2 Confronto dei limiti Limiti di funzioni elementari Algebra dei limiti 12

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1 DEFINIZIONI DI LIMITE Limiti Indice Definizioni di ite. Limite finito al finito Limite per a + ite destro) Limite per b ite sinistro) Limite per c ite bilatero) Limite finito all infinito Limite infinito al finito Limite infinito all infinito Confronto dei iti 0 3 Limiti di funzioni elementari 4 Algebra dei iti 2 5 Confronto locale 6 5. Simboli di Landau Principi di einazione/sostituzione Un ite fondamentale 23 7 Soluzioni degli esercizi 23 Il concetto di ite è fondamentale. Importanti concetti matematici che seguono sono definiti attraverso il concetto di ite. In questa lezione vediamo anzitutto una definizione rigorosa di tale concetto. Rinuncio ad una definizione generale, peraltro non molto più difficile, per presentare varie definizioni per i vari casi possibili, ritenendo che questo approccio faciliti lo studente, permettendogli di fissare l attenzione su situazioni di volta in volta specifiche. Vediamo in seguito alcuni iti di funzioni elementari e successivamente presento alcune tecniche di calcolo dei iti, valide più in generale. Finisco con l importante questione del confronto tra funzioni e con un ite fondamentale. Definizioni di ite Prima di entrare nelle definizioni rigorose, cerchiamo di capire il significato concreto di quello che vogliamo definire. Se abbiamo una funzione, può succedere che non possiamo calcolare il valore che essa assume in corrispondenza di tutti i numeri reali, per il semplice fatto che, come abbiamo visto, ci sono funzioni che non sono definite in tutto R. Supponiamoadesempiochelafunzionef siadefinitainunintervalloechenonsiadefinitainunpunto, chiamiamolo c, di tale intervallo. Quindi non possiamo calcolare fc). Però possiamo chiederci: se la variabile della nostra funzione si avvicina infinitamente al punto c e questo lo può fare perché f è definita attorno a c), a quale valore, se c è, si avvicina il valore di f)? Questo valore è appunto il ite per che tende a c della funzione f. Ecco la definizione rigorosa, nei diversi casi che si possono presentare. Considereremo soltanto funzioni definite su intervalli, che potranno essere itati o ilitati.. Limite finito al finito Si parla di ite finito al finito quando il valore a cui tende la variabile è un numero reale ed il ite è pure un numero reale non abbiamo quindi a che fare con infiniti).

2 LIMITI DEFINIZIONI DI LIMITE 2.. Limite per a + ite destro) Sia f : a,b) R, con a,b) intervallo itato di R. Definizione Si scrive a +f) = l, con l R se, per ogni intorno l ε,l+ε) del ite l, esiste un intorno destro [a,a+δ) di a tale che per ogni a,a+δ) si ha che f) l ε,l+ε). Qui occorre qualche commento, trattandosi di una delle definizioni più difficili del corso. Osservazione Si osservi subito che nella scrittura per ogni a,a+δ), la parentesi su a è tonda: significa che la definizione non chiede nulla circa il valore fa), che potrebbe anche non esistere, dato che si parla di funzione definita in a,b). Se la funzione f è definita anche in a, la definizione comunque non chiede nulla su fa). La definizione quindi chiede che, qualunque sia ε > 0, ci sia un intorno destro di a per cui i valori degli che stanno in questo intorno, eccettuato il punto a, abbiano un corrispondente f) che appartiene all intorno di raggio ε del ite. Vuol dire in pratica che possiamo ottenere valori della funzione arbitrariamente vicini al ite l purché scegliamo valori sufficientemente vicini a destra) al punto a. Osservazione Sulle notazioni utilizzabili: la condizione a, a+δ) si può anche esprimere scrivendo a < < a+δ, elacondizionef) l ε,l+ε)sipuòindifferentementeesprimerescrivendol ε < f) < l+εoppure f) l < ε. Quindi la definizione si può anche formulare più sinteticamente scrivendo che ε > 0 δ > 0 : a < < a+δ = l ε < f) < l+ε oppure f) l < ε). y l+ε l l ε ) a ) a+δ b Osservazione Nota di carattere operativo : se dobbiamo provare che è vera una certa scrittura di ite basta provare che per ogni ε > 0 l insieme delle soluzioni della disequazione f) l < ε contiene un insieme del tipo a,a+δ) per qualche δ > 0, cioè contiene un intorno destro di a a escluso). Vedremo più avanti alcuni esempi. Adesso vediamo gli altri casi...2 Limite per b ite sinistro) Sia sempre f : a,b) R, con a,b) intervallo itato di R. Definizione Si scrive b f) = l, con l R se, per ogni intorno l ε,l+ε) del ite l, esiste un intorno sinistro b δ,b] di b tale che per ogni b δ,b) si ha che f) l ε,l+ε). Osservazione Anche in questo caso non si chiede nulla su fb). Analogamente a quanto fatto prima, la cosa si può esprimere scrivendo che l+ε l l ε ) y a b δ b ε > 0 δ > 0 : b δ < < b = l ε < f) < l+ε. Osservazione di carattere operativo). Per provare che è vera una certa scrittura di ite da sinistra basta provare che per ogni ε > 0 l insieme delle soluzioni della disequazione f) l < ε contiene un insieme del tipo b δ,b) per qualche δ > 0, cioè un intorno sinistro di b b escluso)...3 Limite per c ite bilatero) Sia a,b) un intervallo e sia c a,b). Sia poi f : a,b)\{c} R. La scrittura a,b) \ {c}, come lo studente dovrebbe ricordare, indica l intervallo a,b) privato del punto c. Quindi si considera una funzione che è definita in a,c) c,b), e cioè può non essere definita nel punto c.

