PIANO CARTESIANO E RETTA

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1 PIANO CATESIANO E ETTA Distanza tra due punti: d(a, B) = (x A x B ) + (y A y B ) Distanza tra due punti su una retta di coefficiente angolare m: d(a, B) = x A x B + m Punto medio di un segmento: M = ( x A + x B, y A + y B ) Simmetrico B di un punto A rispetto ad un punto M: B = (x M x A, y M y A ) Baricento di un triangolo ABC (incontro delle mediane): G = ( x A + x B + x C 3, y A + y B + y C ) 3 aggio della circonferenza inscritta in un triangolo di area A e semiperimetro p: r = A p aggio della circonferenza circoscritta ad un triangolo di lati a, b e c ed area A: = abc 4A Area di un triangolo di vertici ABC A = det (x A y A ) = [( x Ay B + y A x C + x B y C ) (x c y B + y c x A + x B y A )] x B y B x C y C Equazione di una retta parallela all asse x y = k (m = 0) Equazione di una retta parallela all asse y x = k (non esiste il coefficiente angolare m) Bisettrice del primo e terzo quadrante y = x; bisettrice del secondo e quarto quadrante y = x x x A Equazione di una retta per due punti dati A e B = y y A x B x A y B y A Coefficiente angolare di una retta per due punti dati m = y B y A = y x B x A x (rette non parallele agli assi) etta in forma implicita ax + by + c = 0 (a 0 b 0; si rappresentano tutte le rette del piano) retta in forma esplicita y = mx + q (m = a b ; q = c b ) Condizione di parallelismo tra due rette m = m Condizione di perpendicolarità tra due rette m m = Distanza tra un punto P(x 0, y 0 ) e la retta ax + by + c = 0 d(p, r) = ax 0 + by 0 + c a + b Fascio di rette per un punto P(x 0, y 0 )e di coefficiente angolare m: y y 0= m(x x 0 ) Bisettrici di due rette a x + b y + c = 0 e a x + b y + c = 0 a x + b y + c = ± a x + b y + c a + b a + b Asse di un segmento (x x A ) + (y y A ) = (x x B ) + (y y B ). Fascio di rette parallele (improprio) di coefficiente angolare m: y = mx + k ax + by + k = 0 (m = a b ) Fascio di rette per un punto (fascio proprio) (a x + b y + c )K + a x + b y + c = 0 a b a b

2 CICONFEENZA Definizione: "E il luogo dei punti equidistanti da un punto dato detto centro " Equazione con centro C(α, β) e raggio : (x α) + (y β) = Forma canonica x + y + ax + by + c = 0 ha punti reali se a 4 + b 4 c 0 con C = ( a ; b ) = a 4 + b 4 c Circonferenze particolari: b=0 a=0 c=0 a=0; b=0 a^-4c=0 b^-4c=0 etta tangente ad una circonferenza per un punto esterno P(x 0, y 0 ) centro della circonferenza C(α, β) raggio metodo) { x + y + ax + by + c = 0 Δ = 0 si ottengono soluzioni distinte metodo) d(c; r) = mα β mx 0 + y 0 = si ottengono soluzioni distinte m + nota: se l equazione scende dal secondo al primo grado significa che una retta tangente è verticale. etta tangente ad una circonferenza per un punto della circonfrenza P(x 0, y 0 ) metodo) retta tangente con m = x 0 α y 0 β metodo) formule di sdoppiamento: x xx 0 y yy 0 x x + x 0 3 metodo) { x + y + ax + by + c = 0 4 metodo) d(c; r) = mα β mx 0 + y 0 m + y y + y 0 Δ = 0 si ottengono soluzioni coincidenti = si ottengono soluzioni coincidenti curve deducibili dalla circonferenza y = a + b x { (y a) = b x y a x = a + b y { (x a) = b y x a y = a b x. { (y a) = b x y a x = a b y. { (x a) = b y y a Sistemi misti x + y + ax + by + c = 0 { fascio di rette condizioni su x e y si disegna la circonferenza si impongono le condizioni si studiano il numero delle intersezioni col fascio di rette fasci di circonferenze: date due circonferenze: x + y + a x + b y + c = 0 x + y + a x + b y + c = 0 dette generatrici e sia la retta a 3 x + b 3 y + c 3 = 0 il loro asse radicale si ha equazione del fascio: x + y + a x + b y + c + k (x + y + a x + b y + c ) = 0 se k = si ottiene l asse radicale oppure equazione del fascio x + y + a x + b y + c + k (a 3 x + b 3 y + c 3 ) = 0 tipo) circonferenze secanti nei due punti A, B (punti base) fascio di circonferenze passanti per A e B la retta dei centri è l asse di AB il raggio minimo delle circonferenze è AB e la circonferenza di raggio minimo è quella con centro il punto medio di AB tipo) circonferenze tangenti nel punto A (punto base) fascio di circonferenze tangenti in A la retta dei centri è perpendicolare all asse radicale passante per A il raggio minimo delle circonferenze è = 0 3 tipo) circonferenze concentriche fascio di circonferenze con lo stesso centro C( a ; b ) 4 tipo) circonferenze esterne fascio di circonferenze senza punti in comune

