cetrata ell origie a y, y ] R, R[. 6

7 Usiamo ora questi risultati per ricavare alcui sviluppi di fuzioi elemetari i serie di poteze. La serie itegrata della serie geometrica (1.2) è x , x < 1 la cui somma è data da x Quidi 0 1 dt = log(1 x), x < 1. 1 t x +1 + log(1 x) = + 1 = m=1 x m, x ] 1, 1[. (1.9) m Osserviamo che la serie i (1.9) coverge ache per x = 1 (per il criterio di Leibiz). Quidi la serie itegrata o ha lo stesso isieme di covergeza della serie di parteza. Usado il Teorema di Abel ricaviamo ache log 2 = ( 1) +1. Scam- Abbiamo così determiato la somma della serie armoica a segi alteri. biado x co x i (1.9): log(1 + x) = ( 1) x = Se ivece mettiamo x 2 al posto di x i (1.2) otteiamo x 2 = ( 1) x 2, x < 1. Passado alla serie itegrata troviamo arcta x = ( 1) +1 x, x < 1. (1.10) ( 1) x2+1, x < 1. (1.11) Per verifica diretta, la serie precedete coverge ache per x = ±1, per cui (sempre dal Teorema di Abel) lo sviluppo di arcta x vale per x 1. Cocludiamo questa sezioe osservado che i tutte le espressioi (1.9), (1.10) e (1.11) le fuzioi somma log(1 x), log(1 + x), arcta x soo defiite ache per valori di x al di fuori dell isieme di covergeza. Tuttavia gli sviluppi i serie di poteze valgoo solo egli itervalli idicati. Per esempio, arcta x è defiita per ogi x R, ma è sviluppabile i serie di poteze co cetro i 0 solo per x [ 1, 1]. 7

8 2 Serie e poliomi di Taylor 2.1 Serie di Taylor Siao x 0 R, I u itervallo aperto coteete x 0 e f : I R ua fuzioe avete le derivate di tutti gli ordii i x 0. Si chiama serie di Taylor di f di cetro x 0 la seguete serie di poteze f () (x 0 )! (x x 0 ) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) 2 +. (2.1) 2! Se x 0 = 0, la serie precedete diveta f () (0)! x = f(0) + f (0)x + f (0) x 2 + (2.2) 2! e prede il ome di serie di MacLauri di f. I quato serie di poteze, la serie (2.1) coverge sicuramete per x = x 0 (alla somma f(x 0 )). Se (2.1) coverge per qualche x x 0, è vero che la somma è f(x)? I geerale o! Esempio 4 Cosideriamo la seguete fuzioe f(x) = { e 1 x 2, se x 0, 0 se x = 0. Si può dimostrare che f ha tutte le derivate ulle i x = 0, cioè f () (0) = 0, per ogi N. Quidi la sua serie di MacLauri è per ogi x R. Ma coverge a f(x) solo se x = 0. 0 x 0 e duque coverge Nella sezioe precedete (Teorema 2 e Osservazioe 4) abbiamo visto che se f è la somma di ua serie di poteze di cetro x 0 e raggio di covergeza R > 0 f(x) = a (x x 0 ), (2.3) allora f C (]x 0 R, x 0 + R[) e la sua derivata di ordie k si ottiee derivado k volte la serie, cioè f (k) (x) = =k ( 1) ( k + 1)a (x x 0 ) k = k! a k + k! a k+1 (x x 0 ) + x ]x 0 R, x 0 + R[. 8

9 Se prediamo x = x 0, allora otteiamo f (k) (x 0 ) = k!a k, da cui a k = f (k) (x 0 ), k N. k! Quidi la serie di poteze i (2.3) è proprio la serie di Taylor di f di cetro x 0. Vediamo lo sviluppo i serie di MacLauri di e x. Esempio 5 Abbiamo già visto che la serie di poteze x! ha raggio di covergeza R = +. È immediato ricooscere che tale serie è la serie di MacLauri di e x. Si tratta quidi di provare che la sua somma è proprio e x. Deotata co f la somma della serie, per il Corollario 1, f è ua fuzioe di classe C (R). Ioltre, applicado il Teorema 2, abbiamo che f (x) = x 1! = x 1 + ( 1)! = m=0 x m m! = f(x). Siccome f(0) = 1, abbiamo trovato che f risolve il problema di Cauchy seguete { f (x) = f(x), f(0) = 1. D altra parte, tale problema ammette come uica soluzioe e x. Quidi f(x) = e x, per ogi x R. Abbiamo così provato lo sviluppo otevole e x = x, x R. (2.4)! Aalogamete si può provare (derivado due volte le serie al secodo membro) che sussistoo i segueti sviluppi si x = cos x = x2+1 ( 1), x R. (2.5) (2 + 1)! ( 1) x2, x R. (2.6) (2)! Dallo sviluppo (2.4) e dalla Proposizioe 1 (b), si ricavao poi sih x = ex e x = 1 ( x 2 2! ( 1) x ) = 1 ( ) 1 ( 1) x! 2! = 1 ( ) 2 x 2k+1 2 (2k + 1)! x2k+1 = (2k + 1)!, x R k=0 9 k=0

