ELEMENTI DI TRIGONOMETRIA

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1 ELEMENTI DI TRIGONOMETRIA Sommario ELEMENTI DI TRIGONOMETRIA... 1 Premessa... Gli angoli... Angoli orientati... Le funzioni goniometriche elementari... 4 Proprietà delle funzioni goniometriche... Le relazioni fondamentali... 9 Angoli notevoli... 9 Angoli associati... 9 Equazioni goniometriche Risoluzione delle equazioni goniometriche elementari Equazioni in una sola funzione goniometrica... 1 Le equazioni lineari... 1 Le equazioni omogenee Formule goniometriche Formule di addizione e sottrazione Formule di duplicazione Formule di bisezione

2 Premessa La trigonometria si occupa delle relazioni che intercorrono tra gli elementi di un triangolo (lati e angoli). Tale branca della matematica trova le sue origini negli studi di geografi e astronomi vissuti alcuni secoli prima di Cristo e ancora oggi è lo strumento matematico indispensabile per studiare le scienze applicate (fisica, astronomia, geografia, ecc.). Tutta la trigonometria si basa sul concetto di funzione goniometrica. Le funzioni goniometriche elementari sono le funzioni seno, coseno, tangente. Queste funzioni associano ad ogni angolo (più precisamente alla sua misura) un numero reale. Prima di introdurre queste funzioni è necessario ripassare alcuni concetti elementari relativi agli angoli e alla loro misura. Gli angoli Esistono varie definizioni di angolo, la più semplice è la seguente. Definizione. Due semirette, uscenti da uno stesso punto, dividono il piano geometrico in due parti che chiamiamo angolo. Tutti noi siamo abituati a misurare delle grandezze fisiche (il nostro peso, la nostra altezza, la misura del piede, la velocità di una automobile, la distanza da casa a scuola, ecc.). Ma cosa significa misurare una grandezza? Se un palo è lungo metri significa che l unità di misura (il metro) vi è contenuta volte. In generale, scelta una grandezza come campione o unità di misura è poi possibile confrontarla con un altra omogenea da misurare e stabilire il numero di volte che il campione è contenuto in essa. Anche gli angoli possono essere misurati: è sufficiente fissare un angolo particolare come riferimento (unità di misura) e confrontarlo con un altro. Gli antichi popoli della Mesopotamia misurarono il periodo di rivoluzione terrestre in 0 giorni e, forse per analogia, divisero l angolo giro in 0 angoli. Presero uno di questi angoli come unità di misura e lo chiamarono grado. Completa la seguente tabella con le misure dei relativi angoli: angolo giro piatto retto misura Questo tipo di misurazione presenta l inconveniente di non produrre numeri reali e di non essere facilmente confrontabile con numeri reali e non può essere rappresentata sulla retta orientata. Per questi motivi ci si serve di un altro sistema di misurazione degli angoli: il sistema radiale. E noto dalla geometria elementare che considerata una qualunque circonferenza, c è proporzionalità diretta fra gli angoli al centro e gli archi da essi sottesi sulla circonferenza; pertanto è lecito misurare un angolo al centro α mediante l arco AB da esso sotteso. Def. 1 Si definisce radiante l angolo il cui arco rettificato ha la stessa lunghezza del raggio della circonferenza. Pertanto misurare un angolo in radianti significa determinare il rapporto fra la lunghezza dell arco da esso sotteso e il raggio della circonferenza.

3 lunghezza arco rettificato α ( in radianti) = raggio In generale per passare dal sistema di misura in gradi a quello in radianti si usa la seguente proporzione: : x radianti =180 : y gradi y 5 5 Esempio. Una angolo di ampiezza 5 misurerà x = = = 0, 44rad Un angolo che misura x = radianti, misurerà y = = 10 Un angolo retto quanti radianti misura? E un angolo piatto? E un angolo giro? E un angolo di rad, quanti gradi misura? 4 Esercizio. Completa la seguente tabella: gradi radianti (in funzione di ) Angoli orientati Un concetto importante che ci serve per introdurre le funzioni goniometriche è il concetto di angolo orientato. Consideriamo la circonferenza con centro nell origine degli assi cartesiani e raggio unitario: si conviene di assegnare segno positivo agli angoli misurati in senso antiorario a partire dal semiasse positivo delle ascisse, segno negativo agli angoli misurati in senso orario a partire dal semiasse positivo delle x. Ad esempio nella rappresentazione a destra il segmento AB determina nella circonferenza goniometrica due angoli esplementari, uno α di 0 ( 11/ ) e l altro β di 0 ( - /).

