PNI 2005 SESSIONE STRAORDINARIA - QUESITI QUESITO 1

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1 PNI 005 SESSIONE STRAORDINARIA - QUESITI QUESITO 1 Si considerino un tronco di pirmide qudrngolre regolre, l cui bse mggiore bbi re qudrupl dell minore, e un pino equidistnte dlle bsi del tronco. Dire se i dti sono sufficienti per clcolre il rpporto fr i volumi dei due tronchi in cui il tronco dto è diviso dl pino α. L bse mggiore e l bse minore hnno re: A R = πr, A r = πr Siccome l bse mggiore h re qudrupl di quell dell bse minore, risult: R = r. Osservimo che, per il teorem di Tlete, essendo KM=MH e KD prllelo MG e HB, risult: NG = 1 JB = 1 r quindi: MG = MN + NG = r + 1 r MG = 3 r Pssimo quindi clcolre i volumi dei due tronchi di cono. Quello di rggi BH e GM ed ltezz MH h volume: V 1 = 1 3 π(bh + MG + BH MG) h = 1 3 π (R r + 3 rr) h = πh 6 (4r r + 3r ) = = πh r ( ) = 37 4 πhr = V 1 Liceo Scientifico PNI 005 1/ 9

2 Clcolimo or il volume del tronco di cono di rggi GM e DK ed ltezz KM: V = 1 3 π(mg + KD + KD MG) h = 1 3 π (9 4 r + r + 3 r r) h = πh 6 (19 4 ) = 19 4 πhr = V Il rpporto fr i volumi dei due tronchi è pertnto clcolbile ed è: 37 V 1 = 4 πhr 37 = V πhr QUESITO Si ABC un qulsisi tringolo. Sui suoi lti ed esternmente d esso si costruiscno i tre qudrti ABDE, BCFG e CAHL. Dimostrre, col metodo preferito, che i tringoli AHE, BDG e CFL sono equivlenti l tringolo ABC. Clcolimo le ree dei tringoli in oggetto medinte l trigonometri, secondo cui l re di un tringolo è ugule l semiprodotto di due lti per il seno dell ngolo compreso. A(AHE) = 1 bc sen(eah) = 1 bc sen(π α) = 1 bc sen(α) = A(ABC) A(BDG) = 1 c sen(dbg) = 1 c sen(π β) = 1 c sen(β) = A(ABC) A(CFL) = 1 b sen(fcl) = 1 b sen(π γ) = 1 b sen(γ) = A(ABC) Liceo Scientifico PNI 005 / 9

3 QUESITO 3 Luc e Cludi devono clcolre il vlore di un cert espressione contenente logritmi. Trovno come risultti rispettivmente: log 7 + log 1, + log 81 Ammesso che il risultto ottenuto d Luc si estto, si può concludere che quello ottenuto d Cludi è sbglito? Fornire un rispost esurientemente motivt. Risultto Luc: log 7 + log 1 = log log 3 4 = 3 log 3 + log 3+log 4 = = 4 log 3+log = 4 log 3+ log = 4 log 3 + Risultto Cludi: + log 81 = + log 3 4 = + 4 log 3 Quindi i risultti ottenuti d Luc e Cludi sono uguli. QUESITO 4 Dimostrre che ogni funzione del tipo y = sen x + b senx cosx + c cos x, dove, b, c sono numeri reli non contempornemente nulli, h di regol per grfico un sinusoide. C è qulche eccezione? Ricordimo che un funzione sinusoidle è riconducibile ll form: y = A sen(αx + β) (1) Tenendo presenti le formule di bisezione e di dupliczione l funzione può essere scritt nell form: y = ( 1 cosx ) cosx bsenx + c (1 ) = 1 ( cosx + bsenx + c + c cosx) y = 1 [b senx + (c )cosx + + c] Se b=0 e =c (m diversi d zero) l funzione si riduce ll rett di equzione: y = 1 ( + c), quindi non è un funzione sinusoidle. L funzione dt non è sinusoidle nenche qundo + c 0, cioè c. Anlogmente non è sinusoidle se b = 0 e c 0 oppure se b = 0 e c 0 Liceo Scientifico PNI 005 3/ 9

