Esame di Probabilità e Statistica del 9 luglio 2007 (Corso di Laurea Triennale in Matematica, Università degli Studi di Padova).

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1 Esame di Probabilità e Statistica del 9 luglio 27 Corso di Laurea Trieale i Matematica, Uiversità degli Studi di Padova). Cogome Nome Matricola Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 Somma Voto fiale Attezioe: si cosegao SOLO i fogli di questo fascicolo.

2 Esercizio 1. Si suppoga che il 5% degli uomii e lo.25% delle doe siao daltoici. Suppoiamo all iizio che vi sia lo stesso umero di uomii e di doe. 1. Qual è la percetuale di daltoici uomii e doe) ella popolazioe totale? 2. Se si sceglie a caso u daltoico, qual è la probabilità che questo sia u uomo? Suppoiamo ora che gli uomii siao il doppio delle doe. 3. Qual è la percetuale di daltoici ella popolazioe totale? 4. Se si sceglie a caso u daltoico, qual è la probabilità che stavolta sia ua doa? Esercizio 2. U dado o truccato è laciato successivamete. Siao X e Y, rispettivamete, il umero di laci ecessari per otteere u e u 5. Determiare: 1. le leggi margiali di X e Y ; 2. la legge cogiuta di X, Y ); 3. E[X]; 4. E[X Y 1]. Esercizio 3. La desità cogiuta di X e Y è data da fx, y) : 7 x 2 + xy 2 1. Verificare che è effettivamete ua desità. 2. Calcolare le desità margiali di X e Y. 3. Calcolare E[X] ed E[Y ]. 4. Calcolare P{X > Y }. ), x 1, y 2 Esercizio 4. Si suppoga che il peso i toellate) di u autoveicolo si distribuisca come ua variabile aleatoria di media 3 e deviazioe stadard.3. Nel seguito, supporremo di poter applicare l approssimazioe ormale. 1. Se cosideriamo autoveicoli, co che variabile aleatoria possiamo approssimare il peso totale? 2. Suppoiamo che la portata della campata di u pote sia 4 toellate, prima di riportare dai strutturali. Quati veicoli ci possoo trasitare cotemporaeamete affichè la probabilità che si possa daeggiare o superi Rispodere alla stessa domada suppoedo che la portata della campata sia ua variabile aleatoria di media 4 e di deviazioe stadard 4.

3 Esercizio 1. Defiiamo gli eveti Soluzioi D : {daltoico}, M : {uomo}, F : {doa}, dove ovviamete abbiamo M F Ω, M F. Allora i dati si possoo riscrivere così: PD M).5, PD F ) Abbiamo come ipotesi che PM) PF ).5. Allora usado la formula della probabilità totale calcoliamo PD) PD M)PM) + PD F )PF ) Usado la formula di Bayes, la probabilità richiesta è: PM D) PD M)PM) PD) Stavolta abbiamo come ipotesi che PM) 2, PF ) 1. Allora usado la formula 3 3 della probabilità totale calcoliamo PD) PD M)PM) + PD F )PF ) Usado la formula di Bayes, la probabilità richiesta stavolta è: PF D) PD F )PF ) PD) Esercizio 2. U possibile modo di modellizzare il feomeo è il seguete: cosideriamo ua successioe di variabili aleatorie idipedeti Z ) co legge uiforme sull isieme {1,..., }, e defiiamo X : if{ 1 Z }, Y : if{ 1 Z 5} 1. È oto che X e Y hao etrambelegge geometrica di parametro p : P{Z } P{Z 5} Dobbiamo calcolare P{X h, Y k} per h, k 1. Abbiamo tre casi. Se h k, allora P{X Y k} P{Z 1 / {5, },..., Z k 1 / {5, }, Z k 5, Z k } poichè l eveto è impossibile. Da questo risulta subito che X e Y o possoo essere idipedeti. Se h > k, abbiamo P{X h, Y k} P{Z 1 / {5, },..., Z k 1 / {5, }, Z k 5, Z k+1,..., Z h 1, Z h } ) k 1 ) h k 1 ) dove abbiamo usato l idipedeza delle Z ). Se h < k, co coti aaloghi arriviamo a P{X h, Y k} 2 3) h 1 5 ) k h 1 1 ) 2.

