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2 BIBUOTECA OIP.~.ç-.: r;m~:~ lro Se" ;., ' ~ CA o:~~. DI ~f.:cnl- RESTAURO l.u.a.v. VENEZIA lstltito Universitario di Architettura VENEZIA DSTR B 125 BIBLIOTECA CENTRALE

3 TOM MIKE APOSTOL llllioteca DEL OlPARTIMfNTO ntl SCIENZA E TECNICA DEL RESr AURO I ~ "- - A-.. - I N. ~.. ~~--- Data. ~~..:-~..:?..i LU.A.V. CALCOLO VOLUME TERZO ANALISI 2 BORINGHIERI

4 Indice Presentazione di Edoardo Vesentini, xi 1 Successioni e serie di funzioni, Convergenza puntuale di successioni di funzioni 1.2 Convergenza uniforme di successioni di funzioni 1.3 Convergenza uniforme e continuità 1.4 Convergenza uniforme e integrazione 1.5 Una condizione sufficiente per la convergenza uniforme 1.6 Serie di potenze. Cerchio di convergenza I Proprietà delle funzioni rappresentate da serie di potenze reali 1.9 La serie di Taylor generata da una funzione I. IO Una condizione sufficiente per la convergenza di una serie di Taylor 1.11 Sviluppi di una serie di potenze per le funzioni trigonometriche e la funzione esponenziale I. 12 Teorema di Bernstein Serie di potenze ed equazioni differenziali 1.15 La serie binomiale I Equazioni differenziali lineari, Introduzione storica 2.2 Sommario dei risultati concernenti equazioni lineari del primo e secondo ordine Equazioni differenziali lineari di ordine n 2.5 li teorema di esistenza e unicità 2.6 La dimensione dello spazio delle soluzioni di un'equazione lineare omogenea 2.7 L'algebra degli operatori a coefficienti costanti 2.8 Determinazione di una base per le soluzioni di un'equazione a coefficienti costanti, mediante la fattorizzazione degli operatori La relazione tra l'equazione non omogenea e l'equazione omogenea associata Determinaizione di una soluzione particolare d'una equazione non omogenea. li metodo di variazione dei parametri 2.12 Non singolarità della matrice wronskiana di n soluzioni indipendenti di un'equazione lineare omogenea 2.13 Metodi speciali per determinare una soluzione particolare dell'equazione non omogenea. Riduzione a un sistema di equazioni lineari del primo ordine 2.14 Il metodo degli annichilatori per determinare una soluzione particolare dell'equazione non omogenea

5 r VI Indice di ricapitolazione sulle equazioni differenziali lineari Equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti analitici L'equazione di Legendre I polinomi di Legendre Formula di Rodrigues per polinomi di Legendre Il metodo di Frobenius L'equazione di Besse! 3 Sistemi di equazioni differenziali, Introduzione 3.2 Calcolo di funzioni matriciali 3.3 Serie di matrici. Norme di matrici La matrice esponenziale 3.6 L'equazione differenziale soddisfatta da eta 3.7 Teorema di unicità per l'equazione differenziale matriciale F'(t) =AF(t) 3.8 La legge degli esponenti per le matrici esponenziali 3.9 Teoremi di esistenza e unicità per sistemi lineari omogenei a coefficienti costanti 3.10 Il problema del calcolo di et-" Il teorema di Cayley-Hamilton Il metodo di Putzer per calcolare eta 3.14 Altri metodi per il calcolo di e 1 A in casi speciali Sistemi lineari non omogenei a coefficienti costanti Il sistema lineare generale Y'(t) = P(t)Y(t) + Q(t) 3.19 Un metodo di sviluppo in serie di potenze per la soluzione di sistemi lineari omogenei Dimostrazione del teorema di esistenza mediante il metodo delle approssimazioni successive 3.22 Il metodo delle approssimazioni successive applicato ai sistemi non lineari del primo ordine 3.23 Dimostrazione di un teorema di esistenza e unicità per sistemi del primo ordine non lineare Approssimazioni successive e punti fissi di operatori 3.26 Spazi lineari normati 3.27 Operatori di contrazione 3.28 Teorema del punto fisso per operatori di contrazione 3.29 Applicazioni del teorema del punto fisso 4 Funzioni a valore vettoriali, Funzioni di variabile reale a valori vettoriali 4.2 Operazioni algebriche. Componenti 4.3 Limiti, derivate e integrali Applicazioni allo studio delle curve. Retta tangente 4.6 Applicazioni al moto curvilineo. Velocità e accelerazione Il versore tangente, la normale principale e il piano osculatore a una curv;:; IO La definizione di lunghezza di arco di curva 4.11 Additività della lunghezza d'arco 4.12 La funzione lunghezza d'arco Curvatura di una curva