3 LIMITI DEFINIZIONI DI LIMITE 3 Definizione Si scrive f) = l, con l R c se, per ogni intorno l ε,l+ε) del ite l, esiste un intorno c δ,c+δ) di c tale che per ogni c δ,c+δ)\{c} si ha che f) l ε,l+ε). 2 ) a c δ c c+δ b y l+ε l l ε ) Osservazione Si osservi che qui, analogamente a quanto fatto prima con i iti da destra e da sinistra, non si chiede nulla su fc), e quindi si considera l intorno c δ,c+δ) privato del punto c. La definizione in questo caso si può dare in forma compatta scrivendo che ε > 0 δ > 0 : c δ < < c+δ, c, = l ε < f) < l+ε. Di solito il ite bilatero si chiama semplicemente ite. Quindi, dicendo ite, si allude al ite bilatero. Osservazione Anche in questo caso la nota di carattere operativo. Per provare che è vera una certa scrittura di ite bilatero basta provare che per ogni ε > 0 l insieme delle soluzioni della disequazione f) l < ε contiene un insieme del tipo c δ,c) c,c+δ) per qualche δ > 0, cioè un intorno di c con c escluso). Osservazione Per provare invece la falsità di una certa scrittura di ite basta trovare un particolare valore di ε per cui la condizione della definizione risulta falsa. Esempio La seguente scrittura è vera: ) = 0. Infatti, fissato un qualunque intorno ε,ε) del ite 0, osserviamo che il valore della funzione ) appartiene a tale intorno se e solo se < ε, cioè se e solo se ε < < +ε. Le soluzioni costituiscono proprio un intorno del punto, l intorno ε,+ε). Esempio Proviamo ora con la definizione che invece non è vera la scrittura +) =. Fissato un intorno ε,+ε) del ite, consideriamo la disuguaglianza + < ε, cioè < ε. Le soluzioni della disequazione sono date dall intervallo ε, ε). Evidentemente tale insieme non contiene sempre un intorno di : ad esempio, per ε = /2, esso è fatto di punti esterni ad un intorno di. La scrittura di ite quindi è falsa. Esempio Proviamo che ln =. e Fissato un qualunque ε > 0 che definisce un intorno ε, + ε) del ite, consideriamo la disuguaglianza ln < ε, che equivale a ε < ln < +ε, che equivale a sua volta a e ε < < e +ε. Si tratta di un intervallo che contiene certamente un intorno di e, dato che e ε < e, mentre e +ε > e. Esempio Proviamo che 0 +e / = 0. Fissato un qualunque intorno ε,ε) del ite 0, il valore della funzione e / appartiene a tale intorno se e solo se e / < ε, cioè se e solo se < lnε. Se > 0 ricordare che il ite è per 0+ ), questa equivale a > lnε. Ora, se ε > e quindi lnε > 0), si ottiene > lnε, che è un numero negativo. Pertanto tutte le positive soddisfano la disequazione ed è determinato un intorno destro di 0. Se invece ε < e quindi lnε < 0), si ottiene < lnε, che è un numero positivo. Pertanto soddisfano la disequazione tutte le dell intervallo 0, lnε ), che è ancora un intorno destro di 0. Se infine ε = la disuguaglianza diventa < 0, cioè > 0, insieme che contiene un intorno destro di 0. Osservazione Ribadisco che, dicendo ite, senza precisare se ite destro o ite sinistro, si intende ite da destra e da sinistra. Si potrebbe dimostrare rigorosamente, ma è abbastanza facile intuirlo, che il ite esiste se e solo se esistono e sono uguali il ite destro e il ite sinistro. Può essere comodo talvolta e lo faremo tra breve) calcolare il ite calcolando separatamente il ite destro e il ite sinistro. 2 Vedi nota precedente. c δ,c+δ)\{c} è indica l intorno c δ,c+δ) privato del punto c.

4 LIMITI DEFINIZIONI DI LIMITE 4.2 Limite finito all infinito Si parla di ite finito all infinito quando la variabile tende a + o a e il ite è un numero reale. Sia f : a,+ ) R. Definizione Si scrive f) = l, con l R se, per ogni intorno l ε,l+ε) del ite l, esiste un intorno δ,+ ) di + tale che per ogni δ,+ ) si ha che f) l ε,l+ε). Con la solita notazione compatta si può scrivere ε > 0 δ > 0 : > δ = l ε < f) < l+ε. y l+ε l l ε ) a δ Osservazione Si noti che nella forma compatta ho scritto δ > 0, mentre prima non avevo posto restrizione di segno. Non è una incongruenza, le due forme sono equivalenti infatti. Non c è motivo in realtà che la definizione chieda δ > 0, dato che δ non ha più il significato, che aveva prima nel ite al finito, di raggio di un intorno. Esso è semplicemente il primo estremo di un intorno di +. Ho scritto invece δ > 0 nella forma compatta perché in questo modo è facilitata la verifica dei iti nei casi concreti senza fissare il segno in molti casi si è costretti a considerare entrambi i casi possibili e questo appesantisce molto la soluzione). Osservazione Nota operativa: per provare che è vera una certa scrittura di ite finito a + basta provare che per ogni ε > 0 l insieme delle soluzioni della disequazione f) l < ε contiene un insieme del tipo δ,+ ). Definizione Se f :,b) R, si scrive f) = l, con l R y se, per ogni intorno l ε,l+ε) del ite l, esiste un intorno,δ) di tale che per ogni,δ) si ha che f) l ε,l+ε). Con la solita notazione compatta si può scrivere ε > 0 δ > 0 : < δ = l ε < f) < l+ε. ) l+ε l l ε δ ) b Anche qui la definizione non chiede nulla sul segno di δ, mentre la forma compatta lo pone positivo e trasforma in < δ la disuguaglianza sulle. Le due forme sono equivalenti. Osservazione Nota operativa: per provare che è vera una certa scrittura di ite finito a basta provare che per ogni ε > 0 l insieme delle soluzioni della disequazione f) l < ε contiene un insieme del tipo,δ). Esempio Vediamo una verifica di ite all infinito, ad esempio, proviamo che = 0. Fissato un intorno ε,ε) del ite 0, la disuguaglianza < ε è verificata se > ε, cioè nell insieme, ε ) ε,+ ). Questo insieme contiene chiaramente un intorno di + e quindi la scrittura di ite è vera. Osservazione Come si vede l insieme delle soluzioni della disuguaglianza < ε contiene anche un intorno di, e questo perché chiaramente anche il ite per che tende a è zero. Esempio Se invece consideriamo la scrittura + =, fissato un intorno ε, + ε) del ite, la disuguaglianza + < ε è verificata se < ε +. Si vede facilmente che questa non definisce, qualunque sia ε, un intorno di + : infatti ad esempio per ε = /2, definisce l intervallo 3,). Quindi la scrittura è falsa.

5 LIMITI DEFINIZIONI DI LIMITE 5 Esempio Proviamo ora che e = 0. Fissato un ε > 0 qualunque, consideriamo la disequazione e < ε. Data la positività della funzione esponenziale, la disequazione equivale alla e < ε, che ha per soluzioni < lnε. Si tratta ovviamente di un intorno di. Osservazione Se il ite di una funzione, per c c finito o infinito), è zero, si dice che la funzione è infinitesima o che è un infinitesimo, per c. Attenzione. Se affermiamo che una funzione è infinitesima dobbiamo sempre dire anche per che tende a quale valore. Attenzione ancora: una funzione è infinitesima per che tende a qualche cosa se il suo ite è zero, a prescindere da ciò a cui tende può tendere anche all infinito). Possiamoquindi direchelafunzionef) = èinfinitesima a+ ea, echelafunzione esponenzialef) = e è infinitesima a..3 Limite infinito al finito Si parla di ite infinito al finito quando la variabile tende ad un numero reale e il ite è + o. Anche qui c è ovviamente la possibilità di un ite solo da destra o solo da sinistra. Ecco la definizione nel caso del ite bilatero. Definizione Si scrive f) = + c se, per ogni intorno ε,+ ) del ite +, esiste un intorno c δ,c+δ) di c tale che per ogni c δ,c+δ)\{c} si ha che f) ε,+ ). Nella forma compatta se ε > 0 δ > 0 : c δ < < c+δ, c, = f) > ε. y ε a ) c Stesse considerazioni di prima sulle differenze tra la prima definizione e la forma compatta: ε può essere qualunque, perché ha il significato di estremo dell intorno di +, mentre δ torna ad avere il significato di raggio di un intorno e quindi torna ad essere positivo. Nella forma compatta, per semplicità nelle verifiche, è meglio dire ε > 0. Le due forme sono infatti equivalenti. Fornisco la definizione compatta nel caso del ite da destra e da sinistra. y a +f) = + se ε > 0 δ > 0 : a < < a+δ = f) > ε c δ c+δ b rappresentato in figura qui a fianco) e b f) = + se ε > 0 δ > 0 : b δ < < b = f) > ε. Poi abbiamo il caso del ite. Definizione Si scrive f) = c se, per ogni intorno,ε) del ite, esiste un intorno c δ,c+δ) di c tale che Nella forma compatta se per ogni c δ,c+δ)\{c} si ha che f),ε). ε ) a a+δ b ε > 0 δ > 0 : c δ < < c+δ, c, = f) < ε. Osservazione Si noti che qui, nella forma compatta, ho scritto ε > 0 e ho cambiato la disuguaglianza sulle f) in f) < ε si veda l analogia di tutto questo con quanto fatto nel caso di ite finito all infinito). Lo studente provi a scrivere la deefinizione nei casi del ite destro e sinistro. Osservazione La solita nota operativa: per una verifica di ite nel caso di ite infinito al finito, ad esempio con ite +, basta provare che per ogni ε > 0 l insieme delle soluzioni della disuguaglianza f) > ε, con ε > 0, contiene un intorno del punto c c come sempre escluso). Ovviamente, nel caso di ite, la disequazione da cui partire sarà f) < ε, con ε > 0.

