Algebre di Lie in caratteristica 0. Denis Nardin

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1 Algebre di Lie in caratteristica 0 Denis Nardin 21 febbraio 2012

2 Capitolo 1 Proprietà generali In questo seminario parlerò di algebre di Lie su di un campo k algebricamente chiuso e di caratteristica 0. In realtà non è davvero necessario richiedere che il campo sia algebricamente chiuso, tutto quello che dirò a parte un paio di lemmi varrà anche per campi non algebricamente chiusi e può essere ricavato da quel caso (usando astutamente la teoria di Galois). Tutti gli spazi vettoriali saranno finito-dimensionali salvo dove esplicitamente indicato. 1.1 Sommario Definizione di algebra di Lie. Esempi (gl(v ), sl(v ), t n, u n, l algebra di Lie di un algebra associativa...) Definizione di rappresentazione di un algebra di Lie. Esempi: rappresentazioni di definizione, rappresentazione aggiunta. In gl(v ) ogni elemento nilpotente è ad-nilpotente. Definizione di algebra di Lie nilpotente. Teorema di Engel. Definizione di nilradicale. Definizione di algebra di Lie risolubile. Proprietà elementari. Definizione di radicale. Definizione di algebra di Lie semisemplice. [gg] = g (senza dimostrazione). 1.2 Algebre di Lie e loro rappresentazioni Un algebra di Lie su di un campo k è uno spazio vettoriale g con una mappa [, ] : g g g bilineare tale che [a, a] = 0 per ogni a g (cioè [, ] è alternante) 1

3 Vale l identità di Jacobi: Un po di esempi di algebre di Lie: [a[bc]] + [b[ac]] + [c[ab]] = 0 Se V è uno spazio vettoriale finito dimensionale su k, gl(v ) è l algebra di Lie ottenuta prendendo come spazio vettoriale gli endomorfismi di V in sè, e come bracket il commutatore [a, b] = ab ba. Questo è in qualche senso l esempio più importante. gl n (k) l algebra di Lie delle matrici gl(k n ). Indicheremo con Se indichiamo con sl(v ) il sottospazio vettoriale di gl(v ) composto dalle matrici a traccia nulla abbiamo che è anche una sottoalgebra di Lie. Il sottospazio di gl n (k) composto dalle matrici triangolari superiori t n (k) è una sottoalgebra di Lie. Il sottospazio di t n (k) composto dalle matrici strettamente triangolari superiori u n (k) è una sottoalgebra di Lie. Più in generale, se A è un algebra associativa possiamo dare ad A una struttura di algebra di Lie prendendo come bracket il commutatore [a, b] = ab ba. Questa è detta algebra di Lie associata all algebra associativa A. Un ideale di un algebra di Lie è una sottoalgebra I g che assorbe il bracket. Si può quozientare per ideali (fai il quoziente come spazi vettoriali e il bracket passa al quoziente). Un esempio importante di ideale è l ideale derivato [gg] definito da [g, g] = Span([xy] x, y g). Osserviamo che [gl(v ), gl(v )] = sl(v ) e che [t n (k), t n (k)] = u n (k). Una rappresentazione di un algebra di Lie g è uno spazio vettoriale V con un omomorfismo di algebre di Lie g gl(v ). Esempi di rappresentazione. La rappresentazione aggiunta di un algebra di Lie g è quella data dall omomorfismo ad : g gl(v ) ad(x) = [x ]. 1.3 Algebre di Lie nilpotenti Un elemento x di g si dice ad-nilpotente se ad x è nilpotente, ad-semisemplice se ad x è diagonalizzabile. 2

