Formule di Integrazione Numerica

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1 Formule d Itegrzoe Numerc

2 Itegrzoe umerc: geerltà Prolem: vlutre l tegrle deto: I d F F utlzzo opportue tecce umerce qudo: l prmtv d o e esprmle orm cus d esempo s/, ep- ; dcoltà el clcolre ltcmete l prmtv F e/o d es. F può essere espress orm tegrle; vlor d soo ot solo lcu od,, d esempo seguto d msure spermetl.

3 Formule d qudrtur Not vlor ssut dll uzoe tegrd u seme d od,, dstt [,], s desce ormul d qudrtur o d tegrzoe umerc u ormul del tpo: d * c Pes o coecet { } c,..., c * * I omm o prte pprossmte dele esto o errore d trocmeto

4 Errore d propgzoe I dt zl possoo essere ett d errore: d * c c ε c c * ε omm o prte pprossmte Errore d propgzoe su dt,..., ε I ssez d error d pprossmzoe su clcol:

5 Formule d qudrtur terpoltor Le ormule d qudrtur terpoltore soo ste sull sosttuzoe dell uzoe tegrd co l suo polomo terpoltore, su u seme opportuo d od,,. Crter d scelt dell dstruzoe de od [,]: od d terpolzoe soo sst come dto del prolem od equspzt [,] ormule d Newto-Cotes od stut opportumete [,], modo d otteere precsoe mssm ormule d qudrtur gusse.

6 Formule d qudrtur terpoltore A prescdere dll dstruzoe de od, ed utlzzdo l espressoe d Lgrge per l polomo terpoltore: l c c,..., d d ε * E E l E ]d,...,, [ d! d π ξ π

7 Grdo d precsoe Dezoe: u ormul d qudrtur od s dce ce grdo d precsoe υ se: per per k ν k,..., ν Dt l lertà dell opertore d tegrzoe, s grdo d precsoe υ se l ormul è estt per tutt polom d grdo k υ metre esste lmeo u polomo d grdo υ, per l qule l ormul d qudrtur o è estt.

8 Grdo d precsoe L terpolzoe polomle su od è estt per polom d grdo m coè E, qud l ormul d qudrtur terpoltor è estt per og polomo d grdo m coè, qud υ. Ioltre: ν [ ] Π L d > Π Π < c 44 Coè esste u polomo d grdo per cu l ormul d qudrtur o è estt. I detv per l grdo d precsoe delle ormule d qudrtur terpoltore su od s :

9 Formule d Newto-Cotes Le ormule d Newto-Cotes soo ormule d qudrtur terpoltore su od equspzt:, K, Possoo essere d tpo perto o cuso secod se e od d terpolzoe soo compres o meo gl estrem s costrusce l polomo d terpolzoe su od,,-.

10 Formul del trpezo, υ Formul del trpezo: s pprossm l uzoe co u polomo d prmo grdo su due od equspzt:! l l E l o ξ ξ π ], [ d d ξ

11 Formul d Cvler-mpso, υ Formul d Cvler-mpso o dell prol: l uzoe è pprossmt co u prol:! l l l o ξ π ], [ 9 d! 4 d 4 5 l ξ π

12 Formul de /8 4, υ Formul de /8: l uzoe è pprossmt co u polomo d terzo grdo: ], [ 8 8 d 4 5 Formul d Mle-Boole 5, υ5 Formul d Mle-Boole: l uzoe è pprossmt co u polomo d qurto grdo: ], [ d 6 7 4

13 Formule d Newto-Cotes: precsoe Il resto delle ormule d Newto-Cotes ssume l espressoe: t t t t d! L γ ξ γ t t t t d! L γ ξ γ Grdo d precsoe υ pr dspr Grdo d precsoe υ

14 Formule d Newto-Cotes: esempo Esempo 7..: s pprossm l seguete tegrle co l ormul del trpezo e d Cvler-mpso: I 4 d dove Trpezo: Cv.-m.: Not: mpegre ormule co u grdo d precsoe pù elevto o vuol dre otteere rsultt pù ccurt!!! Eserczo cosglto [GL] 4., 7., 7.9

15 Formule d Newto-Cotes perte Le ormule d Newto-Cotes perte s ottegoo utlzzdo per l costruzoe de polom solo od,,-, l grdo d precsoe dmusce: ν ν se èpr se èdspr Formul del puto cetrle: d [, ]

16 Formule d Newto-Cotes geerlzzte Per >7 coecet delle ormule d Newto-Cotes o seg s postv ce egtv, s dmostr ce cò può provocre stltà umerc umeto d *. Per evtre l uso d ormule d grdo elevto e d perdere ormzo, s decompoe l tervllo sottotervll cscuo de qul s utlzzo ormule d qudrtur d grdo sso, ormule d Newto-Cotes geerlzzte.

