Compiti di geometria & algebra lineare. Anno: 2004

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Compiti di geometria & algebra lineare. Anno: 2004"

Transcript

1 Compiti di geometria & algebra lineare Anno: 24

2 Anno: 24 2 Primo compitino di Geometria e Algebra 7 novembre 23 totale tempo a disposizione : 3 minuti Esercizio. [8pt.] Si risolva nel campo complesso l equazione z 6 27 z 3 = Esercizio 2. [8pt.] Si risolva nel campo complesso il sistema e 2z + 4 = z log 2 2

3 Anno: 24 3 Primo test di Geometria e Algebra 7 novembre 23 totale tempo a disposizione : 25 minuti Esercizio. PUNTEGGIO : risposta mancante = -4 ; errata = da -3 a +3 ; esatta = +4. Si scriva la formula di De Moivre per la potenza n-esima di un numero complesso z = ρ(cos ϑ + i sen ϑ) Esercizio 2. PUNTEGGIO : risposta mancante = ; risposta esatta = + ; risposta sbagliata = - Dire se le seguenti proposizioni sono vere o false: Proposizione Vera Falsa i i 3 = z 3 = 27i z = 3i e z = i z = iπ/2 Per z C si ha e z = se e solo se z = Per ogni z C si ha zz = z 2 Il polinomio X 3 + X 2 + è primo in R[X] Esercizio 3. PUNTEGGIO : risposta mancante = ; risposta esatta = +2 ; risposta sbagliata = e log 3 i5π = z = + i = z 5 =

4 Anno: 24 4 Per z = 3 + i4 si calcoli /z = Si decomponga in fattori irriducibili in R[X] il polinomio X 5 X 4 + 6X 6 = Quante radici complesse distinte ha il polinomio X 6 + X 3 +?

5 Anno: 24 5 Secondo compitino di Geometria e Algebra 8 marzo 24 totale tempo a disposizione : 3 minuti Esercizio. [7pt.] Sia f : R 4 R 4 l applicazione lineare espressa rispetto alla base canonica dalla matrice Si determinino una base di Ker f e una base di Im f. Esercizio 2. [7pt.] Sia f t : R 3 R 3 l applicazione lineare espressa rispetto alla base canonica

6 Anno: 24 6 dalla matrice t t 6 4 (i) Determinare, al variare di t R, dim(ker(f t )) e dim(im(f t )). (ii) Determinare al variare di t R, la dimensione dello spazio delle soluzioni (se esistono) del sistema x 2 f t x 2 ) = 2 x 3

7 Anno: 24 7 Secondo test di Geometria e Algebra 8 marzo 24 totale tempo a disposizione : 25 minuti Esercizio. PUNTEGGIO : risposta mancante = -4 ; errata = da -3 a +3 ; esatta = +4. Si scriva l enunciato del teorema di Binet sul prodotto dei determinanti. Esercizio 2. PUNTEGGIO : risposta mancante = ; risposta esatta = + ; risposta sbagliata = - Dire se le seguenti proposizioni sono vere o false: Proposizione Vera Falsa Se V, W sono sottospazi di R 3 allora V + W è sottospazio di R 3 Sia f : V W lineare. Allora dim Ker f + dim Im f = dim W 3 vettori qualsiasi di C 2 sono linearmente dipendenti su C Ogni f : R 3 R 2 lineare è surgettiva A, B matrici 3 3 det(2a + 2B) = 2(det(A)+det(B)). A matrice 3 3; det(a) = rank (A) 2 Esercizio 3. PUNTEGGIO : risposta mancante = ; risposta esatta = +2 ; risposta sbagliata = rank = A = A =

8 Anno: 24 8 Sia V lo spazio dei polinomi di grado 2 e sia ϕ : V V definita da ϕ(p) = p() + p ()X 2 (p è la derivata di p). La matrice di ϕ associata alla base {, X, X 2 } è: La prima coordinata del vettore C3 rispetto alla base { i, i, i } è:

9 Anno: 24 9 Terzo compitino di Geometria e Algebra 22 aprile 24 totale tempo a disposizione : 3 minuti Esercizio. [7pt.] Sia A la matrice tale che la matrice M AM sia diagonale.. Si trovi, se esiste, una matrice invertibile M Esercizio 2. [7pt.]

10 Anno: 24 Sia f : R 4 R 4 l applicazione lineare espressa rispetto alla base canonica dalla matrice Si determini la forma canonica di Jordan e una base di Jordan di f.

11 Anno: 24 Terzo test di Geometria e Algebra 22 aprile 24 totale tempo a disposizione : 25 minuti Esercizio. PUNTEGGIO : risposta mancante = -4 ; errata = da -3 a +3 ; esatta = +4. Sia V uno spazio vettoriale su K e sia f : V V un applicazione lineare. λ K è autovalore di f se Esercizio 2. PUNTEGGIO : risposta mancante = ; risposta esatta = + ; risposta sbagliata = - Dire se le seguenti proposizioni sono vere o false: Proposizione Vera Falsa Esiste f : C n C n lineare priva di autovalori Se f : R 3 R 3 lineare ha 3 autovalori allora è invertibile A matrice n n, λ radice del polinomio minimo di A λ autovalore di A v, w V autovettori di f : V V v + w autovettore di f A matrice invertibile, λ autovalore di A /λ autovalore di A A matrice 3 3; det(a) = λ divide il polinomio caratteristico di A Esercizio 3. PUNTEGGIO : risposta mancante = ; risposta esatta = +2 ; risposta sbagliata = Un autovettore della matrice 2 relativo all autovalore è

12 Anno: 24 2 Per quali valori reali di β la matrice β è diagonalizzabile su R? Il polinomio caratteristico dell endomorfismo di R 3 definito da f x x 2 = x + x 3 x 2 è x 3 x 2 x 3 La molteplicità geometrica di come autovalore di A = 2 è

13 Anno: 24 3 Quarto compitino di Geometria e Algebra 2 maggio 24 totale tempo a disposizione : 25 minuti Esercizio Unico. [4pt.] Sia V lo spazio vettoriale reale dei polinomi di grado 2, e sia, il prodotto scalare su V definito da f, g = f(x)g(x)dx. (i) Si trovi la matrice associata al prodotto rispetto alla base {, x, x 2 }; (ii) si determini se tale prodotto scalare è degenere o non degenere; (iii) si trovi, se esiste, un vettore isotropo non nullo; (iv) si determini una base ortogonale; (v) si determini lo spazio ortogonale al vettore x 4.

