Analisi dei Segnali. Sergio Frasca. Appunti delle lezioni di. Dipartimento di Fisica Università di Roma La Sapienza

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1 Sergo Frasca Appunt delle lezon d Anals de Segnal Dpartmento d Fsca Unverstà d Roma La Sapenza Versone 4 luglo 006 Versone aggornata n

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3 Sommaro Introduzone: segnal e sstem Introduzone Segnal Classfcazone de segnal Segnal notevol Sstem Classfcazone de sstem... 3 Argoment ntroduttv Sstem lnear contnu Trasformata d Laplace Trasformata d Fourer La funzone d trasfermento Semplc sstem lnear contnu Teora delle probabltà Varabl casual Varabl casual dscrete Varabl casual contnue Somma d varabl casual ndpendent e funzone caratterstca Varabl casual multple e covaranza Statstca L nferenza statstca - Stma de parametr Il Prncpo de Mnm Quadrat Il Prncpo della Massma Verosmglanza La Stma Bayesana Stma del valor medo Stma della varanza Esemp d stma a mnm quadrat Meda pesata Test statstc Test d consstenza con un valore teorco Test d consstenza tra due valor spermental Test del χ Sstem dscret Introduzone Cas partcolar Semplce applcazone d sstem MA e AR Trasformata z Analoga con la trasformata d Laplace Propretà della trasformata z Alcune trasformate z Trasformata d Fourer dscreta ed FFT La trasformata d Fourer per dat dscret (DTFT) La DFT (e la FFT) Equazon alle dfferenze Funzone d trasfermento dscreta Dfferenze e dervate Rsposta d un sstema dscreto

4 3.7. Rsposta mpulsva Rsposta forzata Evoluzone lbera Stabltà Sstem semplc Sstema d ordne Sstema MA del prmo ordne Due sstem MA del prmo ordne n cascata: MA del secondo ordne Sstema AR del prmo ordne (reale) Sstema AR del prmo ordne (complesso) Sstema AR del secondo ordne Semplc sstem ARMA Sstem non-lnear sstem d Volterra... 4 Segnal transtor Energa, poszone e lunghezza d un segnale transtoro Convoluzone, cross-correlazone e dstanza d due mpuls Trasformata d Fourer d un segnale ad energa fnta Autocorrelazone e spettro d energa Segnale analtco Segnal permanent Process stocastc Introduzone Defnzone Funzon del secondo ordne Il caso d due process Stazonaretà, ergodctà Esemp Trasformazon d process stocastc Sstema statco (senza memora) Sstema lneare (tempo nvarante) Un caso partcolare: l dervatore Process stocastc normal Propretà fondamental Il rumore banco Process stocastc normal e sstem lnear Process dscret: process ARMA Résumé de rsultat Rumore banco dscreto Process AR, MA e ARMA Processo AR del prmo ordne (reale) Processo AR del prmo ordne (complesso) Processo AR del secondo ordne Processo d Posson Anals statstca de segnal Il camponamento Teorema del camponamento Alasng e fltr ant-alasng Generalzzazone Il caso de segnal compless Rumore d quantzzazone

5 6. Caratterstche statche Istogramma, moment camponar Autocorrelazone Spettro d potenza Stmator spettral non parametrc Stmator spettral parametrc Cross-correlazone e cross-spettro Coerenza Fltraggo e trasformazone de dat Segnal e rumor, rapporto segnale/rumore Il fltro adattato Caso del rumore banco Altre dmostrazon Caso generale Teora della rvelazone (Detecton Theory) Fltro d Wener Realzzazone d fltr Fltr FIR Fltr IIR Fltr a sfasamento nullo Fltr n frequenza I dsturb mpulsv - Fltro a medana Cenno alla trasformata wavelet Cenn al caso d dat non stazonar Anals tempo-frequenza Fltr adattv Cenn a modell non lnear Fltr non lnear Il bspettro... Cenno all mage processng.... Immagn ed elaborazone delle mmagn.... Elaborazone lneare delle mmagn La compressone JPEG... 3 Un applcazone: la rcerca d perodctà Introduzone al problema Il perodogramma Metod parametrc Il lock-n L anals d fase Il ft armonco Il caso del camponamento non unforme Perodctà non coerent Perodctà d event Appendc Eserctazon con Matlab Introduzone a Matlab Snag Uso d SnagLab (versone VB)... 5 Introduzone... 5 Istallazone... 5 Uso

6 Tabelle Dstrbuzone cumulatva normale standardzzata Valor del χ per un dato lvello d fduca Bblografa Generale Segnal determnstc Fltraggo Segnal stocastc Aspett matematc Immagn... 6 Altro... 6 Indce Analtco

7 Introduzone: segnal e sstem. Introduzone S supponga d osservare, con opportun strument d msura, una o pù grandezze relatve a un certo fenomeno fsco. Queste msure sono n genere de segnal varabl nel tempo. L anals d quest segnal consste n genere n: Descrvere n modo sntetco e sgnfcatvo le grandezze n esame ed eventualmente la loro varazone temporale. Correlare tra loro le vare grandezze, trovando eventual relazon d causaltà o d concausaltà. Indagare su parametr ntern del processo generatore. Rdurre l eventuale rumore presente ne dat d msura. Per far cò s utlzzano modell matematc che rappresentano (soltanto) le caratterstche d nostro nteresse (coè semplfcano la realtà) e c s può utlmente avvalere d una sere d strument, una spece d cassetta degl attrezz (toolbox) che potranno essere utlzzat a seconda della necesstà. Per lo svluppo d quest modell e strument c s avvale della teora de sstem e della teora de process stocastc. L anals de segnal ha avuto negl ultm 50 ann un grande svluppo, soprattutto per la dffusone de calcolator dgtal. Ma segnal, che vengono n genere prodott n modo contnuo da process fsc, per essere trattat da calcolator dgtal devono essere dscretzzat. La matematca per trattare questo tpo d dat è n genere abbastanza dversa dalla anals classca. Lo scopo d questo corso è presentare sntetcamente gl element della teora de sstem dscret e la teora de process stocastc che sono utl per l anals e l elaborazone de segnal. Sono qund presentat var strument svluppat per quest scop. Qu l termne correlare è usato n senso lato, nel sgnfcato d cercare relazon e dpendenze statstche tra d loro: non necessaramente calcolare l coeffcente d correlazone o la correlazone ncrocata. 7

8 . Segnal Un segnale è una funzone del tempo che rappresenta una grandezza fsca. Un segnale è detto a tempo contnuo, o semplcemente contnuo, se è defnto per tutt valor d un ntervallo della varable reale tempo 3 (t); per esempo una tensone elettrca (.) x() t per tnzale t tfnale È detto dscreto se è defnto per un nseme dscreto de valor della varable t; n tal caso n genere vene rappresentato dalla successone d quest valor (.) x, x,..., x N { x, x,..., x } è detta successone o sere temporale. N Talora gl ndc non partono da, ma possono prendere anche valor negatv (ed ovvamente 0). Spesso un segnale dscreto vene ottenuto camponando un segnale contnuo, coè estraendo valor del segnale contnuo ad un nseme dscreto d valor del tempo t, t,..., t N ; consderando l segnale contnuo x() t, ottenamo valor (.3) x( t), x( t),..., x( t N ) Tal valor sono dett campon (samples) e possono essere ndcat come nella (.). Tale procedura vene detta camponamento (samplng); partcolarmente usato è l camponamento unforme, n cu è costante la dfferenza Δ t = t+ t, detta tempo d camponamento (samplng tme). Vene defnta la frequenza d camponamento (samplng frequency) come (.4) ν S = Δt Nel seguto, consderando segnal dscret, faremo rfermento mplctamente sempre a segnal camponat unformemente... Classfcazone de segnal Oltre alla classfcazone tra segnal contnu e dscret, esstono altre caratterstche pecular d un segnale: S fa dfferenza tra un tempo assoluto e un tempo relatvo, ovvero una dfferenza temporale. Un segnale può essere osservato a un precso tempo (tempo assoluto), ma n genere vene descrtto n tempo relatvo, per esempo prendendo l'orgne temporale all'nzo del segnale. 3 S dstngue n genere tra tempo assoluto (ndcata n genere con t) e dstanza temporale (n genere ndcata con τ ). In questo caso parlamo d tempo assoluto. 8

9 Reale o complesso, coè a un dato stante l segnale è un numero reale o un numero complesso. Scalare o vettorale, coè se è descrtto da un sngolo numero ad ogn stante, o da pù numer. Analogco o dgtale, coè l segnale ad un dato stante può assumere qualsas valore reale n un dato ntervallo (segnale analogco) o solo un numero dscreto d valor (segnale dgtale), tpcamente multpl d un certo valore detto quanto d conversone analogcodgtale : è questo l caso de segnal acqust da un sstema dgtale tramte un converttore ADC. In genere segnal dgtal sono anche dscret nel tempo. Perodco, se esste un valore τ tale che, per tutt valor d t, se l segnale è contnuo (τ è un numero reale) (.5) xt () = xt ( + τ ) e se l segnale è dscreto (τ è un numero ntero) (.6) x = x + τ Determnstco o casuale (o stocastco): questa classfcazone rguarda l modello del segnale: nel prmo caso se è completamente defnto a pror l suo valore, nel secondo se è defnto solo statstcamente. I segnal determnstc possono godere d partcolar smmetre rspetto a un certo stante, per esempo all stante t=0: sono dett par se x(t)=x(- t) e dspar se x(t)=-x(-t)... Segnal notevol Segnale costante Contnuo Dscreto x() t = c x quando c = 0, dcamo che c è assenza d segnale. = c Segnale a gradno Contnuo t < 0 u( t) =0 t 0 u( t) = Dscreto < 0 u = 0 0 u = 9

10 Segnale a delta; è la dervata (o la dfferenza nel caso dscreto) del segnale a gradno. Nel caso contnuo è una delta d Drac, nel caso dscreto è un segnale sempre nullo, ma che vale n 0, detto anche mpulso untaro o funzone mpulsva dscreta: Contnuo δ () t Dscreto = 0 δ = 0 δ = 0 e qund t () δ ( κ) u t = dκ u = δk k= Segnale snusodale Contnuo Dscreto xt () = A sn( ω t+ ϕ) x = A sn( ω Δt + ϕ) Nella fgura l segnale contnuo è ndcato con la lnea contnua e quello dscreto con palln: Fgura - 0

11 Segnale esponenzale complesso Contnuo t xt () = A exp + j ( ω t+ ϕ) τ Dscreto Δ t x = A exp + j ( ω Δt + ϕ) τ Rumore banco, l pù semplce segnale stocastco, se ne parlerà nel captolo su process stocastc.

12 .3 Sstem Un sstema è un modello matematco d un dspostvo o d un processo fsco o d un algortmo, che connette uno o pù segnal d ngresso (ecctazone o nput ) a uno o pù segnal d uscta (rsposta o output ). Un sstema qund è sostanzalmente un elaboratore d segnal. Input Sstema Output Fgura - Mentre process fsc sono modellzzabl pù naturalmente con sstem contnu ed segnal fsc con segnal contnu, l loro trattamento con calcolator dgtal rende fondamentale lo studo d sstem e segnal dscret. Pù sstem possono essere conness nseme, e questo nseme può essere rappresentato da un nuovo sstema. Nella fgura seguente è rappresentato un nseme d sstem conness tra d loro n varo modo. Fgura -3 S notno smbol crcolar che ndcano nod somma, semplc sstem con due o pù ngress e una sola uscta che eseguono la somma de segnal d ngresso. Mod partcolarmente semplc, e spesso utl, d connettere de sstem sono due seguent: Connessone n sere (o n cascata)

13 F F F N Connessone n parallelo Fgura -4 F F F N Fgura -5 Attenzone! Nella teora de sstem l comportamento d un sstema non è modfcato dalla presenza degl altr a cu è connesso. Come è noto, non è così per un normale sstema fsco (bast pensare ad un crcuto RC passa-basso, la cu rsposta dpende dall mpedenza d ngresso del sstema che lo segue). Per sstem elettrc, n cu le varabl d ngresso e d uscta sono tenson elettrche, questa caratterstca equvale ad una mpedenza d ngresso nfnta e un mpedenza d uscta nulla. Come vedremo n questo corso, segnal e sstem sono correlat tra d loro: sstem non c servranno solo per elaborare segnal, ma, n cert cas, per rappresentarl..3. Classfcazone de sstem Oltre alla classfcazone tra sstem contnu e dscret (coè che elaborano segnal dscret o contnu), esstono altre caratterstche pecular d un sstema: Statco o dnamco, detto anche senza memora o con memora, coè se l uscta ad un dato stante dpende solo dall ngresso a quell stante o no. Un sstema dnamco è caratterzzato dalla presenza d stat ntern. In altr termn l effetto della memora del sstema vene schematzzato supponendo che l uscta a un dato stante non dpende solo dall ngresso a quell stante, ma anche dal valore dello stato. Qund, mentre un sstema statco è completamente defnto dall equazone 3

14 r r (.7) y = F( x) dove x r e y r sono rspettvamente l vettore degl ngress e quello delle uscte, ad un dato stante. Se l sstema è dnamco, nvece, nel caso d sstem contnu, occorrono le due equazon (.8) r r r y = F( x, s) r r r s& = Gxs (, ) dove s r è l vettore d stato n quell stante. La prma equazone vene detta equazone d uscta (output equaton), la seconda equazone d stato (state equaton). Nel caso d sstem dscret, r r r y = F( x, s) (.9) r r r s = Gx (, s ) Un esempo d sstema dnamco è un crcuto RC passa-basso, n cu l ngresso e l uscta sa tenson: n tal caso la varable d stato è la carca del condensatore 4. Fgura -6 Causale, se l uscta non precede l ngresso. Tutt sstem fsc sono causal, non così quell smulat su calcolatore. Lneare, se ad una qualsas combnazone lneare d dfferent ngress, corrsponde n uscta la stessa combnazone lneare delle relatve uscte (prncpo d sovrapposzone). Indchamo con L l operatore che descrve l sstema. Se l sstema è lneare, allora 4 Il crcuto n fgura non ha le caratterstche deal d un sstema: nfatt l suo comportamento vara a seconda d cosa mettamo alla sua uscta ed noltre esso carca l generatore che mettamo all ngresso. Se supponamo che all ngresso c sa un generatore d mpedenza d uscta nulla e all uscta un apparato d mpedenza d ngresso nfnta, l suo comportamento è assmlable a un sstema deale. 4

15 (.0) L a x () t + a x () t = a L x ( t) + a L x ( t) Nel caso d sstem lnear, le equazon (.8) sono lnear. Tempo-nvarante, se l comportamento non vara nel tempo. In tal caso le funzon F e G sono ndpendent dal tempo. Stable, se ad un ngresso d ampezza lmtata, corrsponde un uscta d ampezza lmtata 5. 5 Nella teora de sstem d controllo vengono defnt var tp d stabltà che non nteressano la presente trattazone. 5

16 Argoment ntroduttv. Sstem lnear contnu In questo captolo c occuperemo de sstem contnu lnear tempo-nvarant. Inoltre faremo rfermento essenzalmente a sstem con un solo ngresso e una sola uscta. Un sstema lneare tempo-nvarante è completamente defnto una volta nota la rsposta mpulsva, coè la rsposta del sstema a un nput a delta d Drac. Per dmostrarlo, ndchamo questa rsposta come (.) f () t = W [ δ ()] t dove W[ ] ndca l operazone effettuata dal sstema (l operatore del sstema). Rcordamo che una propretà mportante della funzone delta è (.) x() t = x( τ ) δ( t τ) dτ data la lneartà del sstema, abbamo che la rsposta a un ngresso x(t) è (.3) y() t = W x() t = x( τ) δ( t τ) dτ W = [ ] = x( τ ) W δ( t τ) dτ = x( τ) f( t τ) dτ Possamo anche porre (.4) yt () = xt () f( t τ ) dτ = f( τ) xt ( τ) dτ Questo ntegrale è l ntegrale d convoluzone tra le funzon x e f. Questo rsultato può essere vsto n questo modo: - l uscta d un sstema lneare è una meda pesata del suo ngresso, l peso essendo dato dalla rsposta mpulsva del sstema. Notamo che se l sstema è causale, f ( τ ) e nulla per τ < 0. L operazone d convoluzone (.4) è spesso ndcata nella forma abbrevata (.5) y = f x 6

17 Esso gode delle propretà o commutatva f x = x f o assocatva a b c= ( a b) c= a ( b c) o dstrbutva a ( b+ c) = ( a b) + ( a c) Inoltre (.6) ( ) d a b da db = b = a dx dx dx e a b dx = a x dx b x dx (.7) ( ) ( ) ( ) Un sstema contnuo lneare, con un ngresso e un uscta, può essere defnto talora da un equazone dfferenzale ordnara lneare (caso de sstem lnear a parametr concentrat; l caso alternatvo è detto a parametr dstrbut, l cu caso pù semplce è una lnea d rtardo). Se l sstema è tempo-nvarante coeffcent dell equazone sono ndpendent dal tempo: (.8) n k m l d y() t d x( t) Ak = B k l l dt k= 0 l= 0 dt In esso x è la varable ndpendente (ovvero l ngresso, per esempo la forza) e y la varable dpendente (ovvero l uscta, per esempo lo spostamento). Un esempo d un tale sstema può essere un crcuto elettrco comprendente solo element lnear, coè resstenze ohmche, nduttanze e condensator. Un sstema contnuo lneare a parametr concentrat con pù ngress e pù uscte è descrtto da un sstema d equazon dfferenzal lnear. Come è noto, un sstema descrtto da un equazone dfferenzale lneare ha la soluzone composta da due part addtve: la rsposta lbera e la rsposta forzata, la prma dpendente da un numero d parametr par all ordne dell equazone, è la rsposta che s ha nel caso sa nulla l ecctazone (l ngresso), la seconda nel caso n cu sa nullo lo stato. Nella teora de sstem, spesso s trascura la presenza della rsposta lbera... Trasformata d Laplace La trasformata d Laplace d una funzone è defnta da (trasformata blaterale) 7

18 st (.9) Fs () = ft () e dt o (trasformata unlaterale, pù frequentemente usata) (.0) st Fs () = ft () e dt 0 dove s = σ + jω (con j ndchamo l untà mmagnara). Essa vene anche ndcata con Fs () = L { ft ()} o con f () t F( s). In genere l ntegrale converge solo per un sotto-nseme del pano s, detto regone d convergenza, ovvero per un ntervallo della varable σ, parte reale d s. La trasformata nversa vene rcavata con metod della teora delle funzon d varable complessa, e s ha c+ j f t = e F s ds π j st (.) () ( ) c jh dove c è scelto n modo tale che tutt punt sngolar della F( s ) gaccano a snstra della retta Re( s) = c del pano complesso rappresentante s. Le propretà pù mportant della trasformata d Laplace sono appresso elencate. Sa x() t X() s, x() t X() s, x() t X() s. S ha: Lneartà: a x() t + b x() t a X() s + b X() s st0 Spostamento nel tempo (rtardo t 0 ): x( t t ) e X( s) st 0 Spostamento nel domno s: e x() t X( s s ) 0 0 Cambamento d scala temporale: s xat ( ) X a a Inversone temporale: x( t) X( s) Dfferenzazone nel domno del tempo: dxt () s X() s dt Integrazone nel domno del tempo: t x( τ) dτ X( s) s Dfferenzazone nel domno s: dx () s t x() t ds 8

19 Convoluzone: x() τ x( t τ) dτ X() s X() s Come abbamo vsto, la rsposta d un sstema lneare tempo-nvarante può essere calcolato con l ntegrale d convoluzone dell ngresso con la rsposta mpulsva del sstema. L uso della trasformata d Laplace rduce formalmente questa operazone a un prodotto tra la trasformata d Laplace del segnale d ngresso e la trasformata d Laplace della rsposta mpulsva del sstema, che vene detta funzone d trasfermento... Trasformata d Fourer Se una funzone è perodca, coè se x() t = x( t+ T0 ) per tutt t (T 0 è l perodo, ν 0 = è la T0 frequenza e ω0 = πν 0 la pulsazone), come è noto possamo svlupparla n sere d Fourer, coè jk 0t (.) xt () = X e ω dove coeffcent X k sono rcavat da k = jk t T0 (.3) Xk = x() t e dt T T0 0 T0 La trasformata d Fourer è una generalzzazone dello svluppo n sere d Fourer al caso n cu la funzone x(t) non sa perodca (ovvero sa d perodo nfnto). La trasformata d Fourer è smle alla trasformata d Laplace; n essa però la varable trasformata, conugata del tempo, è reale e ndca la pulsazone (n Inglese angular frequency; spesso vene ndcata con ω ). Rcordamo che ω = πν, dove ν è la frequenza. La trasformata d Fourer d una funzone x(t) è data da 6 jωt (.4) X( ω) = x( t) e dt Come s vede è un caso partcolare della trasformata (blatera) d Laplace, dove s = jω. Le funzon della base trasformata sono, come s vede, esponenzal complesse (rcordamo che jωt e = cosωt+ j snωt). Nella trasformata d Fourer c è una smmetra perfetta tra la varable t e la varable ω. In pratca però, molto spesso nel domno t le funzon sono real mentre sono complesse (ed hermtane) nel domno ω. k π 6 Esstono altre defnzon, quas equvalent; per esempo con l esponenzale postvo, oppure con costant a moltplcare dfferent. 9

20 Notamo che (.5) X(0) = x( t) dt La trasformata nversa s ottene da (.6) jωt x() t = X( ω) e dω π Essa vene anche ndcata con X() s { x() t } trasformate d Fourer, con xt () Xω ( ). Se XL ( ) X ( ω ) la trasformata d Fourer, allora 7 X ( ω) X ( jω ) F =F o, quando è charo che parlamo d F s è la trasformata d Laplace d x(t) e =. Data la parentela con la trasformata d Laplace, la trasformata d Fourer gode d propretà sml, pù altre dovute alla maggore smmetra tra le varabl conugate. Guardamo con attenzone queste propretà, poché nell anals de segnal s fa largo uso d questa trasformata. Sa xt () Xω ( ), x() t X( ω), x() t X( ω). S ha: Lneartà: a x() t + b x() t a X( ω) + b X( ω) Se conoscamo la trasformata d due segnal, possamo calcolare mmedatamente quella d una combnazone d quest due segnal. Possamo, quando è l caso, scomporre opportunamente un segnale per calcolare,o nture, la sua trasformata. L jωt0 Spostamento nel tempo: xt ( t) e X( ω) 0 Se traslamo un segnale nel tempo, per la trasformata abbamo lo stesso valore assoluto e uno sfasamento che vara lnearmente con ω. S not che X ( ω ) è ndpendente da spostament nel tempo. jω0t Spostamento nel domnoω : e x() t X( ω ω ) e ω j 0t Questa è la duale della precedente. rappresenta una oscllazone complessa: moltplcare x(t) per questa oscllazone complessa provoca una traslazone della trasformata d Fourer. Se x(t)=, trovamo che j 0t (.7) ( ) e ω δ ω ω Nel caso n cu esstono entrambe. 0

21 jω0t jω0t jω0t jω0t Ora notamo che e + e = cos( ω t) e e e j sn( ω t) 0 = allora 0 (.8) x() t cos( ω t) (.9) x() t sn ( ω t) 0 0 X X ( ω ω ) + X ( ω+ ω ) 0 0 ( ω ω ) X ( ω+ ω ) 0 0 j Cambamento d scala temporale: ω xat ( ) X a a Anche questa è una propretà molto mportante. la trasformazone x '( t) = x( a t) produce una contrazone o una dlatazone a seconda che a sa maggore o mnore d. Una dlatazone nel domno t corrsponde a una contrazone nel domno ω e vceversa. Questa propretà è la ragone del cosddetto prncpo d ndetermnazone d Fourer, smle a quello d Hesenberg, che vedremo n seguto (par. 4.3). Inversone temporale: x( t) X( ω) * Se la x(t) è reale, allora X ( ω) X ( ω) = e qund anche * x( t) X ( ω) Dfferenzazone nel domno del tempo: dxt () jω X( ω) dt Questa propretà può essere generalzzata con n d x() t n X( ω) n dt (.0) ( jω ) Integrazone nel domno del tempo: t x( τ ) dτ πx(0) δ( ω) + X( ω) jω Dfferenzazone nel domno ω : dx ( ω) jtxt () dω Convoluzone: x( τ ) x( t τ) dτ X( ω) X( ω)

22 e noltre: Sostture una operazone come la convoluzone, spesso complcata, se eseguta analtcamente, o computazonalmente costosa, se eseguta numercamente, con una moltplcazone rende spesso molto utle lavorare nel domno trasformato d Fourer. Moltplcazone: x() t x() t X( θ ) X( ω θ) dθ È la duale della propretà della convoluzone. Identtà d Parseval: x t x t dt = X ω X ω d ω * * () () ( ) ( ) π x() t dt = X ( ω) dω π Questa propretà è un utlssma relazone sull energa totale del segnale nel domno del tempo e d ω. S not che se l ntegrale s esegue nella farable ν non compare l fastdoso coeffcente π. * Inoltre, se l segnale x(t) è reale, la sua trasformata d Fourer è X ( ω) X ( ω) =, coè la sua parte reale è par e la parte mmagnara dspar (funzone hermtana); se x(t), reale o complessa, è una funzone hermtana, la trasformata è reale, se è ant-hermtana ( x() t = x*( t) ), è mmagnara. Ecco alcun cas: Domno del tempo Reale Reale postva Reale par o hermtana Reale dspar o ant-hermtana Domno della frequenza Hermtana Massmo reale n 0, hermtana Reale Immagnara Rcordamo qu che, se le dmenson d x(t) sono [x], quelle della trasformata X sono [xt]. Un rsultato mportante per sstem che s deduce dalla propretà della trasformata d Fourer per la convoluzone, è che se l ngresso d un sstema lneare è una snusode, l uscta è anch essa una snusode, con ampezza e fase che dpendono dalla frequenza. Qund per ogn frequenza possamo defnre un numero complesso che abba come modulo l guadagno del sstema, coè l rapporto tra l ampezza della snusode n uscta e quella n ngresso, e la fase la dfferenza d fase tra d esse. La funzone d trasfermento (defnta come la trasformata d Laplace o d Fourer della rsposta mpulsva) dà, per ogn frequenza, questo numero complesso.

