ARGOMENTI DI ANALISI DUE A.A

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1 ARGOMENTI DI ANALISI DUE A.A. 3 GIUSEPPE DE MARCO. Curve Per lo studio delle funzioni vlori vettorili di un vribile rele, collettivmente e vgmente denominte curve, seguo il mio libro Anlisi Due, bbrevito in AnDue, ed Decibel Znichelli 999, e le presenti dispense, che sostituiscono lcune prti del libro, come indicheremo vi vi, ed ggiungono esercizi e commenti. Si cominci con AnDue, cpitolo 3, 3... Aggiunte 3.. Dt un funzione vettorile f : I Y, dove I è intervllo di R, Y è spzio euclideo, ed il prmetro t è pensto come il tempo, il vettore derivto f t), qundo esiste, è per definizione) l velocità vettorile del punto mobile ft) pensto come estremo del vettore ft) pplicto nell origine) ll istnte t, ed il modulo f t) dell velocità è l velocità sclre. Spesso in Meccnic si scrive ft) leggi f punto di t) invece di f t). L derivt second f t), qundo esiste, è l ccelerzione vettorile di f ll istnte t, ed è tlvolt denott ft). Il moto di un punto viene descritto, nello spzio tridimensionle euclideo Y R 3 d un funzione vettorile t xt), dove t vri nell intervllo I di R... Il teorem del vlor medio per funzioni vlori vettorili. sostituisce 3.) Ricordimo il teorem del vlor medio, o di Lgrnge, per funzioni reli di un vribile rele: se [, b] è intervllo comptto di R, ed f : [, b] R è continu in [, b] e derivbile in ], b[, llor esiste ξ ], b[ tle che si bbi fb) f) = f ξ) b ). Questo teorem non si estende come uguglinz per funzioni vettorili di un vribile. Si d esempio f : R R l funzione vvolgente ft) = cos t, sin t); si h f t) = sin t, cos t) e quindi f t) = costntemente, per cui f t) non è mi nullo, e pertnto non esiste lcun ξ R tle che si fπ) f) =, ) = f ξ) π. Prlndo ll buon: il tenttivo ingenuo di estendere il teorem sclre quello vettorile usndo le componenti fllisce perchè in generle gli ξ delle singole componenti sono diversi: d esempio per cos in [, b] = [, π] lo ξ mmissibile in ], π[ è unico, ed è π, mentre per sin gli ξ mmissibili sono π/ e 3π/. Nelle ppliczioni tuttvi il teorem del vlor medio è usto soprttutto per quest su conseguenz: fb) f) = f ξ) b ) L b ), se L f x) per ogni x ], b[, cioè più come disuguglinz che come uguglinz, serve controllre l incremento dell funzione con i vlori dell derivt dell stess, ed in quest form, come vedremo fr poco, si estende lle funzioni vlori vettorili..... Teorem del vlor medio per funzioni vettorili di un vribile rele Si X spzio normto, si [, b] con < b) intervllo comptto di R, e si f : [, b] X continu su [, b] e derivbile su ], b[. Ponimo f [,b] = sup{ f t) : t ], b[}. Allor si h fb) f) f [,b] b ). Se ricordimo l interpretzione di f t) come modulo dell velocità, il teorem del vlor medio sserisce il ftto intuitivmente bnle che l strd percors nell intervllo di tempo fr e b non può superre il mssimo dell velocità in tle intervllo per il tempo b trscorso fr i due istnti e b. L dimostrzione è fr poco; m non dimostreremo il teorem in quest generlità, ci limiteremo l cso in cui X si spzio prodotto sclre. Prim dell dimostrzione osservimo le due più importnti conseguenze: Corollrio. Si I intervllo di R, X spzio normto, e si f : I X funzione. Allor ) f è costnte su I se e solo se è derivbile in I con derivt identicmente null. ) Se f è derivbile su I, llor f è lipschitzin su I se e solo se l derivt è limitt su I ed in tl cso l costnte di Lipschitz di f è f I := sup{ f t) : t I}).