14 Anno: 24 4 Quarto test di Geometria e Algebra 2 maggio 24 totale tempo a disposizione : 25 minuti Esercizio. PUNTEGGIO : risposta mancante = -4 ; errata = da -3 a +3 ; esatta = +4. Sia V uno spazio vettoriale su K e sia, : V V K un prodotto scalare., è degenere se Esercizio 2. PUNTEGGIO : risposta mancante = ; risposta esatta = + ; risposta sbagliata = - Dire se le seguenti proposizioni sono vere o false: Proposizione Vera Falsa Per ogni u, v si ha u, v + u, v =. Dato un prodotto scalare su R 3, ogni vettore ha almenio un vettore ortogonale La differenza tra due vettori isotropi è sempre isotropa Se v w e w z, allora v z Un prodotto scalare su R è definito esiste una base ortonormale Ogni prodotto scalare su C è indefinito Esercizio 3. PUNTEGGIO : risposta mancante = ; risposta esatta = +2 ; risposta sbagliata = Un vettore isotropo per il prodotto su R 3 dato dalla matrice 2 2 è

15 Anno: 24 5 Per quali valori reali di β il prodotto di matrice β è definito su R? β 4 la dimensione dello spazio ortogonale a rispetto al prodotto di matrice è Il numero dei prodotti scalari degeneri non nulli su R 3 (a meno di cambiamenti di base) è

16 Anno: 24 6 Test di Geometria e Algebra 2 febbraio 24 tempo a disposizione : 3 minuti totale Esercizio. PUNTEGGIO : risposta mancante = -4 ; errata = da -3 a +3 ; esatta = +4 Sia V uno soazio vettoriale su K. I vettori v,..., v n V sono linearmente indipendenti su K se Esercizio 2. PUNTEGGIO : risposta mancante = ; risposta esatta = + ; risposta sbagliata = - Dire se le seguenti proposizioni sono vere o false: Proposizione Vera Falsa e 5πi = z si ha z/z = Un applicazione lineare da R 3 in R 3 ha sempre autovalori W, Z sottospazi di R 4, dim W + dim Z 4 W Z {} Un prodotto scalare su C 2 è definito è euclideo Per ogni prodotto scalare <, > si ha: < v, w >= < w, v >= Esercizio 3. PUNTEGGIO : risposta mancante o errata = ; risposta esatta = +2 z = i, w = + i z/w = V=, 2 2, W = 2 2, dim V W = A = A2 =

17 Anno: 24 7 f x x 2 x 3 = x + x 3 matrice associata a f rispetto alle basi canoniche di R 3 e R 2 = x 2 + x 3 Il prodotto scalare, : R 3 R 3 R definito da x x 2, y y 2 = x y 4x 2 y 2 +3x y 2 +3x 2 y 2x 3 y 3 x 3 y 3 è : definito indefinito e non degenere degenere

18 Anno: 24 8 Test di Geometria e Algebra 4 luglio 24 tempo a disposizione : 3 minuti totale Esercizio. PUNTEGGIO : risposta mancante = -4 ; errata = da -3 a +3 ; esatta = +4 Sia V uno soazio vettoriale su K. I vettori v,..., v n V sono una base di V su K se Esercizio 2. PUNTEGGIO : risposta mancante = ; risposta esatta = + ; risposta sbagliata = - Dire se le seguenti proposizioni sono vere o false: Proposizione Vera Falsa e 5πi = i z si ha zz Un applicazione lineare da R 3 in R 3 è sempre triangolarizzabile W, Z sottospazi di R 4, dim W + dim Z > 4 W Z {} Un prodotto scalare su R 2 è definito è non degenere Per ogni prodotto scalare <, > si ha: < v, w >=< w, v > Esercizio 3. PUNTEGGIO : risposta mancante o errata = ; risposta esatta = +2 z = i, w = + i z/w = V=, 2, W = 2 2, dim V W = A = 3 2 A =

19 Anno: 24 9 f x x 2 x 3 = x + x 3 matrice associata a f rispetto alle basi canoniche di R 3 e R 2 = x 2 x 3 Il prodotto scalare, : R 3 R 3 R definito da x x 2, y y 2 = x y 5x 2 y 2 +2x y 2 +2x 2 y 2x 3 y 3 x 3 y 3 è : definito indefinito e non degenere degenere

20 Anno: 24 2 Esame di Geometria e Algebra Lineare 2 luglio 24 voto tempo a disposizione : 2 ore Esercizio. [8pt.] Si determinino le soluzioni complesse del seguente sistema: z 8 + 6z 4 = e z Esercizio 2. [8pt.] Al variare del parametro reale t sia f t : R 3 R 3 l applicazione lineare definita da x x + 2x 2 + x 3 f t x 2 = 2x + 4x 2 + tx 3 x 3 tx + x 3 (i) Al variare del parametro reale t si determinino le dimensioni di Ker(f t ) e di Im(f t ). x 3 (ii) Si determini per quali valori di t R il sistema f t x 2 = 4 è determinato, indeterminato, impossibile. x 3 3 (iii) Si trovi, se esiste, un valore del parametro t per cui il vettore 2 è autovettore per f t. 4

21 Anno: 24 2 Esercizio 3. [8pt.] Sia f : R 4 R 4 l applicazione lineare espressa rispetto alla base canonica dalla matrice (i) Si determinino gli autovalori di f specificandone la molteplicità algebrica e geometrica. (ii) Si determinino la forma di Jordan e una base di Jordan per f. (iii) Si dica se R 4 = Ker(f) Im(f). Esercizio 4. [8pt.] Sia V lo spazio vettoriale dei polinomi di grado 3 a coefficienti reali che si annullano nello. Sia, : V V R il prodotto scalare definito da ove p (x) è la derivata di p(x) rispetto a x. p(x), q(x) = p () q () (i) Determinare la matrice di tale prodotto rispetto alla base x 3, x 2, x. (ii) Dire se tale prodotto scalare è degenere o non degenere. (iii) determinare, se esiste, un vettore isotropo non nullo.

22 Anno: Test di Geometria e Algebra 4 luglio 24 tempo a disposizione : 3 minuti totale Esercizio. PUNTEGGIO : risposta mancante = -4 ; errata = da -3 a +3 ; esatta = +4 Scrivere la formula di De Moivre per la potenza n-esima di un numero complesso z = ρ(cos ϑ + i sin ϑ) Esercizio 2. PUNTEGGIO : risposta mancante = ; risposta esatta = + ; risposta sbagliata = - Dire se le seguenti proposizioni sono vere o false: Proposizione Vera Falsa e 5πi = z si ha zz Una matrice simmetrica a coefficienti reali è sempre diagonalizzabile A, B matrici invertibili n n det(a + B) = det A + det B Un prodotto scalare su C è definito è euclideo Per ogni prodotto scalare <, > si ha: < v, w >= < w, v > Esercizio 3. PUNTEGGIO : risposta mancante o errata = ; risposta esatta = +2 z = 2i, w = 2 + i z/w = V=, 2, W = 2, dim V W = A = 3 2 A =

23 Anno: f x x 2 = x + x 3 x 2 x 3 matrice associata a f rispetto alle basi canoniche di R3 e R 2 = x 3 x + x 2 2x 3 Il prodotto scalare, : R 3 R 3 R definito da x x 2, y y 2 = 2x y 2 + 2x 2 y + 2x 3 y 3 x 3 y 3 è : definito indefinito e non degenere degenere

24 Anno: Esame di Geometria e Algebra Lineare 22 settembre 24 voto tempo a disposizione : 2 ore Esercizio. [8pt.] Si determinino le soluzioni complesse del seguente sistema: e (z3) = i z z z 2π Esercizio 2. [8pt.] Al variare del parametro reale t sia f t : R 3 R 3 l applicazione lineare espressa rispetto alla base canonica dalla matrice 2 t t t 2 (i) Determinare i valori di t per cui Ker(f t ) = {}. (ii) Per i valori di t per cui Ker(f t ) {} si determini una base del nucleo di f t e una base dell immagine di f t. (iii) Si determinino, se esistono, i valori di t R per cui il vettore è autovettore per f t. Esercizio 3. [8pt.]

25 Anno: Sia f : R 4 R 4 l applicazione lineare definita da f x y z w = 3x + 2z y 2x z 2y + w (i) Si determinino gli autovalori di f specificandone la molteplicità algebrica e geometrica. (ii) Si determinino la forma di Jordan e una base di Jordan per f. Esercizio 4. [8pt.] Sia V lo spazio vettoriale dei polinomi di grado 2 a coefficienti reali e sia, : V V R il prodotto scalare definito da < p (x), p 2 (x) > = p (x) p 2 (x) dx (i) Rispetto alla base {, x, x 2 } determinare la matrice assaciata a <, >. (ii) Dire se tale prodotto scalare è degenere o non degenere. (iii) Trovare una base ortogonale per <, >. (iv) Determinare, se esiste, un vettore isotropo non nullo.