23 Per quanto rguarda segnal, la trasformata d Fourer c dà l contenuto n energa (o, come vedremo per segnal d durata nfnta, n potenza) alle vare frequenze. Defnamo spettro d energa d un dato segnale, l modulo quadro della sua trasformata d Fourer. Infne rportamo la trasformata d Fourer d alcune sgnfcatve funzon: Gaussana: (.) t ω σ σ e e π σ Notamo che la trasformata ha la stessa forma funzonale della gaussana (ma mentre nel tempo è normalzzata a, n ω no). Se prendamo come larghezza nel tempo la devazone standard, n ω la larghezza è, qund l prodotto delle due larghezze è σ sempre. Pacchetto gaussano: Un pacchetto è un segnale snusodale moltplcato per una fnestra. In questo caso la fnestra è gaussana. Il calcolo della trasformata è facle,rcordando le propretà su rportate. Sono qu rportat tre cas del pacchetto esponenzale complesso (dat compless, un solo pcco nella trasformata), del pacchetto cosnusodale (funzone reale par, trasformata reale) e del pacchetto snusodale (funzone dspar, trasformata mmagnara). Notamo po che pù è largo l pacchetto nel tempo, pù sono strett pcch (o l pcco, nel caso complesso) nella trasformata. t ( ω ω0 ) σ σ jω0t e e e π σ (.) t σ e cos( ω0t) π σ e ( ω ω0) σ ( ω+ ω0) σ + e t σ e e sn ( ω0t) j π σ ( ω+ ω0) σ ( ω ω0) σ e In fgura c è un pacchetto gaussano cosnusodale 3

24 Fgura - Rettangolo: (.3) r( t a) per t < a sn ( a ω) ; = a 0 per t > a a ω Se prendamo come msura della larghezza delle due funzon l valore pù basso n cu s azzerano, abbamo che nel domno t è a, nel domno ω è a π. È stata ntrodotta la funzone snc(x) come (.4) snc( x) = sn ( x) x e la trasformata dell mpulso rettangolare può scrvers n termn d questa funzone. La snc ha una notevole mportanza nello studo del camponamento d segnal contnu. Pacchetto rettangolare: La stuazone è analoga al caso del pacchetto gaussano. Esponenzale smmetrco Lorentzana ( dstrbuzone d Cauchy): 4

25 (.5) e t τ x τ + τ Pacchetto esponenzale smmetrco: La stuazone è analoga al caso del pacchetto gaussano. delta: (.6) δ ( t) costante: (.7) x() t = c πc δ ( 0) gradno: jω (.8) u() t + π δ ( ω) esponenzale complesso: j 0t (.9) ( ) e ω π δ ω ω 0 esponenzale decrescente: t τ (.30) u() t e + jω τ 5

26 S not che la stessa funzone nvertta nel tempo ha trasformata. Sommando la jω τ () t e τ u t e la nvertta nel tempo, s ha una funzone che ha come trasformata la somma delle trasformate (.3) t t t τ τ τ () ( ) u t e + u t e = e + = τ + jω jω + ω τ τ τ che non è altro che la (.5). doppo polo : t τ (.3) u() t t e + jω τ..3 La funzone d trasfermento Abbamo vsto che un sstema lneare tempo nvarante può essere defnto dalla rsposta mpulsva. Infatt (equazone (.4)) la rsposta s calcola facendo la convoluzone dell ngresso con la funzone rsposta mpulsva. La funzone d trasfermento F(s) è la trasformata d Laplace della rsposta mpulsva f(t). Per la propretà della trasformata d Laplace sulla convoluzone, essendo X(s) e Y(s) le trasformate d Laplace dell ngresso e dell uscta del sstema, abbamo (.33) Y ( s) = F( s) X ( s) Inoltre, se abbamo n sstem n cascata (n sere), con funzon d trasfermento F( s), F( s),..., Fn ( s), la funzone d trasfermento complessva F(s) è data dal prodotto delle sngole funzon (.34) F( s) = F ( s) F ( s)... F ( s) n e se abbamo n sstem n parallelo (coè tutt con lo stesso ngresso e con tutte le uscte che vanno a un nodo somma), con funzon d trasfermento F( s), F( s),..., Fn ( s), la funzone d trasfermento complessva F(s) è data dalla somma delle sngole funzon 6

27 (.35) F( s) = F ( s) + F ( s) F ( s) n Se l sstema è a parametr concentrat, e qund è descrtto da un equazone del tpo (.8), allora la funzone d trasfermento è una funzone razonale d s, e coè = 0 (.36) F( s) = m n = 0 B s A s La funzone d trasfermento è completamente descrtta avendo dato gl zer del polnomo al numeratore (chamat semplcemente zer z k ) gl zer del polnomo al denomnatore (chamat pol p k ) B0 l fattore guadagno n contnua F0 = A Se tutt pol sono dfferent, e se n>m, dalla (.36) s può rcavare la rsposta mpulsva (calcolata come trasformata nversa d F(s)), come un opportuna combnazone lneare degl n pt termn e 0 (.37) n p t f () t = K e = dove (.38) K = ( s p ) F( s) s = p Nel caso generale, n cu s hanno n volte l polo p, n volte l polo p, e così va, essendo N pol dstnt ed essendo (.39) N = n = n abbamo la soluzone generale, sempre nell potes d n>m (altrment s avrebbe una catastrofe ultravoletta ), p t (.40) f () t = g () t e dove N = 7

28 n n k k d n t (.4) g() t = n ( s p) F( s) k n k! d s s= p k! k = ( ) ( ) Perché un sstema lneare tempo nvarante sa stable, condzone necessara e suffcente è che la rsposta mpulsva tenda a 0 per t tendente all nfnto. Qund dalla (.40) s deduce mmedatamente che condzone necessara e suffcente per avere la stabltà è che tutt pol abbano parte reale negatva. Possamo faclmente calcolare la rsposta n frequenza d un sstema d funzone d trasfermento F(s), come (.4) F( jω ) Spesso la rsposta n frequenza vene rappresentata con dagramm d Bode o col dagramma d Nyqust. Nel prmo caso s producono due grafc, uno n cu s rappresenta l guadagno (l valore assoluto d F( jω )) n funzone della frequenza (o della pulsazone) n scala doppologartmca 8 e un altro n cu s rappresenta la fase n funzone della frequenza, quest ultma n scala logartmca. Nel secondo (dagramma d Nyqust) s grafca la parte mmagnara d F jω n funzone della parte reale. ( ) La (.4) può essere rcavata drettamente dalla (.4), che qu rportamo yt () = f( τ ) xt ( τ) dτ e che defnsce un generco sstema lneare (x(t) è l ngresso e y(t) l uscta). Se prendamo j t (.43) x ( t) = e ω abbamo jω( t τ) jωt jωτ jωt (.44) y() t = f ( τ ) e dτ = e f ( τ) e dτ = e F( jω) L ntegrale è anche la trasformata d Fourer della rsposta mpulsva f(t). Cò c porta alla F jω (ponendo ω come parametro): seguente defnzone d funzone d trasfermento ( ) la F( jω ) è l auto-valore relatvo all auto-funzone j t e ω del sstema. 8 Spesso vene rappresentato l guadagno n decbel n funzone del logartmo della frequenza. 8

29 ..4 Semplc sstem lnear contnu. Sstema del prmo ordne passa-basso 9, d funzone d trasfermento B0 B0 (.45) = s p s + τ dove l polo p è reale negatvo. La rsposta mpulsva è (.46) f () t = B0 e τ t La rsposta n frequenza s calcola come B0 (.47) jω + τ e l guadagno è B0 B0 (.48) G = = jω+ jω+ ω + τ τ τ mentre la fase è (.49) ϕ = arctan ( ωτ ) Damo grafc d guadagno e d fase n funzone della frequenza (non della pulsazone ω ) e d Nyqust per l caso τ = B0 = 9 Esso può essere realzzato, per esempo, con l crcuto elettronco 9

30 Fgura - Fgura -3 30

31 Fgura -4. sstema del prmo ordne passa-alto, d funzone d trasfermento B0 s B0 s (.50) = s p s + τ dove l polo p è reale negatvo, mentre è presente lo zero nell orgne. La rsposta mpulsva è τ (.5) f () t = B δ () t e u() t 0 t La rsposta n frequenza s calcola come B0 jω (.5) jω + τ e l guadagno è B0 jω jω B0 ω (.53) G = = jω+ jω+ ω + τ τ τ 3

32 mentre la fase è π = + (.54) ϕ arctan ( ω τ) Ecco grafc d guadagno e d fase n funzone della frequenza (non della pulsazone ω ) e d Nyqust per l caso τ = B0 = Fgura -5 3

33 Fgura -6 Fgura sstema del secondo ordne semplce (rsonanza) 33

34 F s ω = s + s+ ω0 + τ τ (.55) ( ) 0 S hanno due pol compless conugat d valore (.56) p, = ± j ω0 τ La rsposta mpulsva è τ (.57) f () t = u() t e sn ( ω t) t 0 La rsposta n frequenza è (.58) F( jω) da cu l guadagno è ω ω + j ω 0 ω 0 τ τ = = ω0 ω + j ω+ ω ω + ω 0 ω + τ τ τ τ F jω = ω (.59) ( ) 0 4 ω + ω 0 ω + τ τ mentre la fase è (.60) ω ϕ = arctan τ ω ω + τ 0 Ecco grafc d guadagno e d fase n funzone della frequenza (non della pulsazone ω ) e d Nyqust per l caso ω0 =, τ = 00 34

35 Fgura -8 Fgura -9 35

36 Fgura -0 36

37 . Teora delle probabltà Queste note s ntendono come un compendo d rsultat relatv alla teora delle probabltà... Varabl casual Una varable casuale è una varable (reale o complessa) al cu valore è assocata una dstrbuzone d probabltà. I parametr fondamental d una dstrbuzone d probabltà sono l valor medo o valore aspettato 0, che n genere ndcheremo con μ, che è un parametro d localzzazone della dstrbuzone, e la devazone standard, che n genere ndcheremo con σ, e che è un parametro d sparpaglamento (o larghezza ) della dstrbuzone. Spesso nvece della devazone standard s ndca l suo quadrato σ, detto varanza. Dstnguamo tra varabl casual dscrete e contnue... Varabl casual dscrete Le varabl casual dscrete sono defnte da nsem numerabl (fnt o nfnt) d valor che possono prendere, a cu è assocata una dstrbuzone dscreta d probabltà p k, con k la varable dscreta, tale che (.6) p = Per una dstrbuzone dscreta s defnsce l valore aspettato (.6) μ = E[ k] = k pk k k k la varanza (.63) σ ( μ) ( μ) = E k = k p La devazone standard σ è defnta come la radce quadrata della varanza. k k 0 In passato venva anche ndcato come speranza matematca. 37

38 moment central d ordne N N (.64) μ ( μ) ( μ) = E k = k p ( ) N N k k Esemp d dstrbuzon dscrete sono: la dstrbuzone unforme dscreta (per esempo quella delle facce d un dato "onesto") (.65) pk = per k N N con (.66) N + μ = e (.67) σ = N la dstrbuzone bnomale (che è defnta per un numero fnto d valor) N (.68) pk = p ( p) k defnta da parametr p ed N. Per essa (.69) E[ k] k N k μ = = N p (.70) σ = N p ( p) la dstrbuzone d Posson (che è defnta per un numero nfnto, ma numerable d valor) k μ (.7) P( k; μ) = e k! defnta dal solo parametro μ. Il valore aspettato è propro μ e anche μ σ = μ. 38

39 ..3 Varabl casual contnue Una varable casuale contnua è una varable reale o complessa su cu è defnta una funzone d denstà d probabltà f(x), che ha le seguent propretà, per < x <, o f( x) 0 o f ( x) dx= o Prob( a x b) = f( x) dx b a Date queste propretà, s ha che, se f(x) è una denstà d probabltà, allora lo è anche (.7) f '( x) = A f ( A x+ B) con A> 0. Questa trasformazone descrve una dlatazone (o una contrazone se A > ) e una traslazone. Voglamo notare che le varabl dscrete sono un caso partcolare delle varabl contnue: per p, abbamo una denstà d probabltà una varable dscreta defnta dalle { } k (.73) f ( x) = p δ ( x k) k k Come per una varable casuale dscreta, anche per una varable casuale contnua può defnrs l valore aspettato o valor medo della varable casuale. In questo caso s pone (.74) μ = Ex [ ] = x f( x) dx Voglamo rcordare che esstono altr parametr d localzzazone d una varable casuale, oltre al valor medo, e coè: o la medana, l valore m per cu Fm= ( ), coè l valore della varable casuale per cu s ha esattamente la stessa probabltà che l rsultato sa maggore o nferore ad essa. È ovva l analoga alla medana ntrodotta del captolo 5 come parametro d poszone per descrvere un nseme d dat. o la moda, l valore per cu la denstà d probabltà ha l massmo assoluto, coè l valore verso cu pù s addensano rsultat delle rpetzon dell espermento probablstco descrtto da f(x). Data una funzone g(x) della varable casuale x, possamo calcolare l valore aspettato d g(x) (detto valor medo d g(x)) come (.75) Egx [ ( )] = gx ( ) f( x) dx 39

40 Un caso partcolare è gx ( ) = ( x μ), l cu valore aspettato defnsce la varanza della denstà f(x), detta anche varanza d nseme della varable casuale x o varanza della dstrbuzone (.76) σ Var[ x] = E[( x μ) ] = ( x μ) f ( x) dx Se μ e σ sono valor medo e devazone standard della f(x), allora la f (x), ottenuta dalla trasformazone (.7), ha sono valor medo e devazone standard (.77) μ ' = μ B σ (.78) σ ' = A La devazone standard descrve quanto una denstà d probabltà è stretta ntorno alla meda. La dsuguaglanza d Chebyshev dà a questa defnzone qualtatva un carattere probablstco quanttatvo. Per una varable casuale x con meda μ e devazone standard σ, s ha che Probabltà x - μ k σ k (.79) ( ) Ovvamente questa dsuguaglanza ha senso per k >. Come vedremo, per le pù comun dstrbuzon, Probabltà( x - μ k σ ) è molto mnore d k. S possono defnre moment (rspetto all orgne) d ordne k come (.80) m ( k) = k x f( x) dx e moment central d ordne k come (.8) μ ( k) k = ( x μ) f( x) dx Tra moment rspetto a 0 e quell central c sono delle precse relazon. Per esempo (.8) ( m ) ( ) ( ) ( ) μ μ μ = m ( 3) ( 3) ( ) ( ) ( ) = m 3 m m + m 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 ( 4) ( 4) ( ) ( 3) ( ) = m 4 m m + 6 m m 3 m In statstca vene anche detta "varanza della popolazone" Il caso lmte è la dstrbuzone costtuta da due delte egual. In tal caso, per k>, la probabltà è 0. 40

41 A partre da moment d ordne 3 e 4 s defnscono parametr asmmetra (skewness n nglese) e curtos (kurtoss n nglese) come (.83) e (.84) asmmetra = μ 3 σ μ curtos = σ (3) (4) 3 4 Lo strano 3 nella defnzone della curtos permette d avere 0 nel caso della gaussano. Per una varable casuale reale s defnsce dstrbuzone cumulatva la funzone x (.85) F( x) = f( ξ) dξ = Prob[varable casuale x] Esemp d dstrbuzon d varabl casual contnue sono: a) la dstrbuzone unforme n cu la denstà d probabltà è (.86) per a x b b a f( x) = 0 altrove Il valor medo è (.87) b b x / b a b+ a μ = xdx= = = b a a b a ( b a) a e moment central sono b ( k) k (.88) μ ( x μ) dx ( x μ) ( b a) ( a b) b k+ k+ k + = = = b a a k b a + k+ b a ( k ) S nota che per k dspar μ = 0, mentre per k par k + ( )( ) ( ) ( ) a (.89) μ ( k ) ( b a) k = k ( k + ) La varanza è qund 4

42 (.90) () ( b a) σ = μ = b) la dstrbuzone d Gauss o dstrbuzone normale, con denstà (.9) ( x μ) σ f( x) = e = N, π σ ( μ σ ) con valor medo μ e varanza σ (spesso s ndca semplcemente con (, ) N μ σ ). Spesso s usano varabl gaussane normalzzate o standard, n cu μ = 0 e σ =. La grande mportanza della dstrbuzone normale è dovuta soprattutto al teorema del lmte centrale. Con esso s dmostra che, se sommamo N varabl casual ndpendent, con dstrbuzon anche dverse, ma con varanze dello stesso ordne d grandezza, se N tende all nfnto, la dstrbuzone della somma tende a una dstrbuzone gaussana che ha valor medo la somma de valor med e varanza la somma delle varanze. d) la dstrbuzone del χ, che ndca la dstrbuzone della somma d N varabl gaussane normalzzate al quadrato. Ha denstà N χ N / (.9) ( χ ; ) = ( χ ) f N e Γ( N /) Il valore aspettato e la varanza sono rspettvamente N e N; l terzo e quarto momento centrale sono μ 3 = 8N e μ 4 = N ( N + 4). L asmmetra è e la curtos è N N. Nella prma fgura c sono le dstrbuzon del χ per N =,, 3, 4. Nella seconda sono confrontate la dstrbuzone del χ con N = 00 e la gaussana con la stessa meda e la stessa varanza (n rosso la gaussana). Fgura - 4

43 Talora s usa la dstrbuzone del Fgura - χ, ottenuta da questa dvdendo la varable per N. e) la dstrbuzone esponenzale. Un caso partcolare della dstrbuzone del χ è la dstrbuzone esponenzale. Nel caso generale la dstrbuzone esponenzale ha denstà (.93) ( ) ( ) x = e la dstrbuzone ntegrale è f x u x e μ μ (.94) ( ) ( ) x F x = u x e μ l valore aspettato è μ ed è uguale alla devazone standard. Tale dstrbuzone s ottene se sommamo due varabl gaussane ndpendent d meda nulla, quadrate, con la stessa varanza σ. In tal caso s ha μ = σ. G G f) la dstrbuzone d Raylegh. Se s fa la radce quadrata della somma de quadrat d due varabl gaussane ndpendent d meda nulla e uguale varanza σ G, abbamo la dstrbuzone d Ralegh (.95) ( ) ( ) G x G x f x = u x e σ σ π π che ha valor medo σ G e varanza σ G. 43

44 g) la dstrbuzone d Cauchy, nota n Fsca anche col nome d dstrbuzone d dstrbuzone d Bret-Wgner o d Lorentz, ha la denstà (.96) f( x; μ, d) = π d x μ + d È caratterzzata da code molto pesant e dal fatto che non ha varanza (l'ntegrale è dvergente). Il valor medo è μ (calcolata con argoment d smmetra). Per la smmetra, moment central d ordne dspar sono null. Anche moment par superor non sono calcolabl. Un esempo d espermento cu rsultat sono dstrbut secondo la dstrbuzone d Cauchy è l seguente. S facca ruotare un dsco n modo che s ferm a caso con dstrbuzone dell'angolo unforme tra 0 e 360 grad. La tangente d questo angolo è dstrbuta secondo Cauchy, con meda 0 e parametro d =. Un altro mportante caso n cu compare la dstrbuzone d Cauchy è quello del rapporto tra due varabl gaussane a meda nulla. Sano x e y due varabl gaussane con valor medo nullo, varanze σ x e σ y e coeffcente d correlazone r (per la defnzone ved (.34)). x Essendo z =, abbamo y (.97) f( z) = r σx σ π σ σ z r + σ r ( ) x y x σ y y e, se le due varabl sono scorrelate, σ x π σ y (.98) f( z) = σ x z + σ y Se s cerca d fare la meda d un campone estratto da una dstrbuzone d Cauchy, s trova che comunque s fa crescere della dmensone del campone, la meda non converge al valor medo. Infatt non esstendo la varanza, la dsuguaglanza d Chebyshev non funzona. 44

45 In fgura è rportata la dstrbuzone d Cauchy (n rosso) con valor medo nullo e d =, n confronto con la normale standardzzata (n blu). S not la dfferente pesantezza delle code. Fgura -3 h) la dstrbuzone t d Student (statstca per pccol campon). Supponamo d avere un campone casuale d dmensone N {x, x,,x N } estratto da una popolazone normale d meda μ e devazone standard σ (per esempo N msure ndpendent d una certa grandezza fsca, con errore casuale gaussano). Calcolamo la meda e la varanza camponara (ved paragrafo.3) x La varable N = e ( ) S = x x N x N = N = (.99) x μ t = S/ N (analoga alla varable z) segue la dstrbuzone t d Student, con N- grad d lbertà. Tale dstrbuzone è (.00) M + Γ x f( x) = M + M Mπ Γ M + 45

46 dove M è chamato "numero de grad d lbertà); ha meda nulla e devazone standard M σ =. M Per M grande tende a una gaussana, per M= è una dstrbuzone d Cauchy. È n genere una dstrbuzone a campana con code pù pesant d una gaussana...4 Somma d varabl casual ndpendent e funzone caratterstca Se abbamo due varabl casual ndpendent (vedremo n seguto l sgnfcato rgoroso d questa parola) x e y, defnte da due denstà d probabltà f(x) e g(y), s dmostra che la loro somma z = x + y ha denstà d probabltà h(z) data dalla convoluzone delle due denstà (.0) hz ( ) = f( ζ) gz ( ζ) dζ Ce ne possamo convncere consderando che, per l valore d x compreso nell ntervallno x ' x x' dx f x dx g y x'. +, che ha probabltà ( ) la dstrbuzone della somma è ( ) Un rsultato mportante è che n questo caso s ha (.0) Ez [ ] = Ex [ ] + Ey [ ] e (.03) Var[ z] = Var[ x] + Var[ y] (la prma è vera anche se le varabl non sono ndpendent). Quando s ha a che fare con la somma d varabl casual ndpendent, è partcolarmente comodo ntrodurre la funzone caratterstca d una dstrbuzone d probabltà, come Φ ω = j x (.04) ( ) E e ω che, nel caso contnuo, è jωx (.05) ( ω) e ( ) Φ = f x dx 46

47 e nel caso dscreto Φ = jωk (.06) ( ω) e k S not che la funzone caratterstca è la trasformata d Fourer della denstà d probabltà (con una convenzone dversa da quella che abbamo usato no nella (.4); con la nostra convenzone è la complessa conugata della trasformata d Fourer). Rcordando le propretà della trasformata d Fourer, dalla (.0) rcavamo che la funzone caratterstca della somma d due varabl casual è data dal prodotto delle due funzon caratterstche delle due varabl. Consderamo la funzone caratterstca assocata a una varable gaussana: (.07) ( ω) σ ω jμω σ ω Φ = e = exp jμω Se abbamo la somma d n varabl gaussane, cascuna defnta da { μ, σ } somma (.08) ( ) ω σ Φ ω = exp jω μ p k, abbamo per la da cu deducamo che la somma ha dstrbuzone normale con valor medo par alla somma de valor med e varanza par alla somma delle varanze. Se faccamo la meda d n varabl gaussane con egual parametr ( μ, σ ), cò equvale a μ σ σ sommare n varabl con, e qund s ottene μmeda μ, σmeda n n = = n. Qund facendo la meda guadagnamo una rduzone della devazone standard d n. La funzone caratterstca della dstrbuzone d Cauchy d equazone (.96) è (.09) ( ω) Φ = j d e μω ω Per n varabl casual d Cauchy, defnte cascuna da ( μ, d ) (.0) ( ) n Φ ω = exp jω μ ω = = n, trovamo d n n Abbamo coè una nuova varable d Cauchy, con parametr μ, d. = = 47

48 Se faccamo la meda d n varabl d Cauchy con egual parametr ( μ,d ), cò equvale a μ sommare n varabl con, d n n meda ottenamo esattamente la stessa dstrbuzone. e qund s ottene ( μ μ, d d) meda Altra propretà nteressante della funzone caratterstca è che = =. Qund facendo la meda (.) k d Φ d k ω ω = 0 k = j m ( k ) dove ( k ) m ndca l momento non centrale d ordne k (ved (.80))...5 Varabl casual multple e covaranza S parla d varabl casual multple quando s assoca una dstrbuzone d probabltà a pù varabl (dscrete o contnue). Analogamente alle varabl casual semplc, ad esse è assocata: (caso dscreto) una probabltà per ogn combnazone de possbl valor delle n varabl; la somma delle probabltà d tutte le combnazon è (.) N N Nn = = n =... p =... n (caso contnuo) una denstà d probabltà f ( x, x,..., x n ), l cu ntegrale, su tutte le n varabl, è (.3)... f ( x, x,..., x ) dxdx... dx = Integrando rspetto ad alcune varabl la funzone msta f ( x, x,..., x n), tra e, abbamo la denstà msta delle rmanent ("denstà margnal"). n Nel seguto faremo rfermento solo alle varabl casual contnue. Analogamente al caso d una sngola varable, s può defnre l valore aspettato d una qualsas funzone g delle n varabl come E g( x, x,..., x ) =... g( x, x,..., x ) f( x, x,..., x ) dxdx... dx (.4) [ ] n n n n n 48

49 Indchamo 3 con f ( x, x,..., xk xk+, xk+,..., xn) la denstà d {,,..., k} { x, x,..., x } k k n + +. S ha che x x x condzonata da (.5) f ( x, x,..., x x, x,..., x ) k k+ k+ n = (,,..., k,..., n) f ( x, x,..., x ) f x x x x k+ k+ n Da questa s ha (.6) f ( x x, x,..., x ) 3 n = (,,..., n ) (,,..., ) f x x x f x x x 3 n e qund (.7) f ( x, x,..., x ) = f ( x x, x,..., x ) f ( x x,..., x )... f ( x x ) f ( x ) n 3 n 3 n n n n Dcamo che due varabl x e y sono stocastcamente ndpendent (o statstcamente ndpendent, o, semplcemente, ndpendent) se tutta l'nformazone su x è contenuta nella margnale f x e tutta l'nformazone su y nella margnale f y. Se le n varabl casual { x } sono ndpendent, s ha (.8) f ( x, x,..., x ) f ( x ) e per la dstrbuzone ntegrale (.9) F( x, x,..., x ) F ( x ) n = n = n = n = Prendamo l semplce caso n cu la funzone g sa la combnazone lneare d tutte le varabl x, n y = a x, = n n n (.0) E[ y] = E ax =... ax f( x, x,..., xn) dxdx... dxn = ae [ x] = = = qund l valore aspettato della combnazone lneare d n varabl casual (anche non ndpendent) è par alla stessa combnazone lneare de valor aspettat (come potevamo nture, data la lneartà dell'operatore E[.] "valore aspettato"). 3 Attenzone alla notazone: per semplfcarla, spesso qu ndchamo con f funzon d denstà che sono n genere dverse, dpendentemente dagl argoment. In effett cascuna andrebbe ndcata n modo dfferente (per esempo con opportun ndc). 49

50 Consderamo per semplctà l caso n cu n sa eguale a e chamamo x e y le due varabl. Le "denstà margnal" sono le funzon f x = f x y dy (.) ( ) (, ) e (.) ( ) = (, ) x y f y f x y dx Queste due funzon sono due denstà d probabltà che possono veders come le denstà d probabltà assocate alle due varabl x e y, ndpendentemente l'una dall'altra; coè, per esempo, la prma descrve le qualtà statstche della varable x, se non s sa nente d y. È mmedato verfcare che E x x f x y dx dy x f x dx (.3) [ ] = (, ) x( ) = e analogamente E y y f y dy (.4) [ ] = y ( ) Vedamo ora l valore aspettato del prodotto. In generale (.5) [ ] = (, ) Se x e y sono ndpendent, s ha E x y x y f x y dx dy (.6) E[ x y] = fx( x) dx fy( y) dy = E[ x] E[ y] Tornamo ora alla combnazone lneare n varabl x. Abbamo vsto che μ E[ y] varanza d y. S ha n y = a x. Sano μ = E[ x ] e σ le varanze delle = y = n = = aμ. Svluppamo ora l espressone della (.7) n n n y E a( x ) E aa j( x )( xj j) = = j= σ = μ = μ μ = n n = j= ( μ )( μ ) = aa E x x j j j 50

51 Indchamo ora col termne covaranza delle varabl x e x j l valore σ j = E x μ xj μ j E xx = j μμj (.8) ( )( ) S not che σ = σ. Dalla (.6) è mmedato dmostrare che se x e x j sono ndpendent la loro covaranza è nulla; altrment può essere postva o negatva. Se due varabl hanno covaranza nulla, non è detto n genere che sano ndpendent. Se qund le n varabl x sono ndpendent, la varanza della combnazone lneare s rduce a (.9) σ n y = aσ = Se abbamo n varabl ndpendent con la stessa varanza σ, abbamo che la varanza della σ somma è n σ e la varanza della meda è. La devazone standard sulla meda è n (.30) σ y = σ n Tutte le covaranze delle n varabl x formano una matrce quadrata (.3) σ K σ n C = M O M σn σ L nn detta matrce d covaranza; sulla dagonale ha le varanze delle n varabl. Se le x sono ndpendent, la matrce è dagonale. Possamo qund esprmere la varanza d y come (.3) σ n n y = aa jσ j = j= Se le x sono ndpendent, ottenamo l rsultato, gà antcpato, (.33) σ n y = aσ = Date due varabl x e y, l valore della covaranza Per ndcare l tpo d dpendenza evdenzata da σ x y dpende anche dalle varanze d x e y. σ x y n una forma ndpendente dalla varanza 5

52 d x e y (e da eventual fattor d amplfcazone), s è ntrodotto un parametro admensonale, l coeffcente d correlazone (.34) σ x y ρ = σ σ x y Rcordamo che la dsuguaglanza d Schwartz (o d Cauchy-Schwartz) è (.35) () () () () e, nel dscreto, x t y t dt x t dt y t dt (.36) x y x y L uguaglanza s ha se y è proporzonale a x. Questo rsultato, che utlzzeremo pù volte n questo corso, può scrvers anche E x y E x E y (.37) [ ] Qund ρ, calcolato nella (.34), è un numero compreso tra - e. Introducamo ora la dstrbuzone gaussana per varabl casual multple. Se le varabl sono ndpendent, a meda nulla e con la stessa varanza, allora (.38) (,,..., ) ( π) x + x x n σ f x x xn = e n n σ Nel caso d due varabl abbamo (.39) x μ ρ x μx y μy y μ x y f( x, y) = exp + πσ xσ y ρ ( ρ ) σx σxσ y σ y ( ) ( )( ) ( ) dove ρ ndca l coeffcente d correlazone tra le due varabl. Nel caso generale (ma con valor aspettat delle varabl tutt null, stuazone a cu comunque s arrva con una banale trasformazone d varable) la denstà congunta ha la forma 5

53 (.40) ( ) n f x, x,..., xn = k exp aj x xj, j= ovvero, essendo C la matrce della covaranza e C - la sua nversa, (.4) f ( x x x ),,..., n exp xc = n C ( π ) x T S dmostra faclmente dalla (.4) che, nel caso normale, se le varabl sono scorrelate (coè se la matrce C ha tutt gl element null a parte la dagonale), sono ndpendent. Infatt, se (.4) σ σ... 0 C = σ n e qund (.43) - C σ σ σ n = e la (.4) dventa (.44) f ( x, x,..., x ) n x T exp xc x exp n σ = = n C = π σ ( π ) Come abbamo gà detto, nel caso generale, se è vero che due varabl ndpendent sono scorrelate, non è vero l vceversa. Un esempo è quello n cu essta una relazone determnstca tra x e y del tpo (.45) y = g( x) 53

54 (e qund le varabl non sono assolutamente ndpendent) e la dstrbuzone d x sa par f x = f x ). In tal caso è facle dmostrare che la correlazone è nulla. ( ( ) ( ) 54