4 In tutti gli ltri csi l funzione si può ricondurre ll form (1). Ricordimo inftti che l funzione linere in seno e coseno, di equzione y = senx + b cosx si può sempre ricondurre ll form y = A sen(x + α) supponendo >0 (ltrimenti si rccoglie -1) ponendo A = + b e α = rctg ( b ). QUESITO 5 Enuncire il principio d induzione mtemtic e pplicrlo ll dimostrzione dell seguente relzione: n i 3 = ( i) n l qule esprime un proprietà dei numeri nturli conosciut come «teorem di Nicomco» (d Nicomco di Gers, filosofo e mtemtico ellenico, vissuto intorno ll nno 100 d.c.). (1) Considerimo un proprietà P che dipende d un numero nturle n. Il principio d induzione fferm che: se un proprietà P è ver per un numero nturle n 0 e, suppost ver per n si dimostr ver per n+1, llor l proprietà è ver per ogni n n 0. L proprietà d dimostrre è ver per, inftti equivle : 1 3 = (1). Supponimo che l proprietà si ver per n, cioè che vlg l (1), e dimostrimo che è ver per n+1, cioè che: n+1 i 3 = ( i) n+1 Ricordimo che l somm dei primi n numeri nturli è ugule : n = Risult: n+1 n(n + 1). i 3 = n 3 + (n + 1) 3 = [ n 3 ] + (n + 1) 3 = = ( n) + (n + 1) 3 n(n + 1) = [ ] + (n + 1) 3 = n (n + 1) + (n + 1) 3 = 4 Liceo Scientifico PNI 005 4/ 9

5 = n (n+1) +4(n+1) 3 4 = (n+1) (n +4n+4) = (n+1) (n+) 4 4 n+1 = ( (n + 1)) = ( i) = [ (n+1)(n+) ] = QUESITO 6 Il limite dell funzione (1 + 1 x )x per x + è: A) e B) 1 e C) e D) 1 e dove e è l bse dei logritmi nturli. Un sol rispost è corrett: individurl e fornire un esuriente spiegzione dell scelt opert. Ricordndo il limite notevole: lim (1 + 1 x x + x ) = e si h: lim (1 + 1 x x + x ) = lim [(1 + 1 x x + x ) L rispost corrett è quindi l C. ] 1 = e 1 = e QUESITO 7 Clcolre l derivt, rispetto x, dell funzione: x dt x sen t. Ricordimo che in bse l teorem fondmentle del clcolo integrle ed l teorem sull derivt dell funzione compost si h che: x D ( f(t)dt g(x) ) = f (x) e D ( f(t)dt ) = f(g(x)) g (x) Notimo che l funzione integrnd non è continu se x = kπ. Considerimo un punto compreso fr x e x; risult (si per x>0 che per x<0): Liceo Scientifico PNI 005 5/ 9

6 x dt = dt x + dt x x dt = + dt sen t sen t sen t sen t sen t x D ( x x x dt 1 ) = sen t sen( x) ( 1) + 1 sen(x) = 1 sen(x) + sen(x) = cosx + 1 senxcosx QUESITO 8 Dopo ver spiegto, ttrverso un dimostrzione o un interpretzione geometric, perché l equzione x 3 + x + 1 = 0 mmette un e un sol soluzione rele, esplicitre un lgoritmo idoneo clcolrne un vlore pprossimto. Considerimo l funzione di equzione: f(x) = x 3 + x + 1 Trttndosi di un funzionle rzionle inter di grdo dispri ess si nnull lmeno un volt. Clcolimo l derivt prim: f (x) = 3x + 1 > 0 per ogni x, quindi l funzione è sempre crescente: si nnull pertnto solo un volt. Qunto detto per l funzione permette di concludere che l equzione dt mmette un sol soluzione rele. Per trovre un vlore pprossimto dell rdice dobbimo prim isolrl, trovndo un vlore in cui l funzione è negtiv ed un in cui è positiv. Per effetture tle ricerc notimo che per x=0 l funzione vle 1 e che per vlori positivi di x è sempre positiv. Ponendo x= -1 l funzione vle 1, quindi l rdice richiest è compres fr -1 e 0. Possimo pplicre, per esempio, il metodo di bisezione. f(x) = x 3 + x + 1, [; b] = [ 1; 0]; f() = f( 1) = 1 < 0 ; f(b) = f(0) = 1 > 0 c = c = + b + b = = = 0.5 ; f( 0.5) = 0.38 > 0, c b, [; b] = [ 1; 0.5] = 0.75 ; f( 0.75) = 0.17 < 0, c, [; b] = [ 0.75; 0.5] + b c = = = 0.63 ; f( 0.63) = 0.13 > 0, c b, [; b] = [ 0.75; 0.63] Quindi l rdice c dell equzione dt pprtiene ll intervllo ( 0.75; 0.63) Indichimo un progrmm in pscl che permette di trovre l rdice con l pprossimzione volut. Funzione f(x) = x 3 + x + 1, per l intervllo [-1;0], pprossimzione 10. Liceo Scientifico PNI 005 6/ 9