4 3. Per le proprietà della legge geometrica, abbiamo che E[X] E[Y ] 1 p. 4. Ituitivamete, l eveto {Y 1} è uguale all eveto {Z 1 5}, che implica {X > 1}. Per la proprietà di asseza di memoria della legge geometrica, sappiamo che la legge di X 1 codizioata a {X > 1} è acora Gep), e quidi la media di X X sapedo che si è verificato {Y 1} è uguale a Questo ragioameto ituitivo viee cofermato dai calcoli: difatti E[X Y 1] xpx Y x 1), dove per ogi x 2 abbiamo ) x ) p X Y x 1) p XY x, 1) p Y 1) e per x 1 abbiamo p X Y 1 1) p XY 1,1) p Y 1) E[X Y 1] ) x 2 5 x x 2 5 x 5 x 1 2 ) ) ; quidi x 5 ) x 2 5 ) x 2 1 x 1 ) x ) 1 5 Esercizio Bisoga calcolare 2 x 2 + xy ) 7 2 dy dx [ x 2 y + 1 )] xy2 dx 12 7 x2 + ) 7 x dx 2. Per ogi x [, 1] abbiamo f X x) e per ogi y [, 2] abbiamo f Y y) 2 x 2 + xy ) 7 2 dy 12 7 x2 + 7 x x 2 + xy ) dx y 3. Poichè sia X che Y soo limitate, appartegoo etrambe ad L 1, e possiamo calcolare 12 E[X] xf X x) dx 7 x3 + ) 7 x2 5 7, E[Y ] yf Y y) dy 7 y + 3 ) 14 y2 8 7, 4. Dobbiamo calcolare P{X > Y } P{ < Y < X < 1} 7 x3 + 3 ) 14 x3 dx 15 5 <y<x<1 fx, y) dy dx x fx, y) dy dx

5 Esercizio Chiamiamo X i il peso dell i-esimo veicolo. Allora E[X i ] 3, Var [X i ].3 2, ed è ragioevole supporre che le X i ) i siao idipedeti. Se cosideriamo veicoli, allora il loro peso totale sarà uguale a T : i1 X i, e quidi sicuramete E[T ] i1 E[X i] 3, e Var [T ] i1 Var [X i].3 2. Se ora suppoiamo di poter utilizzare l approssimazioe ormale, allora possiamo approssimare la legge di T co ua ormale N3,.9). 2. Calcoliamo { T 3.1 P{T > 4} P.3 ) Φ.3 } { 4 3 T 3 >.3 1 P.3 quidi ) 4 3 Φ.3.9 che sigifica q che, svolgedo i calcoli, diveta } L equazioe associata ha ua radice egativa ed ua positiva, quest ultima uguale a 11.48, quidi la relazioe del puto 2. è soddisfatta per 11.48, cioè per I altre parole, il massimo umero di veicoli che possoo trasitare cotemporaeamete sul pote è Defiiamo X N4, 4 2 ) idipedete da T. Allora la legge di T X si può approssimare co ua legge N3 4, ). Dobbiamo ora calcolare { } T X 3 4) P{T > X} P{T X > } P > ) Φ quidi ) 4 3 Φ che, svolgedo i calcoli, diveta 4 3 q Impoedo che 4 3, cioè che 4 3 1, si possoo elevare etrambi i membri al quadrato, e si ottiee L equazioe associata ha due radici positive, uguali rispettivamete a e 15.47, quidi sia gli 11 che gli 151 soo soluzioi. Impoedo ache la codizioe 1, si ottiee che bisoga per forza avere 11.

6 Esame di Probabilità e Statistica del 9 luglio 27 Corso di Laurea Trieale i Matematica, Uiversitá degli Studi di Padova) docete: Tiziao Vargiolu) Hao superato la prova: Berardi Cizia 17 Bertiato Maria Bovo Serea Chimiazzo Ariaa 18 Cosario Maria Dalla Torre Jessica Ferro Daiele Gazzi Rebecca 2 Maso Alessadra 17.5 Paroli Catia Pastro Valerio Xausa Ilaria 2 Visioe compiti, registrazioe voti e orali: mercoledì 11 luglio ore 17.3 aula 2AB/4. Verrà data precedeza alla registrazioe voti a chi accetta il voto dello scritto e ha il bous di + 3.