Circuiti dinamici. Circuiti del secondo ordine. (versione del ) Circuiti del secondo ordine
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- Gerardina Mura
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1 rcut dnamc rcut del secondo ordne (versone del 9-6- rcut del secondo ordne rcut del secondo ordne: crcut l cu stato è defnto da due varabl x ( e x ( Per un crcuto (non degenere del secondo ordne le equazon d stato hanno la forma dx dx a a x a x a x x f f f ( e f ( sono delle combnazon lnear degl ngress
2 rcut del secondo ordne I crcut non degener del secondo ordne contengono due bpol dnamc (condensator o nduttor s hanno tre possbltà: 3 rcut con un nduttore e un condensatore ( Il crcuto è costtuto da un doppo bpolo resstvo (formato da component lnear e generator ndpendent con le porte collegate a un nduttore e un condensatore Se l crcuto non è degenere l crcuto resstvo assocato ammette un unca soluzone è possble fssare valor d e d v l doppo bpolo ammette la rappresentazone brda Per l teorema d rappresentazone del doppo bpolo, le equazon della parte resstva del crcuto sono v h hv( vg( h h v G 4
3 rcut con un nduttore e un condensatore ( Inoltre s ha d v v dv v v Qund le equazon d stato sono d dv h h vg( v( h h G ( v( 5 rcut con due nduttor Per un crcuto non degenere con due nduttor, l doppo bpolo è comandato n corrente ( l crcuto resstvo assocato ammette un unca soluzone Il doppo bpolo ammette la rappresentazone medante d matrce d resstenza e equazon d stato sono d r r vg( ( ( d r r v G 6
4 rcut con due condensator Per un crcuto non degenere con due condensator, l doppo bpolo è comandato n tensone ( l crcuto resstvo assocato ammette un unca soluzone Il doppo bpolo ammette la rappresentazone medante d matrce d conduttanza e equazon d stato sono dv g g G( v( v( dv g v g v G 7 rcut del ordne recproc Se l crcuto è formato da component recproc s ha h h d d v d d h h vg( ( v( h h G ( ( v( r r r r v G r vg ( t ( r g d v d v g g G( G ( t g g v( v v g v 8
5 Equazon rsolvent del secondo ordne ( In generale la rsoluzone del sstema delle equazon d stato può essere rcondotta alla rsoluzone d un equazone del secondo ordne contenente una sola varable d stato Per ottenere l equazone rsolvente s elmna una delle varabl dal sstema Medante una delle equazon s esprme una delle varabl d stato n funzone dell altra varable e della dervata dell altra varable S sosttusce questa espressone nell altra equazone 9 Dervazone dell equazone del secondo ordne n x dx dx a a x a x a x x f f dx a x x f( a a a dx d x a dx d f a a a d x dx d f ( a a ( aa aa x( a f( a f(
6 Nota Il procedmento non è applcable se a o a Se a nella prma equazone d stato non compare x ( x ( soddsfa un equazone dfferenzale del prmo ordne Se a nella seconda equazone d stato non compare x ( x ( soddsfa un equazone dfferenzale del prmo ordne Se l crcuto è recproco a a In questo caso l crcuto s rduce a due crcut del prmo ordne dsaccoppat Equazon rsolvent del secondo ordne ( Equazone rsolvente n x d x dx d f ( a a ( aa aa x( a f( a f( Procedendo n modo analogo s trova l equazone rsolvente n x d x dx d f ( a a ( aa aa x( a f( a f( e equazon del secondo ordne relatve alle due varabl d stato dfferscono solo per termn not
7 Equazon rsolvent del secondo ordne (3 e due equazon possono essere scrtte nella forma d x dx x F (, ( a a tr( A aa aa det( A A a a a a coeffcente d smorzamento pulsazone naturale 3 Espresson delle varabl d stato I prm membr delle equazon n x e x sono ugual per entrambe le varabl d stato l equazone omogenea assocata è la stessa e varabl d stato possono essere espresse come x xh( xp ( x x x H P x P ( e x P ( rappresentano le soluzon partcolar x H ( e x H ( dervano dall ntegrale generale della stessa equazone omogenea dfferscono solo per valor delle due costant dpendent dalle condzon nzal 4
