Fondamenti di Algebra Lineare e Geometria TEMA A
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- Camilla Gambino
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1 Fondamnti di Algbra Linar Gomtria Inggnria Arospazial d Inggnria dll Enrgia - Canal B Quarto Appllo - 3 fbbraio 5 TEMA A Risolvr i sgunti srcizi motivando adguatamnt ogni risposta. () Sia data la matric A l = l l l l l. (a) (3pt) Si dtrmini pr quali valori rali di l la matric A l è diagonalizzabil su R. (b) (3pt) Pr l = 3 si dtrminino una matric diagonal D d una matric invrtibil P pr l quali D = P A l P. () (pt) Si risolva il sistma linar nll incognit x, x, x 3 C x +x ix 3 = + i ( i)x +( i)x ( + i)x 3 = 3i + ( + i)x +( + i)x (i )x 3 = 3i (3) Siano dati i sottospazi di R 5 U =,,, 5 3 d x W = y z R x + y + z w = ; y + z =. w (a) (pt) Si dtrminino una bas B di U d una bas C di W. (b) (3pt) Si dtrminino una bas di (U + W ), d una bas di (U W ).
2 () Siano dat l basi B = {, + x, + x + x, + x + x + x 3 } B = {, x, x, x 3 } di R[x] 3, la bas canonica C =,,,, di R 5 l applicazion linar T : R[x] 3 R 5 dtrminata dall sgunti condizioni: T () = 8 ; T (+x) = ; T (+x+x ) = 3 ; T (+x+x +x 3 ) = 8. (a) (pt) Si dtrminino M B,C (T ) M B,C (T ). 8 (b) (pt) Si dica s il vttor v = appartin all immagin di T. In caso 8 affrmativo, si dtrmini la controimmagin di v. (c) (pt) Si dica s T è inittiva, surittiva, bittiva, motivando la risposta. (5) Nllo spazio uclido tridimnsional, al variar dl paramtro ral a, siano dati il piano β la rtta r di quazioni rispttivamnt: (a )y + az =, ax + y + az = ; x + az =. (a) (3pt) Dtrminar pr quali valori di a la rtta r d il piano β sono incidnti. (b) (3pt) Dtrminar la rtta s ortogonal a β passant pr l origin. Dir s sistono valori di a pr i quali la rtta r d il piano β sono ortogonali. () Sia dato uno spazio vttorial V di dimnsion, du sottoinsimi B = {, } C = { +, } di V. (a) (pt) Si dimostri ch B è una bas di V s solo s C è una bas di V. (b) (pt) Nll ipotsi in cui B sia una bas si dtrminino M B,C (id) M C,B (id). (7) Sia V uno spazio vttorial di dimnsion finita sia f : V V un ndomorfismo di V. Si dica s l sgunti affrmazioni sono vr o fals, fornndo una dimostrazion o un controsmpio. (a) (pt) S f non è inittivo allora pr ogni vttor v V sist un vttor v V tal ch f(v) = f(v ). (b) (pt) S f non è surittivo allora pr ogni vttor v V sist un vttor v V tal ch f(v) = f(v ).
3 Fondamnti di Algbra Linar Gomtria 3 Inggnria Arospazial d Inggnria dll Enrgia - Canal B Quarto Appllo - 3 fbbraio 5 TEMA B Risolvr i sgunti srcizi motivando adguatamnt ogni risposta. () Sia data la matric A t = t + t t. t t (a) (3pt) Si dtrmini pr quali valori rali di t la matric A t è diagonalizzabil su R. (b) (3pt) Pr t = si dtrminino una matric diagonal D d una matric invrtibil P pr l quali D = P A t P. () (pt) Si risolva il sistma linar nll incognit x, x, x 3 C (3) Siano dati i sottospazi di R x ix x 3 = + i ( i)x ( + i)x ( i)x 3 = i + ( + i)x +( i)x ( + i)x 3 = i 8 5 X = 3,,, 5 x Y = y z R x + y z + w = ; x + w =. w (a) (pt) Si dtrminino una bas B di X d una bas C di Y. (b) (3pt) Si dtrminino una bas di (X + Y ), d una bas di (X Y ).