2 GIUSEPPE DE MARCO Dimostrzione. Si lsci l lettore: in ) l prte non bnle è che se l derivt è ovunque null llor f è costnte, e per questo serve il precedente teorem. Esempio. Un moto x : I Y R 3 si dice centrle se l su ccelerzione è sempre dirett verso un fissto punto, che sceglimo come origine, cioè l rett {xt) + λ ẍt) : λ R} pss sempre per l origine, per ogni istnte t I. Equivlentemente, xt) e ẍt) sono linermente dipendenti, per ogni t I, cioè ẍt) xt) =, per ogni t I. Si h or ẍt) xt) = d ẋt) xt)), dt come subito si vede derivndo il secondo membro ed osservndo che ẋt) ẋt) =. Ne segue che ẋt) xt) è un vettore costnte, si esso w. Se w =, xt) e ẋt) sono sempre prlleli, ed il moto si svolge lungo un rett l rett R xt ), se t I è tle che xt ) ). Se w, possimo supporre che si w = k ν, dove k > è un costnte sclre e ν è un versore; in tl cso xt) e ẋt) sono sempre ortogonli ν, ed il moto vviene nel pino per l origine perpendicolre ν.... Un lemm. Dimostrimo il teorem del vlor medio in un formulzione più generle, che useremo poi, contenut nel seguente lemm. Lemm. Si X spzio normto, si [, b] con < b) intervllo comptto di R, e sino f : [, b] X e ϕ : [, b] R continue su [, b] e derivbili su ], b[. Si suppong che si f t) ϕ t) per ogni t ], b[. Allor si h fb) f) ϕb) ϕ). Dimostrzione. per X spzio prodotto sclre) Si noti che ϕ t) per ogni t ], b[ per cui ϕ è crescente e quindi ϕb) ϕ). Quindi, se fb) f) = l dimostrzione è conclus. Escludendo questo cso, si u il versore di fb) f), cioè u = fb) f))/ fb) f). Se supponimo che l norm di X veng d un prodotto sclre, si h fb) f) = fb) f)) u; l funzione sclre g : [, b] X definit d gt) = ft) u è continu su [, b] e derivbile su ], b[, con derivt g t) = f t) u; per l disuguglinz di Cuchy Schwrz si h g t) = f t) u f t) u f t) u = f t) ϕ t), quindi ϕ t) g t) per ogni t ], b[. Ne segue che u = ϕ g è crescente su ], b[, ed essendo u continu su [, b] si h ub) u) quindi ϕb) ϕ) gb) g) = fb) u f) u = fb) f)) u = fb) f). Dimostrzione. del teorem del vlor medio) Si pplic il lemm con ϕt) = f [,b] t..3. Rettificzione. Studire 3.3; di 3.4 fre l definizione di sciss curviline).3.. Continuità dell sciss curviline. Invece del mcchinoso 3.6. del testo si può usre l seguente rgomentzione:. Si I intervllo di R, Y spzio normto, f : I Y loclmente vrizione limitt; dto c I si λ c : I R l sciss curviline di f di punto inizile c. Se f è continu in I, llor λ c è continu in. Dimostrzione. Dimostrimo che se f è continu destr/sinistr in llor nche λ = λ c è continu destr/sinistr in. Essendo crescente, λ c h ovvimente limite destro finito in : λ + ) := lim λt) = inf{λt) : t > }) t + Bst quindi dimostrre che si h lim t +λt) λ))= lim t + V f[, t])) =. Dto ε > esiste b I con b >, tle che λt) λ + ) ε per t ], b], ed nche, essendo f continu destr in, ft) f) ε per t ], b]. Si h λt) λ) = V f[, t]); sceglimo un suddivisione t = < t < < t m = t tle che m ft k) ft k ) V f[, t]) ε; si h V f[, t]) ε ft k ) ft k ) = ft ) f) + ft k ) ft k ) ft ) f) + V f[t, t]); se t ], b] si h nche t ], b] e quindi ft ) f) ε; inoltre V f[t, t]) = λt) λt ) ε, dto che si h λ + ) λt ) λt) λ + ) + ε. Ne segue V f[, t]) 3ε per t ], b]; bbimo provto che si h lim t + V f[, t])) =. In modo nlogo si prov che si h lim t V f[t, ]) = se f è continu sinistr in. k=