8 ondzon nzal Per determnare la soluzone occorre assocare a cascuna equazone dfferenzale due condzon nzal relatve al valore all stante t + d x j e della sua dervata I valor nzal delle varabl d stato s ottengono studando l comportamento del crcuto per t t I valor all stante t + delle dervate delle varabl d stato s ottengono nserendo nelle equazon d stato valor delle varabl d stato all stante t t dx dx t t a a x ( t x ( t a a x x ( t ( t f ( t f ( t 5 Determnazone della soluzone omogenea Per determnare l ntegrale generale dell equazone omogenea assocata, s deve rsolvere l equazone caratterstca e soluzon dell equazone caratterstca sono dette frequenze natural del crcuto S dstnguono tre cas caratterzzat da valore postvo, nullo o negatvo del dscrmnante soluzon real dstnte: soluzon real concdent: soluzon complesse conugate: 6
9 Nota ( Per un crcuto formato da component passv e generator ndpendent devono essere verfcate le condzon det( A Dmostrazone Nelle condzon ndcate l crcuto è stable e rsposte con ngresso zero non possono dvergere per t equazone caratterstca deve avere due soluzon dstnte con parte reale non postva o due soluzon concdent negatve a somma e l prodotto delle soluzon devono essere quanttà non negatve tr( A det( A tr( A 7 Nota ( Se l crcuto è recproco s può avere solo se due component dnamc sono un nduttore e un condensatore Dmostrazone: Il dscrmnante dell equazone caratterstca è tr ( A det( A ( a a 4 4 ( a a 4 ( a a a a a a Per un crcuto recproco con due nduttor o due condensator a e a hanno lo stesso segno l dscrmnante è postvo Per un crcuto recproco con un nduttore e un condensatore a e a hanno segno opposto l dscrmnante può essere postvo, nullo o negatvo 8
10 Soluzon real dstnte ( e frequenze natural sono, d Se e, s ha d < e qund, < Il crcuto è asntotcamente stable In questo caso s dce che l crcuto è sovrasmorzato Integrale generale dell equazone omogenea assocata: t t x k e k e H Integrale generale dell equazone completa: t t x k e k e x ( P t 9 Soluzon real dstnte ( e costant k e k s determnano mponendo le condzon nzal Assumendo, per semplctà, t s ha x ( k k xp ( dx dxp k k dx dxp x ( xp ( k k dx dx P x ( x P (
11 Soluzon real concdent ( Il valore comune delle due frequenze natural è Se >, le soluzon sono negatve Il crcuto è asntotcamente stable In questo caso s dce che l crcuto è crtcamente smorzato Integrale generale dell equazone omogenea assocata: t t x ( k k e ( k k e H ( Integrale generale dell equazone completa: t x ( k k e x ( ( P t Soluzon real concdent ( e costant k e k s determnano mponendo le condzon nzal Assumendo t s ha x ( dx k k k xp ( k x ( x dx P k ( dx P dx P x ( x P (
12 Soluzon complesse conugate ( e frequenze natural sono, j j d Se >, le part real d e sono negatve Il crcuto è asntotcamente stable In questo caso s dce che l crcuto è sottosmorzato Integrale generale dell equazone omogenea assocata: ( jd t ( jd t x k e k e H Questa soluzone rappresenta la tensone d un condensatore o la corrente d un nduttore, qund ha sgnfcato fsco solo se assume valor real per ogn t 3 Soluzon complesse conugate ( * Affnché x H ( sa reale occorre che sa k k S può porre A j A j k e ( A, R, A k e Utlzzando la formula d Eulero s ottene A j j t A ( d j ( jd t xh e e e e j( j( t e e t A e A e cos d t Integrale generale dell equazone completa: t x A e cos( xp Anche n questo caso s devono determnare due costant real (A e mponendo le condzon nzal 4
13 Soluzon complesse conugate (3 Assumendo t, s deve rsolvere l sstema x ( dx A cos( x A ( cos( A cos( x ( x dxp A sen( d A a b arctg b / a sgn( b arctgb / a P P d dxp A sen( ( a dx sgn( b a a a x ( x P ( b 5 Espresson delle rsposte ( e altre rsposte sono combnazon lnear delle varabl d stato e degl ngress y c x c x g ( ( t a generca rsposta y ( può essere espressa come y y y H P y P ( è un termne che dpende solo dagl ngress y H ( ha la stessa forma d x H ( e x H ( Qund tutte le tenson e le corrent del crcuto hanno, a seconda del valore d, espresson del tpo y k y k y A e e e t t t k k e te cos( d t t y P y t y P P per per per 6