4 () Siano dat l basi C = {x 3, x 3 + x, x 3 + x + x, x 3 + x + x + } C = {x 3, x, x, } di R[x] 3, la bas canonica B =,,,, di R 5 l applicazion linar L: R[x] 3 R 5 dtrminata dall sgunti condizioni: L(x 3 ) = 8 ; L(x3 +x ) = ; L(x3 +x +x) = 3 ; L(x3 +x +x+) = 8. (a) (pt) Si dtrminino M C,B (L) M C,B (L). 3 (b) (pt) Si dica s il vttor w = appartin all immagin di L. In caso affrmativo, si dtrmini la controimmagin di w. (c) (pt) Si dica s L è inittiva, surittiva, bittiva, motivando la risposta. (5) Nllo spazio uclido tridimnsional, al variar dl paramtro ral b, siano dati il piano α la rtta s di quazioni rispttivamnt: (b )x + by =, x + by + bz = ; by + z =. (a) (3pt) Dtrminar pr quali valori di b la rtta s d il piano α sono incidnti. (b) (3pt) Dtrminar la rtta r ortogonal ad α passant pr l origin. Dir s sistono valori di b pr i quali la rtta s d il piano α sono ortogonali. () Sia dato uno spazio vttorial W di dimnsion, du sottoinsimi B = {f, f } C = {f f, f + f } di W. (a) (pt) Si dimostri ch B è una bas di W s solo s C è una bas di W. (b) (pt) Nll ipotsi in cui B sia una bas di W si dtrminino M B,C (id) M C,B (id). (7) Sia U uno spazio vttorial di dimnsion finita sia g : U U un ndomorfismo di U. Si dica s l sgunti affrmazioni sono vr o fals, fornndo una dimostrazion o un controsmpio. (a) (pt) S g non è inittivo allora pr ogni vttor u U sist un vttor u U tal ch g(u) = g(u ). (b) (pt) S g non è surittivo allora pr ogni vttor u U sist un vttor u U tal ch g(u) = g(u ).
5 Fondamnti di Algbra Linar Gomtria 5 Inggnria Arospazial d Inggnria dll Enrgia - Canal B Quarto Appllo - 3 fbbraio 5 TEMA C Risolvr i sgunti srcizi motivando adguatamnt ogni risposta. () Sia data la matric A b = b b + b. b b (a) (3pt) Si dtrmini pr quali valori rali di b la matric A b è diagonalizzabil su R. (b) (3pt) Pr b = si dtrminino una matric diagonal D d una matric invrtibil P pr l quali D = P A b P. () (pt) Si risolva il sistma linar nll incognit x, x, x 3 C (3) Siano dati i sottospazi di R x +ix +x 3 = + i ( + i)x ( i)x +( + i)x 3 = i 8 ( i)x +( + i)x +( i)x 3 = i + V =,,, x W = y z R x + y + z w = ; x + y =. w (a) (pt) Si dtrminino una bas B di V d una bas C di W. (b) (3pt) Si dtrminino una bas di (V + W ), d una bas di (V W ).
