Un quaternione è un numero complesso con quattro componenti anziché due. Si scrive così :

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1 Un quaternione è un numero complesso con quattro componenti anziché due. Si scrive così : Q = q r + q i i + q j j + q k k ove le quantità q sono numeri reali e i, j e k sono tre unità immaginarie. Quando q j = q k = 0 il quaternione degenera in un usuale numero complesso e se anche q i è nullo si ha un normalissimo numero reale. L algebra dei quaternioni è simile a quella dei numeri complessi, tenendo conto che ogni unità immaginaria ha quadrato pari a 1 e che i prodotti di unità immaginarie diverse seguono le regole: ij = k jk = i ki = j. Ne segue che, diversamente da quanto avviene per i numeri complessi, il prodotto di quaternioni non è, in generale, commutativo. Spesso si adotta, per i quaternioni, una notazione compatta che li fa assomigliare maggiormente ai numeri complessi, purché non ci si lasci trarre in inganno dalla notazione stessa: se Q è un generico quaternione, oltre a scriverlo come già indicato, si può scrivere Q = Q r + I Q I con ovvio significato dei termini (I è una sorta di vettore di unità immaginarie e Q I il vettore delle tre componenti immaginarie), o anche come somma di un numero reale e di un quaternione immaginario puro: Q = q + U; U I U. Come avviene per i numeri complessi, anche per i quaternioni è definito il quaternione coniugato Q come quello che ha la stessa parte reale e parte immaginaria di segno opposto, ossia Q q r q i i q j j q k k Q r I Q I q + U. 1

2 Per le regole d algebra appena dettate si ha che il prodotto QQ è un numero reale non negativo pari a QQ = q r + q i + q j + q k = Q r + Q I = q + UU che non si fa fatica a denominare modulo di Q al quadrato (in perfetta analogia con i numeri complessi). I quaternioni immaginari puri, ossia quelli per cui Q r = q r = q = 0, come i numeri immaginari puri del piano complesso hanno la proprietà ovvia UU = U essendo per essi, con ogni evidenza, U U; ma per il fatto di avere tre sole componenti hanno anche la bella proprietà di poter essere messi in corrispondenza biunivoca con i vettori dello spazio ordinario. Anzi, se u 1 e u sono due di tali vettori e U 1 e U sono due quaternioni immaginari puri con le componenti rispettivamente e ordinatamente uguali a quelle dei due vettori, è immediato osservare che il modulo quadro dei due vettori coincide con l opposto del quadrato dei due quaternioni rappresentativi u l = U l = U l U l l = 1, e che il prodotto vettoriale tra u 1 e u produce un vettore le cui componenti sono in esatta corrispondenza con le componenti immaginarie del quaternione prodotto dei due quaternioni rappresentativi, la parte reale risultando essere l opposto del prodotto scalare: u 1 u s (s 1, s, s 3 ) U 1 U S u 1 u + s 1 i + s j + s 3 k = u 1 u + IS In altre parole il quaternione prodotto di due quaternioni immaginari puri contiene sia il prodotto scalare sia il prodotto vettoriale dei due vettori rappresentati. E come i numeri complessi di modulo 1 giacciono sulla circonferenza unitaria così i quaternioni di modulo 1 giacciono sulla superficie della sfera unitaria S 4 come appare evidente dall espressione stessa del modulo scritta in precedenza. Due numeri complessi coniugati di modulo 1 sono sempre autovalori di una matrice ortogonale reale : si dice pertanto, con ragionamento ovvio, che i numeri complessi di modulo 1 sono una rappresentazione del gruppo delle rotazioni del piano.

3 In maniera del tutto analoga è facile riconoscere che i quaternioni di modulo 1 sono una rappresentazione del gruppo delle rotazioni dello spazio ordinario potendosi mettere in relazione biunivoca con le matrici ortogonali 3 3; più precisamente le tre componenti immaginarie di un quaternione di modulo 1 sono l autovettore reale di una matrice ortogonale 3 3 (ossia l asse della rotazione) e la componente reale dello stesso quaternione rappresenta il coseno della metà dell angolo di rotazione attorno a quell asse. Ciò si dimostra in modo abbastanza semplice osservando che cosa sia il prodotto QV Q ove Q è un generico quaternione e V è un quaternione immaginario puro, ossia un quaternione che rappresenta un vettore dello spazio ordinario nel senso descritto sopra. Calcolando il coniugato del prodotto in questione si trova QV Q Q V Q ove si è sfruttato il fatto che il coniugato di un prodotto è il prodotto dei coniugati presi in ordine inverso (basta sperimentare per credere). Essendo, per la natura di V, V = V appare evidente che il prodotto QV Q ha generato un altro quaternione immaginario puro, ossia ha trasformato il vettore rappresentato v in un altro vettore; dunque l operazione QV Q è una trasformazione dello spazio ordinario in sé stesso ed è per giunta immediato constatare che si tratta di una trasformazione lineare, il che significa che le può essere associata univocamente una matrice 3 3. Se poi il quaternione Q è di modulo 1 si trova facilmente che la matrice rappresentativa della trasformazione generata da Q è ortogonale, come si era anticipato. Infatti, quando Q è di modulo 1, la trasformazione QV Q conserva la norma dei vettori cui venga applicata, ossia il modulo del quaternione immaginario di partenza: QV Q QV QQV Q QV Q Q V Q = QV QQV Q = QV V Q = Q V Q = V A questo punto si è mostrato che esiste una relazione biunivoca tra quaternioni Q di modulo 1 e matrici ortogonali 3 3 R Q e questa relazione è data da R Q v = w QV Q = W ove V e W sono i quaternioni immaginari puri che rappresentano rispettivamente i vettori v e w. 3