3 3 ARGOMENTI DI ANALISI DUE A.A. 3 3 Osservzione. Si potrebbe in generle provre il seguente risultto se Y è completo): λ) = lim t λt) + f) f ) ; lim λt) = λ) + f+ ) f), t + con tecnic molto simile qunto ppen visto. Quindi λ è continu sinistr/destr in se e solo se tle è f..3.. Un curv ovunque derivbile m non rettificbile. L esempio dto in 3.3 del testo AnDue è di un curv continu non rettificbile; tle curv è però non derivbile in un punto per t = ). Non è questo che si deve l non rettificbilità, come il seguente esempio mostr. Esempio. f : [, ] R dt d ft) = t, gt)), dove gt) = t cosπ/t ) per t >, e g) =, ). Si vede fcilmente che f è derivbile ovunque, si h f ) =, ). Prendimo i punti k = / k, k =,..., m, con l ssocit suddivisione {t =, t = m,..., t m+ = }. Si h m+ ft k ) ft k ) ) k k k= )k k m+ k= m = k= ft k ) ft k ) = k + ) k che chirmente tende ll infinito l tendere di m ll infinito. g k ) g k ) = k= k, 3 Figur. t t, t cosπ/t )): derivbile ovunque m vrizione illimitt Se I è intervllo di R ed Y è spzio normto: Lemm. Si f : I Y curv continu; f è loclmente rettificbile se e solo se esiste un funzione crescente ϕ : I R tle che fb) f) ϕb) ϕ) per ogni coppi di punti, b I, con < b; in tl cso si h nche V f[, b]) ϕb) ϕ). Se f C I), un tle funzione è ϕt) = t c f θ) dθ, dove c è un qulsisi punto di I, ed in tl cso si h λ c t) = ϕt) = t c f s) ds per ogni t I. Dimostrzione. Se f è loclmente rettificbile, dto c I l funzione λ c, sciss curviline di origine c, verific fb) f) λ c b) λ c ), ed è monoton crescente. Inversmente, se ϕ : I R è come nell enuncito, fissti, b I con < b ed un suddivisione = t < t < < t m = b si h ft k ) ft k ) ϕt k ) ϕt k )) = ϕb) ϕ), di modo che V f[, b] ϕb) ϕ). Se f C I) e ϕt) = t c f s) ds si h f t) = ϕ t) per ogni t I per cui fb) f) ϕb) ϕ) per ogni coppi, b I con < b, in bse... Dti poi s, t I con t < s si h fs) ft) V f[t, s]) = λ c s) λ c t) ϕs) ϕt),

4 4 GIUSEPPE DE MARCO d cui, dividendo per s t > fs) ft) s t λ cs) λ c t) s t ϕs) ϕt) ; s t dto che tli espressioni sono invrinti per lo scmbio di t ed s is conclude che l relzione precedente vle per t, s I con t s; tenendo fisso t e fcendo tendere s t si h f λ c s) λ c t) t) lim f t), s t s t e per il teorem dei crbinieri si h λ ct) = f t) = ϕ t) per ogni t I, e quindi λ c t) = ϕt), dto che λ c c) = ϕc) = per ogni t I. È ormi immedito il teorem:. Formul per l lunghezz di un curv Si I intervllo di R, Y spzio normto, f : I Y funzione di clsse C. Allor f è loclmente rettificbile e si h V f[, b]) = f t) dt per ogni, b I, < b. Dimostrzione. Si h, dl lemm precedente, per gli, b I con < b: qulunque si c I Arco di prbol. V f[, b]) = λ c b) λ c ) = f t) dt, Esercizio 3. Trovre l lunghezz dell rco di prbol di equzione y = x, x b Risoluzione. L prmetrizzzione è x x, x ) per cui il vettore derivto è, x) e l lunghezz è + x) dx = + 4x dx = /) + x dx; sul Formulrio ll fine del libro si trov + x dx = x + x + settsinh x ) + k, per cui l lunghezz vle [x /) + x + 4 settsinhx) ] x=b x= = b /) + b /) + ) + 4 settsinhb) settsinh)). Esercizio 4. Scrivere l sciss