6 LIMITI DEFINIZIONI DI LIMITE 6 Esempio Proviamo ad esempio che 0 + = +. Fissato un qualunque ε > 0, consideriamo, sulle > 0, la disequazione > ε, che equivale alla < ε. Resta quindi individuato l intervallo 0, ε ), che è un intorno destro di 0. Avremo invece 0 =. Infatti, fissato un qualunque ε > 0, consideriamo, sulle < 0, la disequazione < ε, che equivale alla > ε. 3 Resta quindi individuato l intervallo ε,0), che è un intorno sinistro di 0. Osservazione Se scrivessimo invece, senza precisare se da destra o da sinistra, dovremmo dire che tale ite non esiste. Tra breve vediamo meglio questo aspetto. 0 Esempio Quale altro esempio, proviamo che 0 2 = +. Fissato un qualunque ε > 0, consideriamo la disequazione > ε, che equivale alla 2 < 2 ε. Questa ha per soluzioni l intervallo ε, ε ), che è un intorno di 0. Esempio Proviamo ancora che 0 +ln =. Fissato un qualunque ε > 0, consideriamo la disequazione ln < ε. Qui è positivo, dato che la funzione esiste solo in 0,+ ). La disequazione equivale alla 0 < < e ε. Osservando che la quantità a destra è certamente positiva, si tratta quindi di un intorno destro di 0, privato dell origine..4 Limite infinito all infinito Si parla di ite infinito all infinito quando la variabile tende a + o e il ite è + o. Dei quattro casi possibili ne vediamo solo uno, lasciando allo studente il compito di scrivere la definizione di ite negli altri casi. y a δ Definizione Si scrive f) = se, per ogni intorno,ε) del ite, esiste un intorno δ,+ ) di + tale che per ogni δ,+ ) si ha che f),ε). ε ) Osservazione Qui né ε né δ hanno restrizioni di segno, dato che sono entrambi estremi di un intorno ilitato. Nella forma compatta, come fatto prima, possiamo però chiedere che siano entrambi positivi e scrivere ε > 0 δ > 0 : > δ = f) < ε. In una verifica concreta basterà provare che, fissato un qualunque ε > 0, l insieme delle soluzioni della disequazione f) < ε contiene un intorno di +. Esempio Ad esempio, proviamo che ln) =. Fissato un qualunque ε > 0, consideriamo la disequazione ln < ε. Essa equivale alla ln > ε, e cioè alla > e ε, la quale definisce un intorno di +. Esempio Ancora, proviamo che e = +. 3 Attenzione che sia sia ε sono negativi, e quindi si cambia due volte il verso della disequazione.

7 DEFINIZIONI DI LIMITE 7 Fissato un qualunque ε > 0, consideriamo la disequazione e > ε. Essa equivale a > lnε, che definisce un intorno di +. Esempio Proviamo che e = +. Fissato un qualunque ε > 0, consideriamo la disequazione e > ε. Essa equivale a > lnε, e cioè < lnε. Quest ultima definisce un intorno di. Esempio Da ultimo, proviamo che =. e/ Fissato un qualunque ε > 0, consideriamo la disequazione < ε. Osserviamo che per > 0 si noti che e / questa ipotesi non contrasta con il fatto che stiamo cercando un intorno di + ) si ha e / > e quindi e / < 0. Allora la disuguaglianza equivale alla e / > ε, e cioè alla e/ < ε e questa a e/ < + ε. Prendendo i logaritmi otteniamo < ln+ ε ). Dato che la quantità a destra è positiva l argomento del logaritmo è maggiore di ), possiamo scrivere > ln+ ε ). Resta quindi individuato un intorno di +. Osservazione Se il ite di una funzione, per c c anche infinito), è + o, si dice che la funzione è infinita o che è un infinito, per c. Attenzione anche qui. Occorre sempre precisare per che tende a quale valore. E ancora, la funzione è un infinito se il suo ite è infinito, a prescindere da ciò a cui tende può tendere anche a zero o a un qualunque numero reale). Possiamo quindi, ad esempio, dire che la funzione f) = è infinita in 0+ e in 0 cioè per che tende a zero da destra o da sinistra), che la funzione f) = 2 è infinita per 0, e che la funzione logaritmica f) = ln è infinita per 0 +. Ancora: la funzione logaritmica e la funzione esponenziale sono degli infiniti per +. Ledefinizionidiitefinisconoqui, 4 salvounapprofondimentochefaremotrapocomachenoncomportasostanziali novità rispetto a quanto visto finora. Prima però è opportuno sgombrare il campo da un possibile fraintendimento. Non si deve pensare che, data una funzione f e dato un punto c in cui abbia senso fare il ite, esista sempre il c f). In altre parole il ite può non esserci. Esempio I classici esempi di non esistenza del ite si ottengono di solito con le funzioni goniometriche seno, coseno, tangente), che però noi non trattiamo in questo corso. Vi propongo allora questo altro esempio, che utilizza la funzione parte intera, già incontrata in precedenza. Consideriamo la funzione f) =, definita in tutto R di cui trovate il grafico nella dispensa sulle Funzioni reali). Si può provare abbastanza facilmente che essa non ha ite per +. Basta tenere nella giusta considerazione il fatto che per questa funzione valgono queste due semplici proprietà: f) = 0, per ogni Z e f) = 2, per ogni = z + 5 2, con z Z. Dimostriamo che il ite non esiste escludendo tutti i casi possibili. Il f) non può essere 0: infatti, se scegliamo ad esempio ε = /4, non può esistere un intorno δ,+ ) di + la cui immagine è contenuta in 4, 4 ), dato che la funzione vale /2 in alcuni punti di δ,+ ). Il ite non può essere : infatti, se scegliamo ad esempio ε = /2, non può esistere un intorno δ,+ ) di + la cui immagine è contenuta in 2,+ 2 ) = 2, 3 2 ), dato che la funzione vale 0 in alcuni punti di δ,+ ). Il ite non può essere un numero l compreso tra 0 e : infatti, se scegliamo ε = l, non può esistere un intorno δ,+ ) di + la cui immagine è contenuta in l ε,l+ε) = 0,2l), dato che ancora la funzione vale 0 in alcuni punti di δ,+ ). Con le stesse considerazioni, il ite non può nemmeno essere un numero l maggiore di. Lasciamo allo studente completare la dimostrazione, provando che il ite non può nemmeno essere un numero negativo e nemmeno infinito. Pertanto il ite non esiste. 4 Alcuni esercizi di verifica di ite attraverso la definizione sono riportati alla fine della successiva dispensa sulle funzioni continue. 5 La scrittura vuol dire semplicemente che sui numeri interi la funzione vale 0, mentre sui numeri che si ottengono da un intero più 2, cioè 3 2, 2, 2, 3 2, 5 2,..., la funzione vale. Se non è chiaro, si vada a riprendere il grafico della funzione f, che abbiamo ottenuto in 2 precedenza.