26 Anno: Test di Geometria e Algebra 24 settembre 24 tempo a disposizione : 3 minuti totale Esercizio. PUNTEGGIO : risposta mancante = -4 ; errata = da -3 a +3 ; esatta = +4 Lo spazio V è somma diretta dei sottospazi W ed S se e solo se Esercizio 2. PUNTEGGIO : risposta mancante = ; risposta esatta = + ; risposta sbagliata = - Dire se le seguenti proposizioni sono vere o false: Proposizione Vera Falsa e 5 2 πi = i z si ha z + z > f : R 4 R 3 lineare t.c. dim(ker(f)) = f è surgettiva A, B matrici invertibili n n A + B è invertibile Una matrice n n simmetrica a coefficienti in R è sempre diagonalizzabile Per ogni prodotto scalare <, > si ha: < v, w >= < w, v > Esercizio 3. PUNTEGGIO : risposta mancante o errata = ; risposta esatta = +2 z = 2 + i4, w = 3 i2 Re(z w) = dim 2, 2, 4 = A =, B = 2 = B A =

27 Anno: f x x 2 = x + x 3 x 2 x 3 = il polinomio caratteristico di f è x 3 x + x 2 2x 3 Il prodotto scalare definito su R 3 da x x 2, y y 2 = 2x y 2 + 2x 2 y + x 3 y + x y 3 = x 3 y 2 x 2 y 3 x 3 y 3 è : definito indefinito e non degenere degenere

(2) Dato il vettore w = (1, 1, 1), calcolare T (w). (3) Determinare la matrice A associata a T rispetto alla base canonica.

(2) Dato il vettore w = (1, 1, 1), calcolare T (w). (3) Determinare la matrice A associata a T rispetto alla base canonica. 1. Applicazioni lineari Esercizio 1.1. Sia T : R 2 R 3 l applicazione lineare definita sulla base canonica di R 2 nel seguente modo: T (e 1 ) = (1, 2, 1), T (e 2 ) = (1, 0, 1). a) Esplicitare T (x, y).

Dettagli

Fondamenti di Algebra Lineare e Geometria TEMA A

Fondamenti di Algebra Lineare e Geometria TEMA A Fondamenti di Algebra Lineare e Geometria Ingegneria Aerospaziale ed Ingegneria dell Energia - Canale B Secondo Appello - luglio TEMA A Risolvere i seguenti esercizi motivando adeguatamente ogni risposta.

Dettagli

Esame di Geometria - 9 CFU (Appello del 14 gennaio A)

Esame di Geometria - 9 CFU (Appello del 14 gennaio A) Esame di Geometria - 9 CFU (Appello del 4 gennaio 24 - A) Cognome: Nome: Nr.matricola: Corso di laurea: Esercizio. Si considerino le rette s : { x x 2 2x 3 = 2 3x x 2 =, { x + x s 2 : 2 x 3 = x 2 =.. Stabilire

Dettagli

SPAZI EUCLIDEI, APPLICAZIONI SIMMETRICHE, FORME QUADRATICHE

SPAZI EUCLIDEI, APPLICAZIONI SIMMETRICHE, FORME QUADRATICHE SPAZI EUCLIDEI, APPLICAZIONI SIMMETRICHE, FORME QUADRATICHE. Esercizi Esercizio. In R calcolare il modulo dei vettori,, ),,, ) ed il loro angolo. Esercizio. Calcolare una base ortonormale del sottospazio

Dettagli

GEOMETRIA E ALGEBRA LINEARE Soluzioni Appello del 17 GIUGNO Compito A

GEOMETRIA E ALGEBRA LINEARE Soluzioni Appello del 17 GIUGNO Compito A Soluzioni Appello del 17 GIUGNO 2010 - Compito A a) Se h = 7 il sistema ha infinite soluzioni (1 variabile libera), mentre se h 7 la soluzione è unica. b) Se h = 7 allora Sol(A b) = {( 7z, 5z + 5, z),

Dettagli

Soluzione. (a) L insieme F 1 e linearmente indipendente; gli insiemi F 2 ed F 3 sono linearmente

Soluzione. (a) L insieme F 1 e linearmente indipendente; gli insiemi F 2 ed F 3 sono linearmente 1. Insiemi di generatori, lineare indipendenza, basi, dimensione. Consideriamo nello spazio vettoriale R 3 i seguenti vettori: v 1 = (0, 1, ), v = (1, 1, 1), v 3 = (, 1, 0), v 4 = (3, 3, ). Siano poi F

Dettagli

Esercizi di MATEMATICA PER RCHITETTURA prima parte: Algebra Lineare e Geometria

Esercizi di MATEMATICA PER RCHITETTURA prima parte: Algebra Lineare e Geometria Esercizi di MATEMATICA PER RCHITETTURA prima parte: Algebra Lineare e Geometria Avvertenze In quanto segue tutti i vettori hanno il medesimo punto d origine O l origine dello spazio cartesiano. Possiamo

Dettagli

ESERCIZI DI ALGEBRA LINEARE (D) A = A = A = R 2,2. D5 Dire come bisogna scegliere i parametri h e k affinché la

ESERCIZI DI ALGEBRA LINEARE (D) A = A = A = R 2,2. D5 Dire come bisogna scegliere i parametri h e k affinché la ESERCIZI DI ALGEBRA LINEARE (D) D1 Nello spazio vettoriale R 2,2 si consideri l insieme { V = X R 2,2 XA = AX, A = ( 1 1 1 2 )} delle matrici che commutano con A. Verifiare che V = L(I 2, A). Verificare

Dettagli

Fondamenti di Algebra Lineare e Geometria

Fondamenti di Algebra Lineare e Geometria Fondamenti di Algebra Lineare e Geometria Ingegneria Aerospaziale ed Ingegneria dell Energia - Canale B Primo Appello - 6 giugno 24 TEMA A Risolvere i seguenti esercizi motivando adeguatamente ogni risposta.

Dettagli

Sapienza Università di Roma Corso di laurea in Ingegneria Energetica Geometria A.A ESERCIZI DA CONSEGNARE prof.

Sapienza Università di Roma Corso di laurea in Ingegneria Energetica Geometria A.A ESERCIZI DA CONSEGNARE prof. Sapienza Università di Roma Corso di laurea in Ingegneria Energetica Geometria A.A. 2015-2016 ESERCIZI DA CONSEGNARE prof. Cigliola Consegna per Martedì 6 Ottobre Esercizio 1. Una matrice quadrata A si

Dettagli

(VX) (F) Se A e B sono due matrici simmetriche n n allora anche A B è una matrice simmetrica.