7 progrm bisezione; Uses Crt; Const =-1; b=0; n=; Vr c:rel; rispost:chr; Procedure Presentzione; Begin Writeln('Questo progrmm permette di clcolre l rdice di '); writeln('x^3 +x+1 = 0 nell''intervllo [-1;0]'); Writeln(' meno di 10 ^(-) '); Writeln;writeln; End; Function f(x:rel):rel; Begin f:=x*x*x+x+1 End; Procedure Elbor; Vr errore,x1,x:rel; Begin errore:=exp(-*ln(10)); x1:=; x:=b; (*10^(-)*) Repet c:=(x1+x)/; If f(c)*f(x1)<0 then x:=c ELSE x1:=c Until (bs(x-x1)<errore) or (f(c)=0) end; Procedure Comunic; Begin Writeln('L rdice, con l''pprossimzione richiest: ',c:10:n); Writeln End; BEGIN (*min*) Repet Clrscr; Presentzione; Elbor; Comunic; Write('Ancor? (s/n) '); Redln(rispost); Until rispost in ['n','n'] END. Il progrmm può essere provto on line copindolo nell pposit finestr l seguente link: L esito è il seguente: Free Pscl Compiler version.6.4 [015/03/5] for x86_64 Copyright (c) by Florin Klempfl nd others Trget OS: Linux for x86-64 Questo progrmm permette di clcolre l rdice di X^3 +x+1 = 0 nell'intervllo [-1;0] meno di 10 ^(-) L rdice, con l'pprossimzione richiest : Ancor? (s/n) Liceo Scientifico PNI 005 7/ 9

8 QUESITO 9 Un urn contiene delle plline che possono essere binche o nere, di vetro o di plstic. Precismente: 135 sono binche, 115 di vetro; inoltre 45 plline di vetro sono binche e 80 plline di plstic sono nere. Si estre cso un pllin: qul è l probbilità che si ner e di vetro? Rppresentimo l situzione con un digrmm di Eulero-Venn: Le plline di vetro sono 115, di cui 45 binche, quindi le plline di vetro nere sono =70. Siccome le plline di plstic nere sono 80, le plline nere srnno 70+80=150. Le plline binche sono 135, di cui 45 di vetro, quindi le plline binche di plstic sono 90. L situzione complet è indict nel grfico seguente: Abbimo in totle 85 plline, di cui 70 nere di vetro. L probbilità che un pllin estrtt si ner e di vetro è quindi: p = = % 57 Liceo Scientifico PNI 005 8/ 9

9 QUESITO 10 Nelle ultime 10 estrzioni non è uscito il «47» sull Ruot di Npoli. Qul è l probbilità che non esc neppure nelle prossime 10 estrzioni ed esc invece nell 11-esim estrzione? L probbilità che ESCA il 47 sull Ruot di Npoli è 5/90; l probbilità che NON ESCA è 85/90. Il ftto che nelle ultime 10 estrzioni il 47 non si uscito non condizion l esito delle successiv estrzioni. Clcolimo quindi l probbilità che non esc per 10 volte ed esc l undicesim volt: p = ( ) ( 5 ) % 90 Con l collborzione di Angel Sntmri Liceo Scientifico PNI 005 9/ 9