55 .3 Statstca Il calcolo delle probabltà dà gl strument per descrvere teorcamente un fenomeno la cu occorrenza o alcun suo aspett sono basat sul caso. La statstca c dà gl strument per acqusre una conoscenza spermentale d tale fenomeno. In effett la statstca s è svluppata per descrvere caratter d una popolazone a partre dall osservazone d un sotto-nseme de suo ndvdu, detto campone. Nelle scenze spermental defnamo campone una successone d osservazon spermental (o msure) { x, x,..., x n} relatve ad un dato fenomeno. Queste sono rappresentatve del fenomeno, d cu s suppone essta una dstrbuzone teorca (che è analoga alla dstrbuzone della popolazone). S fa n genere sotto l potes d stazonaretà del fenomeno n osservazone, coè sotto l potes che l fenomeno non camb nel tempo, a parte la presenza d error spermental casual..3. L nferenza statstca - Stma de parametr L nferenza è l processo con cu, a partre da dat spermental, valutamo ( stmamo ) l valore d uno o pù parametr d nostro nteresse, oppure decdamo sulla correttezza d certe potes. Se dat spermental sono estratt come campone da una popolazone o se ess sono affett da error casual, parlamo d nferenza statstca. Nelle scenze spermental esstono due dstnte procedure spermental: gl esperment controllat (o d laboratoro ; qualcuno l chama gallean ), n cu fssamo alcun parametr spermental e ne msuramo altr. Per esempo nell espermento della molla, per calcolare la costante elastca k abbamo decso valor d massa con cu carcavamo la molla e msuravamo l perodo. In questo caso usamo l nferenza statstca a causa delle ncertezze d msura. gl esperment osservatv, n cu gl oggett della spermentazone non sono sotto l nostro controllo e qund no possamo lmtarc a msurarne ( osservarne ) caratterstche camponare ed nferre legg tra d esse. È questo per esempo l caso dell astrofsca (c è qualche dffcoltà a portare n laboratoro una stella e a controllarne qualche caratterstca, per esempo la massa). In questo caso usamo l nferenza statstca sa perché operamo su un campone d una popolazone, sa perché sono present ncertezze d msura, sa perché c può essere l nfluenza d altr fattor non sotto l nostro controllo). In generale, supponamo d dover stmare un parametro θ da un campone spermentale { x, x,..., x n}, ottenendo la stma ˆ θ (d ora n po ndcheremo con la cuspde ^ l valore stmato d un parametro). Realzzamo cò tramte una funzone f (.46) ˆ θ = f ( xx,,..., xn ) 55

56 In lnea d prncpo, la funzone f può essere qualsas: l problema è avere un buon stmatore (ancora meglo, lo stmatore ottmo ). Il valore stmato ˆ θ può essere vsto come una varable casuale. Alcune qualtà auspcabl d uno stmatore sono le seguent: la consstenza, coè se, al tendere ad nfnto della dmensone n del campone, l valore della stma tende al valore del parametro. Questa è, ovvamente, una qualtà fondamentale. la correttezza, o assenza d dstorsone (bas n nglese), se E ˆ θ = θ. l effcenza, coè quanto rapdamente ˆ θ converge a θ al crescere d n.. la robustezza, coè quanto le qualtà d uno stmatore sono ndpendent dalla dstrbuzone de dat a cu è applcato.. Per costrure buon stmator s utlzzano var metod, per esempo l metodo de mnm quadrat, l metodo della massma verosmglanza o la stma bayesana. Vedremo brevemente n cosa consstono..3. Il Prncpo de Mnm Quadrat Questo prncpo per costrure stmator fu ntrodotto da Gauss per rsolvere l problema della stma de parametr orbtal del panetno Cerere (scoperto nel 80 a Palermo da Pazz, ma po perso ), a partre da dat con error casual. Supponamo d avere n osservazon { } x, x,... x n d una grandezza g dpendente da un parametro θ e sano cascuna d esse (.47) ( ; ) x = g θ + ε dove ε sono error d msura casual. Lo stmatore a mnm quadrat d θ è quella funzone $ $ θ( x x x ) θ =,,... n tale che sa mnma la somma (.48) n = ε detta costo. Ovvamente questo prncpo s può generalzzare a una dversa forma della funzone costo (.49) β ( ε ) n = Con la forma quadratca d (.48), calcol e rsultat sono partcolarmente elegant, ma n alcun cas sono pù utl forme dverse (per esempo con β ε = ε n > (.50) ( ) 56

57 s fa pagare d pù un sngolo scostamento grande che tant pccol. Un dverso modo d porre l problema, che c sarà molto utle nel seguto, è l seguente: Sano date n+ varabl casual { 0,,,... n } f ( x x x ). S vogla trovare lo stmatore ( ) x x x x e s conosca la denstà d probabltà 0,,... n g x, x,... x n d x 0 conoscendo le altre, tale che sa mnmo l errore quadratco (.5) = E ( x ( )) 0 g x, x,... x n S dmostra che ε (.5) (,,... ) [,,... ] (,,... ) g x x x = E x x x x = x f x x x x dx n 0 n 0 0 n 0 Il problema s semplfca notevolmente se s mpone che la g sa una funzone lneare (.53) ( ) g x, x,... x = a x + a x a x n n n In tal caso s trova che valor delle costant a che rendono mnmo l errore quadratco dato dalla (.5), sono tal che x ( a x + a x + + a x ) sa ortogonale a { x } 0... n n (Prncpo d Ortogonaltà), ovvero (.54) ( ( )) per tutt gl. Infatt per rendere mnmo E x0 a x+ a x an xn x = 0 ε s deve avere, per tutt gl, ε (.55) ε a ( ( )) 0... n n E x a x + a x + + a x = = 0 a Per la lneartà dell operatore E, abbamo che la dervata del valore aspettato è uguale al valore aspettato della dervata e qund ε = E x a x + a x an xn x = 0 a (.56) ( 0 ( )) e qund s deduce la (.54). Ora, posto (.57) Rj = E x x j 57

58 (ovvamente la matrce R j è smmetrca) abbamo che l sstema (.54) s può scrvere come (.58) R a + R a R a = R R a + R a R a = R... R a + R a R a = R n n 0 n n 0 n n nn n 0n Nel caso n cu le { x } sono normal mste, s dmostra che lo stmatore ottmo è lneare del tpo (.53)..3.3 Il Prncpo della Massma Verosmglanza Supponamo d osservare un campone { } x, x,... x n estratto, n modo che sngol element sano ndpendent, da una popolazone descrtta da (caso dscreto) una dstrbuzone d probabltà { P } (caso contnuo) una denstà d probabltà f ( x ) Sano ne due cas rspettvamente la dstrbuzone d probabltà o la denstà d probabltà note a parte un parametro θ che voglamo stmare dal campone osservato. Defnamo funzone d verosmglanza (lkelhood), nel caso dscreto, (.59) L( θ; x, x,... x ) P( x θ ) e nel caso contnuo n = (.60) L( θ; x, x,... x ) f ( x θ ) n = La L( θ ; x, x,... xn ), se le {,,... n} dstrbuzone d probabltà (corretta solo le {,,... n} d θ ed essendo { } x x x sono prese come varabl e θ è un parametro, è una x x x sono ndpendent). Come funzone x, x,... x n rsultat dell espermento (l campone), ovvamente no. Una molto dffusa tecnca per costrure uno stmatore del parametro θ è massmzzando l espressone della verosmglanza. Poché la L( θ ) è sempre postva, se ne può prendere l logartmo log( ) (.6) l( θ ) = L( θ ) 58

59 e massmzzare questa nuova funzone che spesso è pù semplce, ottenendo ovvamente lo stesso rsultato. Supponamo che l parametro θ sa l valore aspettato delle normal, con parametr ( θ, σ ). La verosmglanza è x e qund le f ( ) x θ sano (.6) ( x θ ) exp n σ σ ( x θ ) L( θ; x, x,... xn ) = exp = π σ σ = ( π ) ( x θ ) S vede che massmzzare la verosmglanza equvale a mnmzzare (la parte σ fuor dell esponenzale è nessenzale per la massmzzazone), qund, se le σ sono tutte egual, l crtero della massma verosmglanza equvale a quello de mnm quadrat. Lo stmatore n questo caso non è altro che (.63) $ θ Se le n x n = = σ non sono tutte egual, l massmo d L nella (.6) s ha per (.64) ( x θ ) σ = 0 θ da cu (.65) ( x θ ) = 0 σ e qund (.66) $ θ = n = n = x σ σ 59

60 coè la mglore stma d θ, secondo l crtero della massma verosmglanza, s ha con una meda pesata (o ponderata) (.67) $ θ = a x con n = (.68) a = σ n σ =.3.4 La Stma Bayesana Rcordamo brevemente l teorema d Bayes. Supponamo d avere un evento A che può essere causato da uno ed uno solo d N event B, B, B N, mutuamente esclusv. Supponamo d conoscere le N probabltà condzonate P(A B ) che capt A se è captato B. Se osservamo A, possamo chederc quale degl N event B lo ha causato, o meglo quale è la probabltà che è accaduto B avendo osservato A. S dmostra che (Teorema d Bayes) (.69) PB ( A) = N k = PB ( ) PAB ( ) P( B ) P( A B ) k k S not che, con questa relazone, s passa dalle probabltà P(A B ) alle P(B A), coè dall'nformazone sull'effetto delle B su A, tramte anche le P(B ), a "nferre" sulle cause dell'evento osservato A. Il teorema d Bayes, nel caso d una varable casuale contnua, dventa (.70) f( x y) = f ( y x) f ( x) 0 ( ) f y x f ( x) dx 0 dove f 0 è la dstrbuzone della varable x e f la dstrbuzone condzonale d y dato x. 60

61 Vedamo ora come s costrusce uno stmatore bayesano. Supponamo che l parametro θ da stmare s possa consderare, prma d esegure l espermento statstco, una varable casuale defnta da una certa denstà d probabltà a pror f θ ( θ ). Allora f ( x θ ) è la denstà d probabltà condzonata d x dato θ e possamo scrvere (.7) (,,..., θ ) = (,,... θ) ( θ) essendo { } f x x x f x x x f θ n x, x,... x n l campone, e calcolare la margnale (.7) (,,... ) (,,..., θ ) Rcavamo qund col teorema d Bayes (.73) f ( θ x, x,... x ) ottenendo così lo stmatore, come f x x x = f x x x dθ n dom( θ ) n ( n ) ( ) n n ( n ) θ ( ) ( ) f x, x,... x, θ f x, x,... x θ f θ = = f x, x,... x f x, x,... x n (.74) $ θ E f ( θ x x x ) =,,... n Faccamo un esempo. Abba l parametro θ da stmare una denstà a pror normale (.75) f ( ) = N(, ). [pag 58 Pap III] θ θ μ0 σ0 La stma bayesana ntegra nformazon a pror sulla grandezza da stmare e osservazon (msure spermental), n modo da utlzzare al meglo tutte le nformazon dsponbl. S not che le nformazon a pror possono essere rcavate anche da msure precedent; esse sono condensate nella dstrbuzone a pror sulla grandezza n esame. Da questa e dal rsultato delle msure camba lo stato d nformazone, che è condensato nella dstrbuzone a posteror. La teora della stma bayesana ndca l modo d calcolarla. S può qund utlzzare quest'ultma come dstrbuzone a pror per successve msure. Se non s sa nulla "a pror", a parte vagamente l possble ntervallo della grandezza, s suppone una dstrbuzone a pror unforme nell'ntervallo. Ma n questo caso questa stma è meno nteressante. n.3.5 Stma del valor medo 6

62 Supponamo d dover esegure la msura d una grandezza fsca. Faccamo cò eseguendo una certa procedura spermentale e la rpetamo pù volte. Partendo da rsultat d queste operazon rpetute, c possamo chedere: o quale è l valore vero della msura della grandezza n esame? o quale è l ncertezza del valore che fornamo? o quale è l ntervallo d fduca, coè l ntervallo, relatvo ad una certa probabltà, che possamo dre contenga l valore vero, con quella probabltà? Intutvamente sappamo che un buon stmatore del valore vero d un msurando (n lnguaggo statstco, l valore aspettato ), n presenza d error casual, è la meda de rsultat d successve msure. Ora possamo chederc: è questo un buon stmatore? Verfchamone la correttezza: n n = μ n = = = n = (.76) E x E x E[ x] qund, come speravamo è corretto (e qund anche consstente). Non dscutamo qu altre qualtà (alcune delle qual dpendono dalla dstrbuzone degl error casual, che non è detto che sano sempre gaussan). Per l ncertezza sulla meda, (ved che, se la rappresentamo con la devazone standard, σ x dall eq.uazone (.30), è σ =. x n Se stablamo una probabltà ϕ, che chamamo l lvello d fduca o lvello d confdenza, quale è, a partre dalle nostre msure, l ntervallo (a,b) (detto ntervallo d confdenza) entro cu sta l valore vero? Supponamo che nostr error sano gaussan e che conoscamo la loro devazone standard σ x. Allora, trovato con le tavole l valore z della varable standardzzata che corrsponde ad un ntervallo smmetrco d probabltà ϕ, dcamo che l ntervallo relatvo al lvello d fduca ϕ è (.77) ( x z σ, x+ z σ x x ) Nel caso che la dstrbuzone non sa gaussana, se l numero d msure è abbastanza elevato, per l teorema del lmte centrale questa formula è una buona approssmazone. Se la devazone standard non è nota, la s può stmare (s veda l prossmo paragrafo), ma n questo caso l calcolo dell ntervallo d fduca è pù complesso (occorre ntrodurre la dstrbuzone t d Student; è questa una dstrbuzone con un parametro detto numero de grad d lbertà, che parte da quella d Cauchy e arrva asntotcamente a quella d Gauss); tuttava, se l campone è abbastanza numeroso la formula che abbamo dato è una buona approssmazone. Una volta stmato l ntervallo d confdenza (dato un lvello d fduca d nostra scelta), possamo decdere se nostr rsultat spermental sono compatbl con una aspettatva teorca (a pror). Se l valore teorco è entro l ntervallo d fduca, allora dcamo che le nostre msure sono compatbl con esso, o anche che l espermento conferma la teora, altrment lo dobbamo escludere (e dobbamo cambare teora o correggere error spermental; c è anche 6

63 l eventualtà che samo d fronte a una fluttuazone statstca: n questo caso se rpetamo l espermento dovremmo avere rsultat compatbl. Nota: Il lvello d fduca ndca quanto samo al scuro da nevtabl fluttuazon. Porre l lvello d fduca p per esempo a 0.95 sgnfca che questa è la probabltà d non essere tratt n errore dalle fluttuazon: ma con questo lvello d fduca l 5 % degl spermentator che operano correttamente daranno l rsultato sbaglato. Ovvamente mgloramo le cose alzando l lvello d fduca p, per esempo, a 0.99: ma n questo caso nell % de cas de buon spermentator daranno de rsultat errat. Se s rpete l espermento però, le cose mglorano: la probabltà d ravere la fluttuazone ngannevole due volte d seguto è molto bassa (n genere nferore a ( p) ). Il lvello d fduca è un parametro che qualfca probablstcamente l ncertezza d una msura. Una msura vene qund descrtta da tre numer: l valore stmato, l ncertezza su tale valore, che determna un ntervallo, e l lvello d fduca che assoca una probabltà a questo ntervallo. Attenzone! spesso anche l valore teorco ha un ncertezza. In tal caso dobbamo calcolare gl ntervall d confdenza sa per l valore teorco (v T ) che per l valore spermentale (v S ). In effett la cosa s semplfca se le due ncertezze sono entrambe assmlabl a due devazon standard (d dstrbuzon gaussane). Allora possamo costrure la dfferenza d = v S v T. Nell potes che la teora sa n accordo con l espermento, c aspetteremmo d = 0, con una varanza par alla somma delle due varanze. Qund, dato l nostro lvello d fduca, possamo costrurc l ntervallo d fduca (che sarà smmetrco rspetto a 0): se l d trovato è dentro questo ntervallo, allora la teora è n accordo con l espermento, altrment no..3.6 Stma della varanza Nel captolo 5 abbamo dato questa defnzone d varanza camponara (.78) n σ = ( x x) n = ma è questa una buon stmatore della varanza della popolazone da cu l campone {x } è estratto? Prendamone l valore aspettato (.79) { } n ( ) ( μ) ( μ) n E x x = E x x = n n = = n n n = E x x x x n + = = = ( μ) ( μ)( μ) ( μ) ora per l termne msto s ha n n (.80) ( x μ )( x μ) = ( x μ) ( x μ) = n ( x μ) = = 63

64 e qund, rcordando che la varanza sulla meda è n volte mnore della varanza sul sngolo, σ n n = μ μ = σ = σ = n = n n n n (.8) E ( x x) E ( x ) ( x ) Come s vede l valore aspettato dello stmatore del captolo 5 non è la varanza della popolazone. Qund questo stmatore è dstorto, anche se per grand valor d n, la dstorsone è molto pccola. Esso dà medamente un valore un po pù pccolo d quello vero. Preferamo percò, come stmatore della varanza, l seguente (.8) ˆ σ ( ) n = x x n = che è corretto ( unbased, n nglese). Se conoscamo l valore aspettato μ, lo stmatore (.83) ˆ σ ( ) n = x μ n = è corretto. Il calcolo della varanza sulla varanza camponara è puttosto complcato. Damo qu, per rfermento, l rsultato (4) n 3 4 (.84) σ = μ σ ˆ σ n n dove (4) μ è l momento centrale del quarto ordne. Se la dstrbuzone è gaussana, s ha (.85) σ ˆ σ 4 σ = n e la devazone standard (che può essere presa come ncertezza nella stma della varanza) (.86) σ ˆ σ = σ n L ncertezza relatva sulla varanza è qund e, usando la solta regola per la n propagazone dell ncertezza percentuale, l ncertezza relatva sulla devazone standard è la metà della precedente, coè. n ( ) 64

65 .3.7 Esemp d stma a mnm quadrat Stma de parametr d una retta spermentale ( ft lneare ) In un grafco che rappresenta punt spermental che collegano due parametr con de punt allneat affett da error casual (per esempo la msura del perodo al quadrato (T ) e la msura della massa appesa (M) nell espermento della molla), s voglano stmare parametr della retta che meglo l descrve e valutare l ncertezza su d ess. È questo l pù semplce caso d ft d dat spermental ed è detto l problema del ft lneare. Nel caso pù generale, l problema è quello d trovare parametr d una funzone d un certo tpo n modo da approssmare al meglo dat spermental. Gauss, che doveva trovare parametr orbtal d un asterode a partre dalle osservazon, ntrodusse, per questo tpo d problem, l prncpo de mnm quadrat. Lmtandoc al nostro semplce caso lneare. Supponendo che tutte le msure abbano la stessa ncertezza, esso stablsce che la mglore retta y = m x+ q è quella n cu la somma de quadrat tra valor spermental e quell della retta sa mnma. Supponamo d avere le n coppe d msure (x,y ), (x,y ),, (x n,y n ), dove le msure x hanno errore trascurable e le msure y hanno errore gaussano con meda 0 e devazone standard σ ; per cascuna d queste coppe scrvamo l equazone (.87) y = m x + q+ ε dove ε è l errore sulla msura y. La somma de quadrat degl error è (.88) n ε = ε ( ) = y m x q n n = = mponamo qund le condzon per l mnmo (annullamento della dervata prma) ε m = 0 e ε q = 0 e rsolvamo l sstema. S trova per la stma d m x y x y ˆ σ (.89) mˆ = = x x Δ dove x y n xy n = x y = n x n = x = n y n = y = x n = x n = 65

66 Notare che l numeratore è la covaranza camponara d x e y ; l denomnatore Δ = x x, detto bracco, ha la forma d una varanza camponara, anche se n effett non lo è, perché x non è una varable casuale (sono valor scelt da no): essa comunque msura la larghezza dell nseme de dat x. Qund, come è ntutvo, pù è larga la base de dat x, mglore è la stma della pendenza della retta. Per ottenere la stma d q faccamo (.90) qˆ = y mˆ x Per le ncertezze, n forma d devazone standard, abbamo (.9) σ m = σ n Δ e (.9) σ q = σm x Attenzone! queste formule sono rcavate nel caso n cu sono verfcate le due potes a) sano ugual tutte le ncertezze sulle msure y b) sano trascurabl le ncertezze sulle x Se non è valda la prma condzone, possamo rcavare altre espresson per le stme e le loro ncertezze, basate sul prncpo del mnmo χ ; rmandamo per queste espresson, molto pù complesse, a test pù avanzat. Se non è valda la seconda condzone, l problema è molto pù complesso (dventa non lneare) e s può rsolvere o con trucch (rportando per esempo l ncertezza sulla x sulla varable y) o con procedure d ottmzzazone rcorsva. Ft polnomale.3.8 Meda pesata Se s hanno vare valutazon della msura d una grandezza, con ncertezze dfferent, come possamo utlzzare quest rsultat per stmare al meglo l valore vero della grandezza? La rsposta è sì. Supponamo d avere n msure ndpendent m, d una grandezza M, cascuna con ncertezza (assmlata a una devazone standard) s, e gl error d msura sano normal. Come abbamo vsto nella (.66), s ha 66

67 67 (.93) ˆ n n m s M s = = = Questa può essere vsta come una meda pesata con pes (.94) n s a s = = ovvamente pes sono maggor per le msure con ncertezze mnor. S not che l rsultato non camba se tutte le ncertezze sono moltplcate per uno stesso fattore (le a sono le stesse). L ncertezza è data da (.95) n M s = Δ = Se le ncertezze sono tutte egual, s rcava la solta espressone per l ncertezza delle msure rpetute.

68 .3.9 Test statstc Un problema centrale che s pone negl esperment scentfc è decdere se rsultat d un certo espermento sono n accordo con la teora. Per esempo, la traettora osservata d un corpo n caduta lbera è n accordo con la legge d gravtazone? I rsultat d un espermento con l pallnometro sono n accordo con la formula teorca della dstrbuzone aspettata delle frequenze de var bn? In altr cas spermental, potremmo voler testare se c sono dfferenze n due dverse procedure spermental, oppure verfcare l effcaca d un certo trattamento (per esempo l assunzone d un farmaco per la cura d una certa malatta). Analoghe domande s possono porre per esempo nel controllo d qualtà de prodott ( pneumatc prodott da un certo stablmento hanno una durata maggore d quell d un altro?) o n altr camp della tecnca. Questo tpo d problem, che mplcano una decsone (sì o no) è formalzzato nella teora statstca de test d potes, che è un altro aspetto dell nferenza statstca. In questa teora vengono prma d tutto formulate due potes: l potes H 0, detta potes nulla, e l potes H, detta potes alternatva. Per esempo, l potes H 0, che n genere è quella pù precsamente defnta, nel caso della verfca spermentale d una teora, potrebbe essere che c sa perfetto accordo tra teora ed espermento (errore nullo); nel caso del farmaco potrebbe essere che non c sa effetto (effetto nullo). Lo scopo d un test d potes è valutare se c è suffcente evdenza statstca per accettare l potes H 0. Il rsultato del test, coè la nostra decsone, è sempre o l accettazone o l rfuto dell potes. Nel far cò possamo aver fatto la scelta gusta o computo un errore. Abbamo l seguente schema: Stuazone reale Decsone statstca H 0 vera H 0 falsa Accettare H 0 P = α Errore d secondo tpo: P = β Errore d prmo tpo: Rfutare H 0 P = α P = β Vedamo che s possono commettere due tp d error: l prmo, a cu è assocata la probabltà α, chamata lvello d sgnfcatvtà del test, capta quando rfutamo un potes H 0 vera. l secondo, a cu è assocata una probabltà β, capta quando accettamo come buona una potes H 0 falsa. Notamo che α è equvalente al lvello d fduca ϕ ntrodotto nel captolo precedente parlando della stma dell'ntervallo d fduca. 68

69 Possamo decdere d dmnure la probabltà d un certo tpo d errore (cambando la sogla d decsone), ma così facendo aumentamo la probabltà dell errore dell altro tpo. La scelta della sogla qund va fatta sulla base de cost che cascun tpo d errore c procura. Nella costruzone d un test statstco talora non s consderano gl error d secondo tpo..3.0 Test d consstenza con un valore teorco Supponamo d avere una msura spermentale m, con ncertezza Δm (rappresentante la devazone standard dell'errore casuale) e voglamo decdere se è consstente con un valore teorco t (con ncertezza trascurable). Defnamo a pror un lvello d fduca ϕ (o, equvalentemente, un lvello d sgnfcatvtà α = ϕ ), e calcolamo (con le tavole dell'ntegrale della gaussana) l sem-ntervallo d fduca relatvo z ϕ. Valutamo qund (.96) m t z = Δ m e decdamo sul superamento del test sulla base del valore d z superato (accettamo l'potes), altrment rgettamo l'potes. ϕ z : se è postvo l test è.3. Test d consstenza tra due valor spermental Supponamo d avere due msure m e m con ncertezze relatvamente Δm e Δm (o analogamente un valore spermentale e uno teorco con ncertezza non trascurable). C domandamo se sono compatbl, avendo defnto un certo lvello d fduca. Per costrure l test, costruamo una nuova grandezza d = m - m che ha ncertezza Δ d = Δ m +Δ m. Se le due msure sono consstent, l valore aspettato d d è 0. Costruamo qund l'ntervallo d fduca relatvo al lvello d fduca e al Δd, smmetrcamente a d, e verfchamo se l valore 0 è nterno od esterno a questo ntervallo: nel prmo caso accettamo l'potes, altrment la rgettamo..3. Test del χ Se la verfca d un'potes teorca corrsponde alla verfca della consstenza d pù valor spermental, ognuno con la sua ncertezza, con altrettant valor teorc, è molto usato l test del χ (ch quadro). Supponamo per esempo d avere un grafco (x, y), n cu, n corrspondenza d n punt {x, ( S ) ( S, ),..., ( S y y y ), con ncertezze x,,x n } sulle ascsse, sano rportat n punt spermental { n } 69

70 σ, σ,..., σ n, e s vogla testare la consstenza tra ess e gl n valor teorc y y y. Supponamo noltre che gl error d msura sano ndpendent e che non "gaussane" { } ( T) ( ) ( ), T,..., T n { } sano state rcavate nformazon da dat spermental per calcolare valor teorc. In questo caso costruamo la varable (.97) n χ = = ( S) ( T) ( y ) y σ Notamo che gl element della sommatora sono quadrat d varabl normal standardzzate, qund la varable da no costruta ha la dstrbuzone del χ con n grad d lbertà. Se qund defnamo un lvello d fduca ϕ (o, equvalentemente, un lvello d sgnfcatvtà α = ϕ ), possamo calcolare quale sa l valore lmte χ MAX tale che χmax ( n) (.98) ϕ = f ( ) dove ( n ) () è la denstà d probabltà del f χ 0 χ x dx χ con n grad d lbertà. I valor d χ MAX per un dato valore del lvello d fduca e per un dato numero d grad d lbertà, sono tabulat su tavole come quella n appendce a quest appunt. Se per calcolare valor teorc abbamo dovuto valutare m parametr ndpendent d un'equazone a partre dagl n numer spermental, allora s abbassa l numero d grad d lbertà a n m e qund dobbamo usare la dstrbuzone del χ con n m grad d lbertà. Un caso partcolare d test del χ è quello che s usa per testare la consstenza tra una dstrbuzone teorca e un stogramma d frequenza. A partre dalla dstrbuzone teorca e dal numero d dat stogrammat, calcolamo valor teorc delle frequenze degl m < n bn, a partre dalle probabltà { p, p,..., p n} e ( T ) ( T, ),..., ( T h h h ). Sano nvece moltplcandole per n; sano quest valor teorc { m } { ( S ) ( S ) ( S ),,..., m } h h h le frequenze trovate spermentalmente per cascun bn, stogrammando gl n dat. S not che l parametro n lo possamo rcavare sommando tutte le frequenze ottenute per var bn, qund l numero d grad d lbertà s rduce d. Ulteror rduzon possono avers se c occorrono altr parametr per calcolare le p. Notamo noltre che le dstrbuzon della frequenza nell'-esmo bn è dstrbuta secondo una dstrbuzone bnomale con parametr n e p, e, se bn sono tant, p è pccolo e qund la bnomale s può approssmare, n tal caso, ad una possonana; qund la varanza è propro ( T ) h. Costruamo qund la varable (.99) n χ = = ( S) ( T) ( h ) h h ( T ) (se bn sono poch, l approssmazone possonana porta a sottovalutare l valore d χ ). 70

71 ( ) Attenzone però! Abbamo vsto che le fluttuazon casual (le dfferenze tra S ( ) h e h T sono dstrbut secondo Posson, mentre per poter usare l test del χ ed avere la dstrbuzone del χ sulla varable costruta, queste possonane devono essere approssmabl da gaussane, cosa che capta se l loro μ è abbastanza elevato (per esempo > 0). Ma cò, se può essere verfcato per bn central, quas sempre non lo è per quell estrem che sono tpcamente pù pover. Possamo allora segure una delle seguent due strade: trascuramo bn perferc (n tal caso l numero d grad d lbertà è dato semplcemente dal numero de bn consderat) "accorpamo" (coè sommamo loro contenut) pù bn nseme (non necessaramente adacent); n questo caso l numero d grad d lbertà s calcola nel modo normale. 7