8 LIMITI DEFINIZIONI DI LIMITE 8 Osservazione Si vede facilmente che anche il ite a non esiste. Osservazione L esempio fornito tratta i iti agli infiniti. Può forse sembrare più strano che anche un ite al finito possa non esistere. Esempio Si può ottenere un esempio di ite al finito che non esiste modificando leggermente l esempio del ite all infinito appena visto. Si consideri la funzione f) = e si consideri poi il suo ite per 0 +. Non è difficile prima intuire e poi verificare che per questa funzione valgono le due proprietà, analoghe alle precedenti: f) = 0, per = n, con n N e f) = 2, per =, con n N n+ 2 e che queste portano, come prima, alla non esistenza del ite. Può essere un utile esercizio la costruzione del grafico di questa funzione. Qui sotto riporto il grafico di a sinistra e quello di a destra ho evitato di usare i pallini vuoti per non appesantire troppo i grafici e renderli poco leggibili) Osservazione Gli esempi precedenti mostrano che una funzione può quindi non avere ite, per che tende ad un qualche valore. Ribadisco: per che tende a qualche particolare valore. Se escludiamo + e, la funzione f) = ha ite in ogni punto, e cioè in tutti i valori reali. Analogamente, la funzione f) = non ha ite soltanto per che tende a zero, in tutti gli altri casi, compresi gli infiniti, il ite esiste. Una domanda importante che ci si può porre a questo punto è la seguente: ci sono proprietà delle funzioni reali che assicurano l esistenza del ite? La risposta è affermativa: una tale proprietà è ad esempio la monotonia. Le funzioni monotone hanno sempre ite. Questo è il contenuto della seguente fondamentale proposizione. Teorema esistenza del ite per funzioni monotone). Sia f : a, b) R. Valgono le proprietà seguenti: i) se f è crescente o non decrescente), allora a + f) esiste e si ha a + f) = inf a,b) f); ii) se f è decrescente o non crescente), allora f) esiste e si ha f) = sup f). a + a + a,b) 43 2 supf supf inff inff a b a b Analoghi risultati valgono con ite per b oppure con ite a ±. Attenzione però che inf e sup si scambiano a b e a +, quindi ad esempio se f è crescente, si ha b f) = sup a,b) f).

9 LIMITI DEFINIZIONI DI LIMITE 9 Osservazione Si osservi che la funzione f) = non è monotona negli intervalli ilitati e quindi il teorema non è applicabile al caso del ± ). Si osservi anche che il teorema fornisce una condizione sufficiente, ma non necessaria, per l esistenza del ite. In altre parole ci sono funzioni non monotone che hanno ite. Si consideri ad esempio la funzione f : 0,+ ) R, definita da f) = { / se / N 0 se N. Lo studente constati con l aiuto del grafico che f non è monotona e che f) esiste e vale Concludo la lunga sezione sulla definizione di ite con una situazione che può risultare molto importante nel calcolo dei iti. Abbiamo incontrato all inizio la definizione di ite finito al finito, che precisa in modo rigoroso il significato della dicitura la funzione tende ad un certo valore reale l quando la sua variabile tende ad un certo valore reale c. Nella definizione vista, mentre abbiamo considerato i due casi che la variabile tenda al valore c da destra o da sinistra c + e c ), non abbiamo distinto i casi in cui la funzione tende al suo ite da destra o da sinistra data la rappresentazione che solitamente facciamo delle funzioni, che porta a riportare i valori della funzione sull asse verticale, sarebbe forse più opportuno dire dall alto o dal basso), cioè da valori più grandi o più piccoli. Ecco, ora vediamo come si può lievemente modificare la definizione per precisare queste due situazioni. Diremo che la funzione f tende al ite l da valori più grandi, e scriveremo se f) = c l+, ε > 0 δ > 0 : c δ < < c+δ, c, = l < f) < l+ε. L unica differenza con il caso del ite finito al finito è che la disuguaglianza sulle f) da l ε < f) < l+ε che era è diventata l < f) < l+ε. Vuol dire appunto che f) sta in un intorno destro del ite, cioè si avvicina al ite da valori più grandi. Diremo invece che la funzione f tende al ite l da valori più piccoli, e scriveremo se f) = c l, ε > 0 δ > 0 : c δ < < c+δ, c, = l ε < f) < l. Questa volta si chiede che f) stia in un intorno sinistro del ite, cioè si avvicini ad l da valori più piccoli. Osservazione Possiamo naturalmente definire il ite da valori più grandi o più piccoli anche se la tende all infinito. Sarebbe bene che lo studente provasse a scrivere la definizione in questi casi, senza prima guardare quello che c è in nota. 6 Esempi Vediamo qualche esempio. y Si ha = 0 + e 0 3 = 0 mentre 0 2 = 0 +. Si ha +ln = 0+ e ln = 0. Si ha e = Se scrivo f) = l+ significa che Se scrivo f) = l+ significa che Lascio allo studente la scrittura per il ite da valori più piccoli. ε > 0 δ : > δ = l < f) < l+ε. ε > 0 δ : < δ = l < f) < l+ε.