3 Dati due punti A,B che formano il diametro della crf trova il centro come punto medio del diametro Trova il raggio come metà distanza tra AB ( x ) (y ) Dati 3 punti non allineati della crf Imponi il passaggio per i tre punti passaggio per A passagio per B passaggio per C isolvi il sistema nelle x y ax by c 0 Dati due punti A,B della crf ed una retta r sulla quale si trova il centro Imponi il passaggio per i due punti e la condizione di appartenenza del centro alla retta passaggio per A passaggio per B appartenen za del cantro ad r isolvi il sistema nelle 3 x y ax by c 0 Trova l asse di AB, e l intersezione di tale asse con la retta r, trovando cosi il centro Trova il raggio con la distanza tra il centro e uno dei due punti ( x ) (y ) Dato il centro C ed un punto A della crf Imponi il passaggio per il punto e le coordinate del centro: passaggio per A a xc b y A isolvi il sistema nelle 3 Trova il raggio con la distanza tra due punti AC x y ax by c 0 ( x ) (y ) Dato il centro C ed una retta r tangente Trova il raggio con la distanza tra r e C ( x ) (y ) Dati due punti A,B e una retta r tangente Imponi il passaggio per i due punti e la condizione di tangenza alla retta: passaggio per A passagio per B 0 della risolvente isolvi il sistema di grado nelle 3 x y ax by c 0 si ottengono in generale due crf Dati due punti A,B e una retta r tangente con A r trova l asse di AB e la retta perpendicolare ad r passante per A. Si intersecano e si ottiene il centro Trova il raggio dalla distanza tra il centro e A ( x ) (y ) Dati: retta tangente t punto tangenza A t centro sulla retta s Trova la retta r perpendicolare a t passante per A. Su tale retta si troverà il centro Interseca la retta r e la retta s trovando così il centro C Trova il raggio con la distanza tra C ed A ( x ) (y ) Date due rette tangenti r ed s ed un punto A con A r Trova la retta t perpendicolare a r passante per A. Su tale retta si troverà il centro C Imponi l equidistanza tra il centro e le rette r ed s, con l appartenenza di C a t isovi l equazione ed ottieni il centro C.in generale si ottengono due circonferenze Trova il centro con la distanza Tra C e A ( x ) (y )