curviline dell cicloide fϑ) = ϑ sin ϑ, cos ϑ) con inizio in ϑ =, e trccirne il grfico. Risoluzione. Si h f ϑ) = cos ϑ, sin ϑ) e quindi f ϑ) = sinϑ/), per cui si h ϑ λϑ) = ξ ) sin dξ. si noti che λ è strettmente crescente, vendo derivt sinϑ/) sempre positiv e null solo su punti isolti. L espressione di λ è complict dll presenz del modulo; se ϑ π si h nche ξ/ π e quindi sinξ/) = sinξ/), e l integrle è λϑ) = 4 [ cos Se π ϑ 4π scrivimo π λϑ) = ξ ) sin dξ + ξ ϑ π )] ξ=ϑ ξ= = 4 cos )) ϑ. ξ ) sin dξ = λπ) 4 ϑ π ) ξ sin dξ =

5 ARGOMENTI DI ANALISI DUE A.A Π Π 3 Π 4 Π 5 Π 6 Π [ cos Figur. Asciss curviline dell cicloide. )] ξ=ϑ ξ = cos xi=π ) ) ϑ +. proseguendo con un po di pzienz si trov λ su tutto R. Tuttvi è forse più semplice fre in questo modo: dll periodicità dell cicloide si comprende che se ϑ [π, 4π] dovrà essere λϑ) = λπ) + λϑ π), ed in generle, se nπ ϑ n + )π, λϑ) = λnπ) + λϑ nπ); dto che nπ ϑ n + )π n = [ϑ/π)], prte inter di ϑ/π), e dto che λπ) = 8 si h, per ogni ϑ R: λϑ) = 8[ϑ/π)] + 4 cos ϑ π [ ϑ π.3.5. Integrli curvilinei l differenzile d rco. Studire AnDue, 3.5 ])). Esercizio 5. Trovre il bricentro geometrico dell rco di cicloide ϑ) = ϑ sin ϑ, cos ϑ), con ϑ [, π]. Risoluzione. Chirmente l rco in questione è simmetrico rispetto ll rett x = π, e quindi l sciss del bricentro è π. Ricordimo poi che l lunghezz dell rco è 8. Se y b è l ordint del bricentro si h 8 y b = y d = π π π 8 sin 3 t dt = 8 cos ϑ) sin 3 3, per cui il bricentro dell rco h ordint ) ϑ π ) ϑ dϑ = 4 sin 3 dϑ [ ] π cos t) sin t dt = 8 cos t + cos3 t 3 y b = 4 3, ed il bricentro dell rco di cicloide è il punto di coordinte: G = π, 43 ). = ) = 3

6 6 GIUSEPPE DE MARCO Esercizio 6. De Mrco/Mricond, Es 3.9) Si h un filo omogeneo pesnte di densità linere costnte µ, disposto d rco di circolo di rggio > ed ngolo l centro di mpiezz >. Trovre l distnz dl centro del bricentro ed il momento d inerzi rispetto d un sse per il bricentro perpendicolre l pino del circolo. Risoluzione. L lunghezz del filo è ovvimente l =, quindi l mss totle è m = µ l = µ. Assunto un sistem di coordinte con centro nel centro del circolo, ed sse x l sse per il centro che è sse di simmetri del filo si h per l sciss del bricentro x G = m = µ m γ µ x dγ = µ m µ) sin = m cos ϑ dϑ = µ m sin = sin ; cos ϑ dϑ = ovvimente x G è nche l distnz dl centro del bricentro. Momento d inerzi: Il qudrto dell distnz dl bricentro del punto cos ϑ, sin ϑ) è dist = cos ϑ sin ) + sin ϑ) = + sin sin ) cos ϑ, per cui I = µ dist dγ = µ + sin γ sin =µ 3 + sin sin ) [ sin ϑ]ϑ= ϑ= = =µ 3 sin ) = µ 3 sin ) cos ϑ dϑ = ) ) = m sin Distnz medi dei punti di un ellisse d uno dei fuochi. Ricordimo che dti due punti del pino F ed F distnz c > fr loro ed un rele > c l ellisse che h F ed F come fuochi, ed eccentricità η = c/ è il luogo dei punti P del pino tli che P F + P F =. Sino ρ, ρ le funzioni distnz d F ed F rispettivmente; se ssumimo un sistem di coordinte centrto nel punto medio del segmento di estremi F ed F, con l rett di tle segmento come sse x, l equzione dell ellisse si scrive b = c semisse minore, semisse mggiore) x + y b =, ed un possibile prmetrizzzione dell ellisse è γϕ) = cos ϕ, b sin ϕ), con