14 Espresson delle rsposte ( Se l crcuto è asntotcamente stable, per t le component y H ( tendono a zero (component transtore Per t abbastanza grande, coè per t max, se t se (dove n pratca sgnfca 57 volte maggore le rsposte s dentfcano con le component y P ( (component d regme dpendent solo dagl ngress In partcolare se gl ngress sono costant l crcuto s porta n regme stazonaro se gl ngress sono snusodal e sofrequenzal l crcuto s porta n regme snusodale 7 Rsposta d un crcuto del secondo ordne aso sovrasmorzato Ingresso costante 8
15 Rsposta d un crcuto del secondo ordne aso sovrasmorzato Ingresso costante 9 Rsposta d un crcuto del secondo ordne aso sovrasmorzato Ingresso snusodale 3
16 Rsposta d un crcuto del secondo ordne Smorzamento crtco Ingresso costante 3 Rsposta d un crcuto del secondo ordne Smorzamento crtco Ingresso costante 3
17 Rsposta d un crcuto del secondo ordne Smorzamento crtco Ingresso snusodale 33 Rsposta d un crcuto del secondo ordne aso sottosmorzato Ingresso costante 34
18 Rsposta d un crcuto del secondo ordne aso sottosmorzato Ingresso snusodale 35 Anals d crcut del secondo ordne - Replogo ( S studa l crcuto per t t e s determnano valor nzal (all stante t t delle varabl d stato S costrusce l crcuto resstvo assocato per t > t Analzzando l crcuto resstvo assocato s rcavano le equazon d stato le equazon d uscta relatve alle (eventual altre rsposte rcheste S elmna una delle varabl d stato dalle equazon d stato S rcava un equazone dfferenzale del secondo ordne nell altra varable 36
19 Anals d crcut del secondo ordne - Replogo ( S rcava la condzone nzale relatva alla dervata nserendo valor nzal delle varabl d stato n una delle equazon d stato S rsolve l equazone dfferenzale e s determna l andamento d una delle varabl d stato S rcava l altra varable d stato medante l espressone che è stata utlzzata per elmnarla dal sstema S determnano le altre rsposte nserendo le espresson delle varabl d stato nelle equazon d uscta (e varabl conugate possono essere calcolate anche sosttuendo le espresson delle varabl d stato nelle equazon de component dnamc 37 Anals d crcut del ordne Metodo dretto Se la componente d regme y Pj ( può essere rcavata drettamente (es. regme stazonaro o snusodale è possble calcolare le rsposte con un procedmento semplfcato: Dalle equazon d stato s rcava l equazone caratterstca tr( A det( A Rsolta l equazone caratterstca, s rcava y H ( S determnano le due costant contenute n y H ( mponendo che y ( y H ( + y P ( soddsf le condzon nzal Se la rsposta che s deve valutare non concde con una varable d stato, le condzon nzal s ottengono sosttuendo valor nzal delle varabl d stato nell equazone d uscta valor nzal delle dervate delle varabl d stato nell equazone ottenuta dervando membro a membro l equazone d uscta 38
20 rcut elementar del secondo ordne rcuto R sere rcuto R parallelo 39 rcuto R sere KI: R KV: vr v v vg omponent: dv dv vr RR R d d v v d v R dv v v G 4
21 KI: R G KV: v v vr omponent: d v vr d R R R dv d rcuto R parallelo d R d G 4 Equazone rsolvente e due equazon possono essere poste nella forma d x dx x( f f( grandezza mpressa del generatore Il coeffcente d smorzamento è R per l crcuto R sere G per l crcuto R parallelo R a pulsazone naturale vale è pulsazone d rsonanza del bpolo R Il rapporto Q è l fattore d merto del bpolo R 4
22 Rsposte d un crcuto R ( Per l crcuto R sere, l dscrmnante dell equazone caratterstca s annulla se R R R 4 R è detta resstenza crtca Per l crcuto R parallelo, l dscrmnante s annulla se G G 4 G è detta conduttanza crtca In termn d fattore d merto, dato che e per un crcuto passvo non possono essere negatv, per entramb crcut s ha Q G 43 Rsposte d un crcuto R ( Il crcuto R sere è sovrasmorzato per R > R crtcamente smorzato per R = R sottosmorzato per R < R Il crcuto R parallelo è sovrasmorzato per G > G crtcamente smorzato per G = G sottosmorzato per G < G In termn d fattore d merto, per entramb crcut s ha caso sovrasmorzato per Q / caso crtcamente smorzato per Q / caso sottosmorzato per Q / 44