(VX) (F) Se A e B sono due matrici simmetriche n n allora anche A B è una matrice simmetrica. 5 luglio 010 - PROVA D ESAME - Geometria e Algebra T NOME: MATRICOLA: a=, b=, c= Sostituire ai parametri a, b, c rispettivamente la terzultima, penultima e ultima cifra del proprio numero di matricola

Dettagli

Esercizi di GEOMETRIA I - Algebra Lineare B = , calcolare A A t A + I

Esercizi di GEOMETRIA I - Algebra Lineare B = , calcolare A A t A + I Esercizi di GEOMETRIA I - Algebra Lineare. Tra le seguenti matrici, eseguire tutti i prodotti possibili: 2 ( ) A = 0 3 4 B = 2 0 0 2 D = ( 0 ) E = ( ) 4 4 2 C = 2 0 5 F = 4 2 6 2. Data la matrice A = 0

Dettagli

AUTOVALORI, AUTOVETTORI, AUTOSPAZI

AUTOVALORI, AUTOVETTORI, AUTOSPAZI AUTOVALORI, AUTOVETTORI, AUTOSPAZI. Esercizi Esercizio. Sia f : R 3 R 3 l endomorfismo definito da f(x, y, z) = (x+y, y +z, x+z). Calcolare gli autovalori ed una base per ogni autospazio di f. Dire se

Dettagli

I VERIFICA DI GEOMETRIA 1 CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA - 4 DICEMBRE 2007

I VERIFICA DI GEOMETRIA 1 CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA - 4 DICEMBRE 2007 A I VERIFICA DI GEOMETRIA 1 CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA - 4 DICEMBRE 2007 ESERCIZIO 1. Si consideri il seguente sistema di equazioni lineari x + y + 2z = 1 2x + ky + 4z = h 2x 2y + kz = 0 (a) Determinare,

Dettagli

Esercitazione di Geometria I 13 dicembre Esercizio 1. Esercizio 2. Esercizio 3

Esercitazione di Geometria I 13 dicembre Esercizio 1. Esercizio 2. Esercizio 3 Esercitazione di Geometria I 13 dicembre 2008 a. Completa la seguente definizione: i vettori v 1, v 2,..., v n del K-spazio vettoriale V si dicono linearmente dipendenti se... b. Siano w 1, w 2, w 3 vettori

Dettagli

Ingegneria Gestionale - Corso di Analisi II e Algebra anno accademico 2008/2009

Ingegneria Gestionale - Corso di Analisi II e Algebra anno accademico 2008/2009 Ingegneria Gestionale - Corso di Analisi II e Algebra anno accademico 28/29 Dire se le seguenti proposizioni sono vere o false: ESERCITAZIONE. Proposizione Vera Falsa f : R R 4 rk(f f : R 4 R rk(f f :

Dettagli

Applicazioni lineari e diagonalizzazione pagina 1 di 5

Applicazioni lineari e diagonalizzazione pagina 1 di 5 pplicazioni lineari e diagonalizzazione pagina 1 di 5 PPLIZIONI LINERI 01. Dire quali delle seguenti applicazioni tra IR-spazi vettoriali sono lineari a. f :IR 2 IR 3 f(x y =(x y πy b. f :IR 3 IR 3 f(x

Dettagli

Esercizi di Geometria - 1

Esercizi di Geometria - 1 Esercizi di Geometria - Samuele Mongodi - smongodi@snsit Di seguito si trovano alcuni esercizi assai simili a quelli che vi troverete ad affrontare nei test e negli scritti dell esame Non è detto che vi

Dettagli

REGISTRO DELLE LEZIONI

REGISTRO DELLE LEZIONI UNIVERSITA DEGLI STUDI DI GENOVA FACOLTA DI SCIENZE MATEMATICHE, FISICHE E NATURALI REGISTRO DELLE LEZIONI del Corso UFFICIALE di GEOMETRIA B tenute dal prof. Domenico AREZZO nell anno accademico 2006/2007

Dettagli

FONDAMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA

FONDAMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA Cognome Nome Matricola FONDAMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA Ciarellotto, Esposito, Garuti Prova del 21 settembre 2013 Dire se è vero o falso (giustificare le risposte. Bisogna necessariamente rispondere

Dettagli

DIARIO DEL CORSO DI GEOMETRIA E ALGEBRA LINEARE

DIARIO DEL CORSO DI GEOMETRIA E ALGEBRA LINEARE DIARIO DEL CORSO DI GEOMETRIA E ALGEBRA LINEARE DOCENTI: S. MATTAREI (TITOLARE), G. VIGNA SURIA, D. FRAPPORTI Prima settimana. Lezione di martedí 23 febbraio 2010 Introduzione al corso: applicazioni dell

Dettagli

Spazi euclidei, endomorfismi simmetrici, forme quadratiche. R. Notari

Spazi euclidei, endomorfismi simmetrici, forme quadratiche. R. Notari Spazi euclidei, endomorfismi simmetrici, forme quadratiche R. Notari 14 Aprile 2006 1 1. Proprietà del prodotto scalare. Sia V = R n lo spazio vettoriale delle n-uple su R. Il prodotto scalare euclideo

Dettagli

Esercizi Applicazioni Lineari

Esercizi Applicazioni Lineari Esercizi Applicazioni Lineari (1) Sia f : R 4 R 2 l applicazione lineare definita dalla legge f(x, y, z, t) = (x + y + z, y + z + t). (a) Determinare il nucleo di f, l immagine di f, una loro base e le

Dettagli

PROGRAMMA del corso di. GEOMETRIA 1 - Algebra Lineare. Laurea Triennale in Matematica. Anno Accademico 2007/08. docente : Bruno Zimmermann

PROGRAMMA del corso di. GEOMETRIA 1 - Algebra Lineare. Laurea Triennale in Matematica. Anno Accademico 2007/08. docente : Bruno Zimmermann PROGRAMMA del corso di GEOMETRIA 1 - Algebra Lineare Laurea Triennale in Matematica Anno Accademico 2007/08 docente : Bruno Zimmermann (Il presente programma è stato redatto sulla base degli appunti del

Dettagli

Applicazioni lineari e diagonalizzazione. Esercizi svolti

Applicazioni lineari e diagonalizzazione. Esercizi svolti . Applicazioni lineari Esercizi svolti. Si consideri l applicazione f : K -> K definita da f(x,y) = x + y e si stabilisca se è lineare. Non è lineare. Possibile verifica: f(,) = 4; f(,4) = 6; quindi f(,4)

Dettagli

Autovalori e autovettori

Autovalori e autovettori Autovalori e autovettori Definizione 1 (per endomorfismi). Sia V uno spazio vettoriale su di un campo K e f : V V un suo endomorfismo. Si dice autovettore per f ogni vettore x 0 tale che f(x) = λx, per

Dettagli

Foglio di esercizi numero 2 Corso di Fondamenti di Algebra Lineare e Geometria Ingegneria Aerospaziale e Meccanica

Foglio di esercizi numero 2 Corso di Fondamenti di Algebra Lineare e Geometria Ingegneria Aerospaziale e Meccanica Foglio di esercizi numero 2 Corso di Fondamenti di Algebra Lineare e Geometria Ingegneria Aerospaziale e Meccanica Esercizio 1. Sia f l endomorfismo di R 4 definito nel modo seguente: f(x, y, z, w) = (w,

Dettagli

Complemento ortogonale e proiezioni

Complemento ortogonale e proiezioni Complemento ortogonale e proiezioni Dicembre 9 Complemento ortogonale di un sottospazio Sie E un sottospazio di R n Definiamo il complemento ortogonale di E come l insieme dei vettori di R n ortogonali

Dettagli

Universita degli Studi di Ancona Laurea in Ingegneria Meccanica ed Informatica a Distanza Anno Accademico 2005/2006. Matematica 2 (Analisi)

Universita degli Studi di Ancona Laurea in Ingegneria Meccanica ed Informatica a Distanza Anno Accademico 2005/2006. Matematica 2 (Analisi) Universita degli Studi di Ancona Laurea in Ingegneria Meccanica ed Informatica a Distanza Anno Accademico 2005/2006 Matematica 2 (Analisi) Nome:................................. N. matr.:.................................