72 3 Sstem dscret 3. Introduzone Un sstema dscreto (o a dat camponat) è un elaboratore d segnal dscret (o camponat). Coè un sstema che accetta n ngresso una (o pù) successon d dat camponat e produce n uscta una (o pù) successon d dat camponat. Analogamente a quanto accade per sstem contnu, che s possono defnre n generale tramte l equazone (.8), ess possono defnrs tramte l equazone (.9), che rportamo: r r r y = F( x, s) (3.) r r r s = Gx (, s ) dove x r, y r e s r sono rspettvamente vettor d ngresso, d uscta e d stato all stante (camponato). Le dmenson de suddett vettor sono n genere dfferent; nel seguto c occuperemo essenzalmente d sstem con un ngresso ed una uscta, coè con dmenson d x e y ugual ad. Se le funzon F e G non dpendono dal tempo (coè dall ndce ), l sstema è temponvarante. Nel seguto consdereremo quas esclusvamente sstem tempo-nvarant (dett anche stazonar): trascureremo qund d specfcarlo. Dcamo che un sstema è lneare se le funzon F e G sono lnear, coè sono equazon matrcal. In tal caso (3.) con A, B, C e D delle matrc. r r r y = A x + B s r r r s = C x + D s C sono altre rappresentazon de sstem dscret lnear. Defnamo la rsposta mpulsva w k del sstema come la rsposta alla successone (3.3) 0per 0 δ = per = 0 che è detta funzone mpulsva dscreta, o mpulso untaro o anche delta dscreta ed ha ne sstem dscret un ruolo analogo alla delta d Drac per sstem contnu. Analogamente a quanto accade per sstem contnu, per sstem lnear dscret (temponvarant) la rsposta a un ngresso generco x è data dalla convoluzone dscreta della x per la rsposta mpulsva w k : 7

73 y = x w (3.4) k k k = Ovvamente nella (3.4), se la x è data dalla (3.3), allora y = w. Se l sstema è causale, la (3.4) dventa (3.5) y = x w k k k= 0 L operazone d convoluzone dscreta (3.4) vene spesso ndcata n modo abbrevato, smlmente alla convoluzone contnua, con (3.6) y = x w Se w k = 0 per tutt k<0, l sstema è causale. La (3.4) è un altro modo d rappresentare un sstema lneare, n genere pù pratco d quello dell equazone (3.). In esso non compare lo stato, ma gl ngress a tutt temp precedent. Il vettore d stato può essere vsto come la condzone n cu è stato plotato l sstema dagl nput precedent. 73

74 3. Cas partcolar C sono po cas partcolar d sstem lnear dscret, spesso molto utl: sstem movng average (MA), coè a meda moble, dett anche FIR (Fnte Impulse Response), rappresentat dall equazone (3.7) m y = b x k k k = 0 coè l uscta y è ottenuta dalla convoluzone delle successon x (nfnta) e b (fnta). Come s vede mmedatamente, quest sstem sono caratterzzat da una rsposta mpulsva composta da sol m+ campon. Hanno qund una memora fnta: l uscta è ndpendente completamente da cò che gl è stato dato n ngresso prma degl ultm m+ campon. sstem auto-regressv (AR), dett anche IIR (Infnte Impulse Response), rappresentat dall equazone (3.8) y = b0 x a y k k k = n n cu l uscta a un dato stante vene espressa n funzone dell ngresso a quell stante e da una combnazone delle uscte negl n stant precedent. S dmostra che la rsposta mpulsva d questo tpo d sstem è d lunghezza nfnta. Faccamo un esempo: consderamo l caso n cu n= e a = w. La (3.8) dventa (3.9) y = b0 x + w y e, ponendo come ngresso la successone (3.3), abbamo (3.0) y = 0 per < 0 y0 = b0 y = b0 w y = b0 w 3 y = b w e qund, n generale, (3.) y = b0 w per qualsas > 0. 74

75 sstem ARMA (auto-regressve movng average), rappresentat dall equazone (3.) m y = b x a y k k k k k= 0 k= n che comprende una combnazone lneare degl m+ ngress precedent e le n uscte precedent. Generalzza due cas precedent. 3.. Semplce applcazone d sstem MA e AR Supponamo d avere una successone x d msure d una grandezza fsca s costante, dsturbate da un rumore (coè da error casual), (3.3) x = s+ n Supponamo che gl error n sano tra loro ndpendent e d voler stmare l valor medo d s. Come è noto, un buon metodo per fare questa stma è prendere la meda d un certo numero d valor delle msure x. Supponamo che gl error (o l rumore ) n abbano valor medo nullo e devazone standard σ ; possamo defnre σ ncertezza 4 su s da una sngola msura. Se faccamo la meda su N msure, dmnuamo l ncertezza su s d N volte. Supponamo ora che la grandezza s var lentamente nel tempo. Come possamo stmarla? Un modo potrebbe essere prendere la meda d un numero N d msure successve abbastanza pccolo che durante le N s sa varato n modo trascurable 5. Cò sgnfca che possamo fare ad ogn stante una stma μ del valor medo d s. Abbamo (3.4) N μ = x N k = 0 k Cò è realzzato tramte un sstema MA con coeffcent tutt egual b k =, per 0 k N. N Un problema d questo modo d procedere è che appare puttosto nnaturale consderare tutt e sol gl ultm N campon, tutt con lo stesso peso. S possono fare scelte de pes che decrescono con k, n modo che valor pù lontan, e che qund possono avere un s pù dverso rspetto al valore all stante, pesno d meno. Una scelta partcolarmente ragonevole è comoda è usare un sstema AR del tpo d eq. (3.9), con w e N =. Cò equvale a fare una meda moble con nfnt termn (n lnea d prncpo, n pratca s consderano tutt termn precedent dsponbl), con pes decrescent 4 Potremo dare dfferent defnzon dell ncertezza, per esempo σ, o 3σ. 5 Vedremo n seguto come le vare espresson qualtatve present n questo paragrafo possano essere rese quanttatve. 75

76 n modo esponenzale con la dstanza. S not che questa soluzone è anche molto leggera computazonalmente, perché ad ogn passo rchede solo una moltplcazone e un prodotto 6. Abbamo qu consderato solo sstem causal. che permettono d dare la stma μ non appena è dsponble l campone x. In molt cas non c è questa restrzone, e qund per possono utlzzars anche campon con ndce maggore d. μ 6 Anche un fltro MA con tutt pes ugual può realzzars con un basso costo computazonale, ma con un maggore costo d memora. 76

77 3.3 Trasformata z Defnamo trasformata z d un segnale dscreto { x } X z = x z (3.5) ( ) = j = r e Ω è una varable complessa defnta per tutt valor per cu la (3.5) converge. dove z ( ) = Z o, quando è charo che parlamo d trasformate z, con x() t X( z). Con la trasformata z assocamo a un segnale dscreto un polnomale. x è d lunghezza fnta, la regone d convergenza copre tutto l pano Essa vene anche ndcata con X z { x} S not che, se la sere { } della varable z (pano d Gauss). Se è nfnta destra, coè nulla per mnore d un certo valore, la regone d convergenza è l esterno d un cercho d centro l orgne (l raggo del cercho dpende dalla sere). Analogamente, se è nfnta snstra, coè nulla per maggore d un certo valore, la regone d convergenza è l nterno d un cercho d centro l orgne. Faccamo un esempo d calcolo analtco della trasformata z. Supponamo d avere una sere (3.6) { x } Allora, dalla (3.5), 0 per < 0 = w per 0 X z = w z = w z (3.7) ( ) = 0 Se la trasformata X(z) converge nel domno anulare defnto da R < z < R allora s può calcolare la trasformata nversa con xk = X z z dz π j C k (3.8) ( ) dove C è un percorso chuso che separa z = R da z = R. Questo ntegrale può calcolars con l auslo del teorema de resdu d Cauchy: π j X z z dz X z z k = ne pol ntern a C C k (3.9) ( ) resdu d ( ) Se la X(z) è una funzone razonale, se coè è data dal rapporto d due polnom, possamo ottenere l rapporto de due polnom come un polnomale della varable z, l anttrasformata s ottene mmedatamente. 77

78 In molt cas la trasformata nversa può calcolars usando le tavole e le propretà della trasformata z Analoga con la trasformata d Laplace Un segnale dscreto { x } può essere assocato ad un segnale contnuo, costtuto da una successone d delte d Drac, (3.0) x () t = x δ ( t k Δt) essendo k k Δ t l tempo d camponamento. La trasformata d Laplace del segnale x(t) è s k t (3.) X ( s) = x e Δ e la trasformata d Fourer è j k t (3.) X ( ) x e ω Δ = F L ω k k k k Sosttuendo z s t = e Δ, s ha X s = X z Δ (3.3) ( ) ( ) s t e, se sul cercho d raggo c è convergenza, L z= e (3.4) X ( ) = X ( z) jωδt F ω z= e S not che XL ( s ) e X F ( ) perodo (3.5) ω = π 0 Δ t ω sono perodche (la prma sulla drezone mmagnara), con Il mappng del pano s sul pano z (non unvoco, l che spega la suddetta perodctà) è tale che l asse mmagnaro dventa l cercho untaro, l sem-pano snstro dventa l nterno d tale cercho e l sem-pano destro l esterno Propretà della trasformata z Sa X ( z ), X () ( ) z e ( X ) ( z ) le trasformate d { } x, () { } x e ( ) { } x rspettvamente. 78

79 Lneartà: (3.6) () ( ) () { + } ( ) + ( { ) ( )} a x b x a X z b X z Shft (scorrmento, ovvero rtardo o avanzamento): (3.7) { x } z k X ( z) k Notamo che la varable z agsce come un operatore d avanzamento, ovvero uno scorrmento a snstra; z come un operatore d rtardo, ovvero uno scorrmento a destra. Inversone temporale : (3.8) { x } X ( z ) Moltplcazone per una sequenza esponenzale : (3.9) { α } x X z α Se α è reale, cò corrsponde ad uno scalng nel domno z, se è α = una rotazone nel pano z. Convoluzone : j e ϕ, cò corrsponde ad La trasformata z del segnale ottenuto come convoluzone d due segnal dscret (ved equazone (3.4)) è data dal prodotto delle due trasformate z de due segnal. Essendo x e y due successon con trasformata z rspettvamente X e Y, s ha (3.30) x y X Y La dmostrazone d questa propretà, nel caso d segnal dscret d lunghezza fnta, è abbastanza semplce: è legata all analoga tra l operazone d convoluzone dscreta e l prodotto d due polnom. Per rendersene conto, svluppare l prodotto (3.3) n m ( x0 x a x a... xn a ) ( y0 y a y a... ym a ) = ( ) ( ) ( )... ( ) x y + x y + x y a+ x y + x y + x y a + + x y a m n 79

80 Conugazone : (3.3) { x * } * ( * X z ) Da cu s deduce che, se x è reale, * * (3.33) X ( z) = X ( z ) Alcune trasformate z Vedamo ora le trasformate z d alcune semplc successon: delta dscreta (ved (3.3)), (3.34) 0per 0 δ = per = 0 funzone gradno 0per 0 < z (3.35) u = z = = per 0 = 0 z z esponenzale z (3.36) uw = w z z w esponenzale rampato (3.37) w z wz = u w ( w z ) ( z w) coseno (3.38) u cos( ω ) ( ω ) ( ω ) ( ω ) ( ω ) cos z z cos z = cos z + z z cos z seno 80

81 (3.39) u sn ( ω ) ( ω ) ( ω ) ( ω ) ( ω ) sn z sn z = cos z + z z cos z

82 3.4 Trasformata d Fourer dscreta ed FFT 3.4. La trasformata d Fourer per dat dscret (DTFT) Come per segnal contnu abbamo fatto dervare la trasformata d Fourer dalla trasformata d Laplace, così per segnal dscret possamo dervare dalla trasformata z la trasformata d Fourer per dat dscret (DTFT, dscrete tme Fourer transform). Dalla (3.5), j mponendo z =, coè z = e Ω, dove (3.40) Ω= ω Δ t è la pulsazone normalzzata (essendo Δ t è l tempo d camponamento), a cu corrsponde, dvdendola per π, una frequenza normalzzata a-dmensonale che ha valore massmo, abbamo X Ω = (3.4) ( ) j La trasformata nversa s ottene come π = (3.4) ( ω) 0 x e Ω j Ω x = e dω π X Ovvamente la (3.4) ha senso solo se la sommatora converge e condzone suffcente perché cò avvenga è che x <. Notamo che la (3.4) è equvalente alla trasformata d Fourer per segnal contnu per l segnale contnuo (3.43) x() t = x δ ( t Δt) Questa trasformata, oltre alle analoghe propretà della trasformata d Fourer normale, gode delle seguent: perodctà: la X ( Ω) è perodca d perodo π, come è ovvo prma dfferenza j (3.44) x x ( e Ω ) X ( Ω) accumulazone (analogo nel dscreto dell ntegrazone) 8

83 π X δ X jω e (3.45) x ( 0) ( Ω ) + ( Ω) k = La DTFT è analoga alla sere d Fourer (ved (.)), solo che a domn nvertt: è dscreta nel tempo e contnua e perodca nelle frequenze, come la sere d Fourer è contnua e perodca nel tempo e dscreta nelle frequenze La DFT (e la FFT) Introducamo ora la trasformata dscreta d Fourer, un argomento d grande nteresse pratco, poché è cò che vene n effett normalmente calcolato col computer. Per far cò ponamo che la { x } non sa d lunghezza nfnta, ma lunga N (ovvero che sa nulla per < 0 e per > N-). Defnamo trasformata dscreta d Fourer (DFT) la seguente successone: (3.46) X N k k = x W N = 0 dove (3.47) WN = e π j N è la radce N-esma dell untà. Possamo calcolare la DFT nversa come (3.48) N k = k N N 0 x X W Come s vede, abbamo una trasformata tra due domn dscret e fnt: nfatt sa l tempo che la frequenza (pù precsamente la pulsazone) sono dscret e fnt. Qund s capsce l utltà d questa trasformata, ovvamente parente stretto della trasformata d Fourer per dat dscret. Infatt (3.49) X k k π = X N Il calcolo della DFT, per grand valor d N (che può essere per esempo dell ordne d 0 6 ), rchede un grandssma potenza d calcolo. Infatt, trascurando l calcolo delle potenze d W N, che possono essere calcolat a pror, dobbamo esegure crca N moltplcazon ed altrettante addzon (per N=0 6 abbamo 0 operazon d cascun tpo). È stato però ntrodotto (da Cooley e Tukey nel 965) un algortmo d calcolo, la Fast Fourer Transform o FFT, che rduce l numero d operazon a un valore proporzonale a N log N (n una delle mglor mplementazon è 5 N log N, per N=0 6 abbamo crca 0 8, coè 0000 volte pù veloce. 83

84 3.5 Equazon alle dfferenze L equazone (3.) può essere rscrtta come (3.50) n k k k k k= 0 k= 0 m a y = b x dove a 0 =. Sottolneamo che questa equazone descrve un sstema causale 7. S not la somglanza con la (.8): n quella l operatore dfferenzale sosttusce l operatore rtardo presente d questa. E nfatt ne sstem dscret l operatore avanzamento ha una funzone analoga all operatore dfferenzale de sstem contnu: le equazon alle dfferenze fnte, come la (3.50), prendono l posto delle equazon dfferenzal. S not che due termn della (3.50) possono essere vst come due convoluzon, della sequenza fnta { a } e della sequenza nfnta{ y } e della sequenza fnta { b } e della sequenza nfnta { x }. Defnendo le trasformate z (3.5) ( ) X z = x z ( ) ( ) ( ) = Y z = y z = A z = a z n = 0 m B z = b z = 0 possamo utlzzare la propretà della trasformata z della convoluzone ed ottenamo l equazone (3.5) A( zy ) ( z) = Bz ( ) X ( z) Un equazone come la (3.50) è detta equazone lneare alle dfferenze. 7 Questa trattazone è valda per sstem causal, ma può faclmente adattars a sstem non causal, con la lmtazone che a) l uscta dpenda da ngress posteror, ma non da uscte posteror, b) c sa un lmte al massmo futuro. Il caso d sstem ant-causal è ovvamente banale. 84

85 3.6 Funzone d trasfermento dscreta Rscrvamo l equazone (3.5) come (3.53) Y( z) ( ) ( ) B z = X z A z e qund l uscta y del sstema (o meglo la sua trasformata z) può otteners dall ngresso x, z- trasformato e moltplcato per la funzone ( ) (3.54) ( ) ( ) B z F( z) = A z o anche, esplctando, F z b z = n + a z = 0 (3.55) ( ) La funzone F(z) è detta funzone d trasfermento dscreta e opera analogamente alla funzone d trasfermento defnta per sstem contnu. Possamo svluppare la (3.55) n sere d potenze d z, ottenendo (3.56) ( ) m = 0 = F z = f z (se n=0, la sere è fnta), dove le { f } sono la rsposta mpulsva. È charo che la (3.53) rsolve n modo formalmente semplce l problema del calcolo della rsposta forzata dell equazone (3.50) (ma n pratca potrebbe rsultare puttosto complesso, dato l problema del calcolo della trasformata dell ngresso e soprattutto dell ant-trasformata dell uscta). La funzone d trasfermento è l modo pù usato d rappresentare un sstema lneare dscreto tempo-nvarante. Una delle propretà pù mportant della funzone d trasfermento z (smle a quella delle funzon d trasfermento con la trasformata d Laplace) è che la funzone d trasfermento d un sstema composto da due sstem n cascata F e F, ha come funzone d trasfermento l prodotto delle due: (3.57) F = F F 85

86 Possamo anche defnre l sstema nverso d uno dato, tale che se messo n cascata con esso l sstema rsultante ha funzone d trasfermento, semplcemente come (3.58) F ( z) I ( ) = F z tuttava, perché sa utlzzable, dobbamo verfcare che F ( ) I z sa stable. Poché la trasformata z della delta dscreta è, la F(z) è anche la trasformata z della rsposta mpulsva del sstema. j Rcordando che sul cercho untaro z = e Ω, possamo faclmente calcolare la rsposta n frequenza del sstema (la rsposta a una snusode camponata) come b j Ω k= 0 (3.59) F ( Ω ) = F( e ) = n m k k = e + a e k j Ω k j Ω k La pulsazone Ω è defnta per 0 Ω π e, se coeffcent a e b sono real, j Ω * j Ω (3.60) F( e ) = F ( e ) e qund l valore massmo effettvo d Ω è π. I valor d Ω tra π e π possono veders come frequenze angolar negatve (rcordamo che l asse Ω è n effett una crconferenza) e per sstem a coeffcent real la smmetra (3.60) è una smmetra tra frequenze postve e negatve. Per sstem a coeffcent non real, tale smmetra non sussste. S not che, nel caso de coeffcent real, per Ω = 0 e Ω = π F è reale, qund lo sfasamento è nullo. Usando la pulsazone (o frequenza angolare) fsca ω, j t (3.6) ( ω t) F( e ω Δ F Δ = ) F ( Ω) è una funzone complessa della pulsazone normalzzata Ω : per cascun valore d Ω abbamo un numero complesso l cu modulo ndca l guadagno del sstema e la fase lo F ω Δt con classc dagramm d Bode. sfasamento. Possamo qund rappresentare la ( ) Analogamente a come s è fatto per l contnuo, la funzone d trasfermento è completamente descrtta avendo dato gl zer del polnomo al numeratore (chamat semplcemente zer z k ) 86

87 gl zer del polnomo al denomnatore (chamat pol p k ) l valore d b Dfferenze e dervate Data una successone { x }, chamamo dfferenza prma d { } (3.6) y = x x x la successone La (3.6) rappresenta un sstema MA del prmo ordne con funzone d trasfermento (3.63) F( z) = z Possamo costrure la dfferenza seconda d { x }, facendo la dfferenza prma d { y } "sstema" che fa la dfferenza seconda equvale a due sstem che fanno la dfferenza prma post n sere, qund la sua funzone d trasfermento è l quadrato della (3.63) (3.64) ( ) ( ) F z = z = z + z Con le potenze successve della (3.63) s possono costrure le dfferenze d ordne superore. S not l'analoga della dfferenza prma (nel dscreto) con la dervata prma (nel contnuo). S può nvertre l'operazone d dfferenza prma, con un sstema con funzone d trasfermento nversa F z = z (3.65) ( ) che equvale al sstema AR del prmo ordne (3.66) y = x + y che esegue un'operazone analoga a quella dell'ntegrale nel contnuo (3.67) () ( ϑ) t y t = x dϑ Ma quanto l'operazone d dfferenza è vcna a quella d dervazone? Questa questone potrà essere dscussa quanttatvamente alla luce d concett che svlupperemo n seguto (lo spettro d potenza o d energa d un segnale), ma è charo che la dfferenza sarà una tanto mglore "stma" della dervata, quanto pù lenta è la varazone del segnale (a parte un coeffcente dovuto al tempo d camponamento, che no normalmente, lavorando drettamente nel ; l 87

88 dscreto, supponamo par all'untà d tempo). 88

89 3.7 Rsposta d un sstema dscreto La soluzone generale d un equazone lneare alle dfferenze è data dalla somma dell evoluzone lbera, coè la soluzone ottenuta con ngresso nullo, e dalla rsposta forzata, coè dalla soluzone ottenuta con le condzon nzal (gl n valor precedent l prmo valore d ngresso non nullo) tutte poste a 0. Il caso pù semplce d rsposta forzata è la rsposta mpulsva, che è la rsposta forzata n cu la forzante, coè l ngresso, è un segnale a delta untaro. A partre dalla rsposta mpulsva s può rcavare la rsposta forzata e a quest ultma può rcondurs l evoluzone lbera Rsposta mpulsva La rsposta mpulsva d un sstema descrtto dalla (3.50) può essere ottenuta semplcemente n modo rcorsvo, ponendo x 0 = e tutt valor successv a 0. Un altro modo per rcavarla è esegure la dvsone tra polnom (nella varable z ) a numeratore e a denomnatore, ottenendo (n genere) una equvalenza tra la funzone d trasfermento e un polnomale nfnto, n cu l coeffcente della potenza -esma è l -esmo valore della rsposta mpulsva. Per ottenere una soluzone n forma analtca, osservamo che l sstema assocato alla (3.50), descrtto dalla funzone d trasfermento (3.55), nel caso n cu tutt gl n pol sano dfferent, può essere vsto come l parallelo d n sstem, cascuno de qual ha un solo polo. Qund l k-esmo polo w ( k ) darà una componente addtva al rsultato proporzonale a (3.68) ( k ) η = w ( k ) avremo qund per la rsposta mpulsva complessva (3.69) η n ( k ) = Kk η k = dove le costant K possono essere calcolate dal sstema formato dalle prme n (3.70) n k = k ( k ) % K η = η dove % η sono η calcolat n modo rcorsvo (e ovvamente % η = η ). 89

90 3.7. Rsposta forzata Se conoscamo la rsposta mpulsva η, possamo ottenere la rsposta forzata, ad un ngresso { x }, come (ved equazone (3.4)) (3.7) y = x η k k k= Evoluzone lbera L evoluzone lbera s ha quando l ngresso è nullo, ma non sono null tutt o alcun de valor d y kper k n. Per l evoluzone lbera, possamo consderare l omogenea assocata alla (3.50) (3.7) n k= 0 a = 0 k y k o, rcordando a 0 =, (3.73) n y = a y k k k= A partre dalle condzon nzal (3.74) y, y,..., y n possamo calcolare rcorsvamente l evoluzone lbera come (3.75) y = a y a y... a y 0 n n y = a y a y... a y 0 n n+ y = a y a y... a y 0 n n+... Possamo tuttava rcavare per essa un espressone analtca. Per far cò notamo che l evoluzone lbera, nel caso delle condzon (3.74), è equvalente alla rsposta forzata della parte AR, n cu l ngresso è dato da 90

91 (3.76) x = ay ay... ay 0 n n x = ay ay... ay 3 n n+ x = a y a y... a y 3 0 n n+... x = a y a y x n n n = a y n n qund basta calcolare questa rsposta forzata. Notamo che l evoluzone lbera è ndpendente dal numeratore della funzone d trasfermento (parte MA dell equazone alle dfferenze). 9

92 3.8 Stabltà Condzone necessara e suffcente per la stabltà è che l modulo de pol della funzone d trasfermento sa mnore d : pol sano coè ntern al cercho untaro. Questa è la stabltà analtca. In pratca può accadere che un sstema analtcamente stable non lo sa nella sua mplementazone su calcolatore. Cò può accadere, per sstem compless con pol molto vcn all untà, a causa degl error d arrotondamento. Notamo che sstem MA (o FIR), non avendo pol, sono ntrnsecamente stabl. 9

93 3.9 Sstem semplc Analzzamo ora n dettaglo alcun semplc sstem MA e AR, coè sstem n cu nell equazone (3.50), che per comodtà rscrvamo, (3.77) n k k k k k= 0 k= 0 m a y = b x n (detto ordne AR) e m (detto ordne MA) hanno valor pccol. Spesso sstem pù compless possono essere rcondott a pù d quest sstem n cascata Sstema d ordne 0 Il sstema pù semplce è quello n cu nell equazone (3.77), n=m=0 e abbamo (3.78) y = b0 x Questo sstema non fa altro che amplfcare d un fattore b 0 l segnale n ngresso. Questa amplfcazone è la stessa per tutte le frequenze (la funzone d trasfermento è semplcemente b 0 ). j Attenzone! Se b 0 è complesso e b0 = b0 e ϕ, abbamo un amplfcazone complessa che può essere vsta come un amplfcazone reale b 0 pù uno sfasamento (eguale per tutte le frequenze) d ϕ Sstema MA del prmo ordne Consderamo l sstema n cu nell equazone (3.77), n=0 e m=; abbamo (3.79) y = b0 x + b x La funzone d trasfermento z è F z = b + b z (3.80) ( ) e la rsposta n frequenza è 0 F Ω = F e = b + b e j Ω (3.8) ( ) ( ) 0 La rsposta mpulsva, fnta, è composta da due termn: j Ω 93

94 (3.8) x x = b 0 0 = b Consderamo de cas partcolar. b = 0, b =, ovvero un sstema che esegue semplcemente un rtardo d un campone. Analzzamo la rsposta n frequenza: 0 (3.83) F ( ) j Ω =e Ω Vedamo che abbamo un amplfcazone untara per tutte le frequenze e uno sfasamento proporzonale a Ω (s dce anche sfasamento lneare). È questa una caratterstca d qualsas rtardo. Un sstema come questo, n cu l guadagno non vara con la frequenza, ma n cu vara lo sfasamento è detto sstema passa-tutto (all-pass system). Questo tpo d sstem possono essere molto utl. Dato un sstema F(z) possamo sempre costrure un sstema passa-tutto con la stessa caratterstca d fase d F(z), come (3.84) G( z) ( ) ( ) F z = F z Tale sstema tuttava n genere non sarà causale. b0 = b =, ovvero un sstema che esegue la dfferenza prma, l analogo dscreto della dervata del contnuo. Mostramo dagramm d Bode 8 per questo sstema: 8 Normalmente ne dagramm d Bode l guadagno è espresso n decbel. Qu, per semplctà, lo lascamo nelle sue untà natural, n scala logartmca. Rcordamo che la msura n db è 0 log0g. 94

95 Fgura 3- S not che la pendenza è d una decade d guadagno per una decade d frequenza. Fgura 3-95

96 S not che a basse frequenze c è uno sfasamento d 90 grad postvo (n antcpo), mentre per alte frequenze lo sfasamento è nullo. Possamo anche grafcare la funzone d trasfermento nel pano d Gauss (che ha per ass la parte reale e la parte mmagnara della varable complessa), ottenendo l dagramma d Nyqust (la frecca ndca frequenza crescente). S not che, come un dervatore, è un sstema passa alto. b = b =, ovvero un sstema che fa la meda degl ultm due campon. Mostramo grafc del guadagno e della fase per questo sstema: 0 96

97 Fgura 3-3 Fgura 3-4 e l dagramma d Nyqust 97

98 Fgura 3-5 S vede che s tratta d un sstema passa-basso. C s può domandare cosa accade se la meda la faccamo su un numero pù elevato d campon n ngresso, costruendo l sstema (3.85) y N = N k = 0 x k Consderamo per esempo un sstema MA d ordne 9, con tutt 0 coeffcent egual a 0.. Ecco relatv dagramm: 98

99 Fgura 3-6 Fgura 3-7 e Nyqust: 99

100 Fgura 3-8 S not che è un pù pesante passa basso, ma presenta delle rsonanze che potrebbero essere fastdose Due sstem MA del prmo ordne n cascata: MA del secondo ordne Se ponamo due sstem n cascata (o n sere ), la funzone d trasfermento è data dal prodotto delle due funzon d trasfermento. Se abbamo due sstem MA del prmo ordne n B () z b () b () z B () z = b () + b () z, abbamo cascata, con ( ) = + e ( ) 0 0 (3.86) ( ) ( ) ( ) ( ) B z = B z B z = b b + b b + b b z + b b z () () () () () () () () () () coè un sstema MA del secondo ordne con coeffcent (3.87) b = b b () () b = b b + b b () () () () 0 0 b = b b () () 00