4 PAABOLA Definizione: "E' il luogo dei punti equidistanti da una retta data detta direttrice ed un punto dato detto Fuoco" Asse di simmetria parallelo asse y Asse di simmetria parallelo asse x F(p,q) direttrice: y=d (x p) + (y q) = y d y = (q d) x p q d x + p + q d (q d) F(p,q) direttrice: x=d (x p) + (y q) = x d x = (q d) y p q d y + p + q d (q d) y = ax + bx + c x = ay + by + c a>0 a<0 a>0 a<0 Fuoco: F = ( b a, Δ Δ ) Fuoco: F = ( 4a 4a, b a ) equazione della direttrice: y = + Δ 4a equazione della direttrice: x = + Δ 4a Vertice: V = ( b a, Δ 4a ) Vertice V = ( Δ 4a, b a ) asse di simmetria: x = b a asse di simmetria: y = b a y F = y V + 4a d = y V 4a x F = x V + 4a d = x V 4a equazione con il vertice y y V = a(x x V ) equazione con il vertice x x V = a(y y V ) Parabole particolari b=c=0 b=0 = 0 c=0 b=c=0 b=0 = 0 c=0 Condizione di tangenza y = mx + q { y = ax + bx + c y = mx + q ax + (b m)x + c q = 0 { x = ay + by + c may + (bm )y + cm + q = 0 Δ > 0 secante Δ = 0 tangente Δ < 0 esterna Coefficiente angolare di una retta tangente ad una parabola in un punto P(x 0, y 0 ) della parabola m = ax 0 + b m = ay 0 + b y = x y = x y = x Teorema di Archimede: l area del segmento parabolico è i /3 dell area del rettangolo che lo contiene

5 ELLISSE Definizione: E' il luogo dei punti per i quali la somma delle distanze da due punti dati detti Fuochi è costante Ellisse con i fuochi sull asse x Ellisse con i fuochi sull asse y PF + PF = a F = c condizione di esistenza a > c (se a = c l ellisse degenera in un segmento) Ellisse con centro in O(0,0) x y a + b = a>b a<b c = a b c = b a e = c a e = c b retta tangente in un punto P(x 0, y 0 ) appartenente all ellisse = xx 0 a + yy 0 b retta polare relativa al punto P(x 0, y 0 ) esterno all ellisse = xx 0 a + yy 0 b retta polare area interna all ellisse: A = πab ellisse con centro nel punto A(α, β) (x α) a (y β) + b = rette tangenti ad un ellisse tracciate da un punto esterno P(x 0, y 0 ): {(x α) (y β) a + b = Δ > 0 secante Δ = 0 tangente Δ < 0 esterna

6 IPEBOLE Definizione: E' il luogo dei punti per i quali la differenza in modulo delle distanze da due punti dati detti Fuochi è costante Iperbole con i fuochi sull asse x Iperbole con i fuochi sull asse y PF PF = a F = c condizione di esistenza a < c centro in O(0,0) x y a b = centro in O(0,0) x y a b = Asintoti: y = ± b a x c = a + b e = c a e = c b Per a = b iperbole equilatera e = x y = a x y = a retta tangente in un punto P(x 0, y 0 ) appartenente all ellisse = ± xx 0 a yy 0 b ellisse con centro nel punto A(α, β) (x α) (y β) = a b rette tangenti ad un ellisse tracciate da un punto esterno P(x 0, y 0 ): {(x α) (y β) a b = ± Δ > 0 secante Δ = 0 tangente Δ < 0 esterna

7 FUNZIONE OMOGAFICA y Formule di rotazione degli assi di 45 in senso anti orario x = X Y y = X + { Y Y 45 P X x x y = a XY = a = k < 0 x y = a XY = a = k > 0 grafico della funzione y = k x con k = k = k = 3 k = 4 Formule di traslazione degli assi nel punto (x 0, y 0 ) { X = x x 0 Y = y y 0 XY = k (x x 0 )(y y 0 ) = k y = y 0x + k x 0 y 0 x x 0 ax + b y = cx + d { k = x 0 = d c y 0 = a c bc da c = D c dove D = det ( a b ) = ad bc c d b/d -b/a (-d/c;a/c) Funzione omografica: y = ax+b cx+d c 0 D 0 ax + b formula generale della funzione omografica y = cx + d /x D < 0 D > 0 ette tangenti ad una funzione omografica in un punto P(x 0, y 0 ) /x esterno o appartenente alla -/x funzione { ax + b y = cx + d = 0. P(x0,y0) P(x0,y0) se in punto appartiene alla funzione si ottiene: ad bc y y 0 = (cx 0 + d) (x x 0).