Dettagli

Autovalori e autovettori, matrici simmetriche e forme quadratiche (cenni) (prof. M. Salvetti)

Autovalori e autovettori, matrici simmetriche e forme quadratiche (cenni) (prof. M. Salvetti) Autovalori e autovettori, matrici simmetriche e forme quadratiche (cenni) (prof. M. Salvetti) April 14, 2011 (alcune note non complete sugli argomenti trattati: eventuali completamenti saranno aggiunti)

Dettagli

Corso di Geometria Ing. Informatica e Automatica Test 1: soluzioni

Corso di Geometria Ing. Informatica e Automatica Test 1: soluzioni Corso di Geometria Ing. Informatica e Automatica Test : soluzioni k Esercizio Data la matrice A = k dipendente dal parametro k, si consideri il k sistema lineare omogeneo AX =, con X = x x. Determinare

Dettagli

Tempo a disposizione. 120 minuti. 1 Sia dato l endomorfismo f : R 3 R 3 la cui matrice rispetto alla base canonica di R 3 è.

Tempo a disposizione. 120 minuti. 1 Sia dato l endomorfismo f : R 3 R 3 la cui matrice rispetto alla base canonica di R 3 è. Dipartimento di Matematica e Informatica Anno Accademico 2015-2016 Corso di Laurea in Informatica (L-31) Prova in itinere di Matematica Discreta (12 CFU) 13 Giugno 2016 B2 Tempo a disposizione. 120 minuti

Dettagli

Tempo a disposizione: 150 minuti. 1 È dato l endomorfismo f : R 3 R 3 definito dalle relazioni

Tempo a disposizione: 150 minuti. 1 È dato l endomorfismo f : R 3 R 3 definito dalle relazioni Università degli Studi di Catania Anno Accademico 2014-2015 Corso di Laurea in Informatica Prova in itinere di Matematica Discreta (12 CFU) 17 Aprile 2015 Prova completa Tempo a disposizione: 150 minuti

Dettagli

Elementi di Algebra Lineare Applicazioni lineari

Elementi di Algebra Lineare Applicazioni lineari Elementi di Algebra Lineare Applicazioni lineari Cristina Turrini UNIMI - 2016/2017 Cristina Turrini (UNIMI - 2016/2017) Elementi di Algebra Lineare 1 / 50 index Applicazioni lineari 1 Applicazioni lineari

Dettagli

Compito Parziale di Algebra lineare e Geometria analitica. 2x + 3y + 2z = 0 x y z = 0

Compito Parziale di Algebra lineare e Geometria analitica. 2x + 3y + 2z = 0 x y z = 0 Compito Parziale di Algebra lineare e Geometria analitica ) Dire se il seguente sottoinsieme di R 3 H = (x; y; z) R 3 : x + 3y + z = x y z = è o non un sottospazio vettoriale di R 3 e eventualmente calcolarne

Dettagli

CdL in Ingegneria Gestionale e CdL in Ingegneria del Recupero Edilizio ed Ambientale

CdL in Ingegneria Gestionale e CdL in Ingegneria del Recupero Edilizio ed Ambientale CdL in Ingegneria Gestionale e CdL in Ingegneria del Recupero Edilizio ed Ambientale della prova scritta di Algebra Lineare e Geometria- Compito A- 8 Aprile 8 E assegnato l endomorfismo f : R 3 R 3 definito

Dettagli

MATRICI E SISTEMI LINEARI

MATRICI E SISTEMI LINEARI - - MATRICI E SISTEMI LINEARI ) Calcolare i seguenti determinanti: a - c - d - e - f - g - 8 7 8 h - ) Calcolare per quali valori di si annullano i seguenti determinanti: a - c - ) Calcolare il rango delle

Dettagli

(a) 8x 9y = 2, (b) 28x + 6y = 33.

(a) 8x 9y = 2, (b) 28x + 6y = 33. Dipartimento di Matematica e Informatica Anno Accademico 2016-2017 Corso di Laurea in Informatica (L-31) Prova scritta di Matematica Discreta (12 CFU) 28 Giugno 2017 Parte A A1 1 [10 punti] Dimostrare

Dettagli

Esercizi di Geometria e Algebra Lineare C.d.L. Ingegneria Meccanica

Esercizi di Geometria e Algebra Lineare C.d.L. Ingegneria Meccanica Esercizi di Geometria e Algebra Lineare C.d.L. Ingegneria Meccanica 1) Dati i vettori a = (2, 4), b = (1, 2), c = ( 1, 1), d = (3, 6), stabilire se c e d appartengono a Span(a, b}). 2) Nello spazio vettoriale

Dettagli

Algebra lineare Geometria 1 11 luglio 2008

Algebra lineare Geometria 1 11 luglio 2008 Algebra lineare Geometria 1 11 luglio 2008 Esercizio 1. Si considerino la funzione: { R f : 3 R 3 (α, β, γ) ( 2β α γ, (k 1)β + (1 k)γ α, 3β + (k 2)γ ) dove k è un parametro reale, e il sottospazio U =

Dettagli

Esercizi di ripasso: geometria e algebra lineare.

Esercizi di ripasso: geometria e algebra lineare. Esercizi di ripasso: geometria e algebra lineare. Esercizio. Sia r la retta passante per i punti A(2,, 3) e B(,, 2) in R 3. a. Scrivere l equazione cartesiana del piano Π passante per A e perpendicolare

Dettagli

Soluzioni agli Esercizi di Geometria e Algebra per Ingegneria Aerospaziale (nuovo ordinamento)

Soluzioni agli Esercizi di Geometria e Algebra per Ingegneria Aerospaziale (nuovo ordinamento) Soluzioni agli Esercizi di Geometria e Algebra per Ingegneria Aerospaziale (nuovo ordinamento) Relazioni 1) Quali delle seguenti relazioni sono di equivalenza? x, y R {0} xry x/y Q x, y Z xry x + y è divisibile

Dettagli

Esercizi 1 Spazi vettoriali. { (x, y, z) R 3 (x, y, z) (2, 2, 2) } ;

Esercizi 1 Spazi vettoriali. { (x, y, z) R 3 (x, y, z) (2, 2, 2) } ; Esercizi 1 Spazi vettoriali Esercizio. Si dica quali dei seguenti sottoinsiemi di R 3 sono sottospazi vettoriali su R: { (x y z R 3 x y z Z } ; { (x y z R 3 x y z Q } ; { (x y z R 3 (x y z (2 2 2 } ; {

Dettagli

Elementi di Algebra Lineare. Spazio Vettoriale (lineare)

Elementi di Algebra Lineare. Spazio Vettoriale (lineare) Elementi di Algebra Lineare Spazio Vettoriale (lineare) Uno spazio vettoriale su un corpo F è una quadrupla (X, F, +, ) costituita da: un insieme di elementi X, detti vettori, un corpo F, i cui elementi

Dettagli

Esercizi di GEOMETRIA e ALGEBRA LINEARE (Ingegneria Ambientale e Civile - Curriculum Ambientale)

Esercizi di GEOMETRIA e ALGEBRA LINEARE (Ingegneria Ambientale e Civile - Curriculum Ambientale) Esercizi di GEOMETRIA e ALGEBRA LINEARE (Ingegneria Ambientale e Civile - Curriculum Ambientale). Tra le seguenti matrici, eseguire tutti i prodotti possibili: 2 ( ) A = 0 3 4 B = C = 2 2 0 0 2 D = ( 0

Dettagli

Per le risposte utilizza gli spazi predisposti. Quando richiesto, il procedimento va esposto brevemente, ma in maniera comprensibile.