17 Formul de trpez υ L tervllo d tegrzoe è decomposto m sottotervll: m m X X X,, ], [ K I og sottotervllo [X,X ],, m- s pplc l ormul del trpezo co -/m: ], [ d d m m m ], [ d m m

18 Formul delle prole υ L tervllo d tegrzoe è decomposto m sottotervll: m m X X X,, ], [ K I og sottotervllo [X,X ],, m- s pplc l ormul de Cvler-mpso co -/m: ], [ 8 4 d 4 4 m m m Teorem: e C υ [,], le ormule d Newto-Cotes geerlzzte tedoo ll tegrle I, qudo l umero d od tede ll to.

19 Crtero d uge: ormul de trpez Per le ormule geerlzzte è possle orre u stm dell errore d trocmeto sez dover clcolre l dervt dell uzoe tegrd. Formul de trpez: I / / / σ I Psso Psso / 4 / / / / e vr poco [,] σ

20 Crtero d uge: ormul delle prole Formul delle prole: I / / / σ I Psso Psso / 5 /6 / / / e 4 vr poco [,] 4 4 σ

21 Estrpolzoe d crdso Il crtero d uge permette d stmre l resto dell ormul d qudrtur co psso /, trmte le prt pprossmt vlutte co psso e /; s può usre quest stm per orre u pprossmzoe pù ccurt dell tegrle. Formul de trpez: / / / / I 5 / / / / I Formul delle prole:

22 Estrpolzoe d crdso: esempo Esempo 7.5.: trmte l metodo delle prole e l estrpolzoe ll crdso, clcolre l seguete l tegrle: I e e d e e.7888

23 Estrpolzoe d crdso: esempo omme pprossmte co psso e /: 4 / / e e e e 4 e / e / e / e / / 4 Crtero d uge, stm del resto co psso /: / / I e Estrpolzoe ll crdso: 4 / / Vlore estto: I e.7888kk / c

24 Formule d qudrtur: eserczo Eserczo 4.:Vlutre co 4 cre decml estte l vlore d π/4, medte tegrzoe umerc dell tegrle: π I d rct 4 utlzzdo u ormul delle prole st sull tvol: cegledo l psso e trscurdo l errore d propgzoe. Eserczo cosglto [GL] 4.4,

25 Covergez delle ormule d qudrtur U ormul d qudrtur è dett covergete se l successoe delle prt pprossmt ce s ottee umetdo l umero de od coverge l vlore estto dell tegrle, ovvero se ll umetre de od l resto tede zero: lm I lm le ormule d Newto-Cotes geerlzzte verco l propretà d covergez; l polomo terpoltore potree o covergere eomeo d uge e qud ece l ormul d qudrtur; le ormule d qudrtur terpoltore soo coverget tutt cs cu lo è l polomo terpoltore

26 Covergez delle ormule d qudrtur Teorem: se C [,], co [,] lmtto, posto k M k, k,,, [,] d es. uzoe co dervte equlmtte, rsult: lm k k! k M k lm I Not: l covergez è u coseguez drett dell covergez del polomo terpoltore.

27 Covergez delle ormule d qudrtur Teorem: se C[,], co [,] lmtto, s { } u successoe d ormule d qudrtur terpoltore: se esste u costte postv M tle ce: c c M llor: lm I Not: u successoe d ormule d qudrtur coecet postv è covergete d esempo ormule gusse.

28 Covergez: esempo Esempo 7.9.: s pprossm l seguete tegrle co u successoe d ormule d Newto-Cotes co dspr: 4 4 d rctg rctg l successoe:

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