4 Le funzioni goniometriche elementari Abbiamo già accennato che le funzioni elementari più importanti sono il seno, il coseno e la tangente. Per definire tali funzioni in modo semplice si utilizza una circonferenza sul piano cartesiano. In un piano cartesiano Oxy, rappresentiamo la circonferenza di raggio unitario e centro (0;0). Tale circonferenza prende il nome di circonferenza goniometrica. L equazione di questa circonferenza è:. Osserva che una qualsiasi semiretta r di origine O definisce, con l asse x, una angolo orientato α (considerato positivo se misurato in senso antiorario da x verso r). Esercizio. Determina le coordinate del punto P, intersezione tra la circonferenza e la semiretta r che definisce l angolo α: α (gradi) α (radianti) x P y P Vedi i suggerimenti che seguono. La seconda colonna è già stata calcolata nelle pagine precedenti. La prima riga è immediata. Tutti i triangoli rettangoli che consideri hanno l ipotenusa uguale a 1. Per completare la seconda riga ricorda che un triangolo rettangolo con un angolo acuto di 0 avrà l altro angolo acuto di, quindi è la metà di un triangolo isoscele. Per completare la terza riga ricorda che un triangolo rettangolo con un angolo acuto di 45 avrà l altro angolo acuto di, quindi è la metà di un quadrato. 4

5 Per completare la quarta riga ricorda che un triangolo rettangolo con un angolo acuto di 0 avrà l altro angolo acuto di Utilizzando il teorema di Pitagora nei vari triangoli rettangoli puoi trovare le misure dei cateti e quindi i valori delle funzioni goniometriche. Appare quindi evidente che le coordinate del punto P sono valori che cambiano in funzione dell angolo α (misurato preferibilmente in radianti). Si utilizzano le coordinate del punto P per definire le prime due funzioni goniometriche, l ascissa di P sarà il coseno dell angolo α mentre l ordinata di P sarà il seno dell angolo α. Definizione. Si chiama seno la funzione reale di variabile reale che ad ogni angolo al centro di una circonferenza goniometrica, definito dalla semiretta r e l asse x, associa l ordinata del punto P, intersezione tra la semiretta r e la circonferenza. In formule: sin α = y p, oppure sen α = y p. Definizione. Si chiama coseno la funzione reale di variabile reale che ad ogni angolo al centro di un circonferenza goniometrica, definito dalla semiretta r e l asse x, associa l ascissa del punto P, intersezione tra la semiretta r e la circonferenza. In formule: cos α = x p. Esercizio. Completa la seguente tabella (la riconosci in parte?): α (gradi) α (radianti) sin α cos α

6 Per la definizione di tangente si considera il punto Q intersezione tra la semiretta r, che definisce l angolo α, e la retta parallela all asse y e passante per il punto (1;0). Definizione. Si chiama tangente la funzione reale di variabile reale che ad ogni angolo al centro di un circonferenza goniometrica, definito dalla semiretta r e l asse x, associa l ordinata del punto Q, intersezione tra la semiretta r e la retta di equazione x=1. In formule: tg α = y Q, oppure : tan α = y Q. Esercizio. Prova ad immaginare come si muove il punto Q sulla retta verticale x=1, al variare dell angolo α. Cosa succede quando l ampiezza dell angolo si avvicina a 90? Cosa succede quando l ampiezza dell angolo è esattamente 90? In questo ultimo caso puoi disegnare il punto Q? Puoi calcolare la tan 90? Esistono altri angoli per i quali non esiste la tangente? Osservazione. Tutte le calcolatrici scientifiche sono predisposte per calcolare (in modo approssimato) le funzioni goniometriche elementari, sia misurando gli angoli in gradi, che in radianti. Proprietà delle funzioni goniometriche Esercizio. Completa i grafici disegnando la semiretta r e il punto P per ogni angolo proposto. Angolo di 0 Angolo di 90 Angolo di 45 Angolo di 405