10 e cosh x = ex + e x 2 = = k=0 x 2k (2k)!, x R 2.2 Poliomi di Taylor Siao I u itervallo aperto di R, x 0 I e f : I R ua fuzioe avete tutte le derivate fio all ordie i x 0. Si defiisce poliomio di Taylor di f di cetro x 0 e ordie il seguete poliomio P (x) = k=0 f (k) (x 0 ) k! (x x 0 ) k = f(x 0 )+f (x 0 )(x x 0 )+ + f () (x 0 ) (x x 0 ) (2.7)! di grado. Se x 0 = 0, allora parleremo di poliomio di MacLauri di f di ordie. Osservazioe 5 Se la fuzioe f è di classe C (I), allora esistoo i poliomi di Taylor di f di cetro x 0 di tutti gli ordii. Essi soo le somme parziali della serie di Taylor di f di cetro x 0 (2.1). Derivado ripetutamete il poliomio (2.7) e valutadoe le derivate successive i x 0 si trova P (x 0 ) = f(x 0 ), P (x 0 ) = f (x 0 ), P (x 0 ) = f (x 0 ),. P () (x 0 ) = f () (x 0 ). (2.8) Pertato P è, tra tutti i poliomi di grado miore o uguale a, quello che meglio approssima la fuzioe f vicio a x 0. Più precisamete, si può provare il seguete risultato. Proposizioe 2 Si ha La fuzioe f(x) P (x) lim x x 0 (x x 0 ) = 0. R (x) = f(x) P (x) si chiama resto -simo e rappreseta l errore di approssimazioe che si compie el sostituire P a f. La proposizioe precedete afferma che, per x x 0, R (x) = o((x x 0 ) ), 10

11 (formula di Taylor co resto di Peao) e quidi f(x) = P (x) + o((x x 0 ) ) per x vicio a x 0. Se = 1, ricordado che y = f(x 0 )+f (x 0 )(x x 0 ) rappreseta l equazioe della retta tagete al grafico di f i x 0, abbiamo f(x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + o(x x }{{} 0 ), P 1 (x) cioè, i u itoro di x 0, il grafico di f si approssima co quello della tagete a meo di u errore che è u ifiitesimo di ordie superiore a x x 0. Se = 2 e f (x 0 ) 0, il grafico di P 2 (x), cioè la curva di equazioe y = P 2 (x), è ua parabola che migliora l approssimazioe del grafico di f vicio a x 0. E così via. È utile a volte avere il resto i ua forma diversa, più esplicita. Proposizioe 3 (Formula di Taylor co resto di Lagrage) Sia f : I R ua fuzioe di classe C +1 (I) e sia x 0 I. Allora, per ogi x I esiste c compreso tra x e x 0 tale che f(x) = P (x) + f (+1) (c) ( + 1)! (x x 0) +1. }{{} R (x) Osservazioe 6 Per = 0, la proposizioe precedete si riduce al Teorema di Lagrage. Si oti, ioltre, quato il resto di Lagrage sia simile all ultimo addedo del poliomio P +1 (x). Toriamo al problema della sviluppabilità di ua fuzioe f di classe C i serie di Taylor. Nella sottosezioe precedete abbiamo visto che dal fatto di poter scrivere la serie di Taylor di ua fuzioe o segue ecessariamete che la serie coverge alla fuzioe stessa (si veda l Esempio 4). Vediamo allora come si perviee a delle codizioi che assicurao la covergeza a f della sua serie di Taylor. Siao f : I R di classe C (I), x 0 I. Siccome f(x) = P (x) + R (x), x I, N e P (x) è la somma parziale -sima della serie di Taylor di f di cetro x 0 (Osservazioe 5), risulta che la serie di Taylor di f di cetro x 0 coverge a f se e solo se lim R (x) = 0, per ogi x I. (2.9) + Prededo il resto di Lagrage, si possoo otteere delle codizioi sulle derivate di ogi ordie di f affiché risulti verificata la codizioe (2.9). Tuttavia o vedremo i dettaglio questo argometo. 11

12 Esercizio 1 Trovare il poliomio di MacLauri di ordie 6 della fuzioe si(2x). Soluzioe. Ricordado lo sviluppo (2.5) si ha che si(2x) = ( 1) (2x)2+1 Quidi, il poliomio richiesto, P 6 (x) è (2 + 1)! = + = 2x 23 3! x ! x5 27 7! x7 + P 6 (x) = 2x 4 3 x x5. ( 1) 22+1 Si oti che ha grado 5 e che coicide co il poliomio P 5 (x). (2 + 1)! x2+1 Esercizio 2 Trovare il poliomio di MacLauri di ordie 10 della fuzioe x 2 cos(3x 3 ). Esercizio 3 Sia f(x) = x 4 cos(3x 2 ), x R. Sia P (x) il poliomio di Taylor di f di cetro x 0 = π e ordie Quato vale P ( π)? Soluzioe. Ricordado la prima delle idetità (2.8), abbiamo semplicemete che P ( π) = f( π) = π 2. 12

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