101 Se per esempo mettamo n cascata due sstem con b0 = b =, coè che eseguono la dfferenza prma, abbamo un sstema con b0 = b =, b = ; questo è un sstema che esegue la dfferenza seconda (analoga alla dervata seconda del contnuo). Abbamo: Fgura 3-9 S not la pendenza d due decad per ogn decade d frequenza, doppa che per la dfferenza prma. 0

102 Fgura 3-0 e Nyqust Fgura 3-0

103 3.9.4 Sstema AR del prmo ordne (reale) Consderamo l sstema n cu nell equazone (3.77), n=, m=0 ; abbamo (3.88) y = b0 x a y In questo caso la rsposta mpulsva è faclmente calcolable come (3.89) x = b x = b a x = b a x = b a ( ) x = b a 0 S vede mmedatamente che se a > allora l sstema non è stable (la rsposta mpulsva ha un andamento esponenzale crescente). Se a l sstema è stable e, se a < 0, la rsposta mpulsva è esponenzale decrescente, altrment è n modulo esponenzale decrescente, ma con segn alternatvamente postv e negatv. L andamento esponenzale ha decadmento τ dato da (3.90) τ = ln a che, per valor d a molto vcn a, s può approssmare con (3.9) τ a Se a =, la rsposta mpulsva è un gradno d ampezza b 0. Vedamo ora la rsposta n frequenza. S ha b F Ω = F e = + a e j Ω 0 (3.9) ( ) ( ) Grafchamo alcun cas: b =, a = j Ω 03

104 Fgura 3- Fgura

105 E l dagramma d Nyqust Fgura 3-4 b =, a = Fgura

106 Fgura 3-6 Fgura 3-7 b0 a =, = 0.9. In questo caso s ha 06

107 Fgura

108 Fgura 3-9 e Nyqust Fgura 3-0 Vedamo ora cosa accade se consderamo l nverso del sstema precedente, n cu semplcemente nella funzone d trasfermento z s è nvertto l numeratore col denomnatore. Il sstema era b0 =, a = 0.9 ; l suo nverso è un sstema MA che ha b =, b = 0.9. Ecco grafc: 0 08

109 Fgura 3- Fgura 3-09

110 e Nyqust Fgura Sstema AR del prmo ordne (complesso) Se nell equazone (3.88) l coeffcente a e complesso, formalmente le cose non cambano: la rsposta mpulsva può essere espressa sempre come n equazone (3.89), ma ora, come vedremo, samo n presenza d un oscllazone smorzata. Sa j (3.93) w= a = r e ϕ a parte l coeffcente d guadagno b 0, la rsposta mpulsva mostra tutte le potenze d w, da 0 a nfnto; l k-esmo termne è dato da (3.94) x k 0 0 ( k j k k = b w = b r e ϕ ) Notamo che: l sstema è stable se r < n tale potes l valore assoluto decresce esponenzalmente la fase d w k (e qund d x k ) cresce proporzonalmente a k, qund l vettore che rappresenta nel pano d Gauss l numero complesso x k ruota ntorno all orgne con veloctà proporzonale a ϕ, rducendos proporzonalmente d ampezza. La frequenza d rotazone è data da 0

111 (3.95) ν 0 = ϕ π e l tempo d decadmento τ è dato da (ved equazone (3.90)) (3.96) τ = = ln w ln r Consderamo l caso d b0 =, r = 0.95, ϕ = 36. Ecco l evoluzone nel pano d Gauss Fgura 3-4 La rsposta n frequenza è data da

112 Fgura 3-5 Fgura 3-6

113 S not la presenza d una rsonanza a frequenza 0. Il dagramma d Nyqust è 36 = Fgura Sstema AR del secondo ordne Consderamo l sstema n cu nell equazone (3.77), n=, m=0 ; abbamo (3.97) y = b0 x a y a y Il denomnatore della funzone d trasfermento è (3.98) A( z) = + a ( ) ( z + a z = p z p z ) 3

114 dove p e p sono due pol (soluzon della A( z ) = 0 ). Se due pol sono compless conugat, l possamo porre come j (3.99) p, = r e ± θ e qund (3.00) ( ) ( ) ( ) A z = + a z + a z = p + p z + p p z = = r cosθ z + r z Se r < l sstema è stable e, se a < 0, la rsposta mpulsva è una snusode smorzata esponenzalmente b 0 0 (3.0) η = ( p + p ) = b r ( θ ) cos L andamento esponenzale ha decadmento τ dato da (3.0) τ = ln r π Grafchamo l caso n cu b 0 =, r = 0.99, θ =. Abbamo 6 4

115 Fgura 3-8 Fgura

116 e l dagramma d Nyqust Fgura Semplc sstem ARMA Come esemp d sstem d questo tpo prendamo seguent: sstema passa-alto (ARMA[,]), con funzone d trasfermento (3.03) F( z) z = w z dervato dal passa-basso. Per w=0.9 s ha 6

117 Fgura 3-3 Fgura 3-3 7

118 Dagramma d Nyqust Fgura 3-33 rsonanza passa-banda (ARMA[,]), con funzone d trasfermento (3.04) F( z) dervato dall AR del secondo ordne. π Per r = 0.99, θ = s ha 60 = z rcosθ z + r z 8

119 Fgura 3-34 Fgura

120 Fgura

121 3.0 Sstem non-lnear sstem d Volterra Faccamo un breve cenno a sstem non-lnear, una categora cos vasta che non esstono metod d anals general (a parte cose puttosto generche). C lmteremo a quell che sono consderat l prmo passo della non-lnearta : sstem d Volterra del secondo ordne ( sstem d Volterra del prmo ordne sono semplcemente sstem lnear dscret). Ess sono descrtt dall equazone (3.05) y = h x + q x x k k kl k l k= 0 k= 0 l= 0 come s vede, oltre al membro lneare presente gà nella (3.5), ce ne è un altro quadratco. S trova che nel domno trasformato s ha Y ω = H ω X ω + Q ω ω ω X ω X ω ω dω (3.06) ( ) ( ) ( ) (, ) ( ) ( )

122 4 Segnal transtor 4. Energa, poszone e lunghezza d un segnale transtoro Un segnale transtoro (detto anche transente o mpulsvo) è un segnale che va a zero per l tempo tendente all nfnto n entramb sens. Chamamo energa del segnale, la grandezza E w Caso contnuo, segnale wt () (4.) E = w() t dt Caso dscreto, segnale w w (4.) E w = = w e supporremo noltre che sa E fnto. È spesso comodo defnre la poszone e la lunghezza (o durata ) d un segnale parametr analogh al valor medo e alla devazone standard delle dstrbuzon d probabltà : Caso contnuo, segnale wt () (4.3) () wt poszone = tw = t dt E w (4.4) w ( w) () wt lunghezza = l = t t dt E w Caso dscreto, segnale w (4.5) poszone = t = w = w E w

123 (4.6) lunghezza lw ( tw) = = = w Se l segnale w è reale postvo, sono spesso pù comode le defnzon d poszone e durata analoghe alle precedent, ma che utlzzano wt ( ) o, nel caso dscreto, w (normalzzate con l loro ntegrale o somma) nvece che loro modul quadr. Faccamo due esemp. Prendamo l segnale gaussano t (4.7) wt () = A exp σ Se prendamo quest ultma defnzone d larghezza, abbamo che la larghezza è σ. Con la defnzone precedente abbamo E w e qund t t = exp = exp wt () A A σ σ (4.8) coè un valore pù pccolo. l w = σ S not che col nostro concetto d lunghezza o durata, funzonerebbe meglo σ. Prendamo ora un segnale par a durante l perodo da 0 a T e nullo altrove. In questo caso le due defnzon danno lo stesso valore, ma non quello che c pacerebbe, coè T, ma T. 3

124 4. Convoluzone, cross-correlazone e dstanza d due mpuls Dat due mpuls x e y, possamo calcolare alcune utl parametr e funzon 9 : l prodotto vettorale, detto anche cross-energa (4.9) * xy = = r x y la dstanza (4.0) xy = = d x y la convoluzone, (4.) yk = xk y che gà conoscamo. = la correlazone R k = x y (4.) ( ) * xy k+ = 9 Qu vengono date le espresson per dat dscret. Analogh concett sono svluppat nel caso contnuo. 4

125 4.3 Trasformata d Fourer d un segnale ad energa fnta Data la condzone (4.), un segnale transtoro, o mpulso, può essere Fourer-trasformato jωt W = w t e dt (4.3) ( ω) ( ) Vale ovvamente l teorema d Parseval per cu (4.4) () ( ) ( ) wt dt = W ω d ω = W π ν d ν π ω dove ν = è la frequenza. π Nel dscreto, usando la DTFT (la trasformata dscreta d Fourer), abbamo j Ω (4.5) ( ) W Ω = = w e (rcordamo che Ω= ω Δ t è la pulsazone normalzzata). Il teorema d Parseval nel dscreto dventa (4.6) ( ) = π w = W Ω dω π 0 Analogamente a come abbamo fatto per w(t), possamo defnre poszone e larghezza per W ( Ω ). Sa L W la larghezza d W ( Ω ); s ha (4.7) l w L W L eguaglanza vale se (4.8) wt () = A exp In tal caso la trasformata d Fourer è t 4 l w (4.9) W( ω) = A lw π exp( lw ω ) e qund 5

126 (4.0) l w L = W q.e.d.. Attenzone! Se l segnale è reale, la trasformata d Fourer è una funzone hermtana e qund W ( ω ), che è usata per calcolare la larghezza, è smmetrca rspetto all orgne. Questo fa s che, nel caso d w(t) a banda stretta, la larghezza d W ( ω ) sa molto pù grande d quella che sarebbe se s consderassero solo le frequenze postve. Se, per segnal real, s consderano le sole frequenze postve, s rcava una nuova relazone d ndetermnazone (4.) l w L W dove l w è lo stesso, ma L W (anche molto) pù pccolo, che è molto pù pregnante. Faccamo come esempo (4.) wt () = A exp cos( ω t) t 4 l w la cu trasformata (ved (.)) è proporzonale a 0 (4.3) ( ω+ ω ) ( ω ω ) 0 0 exp + exp 4 W 4 Λ ΛW con Λ W =. Se Λ W << ω0, l calcolo su tutte le frequenze porta a LW ω0 e qund l w lw LW ; se c s lmta alle frequenze postve nvece LW Λ W e qund lw LW. 6

127 4.4 Autocorrelazone e spettro d energa Se faccamo la correlazone ncrocata d un segnale con se stesso, abbamo l autocorrelazone * (4.4) Rx ( k) = xk+ x = Questa defnzone d autocorrelazone per segnal mpulsv è ovvamente dversa, ma analoga, dall autocorrelazone nel caso de process stocastc. Come l autocorrelazone nel caso de process stocastc, gode d vare propretà: è la convoluzone del segnale con se stesso nvertto temporalmente (e conugato, se l segnale è complesso) è smmetrca rspetto a 0 ha v l suo massmo assoluto (e n questo caso n 0 vale ) la sua trasformata d Fourer è sempre postva (ed è lo spettro d energa) la larghezza dell autocorrelazone (defnta come n (4.6) e (4.4)) è volte maggore della w. Possamo defnre spettro d energa la trasformata d Fourer dell autocorrelazone j k (4.5) Sx( ω) = Rx( k) e ω essendo Rx ( k ) rcavato dalla (4.4). Vale l seguente rsultato (teorema d Wener-Knchn): (4.6) ( ω) x k k k j k S = x e ω 7

128 4.5 Segnale analtco La trasformata d Hlbert d un segnale x(t) è defnta come ( ) x τ (4.7) x '() t = dτ π t τ e l anttrasformata è τ (4.8) x() t = dτ π t τ x '( ) Questa trasformata è n effett un fltro lneare che ha la propretà fondamentale che (4.9) sn cos ( ω t) cos( ω t) ( ω t) sn ( ω t) per questo motvo è detta anche fltro d quadratura, che sfasa ogn componente snusodale d 90 grad. Tale fltro ha la funzone d trasfermento (4.30) j per ω > 0 H( jω) = j sgn( ω) = j per ω < 0 Se x (t) è la trasformata d Hlbert del segnale reale x(t), allora defnamo segnale analtco l segnale (4.3) x () t = x( t) + j x' ( t) A Se X ( ω ) è la trasformata d Fourer d x(t), allora la trasformata d Fourer d x A (t) è (4.3) ( ω) X A 0 per ω < 0 = X ( ω) per ω > 0 La trasformata d Hlbert s può defnre anche nel dscreto come un fltro d rsposta mpulsva (4.33) 0 per par h = per dspar π Vedamo un esempo. 8

129 Fgura 4- Come s vede, l valore assoluto del segnale analtco è l nvluppo del segnale orgnaro. Ed ecco questo segnale analtco nel pano d Gauss Fgura 4-9

130 30

131 4.6 Segnal permanent Chamamo segnale permanente un segnale che non è localzzato come un mpulso. Per tal segnal non possamo defnre l energa (che sarebbe nfnta), né la poszone, né la larghezza. Per trattare questo tpo d segnal useremo la teora de process stocastc. Come vedremo, n talun cas (process stazonar) potremo parlare d un concetto analogo a quello d energa, la potenza Caso contnuo, segnale wt () (4.34) P lm () w = wt dt T T Caso dscreto, segnale w T T (4.35) K Pw = lm K K = K w Per un segnale mpulsvo, la P w (che non ha senso calcolare) sarebbe 0. Analogamente all autocorrelazone e allo spettro d energa che abbamo defnto per segnal transtor, defnremo le analoghe funzon per segnal permanent, autocorrelazone e spettro d potenza, che possono essere vste come valor med per untà d tempo. 3

132 5 Process stocastc 5. Introduzone 5.. Defnzone Rcordamo la nostra defnzone d varable casuale: Una varable casuale è una varable (reale o complessa) al cu valore è assocata una dstrbuzone d probabltà. In analoga, possamo dare la seguente defnzone d processo stocastco: Un processo stocastco è un nseme d funzon del tempo alle qual è assocata una dstrbuzone d probabltà. Cascuna delle funzon del tempo vene chamata realzzazone del processo stocastco. Mentre l processo stocastco è l modello generale, quello che s può osservare spermentalmente è soltanto una realzzazone. Se le funzon del tempo sono contnue, parlamo d processo stocastco contnuo, se sono dscrete d processo stocastco dscreto. Nel seguto svlupperemo l formalsmo per lo pù per l caso contnuo, ma analogh svlupp s hanno nel caso dscreto (dove, rcordamo, la varable t è dscreta). Per un processo stocastco X(t), possamo defnre la funzone d dstrbuzone del prmo ordne (5.) F( x; t) = P{ X ( t) x} da cu la denstà (5.) f ( x; t) ( ; ) F x t = x Abbamo qund l valor medo (o valore aspettato) (5.3) μ () () ( ; ) e la varanza t = E X t = x f x t dx (5.4) σ () ( () μ() ) ( μ() ) ( ; ) t = E X t t = x t f x t dx Per un dato valore del tempo t, un processo stocastco s rduce a una varable casuale. 3

133 S defnscono noltre, per qualsas n>0, le funzon d dstrbuzone d ordne n come (5.5) F( x, x,..., xn; t, t,..., tn) = P{ X ( t) x, X ( t) x,..., X ( tn) xn} e le relatve denstà (5.6) f ( x, x,..., x ; t, t,..., t ) n n = n (,,..., ;,,..., ) F x x x t t t n x x... x Un processo stocastco è statstcamente defnto se sono defnte tutte le funzon d dstrbuzone (o d denstà) per tutt gl ordn. Dato un processo stocastco, possamo crearne uno nuovo facendolo passare attraverso un opportuno sstema. Il nuovo processo ha n genere caratterstche dfferent da quello d partenza. n n 5.. Funzon del secondo ordne Consderamo le funzon del secondo ordne, (5.7) F( x, x; t, t) = P{ X ( t) x, X ( t) x} e (5.8) f ( x, x ; t, t ) S not che = (, ;, ) F x x t t x x (5.9) F( x, ; t, t ) = F( x ; t ) e (5.0) ( ; ) (, ;, ) f x t = f x x t t d x Possamo calcolare la denstà condzonale come ( ) (5.) f x ; t X () t = x = f ( x, x; t, t) f ( x ; t ) Defnamo autocorrelazone la funzone (5.) (, ) ( ) ( ) (, ;, ) R t t = E X t X t = x x f x x t t dx dx 33

134 e autocovaranza la funzone (, ) ( ( ) μ( ) ) ( ( ) μ( ) ) C t t = E X t t X t t = (5.3) ( μ( )) ( μ( )) (, ;, ) = x t x t f x x t t dx dx = (, ) μ( ) μ( ) = R t t t t la varanza s può rcavare come (5.4) σ () t = C( t, t) = R( t, t) μ ( t) Se l processo è complesso (coè se sono complesse le funzon del tempo), allora * (5.5) R ( t, t ) = E X ( t ) X ( t ) e * * (5.6) C( t, t) = E ( X ( t) μ( t) ) X ( t) μ ( t) ( ) In questo caso C ed R sono funzon complesse. S not che è una generalzzazone del caso reale. Dall autocorrelazone R( t, t ) R( t, t τ ) R( t, t τ ) = + = + possamo rcavare lo spettro d potenza (spesso chamato semplcemente spettro) come la trasformata d Fourer jωτ (5.7) St (, ω) = Rt (, τ) e dτ Sebbene lo spettro d potenza contenga esattamente la stessa nformazone dell autocorrelazone, spesso quest ultmo è pù faclmente nterpretable. Lo spettro d potenza, pù correttamente la denstà spettrale d potenza, ndca l contenuto n potenza (coè quadratco) d un segnale. Ne parleremo estesamente n un prossmo captolo. Lì dscuteremo anche l senso delle frequenze negatve Il caso d due process Supponamo d avere due process X(t) e Y(t), che per generaltà consderamo compless. 34

135 Possamo defnre la correlazone ncrocata 0 (cross-correlaton) (5.8) R ( t, t ) = E X ( t ) Y * ( t ) = R * ( t, t ) xy yx e la covaranza ncrocata (cross-covarance) (5.9) C ( t, t ) = R ( t, t ) μ ( t ) μ ( t ) xy xy x y Dcamo che due process sono scorrelat se (5.0) R ( t, t ) = μ ( t ) μ ( t ) e dcamo che sono ortogonal se xy x y (5.) ( ) R t, t = 0 xy A partre dalla correlazone ncrocata R ( t, t ) R ( t, t τ ) R ( t, t τ ) xy = xy + = xy +, possamo defnre lo spettro ncrocato (cross-spectrum) come (5.) jωτ * xy (, ω) = xy (, τ) τ = yx (, ω) S t R t e d S t 5..4 Stazonaretà, ergodctà Dcamo che un processo X(t) è stazonaro se le funzon che lo defnscono sono ndpendent da uno spostamento nel tempo d qualsas ampezza. Coè se per qualsas T X(t) e statstcamente ndstnguble da X(t+T). S ha coè (5.3) F( x, x,..., x ; t, t,..., t ) = F( x, x,..., x ; t + T, t + T,..., t + T) e n n n n (5.4) f ( x, x,..., x ; t, t,..., t ) = f ( x, x,..., x ; t + T, t + T,..., t + T) n n n n Ne deducamo che per un processo stocastco stazonaro s ha 0 Detta anche correlazone mutua, ntercorrelazone o cross-correlazone. Questa è la defnzone d un processo stocastco stazonaro n senso stretto. S defnsce anche la stazonaretà n senso lato. 35

136 (5.5) () μ = E x t f( x; t) = f( x) μ () t = μ = costante è anche detto cumulante del prmo ordne. ponendo τ = t t, abbamo (, ;, ) = (, ; τ ) f x x t t f x x (5.6) * (, ) = ( τ ) = ( τ ) R t t R R * (, ) = ( τ ) = ( τ ) C t t C C * Rxx ( τ ) = R( τ) = E x ( t) x( t+ τ) è, nell potes che sa E x ( t ) = 0 cumulante del secondo ordne Cxx ( τ ). Notamo che (5.7) ( ) è la varanza del processo. R τ μ = σ xx, anche l Lo spettro d potenza n questo caso perde la dpendenza dal tempo e vene defnto come jωτ (5.8) S( ω) = R( τ) e dτ Possamo defnre la potenza totale del processo l ntegrale totale su tutta la banda d frequenza (non pulsazone), ottenendo R S ω d ω S π ν d ν π (5.9) ( 0) = ( ) = ( ) Possono defnrs cumulant d altr ordn, che, nell potes che sa E x( t ) = 0 caso del del terzo ordne * (5.30) C ( τ, τ ) = E x ( t) xt ( + τ ) xt ( + τ ) e del quarto ordne xxx, sono nel 36

137 (5.3) xxxx * * ( τ, τ, τ3) = ( ) ( + τ) ( + τ) ( + τ3) * ( τ ) ( τ τ ) ( τ ) ( τ τ ) ( τ ) ( τ τ ) C E x t x t x t x t C C C C M M xx xx 3 xx xx 3 xx 3 xx dove (5.3) M ( τ ) = E x( t) x( t+ τ ) xx è l momento del secondo ordne (eguale al cumulante del secondo ordne nel caso d process real). e notamo che da C ( 0,0) s rcava l momento del terzo ordne e da ( 0,0,0) xxx C quello del quart odne. Tutt cumulant d process stazonar real sono smmetrc ne loro argoment, coè C xx ( τ) = C ( τ) xx xxxx (5.33) ( τ, τ ) = ( τ, τ ) = ( τ, τ τ ) C C C xxx xxx xxx ( τ, τ, τ ) = ( τ, τ, τ ) = ( τ, τ, τ ) = ( τ, τ τ, τ τ ) C C C C xxxx 3 xxxx 3 xxxx 3 xxxx 3 La trasformata d Fourer d C ( τ, τ ) è detto bspettro e s ndca con (, ) xxx jωτ jωτ (5.34) ( ) ( ) S ω, ω = R τ, τ e e dτ dτ xxx xxx S ω ω, la trasformata d Fourer d C ( τ, τ, τ ) è detto trspettro e s ndca con S ( ω, ω, ω ) xxxx 3 jωτ jωτ jωτ 3 3 (5.35) ( ) ( ) S ω, ω, ω = R τ, τ, τ e e e dτ dτ dτ xxx 3 xxx 3 Per due process conguntamente stazonar (jontly statonary) abbamo * (5.36) R ( t, t ) = R ( τ) = E X ( t+ τ) Y ( t) xy xy xxx xxxx 3 Dcamo ergodco un processo n cu le statstche d nseme sono egual alle statstche temporal. In altre parole possamo conoscere tutte le propretà del processo stocastco osservando la realzzazone effettva. È ntutvo che un processo non può essere ergodco se non è stazonaro. La stazonaretà e l ergodctà possono essere rstrette ad alcune caratterstche del processo (per esempo la meda, la varanza o l autocorrelazone). 37

138 5..5 Esemp Faccamo tre esemp (d process contnu):. Consderamo un processo che contene 3 funzon del tempo x () t = 0 Prob. x () t = sn ( π 50 t) Prob. 4 x3 () t = sn ( π 00 t) Prob. 4 Questo processo stocastco potrebbe essere l modello d un dspostvo elettrco che con probabltà 0.5 è acceso (e ovvamente con la stessa probabltà è spento) e quando è acceso può generare con eguale probabltà una snusode a 00 Hz o una a 50.. Consderamo un processo che è composto d nfnte funzon del tempo defnte da A () = sn ( 0 ) x t A t dove A è dstrbuta unformemente tra 0 e. Questo processo stocastco potrebbe essere l modello d un oscllatore elettrco che genera una tensone snusodale, con una manopola che ne stablsce l ampezza, e la manopola può stare n una qualsas poszone con la stessa probabltà (ma non può' essere cambata d poszone). 3. Consderamo tutte le possbl funzon del tempo che possono avers come uscta d un contatore d partcelle che rvela per esempo ragg cosmc. Anche n questo caso c trovamo d fronte a un processo stocastco, anche se è pù dffcle conoscere la dstrbuzone d probabltà delle vare realzzazon (e n parecch cas non serve, essendo suffcent altre funzon, pù semplc, legate alla dstrbuzone d probabltà). 5. Trasformazon d process stocastc Dato un processo stocastco X, possamo assegnare secondo certe regole a cascuna funzone del tempo x(t) del processo, una funzone y(t), ottenendo un nuovo processo stocastco Y. Y può essere consderato l uscta d un opportuno sstema. Far passare un processo stocastco X attraverso un sstema F sgnfca costrure un nuovo processo Y n cu tutte le funzon del tempo x(t) sono sosttute dalle uscte y(t) d F alle x(t). Consderamo alcun cas partcolar. 38

139 5.. Sstema statco (senza memora) Sa n tal caso (5.37) Y() t = g( X ( t) ) Le funzon d denstà del processo Y sono rcavabl con le tecnche d trasformazone delle varabl aleatore. S ha (5.38) f ( y, y,..., y ; t, t,..., t ) con y g( x ) =. y n n y(,,..., n;,,..., n) ( ) ( ) ( ) f x x x t t t = g ' x g' x... g' x Per quanto rguarda l valor medo e l autocorrelazone abbamo (5.39) () ( ) ( ; ) e E Y t = g x fx x t dx (5.40) (, ) ( ) ( ) ( ) ( ) (, ;, ) Ryy t t = E y t y t = g x g x f x x t t dx dx x Inoltre, se X è stazonaro, anche Y lo è. n 5.. Sstema lneare (tempo nvarante) Indchamo con L l operatore lneare che descrve l sstema. (ved (.0)). S hanno seguent rsultat: (5.4) E Y() t = L E X ( t) (5.4) R ( t, t ) L R ( t, t ) = xy t xx (5.43) R ( t, t ) L R ( t, t ) = yy t xy Con L ndchamo rspetto alla varable t t, consderandola varable corrente e t parametro; analogamente per L. t 39

140 Se l processo n ngresso a un sstema lneare tempo nvarante è stazonaro, lo è anche quello n uscta. Nell potes d stazonaretà, supponamo d avere un sstema (contnuo) defnto da una funzone d trasfermento F(s), ovvero dalla rsposta mpulsva f(t). Per l valor medo s ha ha (5.44) E Y() t = μy = E X ( t θ) f ( θ) dθ = μx f ( θ) dθ = μx F( 0) Per calcolare l autocorrelazone dell uscta è opportuno calcolare prma la correlazone ncrocata tra l uscta e l ngresso: (5.45) * * RYX ( τ) = E Y( t) X ( t τ) = E x( t θ) x ( t τ) f ( θ) dθ = XX ( ) ( ) = R τ θ f θ dθ e * (5.46) ( ) = ( ) ( ) R τ R τ θ f θ dθ YX XX e qund (5.47) * * * RYY ( τ) = E Y( t+ τ) Y ( t) = E y( t+ τ) x ( t θ) f ( θ) dθ = YX * ( ) ( ) = R τ + θ f θ dθ Ora, rcordando la propretà della convoluzone e la defnzone d spettro d potenza, trovamo * (5.48) S ( ω) = S ( ω) F ( jω) e (5.49) S ( ω) = S ( ω) F( jω) YY XY XX XX 5..3 Un caso partcolare: l dervatore 40

141 Il dervatore, che esegue la dervata d un processo stocastco, spesso detta dervata stocastca (ovvamente le funzon che compongono l processo devono essere dervabl). Abbamo n questo caso de x t (5.50) E x' () t = dt ( ) (5.5) R ( t, t ) (5.5) R ( t, t ) xx ' ' xx' e se l processo è stazonaro, con τ = t t, (5.53) R ( τ ) Rxx = t ( t, t ) (, ) (, ) R t t R t t = = t t t xx' xx' xx Rxx = t ( τ ) (5.54) R ( τ ) xx ' ' R ( τ ) R ( τ ) xx' = = t xx t t 4

142 5.3 Process stocastc normal 5.3. Propretà fondamental Chamamo normale (o gaussano) un processo stocastco. n cu sono normal le funzon d denstà d qualsas ordne. C sono due motv per cu process stocastc normal sono d grande mportanza:. Molto spesso fenomen natural (e non) sono ben rappresentat da process stocastc normal. Graze alle propretà matematche che appresso enunceremo, s può' costrure una semplce ed elegante teora de process stocastc normal, per cu, anche se fenomen d nteresse non sono esattamente rappresentabl con process normal, s prefersce approssmarl, quando possble, con ess. Ecco le due propretà fondamental: PROPRIETÀ I - Per un processo stocastco normale la funzone denstà d ordne n (per qualsas n) è determnata se sono note la meda μ ( t) e l autocorrelazone, C t, t = R t, t μ t μ t ). R( t t ) (o l autocovaranza ( ) ( ) ( ) ( ) Infatt, defnta la matrce M d covaranza tra le n x( t ) con element (5.55) mj = C( t, tj ) abbamo,,..., ;,,..., n = exp n ( π ) M (5.56) f ( x x x t t t ) n dove x = { x, x,..., xn} e = { μ( t), μ( t),..., μ( tn )} μ. T T ( x μ) M ( x μ ) Come sappamo, una trasformazone lneare d una varable casuale normale produce una varable casuale normale. Analogamente abbamo che: PROPRIETÀ II - Una trasformazone lneare d un processo stocastco normale produce un processo stocastco normale. Coè se faccamo passare un processo normale attraverso un sstema lneare, ottenamo n uscta un processo normale. 4