7 Angolo di 90 Angolo di 450 Angolo di 15 Angolo di 495 Dalle rappresentazioni che hai dato di ciascun angolo emerge un fatto molto importante: se due angoli differiscono di allora sono rappresentati dalla stessa semiretta r, quindi il punto P, intersezione tra r e la circonferenza è il medesimo. Se il punto P è lo stesso sia per l angolo di ampiezza α che per quello di ampiezza α + 0, allora le funzioni goniometriche seno e coseno non modificano il loro valore, cioè: sen α = sen (α+0 ) e cos α = cos (α+0 ). La stessa proprietà vale anche se considero angoli che differiscono di 70?. Quindi, in generale, valgono le seguenti proprietà: sen α = sen (α+k) cos α = cos (α+k ), con k Z. Questa proprietà significa che i valori che assumono le funzioni seno e coseno si ripetono uguali ad intervalli di (0 ), cioè le funzioni seno e coseno sono periodiche di periodo. Per comprendere immediatamente il significato di tale affermazione e altre proprietà delle funzioni goniometriche esegui il seguente esercizio. Esercizio. Rappresenta, mediante il software GEOGEBRA le funzioni seno, coseno e tangente, poi completa le frasi che seguono. Suggerimento: scrivere la funzione y=sin(x) e rappresentarla nella finestra grafica, rispondere alle domande che seguono, poi ripetere con la funzione y=cos(x), poi con y=tan x. Il grafico della funzione seno è chiamato sinusoide. La funzione seno è definita per qualsiasi numero reale? (Sì / No) Il dominio della funzione seno è, quindi, 7

8 La funzione seno assume valori compresi tra Il codominio della funzione seno è, quindi, La funzione seno interseca l asse x nei punti: La funzione seno interseca l asse y nel punto: La funzione seno è periodica di periodo La funzione seno ha un grafico simmetrico rispetto al punto Come risulta il grafico della funzione y= - sin(-x)? Il grafico della funzione coseno è chiamato cosinusoide. La funzione coseno è definita per qualsiasi numero reale? (Sì / No) Il dominio della funzione coseno è, quindi, La funzione coseno assume valori compresi tra Il codominio della funzione coseno è, quindi, La funzione coseno interseca l asse x nei punti: La funzione coseno interseca l asse y nel punto: La funzione seno è periodica di periodo La funzione coseno ha un grafico simmetrico rispetto alla retta Come risulta il grafico della funzione y=cos(-x)? Il grafico della funzione tangente è chiamato tangentoide. La funzione tangente è definita per qualsiasi numero reale? (Sì / No) Il dominio della funzione tangente è, quindi, La funzione tangente assume valori compresi tra Il codominio della funzione tangente è, quindi, La funzione tangente interseca l asse x nei punti: La funzione tangente interseca l asse y nel punto: La funzione tangente è periodica di periodo _ La funzione tangente ha un grafico simmetrico rispetto al punto 8