10 2 CONFRONTO DEI LIMITI 0 Si ha + 2 = + e ) + 2 =. Osservazione Le prime non pongono grossi problemi lo studente può cercare di dimostrare queste scritture con la definizione appena vista oppure può semplicemente darsene una ragione ricordando il grafico delle funzioni coinvolte). Attenzione all ultima. Non è un errore di chi scrive: il ite a + di 2 è + e il ite della stessa funzione a ) + è. Anche qui per convincersene basta il grafico. Quindi attenzione quando ci sono elevamenti al quadrato di quantità negative. Osservazione La domanda che a questo punto gli studenti fanno è: ma se il ite è, mettiamo, zero occorre sempre precisare se è uno 0 + o uno 0? La domanda è certamente lecita. Va detto anzitutto che ad una domanda diretta tipo i iti degli esempi qui sopra), se il ite è 0 + non è sbagliato dire che il ite è 0. Dire che è 0 + è un ulteriore precisazione. In qualche caso concreto di calcolo di ite ne vedremo più avanti) per concludere correttamente è necessario capire se un ite di una parte della funzione) è da valori più grandi o più piccoli. La risposta alla domanda è quindi: non sempre, ma in qualche caso sì. Non vi posso però dare una regola generale. Occorre vedere caso per caso. Di solito si procede così: si prova a calcolare il ite usando semplicemente 0; se non si riesce a concludere si cerca di precisare se è uno 0 + o uno 0. 2 Confronto dei iti In questa sezione enuncio un risultato, riguardante il calcolo dei iti, che dipende dalla struttura d ordine in R. Per semplificare l esposizione mi iterò al caso dei iti da destra: risultati analoghi si possono formulare per tutti gli altri casi di ite. Teorema del confronto dei iti). Siano f,g due funzioni definite in a,b) tali che f g. Valgono le affermazioni seguenti: i) se a +f) = λ e +g) = µ, allora λ µ; a ii) se a +f) = +, allora +g) = + ; a iii) se a +g) =, allora +f) =. a Osservazioni Al punto i), per poter stabilire la relazione tra i due iti, è importante ipotizzare che i iti esistano. Si noti che invece non occorre nel secondo e nel terzo punto ipotizzare l esistenza di entrambi i iti: qui infatti l esistenza del secondo ite è una conseguenza della non finitezza del primo. Esempi Possiamo considerare il 2. Si potrebbe facilmente dimostrare con la definizione che il ite è +, ma facciamolo utilizzando il confronto. Osservando che nell intervallo,+ ) si ha 2 e che ovviamente = +, allora dal punto ii) del teorema del confronto dei iti deduciamo che anche Esempio Consideriamo ora il 2 = Anche qui si potrebbe facilmente dimostrare con la definizione che il ite è 0, ma facciamolo utilizzando il confronto. Possiamo dire che nell intervallo 0,) si ha 2 0 e 2. 7 Il ite in questione esiste in quanto la funzione 2 è monotona crescente) in 0,). 8 Per il punto i) del terorema del confronto possiamo dire allora che Quindi il ite cercato è zero e anche = 0. 7 Si osservi che la prima disuguaglianza vale in realtà in tutto R, mentre la seconda vale solo in [0,]. 8 In effetti si può provare che il ite è zero anche con il teorema si esistenza per funzioni monotone.

11 3 LIMITI DI FUNZIONI ELEMENTARI 3 Limiti di funzioni elementari Verifichiamo con la definizione alcuni risultati di esistenza di iti di funzioni elementari. 9 Faremo anche uso del teorema di esistenza del ite per funzioni monotone, per illustrare quanto può essere comodo il suo utilizzo. Cominciamo con una funzione elementare molto semplice, una funzione costante f) = k. Dimostriamo che f) = k, dove c è un qualunque valore reale o anche un infinito. c La cosa è del tutto ovvia, in base alla definizione, dato che l immagine di f è {k}. La cosa è altrettanto ovvia in base al teorema di esistenza: la funzione costante è una funzione monotona e il suo estremo superiore è ovviamente k. Consideriamo f) =. Dimostriamo che c = c. Con la definizione, se fissiamo un intorno c ε,c+ε) del ite c, la disuguaglianza c < ε definisce proprio l intorno c ε,c+ε) del punto c. Con il teorema di esistenza è ancora più semplice. La funzione è crescente e possiamo procedere così. Consideriamo un intervallo c,b) con c < b); per il teorema di esistenza possiamo affermare che = inf = c. c + c,b) Consideriamo ora un intervallo a,c) con a < c); per il teorema di esistenza possiamo affermare che = c = c. Pertanto ite destro e ite sinistro esistono e sono uguali, e quindi c è il valore del ite. sup a,c) Si ha anche = sup = + e = inf =. R R Dimostriamo che c 2 = c 2. Supponiamo che sia c > 0. Possiamoaffermare che esiste un intervallo c δ,c+δ) in cui 2 è crescente. Quindi si ha c +f) = inf c<<b 2 = c 2 e f) = sup c a<<c 2 = c 2. Pertanto otteniamo la tesi. Lo studente adatti la dimostrazione nel caso c < 0 e nel caso c = 0. 0 Si ha anche 2 = 2 = +. Con la funzione f) = 3 le cose non sono molto diverse, ricordando che si tratta ora di una funzione crescente in tutto R. Si ha quindi c 3 = c 3. Si ha inoltre 3 = + e 3 =. Si intuisce che per tutte le funzioni potenza vale il risultato c α = c α. Inoltre, se α > 0, si ha α = + ; se α < 0, si ha α = 0. Ancora, se α < 0, si ha α = basta ricordare il grafico delle funzioni potenza). Per la funzione esponenziale f) = b si può dimostrare che c b = b c. Inoltre, se b >, si ha b = + e b = 0; se b <, si ha b = 0 e b = + ricordare il grafico della funzione esponenziale). Per la funzione logaritmica f) = log b, definita in 0,+ ), si ha log c b = log b c. Inoltre, se b >, si ha log b = + e log b = ; se b <, si ha log b = e 0 + log b = + ricordare il grafico della funzione logaritmica) Altri esercizi di questo tipo sono riportati alla fine della successiva dispensa sulle funzioni continue. 0 Attenzione che con c = 0 la funzione non è monotona in un intorno di c. Occorre quindi usare la definizione. Si ricordi che la funzione potrebbe essere definita solo in [0,+ ) o in 0,+ ), ma che comunque si tratta di una funzione monotona.

12 4 ALGEBRA DEI LIMITI 2 4 Algebra dei iti Ecco un teorema molto utile nel calcolo dei iti. Lo enuncio con riferimento al caso del ite destro, ma come sempre risultati analoghi valgono in tutti gli altri casi. Teorema Siano f,g : a,b) R, e supponiamo che sia a + f) = λ e Valgono le affermazioni seguenti: a + g) = µ, con λ,µ R cioè numeri reali finiti). i) a + f)+g) ) = λ+µ ite della somma); ii) a + f)g) ) = λµ ite del prodotto); iii) se µ 0, allora a + f) g) = λ µ ite del quoziente). Osservazione C è poco da aggiungere. Se i iti sono finiti, per fare il ite di una somma si fa la somma dei iti, per il ite del prodotto il prodotto dei iti e per il ite del quoziente il quoziente dei iti, sempre che il denominatore non si annulli. Da questo teorema sono però esclusi molti casi, ad esempio quelli in cui uno o tutti e due) i iti siano infiniti. Ma non solo: e se ho un quoziente e il denominatore tende a zero? Per riuscire a risolvere qualche caso, fornisco ora alcune regole di calcolo, che potrebbero peraltro essere dimostrate accuratamente. Ma itiamoci ad accettarle, anche se come vedrete sono molto intuibili. Se nel calcolo del nostro ite ci troviamo di fronte ad una delle situazioni indicate, il risultato è quello indicato l rappresenta sempre un ite finito): i) se l R, l++ ) = +, l+ ) = 2, l = 0, l + = 0 ii) se l R e l > 0, iii) se l R e l < 0, iv) inoltre e l + ) = +, l ) = l + ) =, l ) = + + )++ ) = +, )+ ) = + ) + ) = +, + ) ) =, ) ) = +. Si potrebbe ora dimostrare che non è invece possibile definire regole nei seguenti casi: 3 )++ ), 0 + ), 0 ), solite considerazioni sulla commutatività). Per la verità, per i due casi l 0, con l 0, e ± 0, se riusciamo a stabilire il segno dello zero a denominatore, possiamo dare una regola, che si può esprimere in forma sintetica e impropria) ma efficace, con le scritture: l 0, ± 0, ± ± l > = +, l < =, l > 0 0 =, l < 0 0 = + 2 Valendo la proprietà commutativa, sussistono anche le analoghe regole scambiate : + )+l = + e ) + l =. Lo stesso per quanto riguarda le regole che seguono sui prodotti. 3 Questo perché ci sono casi che rientrano tutti, ad esempio, nella prima tipologia e che danno risultati diversi. Quindi il risultato non è prevedibile o, che è lo stesso, non si può fornire una regola generale.