143 Partcolarmente semplce e llumnante è lo svluppo nell potes stazonara, che d ora n po sottntenderemo verfcata Il rumore banco Il rumore banco. è un processo stocastco normale stazonaro (ed ergodco) defnto da (5.57) μ R () t = 0 ( τ ) = δ ( τ) Coè due valor del processo a due stant qualsas, comunque vcn, sono scorrelat (e ndpendent: rcordamo che due varabl casual normal con correlazone nulla sono ndpendent). È mmedato vedere che la denstà spettrale d potenza è (5.58) ( ) ( ) j ωτ jωτ S ω = R τ e dτ = δ( τ) e dτ = Lo spettro qund contene tutte le frequenze, con la stessa ampezza. Comprendamo allora l motvo del nome banco : è n analoga con la luce banca, che è composta da tutt color, coè tutte le frequenze (n realtà solo del vsble e non tutte con la stessa potenza). Notamo che l rumore banco, a parte altre caratterstche deal, è caratterzzato da potenza nfnta. Cò per la presenza d potenza a tutte le frequenze. Tutt sstem fsc sono lmtat n frequenza, e qund tutt segnal fsc, che sono da ess generat, lo sono Process stocastc normal e sstem lnear Rcordamo che un processo stocastco normale è statstcamente defnto se è dato l valor medo e l autocorrelazone. O, n altre parole, se è dato lo spettro d potenza. Cò sgnfca che dal punto d vsta statstco due process stocastc normal che hanno lo stesso spettro sono statstcamente ndstngubl. Cò c nduce a modellare qualsas processo stocastco normale come l uscta d un opportuno sstema lneare al cu ngresso sa stato posto rumore banco. Rcordando la (5.49) e la (5.58), s vede che, se voglamo modellzzare (o anche smulare) un processo stocastco normale con spettro S ( ω ), l sstema deve avere una funzone d trasfermento tale che (5.59) F( jω ) = S( ω) Talvolta s parla d rumore rosa per ndcare un rumore con spettro abbastanza patto alle basse frequenze e pratcamente nullo alle alte. Questo, a dfferenza del rumore banco, è un rumore possble. 43

144 C sono nfnt sstem che godono della propretà (5.59): nfatt questa relazone mpone vncol sul modulo della funzone d trasfermento, non sulla fase. Se osservamo l processo n uscta, non abbamo modo d capre quale sa la vera funzone d trasfermento usata. Non così se possamo osservare anche l rumore banco n ngresso, come possamo renderc conto consderando la (5.48). Abbamo qund trovato un modo d rappresentare e possblmente smulare un processo normale con un sstema lneare. Ma le propretà de process stocastc normal e de sstem lnear c permetteranno d svluppare semplc soluzon a una varetà d problem, come per esempo quello della rvelazone de segnal mmers nel rumore. 44

145 5.4 Process dscret: process ARMA 5.4. Résumé de rsultat La teora de process stocastc è stata fn qu svluppata p.er lo pù per process contnu. Analogh svlupp possono fars nel caso de process dscret. In partcolare per quanto rguarda la teora de process normal e sstem lnear, per process dscret s ottengono analogh rsultat consderando sstem dscret. Sntetzzamo qu rsultat pù mporant. Analogamente al caso contnuo, possamo defnre lo spettro d potenza come la R trasformata d Fourer per dat dscret (ved (3.4) dell autocorrelazone ( ) j (5.60) S ( Ω ) = R ( ) e x = xx Ω e lo spettro ncrocato dalla correlazone ncrocata R ( ) S Ω = R e (5.6) ( ) ( ) j xy = Ovvamente vale la formula d nversone (3.4). xy xy Ω xx Se nvece della pulsazone normalzzata Ω voglamo usare quella fsca spettrale va opportunamente normalzzata ω = Ω, la denstà Δ t (5.6) '( ω ) = ( ) S S Ω Δ t Cò garantsce la propretà fondamentale che l ntegrale sull ntera banda della pulsazone ( π Δt nel caso dω, π nel caso d Ω ) sa par alla varanza del segnale moltplcato π. Se l ntegrale vene fatto nella frequenza nvece che nella pulsazone, s ha semplcemente la varanza del segnale. Consderamo lo schema seguente: 45

146 x F(z) v y G(z) w Fgura 5- In esso x, y, v, w sono process stocastc normal dscret. Dalla (3.56) abbamo (5.63) ( ) F z = f z ( ) = 0 G z = g z = 0 e qund (5.64) v = f x k k k = 0 w = g y k k k = 0 Allora * * (5.65) R ( j) = E v x = E f x x = f R ( j) vx + j k k + j k xx k= 0 k= 0 * * (5.66) R ( j) = E v v = E f x v = f R ( j) * e poché R ( j) R ( j).. xv vv + j k k + j k xv k= 0 k= 0 =, vx 46

147 e noltre vy + j k k + j k xy k= 0 k= 0 * * (5.67) R ( j) = E v y = E f x y = f R ( j) e (5.68) Rvw ( j ) = Per passare agl spettr s usa la propretà della convoluzone e s ha (5.69) S ( z) = F( z) S ( z) vy xy Commento [s]: Controllare per compless (5.70) S ( z) G( z = ) S ( z) = F( z) G( z ) S ( z) vw vy xy che comprende come caso partcolare (per x = y e F=G) (5.7) S ( z) = F( z) S ( z) vx xx (5.7) S ( z) F( z = ) S ( z) = F( z) F( z ) S ( z) = F( z) S ( z) vv vx xx xx 5.4. Rumore banco dscreto Anche nel caso dscreto possamo defnre l rumore gaussano banco.. Esso consste n una successone d campon dstrbut normalmente con valor medo nullo (e spesso s prende con varanza untara). L autocorrelazone è (5.73) ( ) e lo spettro, usando la (3.4), è R j = σ δ j (5.74) S ( ) Ω = σ Se voglamo lavorare con le frequenze fsche, allora (5.75) '( ω) ( ) S = S Ω Δ t = σ Δ t dove 0 Ω< π, ovvero π Ω< π. Come s vede, lo spettro è patto come nel caso del rumore banco contnuo, ma la banda del segnale è lmtata, qund, a dfferenza del rumore 47

148 banco contnuo, questo non crea paradoss, è fscamente realzzable: nfatt non è altro che una successone d valor dstrbut gaussanamente con varanza σ, ndpendent. S not come la denstà spettrale fsca s abbass proporzonalmente al tempo d camponamento. Ecco una realzzazone d rumore banco dscreto (000 campon) Fgura 5- ed eccone l stogramma 48

149 Fgura 5-3 e la (stma della) autocorrelazone 49

150 Fgura Process AR, MA e ARMA Se mettamo n ngresso a un sstema lneare dscreto, d funzone d trasfermento F(z), del rumore banco d varanzaσ, producamo un processo stocastco normale con meda nulla e spettro d potenza jω (5.76) S( Ω ) = σ F( e ) Se l sstema è un sstema AR o MA o ARMA, dremo che l processo è rspettvamente AR, MA o ARMA. Mostramo ora alcun cas Processo AR del prmo ordne (reale) Consderamo l caso n cu b 0 =, a 0 =, a =-0.99, essendo l tempo d camponamento.. Ecco grafc dell autocorrelazone, dello spettro e 000 campon d una realzzazone 50

151 Autocorrelazone Fgura 5-5 Spettro (n ascssa la frequenza) Fgura 5-6 5

152 Un pezzo d una realzzazone Fgura Processo AR del prmo ordne (complesso) Consderamo l caso n cu b0 =, a0 =, a = 0.99 exp(- j p/ 0) = ( j 0.549) essendo l tempo d camponamento. Ecco grafc dell autocorrelazone, dello spettro e 000 campon d una realzzazone. S not che n questo esempo l tempo d decadmento è lo stesso dell esempo precedente, ma abbamo una rsonanza a frequenza negatva, a ν = = Possamo dre che questo processo è una rotazone orara d 360/40=9 grad nel pano d Gauss del processo reale precedente. 5

153 Autocorrelazone (la parte mmagnara è punteggata) Fgura 5-8 Spettro Fgura

154 Un pezzo d una realzzazone (la parte mmagnara è punteggata) Fgura 5-0 Parte mmagnara vs reale Fgura 5-54

155 5.4.6 Processo AR del secondo ordne Consderamo l caso n cu Abbamo π b = a = a = = a = r = 6 0, 0, 0.99 cos -.747, Autocorrelazone Fgura 5-55

156 Spettro Fgura 5-3 Pezzo d dat Fgura

157 5.5 Processo d Posson Analzzamo un altro processo stocastco, d grande nteresse non solo n Fsca, l processo d Posson, che, come suggersce l nome, è collegato alla dstrbuzone d Posson. Il problema è quello d modellare un processo fsco che consste nella generazone d event, tutt egual, dstrbut n modo unforme nel tempo. Un esempo è l decadmento radoattvo d un campone d materale; gl event sono sngol event rvelat da un contatore. In questo caso l tempo d osservazone deve essere molto pù breve del tempo d decadmento de nucle del materale, altrment gl event non sono dstrbut unformemente nel tempo. Un altro esempo d nteresse fsco è l passaggo d una gunzone da parte d elettron o lacune. Questo processo, n cu l numero d event è molto grande nell untà d tempo 3, è la causa del rumore shot. Sebbene s possa defnre opportunamente anche nel dscreto, l processo d Posson è un processo stocastco contnuo. Le funzon del tempo del processo possono essere la successone d delte d Drac (5.77) x() t = δ ( t t ) = dove con t s ndcano gl stant d occorrenza degl event. Spesso come funzon del processo vengono prese le funzon non decrescent a valore ntero che contano l numero d arrv prma del tempo t: n pratca l ntegrale della x(t) d (5.77), da 0 a t. Il processo ha un unco parametro, ndcato con λ, che ndca la denstà degl event, coè l numero aspettato d event nell untà d tempo. Nel perodo d tempo T s aspetta l numero d event (5.78) μ = λ T La dstrbuzone degl event n tale perodo è data dalla dstrbuzone d Posson (5.79) P( k) = ( λ T ) k! k e λ T e l numero d event n due ntervall dsgunt sono due varabl casual ndpendent. S può calcolare che l tempo τ tra due event successv ha denstà d probabltà esponenzale (5.80) ( τ) λ ( τ) con valor medo f u e λ = τ 3 Il passaggo della gunzone non è stantaneo, qund, se l numero d event è elevato, dalla corrente rsultante possono non essere rsolt sngol event. 57

158 (5.8) E [ τ ] = λ Non sempre l processo d Posson con λ costante è un buon modello per process fsc a event (n cu la cosa mportante è l tempo d occorrenza degl event, non altre loro caratterstche). Cò perché la denstà non è unforme nel tempo, ma può varare; l processo coè è descrtto non pù dal parametro λ costante, ma dalla funzone del tempo λ ( t). In tal caso possamo calcolare l numero aspettato d event nel perodo t < t < t come (5.8) μ = λ() t dt e la dstrbuzone è t t (5.83) t λ Pk ( ) = e k! t () t dt λ() t dt t t k 58

159 6 Anals statstca de segnal Fnora abbamo svluppato strument teorc per descrvere e manpolare segnal. Passamo ora alla parte applcatva, coè, dato un segnale, come ottenere le nformazon d nostro nteresse. Supponamo che nostr dat sano schematzzabl come un processo stocastco stazonaro ed ergodco. Farne l anals sgnfca rcavare nformazon su questo processo, coè stmare suo parametr. Tal stme vengono esegute a partre dalla sngola realzzazone del processo, l unca dsponble; l potes d ergodctà c garantsce che cò sa possble. S rcavano essenzalmente nformazon sulla dstrbuzone del prmo ordne e su quella del secondo (o meglo, sulle funzon a questa collegate d autocorrelazone e spettro d potenza). Nel caso gaussano cò esaursce la descrzone del processo; non nel caso generale. Prma d far cò, tuttava, dscuteremo de problem conness alla dscretzzazone de segnal contnu, procedura fondamentale per far uso de calcolator dgtal. Bsogna dre che alcune procedure d anals e d elaborazone de segnal possono essere esegute con l uso d dspostv analogc, ma questa alternatva è dventata sempre meno appetble con lo svluppo de sstem d elaborazone dgtale. Compt prelmnar dell anals del segnale sono: determnazone della quanttà de dat da analzzare (ovvamente è ben dverso analzzare 00 numer o 0 0, sa per le tecnche, sa per gl obettv dentfcare la dnamca del segnale n goco, coè quale è l presumble ntervallo de valor delle ampezze che potrà prendere ndagare prelmnarmente sulla banda del segnale osservato ndagare sulla presenza d trend (coè d tendenze d fondo, per esempo a salre ndagare sulla stazonaretà del fenomeno che s sta osservando ndagare sulla presenza d perodctà Una volta che sano chart, anche se n modo non mnuzoso, gl nterrogatv d questa preanals, s può procedere ad una corretta acquszone de dat e ad anals pù approfondte. 59

160 6. Il camponamento I segnal prodott da process fsc sono n genere contnu. Per analzzarl ed elaborarl con calcolator dgtal devono essere camponat. Come possamo camponarl? Qual problem comporta l camponamento? Camponare sgnfca prendere valor d un segnale contnuo a cert stant temporal che costtuscono un nseme dscreto. Come sceglamo quest stant? Una scelta semplce è quella d prendere gl stant d tempo equspazat (camponamento unforme). Anche così dobbamo sceglere la spazatura, coè l tempo d camponamento. Per far cò possamo utlzzare l teorema del camponamento. C sono però cas n cu è meglo usare un camponamento non unforme. Per esempo per adattarlo alla varabltà del segnale perché non samo nelle potes del teorema del camponamento, né possamo mettercs perché una certa anals è semplfcata da un camponamento non unforme. 6.. Teorema del camponamento Il problema è questo: se camponamo un segnale dscreto, ne coglamo tutte le caratterstche? In altre parole, possamo, a partre da campon, rcostrure l segnale orgnale? Il teorema del camponamento, formulato nel 98 da Nyqust e provato nel 949 da Shannon, è l seguente: Se un segnale reale ha spettro d potenza nullo per frequenze superor a una data ν 0, esso può essere completamente rcostruto se è camponato ad una frequenza (6.) ν s ν 0 Data una frequenza d camponamento ν s =, dove Δ ts è l tempo d camponamento, la Δ ν s frequenza ν N = è detta frequenza d Nyqust. x, nell potes del teorema, possamo rcavare l segnale orgnale come Dat campon { } t s 60

161 t sn π Δts (6.) x() t = x = t π Δts ( ) sn π α la funzone snc ( α ) = che compare nella (6.), detta funzone nterpolante, ha l π α seguente andamento ed è la trasformata d Fourer della funzone Fgura 6- per π t < π (6.3) f () t = π 0 altrove Osservando la funzone d nterpolazone, notamo che correttamente essa s annulla ne punt n cu c sono altr campon (nfatt a quegl stant la x(t) è completamente defnta dal campone), ma può stupre che n cert punt sa addrttura negatva: come ma? Sono delle correlazon negatve ntrodotte dal taglo n frequenza. Notamo che la (6.) non è altro che l uscta d un fltro passa-basso perfetto, con funzone d trasfermento 6

162 (6.4) F( jω ) per π νn ω < π νn = 0 altrove al cu ngresso sa stato posto l segnale (6.5) x % () t = x δ ( t Δts) = 6.. Alasng e fltr ant-alasng Che succede se s campona con un tempo d camponamento che non rspetta la condzone posta dall equazone (6.) del teorema del camponamento? ν s Cò che succede è che le frequenze pù elevate d ν N =, frequenza d Nyqust, s mascherano da frequenze nferor a ν N. Questo fenomeno vene detto con termne nglese alasng. In fgura sono mostrate due snusod, una a frequenza camponamento è ) e una a ν = νs ν = Hz. 5 ' 4 ν = 5 Hz (la frequenza d Fgura 6-6

163 S vede che le due snusod condvdono esattamente gl stess campon, anche se la snusode a pù bassa frequenza ha 5 campon a perodo, quella a pù alta.5 campon (meno de prescrtt dal teorema del camponamento. In genere una frequenza (6.6) ν = N ν + ν essendo ν < ν s s ν s maschera da ν se ν s <, altrment s maschera da ν s ν, o, pù correttamente, da ν. Il fenomeno dell alasng è ben noto nella vta pratca. Per esempo è dovuto all alasng l fatto che a volte ne flm le ruote delle carrozze sembrano grare al contraro (un flm è nfatt una successone d mmagn camponate, n genere a 4, 5 o 30 Hz, se ragg delle carrozze hanno tra d loro un angolo α e tra un fotogramma e l altro la ruota gra d un po pù d α, questa appare grare al contraro. Accelerando, apparrà grare nel verso gusto, ma pù lentamente, qund d nuovo nell altro verso e così va. C sono us pratc mportant dell alasng, per esempo lo stroboscopo. Il fenomeno dell alasng è n genere dannoso nell anals de segnal perché aumenta l lvello del rumore. Va qund elmnato o per lo meno lmtato, e cò s fa con opportun fltr passa basso, analogc, prma del camponamento, n modo da pors nelle condzon del teorema del camponamento (nessuna componente a frequenze superor alla frequenza d Nyqust). Talvolta, data la molto maggore facltà d realzzazone de fltr dgtal, se s vuole un camponamento a una frequenza ν S, s usa un rozzo fltro ant-alasng analogco, una frequenza d camponamento molto pù elevata d quella voluta, qund un fltro ant-alasng dgtale perfetto che lmta l segnale nella banda d Nyqust voluta. S procede qund a un sottocamponamento alla frequenza voluta. Infne voglamo rcordare che talvolta l alasng nell anals de segnal può essere usato utlmente, per esempo per abbassare la frequenza d camponamento (ved l prossmo paragrafo) Generalzzazone Se l segnale ha lo spettro nullo al d fuor d una certa banda B (che non necessaramente nza da 0), possamo teorcamente generalzzare l teorema del camponamento, lmtando la frequenza d camponamento a B. Ben pù dffcle è però la procedura d rcostruzone. Dato una certa frequenza d camponamento, abbamo vsto che l asse delle frequenze s suddvde n bande alasate : se la banda del segnale entra tutta n una d queste bande 63

164 alasate, allora la rcostruzone è semplfcata. Cò però può sgnfcare dover sceglere una frequenza d camponamento abbastanza maggore d B Il caso de segnal compless Se l segnale è complesso, c è dfferenza tra le frequenze postve e negatve, qund la banda del segnale da consderare è doppa. Tuttava l numero d campon necessar è la metà, perché cascun campone è doppo (parte reale e parte mmagnara). Detto n altre parole, abbamo l doppo d campon real, ma descrvamo una banda doppa: la smmetra rspetto alla frequenza d Nyqust non c è Rumore d quantzzazone Quando s dgtalzza un segnale contnuo, oltre a problem relatv al camponamento, s devono consderare problem relatv alla quantzzazone. Il segnale camponato nfatt vene trasformato n un numero ntero (e memorzzato come tale) tramte l uso d un converttore analogco-dgtale (ADC). Questo numero è l numero che, moltplcato per una quanttà Δ x chamata quanto d conversone, meglo approssma l valore del campone (che è un numero reale). Se l campone vale x, rcavamo un valore n tale che (6.7) Δx Δx < x n Δx Al valore vero x del campone assegneremo l valore quantzzato x % = n Δ x= x+ ε. Possamo schematzzare questo processo come l aggunta d un rumore ε, detto rumore d quantzzazone. Se l segnale { x } è schematzzable con un rumore banco (coè campon sono ndpendent) campon { ε } del rumore d quantzzazone sono ndpendent e dstrbut unformemente tra Δx e Δ x. La varanza è (ved eq. (.90)) (6.8) σ ε = ( Δx) e lo spettro d potenza è (ved eq. (5.74) e (5.75) ) (6.9) S( ω) costante, ndpendente da ω. ( Δx) = Δ t 64

165 S not che la denstà spettrale decresce con l aumentare della frequenza d camponamento. Cò può essere utlzzato per rdurre l errore d quantzzazone: vedamo come. La classe d un ADC è data dal numero d bt N usat per la conversone, n genere 8 o o 6. Quanto maggore è l numero d bt, tanto mglore è l converttore: essendo M l massmo range coperto dal converttore, l quanto d conversone è (6.0) M Δ x = N L dea è quella d camponare dat analogc a una frequenza ν S ' molto pù elevata d quella rchesta ν S, applcare un buon fltro ant-alasng (n software) e sotto-camponare a ν S : campon ottenut ora sono numer real (non pù nter ), perché l uscta del fltro e composta da numer floatng pont (a 3 bt, che equvale a crca 4 bt d mantssa, o pù se s lavora n doppa precsone) e avranno un errore d quantzzazone equvalente con spettro ν S ' volte pù basso e qund è come se avessmo ν S ν ' (6.) log S ν S bt d conversone n pù. 65

166 6. Caratterstche statche Istogramma, moment camponar Una stma della denstà del prmo ordne (ved (5.), che nel caso stazonaro s rduce a f(x)) può otteners facendo un stogramma de dat, normalzzato per l numero totale de dat utlzzat. Per fare questo stogramma occorre sceglere bene bn, che non necessaramente saranno tutt ugual. Se s usano poch bn, s hanno nformazon un po rozze sulla f(x), se se ne usano tropp, poch dat andranno ne sngol bn e qund s avranno grosse fluttuazon percentual e qund error. Notare che solo raramente dat stogrammat saranno ndpendent: n questo caso l numero d dat che entrano n un dato bn è dstrbuto approssmatvamente secondo una dstrbuzone d Posson con parametro μ = N p, essendo p la probabltà che un valore vada nel bn oggetto ed N l numero totale de dat. Rcordamo che la devazone standard è σ = μ. In genere dat sono correlat e la stuazone è peggore. Un altro modo per avere nformazone sulla f(x) è stmarne l valor medo (per esempo con la meda artmetca), la varanza ed eventualmente moment superor. Anche n questo caso la convergenza statstca verso l valore vero è rallentata dalla presenza d correlazon. Per esempo, per l caso del valor medo, supponamo che l segnale abba una autocovaranza C( k ) e voglamo stmarne l valor medo facendo la meda d n campon successv (6.) N x N = μ = e la varanza su questa stma è k = N N σ μ N k= N (6.3) C( k) Nel caso n cu (6.4) ( ) C k abbamo approssmatvamente (per τ > ) = σ k e τ (6.5) dove N τ N ' τ σ e σ e σ μ N N = N' N' τ N N ' = è la lunghezza equvalente del pezzo d dat. Se N ' è grande, s ha crca τ 66

167 (6.6) N τ N ' τ σ e σ e σ μ N N = N' N' τ 67

168 6.3 Autocorrelazone La defnzone d autocorrelazone d un processo stocastco è data dalla (5.), che nell potes stazonara dventa * * (6.7) ( τ) ( τ) ( ) (, ; τ) R = E X t+ X t = x x f x x dx dx Data la commutatvtà della moltplcazone, la parte reale è una funzone par, la parte mmagnara (se presente) è dspar. Inoltre gode delle seguent propretà: a) R(0) è reale ed è l massmo assoluto; possono esserc altr valor d τ n cu R( ) R( 0) ma solo se la X è perodca e τ è un multplo del perodo * b) R( τ ) R ( τ ) =, qund la sua trasformata d Fourer è reale τ =, c) La sua trasformata d Fourer è non-negatva. Questa propretà derva dalla propretà d essere defnta postva, coè che, comunque pres n numer arbtrar a, a,..., a n ed n numer real τ, τ,..., τ n, s deve avere (6.8) ( τ τ ) n n = l= R a a 0 l l Nel caso dscreto la stuazone è analoga, ma sosttuamo la varable contnua τ con la dscreta k e la denstà d probabltà con la dstrbuzone: * * (6.9) R( k) = E X ( + k) X ( ) = x x f ( x, x ; k) = = Data l potes d ergodctà, possamo stmare la R( k ) sosttuendo l valore aspettato della (6.7) con la meda su un pezzo d dat { x x x }:,,..., N N k R k = x+ k x N k (6.0) ( ) * Una dversa stma è = N k k N = * (6.) R ( k) = x + x Come s vede, la dfferenza è nel coeffcente d normalzzazone. Il prmo stmatore è nondstorto (unbased), ma su valor d k vcn a N c sono fort ncertezze (fluttuazon). 68

169 La seconda stma è charamente dstorta (l valore aspettato d R ( k ) è nferore al valor vero N d un fattore N propretà b). k, ma così sono rdotte anche le fluttuazon), ma la (6.) gode della Spesso nell anals de segnal s usa la tecnca d moltplcare dat per una fnestra, coè de pes opportun, n genere mnor alle estremtà. Questa operazone vene detta fnestratura (wndowng). La (6.) s rcava dalla (6.0) tramte una fnestra a trangolo soscele detta fnestra d Bartlett. Le procedure (6.0) e (6.) sono usate raramente, a parte l caso n cu samo nteressat solo a un pccolo sottonseme de rtard k. Cò perché l calcolo è molto pesante (abbamo N / moltplcazon ed addzon). Esse (o meglo la (6.)) vengono sosttute dalla seguente procedura che s avvale della FFT (Fast Fourer Transform, ved paragrafo 3.4.). Consderamo la successone nfnta { x } composta da tutt 0, a parte valor per da a N, par a nostr campon. La stma (6.) è ottenuta tramte la * (6.) R ( k) = x+ k x N = Rcordamo che la convoluzone tra le successon a e b (eq. (3.4)) è (6.3) yk = ak b = e s vede qund che la (6.) è la convoluzone tra la x nvertta temporalmente e la conugata della x. Ne segue che, essendo X ( Ω ) la trasformata d Fourer della successone x, ( ) (6.4) R( k) = F X ( ω) N dove con F ndchamo la trasformata nversa d Fourer. Per esegure questa procedura c s avvale della trasformata d Fourer (per dettagl, s veda al captolo su fltr n frequenza). 69

170 6.4 Spettro d potenza Lo spettro d potenza è defnto come la trasformata d Fourer dell autocorrelazone (ved eq. (5.7). Nel caso stazonaro s ha jωτ (6.5) S( ω) = R( τ) e dτ e, date le propretà dell autocorrelazone, è reale e non-negatvo. Se noltre l processo è reale, lo spettro è una funzone par. S not che le propretà dello spettro e dell autocorrelazone sono analoghe a quelle della denstà d probabltà e della funzone caratterstca. Mentre l autocorrelazone deve avere le propretà ( complcate ) ndcate n 6.3, lo spettro ha l unca lmtazone d essere postvo (o meglo non negatvo). In genere comunque data una funzone non negatva d ω, a sngolo valore, possamo costrure un processo stocastco che la abba come spettro d potenza. Per process dscret, abbamo (eq. (5.60)) j (6.6) S( Ω ) = R( ) e = essendo Ω la pulsazone normalzzata; rcordamo che per avere lo spettro nelle untà fsche, Ω= ω Δ t, e (6.7) '( ω ) = ( ) Ω S S Ω Δ t Se l segnale è reale, la potenza del segnale nella banda d frequenza {, } (6.8) S' ( π ν) ν ν dν ν ν è data da Il fattore derva dal fatto che per segnal real non c è dfferenza tra frequenze postve e negatve. S ' ω non è par e bsogna dstnguere tra frequenze postve e Se l segnale è complesso, ( ) ν negatve e qund S' ( π ν) dν è dverso da S' ( π ν) ν ν nella banda d frequenza { ν, ν } è data da (6.9) S' ( π ν) ν ν ν dν dν. Percò la potenza del segnale 70

171 Voglamo notare che spesso nella fsca spermentale e nella tecnca, quando segnal sono sempre real e non nteressano molto le queston teorche, s usa una dversa defnzone d spettro, con le sole frequenze postve e con un valore doppo d quello ottenuto da (5.60). Questo vene chamato spettro unlatero. Scompare così lo scomodo fattore della (6.8). Vedamo ora come stmare lo spettro d potenza Stmator spettral non parametrc Un modo per stmare lo spettro è quello d stmare l autocorrelazone con lo stmatore (6.), coè lo stmatore non dstorto con la fnestra d Bartlett applcata e farne la trasformata d Fourer. (Se s usasse la stma (6.0), avremmo una stma spettrale pù scomoda, con error pù grand e, per certe frequenze, con valor negatv. Cò è dovuto al grosso peso che hanno le fluttuazon su valor estremal). Questa procedura tuttava non è usata quas ma. essa nfatt è computazonalmente molto pesante. Lo stesso rsultato lo s ottene usando la procedura usata per l calcolo veloce dell autocorrelazone (escludendo la trasformata nversa). La rpetamo: Sano dat N campon successv { } dat dscret) x, x,..., x N. Se ne facca la trasformata d Fourer (per (6.30) ( ) N = j ( ) X Ω = x e Ω La stma spettrale è data da (6.3) S $ ( ) Ω = X ( Ω) N È questa una conseguenza del teorema d Wener-Knchn 4. La trasformata (6.30) vene eseguta n modo veloce con la FFT. Se s voglono usare le frequenze fsche, con tempo d camponamento Δ t, rcordamo che Ω= ω Δ t e (6.3) S $ ( ω) ( ω Δt) X = Δ t N Lo spettro (e la sua stma) è una grandezza statstca: da esso ovvamente non possono rcavars dat orgnar e cò perché s è persa l nformazone d fase delle component armonche. Vedamo tre problem dello stmatore (6.3): 4 In effett n passato la (6.3) defnva lo spettro d potenza e l teorema d Wener-Knchn (noto gà, precedentemente, ad Ensten n una forma un po dversa) stablva che la stessa nformazone s aveva facendo la trasformata d Fourer dell autocorrelazone. 7