ϕ [ π, π]. L distnz medi di un punto dell ellisse d uno dei due fuochi è per definizione di medi di un funzione su un curv: l integrle dell funzione sull curv, ftto rispetto ll elemento di lunghezz, diviso per l lunghezz) è: d medi = ρ x, y) dγ ; l γ un clcolo diretto di tle integrle è proibitivo l sol lunghezz dell ellisse comport integrli che non sppimo fre). M si intuisce e non srebbe difficile dimostrre rigorosmente) che l distnz medi dll ltro fuoco si ugule ll precedente, cioè che si nche d medi = ρ x, y) dγ, l per cui, sommndo i due integrli si ottiene: d medi = x, y) + ρ x, y)) dγ = l γρ dγ = l γ) l d cui γ d medi =, semisse mggiore dell ellisse. γ dγ = l l =,

7 ARGOMENTI DI ANALISI DUE A.A. 3 7 Se si ssume un sistem di coordinte polri centrto in uno dei fuochi, con sse polre l rett dl fuoco verso il vertice più vicino, l equzione polre dell ellisse è r = rϑ) = p/ + η cos ϑ), con p = b / prmetro dell ellisse. Si potrebbe pensre che l quntità π π rϑ) dϑ = p π π dϑ + η cos ϑ medi dell funzione ϑ rϑ) su un periodo, bbi pure il diritto di essere chimt distnz medi dei punti dell ellisse dl fuoco. L integrle precedente è riconducibile d integrli di funzioni rzionli con l solit sostituzione ϑ = rctn t formule prmetriche, cos ϑ = tn ϑ)/))/ + tn ϑ/)): sorprendentemente il risultto è b, semisse minore dell ellisse, che quindi è l distnz medi ftt rispetto ll ngolo ϑ Convergenz uniforme e lunghezz. Dto un intervllo comptto [, b], ed uno spzio normto Y, C[, b], Y ) è uno spzio vettorile che può essere normto con l norm uniforme f u = mx { ft) Y : t [, b]} si scrive nche f invece di f u ). Tle norm, nche se ristrett l sottospzio delle funzioni di clsse C non rende l lunghezz continu. In ltre prole, si hnno successioni f n di funzioni di clsse C che convergono uniformemente su [, b] funzioni f di clsse C, m tli che V f n [, b]) non tende V f[, b]). Gli esempi sono fcili d trovre; sceglimo il seguente che si può interpretre dicendo che un moll strettmente rrotolt h un lunghezz superiore ll lunghezz del suo sse i termini sono ml definiti, sono usti in modo intuitivo). Si [, b] = [, T ] con T >, e si f n : [, T ] R 3 dt d f n t) = R/n) cosnωt), R/n) sinnωt), t), dove R, ω > sono costnti molle : sono eliche che si vvolgono con sempre più spire su cilindri di rggio sempre più piccolo). Al tendere di n ll infinito, f n t) tende ft) =,, t), ed f n converge d f nche uniformemente su [, T ], inftti ft) f n t) = R/n) cosnωt), R/n) sinnωt), ) = R n quindi f f n u = R n, che ovvimente tende l tendere di n ll infinito. M le lunghezze sono costnti: si h inftti Figur 3. Trcce di f 3, f 8, f 5. e quindi V f n [, T ]) = f nt) = Rω) + per ogni n =,, 3,... ed ogni t [, T ] T f nt) dt = T Rω) + mentre V f[, T ]) = T < T Rω) +. L convergenz nell norm C invece implic il pssggio l limite per le lunghezze: se considerimo su C [, b], Y ) l norm C, che è f u + f u, l funzione f V f[, b]) è continu d C [, b], Y ) d