6 Indice VII Velocità e accelerazione in coordinate polari 4.17 Moto piano con accelerazione radiale 4.18 Coordinate cilindriche Applicazioni ai moti planetari 4.21 vari di ricapitolazione 5 Calcolo differenziale per campi scalari e vettoriali, Funzioni da Rn in Rm. Campi scalari e vettoriali 5.2 Sfere aperte e insiemi aperti Limiti e continuità Derivata di un campo scalare rispetto a un vettore 5.7 Derivate direzionali e derivate parziali 5.8 DeriJ[ate parziali di ordine superiore Derivate direzionali e continuità 5.11 La derivata totale 5.12 Il gradiente di un campo scalare 5.13 Una condizione sufficiente per la differenziabilità Regola di derivazione delle funzioni composte per campi scalari 5.16 Applicazioni alla geometria. Insiemi di livello. Piani tangenti Derivate dei campi vettoriali 5.19 La differenziabilità implica la continuità 5.20 La regola di derivazione delle funzioni composte per le derivate dei campi vettoriali 5.21 Forma matriciale della regola di derivazione delle funzioni composte Condizioni sufficienti per l'uguaglianza delle derivate parziali miste 5.24 di ricapitolazione 6 Applicazioni del calcolo differenziale, Equazioni alle derivate parziali 6.2 Un'equazione alle derivate parziali del primo ordine a coefficienti costanti L'equazione delle onde in una dimensione Derivate di funzioni definiti implicitamente 6.7 Esempi Punti di massimo, punti di mm1mo e punti di sella 6.10 Formula di Taylor del secondo ordine per i campi scalari 6.11 La natura di un punto stazionario determinata per mezzo degli autovalori della matrice hessiana 6.12 Test delle derivate s~conde per estremi di funzioni di due variabili Estremi vincolati. Moltiplicatori di Lagrange Il teorema swgli estremi per campi scalari continui 6.17 li teorema delle piccole oscillazioni per campi scalari continui (uniforme continuità) 7 Integrali curvilinei, Introduzione 7.2 Traiettorie e integrali curvilinei 7.3 Altre notazioni per gli integrali curvilinei

7 vm Indice 7.4 Proprietà fondamentali degli integrali curvilinei Il concetto di lavoro come integrale curvilineo 7. 7 integrali curvilinei rispetto alla lunghezza d'arco 7.8 Ulteriori applicazioni degli integrali curvilinei Insiemi aperti connessi. Indipendenza dalla traiettoria Il secondo teorema fondamentale del calcolo integrale per integrali 7.12 Applicazioni alla meccanica 7. I li primo teorema fondamentale del calcolo integrale per integrali curvilinei 7.15 Condizioni necessarie e sufficienti affinché un campo vettoriale sia un gradiente 7.16 Condizioni necessarie affinché un campo vettoriale sia un gradiente 7.17 Metodi particolari per costruire talune funzioni potenziali Applicazioni alle equazioni differenziali esatte di primo ordine Funzioni potenziale su insiemi convessi 8 Integrali multipli, Introduzione 8.2 Partizioni di rettangoli. Funzioni a scala 8.3 Integrale doppio di una funzione a scala 8.4 Definizione di integrale doppio di una funzione definita e limitata su un rettangolo 8.5 Integrali doppi superiore e inferiore 8.6 Calcolo di un integrale doppio mediante due integrazioni semplici successive 8.7 interpretazione geometrica dell'integrale doppio come volume 8.8 svolti O Integrabilità delle funzioni continue 3.11 integrabilità di funzioni limitate discontinue 8.12 Integrali doppi estesi a regioni più generali 8.13 Applicazioni ad aree e volumi 8.14 Esempi svolti Ulteriori applicazioni degli integrali doppi 8.17 Due teoremi di Pappo li teorema di Green nel piano 8.20 Alcune applicazioni del teorema di Green 8.21 Una condizione necessaria e sufficiente perché un campo vettoriale a due dimensioni sia un gradiente Teorema di Green per regioni molteplicemente connesse 8.24 L'indice di avvolgimento Cambiamento di variabili in un integrale doppio 8.27 Casi particolari della formula di trasformazione Dimostrazione della formula di trasformazione in un caso particolare 8.30 Dimostrazione della formula di trasformazione nel caso generale 8.31 Estensioni a dimensioni superiori 8.32 Cambiamento di variabili in un integrale n-uplo 8.33 f:sempi svolti Integrali superficiali, Rappresentazione parametrica di una superficie 9.2 Prodotto vettoriale fondamentale 9. 3 Il prodotto vettoriale fondamentale come vettore normale alla superficie 9.4

8 Indice IX 9.5 Area di una superficie parametrica Integrali superficiali 9.8 Cambiamento di rappresentazione parametrica 9. 9 Altre notazioni per gli integrali superficiali Il teorema di Stokes 9.12 H rotore e la divergenza di un campo vettoriale Ulteriori proprietà del rotore e della divergenza Ricostruzione di un campo vettoriale attraverso la conoscenza del suo rotore Estensioni del teorema di Stokes 9.19 Il teorema della divergenza (teorema di Gauss) 9.20 Applicazioni del teorema della divergenza 9.21 Soluzione degli esercizi, 440 Indice analitico, 469

9 .;. "'. CD ~ larghissimo favore che ne ha accolto l'edizione in lingua italiana - è dato dalla chiarezza dell'esposizione che, mentre sviluppa in modo rigoroso l'analisi e la geometria c,ome scienze deduttive, non perde mai di vista la loro funzione di strumenti per la soluzione dei problemi fisici e ingeg!"eristici. In questo volume conclusivo, il cui contenuto corrisponde alle esigenze di un secondo c,orso di analisi matematica, i vari concetti matematici sono oggetto di uno studio più approfondito che spesso (vedi il capitolo sui sistemi di equazioni differenziali) si serve del linguaggio unificante dell'algebra lineare, già noto ai lettori del secondo volume Geometria, con risultati di grande efficacia e semplicità. Anche qui esempi e applicazioni accentuano il taglio interdisciplinare del libro e ne aumentano le possibilità di utilizzazione didattica. Laureato a/l'università di Washington, Tom M. Apostol insegna dal 1950 al California lnstitute of Technology dove.è professore di matematica. Il suo campo di maggiore interesse è la teoria dei numeri, su cui ha scritto diversi articoli scientifici e curato una pubblicazione collettiva.