172 La rsoluzone spettrale Per come è costruta la stma spettrale, notamo che la rsoluzone n frequenza della stma spettrale, dpende dalla lunghezza del pezzo d dat. Se abbamo N campon, essa è, convenzonalmente, n untà della frequenza fsca, (6.33) Δ ν = N Δt Dscuteremo meglo questo argomento quando avremo ntrodotto l concetto d fnestra. Problema del fnestramento La stma è fatta su un pezzo d dat non nfnto (come dovrebbe essere n teora), ma d lunghezza fnta. Questo può essere vsto come l prodotto della successone nfnta per una fnestra rettangolare (boxcar n Inglese) 5 (6.34) per N w = 0 altrove Ora sappamo che la trasformata d Fourer del prodotto d due funzon è par alla convoluzone delle trasformate delle due funzon, qund la stma spettrale data dalla (6.3) smussa lo spettro vero: coè è come se c s passasse sopra un passa basso smle a quello d equazone (3.85) (n effett la rsposta n fase è dversa). Questo smussamento può essere partcolarmente fastdoso (se s vuole stmare spettr con rapde varazon). S rduce l problema usando una fnestra non rettangolare. Lo stmatore è qund così costruto: (6.35) S $ ( ) Ω = N = w x e N = w j ( ) Ω La successone { w } è la fnestra. In genere vale (l valore massmo) per valor central, è smmetrca e s rduce agl estrem. Una fnestra molto usata è la fnestra che prende l nome da Von Hann 6 (detta anche hannng wndow) è la seguente 5 La presenza d questa fnestra su dat temporal mplca la fnestra d Bartlett sull autocorrelazone: l autocorrelazone d una funzone rettangolare è una funzone trangolare soscele. 6 Julus Von Hann (839-9), metereologo austraco. Blackmann e Tukey hanno dato l suo nome a questa fnestra. 7

173 (6.36) ( N ) π / + cos N w = Ecco la fnestra d Von Hann normalzzata per N w (00000 punt): = Fgura 6-3 Vedamo ora l effetto della fnestra. Nel grafco sono rportate le stme spettral per l caso d una snusode d frequenza 0., esegute con la fnestra d hannng e con la fnestra rettangolare (o boxcar, coè usando semplcemente la (6.3)): Fgura

174 Lo spettro deale del segnale sarebbe una delta a frequenza 0.. In effett nvece vedamo un pcco con de lob lateral (artefatt causat dalla fnestratura de dat). Notamo che l aver ntrodotto la fnestra d Von Hann ha rdotto la rsoluzone (d crca un fattore ; ma questo n genere non è un problema, nfatt se occorre una mglore rsoluzone basta prendere un pezzo pù lungo d dat), ma ha rdotto d pareccho l ampezza de lob lateral. Nella fgura seguente rappresentamo le stme spettral con le due fnestre d un segnale composto d due snusod (una 00 volte pù pccola dell altra) Fgura 6-5 S nota che lob lateral della fnestra rettangolare nascondono completamente l pcco pù pccolo, perfettamente vsble nvece con la fnestra d Von Hann. Sono state studate numerose fnestre, con propretà dverse. Quale utlzzare dpende dal tpo d dat che s hanno. Un ultmo esempo: la fnestra trangolare (confrontata con quella d hannng) 74

175 Fgura 6-6 S not che lob lateral sono pù amp, ma c è una rsoluzone (ed un ampezza d pcco) leggermente mglore. I lob po hanno una larghezza doppa. Infne tornamo al concetto d rsoluzone: ntrodurre una fnestra (anche la rettangolare, che spesso è una fnestra nvolontara ) sgnfca smussare lo spettro col modulo quadro della S ω e se la fnestra w(t) ha trasformata trasformata d Fourer della fnestra. Se lo spettro è ( ) d Fourer W ( ω ), l valore aspettato dello spettro fnestrato è (6.37) S ( ω) = k S( ω) W( ω) dove k è una costante d normalzzazone. w Se prendamo l segnale d pù alta rsoluzone possble nello spettro, una delta spettrale, coè una snusode nel tempo, possamo defnre la rsoluzone come la larghezza con cu è vsto questo segnale (per esempo la larghezza a mezza altezza; defnzon mglor per la rsoluzone possono fars, per esempo, conoscendo l rapporto segnale-rumore). Questo non è approssmatvamente che l modulo quadro della trasformata d Fourer della fnestra (a parte una costante moltplcatva e una traslazone). Ecco l grafco, n scala logartmca, per le fnestre rettangolare e hannng 75

176 Fgura 6-7 ed ecco lo stesso grafco n scala lneare Fgura 6-8 Da questo vedamo che la rsoluzone (col metodo della larghezza a mezza altezza) è crca.5 volte peggore nell hannng. 76

177 Incertezza della stma Un problema dello stmatore (6.3) o d quello (6.35) è che l ncertezza della stma è molto elevata, e, soprattutto, non s rduce con l aumentare della lunghezza del pezzo d dat. Per evdenzare la cosa, supponamo che l nostro segnale sa una successone correlata d campon gaussan normalzzat, coè un rumore banco con denstà spettrale S ( Ω ) =. Per semplctà usamo lo stmatore (6.3). La trasformata d Fourer è data da (6.38) ( ) N N N j ( ) Ω ( ) = = = ( ) (( ) ) X Ω = x e = x cos Ω + j x sn Ω Consderamo l pezzo x cos( ( ) Ω) N = ( ) numer casual x cos ( ). Per ogn valore d Ω abbamo la somma d N Ω che hanno meda 0 e varanza. Per l teorema del lmte centrale qund l valore della sommatora è una varable normale con meda nulla e varanza N. Lo stesso può drs dell altra sommatora con sen. ( ) X Ω è una varable casuale ottenuta dalla somma de quadrat d due varabl gaussane: ha qund dstrbuzone esponenzale 7, con valore aspettato N. Po, poché per la stma dello spettro, l modulo quadro della trasformata d Fourer va dvsa per N, abbamo che la dstrbuzone de valor dello spettro è esponenzale con meda. (Rcordamo che c aspetteremmo semplcemente ). Ecco un pezzo dello spettro d questo genere 7 La dstrbuzone esponenzale, a parte un coeffcente d normalzzazone, è la dstrbuzone del χ con grad d lbertà (ved (.9). In essa la devazone standard è uguale al valore aspettato. La probabltà d avere x valor superor d x è P = e μ. (Ved pagna 43) 77

178 Fgura 6-9 S not che c aspetteremmo una lnea costante a (lnea rossa). L stogramma delle ampezze spettral è Fgura

179 S not che la dstrbuzone è esponenzale (una retta n plot semlog). Attenzone! la stuazone non camba mnmamente con l aumentare del numero d campon. Col numero de campon nvece aumenta l numero d punt ndpendent dello spettro (la rsoluzone). Notamo noltre che la dstrbuzone esponenzale ha code abbastanza pesant, coè valor d probabltà elevate anche per alt rapport crtc 8. Per esempo, per CR=3 abbamo 4 P x> 4 = e = ( ) Per rdurre qund le fluttuazon, possamo operare n due mod: - smussare la stma spettrale con un opportuno fltro passa-basso - rcavare vare stme spettral del tpo (6.3) o (6.35) da pezz d dat ndpendent e farne la meda. Quest ultma è la procedura pù usata (n genere è pù comodo fare FFT pù corte). Avendo a dsposzone un pezzo d M N campon, lo stmatore pù generale è qund (6.39) S $ ( ) Ω = M k = N M = w x e + ( k ) N N = w j ( ) Ω La scelta d M (l numero d pezz) s fa medando tra la necesstà d una buona rsoluzone e quella d una bassa ncertezza. Nell potes che abbamo fatto n precedenza, d rumore banco e fnestra rettangolare, la dstrbuzone aspettata è una dstrbuzone del χ normalzzata (a valore aspettato ) con M grad d lbertà. Ecco l grafco d un pezzo d spettro stmato con fnestra rettangolare ed M=0. x 8 Rcordamo che l rapporto crtco (crtcal rato) è defnto come CR =. σ μ 79

180 Fgura 6- ed ecco l stogramma Fgura 6-80

181 Ed ecco con M=00: Fgura 6-3 e la dstrbuzone è Fgura 6-4 8

182 Nel caso d fnestrature non rettangolar, è ragonevole che pezz sano nterallaccat. Infatt le part nzal e fnal d cascun pezzo contrbuscono molto poco al valore spettrale: l nterallaccamento (per esempo a metà) fa sì che tutt dat sano consderat. 8

183 6.4. Stmator spettral parametrc Un modo alternatvo d stmare lo spettro d potenza d un segnale è sceglere un modello che rtenamo adeguato e stmarne parametr, qund calcolare lo spettro d potenza del modello con que parametr. Uno de modell pù usat è l modello AR, detto anche a massma entropa, perche presuppone un andamento asntotco esponenzale dell autocorrelazone, che corrsponde alla massma entropa. Faccamo un esempo: - rtenamo che un certo segnale che stamo msurando sa adeguatamente modellzzato da un processo AR d un certo ordne: (6.40) y = b0 x + w... y + w y + w y n n Ora moltplchamo l membro a destra e a snstra per aspettato. Abbamo: y k, con k > 0, e prendamone l valore (6.4) R ( k) = w R ( k ) + w R ( k )... + w R ( k n) e, prendendo tutt k n yy yy yy n yy e ndcando r R ( k) k =, abbamo yy (6.4) r0 r K rn w r r r0 r n w r L = M M M M M r r L r w r n n 0 n n Queste sono le equazon d Yule e Walker. Con esse s possono rcavare coeffcent del modello AR da valor dell autocorrelazone. La matrce smmetrca che compare vene detta matrce d Toepltz e l sstema vene rsolto con l effcente algortmo d Levnson e Durbn. Se nelle (6.4) mettamo, al posto de valor dell autocorrelazone, delle loro stme, possamo stmare valor de parametr w del modello AR(n). Da quest lo spettro vene stmato (ved (3.59)) come (6.43) $ j Ω S y ( ) σ x F( e ) 0 x n j Ω k wk e k = Ω = = Questo tpo d stma spettrale vene mplementata n var mod, a seconda d come vene eseguta la stma dell autocorrelazone o rsolto l sstema (6.4). Gl stmator spettral parametrc sono partcolarmente buon ed effcent se l modello usato è a) aderente a dat, b) non ha un numero troppo elevato d parametr. b σ 83

184 6.5 Cross-correlazone e cross-spettro La correlazone ncrocata (o cross-correlazone o anche ntercorrelazone) tra due process stocastc stazonar X e Y è data da * (6.44) R ( τ) = E X ( t+ τ) Y ( t) XY La trasformata d Fourer d RXY ( τ ), ndcata n genere con Sxy ( ) o spettro ncrocato d potenza. ω, è detta cross-spettro Una funzone d autocorrelazone non ha le smmetre e lmtazon d forma dell autocorrelazone. Così l cross-spettro può assumere valor negatv o anche compless. Nel caso d process ergodc, s può esegure una stma d R ( ) XY τ con Data l potes d ergodctà, possamo stmare la RXY ( ) (6.44) con la meda su due pezz d dat { x x x } e { y y y } τ sosttuendo l valore aspettato della,,..., N,,..., N N k xy = + k N k = R k x y (6.45) ( ) * Una dversa stma è N k * (6.46) R xy ( k) = x+ k y N = Per quanto rguarda la stma del cross-spettro, questa può' otteners come trasformata d Fourer d una stma della cross-correlazone, o tramte l uso del teorema d Wener- Khnchn, per esempo nel modo seguente. S dvdono dat dsponbl per cascun processo n M pezz d N dat. S calcola qund (6.47) S $ xy ( ) Ω = M M k = N N j ( ) Ω * j ( ) Ω w x ( k ) e w N y ( k ) e + + N = = N w = La scelta d M (l numero d pezz) s fa medando tra la necesstà d una buona rsoluzone e quella d una bassa ncertezza. 84

185 6.6 Coerenza Lo spettro d potenza ncrocato, come la cross-correlazone, è una msura della smlartà d due process. La coerenza (coherence) è una forma normalzzata del cross-spettro. La possamo defnre come (6.48) C ( ) xy Ω = S x Sxy ( Ω) ( Ω) S ( Ω) y La stma della coerenza s fa con (6.49) C xy ( ) Ω = S $ xy ( Ω) S $ ( ) $ ( ) x Ω S y Ω Attenzone però. Le stme vanno fatte con equazon come la (6.47) e la (6.39), con un valore d M abbastanza elevato. Per M= la (6.49) dà. 85

186 7 Fltraggo e trasformazone de dat 7. Segnal e rumor, rapporto segnale/rumore Il tpco problema d msura è l seguente: Samo nteressat a stmare un segnale x(t) (o la sua trasformata X ( ω ) ), ma possamo osservare y(t) che contene una trasformazone x d x contene addzonato un altro segnale non desderato Supporremo che la trasformazone del segnale x sa lneare e descrtta da un sstema F, e che l segnale non desderato agguntvo (che chamamo rumore) sa un processo gaussano descrtto da uno spettro (7.) S ( ω) = S N( ω) n dove S 0 è una costante e N è uno degl nfnt sstem che rsolvono l equazone (7.). La stuazone è descrtta, nel domno trasformato, dall equazone 0 (7.) Y( ω) = X ( ω) F( ω) + S N( ω) 0 Mostramo lo schema d questo processo X F X Y S 0 N Sn ( ω) Fgura 7-86

187 Nell potes che l rumore non essta (o sa trascurable) l problema s rduce a trovare l sstema nverso d F (se questo è nvertble) o una sua buona approssmazone. Pù complessa (e pratcamente nteressante) è l caso n cu l rumore non sa trascurable. Dstnguamo tre cas partcolarmente nteressant:. l segnale x(t) ha una forma nota, (7.3) x( t t ) = A w( t) 0 e va ndvduata la sua presenza, e stmat l tempo d occorrenza t 0 e l ampezza A.. Questo è l problema della rvelazone (detecton). In tal caso s defnsce rapporto segnale/rumore (SNR sgnal-to-nose rato) l rapporto tra l massmo del segnale x e la devazone standard del rumore (7.4) SNR = max ( x ( t )) σ n. l segnale x(t) è un processo stocastco che voglamo stmare. In questo caso possamo defnre SNR l rapporto tra la devazone standard del segnale e quella del rumore 9 x (7.5) SNR = σ σ n 3. l segnale x(t) è un processo stocastco d cu voglamo stmare uno o pù parametr (per esempo l valor medo e/o la varanza). In questo caso c nteressa l ncertezza sulla stma del parametro. L SNR può essere n questo caso l ncertezza relatva (quando questa ha senso). In tutt quest cas c nteressa d rdurre l effetto del rumore. Un altro modo d dre cò è aumentare l rapporto segnale/rumore 30. Cò però ha senso se la dstrbuzone del rumore rmane la stessa dopo la stma (per esempo è e rmane gaussana). Altrment l SNR non è un buon ndce, cò che conta sono le probabltà, per esempo d avere un falso segnale o d avere un certo errore d stma o d fars sfuggre segnal non abbastanza amp. Problem come quest s rsolvono con la costruzone d partcolar sstem dett fltr, con partcolar caratterstche. Vedremo n questo captolo come calcolare mglor fltr per un dato scopo e come realzzarl pratcamente. 9 Talora s usa come SNR l rapporto delle varanze, coè l quadrato d questa quanttà. Defnremo tale grandezza rapporto segnale/rumore d potenza (power SNR) 30 Ovvamente non basta rdurre l rumore: cò s avrebbe, per esempo, semplcemente moltplcando dat per una costante pccola, ma rdurre l rumore non sacrfcando l ampezza del segnale. 87

188 7. Il fltro adattato Tratteremo qu l prmo caso elencato nel paragrafo 7. e coè l caso n cu l segnale x(t) ha una forma nota w(t), (7.6) x( t+ t ) = A w( t) 0 e va ndvduata la sua presenza, e stmat l tempo d occorrenza t 0 e l ampezza A.. La soluzone d questo problema vene chamata fltro adattato (matched flter). S not che ottmzzare la stma d A sgnfca anche ottmzzare l rapporto segnale/rumore, ma non vceversa (l ottmzzazone dell SNR lasca lbero un parametro d ampezza). Supponamo noltre che F=, coè x =x, per cu (7.7) y() t = A w( t t ) + ε ( t) dove ε ( t) è l rumore. Possamo scrvere cò n forma dscretzzata y = A w + ε (7.8) 0 e dscutere drettamente questo caso. Ovvamente per defnre la forma w abbamo nfnte scelte (ognuna con una dversa ampezza); sceglamo quella che normalzza l energa 0 (7.9) k = w k = 7.. Caso del rumore banco Supponamo ora che l rumore sa banco, qund gl ε sono campon gaussan con spettro ω = σ. Sn ( ) ε Cerchamo l fltro mglore con la tecnca della massma verosmglanza. Possamo scrvere la verosmglanza ad un dato stante (per semplctà d notazone abbamo scelto l stante 0) come (7.0) ( ;{ } ) ( y ) A w σ ε L A y = e π σ ε 88

189 e prendendone l logartmo ed gnorandone la parte costante abbamo (7.) l( A; { y} ) = ( y A w ) σ ε Eguaglando la dervata a 0 e sosttuendo A per A, s ha (7.) Aw = y w y w A = = y w w qund (7.3) + ( + ε ) 0 + A = y w = y w = A w + w k k k k k k k= k= Coè la stma d A è la cross-correlazone de dat y per la forma del segnale w. Poché l problema è gaussano (le statstche convolte sono per potes tutte normal), c aspettavamo che la soluzone sarebbe stata un fltro lneare, come n effett è. Se non è presente alcun segnale, avremo n uscta un nuovo rumore (7.4) η = wkε + k stazonaro con varanza k = (7.5) η = ε wk = ε k = σ σ σ Se c fosse solo l segnale, avremmo (7.6) A = y+ k wk = A w+ k w ( ) 0 k = A Rw 0 k= k= Rw () l è l autocorrelazone del segnale w, defnta come 89

190 (7.7) R () l = w w = w w w l+ k k k k k = Se voglamo un fltro che massmzz l SNR, allora possamo fare la correlazone tra dat e B w k, dove B è una qualsas costante, e avremo lo stesso rsultato. Ma porre B= semplfca la valutazone dell ampezza del segnale. Vedamo la soluzone nel domno della frequenza. v, con trasformata V. Abbamo Indchamo l uscta del fltro adattato con { } * (7.8) V ( ω) = Y( ω) W ( ω) Possamo vederne lo schema: A δ W A W fltro adattato * W V Y S ε Fgura 7- Nel nodo somma vedamo la somma del segnale w (quando e se presente la delta all ngresso d W) e del rumore banco d denstà spettrale S ε. Se segnal w sono rar (o assent), { v } è la rsposta del fltro adattato al rumore banco; avrà qund spettro (7.9) ( ) S ω = S W w e autocorrelazone par all autocorrelazone del segnale w moltplcato per σ ε. Questa è un nteressante propretà del fltro adattato. C e stato mgloramento d SNR? Dato che la varanza del rumore è la stessa prma e dopo, vedamo cosa succede sul segnale. Prma l massmo valore era ε 90

191 (7.0) Maxpre = A max ( w ) dopo dventa (7.) Maxpost Ora è evdente che, per la (7.9), ( ) guadagno del fltro è = A max w (l eguaglanza s ha se w è una delta). E l (7.) G = max ( w ) 7.. Altre dmostrazon Dato l grande nteresse pratco e teorco del fltro adattato, vedamo altre metodologe d calcolo. S vogla massmzzare l SNR con un fltro lneare. Sa questo fltro B defnto da una rsposta a ; coè mpulsva (non necessaramente causale) { } A w b (7.3) b σ ε Per la dsuguaglanza d Schwartz (ved (.36), l massmo s ha se b w (d cu b = w è un caso partcolare). Un altro modo d calcolare l fltro adattato, che gunge allo stesso rsultato (7.), è l seguente: - s vogla stmare, col metodo de mnm quadrat, l ampezza A d un mpulso { A w }. Il rumore gaussano banco aggunto può essere vsto come un errore gaussano addtvo. La stma sarà lneare per la gaussantà (e potremo ndcare lo stmatore con l fltro F d rsposta f ). L errore da mnmzzare sarà mpulsva { } (7.4) P = E A f y Ponamo nella (7.4) f = w + a. Abbamo, rcordando la (7.9), 9

192 (7.5) P= E A ( w + a) ( A w + ε) = E A A w A wa wε εa = E A wa + wε + εa Ora, se voglamo mnmzzare P, l prmo termne n parentes, che dpende da A che può' essere grande a pacere, s deve annullare, qund deve essere (7.6) wa (ortogonaltà d w e a ). Qund, rcordando che le ε sono scorrelate e E ε = σ ε, (7.7) E ( w + a) ε = σε ( w + a ) + w a = ( w a ) = σ + ε da cu deve essere a = 0 per tutt gl e qund f = w, come avevamo trovato con le altre potes Caso generale Vedamo ora cosa possamo fare nel caso n cu l rumore non è banco. Poché la nostra soluzone ottma dà un fltro lneare, possamo sbancare l rumore (e qund modfcare d conseguenza l segnale) e applcare a cò l metodo appena applcato 3 ; attenzone però perché l nuovo fltro andrà adattato al segnale modfcato dallo sbancante. Per charre la stuazone, mostramo lo schema delle operazon: 3 S deve supporre che l fltro sbancante sa realzzable (e stable). Nella nostra potes d rumore gaussano stazonaro, cò è sempre possble. 9

193 A δ W A W adattato generalzzato sbancante adattato S 0 N S ε ( ω) Y N W N * * Fgura 7-3 Se lavoramo con le frequenze fsche, per semplctà supporremo S0 = Hz (l ampezza vene così conglobata n N); se usamo le frequenze normalzzate (coè quando usamo la varable pulsazone normalzzata Ω defnta n (3.40)), possamo porre S 0 =. In formule, nel domno della frequenza, abbamo (7.8) ( ) ( ) ( ω) ( ω) W W V ω = Y ω = Y( ω) N S * * ε ( ω) ( ω) S not che l fltro sbancante (whtenng flter) N è applcato due volte, una volta n modo causale (dal passato al futuro) e una volta n modo ant-causale (dal futuro al passato, quando * l fltro applcato nel domno della frequenza è N ): cò rende nullo qualsas sfasamento che N da solo possa ntrodurre. La rsposta al segnale, nel domno della frequenza, è data da (7.9) V ( ω) = ( ) ( ω) W ω S ε Questa è sempre reale postva e qund la sua ant-trasformata è una funzone hermtana. Se l segnale e l rumore sono real, è anche una funzone par. Se nvece c è solo rumore, all uscta abbamo un rumore che ha spettro (7.30) ( ω) ( ω) ( ω) ( ) ( ω) * W W ω Sv = S0 = S * 0 N S ε S not che, S 0 è essenzale per motv d dmenson fsche, se usamo le msure fsche. 93

194 Per calcolare la rsposta mpulsva nel tempo e l autocorrelazone del rumore occorre calcolare (7.3) R k = F ( ) ( ω) W ω S ε In partcolare è mportante l valore R 0, dove ha l massmo assoluto. Un mportante rsultato è che la rsposta mpulsva n frequenza (7.9) è proporzonale allo spettro d potenza del rumore (7.30), e la rsposta mpulsva (7.3) nel tempo è proporzonale all autocorrelazone del rumore. L SNR dopo l fltro è R0 R0 (7.3) SNR = = S R S

195 7.3 Teora della rvelazone (Detecton Theory) Abbamo costruto l fltro adattato, ma questo dà un valore ad ogn stante d tempo, qund mente quas sempre: nfatt la sua stma è ragonevole solo quando l segnale è effettvamente presente. Per poter rvelare (to detect n Inglese) effettvamente segnal, dobbamo decdere quando l segnale è plausblmente presente e quando nvece no. Nel caso del problema che abbamo posto nel paragrafo 7., la decsone vene presa sulla base dell ampezza dell uscta del fltro adattato: - decdamo che c sa un segnale del tpo cercato se la { v } ha un massmo relatvo e supera una data sogla. La stuazone è analoga a quella descrtta nel paragrafo.3.9 su test statstc. Supponamo che l uscta del fltro abba una denstà d probabltà f ( ; ) xs, dove s è l ampezza del segnale eventualmente presente. Se ponamo una sogla θ, abbamo due cas A. Il segnale non è presente. Con probabltà P0 = f x;0 dx (7.33) ( ) θ l segnale non supererà la sogla (e qund abbamo ndovnato) e con probabltà P0 la sogla vene superata anche n assenza d segnale e qund commettamo un errore d prmo tpo, ovvero abbamo un falso allarme (false alarm). B. Il segnale è presente. Con probabltà (7.34) s ( ; ) P = f x s dx θ l segnale supererà la sogla (e qund abbamo ndovnato) e con probabltà Ps la sogla non vene superata anche n presenza d segnale che qund non vene rvelato; n tal caso commettamo un errore d secondo tpo, ovvero abbamo un falso rgetto (false dsmssal). Se alzamo la sogla, coè aumentamo θ, possamo rdurre la probabltà d error del prmo tpo, ma aumentando la probabltà d error del secondo tpo. Nella fgura seguente è presentato un caso 95

196 In questo grafco sono rappresentate le dstrbuzon dell uscta d un rvelatore (che potrebbe essere un fltro adattato), nell potes d assenza d segnale e nell potes n cu sa presente un segnale d ampezza 8. In questo caso l rumore è addtvo (ved n seguto l equazone (7.35)) e gaussano, d devazone standard. Ponamo la sogla a 5 ed abbamo probabltà d corretto rgetto : P 0 = probabltà d falso allarme: P0 = probabltà d corretta rvelazone: P = probabltà d falso rgetto: P = Attenzone: spesso le potes non sono due, ma se l segnale s può assumere molt valor, coè se s è una varable casuale (qund, per esempo, può prendere tutt valor d un dato ntervallo, secondo una data dstrbuzone d probabltà, che potrebbe anche non essere nota), l potes A è n effett molteplce. Per rappresentare la stuazone s usano spesso le Recever Operatng Characterstcs (ROC), delle curve che danno, per ogn valore dell ampezza del segnale, la probabltà d rvelazone P s n funzone della probabltà d falso allarme P0, al varare della sogla. Eccone un esempo, per rumore gaussano addtvo 96

197 e, n scala sem-logartmca, Se, come accade d frequente, l rumore è addtvo, allora 97

198 (7.35) f ( xs ; ) = f( x s) e qund tutto l processo è descrtto soltanto da f ( x ). O, ancora meglo, dalla funzone (7.36) P ( x) = f ( ξ) dξ = F( x) che ndca la probabltà d falso allarme. x Se voglamo confrontare due rvelator (detector) d segnal o due fltr applcat allo stesso f x sono dello stesso tpo, rvelatore, basta confrontare le relatve due f ( x ). Se le due ( ) basta confrontarne parametr. Per esempo, se le f ( x ) sono gaussane, basta dare le due devazon standard (ed eventualmente valor aspettat, se c sono degl offset). Se lo scopo è l confronto, n tal cas la pletora delle ROC non è una buona scelta. 98

199 7.4 Fltro d Wener Consderamo ora l problema d stmare un segnale che è modellzzato da un processo stocastco stazonaro gaussano, da de dat n cu a tale segnale è aggunto un rumore anch esso gaussano e stazonaro. Coè, nel dscreto, (7.37) y = x + n Lo schema è l seguente I W X Y S 0 N Sn ( ω) Fgura 7-4 Il segnale è modellzzato come l uscta d un fltro lneare W con all ngresso un segnale con le caratterstche statstche d un rumore banco e che chamamo processo d nnovazone. Dobbamo costrure la stma ottma nel senso de mnm quadrat, coè (7.38) x = y k fk tale che k = (7.39) E ( x x ) sa mnmo. Per l prncpo d ortogonaltà, la condzone d mnmo sulla (7.39) porta a che sa 99