9 Come risulta il grafico della funzione y= - tan(-x)? Le relazioni fondamentali Tra le funzioni goniometriche elementari che abbiamo definito (seno, coseno e tangente) esistono delle relazioni importanti che ora dovrai scoprire. All inizio di queste pagine hai scritto la formula che rappresenta l equazione della circonferenza goniometrica, quindi un punto P(x p ; y p ) della circonferenza soddisfa l equazione:. Hai anche imparato che se α è l angolo corrispondente alla semiretta OP allora x p = e y p =, quindi sostituendo nell equazione sopra ottieni la prima relazione fondamentale della trigonometria: (1) sin α + cos α = 1 La seconda relazione si ricava confrontando due triangoli rettangoli simili. I triangoli rettangoli OHP e OKQ, in figura, sono simili (gli angoli corrispondenti hanno la stessa ampiezza). Nei triangoli simili i lati corrispondenti sono direttamente proporzionali cioè: HP KQ = OH OK Ma HP=sin α, OH= cos α OK= 1, KQ= tan α. Sostituendo nella proporzione ricavi quindi la seconda relazione fondamentale della trigonometria: () sinα tan α = cos α Angoli notevoli Per angoli che ricorrono spesso negli esercizi, e particolarmente importanti, è opportuno calcolare e memorizzare i valori assunti dalle corrispondenti funzioni goniometriche. Sono angoli notevoli: 0, 0, 45, 0. Con semplici considerazioni geometriche sarà poi possibile ricavare i valori delle funzioni goniometriche per altri angoli che potranno essere scritti in funzione di questi quattro. Esercizio. Completa la seguente tabella: angolo (gradi) angolo (radianti) seno coseno tangente Angoli associati I. Utilizzando una circonferenza goniometrica, tenendo conto del significato geometrico delle funzioni goniometriche, verifica le seguenti uguaglianze (importanti quando si risolvono le equazioni e le disequazioni): 9

10 a) sin(-α) = sin(α); sin(+α)= - sin(α) ; sin(-α) = - sin(α) ; b) cos(-α)= - cos(α); cos(+α)= - cos(α) ; cos(-α) =cos (α) ; c) tan(-α) = - tan(α); tan(+α)= tan(α) ; tan(-α) = - tan(α). II. Dato l angolo α,ad esso risultano associati anche gli angoli α, + α, α, + α. Per determinare i valori delle funzioni goniometriche di questi angoli, notiamo che i triangoli OPH e OP H della figura sono congruenti (angolo POH e angolo P OK congruenti per costruzione,con ampiezza pari ad α ): PH OH sin ( α ) =cos (α) ; cos( α ) = sin (α); tan ( α ) = 1 tanα Osservando il grafico,nell ipotesi che gli angoli POH e P OT siano congruenti, con ampiezza α, si dimostra che i triangoli POH e P OH sono congruenti. P H OH sin ( + α ) =cos (α) ; cos ( + α ) = -sin(α); 1 tan ( + α ) = - tanα Ragionando in modo analogo completa le uguaglianze: α sin ( ) + α sin ( ) = ; cos( α ) = ; cos( + α ) α = ; tan ( ) + α = ; tan ( ) = ; = ; Equazioni goniometriche I concetti illustrati trovano una immediata applicazione nella risoluzione di equazioni goniometriche. Ad esempio: per quali numeri x la funzione sin(x) è uguale a 0? Cioè sin (x) = 0. Definizione. Si chiama equazione goniometrica una equazione nella quale l incognita compare nell argomento di una o più funzioni goniometriche. Tutte le equazioni goniometriche fanno riferimento ad alcune particolarmente semplici e fondamentali, dette elementari. Definizione. Si chiamano equazioni goniometriche elementari le equazioni del tipo: sin (x) = a; cos (x) = a; tan (x)= a, dove x è l angolo incognit0 e a è un numero reale. Risoluzione delle equazioni goniometriche elementari Per imparare a risolvere le equazioni elementari osserva questi esempi. 10