23 rcut ( ome cas lmte per R per l crcuto R sere e per G (R per l crcuto R parallelo s ha rcuto sere rcuto parallelo R R Q G G Q 45 rcut ( e equazon dfferenzal (rspettvamente n v e dventano d x x( f equazone caratterstca ha due soluzon mmagnare conugate j In questo caso s dce che l crcuto è senza perdte ntegrale generale dell equazone omogenea è una funzone snusodale d pulsazone Acos( t x H non s annulla per t ma rmane lmtata l crcuto è semplcemente stable espressone della rsposta completa è x Acos( t x P 46
24 Oscllatore armonco ( Se l ngresso è nullo, crcut sere e parallelo s rducono al crcuto seguente Oscllatore armonco onsderando (per esempo l equazone n v s ottene v v VM cos( t V Qund s ha anche dv VM sen( t V VM sen( t a tensone e la corrente sono snusodal con pulsazone V 47 Oscllatore armonco ( Energa accumulata nel condensatore w v VM cos ( t V Energa accumulata nell nduttore w VM sen ( t V w ( è massma quando w ( s annulla e vceversa Energa totale WT w w VM energa totale è costante e concde con valor massm assunt da w ( e da w ( S ha uno scambo contnuo d energa tra l condensatore e l nduttore 48
25 Oscllatore armonco (3 49 Oscllatore smorzato ( A partre dal valore, s ncrementa la resstenza del resstore n sere a e o la conduttanza del resstore n parallelo a e A causa della dsspazone nel resstore, l energa accumulata nel crcuto dmnusce progressvamente e tende a zero per t R Q G Q 5
26 Oscllatore smorzato ( Inzalmente l crcuto è sottosmorzato l ampezza delle oscllazon decresce come e t la pulsazone d dmnusce all aumentare d Aumentando s raggunge la condzone d smorzamento crtco per R R G G n queste condzon la pulsazone d s annulla a partre da questo punto nelle rsposte de crcut non sono pù present termn oscllant Aumentando ulterormente l crcuto dvene sovrasmorzato al crescere d una delle soluzon dell equazone caratterstca tende a mentre l altra tende a zero per t la rsposta tende a zero sempre pù lentamente 5 uogo delle soluzon dell equazone caratterstca rconferenza d raggo 5
27 Oscllatore smorzato (3 A partà d la rsposta con smorzamento crtco è quella che tende a zero pù rapdamente per t Dmostrazone In condzon d smorzamento crtco ( le rsposte del crcuto sono del tpo t x ( c c e ( caso sottosmorzato t x Ae cos( t con x c ct ( lm lm e t x( t Acos( t ( caso sovrasmorzato x( k e t k e t t con x c ct lm lm t ( ( ( t t x t k e k e t 53 Oscllatore smorzato (4 54
28 Oscllatore armonco forzato ( S consdera un crcuto sere con un generatore d tensone snusodale V V cos( t G GM Se, l equazone n v d v v ( cos( t VGM t ammette una soluzone partcolare snusodale con pulsazone a soluzone partcolare può essere determnata drettamente medante l metodo smbolco j VG VG VP VG j j 55 Oscllatore armonco forzato ( Soluzone partcolare VGM vp cos( t Integrale generale dell equazone completa v VGM Acos( t cos( t e rsposte del crcuto sono combnazon d due funzon snusodal con pulsazon dverse In generale le rsposte sono aperodche Per la corrente dell nduttore s ha dv VGM Asen( t sen( t 56
29 Oscllatore armonco forzato (3 57 Oscllatore armonco forzato (4 Se l mpedenza della sere - s annulla Nell anals con l metodo smbolco s ottene un crcuto assurdo (generatore d tensone n parallelo con un cortocrcuto equazone dfferenzale non ammette una soluzone partcolare snusodale d pulsazone S può verfcare che n questo caso l equazone ammette una soluzone partcolare del tpo v P Vt sen( t d v Infatt, dato che P V cos( t Vt sen( sosttuendo v P ( nell equazone dfferenzale s ottene VGM V V cos( t VGM cos( t t 58
30 Oscllatore armonco forzato (4 ntegrale generale è qund VGM v Acos( t t sen( t Se s consdera l caso partcolare v ( V ( A dv ( fase d v G ( uguale a zero ( Rsposta nello stato zero V/s s ottene V v dv GM t sen( V GM sen( V GM t cos( 59 Oscllatore armonco forzato (5 6
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