13 4 ALGEBRA DEI LIMITI 3 e = +, 0 + =, + 0 =, 0 = +. Chiamiamo infine forma indeterminata f.i) uno qualunque dei casi che restano, e che per comodità riscrivo: )++ ), 0 ± ), In realtà ci sono altre forme indeterminate, che non riguardano però le operazioni algebriche fondamentali. Queste altre forme, che potremmo chiamare forme indeterminate esponenziali, sono: ) 0, + ) 0, ±. Esse, come vedremo più avanti, si possono ricondurre alle precedenti. Esempi Consideriamo il ite e +ln)., ± ±. La funzione esponenziale tende ad e per e la funzione logaritmica tende a 0. Non si tratta quindi di una forma indeterminata e risulta e +ln) = e+0 = e ln) = 0+ ) =. ln) = 0 = )ln) = ) =. ln = 0 = 0. e = 0 = 0. Nel caso si presenti una delle forme indeterminate, come si diceva il risultato del ite non è prevedibile. A titolo di esempio, consideriamo i tre iti + Sono tutti della forma indeterminata) + +. Ma per il primo per il secondo e per il terzo +, 2 e / = divido sopra e sotto per ) = = +0 =, + +/ 2 = divido sopra e sotto per ) = = +0 + = + = / = divido sopra e sotto per ) = = + +0 = + = +. Quindi la stessa forma indeterminata + + può dare origine a risultati diversi. Osservazione Se riconsideriamo i iti e, già visti in precedenza con la definizione, ora possiamo osservare che rientrano in quelli che sappiamo risolvere con le regole del calcolo, dato che = = + e = 0 =.

14 4 ALGEBRA DEI LIMITI 4 Si tratta di un caso in cui la conoscenza del segno dello zero a denominatore consente di stabilire il risultato. Esempio Quale altro esempio di situazione in cui è importante l idea di ite da valori più grandi o più piccoli, consideriamo il ) + e e. e Si tratta di una forma del tipo 0 + e 0 ed è quindi importante stabilire il segno degli zeri a denominatore. Possiamo scrivere che ) = = 0 e e) = e e = 0. e Pertanto si ha ) + e e = e 0 + e = )+ ) =. 0 Vediamo ora qualche esempio di calcolo di forme indeterminate. 2 ). Si tratta di una f.i. +. Si ha 2 ) = )) = + ) + ) = + ) + ) = +. Lo studente provi a risolverlo raccogliendo invece 2. Lo studente ancora verifichi che il ite a non è invece una f.i. La stessa tecnica consente di calcolare il ite agli infiniti di un qualunque polinomio. Vediamo ad esempio il ). Si tratta di una f.i. in quanto è presente una differenza di infiniti. Si ha ) = )) 3 = + ) ) = + ) 2 = +. Lo studente provi a calcolare il ite a. Osservazione A questo punto dovrebbe essere chiaro che il ite all infinito di un polinomio è dato dal ite all infinito del suo monomio di grado massimo. Quindi i polinomi del tipo P) = a n +... cioè con monomio di grado massimo a n ) e a > 0 tendono a + per + e a tendono a se n è dispari e a + se n è pari. Passiamo al quoziente di due polinomi Si tratta di una f.i. + )/+ ). Si ha = 3 +/ 2 / 3 ) 2 2 /+/ 2 ) = +/ 2 / 3 ) 2 /+/ 2 = + = Si tratta di una f.i. + )/+ ). Si ha = /) 2 +/+2/ 2 ) = Si tratta ancora di una f.i. + )/+ ). Si ha = 2 /) 2 3+/ 2 ) = / +/+2/ 2 ) = + = 0. / 3+/ 2 = 3. Osservazione Questi tre esempi dovrebbero insegnare molto: una regola generale per trovare il ite di un quoziente di polinomi. Tutto dipende dal grado dei due polinomi. Lo studente trovi da solo la regola. Il raccogento risolve a volte forme indeterminate date dalla differenza di infiniti, ma non sempre. Sono da ricordare i seguenti esempi.

15 4 ALGEBRA DEI LIMITI 5 ). Si tratta di una f.i. +. Si ha Si poteva anche fare ) = /2 )) = + = +. ) = )) = + ) + ) = +. ) Si tratta ancora di una f.i. +. Si ha ) = )) 22 + = 2+ 2 )) ) 2 +. Si tratta ancora di una f.i. +. Procedendo come prima si ha )) )) ) 2 + = = = + ) =. = + 0. Come si vede questa volta così non si riesce ad einare la forma indeterminata. Occorre cambiare metodo. Si può razionalizzare. 4 Moltiplicando sopra e sotto per la somma, cioè per + 2 +), si ha ) 2 + Esercizio 4. a) c) e) g) i) k) Esercizio 4.2 confronto. a) c) e) g) i) k) m) = 2 +)+ 2 +) + = 2 + Si calcolino i seguenti iti usando l algebra dei iti. b) d) +/ + 2 f) ln / 0 + ln+) h) j) 2 +/ +e +e / 0 + e 0 + ln) l) ln +ln+/)) = + = 0. I seguenti iti sono forme indeterminate. Si calcolino con opportuni raccogenti o con il b) d) f) h) /2 + 3/5 /2 + 3/5 j) 4/3 + 3/ /3 + 3/2 ) 2 l) 2 ) ) n) + ) Quando si ha una somma differenza) di quantità sotto radice che danno origine ad una f.i., moltiplicando numeratore e denominatore per la differenza somma) si riesce ad einare le radici dal numeratore. Le radici compaiono a denominatore, ma non più in forma indeterminata.