6 () Siano dat l basi C = {x 3, x 3 + x, x 3 + x + x, x 3 + x + x + } C = {, x, x, x 3 } di R[x] 3, la bas canonica B =,,,, di R 5 l applicazion linar f : R[x] 3 R 5 dtrminata dall sgunti condizioni: f(x 3 ) = 8 ; f(x3 +x ) = 3 ; f(x3 +x +x) = ; f(x3 +x +x+) = 8 ;. (a) (pt) Si dtrminino M C,B (f) M C,B (f). 8 (b) (pt) Si dica s il vttor u = appartin all immagin di f. In caso 8 affrmativo, si dtrmini la controimmagin di u. (c) (pt) Si dica s f è inittiva, surittiva, bittiva, motivando la risposta. (5) Nllo spazio uclido tridimnsional, al variar dl paramtro ral c, siano dati il piano γ la rtta s di quazioni rispttivamnt: ( c)x + cy =, x + cy + cz = ; cy + z =. (a) (3pt) Dtrminar pr quali valori di c la rtta s d il piano γ sono incidnti. (b) (3pt) Dtrminar la rtta r ortogonal ad γ passant pr l origin. Dir s sistono valori di c pr i quali la rtta s d il piano γ sono ortogonali. () Sia dato uno spazio vttorial U di dimnsion, du sottoinsimi B = {v, v } C = {v + v, v v } di U. (a) (pt) Si dimostri ch B è una bas di U s solo s C è una bas di U. (b) (pt) Nll ipotsi in cui B sia una bas di U si dtrminino M B,C (id) M C,B (id). (7) Sia W uno spazio vttorial di dimnsion finita sia T : W W un ndomorfismo di W. Si dica s l sgunti affrmazioni sono vr o fals, fornndo una dimostrazion o un controsmpio. (a) (pt) S T non è inittivo allora pr ogni vttor w W sist un vttor w W tal ch T (w) = T (w ). (b) (pt) S T non è surittivo allora pr ogni vttor w W sist un vttor w W tal ch T (w) = T (w ).
7 Fondamnti di Algbra Linar Gomtria 7 Inggnria Arospazial d Inggnria dll Enrgia - Canal B Quarto Appllo - 3 fbbraio 5 TEMA D Risolvr i sgunti srcizi motivando adguatamnt ogni risposta. () Sia data la matric A d = d + d d d. + d (a) (3pt) Si dtrmini pr quali valori rali di d la matric A d è diagonalizzabil su R. (b) (3pt) Pr d = si dtrminino una matric diagonal D d una matric invrtibil P pr l quali D = P A d P. () (pt) Si risolva il sistma linar nll incognit x, x, x 3 C (3) Siano dati i sottospazi di R ( i)x ( + i)x +( i)x 3 = i x ix +x 3 = i ( + i)x +( i)x +( + i)x 3 = 8 i 5 U = 3,,, 5 x W = y z R x y + z + w = ; z + w =. w (a) (pt) Si dtrminino una bas B di U d una bas C di W. (b) (3pt) Si dtrminino una bas di (U + W ), d una bas di (U W ).
8 8 () Siano dat l basi C = {, + x, + x + x, + x + x + x 3 } C = {, x, x, x 3 } di R[x] 3, la bas canonica B =,,,, di R 5 l applicazion linar g : R[x] 3 R 5 dtrminata dall sgunti condizioni: g() = 8 ; g(+x) = 3 ; g(+x+x ) = 8 ; g(+x+x +x 3 ) =. (a) (pt) Si dtrminino M C,B (g) M C,B (g). 3 (b) (pt) Si dica s il vttor y = appartin all immagin di g. In caso affrmativo, si dtrmini la controimmagin di y. (c) (pt) Si dica s g è inittiva, surittiva, bittiva, motivando la risposta. (5) Nllo spazio uclido tridimnsional, al variar dl paramtro ral d, siano dati il piano δ la rtta r di quazioni rispttivamnt: (d )x dy = 3, x dy + dz = ; dy + z =. (a) (3pt) Dtrminar pr quali valori di d la rtta r d il piano δ sono incidnti. (b) (3pt) Dtrminar la rtta s ortogonal a δ passant pr l origin. Dir s sistono valori di d pr i quali la rtta r d il piano δ sono ortogonali. () Sia dato uno spazio vttorial W di dimnsion, du sottoinsimi B = {w, w } C = {w w, w + w } di W. (a) (pt) Si dimostri ch B è una bas di W s solo s C è una bas di W. (b) (pt) Nll ipotsi in cui B sia una bas di W si dtrminino M B,C (id) M C,B (id). (7) Sia V uno spazio vttorial di dimnsion finita sia L: V V un ndomorfismo di V. Si dica s l sgunti affrmazioni sono vr o fals, fornndo una dimostrazion o un controsmpio. (a) (pt) S L non è inittivo allora pr ogni vttor v V sist un vttor v V tal ch L(v) = L(v ). (b) (pt) S L non è surittivo allora pr ogni vttor v V sist un vttor v V tal ch L(v) = L(v ).
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