Per le risposte utilizza gli spazi predisposti. Quando richiesto, il procedimento va esposto brevemente, ma in maniera comprensibile. COGNOME............................... NOME..................................... Punti ottenuti Esame di geometria Scrivi cognome e nome negli spazi predisposti in ciascuno dei tre fogli. Per ogni domanda

Dettagli

SPAZI VETTORIALI CON PRODOTTO SCALARE A =

SPAZI VETTORIALI CON PRODOTTO SCALARE A = SPAZI VETTORIALI CON PRODOTTO SCALARE Esercizi Esercizio. Nello spazio euclideo standard (R 2,, ) sia data la matrice 2 3 A = 3 2 () Determinare una base rispetto alla quale A sia la matrice di un endomorfismo

Dettagli

Tutoraggio di Algebra Lineare e Geometria. Correzione del tema d'esame del 28/2/2006

Tutoraggio di Algebra Lineare e Geometria. Correzione del tema d'esame del 28/2/2006 Tutoraggio di Algebra Lineare e Geometria Correzione del tema d'esame del 8//6 Esercizio. Si considerino in R 4 i vettori : v =, v =, v = / / a) si dica se tali vettori sono linearemente indipendenti e

Dettagli

Endomorfismi e matrici simmetriche

Endomorfismi e matrici simmetriche CAPITOLO Endomorfismi e matrici simmetriche Esercizio.. [Esercizio 5) cap. 9 del testo Geometria e algebra lineare di Manara, Perotti, Scapellato] Calcolare una base ortonormale di R 3 formata da autovettori

Dettagli

ESERCIZI DI ALGEBRA LINEARE. Vincenzo Di Gennaro

ESERCIZI DI ALGEBRA LINEARE. Vincenzo Di Gennaro ESERCIZI DI ALGEBRA LINEARE Vincenzo Di Gennaro Sono raccolti, in ordine cronologico, gli esercizi di Algebra Lineare proposti nelle prove scritte per i vari corsi di Geometria che ho tenuto presso la

Dettagli

2 Sistemi lineari. Metodo di riduzione a scala.

2 Sistemi lineari. Metodo di riduzione a scala. Sistemi lineari. Metodo di riduzione a scala. Esercizio.1 Utilizzando il metodo di eliminazione di Gauss, risolvere i seguenti sistemi lineari: 1. 3. x 1 x + 3x 3 = 1 x 1 x x 3 = x 1 + x + 3x 3 = 5 x 1

Dettagli

A.A. 2014/2015 Corso di Algebra Lineare

A.A. 2014/2015 Corso di Algebra Lineare A.A. 2014/2015 Corso di Algebra Lineare Stampato integrale delle lezioni Massimo Gobbino Indice Lezione 01: Vettori geometrici nel piano cartesiano. Operazioni tra vettori: somma, prodotto per un numero,

Dettagli

15 luglio Soluzione esame di geometria - Ing. gestionale - a.a COGNOME... NOME... N. MATRICOLA... ISTRUZIONI

15 luglio Soluzione esame di geometria - Ing. gestionale - a.a COGNOME... NOME... N. MATRICOLA... ISTRUZIONI 15 luglio 01 - Soluzione esame di geometria - Ing. gestionale - a.a. 01-01 COGNOME.......................... NOME.......................... N. MATRICOLA............. La prova dura ore. ISTRUZIONI Ti sono

Dettagli

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI ROMA TRE Corso di Laurea in Matematica GE110 - Geometria 1 a.a Prova scritta del TESTO E SOLUZIONI

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI ROMA TRE Corso di Laurea in Matematica GE110 - Geometria 1 a.a Prova scritta del TESTO E SOLUZIONI UNIVERSITÀ DEGLI STUDI ROMA TRE Corso di Laurea in Matematica GE110 - Geometria 1 a.a. 2011-2012 Prova scritta del 28-1-2013 TESTO E SOLUZIONI 1. Per k R considerare il sistema lineare X 1 X 2 + kx 3 =

Dettagli

DIAGONALIZZAZIONE. M(f) =

DIAGONALIZZAZIONE. M(f) = DIAGONALIZZAZIONE Esercizi Esercizio 1. Sia f End(R 3 ) associato alla matrice M(f) = 0 1 2 0. 2 (1) Determinare gli autovalori di f e le relative molteplicità. (2) Determinare gli autospazi di f e trovare,

Dettagli

10 dicembre Soluzione esame di geometria - Ingegneria gestionale - a.a COGNOME... NOME... N. MATRICOLA...

10 dicembre Soluzione esame di geometria - Ingegneria gestionale - a.a COGNOME... NOME... N. MATRICOLA... 10 dicembre 003 - Soluzione esame di geometria - Ingegneria gestionale - a.a. 003-004 COGNOME.......................... NOME.......................... N. MATRICOLA............. La prova dura 3 ore. ISTRUZIONI

Dettagli

Dipartimento di Matematica Corso di laurea in Fisica Compito di Geometria assegnato il 1 Febbraio 2002

Dipartimento di Matematica Corso di laurea in Fisica Compito di Geometria assegnato il 1 Febbraio 2002 Compito di Geometria assegnato il 1 Febbraio 2002 Trovare l equazione della conica irriducibile tangente all asse x nel punto A(2, 0), tangente all asse y e passante per i punti B(1, 1) e C(2, 2) Scrivere

Dettagli

ii 1.20 Rango di una matrice Studio dei sistemi lineari Teoremi di Cramer e Rouché-Capelli......

ii 1.20 Rango di una matrice Studio dei sistemi lineari Teoremi di Cramer e Rouché-Capelli...... Indice Prefazione vii 1 Matrici e sistemi lineari 1 1.1 Le matrici di numeri reali................. 1 1.2 Nomenclatura in uso per le matrici............ 3 1.3 Matrici ridotte per righe e matrici ridotte

Dettagli

Prova scritta di Geometria 18/01/2016, Soluzioni Ing. Meccanica a.a

Prova scritta di Geometria 18/01/2016, Soluzioni Ing. Meccanica a.a Prova scritta di Geometria 8//26, Soluzioni Ing. Meccanica a.a. 25-6 Esercizio È data la conica γ : 3x2 2xy + 3y 2 + 8x + 3 =. a) Verificare che la conica è un ellisse e determinarne la forma canonica.

Dettagli

Soluzioni Secondi compitini - Geometria 1

Soluzioni Secondi compitini - Geometria 1 Soluzioni Secondi compitini - Geometria Caterina Vernieri Novembre 27 (Le soluzioni proposte non sono state riviste dai professori) Soluzioni Secondi Compitini - G 2 II compitino 7/2/2 Esercizio Nello

Dettagli

Università degli Studi di Catania CdL in Ingegneria Industriale

Università degli Studi di Catania CdL in Ingegneria Industriale CdL in ngegneria ndustriale Prova scritta di Algebra Lineare e Geometria del 27 gennaio 2014 Usare solo carta fornita dal Dipartimento di Matematica e nformatica, riconsegnandola tutta. È vietato consultare

Dettagli

Parte 8. Prodotto scalare, teorema spettrale

Parte 8. Prodotto scalare, teorema spettrale Parte 8. Prodotto scalare, teorema spettrale A. Savo Appunti del Corso di Geometria 3-4 Indice delle sezioni Prodotto scalare in R n, Basi ortonormali, 4 3 Algoritmo di Gram-Schmidt, 7 4 Matrici ortogonali,

Dettagli

Parte 7. Autovettori e autovalori

Parte 7. Autovettori e autovalori Parte 7. Autovettori e autovalori A. Savo Appunti del Corso di Geometria 23-4 Indice delle sezioni Endomorfismi, 2 Cambiamento di base, 3 3 Matrici simili, 6 4 Endomorfismi diagonalizzabili, 7 5 Autovettori