16 5 CONFRONTO LOCALE 6 5 Confronto locale Sono estremamente utili nel calcolo dei iti i seguenti risultati. Proposizione Valgono le proprietà: α. se α > 0 e b >, allora b = 0; log 2. se b >, p > 0 e α > 0, allora b ) p α = 0. Osservazione Occorre motivare le condizioni poste sui parametri α, b, p: il primo ite non sarebbe significativo con α 0 e b > o con α 0 e b < ), dato che non si tratterebbe di forme indeterminate. Considerazioni analoghe nel secondo ite. Le condizioni poste fanno sì che si tratti di iti di quozienti tra funzioni dello stesso tipo, cioè in questo caso tra infiniti quindi di forme indeterminate del tipo + + ). Osservazione Ovviamente, nel caso si presentino i iti b α α e log b ) p nelle stesse ipotesi sui parametri, il risultato è + per entrambi. 5 Osservazione I due punti della proposizione raccolgono molti casi particolari: si noti che la prima vale per ogni α maggiore di 0 e per ogni b maggiore di, e la seconda è pure vera qualunque sia la scelta di b >, p e α positivi. Esempi 2 Il vale zero, dato che è un caso particolare della prima con α = 2, b = e). e Anche il ln Il 3 vale zero con α = /3, b = 2). 2 vale zero, essendo un caso particolare della seconda con b = e, p =, α = ). ln 2 ln) 2 Anche il = vale zero con b = e, p = 2, α = /2). Veniamo ora ad una situazione più generale. Siano f,g : a,b) R, dove a,b) può essere un qualunque intervallo di R, anche non itato. Consideriamo il problema di confrontare i valori di f) e g) quando è vicino a b. Ad esempio, le due funzioni f) = / e g) = ln tendono entrambe a + per 0 +. Il problema che ci poniamo è confrontare i modi in cui esse tendono all infinito, cioè riuscire ad esempio a dire quale delle due va all infinito più rapidamente. Due possibili strategie atte ad operare un confronto possono essere: i) determinare il segno di f g in a,b); 6 ii) dare una stima dell ordine di grandezza di f/g vicino a b. 7 Analizziamo queste strategie, per +, nel caso delle tre funzioni f) =, g) = 2, h) = 2. Notiamo che nell intervallo,+ ) è minore sia di 2, sia di 2, ma questo non ci dà informazioni sulla grandezza relativa dei valori di f, g e h per che tende a +. 5 Dato che possiamo scrivere b α = α /b = 0 + = +. 6 Il segno della differenza f g ci dice quale delle due è maggiore dell altra ovviamente f g > 0 se e solo se f > g). 7 Se sapessimo ad esempio che f/g è molto maggiore di, potremmo dire che f è molto maggiore di g supponendo f e g positive).

17 5 CONFRONTO LOCALE 7 e Se invece consideriamo che f) g) = 2 = = 0 f) h) = 2 = /2, essi dicono che g è molto più grande di f vicino a +, 8 e che h è approssimativamente il doppio di f vicino a +. Quindi il ite del quoziente è un buon indicatore della grandezza relativa di f rispetto a g vicino a b. 5. Simboli di Landau Definizione Sia f,g : a,b) R, con a,b) anche non itato. Supponiamo che g non si annulli in a,b). f) i) Se = 0, diciamo che f è o piccolo di g, o trascurabile rispetto a g, in b da sinistra, e scriviamo b g) f = og) per b ; ii) se b f) g) =, diciamo che f è equivalente a g in b da sinistra, e scriviamo f g per b ; f) iii) se è finito, diverso da zero, diciamo che f è dello stesso ordine di grandezza di g in b da sinistra, b g) e scriviamo f g per b. I simboli o, e sono detti simboli di Landau. Si possono dare definizioni analoghe per iti da destra e per iti bilateri. Esempi Siano f) =, g) =, h) = 2, k) = Valgono le seguenti relazioni, per + : g = of), f = oh), h k, k h f le verifiche sono immediate: lo studente le svolga applicando le definizioni appena viste). Osservazioni Si osservi che banalmente), se f g per b, allora vale anche f g per b. Se f = of) e f 2 = of), per b, allora anche f ± f 2 = of), per b lo studente dimostri queste semplici affermazioni). Si dimostra facilmente anche che se f = of), per b, allora f +f f. Questo fatto si può anche esprimere con la scrittura più sintetica e facile da ricordare): f +of) f. Altri esempi di utilizzo dei simboli di Landau seguono da quanto enunciato all inizio di questa sezione. Si ha che: Per +, α = ob ) per ogni α positivo e per ogni b > ; Sempre per +, ln p = o α ) per ogni p e α positivi. Quindi, ad esempio, abbiamo 3 = o2 ), per +, e ln 4 = o ), sempre per +. Non sfugga il significato veramente interessante dei risultati sui confronti tra potenze, esponenziali e logaritmi che chiamerò d ora in avanti confronti standard): una qualunque potenza, per quanto elevata, è trascurabile rispetto ad un esponenziale, per quanto debole e un logaritmo, anche se elevato ad una qualunque potenza, è trascurabile rispetto ad una potenza, per quanto bassa. Altri esempi, importanti nel calcolo dei iti, sono i seguenti: Confronto all infinito tra due potenze. Consideriamo due potenze a e b, con 0 < a < b. Si ha a = o b), per +. 9 Quindi, ad esempio, si ha che 2 = o 3), per +. 8 Se f e g tendono entrambe all infinito e f/g tende a zero significa che il denominatore tende all infinito più velocemente del numeratore, e cioè che diventa grande più rapidamente dell altra. 9 Segue dalla definizione: dato che b a > 0. a b = = 0, b a

18 5 CONFRONTO LOCALE 8 Confronto in zero tra due potenze. Consideriamo ancora due potenze a e b, con 0 < a < b, questa volta per 0 +. In questo caso si ha b = o a ), per Quindi, ad esempio, si ha che 2 = o), per 0. Osservazione Quindi attenzione a non confondere i due casi: all infinito tra due potenze è trascurabile quella con esponente minore, mentre in zero è trascurabile quella con esponente maggiore. Pertanto scriveremo ad esempio = o) e /3 = o /2 ), per +, mentre = o ) e /2 = o /3 ), per 0 +. Negli ultimi esempi visti avevamo sempre a che fare con funzioni infinite all infinito e infinitesime in zero. Per ribadire che nel confronto è rilevante il valore della funzione più che il punto a cui tende, consideriamo il confronto delle due funzioni e. Si osservi che le due funzioni sono infinitesime all infinito e infinite in zero. e Dato che dato che / / = = Vediamo altri esempi di utilizzo dei simboli di Landau. = 0 allora ) = o, per + ) / 0 + / = = 0 allora = o, per Si ha /2 per +. Proviamolo con la definizione = 2 ++ = =. Lo studente dimostri questa regola generale per le radici dei polinomi: n P +op) n P. 2 3 Si ha ln 2 ++) ln 2 ) per +. Infatti [ ] ln 2 ++) ln 2 +/+/ 2 ) ln 2 = ) ln 2 ) ln 2 )+ln+/+/ 2 ) = ln 2 =. ) Lo studente dimostri questa regola quasi generale : nel caso f tenda all infinito si ha che lnf +of)) lnf. 22 Attenzione che non si ha invece e 2 ++ e 2 per +. Infatti e = 2 e 2 e2 = e+ = +. Anche qui non ci sono regole del tutto generali. Si potrebbe provare che e f+of) è equivalente ad f se f tende a zero. 20 Anche questa volta segue dalla definizione: b 0 + a = = 0, 0 +b a dato che b a > 0. 2 In realtà la formula vale qualunque sia la funzione sotto radice anche non polinomiale) e lo studente può cercare di dimostrare anche questo. 22 Mentre con le radici la regola vale in tutta generalità, con i logaritmi non è sempre così: la regola lnf + of)) lnf potrebbe non valere se ad esempio f tende a.