8 8 GIUSEPPE DE MARCO R. Inftti l convergenz uniforme dell successione delle derivte implic l convergenz uniforme dell successione delle norme delle derivte, e quest su volt implic l convergenz degli integrli: d cui mx{ f t) f nt) : t [, b]} mx{ f t) f nt) : t [, b]} = f f n u, V f[, b]) V f n [, b]) = f t) f nt) ) dt f f n u dt = f f n u b ). f t) f nt) dt Osservzione. Esiste un norm sulle funzioni C [, b], Y ) che rende continu l lunghezz, più debole dell norm C, e più forte dell norm uniforme; ess è l norm dell vrizione totle: ) f v = f) + f = f) + f t) dt Vedi AnDue,.8.5. È nche definit sullo spzio BV [, b], Y ) delle funzioni vrizione limitt come f v = f) + V f[, b]); quest ultimo è spzio di Bnch in quest norm, se Y è di Bnch..4. Cmbimenti di prmetro. Dt un curv continu f : I Y, con I intervllo di R ed Y normto, come detto spesso si pens l prmetro t I come l tempo, e si immgin ft) come punto mobile l vrire del tempo t I. Spesso è conveniente riprmetrizzre l curv f, questo può fornire ltre interpretzioni dell curv stess. Dto un ltro intervllo J, ed un funzione continu e suriettiv ϕ : J I, t = ϕθ), si ottiene un ltr curv g = f ϕ : J Y, l riprmetrizzzione di f ottenut pplicndo il cmbimento di prmetro o di vribile) t = ϕθ). Esempio 7. Dto I = [, ], Y = R, si h l prmetrizzzione crtesin dell semicirconferenz f : I R dt d fx) = x, x ); usndo il cmbimento di prmetro ϕθ) = cos θ, ϕ : [, π] [, ] si ottiene gθ) = f ϕθ) = cos θ, sin θ), prmetrizzzione dell semicirconferenz col prmetro ngolre θ. Se ϕ : J I è omeomorfismo dell intervllo J sull intervllo I, l riprmetrizzzione si dice C equivlente, e si dice C equivlente qundo ϕ è nche diffeomorfismo C verificre che sono relzioni di equivlenz; mostrre che l riprmetrizzzione del precedente esempio è C equivlente, m non C equivlente). Si dimostr fcilmente vedi AnDue, 3.3.3) che riprmetrizzzioni con omeomorfismi non lterno l lunghezz degli rchi. Definizione. Si f : I Y curv continu loclmente rettificbile. Si dice che l prmetrizzzione f : I Y è con l lunghezz d rco se per ogni coppi, b I con < b si h V f[, b]) = b. In ltre prole, il prmetro stesso t è un sciss curviline sull curv f; inftti si dimostr subito che: Proposizione. Si f : I Y curv continu loclmente rettificbile. Sono equivlenti: i) f è prmetrizzt con l lunghezz d rco. ii) Per ogni c I si h λ c t) = t c, se λ c : I J è l sciss curviline di punto inizile c. iii) Per lmeno un c I si h λ c t) = t c, se λ c : I J è l sciss curviline di punto inizile c. Inoltre, f mmette riprmetrizzzioni con l lunghezz d rco se e solo se non h trtti di costnz cioè, non esiste nessun subintervllo non degenere di I su cui f è costnte); tli riprmetrizzzioni sono C equivlenti. Dimostrzione. Le equivlenze tr i), ii) ed iii) sono bnli. Per l ultim ffermzione, si noti nzitutto che se un curv h trtti di costnz, tutte le sue riprmetrizzzioni ne hnno, e chirmente un curv prmetrizzt con l lunghezz d rco non h trtti di costnz. Se poi f è continu e loclmente rettificbile, fissto c I l funzione λ c : I R è crescente e continu vedi.3.), ed è strettmente crescente se e solo se f non h trtti di costnz, come è immedito vedere. In tli ipotesi quindi J = λ c I) è intervllo di R e λ c induce un omeomorfismo strettmente crescente di I su J; se ϕ : J I è l omeomorfismo inverso, è immedito vedere che g = f ϕ : J Y è prmetrizzt con l lunghezz d rco.,

