REGOLATORI PID. Modello dei regolatori PID. Metodi di taratura automatica

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1 REGOLATORI PID Modello dei regolatori PID Metodi di taratura automatica Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 1

2 MODELLO DEI REGOLATORI PID Larga diffusione in ambito industriale? controllo soddisfacente di un ampia gamma di processi? semplici regole di taratura automatica? realizzazione con tecnologie varie (meccaniche, pneumatiche, idrauliche, elettroniche analogiche e digitali) Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 2

3 Variabile di controllo u generata come somma di tre contributi:? proporzionale all errore e = w ; y? proporzionale all integrale di e (valor medio): errore nullo asintoticamente per segnali di riferimento o disturbi additivi costanti? proporzionale alla derivata di e: previsione dell andamento dell errore Struttura ideale (sistema dinamico SISO lineare stazionario a tempo continuo, improprio) u(t) = K P e(t) +K I Z t de(t) e( )d + K D t 0 dt? K P 0: coefficiente dell azione proporzionale (banda proporzionale PB = 100=K P )? K I 0: coefficiente dell azione integrale? K D 0: coefficiente dell azione derivativa Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 3

4 Trasformazione di Laplace (t 0 = 0) R PID = R P + R D (s) +R I (s) = K P + K I s = K P + K Ds = K 2 Ds + KP s + K I s 1+ 1 T I s + T Ds = K P T I T D s 2 + T I s +1 T I s? T I = K P =K I : tempo integrale (o di reset)? T D = K D =K P : tempo derivativo R P w + y + RI () + s + u RD () s Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 4

5 Diagrammi di Bode (due zeri a Re < 0 e un polo nell origine) Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 5

6 Azione derivativa realizzabile R a D (s) = K P T D s 1+ T D N s = K D s 1+ K D K P N s? N > 0: il polo s = ;N=T D all esterno della banda di frequenza di interesse nel controllo (N = 5 20) PID in forma reale R PID = K P T I s + = K P + K I s + K D s T D 1+ T D N s 1+ K D K P N s s 1 C A? zeri praticamente inalterati (per N sufficientemente grande)? diagrammi di Bode asintotici (linea grigia a tratti precedente) Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 6

7 Combinazione delle varie azioni tranne:? sola azione derivativa (zero nell origine!)? azione integrale e derivativa (buco in frequenza!) Regolatori P (K I = K D = 0 o T I! 1, T D = 0) R P = K P? controllo di processi asintoticamente (o semplicemente) stabili? prestazioni statiche non richiedono l inserimento di un azione integrale Regolatori I (K P = K D = 0) R I (s) = K I s? rete ritardatrice con polo nell origine e zero all infinito (restringimento della banda passante per compensare il contributo di fase negativo)? requisito stringente sulle prestazioni statiche, ma non sulle prestazioni dinamiche Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 7

8 Regolatori PI (K D = 0 o T D = 0) R PI (s) = K P s + K I s = K P 1+T I s T I s? rete ritardatrice con polo nell origine e zero in s = ;1=T I? azione integrale per prestazioni statiche, con banda passante più ampia grazie alla presenza dello zero? molto diffusi nel controllo di processi industriali, descrivibili come la serie di una funzione di trasferimento del primo ordine e di un eventuale ritardo (la presenza di un ulteriore zero di un PID completo porterebbe a un allargamento eccessivo della banda passante, nonché a difficoltà di taratura) Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 8

9 Regolatori PD (K I = 0) R PD (s) = K P + K D s = K P (1 + T D s)? rete anticipatrice con zero in s = ;K P =K D = ;1=T D e polo all infinito (polo aggiuntivo in alta frequenza per la realizzabilità)? non vi sono problemi di stabilità o di prestazioni statiche? necessario ottenere la banda passante più ampia possibile Regolatori PID? polo nell origine e due zeri in s = ;T I p T I (T I ; 4T D ) 2T I T D (polo aggiuntivo in alta frequenza: zeri praticamente invariati)? zeri: reali per T I 4T D, coincidenti in s = ;1=2T D per T I = 4T D (per semplificare la taratura)? rete a sella? controllo per vaste classi di sistemi Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 9

10 METODI DI TARATURA AUTOMATICA Funzione di trasferimento del sistema controllato nota? parametri del PID tarati per mezzo di tecniche di sintesi Determinazione onerosa del modello rispetto all esigenza di progettare un regolatore in grado di fornire prestazioni accettabili? metodi automatici di taratura che consentono di pervenire direttamente alla sintesi del regolatore a partire da specifiche prove effettuate sul processo? sistema controllato assunto asintoticamente stabile e con guadagno positivo Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 10

11 Metodi in anello chiuso Metodo di Ziegler e Nichols in anello chiuso? all inizio: sola azione proporzionale, innalzando K P sino a portare il sistema retroazionato al limite di stabilità (y in oscillazione permanente di periodo T a fronte di variazioni a scalino imposte a w): guadagno critico K P y T K P < K P K P t Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 11

12 Regole di taratura K P T I T D P 0:5 K P PI 0:45 K P 0:8 T PID 0:6 K P 0:5 T 0:125 T Interpretazioni? K P = k 0 m di G(s) (margine di guadagno finito)? T = 2=! 0 1/ k' m Im Gj ( w' p ) 1 A 0 Re Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 12

13 Esempio G(s) = 1 (1 + s) 3?! 0 = p3, k 0 m = 8 ) K P = 8, T ' 3:63? PI: K P = 3:6, T I = 2:9 ) ' m ' 14,! c ' 1:2, k m ' 1:5 (prestazioni poco soddisfacenti)? PID (N = 10): K P = 4:8, T I = 1:815, T D = 0:454 ) ' m ' 29,! c ' 1:4, k m ' 9 (prestazioni migliori, zeri del PID coincidenti in s = ;1:1 e prossimi ai poli di G(s)) Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 13

14 Metodi in anello aperto Metodo di Ziegler e Nichols in anello aperto? modello approssimato del sistema da controllare G a (s) = 1+Ts e;s Regole di taratura P PI PID K P T I T D T 0:9T 3 1:2T 2 0:5? regolatore PI, =T 2 [0:1 1] ' m = 77:8 T +14:95 k m = 0:87 T +1:47 Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 14

15 Esempio (precedente)? modello approssimato: = 1, T = 1:83, = 1:17? regolatore PI: K P = 1:41, T I = 3:51 ) ' m ' 63,! c ' 0:59, k m ' 4:15? regolatore PID: K P = 1:87, T I = 2:34, T D = 0:59, N = 10 ) ' m ' 62:5,! c ' 0:74, k m ' 21:3 Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 15