11 Risolvere sin x = 0. Per rispondere alla domanda Quando il seno di un angolo vale 0? puoi ragionare sulla circonferenza goniometrica o sul grafico della funzione seno (sinusoide). Hai, comunque, già avuto modo di osservare (risolvendo i vari esercizi proposti nelle pagine precedenti) che la funzione seno si annulla (il grafico interseca l asse x) quando l angolo corrispondente vale 0, oppure 180, oppure 0, oppure 540, ecc. Quindi le soluzioni della nostra equazione sono infinite: 0,,,,4,...le soluzioni si possono scrivere in questo modo: x = k, con k Z. Risolvere sin x = 1. Per rispondere alla domanda Quando il seno di un angolo vale 1? puoi ragionare sulla circonferenza goniometrica o sul grafico della funzione seno, detta sinusoide, (rappresenta su GEOGEBRA le funzioni y=sin(x) e y=1). Hai già avuto modo di osservare (quando hai risolto i vari esercizi proposti nelle pagine precedenti) che la funzione seno vale 1 quando l angolo corrispondente vale, oppure, oppure, oppure, ecc. Quindi le soluzioni della nostra equazione sono infinite: x = + k, con k Z. Risolvere sin x = 1/. Per rispondere alla domanda Quando il seno di un angolo vale 1/? puoi ragionare sulla circonferenza goniometrica o sul grafico della funzione seno (rappresenta su GEOGEBRA le funzioni y=sin(x) e y=1/). Hai già avuto modo di osservare (quando hai risolto i vari esercizi proposti nelle pagine precedenti) che la funzione seno vale 1/ quando l angolo corrispondente vale, oppure, oppure, oppure, ecc. Quindi le soluzioni della nostra equazione sono infinite: 5 x = + k oppure x = + k con k Z. Risolvere sin x =. Rispondere alla domanda Quando il seno di un angolo vale? è immediato (rappresenta su GEOGEBRA le funzioni y=sin(x) e y=), infatti la funzione seno ha come codominio l intervallo, quindi i valori assunti dalla funzione sono compresi tra i valori e, quindi l equazione proposta non ha soluzioni (è impossibile). Generalizziamo gli esempi. Dovendo risolvere l equazione sin x = a, questa sarà possibile se a è compreso tra i valori, altrimenti sarà. La nostra equazione, se possibile, avrà infinite soluzioni, perché la funzione seno è periodica (si ripete ad intervalli di ). Se il valore a è uno dei valori assunti dalla funzione seno in corrispondenza di un angolo notevole (vedi pag. 10), allora è immediato individuare due angoli (associati) α e (-α) in corrispondenza dei quali la funzione seno vale a; altrimenti i valori dei due angoli associati si determineranno approssimativamente (ad esempio con l ausilio della calcolatrice). La soluzione generale dell equazione sin x = a sarà quindi: x = α + k x = ( α ) + k, dove k è un qualsiasi numero intero. Esempi. Risolvere sin x =. Sai che la funzione seno assume tale valore quando l angolo x vale quindi la soluzione generale sarà: x = + k x = + k, con k Z. 4 4 Risolvere sin x = 0,. Con una calcolatrice scientifica, dopo avere impostato la misura degli angoli in radianti, trovi una soluzione numerica approssimata della tua equazione (ad es. utilizzando la sequenza di tasti: INV SIN 0. =): 0,55 radianti. La soluzione generale sarà:, 4 11

12 ( 0.55) + k, con k. x k x Z 1 Risolvere cos x =. Con ragionamenti simili a quelli utilizzati per la funzione seno, ricavi immediatamente che il coseno vale 1/ quando l angolo x vale 10. La funzione coseno assume lo stesso valore anche in un altro angolo (associato a 10 ) che vale 10. La funzione coseno è periodica di periodo, quindi la soluzione generale sarà: x = + k x = + k, con k Z. Generalizziamo gli esempi. Dovendo risolvere l equazione cos x = a, questa sarà possibile se a è compreso tra i valori, altrimenti sarà. La nostra equazione, se possibile, avrà infinite soluzioni, perché la funzione coseno è periodica (si ripete ad intervalli di ). Se il valore a è uno dei valori assunti dalla funzione coseno in corrispondenza di un angolo notevole (vedi pag. 10), allora è immediato individuare due angoli (associati) α e -α in corrispondenza dei quali la funzione coseno vale a; altrimenti i valori dei due angoli associati si determineranno approssimativamente (ad esempio con l ausilio della calcolatrice). La soluzione generale dell equazione cos x = a sarà quindi: x = α + k x = α + k, dove k è un qualsiasi numero intero. Risolvere tan x =. Per la funzione tangente è importante ricordare che è periodica di periodo e che il codominio è formato dall intero insieme dei numeri reali (quindi l equazione sarà sempre possibile). 1 Preso l angolo di 0 (o 0 ), dalla tabella di pag. 10 si ricava che sin ( 0 ) = e cos( 0 ) =, quindi tan( 0 ) = (razionalizzando). Gli angoli associati che soddisfano l equazione sono quindi e +. Tali angoli differiscono di, come la periodicità della funzione tangente, quindi la soluzione si potrà esprimere in funzione di un solo angolo. La soluzione sarà quindi: x = + k, con k Z. È importante notare come ora le soluzioni si ripetono con periodo e non più come nelle funzioni seno e coseno. Generalizziamo gli esempi. Dovendo risolvere l equazione tan x = a, questa sarà sempre possibile. La tua equazione avrà infinite soluzioni, perché la funzione tangente è periodica (si ripete ad intervalli di ). Se il valore a è uno dei valori assunti dalla funzione tangente in corrispondenza di un angolo notevole (vedi pag. 10), allora è immediato individuare l angolo α in corrispondenza del quale la funzione tangente vale a; altrimenti il valore dell angolo si determinerà approssimativamente (ad esempio con l ausilio della calcolatrice). La soluzione generale dell equazione tan x = a sarà quindi: x = α + k, dove k è un qualsiasi numero intero. Svolgere alcuni esercizi di consolidamento sul libro di terza. 1