Dettagli

QUADERNI DIDATTICI. Dipartimento di Matematica. Esercizi di Geometria ealgebralinearei Corso di Studi in Fisica

QUADERNI DIDATTICI. Dipartimento di Matematica. Esercizi di Geometria ealgebralinearei Corso di Studi in Fisica Università ditorino QUADERNI DIDATTICI del Dipartimento di Matematica E Abbena, G M Gianella Esercizi di Geometria ealgebralinearei Corso di Studi in Fisica Quaderno # 6 - Aprile 003 Gli esercizi proposti

Dettagli

(E) : 2x 43 mod 5. (2 + h)x + y = 0

(E) : 2x 43 mod 5. (2 + h)x + y = 0 Dipartimento di Matematica e Informatica Anno Accademico 2016-2017 Corso di Laurea in Informatica (L-31) Prova scritta di Matematica Discreta (12 CFU) 27 Settembre 2017 Parte A 1 [10 punti] Sia data la

Dettagli

ESERCIZI DI MATEMATICA DISCRETA ANNO 2006/2007

ESERCIZI DI MATEMATICA DISCRETA ANNO 2006/2007 ESERCIZI DI MATEMATICA DISCRETA ANNO 6/7 //7 () Ridurre la seguente matrice ad una a scala ridotta utilizzando il metodo di Gauss-Jordan. Soluzione. () Determinare quante e quali sono le matrici a scala

Dettagli

Corso di Algebra lineare - a.a Prova scritta del Compito A

Corso di Algebra lineare - a.a Prova scritta del Compito A Prova scritta del 23.02.2009 Compito A Esercizio 1. Sia Oxyz un sistema di riferimento ortonormale in uno spazio euclideo di dimensione 3. Siano inoltre P 1, P 2 e Q i punti di coordinate rispettivamente

Dettagli

Matrici simili. Matrici diagonalizzabili.

Matrici simili. Matrici diagonalizzabili. Matrici simili. Matrici diagonalizzabili. Definizione (Matrici simili) Due matrici quadrate A, B si dicono simili se esiste una matrice invertibile P tale che B = P A P. () interpretazione: cambio di base.

Dettagli

8 febbraio Esame di geometria - Ingegneria gestionale - a.a COGNOME... NOME... N. MATRICOLA... ISTRUZIONI

8 febbraio Esame di geometria - Ingegneria gestionale - a.a COGNOME... NOME... N. MATRICOLA... ISTRUZIONI 8 febbraio 016 - Esame di geometria - Ingegneria gestionale - a.a. 015-016 COGNOME.......................... NOME.......................... N. MATRICOLA............. La prova dura ore. ISTRUZIONI Ti sono

Dettagli

Prodotto interno (prodotto scalare definito positivo)

Prodotto interno (prodotto scalare definito positivo) Contenuto Prodotto scalare. Lunghezza, ortogonalità. Sistemi e basi ortonormali. Somma diretta: V = U U. Proiezioni. Teorema di Pitagora, disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Angoli. Federico Lastaria. Analisi

Dettagli

Esame di Geometria - 9 CFU (Appello del 20 Giugno A)

Esame di Geometria - 9 CFU (Appello del 20 Giugno A) Esame di Geometria - 9 CFU (Appello del 20 Giugno 2012 - A) Cognome: Nome: Nr.matricola: Corso di laurea: Esercizio 1. Siano dati, al variare del parametro k R, i piani: π 1 : x 2y + 2z = 2, π 2 : z =

Dettagli

Esame di geometria e algebra

Esame di geometria e algebra Laurea Ing. 26 febbraio 2007 Traccia I COG 1 In R 3 sono assegnati i vettori: u 1 = (2, h, 0), u 2 = (1, 0, h), u 3 = (h, 1, 2). Stabilire se esistono valori reali del parametro h per cui S = {u 1, u 2,

Dettagli

Diario delle lezioni e esercizi settimanali per il corso di Algebra Lineare - Canale I-Z

Diario delle lezioni e esercizi settimanali per il corso di Algebra Lineare - Canale I-Z Diario delle lezioni e esercizi settimanali per il corso di Algebra Lineare - Canale I-Z Anno Accedemico 204-5, I Semestre Docente: Alberto De Sole Lezione : lunedì 29 settembre 204, 2 ore Lettura: AdF

Dettagli

Esercizi per il corso di Algebra e Geometria L.

Esercizi per il corso di Algebra e Geometria L. Esercizi per il corso di Algebra e Geometria L AA 2006/2007 1 Foglio 1 In tutti gli esercizi che seguiranno lo spazio ambiente sarà il piano cartesiano a valori nel campo dei numeri reali, dove supporremo

Dettagli

Sistemi differenziali 2 2: esercizi svolti. 1 Sistemi lineari Stabilità nei sistemi lineari

Sistemi differenziali 2 2: esercizi svolti. 1 Sistemi lineari Stabilità nei sistemi lineari Sistemi differenziali : esercizi svolti 1 Sistemi lineari Stabilità nei sistemi lineari 14 1 Sistemi differenziali : esercizi svolti 1 Sistemi lineari Gli esercizi contrassegnati con il simbolo * presentano

Dettagli

Formulario sui Prodotti Hermitiani Marcello Mamino Pisa, 24 v 2010

Formulario sui Prodotti Hermitiani Marcello Mamino Pisa, 24 v 2010 Formulario sui Prodotti Hermitiani Marcello Mamino Pisa, 24 v 2010 In quetsa dispensa: V è uno spazio vettoriale di dimensione d sul campo complesso C generato dai vettori v 1,..., v d. Le variabili m,

Dettagli

(P x) (P y) = x P t (P y) = x (P t P )y = x y.

(P x) (P y) = x P t (P y) = x (P t P )y = x y. Matrici ortogonali Se P è una matrice reale n n, allora (P x) y x (P t y) per ogni x,y R n (colonne) Dim (P x) y (P x) t y (x t P t )y x t (P t y) x (P t y), CVD Ulteriori caratterizzazioni delle matrici

Dettagli

CORSO DI LAUREA in Ingegneria Informatica (Vecchio Ordinamento)

CORSO DI LAUREA in Ingegneria Informatica (Vecchio Ordinamento) CORSO D LAUREA in ngegneria nformatica (Vecchio Ordinamento) Prova scritta di Geometria assegnata il 19/3/2002 Sia f : R 3 R 4 l applicazione lineare la cui matrice associata rispetto alle basi canoniche

Dettagli

Appunti di Geometria - 5

Appunti di Geometria - 5 Appunti di Geometria - 5 Samuele Mongodi - s.mongodi@sns.it Segnatura di un prodotto scalare Richiami Sia V uno spazio vettoriale reale di dimensione n; sia, : V V R un prodotto scalare. Data una base

Dettagli

appuntiofficinastudenti.com 1. Strutture algebriche e polinomi

appuntiofficinastudenti.com 1. Strutture algebriche e polinomi 1. Strutture algebriche e polinomi Cenni su linguaggio di Teoria degli Insiemi: appartenenza, variabili, quantificatori, negazione, implicazione, equivalenza, unione, intersezione, prodotto cartesiano,

Dettagli

1 Il polinomio minimo.

1 Il polinomio minimo. Abstract Il polinomio minimo, così come il polinomio caratterisico, è un importante invariante per le matrici quadrate. La forma canonica di Jordan è un approssimazione della diagonalizzazione, e viene

Dettagli

Analisi Matematica II - INGEGNERIA Gestionale - B 20 luglio 2017 Cognome: Nome: Matricola:

Analisi Matematica II - INGEGNERIA Gestionale - B 20 luglio 2017 Cognome: Nome: Matricola: Analisi Matematica II - INGEGNERIA Gestionale - B luglio 7 Cognome: Nome: Matricola: IMPORTANTE: Giustificare tutte le affermazioni e riportare i calcoli essenziali Esercizio [8 punti] Data la matrice

Dettagli

APPUNTI DI ALGEBRA LINEARE

APPUNTI DI ALGEBRA LINEARE APPUNTI DI ALGEBRA LINEARE. Definizione Si dice spazio vettoriale (sul campo dei numeri reali R) un insieme V per il quale siano definite l operazione interna di somma (che ad ogni coppia di vettori e

Dettagli

AUTOVALORI E AUTOVETTORI

AUTOVALORI E AUTOVETTORI Capitolo 4 AUTOVALORI E AUTOVETTORI Abbiamo visto nel paragrafo 2.17 che la matrice associata ad una applicazione lineare f : R n R m dipende dalle basi scelte in R n e R m. Un problema interessante che

Dettagli

Lezioni di Algebra Lineare con applicazioni alla Geometria Analitica Errata Corrige. Fulvio Bisi, Francesco Bonsante, Sonia Brivio

Lezioni di Algebra Lineare con applicazioni alla Geometria Analitica Errata Corrige. Fulvio Bisi, Francesco Bonsante, Sonia Brivio Lezioni di Algebra Lineare con applicazioni alla Geometria Analitica Errata Corrige Fulvio Bisi, Francesco Bonsante, Sonia Brivio Riportiamo di seguito gli errata corrige principali, aggiornati alla data

Dettagli

Operatori antisimmetrici

Operatori antisimmetrici Operatori antisimmetrici F. Pugliese November 9, 2011 Abstract In questa breve nota ricordiamo le principali proprietà degli endomorfismi antisimmetrici di uno spazio vettoriale euclideo. Nel caso di spazi

Dettagli

Autovalori, Autovettori, Diagonalizzazione.

Autovalori, Autovettori, Diagonalizzazione. Autovalori Autovettori Diagonalizzazione Autovalori e Autovettori Definizione Sia V uno spazio vettoriale sul campo K = R o C e sia T : V V un endomorfismo Un vettore non nullo v V \ {O} si dice autovettore

Dettagli

Matematica Discreta e Algebra Lineare (per Informatica)

Matematica Discreta e Algebra Lineare (per Informatica) Matematica Discreta e Algebra Lineare (per Informatica) Docente: Alessandro Berarducci Anno accademico 2016-2017, versione 14 Marzo 2017 Tipiche domande d esame La seguente lista di domande non intende

Dettagli

3. Vettori, Spazi Vettoriali e Matrici

3. Vettori, Spazi Vettoriali e Matrici 3. Vettori, Spazi Vettoriali e Matrici Vettori e Spazi Vettoriali Operazioni tra vettori Basi Trasformazioni ed Operatori Operazioni tra Matrici Autovalori ed autovettori Forme quadratiche, quadriche e

Dettagli

16 gennaio Soluzione esame di geometria - 12 crediti Ingegneria gestionale - a.a COGNOME... NOME... N. MATRICOLA...

16 gennaio Soluzione esame di geometria - 12 crediti Ingegneria gestionale - a.a COGNOME... NOME... N. MATRICOLA... 16 gennaio 017 - Soluzione esame di geometria - 1 crediti Ingegneria gestionale - a.a. 016-017 COGNOME.......................... NOME.......................... N. MATRICOLA............. La prova dura ore.

Dettagli

Esercizi di Geometria - 2

Esercizi di Geometria - 2 Esercizi di Geometria - 2 Samuele Mongodi - s.mongodi@sns.it La prima sezione contiene alcune domande aperte e alcune domande verofalso, come quelle che potrebbero capitare nel test. E consigliabile, nel

Dettagli

(E) : 4x 181 mod 3. h(h 1)x + 4hy = 0

(E) : 4x 181 mod 3. h(h 1)x + 4hy = 0 Dipartimento di Matematica e Informatica Anno Accademico 206-207 Corso di Laurea in Informatica (L-3) Prova scritta di Matematica Discreta (2 CFU) 6 Settembre 207 Parte A [0 punti] Sia data la successione

Dettagli

Esercizi per Geometria II Geometria euclidea e proiettiva

Esercizi per Geometria II Geometria euclidea e proiettiva Esercizi per Geometria II Geometria euclidea e proiettiva Filippo F. Favale 8 aprile 014 Esercizio 1 Si consideri E dotato di un riferimento cartesiano ortonormale di coordinate (x, y) e origine O. Si

Dettagli

Similitudine (ortogonale) e congruenza (ortogonale) di matrici.

Similitudine (ortogonale) e congruenza (ortogonale) di matrici. Lezione del 4 giugno. Il riferimento principale di questa lezione e costituito da parti di: 2 Forme bilineari, quadratiche e matrici simmetriche associate, 3 Congruenza di matrici simmetriche, 5 Forme

Dettagli

FONDAMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA INGEGNERIA CHIMICA E DEI MATERIALI 8 SETTEMBRE 2015 VERSIONE A

FONDAMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA INGEGNERIA CHIMICA E DEI MATERIALI 8 SETTEMBRE 2015 VERSIONE A FONDAMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA INGEGNERIA CHIMICA E DEI MATERIALI 8 SETTEMBRE 015 VERSIONE A DOCENTE: MATTEO LONGO 1. Domande. Esercizi Esercizio 1 (8 punti). Al variare del parametro a R, considerare

Dettagli

MATRICI ORTOGONALI. MATRICI SIMMETRICHE E FORME QUADRATICHE

MATRICI ORTOGONALI. MATRICI SIMMETRICHE E FORME QUADRATICHE DIAGONALIZZAZIONE 1 MATRICI ORTOGONALI. MATRICI SIMMETRICHE E FORME QUADRATICHE Matrici ortogonali e loro proprietà. Autovalori ed autospazi di matrici simmetriche reali. Diagonalizzazione mediante matrici

Dettagli

Classificazione delle coniche.

Classificazione delle coniche. Classificazione delle coniche Ora si vogliono studiare i luoghi geometrici rappresentati da equazioni di secondo grado In generale, non è facile riconoscere a prima vista di che cosa si tratta, soprattutto

Dettagli

Corso di Matematica Discreta. Anno accademico Appunti sulla diagonalizzazione.

Corso di Matematica Discreta. Anno accademico Appunti sulla diagonalizzazione. Corso di Matematica Discreta. Anno accademico 2008-2009 Appunti sulla diagonalizzazione. Autovalori e autovettori di un endomorfismo lineare. Sia T : V V una applicazione lineare da uno spazio vettoriale

Dettagli

a + 2b + c 3d = 0, a + c d = 0 c d

a + 2b + c 3d = 0, a + c d = 0 c d SPAZI VETTORIALI 1. Esercizi Esercizio 1. Stabilire quali dei seguenti sottoinsiemi sono sottospazi: V 1 = {(x, y, z) R 3 /x = y = z} V = {(x, y, z) R 3 /x = 4} V 3 = {(x, y, z) R 3 /z = x } V 4 = {(x,

Dettagli

Spazi vettoriali, matrici, determinante. { det(a) se n é pari det(a) se n é dispari

Spazi vettoriali, matrici, determinante. { det(a) se n é pari det(a) se n é dispari Esercizi natalizi Spazi vettoriali, matrici, determinante Ex. 1 Sia K un campo e n N. A M n (K). (a) Dimostrare che det( A) = { det(a) se n é pari det(a) se n é dispari (b) Dimostrare che ogni matrice

Dettagli