4 Lemma 1. Per ogni x, y gl(v ) e per ogni i 1 vale (ad x) n y = n i=0 ( ) n ( 1) i x i yx n i. i In particolare ogni elemento nilpotente è ad-nilpotente. Dimostrazione. Induzione su n, banale. Quindi ogni elemento nilpotente di gl(v ) è ad-nilpotente. Lemma 2. Sia g gl(v ) una sottoalgebra di Lie composta di elementi nilpotenti. Allora esiste v V non nullo tale che gv = 0. Dimostrazione. Per induzione su dim g. Infatti se dim g = 1 è ovvio. Prendiamo ora h sottoalgebra massimale di g. Allora h agisce in modo naturale sullo spazio g/h, per cui per ipotesi induttiva (dato che dim h < dim g e ogni elemento di h è ad-nilpotente) abbiamo che esiste x g h tale che [hx] h. Ma allora h x è una sottoalgebra che contiene propriamente h, quindi è g. In particolare h è un ideale. Per ipotesi induttiva W = {v V hv = 0} è non banale. Inoltre xw W con un rapido conto (h(xv) = [hx]v + x(hv) = 0 per ogni v W ). Ma x è nilpotente, quindi ha il nucleo non banale. Perciò preso v W tale che xv = 0, da cui la tesi. La serie centrale di un algebra di Lie è la successione di ideali g [0] = g, g [n+1] = [gg [n] ]. Un algebra di Lie è detta nilpotente se g [n] = 0 per qualche n 0. Esempio: u n (k) è nilpotente. Le algebre di Lie nilpotenti sono caratterizzate dal teorema di Engel: Teorema 1. Sia g un algebra di Lie. elemento è ad-nilpotente. Allora è nilpotente se e solo se ogni Dimostrazione. Infatti se è nilpotente è evidente che ogni elemento è ad-nilpotente (se g [n] = 0, allora (ad x) n = 0 per ogni x g). Viceversa per induzione supponiamo ogni elemento di g è ad-nilpotente. Consideriamo ad g. Questa è una sottoalgebra di gl(g) fatta di elementi nilpotenti. Allora possiamo trovare x g tale che (ad y)x = [yx] = 0 per ogni y g. Perciò ky è un ideale. Allora l algebra g/y è composta di elementi ad-nilpotenti e ha dimensione strettamente minore della dimensione di g. Per induzione la tesi. Un ideale di g è ad-nilpotente se è composto da elementi ad-nilpotenti. Lemma 3. Sia g algebra di Lie. Allora la famiglia degli ideali ad-nilpotenti ha un massimo (chiamato il nilradicale di g). 3

5 Dimostrazione. Prendiamo una filtrazione in ideali g = I 0 I 1 I n = 0 in modo che I i /I i+1 sia un g-modulo irriducibile. Allora sia K i = ker(g gl(i i /I i+1 )) e poniamo N = n i=1 K i. N è chiaramente un ideale ed è composto da elementi ad-nilpotenti (se x N, abbiamo che (ad x) n = 0). Sia ora I un ideale ad-nilpotente. Abbiamo che I i /I i+1 è una I-rappresentazione, per cui l insieme W = {v I i /I i+1 Iv = 0} è non banale, per il teorema precedente. Ma si vede immediatamente che gw W (perchè I è un ideale) e per l irriducibilità di I i /I i+1 abbiamo che è tutto, perciò I ker K i. 1.4 Algebre di Lie risolubili e semisemplici Consideriamo la successione g n data da g 0 = g, g n+1 = [g n g n ]. Un algebra di Lie si dice risolubile se g n = 0 per qualche n 0. Esempio: t n è risolubile. Esempio: t n (k) è risolubile. Analogamente al teorema di Engel c è una caratterizzazione delle algebre di Lie risolubili. Teorema 2. Un algebra di Lie è risolubile se e solo se il suo ideale derivato [gg] è nilpotente. Dimostrazione. No dimostrazione. Noi saremo interessati agli ideali risolubili di un algebra. Proposizione 1. Se g è un algebra risolubile allora ogni sottoalgebra e ogni algebra quoziente è risolubile. Se I è un ideale risolubile di g tale che g/i è risolubile allora g è risolubile. Se I, J sono due ideali risolubili di g allora I + J è un ideale risolubile. Dimostrazione. Il primo fatto è banale (se h g abbiamo che h n g n e analogamente per i quozienti). Il secondo segue dal fatto che (g/i) n = 0 g n I Il terzo è perchè I è un ideale di I + J e (I + J)/I = J/(J I). 4

6 Osserviamo quindi che esiste un unico ideale risolubile massimale, chiamato radicale di g. Un algebra di Lie si dice semisemplice se il suo radicale è banale. Proposizione 2. Se g è un algebra di Lie semisemplice allora [gg] = g. In particolare l unica rappresentazione unidimensionale è quella banale, perchè se ρ : g gl 1 (k) è una rappresentazione allora ρ(g) = ρ([gg]) [gl 1 (k), gl 1 (k)] = sl 1 (k) = 0. 5