13 Equazioni in una sola funzione goniometrica Dopo le equazioni elementari si studiano le equazioni in una sola funzione goniometrica, ad esempio: sin x + sin x 1 = 0. Osserva che la scrittura sin x sta ad indicare ( sin x ) non sin x. Definizione. Una equazione goniometrica si dice in una sola funzione se in essa vi compare una sola funzione goniometrica, elevata a potenze diverse. Le equazioni di questo tipo si risolvono in tre fasi: si esegue una posizione che trasforma l equazione goniometrica in algebrica; si risolve l equazione algebrica; si risolvono due o più equazioni goniometriche elementari. Esempio. Risolvere l equazione sin x + sin x 1 = 0. Poni sin x = t e ottieni t + t 1 = 0. Risolvi questa equazione algebrica di secondo grado nella variabile t e ottieni: t1= oppure t=. Sostituendo a t1 e a t l espressione sin x ottieni due equazioni goniometriche elementari: sin x = oppure sin x=. Dalla prima (sin x = -1) ottieni la soluzione x = + k. 5 Dalla seconda (sin x = ½) ottieni la soluzione x = + k x = + k. 5 Quindi la soluzione finale sarà: x = + k x = + k x = + k. Svolgere alcuni esercizi di consolidamento sul libro di terza. Le equazioni lineari Definizione. Una equazione goniometrica si dice lineare se è del tipo: a sin x + bcos x + c = 0, con a, b, c numeri reali e x l incognita. Osservazione. Se fosse a=0 (o b=0) si otterrebbe una equazione elementare, quindi escludiamo tale eventualità. Nella risoluzione di equazioni lineari occorre distinguere due casi: c=0 oppure c 0. Se c=0 l equazione lineare assume la forma a sin x + b cos x = 0. In questo caso si procede dividendo entrambi i membri per cos x (si deve porre cos x 0, tale posizione è legittima perché cos sin x cos x 0 x =0 non è soluzione dell equazione data) e si ottiene: a + b =. Sostituendo alla cos x cos x cos x sin x frazione la corrispondente funzione tan x, si ottiene: a tan x + b = 0. Questa è una cos x equazione elementare che hai già studiato (vedi pagg. 1 e 1). Esempio. Risolvere l equazione sin x + cos x = 0. 1