200 (7.40) ( ) E x x y k = 0 ovvero E x ( x l + n l) fl ( xk + nk) = 0 l= e, passando a valor aspettat, rcordando la stazonaretà d x e n e che x e n sono ndpendent e qund scorrelat, (7.4) Rxx ( k) fl ( Rxx ( l+ k) ) fl ( Rnn ( l+ k) ) = 0 l l Imponendo l mnmo errore secondo mnm quadrat, trovamo, nel domno della frequenza, (7.4) W ( ω) S ( ω) ( ) Sx( ω) ( ) + ( ) x = = Sy Sn Sx ω ω ω dove S y ( ω ) è lo spettro d potenza de dat, Sx ( ) Sn ( ω ) lo spettro d potenza del rumore. Il fltro ( ) matematco amercano Norbert Wener. Nel caso pù generale, l fltro s scrve (7.43) W ( ω) S = S xy y ω è lo spettro d potenza del segnale e W ω è detto fltro d Wener, dal nome del ( ω) ( ω) dove Sxy ( ω ) è lo spettro ncrocato tra l processo x e dat y. Commento [s]: è xy? o yx? 00

201 7.5 Realzzazone d fltr Un fltro, n pratca, non è altro che un sstema dscreto. De sstem dscret abbamo parlato ampamente. Qu faremo alcune osservazon sulla loro realzzazone. Spesso nfatt possono esserv vare possbl mplementazon d uno stesso fltro, soprattutto tenendo presente che raramente s possono realzzare fltr ottm, ma c s deve accontentare approssmazon, spesso buone. Cò anche perché l nformazone su segnal e su rumor non sempre è completa Fltr FIR I fltr FIR (Fnte Impulsve Response) non sono che un altro nome de sstem MA (movng average) vst nel captolo 3. La caratterstca fondamentale è che quest fltr sono ntrnsecamente stabl. Spesso tuttava possono essere molto pesant dal punto d vsta computazonale Fltr IIR I fltr IIR (Infnte Impulse Response, AKA fltr AR) sono nvece, n genere, meno pesant computazonalmente (poché spesso hanno poch coeffcent) e sono pù natural per va della dpendenza a tutte le dstanze. In cert cas, pccol error nel calcolo de coeffcent (anche per arrotondament) possono dar luogo ad nstabltà Fltr a sfasamento nullo I fltr d tpo FIR o IIR sono causal e ntroducono nevtablmente (a parte cas banal) uno sfasamento dpendente dalla frequenza. Talvolta è utle non ntrodurre sfasament, ovvero applcare fltr con funzone d trasfermento reale. Lo sfasamento ntrodotto da fltr FIR può essere lneare con la frequenza, come è lo sfasamento d un semplce rtardo. Infatt la funzone d trasfermento d un rtardo Δ t è (7.44) ( ω; ) e qund la fase è j t FD j t e ω Δ Δ = (7.45) ϕ = ω Δ t 0

202 Cò accade se coeffcent del fltro FIR sono smmetrc rspetto a un valore, per esempo seguent due: (7.46) y = x x + x y = x + x + x + x 3 Questo rtardo è quas sempre nessenzale e qund s parla spesso d fltr a fase lneare come fltr a sfasamento nullo. Un modo per ottenere fltr a fase nulla, è far passare lo stesso fltro prma n modo causale, coè dal passato al futuro, e qund n modo ant-causale, coè dal futuro al passato. Ovvamente per far co dobbamo conoscere dat futur (coè dobbamo lavorare offlne, qund con un effettvo rtardo). Co che accade è che a cascuna frequenza, se l fltro causale la sfasa d ϕ, quello ant-causale la sfasa d ϕ e qund alla fne lo sfasamento e nullo. Ma attenzone! cascuno de due fltr applca a quella frequenza un guadagno G, qund alla fne l guadagno è G. Vsta nel domno trasformato la stuazone è la seguente: se l fltro applcato ha una funzone d trasfermento complessa F( jω ), applcato n modo antcausale la sua funzone d * F jω e qund l fltro effettvamente applcato dopo le due trasfermento dventa ( ) operazon dventa ( ) F jω Fltr n frequenza Applcare un fltro FIR sgnfca esegure una convoluzone. Per esegure una convoluzone d due vettor, uno, l pezzo d dat, lungo N e uno, l fltro FIR con M coeffcent, occorre esegure M N moltplcazon ed altrettante somme. Se M ed N sono numer abbastanza grand (per esempo 3 N = ed M = 0 ), l carco computazonale dventa elevatssmo. S può allora far uso del fatto che nel domno trasformato d Fourer la convoluzone è una semplce moltplcazone (qund, n lnea d prncpo, M volte pù veloce). Dobbamo pero : dvdere gl N dat n grupp d lunghezza M (preferblmente M deve essere una potenza d ) trasformare dat d ngresso al fltro e qund ant-trasformare dat d uscta. E co può essere fatto con la FFT (ved paragrafo 3.4.), con un numero d operazon proporzonale a M log M (nvece che M, come sarebbe con la convoluzone). 3 Sono valor tpc per un gorno d dat d un antenna gravtazonale, con un fltro ben adattato al rumore reale. Spesso po s devono applcare contemporaneamente mglaa d fltr. 0

203 5 Con M dell ordne d 0, s guadagna un fattore crca 000 nel numero delle operazon elementar svolte. Il fatto d lavorare a pezz su dat, permette d realzzare faclmente fltr non-causal e/o a sfasamento nullo. Ma attenzone! La FFT, che è un modo veloce d calcolare la DFT, consdera dat perodc d perodo M, e questo creerebbe gravssm artefatt nel fltraggo. L escamotage che s usa per questo problema è, n genere, l seguente: s dvde l pezzo d dat da analzzare n M-pezz d lunghezza M nterallaccat per la metà ogn M-pezzo vene utlzzato per analzzarne solo la metà centrale. Infatt con una FFT d lunghezza M, s mplementa un fltro FIR d lunghezza effettva M/ (tpcamente M/4 con ndce negatvo e M/4 con ndce postvo), e qund con metà de coeffcent par a zero (per fltr non-causal, la parte nulla è la centrale) 03

204 7.6 I dsturb mpulsv - Fltro a medana Fn ora abbamo vsto solo fltr lnear. I fltr lnear operano prendendo tutt campon del segnale, ndpendentemente dall ampezza, e l valore d uscta dpende lnearmente da valor de sngol campon, qund se un campone è molto grande, ha un peso grande sull uscta. Spesso l rumore non è solo un processo gaussano, o comunque contnuo, ma contene de dsturb localzzat ( burst o mpuls) rar, ma d grande ampezza. Come la caratterstca del rumore che abbamo consderato ne paragraf 7. e 7.4 era lo spettro e utlzzando questa conoscenza possamo rdurne l effetto, cos nel caso d quest burst la caratterstca che l contraddstngue è l ampezza e qund graze a questo n parecch cas possamo elmnarl tramte un opportuna procedura non lneare, che dpende dall ampezza (purtroppo pero spesso cancellando la parte del segnale che è presente nello stesso perodo). Vedamo ora un altra procedura non lneare per stmare l valor medo del segnale n presenza d rumore mpulsvo. Nel caso d rumore stazonaro contnuo, possamo fare una meda moble (o operare con un fltro AR, come n 3..). Se c sono gross mpuls, possamo dvdere dat n ntervall e per cascuno d quest calcolare la medana. La medana è molto meno sensble alla presenza d gross mpuls rspetto alla meda (che è un operazone lneare). Questa procedura vene ndcata come fltro a medana. 04

205 8 Cenno alla trasformata wavelet 05

206 9 Cenn al caso d dat non stazonar 06

207 9. Anals tempo-frequenza 07

208 9. Fltr adattv 08

209 0 Cenn a modell non lnear 09

210 0. Fltr non lnear 0

211 0. Il bspettro Quando abbamo a che fare con modell non-lnear, n genere l potes d gaussantà cade e qund dventano nteressant le statstche d ordne superore al secondo. Il bspettro, come abbamo vsto n (5.34), è la trasformata d Fourer del cumulante del terzo ordne d un processo stocastco stazonaro * (9.) C ( τ, τ ) = E x ( t) x( t+ τ ) x( t+ τ ) xxx Notamo che n questo cumulante c sono vare smmetre, e coè, per segnal real, (9.) ABC τ, τ ACB τ, τ BAC τ, τ τ BCA τ τ, τ CAB τ, τ τ CBA τ τ, τ Per segnal compless nvece c è solo (9.3) ABC ACB τ, τ τ, τ Queste smmetre s rflettono sul bspettro. Vedamo come s presenta l bspettro d una snusode:

212 Fgura 0- Ne sstem non lnear raramente sono present frequenze pure, ecco come appare l bspettro se s ntroduce una non-lneartà che genera la terza armonca Fgura 0-

213 e nel caso che gener la seconda e la terza: Fgura 0-3 Vedamo cosa accade per l bspettro d un esponenzale mmagnaro: 3

214 Fgura 0-4 Partcolarmente nteressante è co che accade con segnal casual. D seguto sono presentat bspettr nel caso d rumore banco, ma con dstrbuzone rspettvamente o gaussano o esponenzale o ch quadro con 0 grad d lbertà o unforme Lo spettro d quest quattro rumor è ndstnguble, mentre ecco come s presentano 4 bspettr: 4

215 Gaussano Fgura 0-5 Esponenzale Fgura 0-6 5

216 Ch quadro con 0 grad d lbertà Fgura 0-7 Unforme Fgura 0-8 6

217 Per quanto rguarda l valore, avendo posto segnal con la stessa potenza, abbamo l seguente rsultato: Tpo d rumore banco Meda valore assoluto Gaussano Esponenzale 0.0 Ch quadro 0gdl Unforme 0.00 Notamo po che mentre nel caso gaussano e n quello unforme abbamo un pattern con varazon rapde, nel caso dell esponenzale e del χ ( 0) le varazon sono pù morbde. Questo s evdenza facendo lo spettro d potenza dell mmagne (ved paragrafo.). Ecco rsultat: Gaussano Fgura 0-9 7

218 Esponenzale Fgura 0-0 Ch Quadro (0) Fgura 0-8

219 Unforme Fgura 0- Ed nfne vedamo l bspettro d rumore esponenzale complesso Fgura 0-3 9

220 da cu s nota la rduzone della smmetr a blatera. 0

221 Cenno all mage processng. Immagn ed elaborazone delle mmagn Un mmagne è descrtta da una funzone d due varabl (0.) g ( xy, ) Dstnguamo tra mmagn n banco e nero e a color. Nel prmo caso n ogn punto la g(x,y) è una funzone scalare, nel secondo a cascun punto è assocato un vettore a 3 dmenson. Qu c occuperemo solo d mmagn n banco e nero (anche se esstono mod d vsualzzazone a color d mmagn n banco e nero). Come avvene per segnal temporal, cos anche le mmagn vengono dscretzzate per essere lette e elaborate da computer. la funzone g(x,y) dventa qund una matrce (0.) g k Ogn elemento d questa matrce vene detto pxel. La vsualzzazone d una mmagne può essere eseguta per esempo per scala d grg. Nella rappresentazone a scala d grg, rappresentamo lo 0 (o l valore mnmo) col nero e l valore massmo d nostro nteresse col banco. Possamo però anche usare scale colorate dfferent che talvolta possono rsultare pù comprensbl o pù suggestve. Eccone un esempo. Qu l mmagne è una foto 33 ; ogn pxel ha un valore tra 0 e Non sempre è cos : per esempo un mmagne puo essere una rappresentazone tempo-frequenza d un segnale.

222 Fgura - L elaborazone delle mmagn è un campo molto esteso, n cu s trasforma opportunamente un mmagne, al fne, per esempo, d evdenzare (o nascondere) certe caratterstche 34. Dstnguamo tre tp d elaborazone: o puntuale : ogn pxel vene modfcato dpendentemente dal valore che ha o locale : ogn pxel vene modfcato dpendentemente dal valore che hanno quell vcn (anche non solo gl adacent) o globale : tutt pxel vengono modfcat nello stesso modo (per esempo sommando una costante) 34 Il fne puo anche essere artstco.

223 Faccamo un pao d esemp d elaborazone puntuale. o l negatvo : ' max( ) g = g g k k k Fgura - o alto contrasto : g' sgn( g θ ) k = (dove θ è una sogla) k Fgura -3 3

224 Ve damo ora una tpca elaborazone locale : o dervata : a ogn pxel è sottratto quello che lo precede (per esempo vertcalmente) Fgura -4 4

225 . Elaborazone lneare delle mmagn Le mmagn possono essere elaborate n modo analogo ad segnal. La dfferenza è che al posto dell ascssa temporale (o dell ndce temporale nel caso de segnal dscret), abbamo due ascsse spazal ortogonal (ovvero due ndc dscret) (ved (0.) e (0.)). Analogamente a segnal temporal, possamo ntrodurre l operazone d convoluzone che nel contnuo s defnsce (0.3) (, ) (, ) (, ) (, ) Nel caso dscreto s ha a x y b x y = a ξ ζ b x ξ y ζ dξ dζ (0.4) ak bk = amn b( m)( k n) m= n= Elaborazon d una mmagne del tpo della convoluzone vengono dette elaborazon lnear. Analogamente al caso de segnal temporal, possamo defnre la trasformata d Fourer d una mmagne g(x,y) come (0.5) (, ) F ( (, )) (, ) j ( u x+ v y) G u v = g x y = g x y e dx dy (s suppone g(x,y)=0 dove non esste l mmagne). La sua nversa è j ( u x+ v y) g xy = Guv = Guv e dxdy 4π - (0.6) (, ) F ( (, )) (, ) e, nel caso dscreto, equvalentemente alla DFT, (0.7) (, ) e la sua nversa G ΦΨ = g e = k= (0.8) (, ) k j ( Φ+ k Ψ) j ( Φ+ k Ψ) gk = G Φ Ψ e dφ dψ 4π Possamo defnre l analogo dello spettro d potenza come (0.9) S( u, v) = k G( u, v) dove k è una costante; chamamolo semplcemente spettro, perché ovvamente non è uno spettro d potenza (né d energa). Per l autocorrelazone abbamo 5

226 (0.0) R ( ξζ, ) = F - ( S( u, v) ) Faccamo un esempo. Ecco l mmagne d un cercho Ed ecco l logartmo dello spettro Fgura -5 Fgura -6 6

227 S not che questo spettro è ndpendente dalla poszone del cercho nella fgura (anz, sul toro costruto unendo due lat vertcal e qund due orzzontal). Ed ecco l autocorrelazone: Fgura -7 Vedamo ora come mglorare l rapporto segnale rumore n una mmagne. Costruamo la seguente mmagne Fgura -8 7

228 Sono 5 cerch ugual a quello precedente d cu abbamo fatto lo spettro. Ora sommamo a questa mmagne del rumore, coè a cascun pxel una varable normale. Se l rumore aggunto è abbastanza grande, cerch scomparranno. Ecco l rsultato avendo aggunto rumore gaussano con devazone standard 4 volte maggore: Fgura -9 Ora costruamo un semplce fltro cos fatto: o s prende la trasformata d Fourer dell mmagne dsturbata o s moltplca per lo spettro del sngolo cercho o se ne fa la trasformata nversa Ed ecco l rsultato: 8

229 Fgura -0 Come s vede, anche se dsturbat, cerch sono ben vsbl, nella poszone gusta. Questo è un fltro puttosto rozzo. Possamo fare l fltro adattato (del tutto analogo a quello nel caso de segnal), prendendo un cercho nell orgne Fgura - e qund usarlo come fltro adattato ed applcarlo all mmagne, eventualmente lavorando con le trasformate d Fourer, coè essendo M questa mmagne e X l mmagne orgnale, ottenamo 9

230 (0.) Y = F F ( X) F ( M) * Ottenamo Fgura - dove, come s vede, appaono de punt lumnos ne centr de cerch. Da questa, se l rapporto segnale-rumore è abbastanza buon, possamo rottenere l mmagne orgnale con 3 (0.) X ' = F F ( Y Y ) F ( M) ottenendo 30

231 Fgura -3 che è decsamente un buon rsultato. Notare che quest ultma operazone è non-lneare, e, come spesso accade con metod non lnear, dà buon rsultat solo se l rapporto segnalerumore è abbastanza elevato. Se s operasse n modo lneare, se coè s usasse (0.3) X ' = F F ( Y) F ( M) avremmo l rsultato d Fgura -0. 3

232 .3 La compressone JPEG 3

233 Un applcazone: la rcerca d perodctà. Introduzone al problema La rcerca e l anals d perodctà n un segnale sono un problema che s presenta d frequente. Per affrontarlo sono stat mess a punto decne d metod d anals, alcun de qual analzzeremo n questo captolo. Qu voglamo mostrare alcun de mod n cu s presenta l problema. Innanztutto ndvduamo tre tp d perodctà: perodctà coerente, per cu (.) x() t = x( t+ T) dove T è l perodo. S ha, d conseguenza (.) x() t = x( t+ k T) dove k è qualsas ntero. S parla d perodctà coerente anche nel caso n cu var l ampezza ma non la fase. Per esempo nel caso d (.3) xt () At () π t = sn T dove A() t è una funzone postva, n genere lenta (coè con frequenze basse rspetto a /T). perodctà non coerente, per cu (.4) x() t x( t+ T) Ogn perodo, n questo caso, è quas uguale al precedente, ma c possono essere (n genere lev) dfferenze d fase, che tuttava s possono accumulare nel tempo. Un esempo d perodctà non coerente è un processo AR del secondo ordne. perodctà varable, n genere lentamente (altrment vene meno l dea d perodctà). In tal caso (.5) x () t = A( t) x( t+ T( t) ) 33

234 dove A( t ) e T() t varano lentamente. A( t ) e ( ) potrebbe essere l oggetto della rcerca I problem d anals po varano, a seconda d T t potrebbero essere note oppure cosa è noto (per esempo l perodo, l perodo e la fase, la forma d onda, ). Se fosse noto tutto, a parte l ampezza, teorcamente s potrebbe applcare l fltro adattato, ma raramente è ragonevole usare un fltro adattato per la rcerca d segnal perodc (almeno nella forma che abbamo vsto n 7. cosa cerchamo (per esempo l ampezza, l perodo, l perodo e la fase, la forma d onda, ) che tpo d dat abbamo a dsposzone con che precsone c nteressa l rsultato quale è l rapporto segnale rumore 34

235 . Il perodogramma Lo strumento prncpale per analzzare le perodctà è la stma dello spettro d potenza tramte l uso de perodogramm, d cu abbamo parlato nel paragrafo È questo scuramente lo strumento mglore per un anals esploratva. Se l segnale è descrtto da (.6) x() t = A sn ( ω t+ ϕ ) e l rumore, ne dntorn della frequenza del segnale, ha spettro abbastanza patto che vale S n (blatero), se sono trascurabl artefatt dell anals, abbamo nello spettro stmato con un sngolo perodogramma 0 (.7) SNR = A T 4 S obs n dove T obs è l tempo d osservazone. Il rumore n tal caso, come sappamo, è dstrbuto esponenzalmente. Se faccamo la meda d M perodogramm (cascuno lungo Tobs / M ), abbamo (.8) A Tobs SNR = 4 M S n I vantagg d questo strumento sono è molto veloce e s possono osservare molte perodctà contemporaneamente è affdable, coè solo n cas partcolar sono generat artefatt e gl error d stma sono sotto controllo I problem d questo strumento sono è dffcle applcarlo a tantssm dat (una FFT ogg può essere fatta senza dffcoltà fno a qualche mlone d dat) non s osservano varazon nel tempo la rsoluzone n frequenza è lmtata (nella defnzone pù banale è M / T obs, n effett è n genere mglore d questo valore (se s usa FFT con soprarsoluzone), dpendentemente dal SNR. gnora la fase della perodctà 35

236 è uno strumento non molto adeguato per la rcerca d perodctà non snusodal non è molto adeguato per perodctà non coerent (a meno che non s rduca la rsoluzone) 36

237 .3 Metod parametrc Abbamo accennato a quest metod n Per la rcerca d perodctà, quest metod sono adeguat n cas non molto compless. Permettono n genere mglor rsoluzon rspetto al perodogramma. 37

238 .4 Il lock-n Supponamo d conoscere la frequenza d un segnale, e dobbamo stmarne l ampezza e la fase. Uno strumento per questo scopo è l lock-n 35. Dato un segnale x(t), l lock-n produce l seguente segnale complesso 36 (.9) () ( θ ) t t θ τ πθ j T y t = x e e dθ qu T è l perodo che s suppone noto e τ è l tempo d ntegrazone, cò l tempo scala delle eventual varazon. Il rapporto segnale/rumore è, nell potes d eq. (.6), (.0) A τ SNR = 4 Sn e la dstrbuzone del modulo quadro del rumore è esponenzale. Dal numero complesso y(t) rcavamo la stma dell ampezza del segnale (.) A = y() t (attenzone! è basata per la presenza del rumore; l bas va tolto quadratcamente) e la sua fase (.) $ ϕ = y() t S not che entrambe le stme sono varabl nel tempo, e τ è l tempo scala della pù rapda varazone osservable. Una forma dversa d lock-n è la seguente (.3) () ( θ ) t 0 πθ j T y t = x e dθ Come s vede, la costante d tempo è scomparsa, e l ntegrale s estende dall nzo delle msure fno al tempo t. S può grafcare la y(t) nel pano d Gauss. Chamamo questa fgura l verme, per l aspetto che assume nel caso d perodctà d perodo T. 35 Con questo nome vene ndcato un partcolare amplfcatore elettronco. Qu no ndchamo l algortmo utlzzato da questo amplfcatore. 36 L amplfcatore elettronco produce due segnal separate, dett segnale n fase e segnale n quadratura. No l vedremo come un sngolo segnale complesso. 38

239 Cò può essere molto utle per vedere varazon d frequenza. Se la frequenza del segnale è medamente dversa da ν =, allora l verme gra ntorno all orgne: dal numero d gr che T compe (e dal verso) s deduce la dfferenza tra la frequenza vera e ν =. T Vedamo ora l verme per una realzzazone d un processo AR() con frequenza 00 Hz e Q=0000, osservato a 00 Hz: Fgura - e ecco cosa avvene se s sntonzza l verme a 00. Hz (sugl stess dat) 39

240 Fgura - 40

241 .5 L anals d fase Talora s conosce l perodo d un fenomeno, ma samo nteressat a come ne va l ampezza all nterno del perodo. Per esempo è questo l caso n cu samo nteressat al rumore d fondo n un laboratoro, sappamo che questo è correlato con l attvtà umana e qund ha una perodctà gornalera, ma voglamo sapere come vara nelle vare ore del gorno. Un altro esempo è l segnale delle pulsar: è questo un segnale perodco ed è d grande mportanza conoscerne l proflo. Ecco alcun dagramm d fase per l segnale della pulsar della nebulosa del Grancho (Crab pulsar): Fgura -3 Questo tpo d grafc s eseguono medando n fase var perod del segnale. 4

242 .6 Il ft armonco Un altro metodo d anals d perodctà non snusodal è l ft del segnale armonco con (.4) n k = π k t π k t ak cos + bk sn T T coè trovare coeffcent a k e b k che meglo descrvono l segnale (per esempo secondo l crtero de mnm quadrat). Il segnale è qund descrtto da una n parametr. È buona norma calcolare anche l ncertezza su quest parametr. Se T non è noto, s può fare un ndagne con var valor d T, n un range ragonevole, e grafcando l nverso dell errore quadratco medo, facendo così una spece d spettro. Questo metodo, anche per n=, ha una mglore rsoluzone rspetto al perodogramma (anche se è molto pù costoso computazonalmente). Se T è noto, s msurano n pratca le vare armonche del dagramma d fase. 4

243 .7 Il caso del camponamento non unforme Talvolta dat non sono camponat n modo unforme: le osservazon possono essere sporadche (come per esempo può captare n astronoma). In altr cas può essere utle un camponamento non unforme per superare lmt della frequenza d Nyqust. In questo caso, se le osservazon sono { } (.5) S $ ( ω) = x exp( ω t) N x, x,..., x N, una stma dello spettro d potenza è N k = Faccamo un esempo. Camponamo un segnale d forma (.6) x() t = sn ( π 900 t) + cos( π t) consderamo prma l caso d 00 campon unform n un secondo. In tal caso è evdente che le condzon del teorema del camponamento non sono soddsfatte per le due frequenze d e 900 Hz (la frequenza d Nyqust è 50 Hz) e nfatt ecco lo spettro: Fgura -4 S vedono vare frequenze alasate pù volte. Tra queste compare Hz, ma non 900 (che è alasata a 0 perché è un multplo par della frequenza d Nyqust). 43

244 Ed ecco nvece lo spettro ottenuto con la (.5), avendo preso 00 stant d camponamento a caso (dstrbuzone unforme) n un secondo Fgura -5 Come s vede, le due frequenze compaono al valore gusto (anche se c è un fondo casuale che è facle dmostrare aver dstrbuzone esponenzale con valore aspettato uguale alla varanza del segnale). Se temp d camponamento hanno delle perodctà, queste s rflettono su S $ ( ω ). 44

245 .8 Perodctà non coerent Se s ha una perodctà non coerente, l modello pù semplce è quello d un processo gaussano del secondo ordne (nel dscreto, un AR()). In tal caso c sono 4 parametr da stmare: la frequenza l tempo d decadmento τ la varanza l rumore d fondo su cu è seduto l pcco spettrale Un modo per far cò è: estrarre l pezzo d spettro che contene l pcco aggungere una seconda parte d eguale lunghezza e porla eguale a 0 anttrasformare questo spettro sntetco, ottenendo un autocorrelazone complessa analtca dedurre la sua frequenza (c sono var mod, per esempo contare l numero d gr nel pano d Gauss) e da questa sommata alla frequenza nzale del pezzo rcavare la frequenza cercata dall nvluppo (semplcemente l valore assoluto) dell autocorrelazone vcno a 0 rcavare l rumore d fondo (dal pcchetto rpdo vcno a 0), l tau (dalla pendenza della dscesa lenta ) e la varanza (l estrapolazone a 0 della dscesa lenta ). 45

246 .9 Perodctà d event Talvolta l problema è quello d trovare le perodctà d mpuls. D quest non è d nteresse la forma o l ampezza, ma solo l tempo d occorrenza. Il modello è quello d un processo d Posson con λ varable n modo perodco nel tempo. È questo uno de cas a cu fa rfermento l equazone (5.83). Essendo t gl stant d tempo n cu sono captat gl mpuls, costruamo n questo caso lo spettro mpulsvo (.7) S( ω) = exp( ω t ) Onde evtare error d arrotondamento è bene sostture nella (.7) ( ) N N k = t t t. A parte che a bassssme frequenze, se gl mpuls hanno denstà unforme S ( ω ) ha dstrbuzone esponenzale con valore aspettato. Anche nel caso degl event possono fars dagramm d fase, ft armonc, eccetera. 46

247 3 Appendc Eserctazon con Matlab Introduzone a Matlab Matlab è un software che comprende un lnguaggo d programmazone d alto lvello per problem tecnc e scentfc e un ambente nterattvo per l anals e lo svluppo d programm (ved fgura). Per esempo, se nella fnestra nterattva s dgta ( >> sono l prompt) >> freq=50; assegna 50 alla varable freq >> dt=0.000; assegna alla varable dt >> =:000; crea un vettore con numer da a 000 >> t=dt*; moltplca valor d per dt >> x=sn(*p*freq*t); crea un vettore x con valor del seno >> plot(t,x) crea un grafco con t ascssa e x ordnata 47

248 >> grd on aggunge una grgla al grafco >> appare la seguente fnestra: S not che se un struzone non vene termnata da un ; appare mmedatamente l rsultato: >> a=*8 a = 6 >> =:0.5: = >> I comand possono essere mess n fle (con estensone.m) che possono essere esgut semplcemente dgtando l nome del fle (senza l estensone). Possono metters n fle anche functons (analoghe, con qualche dfferenza, alle subroutne del Fortran e alle funzon del C). 48

249 Nell ambente nterattvo è presente un esteso Help, con la descrzone delle mglaa d funzon nterne e tutoral. Sono dsponbl (con lcenza a parte) numeros toolbox per specfc ambt applcatv (per esempo la statstca, l anals de segnal, le equazon dfferenzal alle dervate parzal, l mage processng e così va. Matlab è prodotto dalla MathWorks ( e nel sto sono dsponbl ottm manual d uso. Esstono clon gratut d Matlab. I due mglor sono Sclab ( svluppato a partre dal 990 dall INRIA, un sttuto nazonale d rcerca francese Octave ( che però gra solo sotto Lnux (s può usare sotto Wndows usando Cygwn, l ambente Lnux-lke d Wndows svluppato dalla Cygnus ( 49

250 Snag Snag è un toolbox d Matlab svluppato presso l gruppo d rcerca sulle onde gravtazonal del dpartmento, per l anals de dat e la smulazone de dat delle antenne gravtazonal. Comprende oltre 800 funzon Matlab e alcun strument grafc nterattv. Può essere scarcato dal sto dove sono dsponbl gude d uso e d programmazone. È stato svluppato tramte programmazone a oggett e la classe pù mportante è l gd (gruppo dat), che descrve un nseme d dat, per cascuno de qual c è un ascssa (per esempo temporale) e un ordnata. Lo strumento nterattvo baslare s nvoca dgtando al prompt snag e appare la fnestra Per ulteror dettagl s rmanda alle gude dsponbl nel sto. 50