19 5 CONFRONTO LOCALE 9 Osservazione Usando la definizione di ite si può provare che vale il seguente risultato: se f e g sono due funzioni positive definite in [a,+ ) e se f) = og)) per +, allora da un certo punto in poi f è minore di g e questo fa forse capire meglio perché in questo caso f si dica trascurabile rispetto a g). Vediamo la semplice dimostrazione, che si basa soltanto sulla definizione di ite: f) = og)) significa che f) g) = 0 e quindi che per ε = esiste un δ > 0 tale che per > δ si ha f) g) <, da cui si ricava f) < g), per > δ. 23 Il fatto che una certa proprietà come ad esempio f) < g)) valga da un certo punto in poi nel caso precedente il punto è δ) si esprime dicendo che la proprietà vale definitivamente. Quindi possiamo dire che se f) = og)) per +, allora si ha definitivamente f) < g). 5.2 Principi di einazione/sostituzione Sono molto utili nella pratica del calcolo dei iti i seguenti risultati, che chiameremo principi di einazione/sostituzione. Essi in certo qual modo danno una giustificazione del perché alcune quantità sono state chiamate trascurabili rispetto ad altre. i) einazione) Se f,f : a,b) R e f = of) per b, allora ) f)+f ) = f) b b ii) sostituzione) Se f,f,g,g : a,b) R, f f e g g per b, allora ) ) f ) g ) = f) g) b b iii) sostituzione) Se f,f,g,g : a,b) R, f f e g g per b, allora f ) b g ) = f) b g) iv) einazione) Se f,f,g,g : a,b) R, f = of) e g = og) per b, allora f)+f ) b g)+g ) = f) b g) Osservazione Si noti che allora le funzioni trascurabili si possono a tutti gli effetti trascurare nel calcolo del ite almeno nelle situazioni previste dai principi). Funzioni invece equivalenti possono essere sostituite ad altre. Si noti un fatto molto importante: le quantità trascurabili si trascurano quando sono sommate ad altre non moltiplicate) e quantità equivalenti prendono il posto di altre quando ci sono prodotti o quozienti e non addizioni). Esempio Consideriamo il ). Osservando che = o 3 ) per +, 24 si ha ) = 3 +o 3 )) = 3 = +. Abbiamo applicato il punto i) del principio di einazione il ite peraltro lo sapevamo già calcolare con un raccogento). Più in generale, con un generico polinomio, possiamo dire che a n n +a n n +...+a 0 ) = a n n +o n )) = a n n. ± ± ± Esempio Consideriamo il 2 2 ). 23 La definizione di ite direbbe che si ha f) g) < con il valore assoluto, che però qui si può togliere perché f e g sono positive. Se così non fosse potremmo dire che vale f) < g), per > δ. 24 Il polinomio di secondo grado è somma di funzioni tutte trascurabili rispetto ad 3.

20 5 CONFRONTO LOCALE 20 Osservando che 2 = o 2 ) e = o 2 ), per +, allora, per il punto i) del principio di einazione si ha Esempio Dovendo calcolare il 2 2 ) = 2 +o 2 )) = 2 ) = , e osservando che = o 3 ) per + e che 2 + = o 4 ) per +, applicando il punto iv) del principio di einazione possiamo scrivere = 3 +o 3 ) 4 +o 4 ) = 3 4 = = 0. Si noti che anche questo ite lo sapevamo già calcolare con raccogenti. Però come si vede col principio di einazione le cose sono molto più veloci. Anche in questo caso, con il quoziente di due polinomi in generale, possiamo dire che ± a n n +a n n +...+a 0 b m m +b m m +...+b 0 = ± da cui si perviene immediatamente al risultato. Esempio Consideriamo il a n n +o n ) b m m +o m ) = a n n ± b m m, Osservando che = o 2 ) e = o) per +, ancora con il punto iv) del principio di einazione abbiamo Esempio Se abbiamo il = ) +o) = 2 = possiamo osservare che 2 = o), per 0 + e = o ), per 0 +. Quindi per punto iv) del principio di einazione si ha = +o) 0 + +o ) = 0 + = ) = Esempio Dovendo calcolare il ln 2 +2, osservando che ln = o) per + e che 2 = o2 ) per +, applicando il punto iv) del principio di einazione possiamo scrivere ln 2 +2 = Esempio Se abbiamo il +o) 2 +o2 ) = = 0 confronto standard potenza/esponenziale). 2 + lne +), osservando che + per + e che lne +) lne per +, applicando il punto iii) del principio di sostituzione possiamo scrivere + lne +) = lne = =. Esempio Se abbiamo il 2 + ln 3 +)

21 5 CONFRONTO LOCALE 2 possiamo osservare che 2 + e ln 3 +) ln 3 ), per +, e quindi 2 + ln 3 +) = ln 3 ) = = + dal confronto standard potenza/logaritmica). 3ln Abbiamo applicato il punto iii) del principio di sostituzione. Esempio Se abbiamo il e + ) ) ln+) f.i. del tipo 0 + )), possiamo osservareche e +, per +, dato che e = o ). Inoltre ln+) ln, sempre per +. Quindi, applicando il punto ii) del principio di sostituzione, possiamo scrivere e + Esempio Se abbiamo il ) ln+) ) ln = ln = = 0 confronto standard logaritmica/potenza). e ) f.i. del tipo 0 + )), osservando che /3, per + e applicando il punto ii) del principio di sostituzione, possiamo scrivere e ) = e e 2/3) = e 2/3 = 0 confronto standard potenza/esponenziale). e Osservazione Ribadisco un punto molto importante e delicato. Il principio di einazione dice sostanzialmente che quantità trascurabili si possono trascurare. Attenzione però a non dare a questa affermazione una validità del tutto generale, come può far credere questo modo di presentare la questione. La validità e quindi l applicabilità del principio è itata ovviamente ai casi previsti nell enunciato. Faccio un esempio: il principio non dice che, nel caso io abbia un prodotto di due quantità, di cui una trascurabile, io possa trascurare quest ultima. Quindi se ho +, non posso trascurare, che pure è trascurabile rispetto ad all infinito, e concludere che il ite è. Il ite infatti è +, come si trova facilmente dividendo numeratore e denominatore per, o più semplicemente dal confronto tra le due potenze. Osservazione Lo stesso dicasi per i casi che usano l equivalenza: in un prodottoo quoziente) posso sostituire ad una quantitàun altraquantitàadessaequivalente. Lacosanonvalesehounasomma. Siconsideriil ) 2 +. Se, dopo aver osservato che 2 +, per +, applico il principio di sostituzione e concludo che il ite è 0, commetto un errore. 25 Esercizio 5. I seguenti iti sono forme indeterminate. Si calcolino con i principi di einazione/sostituzione. +2 ln 3 a) 3 b) +ln e +ln + 3/2 +ln /3 +2 +ln c) 0 +0 d) /2 +3 +ln 2 e) f) Concludiamo questa sezione con alcune proprietà relative agli o piccoli, proprietà che possono essere utili in alcune occasioni. Per iniziare verifichiamo che vale questo: se f = og) per c c qualunque) e se g) 0 per c, allora anche f) 0 per c. f) La prova si ottiene con la definizione: se f = og) significa che c g) = 0 e che quindi definizione di ite), con ε =, che c è un intorno di c in cui <, il che vuol dire che in tale intorno f) < g). Ma allora, dai f) g) teoremi del confronto dei iti, se g e quindi g ) tende a zero anche f tende a zero, e quindi f tende a zero. 25 Infatti si ha invece, razionalizzando, ) = = = + +/ = 2.