9 ARGOMENTI DI ANALISI DUE A.A. 3 9 È immedito mostrre che un curv f : I Y di clsse C è prmetrizzt con l lunghezz d rco se e solo se f t) = per ogni t I: inftti questo ccde se e solo se λ c t) = t c, come sopr visto, e quindi se e solo se = λ ct) = f t) per ogni t I. Insomm, le curve prmetrizzte con l lunghezz d rco sono quelle percorse velocità costntemente ugule d. Esercizio 8. Provre che l curv f : I Y di clsse C h un riprmetrizzzione C equivlente con l lunghezz d rco se e solo se f t) non è mi nullo, per nessun t I. Esercizio 9. Si I intervllo di R, Y spzio normto, f : I Y funzione. Provre che se f è loclmente lipschitzin, llor è loclmente rettificbile. Se f : I Y è prmetrizzt con l lunghezz d rco, llor è lipschitzin con costnte di Lipschitz esttmente e non strettmente minore di ). Esercizio. Si < b con R, b, ed f : [, b[ Y funzione, Y spzio normto. Provre che V f[, b[) = lim y b V f[, y]); nlogmente per f :], b] Y con < b e b R, provre che V f], b]) = lim x + V f[x, b]); infine, per ogni intervllo perto I ed f : I Y si h, se = inf I e b = sup I: V fi) = lim V f[x, y]). x +, y b Quindi: se f C I, Y ) ed I è intervllo non comptto) l vrizione totle di f su I è finit se e solo se f è integrbile in senso generlizzto su I, ed in tl cso si h V fi) = f t) dt integrle generlizzto nel senso di Riemnn). I Esercizio. Si I intervllo di R, f : I R funzione. i) Provre che se f è monotòn, llor f è loclmente vrizione limitt. ii) Dicimo che f è monoton trtti su I se esiste un suddivisione < < < m di I tle che f è monotòn su ciscuno degli intervlli ], ] I, [ k, k ], per k =,..., m, [ m, [ I. Provre che se f è monotòn trtti, llor è loclmente vrizione limitt. ii) richiede vrie nozioni sulle funzioni convesse) Provre che se f è continu e) convess, llor f è monotòn trtti e quindi loclmente vrizione limitt)..4.. Soluzioni degli esercizi. Risoluzione. di Es 8) Se ϕ : J I di clsse C riprmetrizz f, g = f ϕ, e si h f t) = per un t I, llor per ogni θ J con ϕθ) = t certo esistente per suriettività di ϕ) si h g θ) = f t) ϕ θ) = ϕ θ) = : in ltre prole, se f t) si nnull per qulche t, tutte le riprmetrizzzioni derivbili hnno derivt null in qulche punto. Dto che un riprmetrizzzione C con lunghezz d rco deve vere derivt costntemente di modulo, l condizione che f t) non si mi null è necessri per qunto si vuole. M è nche sufficiente: fissto c I si consider λt) = λ c t) = t c f θ) dθ; λ è funzione C con derivt continu λ t) = f t) >, e quindi è un diffeomorfismo C di I sull su imgine J = λi); se ϕ = λ è il diffeomorfismo inverso, si h subito che g = f ϕ : J Y è riprmetrizzzione di f con l lunghezz d rco. Risoluzione. di Es 9) Si [, b] I sub intervllo comptto di I, e si L= L [,b] ) costnte di Lipschitz per f [,b]. Dt un rbitrri suddivisione t = < t < < t m = b si h ft k ) ft k ) L t k t k ) = Lb ), per cui V f[, b]) L [,b] b ). Questo mostr che l lipschitzinità locle implic l locle rettificbilità. Se il prmetro t è l lunghezz d rco si h, dti, b I con < b: fb) f) V f[, b]) = b, per cui è un costnte di Lipschitz per f su tutto I. D ltr prte se in un subintervllo [, b] di I si h un costnte di Lipschitz L per f, si h, come sopr visto, V f[, b]) L b ), quindi b L b ) d cui L.