14 Dividendo per cos x ottieni tan x = -1. La soluzione di questa equazione goniometrica elementare è x = + k. 4 Se c 0 l equazione lineare assume la forma a sin x + b cos x + c = 0. Per risolvere questa equazione è necessario ricorrere a delle formule, dette parametriche, attraverso le quali le funzioni seno e coseno vengono trasformate nella funzione tangente. Le formule parametriche sono: x x tan 1 tan sin x = e cos x =, che, per semplicità, si possono scrivere: x x 1+ tan 1+ tan t 1 t sin x = e cos x = 1+ t 1+ t, dopo aver posto x tan = t. Osservazione. Tali formule, in funzione della tangente, esistono solo quando esiste la funzione x tangente, cioè quando l argomento è diverso da + k, cioè quando + k, quindi x + k. Quando si risolve una equazione lineare occorre, quindi, prima verificare se una soluzione dell equazione è x = + k, poi applicare le formule parametriche. Esempio. Risolvere l equazione sin x cos x = 0. Prima occorre controllare se x = + k è soluzione dell equazione, poi applicare le parametriche. Sostituendo alla incognita x l angolo ( + k ) otteniamo: sin + k cos + k =. ( ) ( ) 0 Svolgendo i calcoli si ottiene: 0 + = 0. Quindi l angolo soddisfa l equazione data, cioè una soluzione dell equazione è x = + k. Applichiamo ora le formule parametriche per cercare altre soluzioni: ( t ) 0 t 1 1+ t 1+ t =. L equazione può essere trasformata in intera (1+t è sempre 0): t ( 1 t ) ( 1+ t ) = 0. Svolgendo i calci si ottiene t x = 0, cioè tan =. x La soluzione di questa equazione è: = + k, quindi x = + k sarà la soluzione. Le soluzioni dell equazione data saranno quindi: x = + k x = + k. Svolgere alcuni esercizi di consolidamento sul libro di terza. Le equazioni omogenee L ultimo tipo di equazioni goniometriche che affrontiamo riguarda le equazioni omogenee. Definizione. Una equazione goniometrica si dice omogenea se tutti i suoi termini hanno lo stesso grado. Esempi. L equazione di primo grado a sin x + bcos x = 0 è omogenea (e anche lineare). 14

15 L equazione di secondo grado a sin x + bsin x cos x + c cos x = 0 è omogenea. Le equazioni omogenee si risolvono raccogliendo a fattor comune (quando possibile) o dividendo per cos x, oppure cos x, ecc, a seconda del grado dell equazione. Esempi. Risolvere l equazione sin x ( 1+ ) sin x cos x + cos x = 0. Non potendo raccogliere a fattor comune, ed essendo di secondo grado, dividiamo entrambi i membri per sin x sin x cos x cos x cos x (dopo averlo posto 0) e otteniamo: ( 1+ ) + = 0. cos x cos x cos x Ricordando la definizione di tangente e semplificando, otteniamo: tan ( ) x 1+ tan x + = 0. Questa equazione, in una sola funzione goniometrica, si risolve con una posizione: t ( 1+ ) t + = 0. Le soluzioni sono t 1 = 1 t =. Quindi tan x = 1 tan x =. La soluzione finale risulta x = + k x = + k. 4 Risolvere l equazione sin x + sin x cos x = 0. È possibile raccogliere a fattor comune sin x, quindi si ottiene: sin x ( sin x + cos x) = 0. Applicando la legge dell annullamento del prodotto risolvi due equazioni: sin x = 0 sin x + cos x = 0. La prima ha come soluzione x = k ; la seconda, divisa per cos x e risolta rispetto a tan x, ha come soluzione x = + k. 4 La soluzione finale risulta x = k x = + k. 4 Svolgere alcuni esercizi di consolidamento sul libro di terza. Formule goniometriche Questa breve trattazione sulle equazioni goniometriche si conclude ricordando alcune formule utili quando gli argomenti delle funzioni seno, coseno e tangente sono delle espressioni nella incognita x (anziché la sola x), come ad esempio : sin( x + 0 ) cos( x 45 ) = 1, oppure cos x sin x + 1 = 0. Formule di addizione e sottrazione cos x y = cos x cos y + sin x sin y sin( ( ) cos( x + y) = cos x cos y sin x sin y x y) = sin x cos y cos x sin y sin( x + y) = sin x cos y + cos x sin y Formule di duplicazione Formule di bisezione sin x = sin xcox cos x = cos x sin x = 1 sin x = cos x 1 tan x tan x = 1 tan x x 1 cos x x 1 + cos x sin = ± cos = ± x 1 cos x sin x 1 cos x tan = ± = = 1 + cos x 1 + cos x sin x 15

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