4 Sappiamo però che una matrice ortogonale 3 3 ammette sempre l autovalore reale λ = 1 cui corrisponde un autovettore altrettanto reale u che giace lungo l asse di rotazione: R Q u = u In una opportuna base, di cui u fa parte, ogni matrice ortogonale 3 3 può pertanto essere scritta nella forma R Q = cos θ sinθ 0 sinθ cos θ in cui è posto in chiara evidenza l angolo di rotazione θ attorno all asse (tecnicamente si dice che il gruppo delle matrici ortogonali 3 3 ammette una rappresentazione riducibile al prodotto cartesiano dell identità per una matrice ortogonale ). Nella rappresentazione dei quaternioni la relazione che fornisce l asse di rotazione è data, evidentemente, da QUQ = U ove U è il quaternione immaginario puro associato a u. Moltiplicando a destra l ultima espressione per Q si ottiene QU = UQ ossia, scrivendo esplicitamente il quaternione Q, (Q r + IQ I )U = U(Q r + IQ I ) che fornisce immediatamente, eseguendo i prodotti, Q I U = UQ I. Si vede che i due quaternioni immaginari puri U e Q I hanno un prodotto commutativo; ma questo può accadere soltanto se tale prodotto dà un quaternione reale (ossia con parte immaginaria nulla) perché si è visto che il prodotto di due quaternioni immaginari puri è, in genere, anticommutativo 4

5 dovendo rappresentare il prodotto vettoriale dei due vettori rappresentati: infatti, coerentemente, il prodotto vettoriale commuta solo quando è nullo. La sola maniera di ottenere un unico quaternione reale dai due prodotti Q I U e UQ I è appunto che Q I sia proporzionale a U: Q I = cu con c reale (il prodotto vettoriale di due vettori è nullo proprio quando i due vettori sono collineari), nel qual caso tale quaternione reale è semplicemente cu. Con ciò si è provato che la parte immaginaria del quaternione Q di modulo 1 associato alla matrice ortogonale R Q è diretto come l autovettore reale di quest ultima. Per mostrare come la parte reale sia collegata all angolo di rotazione basta notare come viene modificato un quaternione immaginario puro IW che rappresenti un generico vettore w giacente nel piano ortogonale a u andando a calcolare il prodotto scalare tra w e il suo trasformato (che, per quanto sopra detto, resta ortogonale a u); si osservi che il prodotto scalare tra due vettori ordinari a e b è efficacemente rappresentato tramite il quaternione reale (ossia con parte immaginaria nulla) che appare a destra nella seguente corrispondenza: a b 1 (A B + BA) A e B essendo i quaternioni immaginari puri che rappresentano i due vettori. Andando quindi a valutare l espressione 1 (QWQ W + W QWQ) che rappresenta per l appunto il prodotto scalare tra w e il proprio trasformato w si trova, utilizzando passaggi già effettuati in precedenza, w w w R Q w = w cos θ 1 (QW QW + WQW Q) Scrivendo esplicitamente il quaternione Q nella forma Q = q + U, con U immaginario puro e diretto, come si è visto, lungo l asse di rotazione, l ultima espressione dà, in successione 1 [ ] (q + U)W (q U)W + W(q + U)W (q U) = = 1 [ ] (qw + UW)(qW UW) + (qw + WU)(qW W U) 5

6 Conviene ricordare, a questo punto, che U e W rappresentano vettori tra loro perpendicolari; ciò implica UW + W U 0. Tenendone opportuno conto l ultima espressione si riscrive 1 [ ] (qw W U)(qW UW) + (qw + WU)(qW + UW). Sviluppando i prodotti tramite ordinarie operazioni algebriche si ottiene 1 [ q W qw UW + W U W + q W + qwuw + WU W ]. Tenendo ancora conto dell ortogonalità di U e W (da cui qwuw qw UW 0) e del fatto che U U (essendo U immaginario puro) l ultima espressione si riduce a 1 [ q W U W ] W (q U ) Finalmente, ricordando che Q = q + U è, per ipotesi, un quaternione di modulo 1 (ossia q + U 1) e riprendendo il termine iniziale della catena di uguaglianze fin qui seguita si trova w cos θ W (q 1). Ma W è proprio il quaternione immaginario puro che rappresenta il vettore w, per cui w W, e quindi, in definitiva che fornisce, come si era anticipato, cos θ q 1 q cos θ. Osserviamo, per concludere, che i due quaternioni di modulo 1 Q 1 = 1 + i0 + j0 + k0 Q = 1 + i0 + j0 + k0 rappresentano entrambi la matrice ortogonale identità (per la quale non ha senso parlare di asse di rotazione, che degenera nel vettore nullo) ma il primo effettua una rotazione di angolo 0 mentre il secondo effettua (a rigore di termini) una rotazione di un angolo π. 6