10 GIUSEPPE DE MARCO Risoluzione. di Es ) Dto che x V f[, y]) è crescente il limite esiste e si h lim x b V f[, x]) = sup{v f[, x]) : x < b}. Pres un rbitrri suddivisione di [, b[, x = < x < < x m = x si h fx k ) fx k ) V f[, x]) sup{v f[, x]) : x < b} = lim V f[, x]), x b quindi fx k ) fx k ) lim V f[, x]) x b per ogni suddivisione di [, b[, d cui, prendendo l estremo superiore primo membro si h V f[, b[) lim V f[, x]); x b d ltr prte si h V f[, b[) = V f[, x]) + V f[x, b[) V f[, y]) per ogni y [, b[, e si conclude. In modo nlogo si prov che V f], b]) = lim x + V f[x, b]); e d questi due ftti subito si ottiene il risultto per l intervllo perto, e quindi il corollrio finle sull integrle generlizzto. Risoluzione. di Es ) i) è bnle: dti, b I con < b ed un suddivisione x = < x < < x m = b si h, se f è crescente fx k ) fx k ) = fx k ) fx k )) = fb) f), per cui V f[, b]) = fb) f) se f è crescente, ed llo stesso modo V f[, b]) = f) fb) se f è decrescente. ii) Immedito: dto un subintervllo comptto [, b] I, se p è il minimo k {,..., m} tle che k [, b] e q è il mssimo, si h q V f[, b]) = f p ) f) + f k ) f k ) + fb) f q ). k=p+ iii) Ricordimo che un funzione continu in un intervllo, se non è strettmente monotòn, non è iniettiv. Se quindi f non è strettmente monotòn esistono, b I, con < b, tli che si bbi f) = fb). L convessità implic che fx) f) = fb) per ogni x [, b]; esiste quindi c ], b[ tle che fc) = min f[, b]), in prticolre c è di minimo locle per f in I. Mostrimo or che. Se c I è di minimo locle per f in I, ed f è convess in I, llor f è decrescente su {x I : x c} e crescente su {x I : x c}. Bst ricordre che se f è convess llor i rpporti incrementli sono crescenti, cioè x fx) f))/x ) è funzione crescente di I {} in R, per ogni fissto I. Allor se x I ed x > c si h, per c < t < x: ft) fc) fx) fc) ; t c x c m se t è bbstnz vicino c si h fc) ft) perchè c è di minimo locle), quindi il rpporto ft) fc))/t c) è non negtivo; si è provto che, per ogni x I con x > c si h fx) fc) ; x c preso y con c < y < x si h llor, per l crescenz di y fx) fy))/x y): fx) fc) x c fx) fy) x y d cui fy) fx); si è provto che f è crescente ll destr di c, in modo nlogo se ne prov l decrescenz ll sinistr. Osservzione. L ipotesi di continuità di f è in reltà superflu. convess è continu ll interno dell intervllo suo dominio. Bst ricordre che un funzione

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