Capitolo Terzo. rappresenta la rata di ammortamento del debito di un capitale unitario. Si tratta di risolvere un equazione lineare nell incognita R.

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1 70 Capitolo Terzo i cui α i rappreseta la rata di ammortameto del debito di u capitale uitario. Si tratta di risolvere u equazioe lieare ell icogita R. SIANO NOTI IL MONTANTE IL TASSO E IL NUMERO DELLE RATE Dalla secoda delle (1.1) si ha che la rata R è data da: S R = (2.3) Ache i reciproci di s i soo tabulati ei protuari e soo idicati co σ i cioè: σ i s i Pertato la (2.3) che cosete di risolvere il problema della determiazioe della rata costate posticipata R da versare per ai per costituire il capitale S si scrive sotto la forma: = 1 s i R= σ (2.4) S i i cui σ i rappreseta la rata per la costituzioe di u capitale uitario. Ache i questo caso si tratta di risolvere u equazioe lieare ell icogita R. Co aaloghi ragioameti si può ricavare la rata R per qualsivoglia tipo di redita fio ad ora esamiata. A questo puto è iteressate ricavare la relazioe sussistete tra α i e σ i ; essa si ottiee dalla differeza: da cui: ESEMPIO 1 α σ i i i iv i = = = 1 v r 1 1 v ( r 1) v 1 v i i iv i 1 v = ( ) = i 1 v 1 v α = σ + i i i (2.5) Calcolare la rata aua posticipata ecessaria per costituire i 11 ai al tasso del 5% il capitale di La rata si determia applicado la (2.4) al capitale di da costituire: R = σ Dalle tavole si evice che σ = per cui la rata di costituzioe del capitale di è: R = = 68981

2 Problemi sulle redite 71 La fuzioe RATA di Excel cosete di risolvere il problema della ricerca della rata di ua redita dati: il tasso d iteresse effettivo di periodo della redita; il umero di rate della redita; il valore attuale e/o il motate della redita (uo dei due può ache essere omesso); la scadeza dei vari pagameti: all iizio o alla fie di ciascu periodo (quest ultimo può ache essere omesso). La sua sitassi è ifatti RATA(tasso_it;periodi;val_attuale;val_futuro;tipo). Il valore che si ottiee ha sego egativo i quato si tratta di u pagameto. Il foglio elettroico relativo all ESEMPIO 1 è illustrato di seguito.

3 72 ESEMPIO 2 Capitolo Terzo Calcolare la rata di ua redita semestrale posticipata immediata di durata pari a 12 ai che ha valore attuale di a u tasso effettivo d iteresse del 5%. Cosiderado l espressioe (4.17) del valore attuale di ua redita frazioata immediata e posticipata vista el capitolo secodo si ha che oto il valore attuale della redita il tasso d iteresse e il umero di ai la rata costate è: 1 j ( 2) R = a Sulle tavole fiaziarie è tabulato il reciproco di a che è α = ; ioltre è tabulato il reciproco di j ( 2 ) ossia il fattore di correzioe 005 ed è: 005 j ( 2) Quidi la rata è: j ( 2) 1 = = R = = RICERCA DEL NUMERO DELLE RATE Ache qui bisoga distiguere a secoda che sia oto il valore attuale o il motate della redita. SIANO NOTI IL VALORE ATTUALE LA RATA COSTANTE E IL TASSO Dalla prima delle (1.1) si ha: da cui mediate i logaritmi: A ( 1+ i) = 1 R i A R i log 1 = log( 1+ i) (3.1) Dalla (3.1) si evice che affiché il problema della ricerca del umero delle rate abbia seso deve essere A R i < 1 ossia: R > Ai Se dalla (3.1) risulta u valore di itero allora il problema della determiazioe del umero delle rate è risolto. Può risultare ivece u umero tale che: = 0 + f i cui 0 è il massimo itero coteuto i e f è ua frazioe propria.

4 Problemi sulle redite 73 Poiché co 0 rate o si estigue il debito A è ecessario ricorrere a degli artifici; i pricipali soo i segueti: I. si modifica la rata R per eccesso per ammortizzare il debito i 0 periodi otteedo la rata R' = Aα 0 i co R' > R; II. si modifica la rata R per difetto per ammortizzare il debito i periodi otteedo la rata R" = Aα i co R" < R; III. si versao 0 rate di importo R estiguedo i tal modo ua parte di debito A il cui valore al tempo zero è pari a A' = Ra 0 i i modo che il debito residuo sia pari ad A A' si effettua u versameto itegrativo alla fie (avedo supposto la redita posticipata) del periodo di importo pari a R"' = ( A A' )( + i) ; IV. si versao 0 rate di importo R e si effettua u versameto itegrativo alla fie del periodo 0 + f mediate la rata R IV = Rf i cui f è l approssimazioe dello sviluppo di (1 + i) f i serie di poteze di i. SIANO NOTI IL MONTANTE LA RATA COSTANTE E IL TASSO Dalla secoda delle (1.1) si ha: da cui mediate i logaritmi: S ( 1+ i) = + 1 R i S R i log + 1 = log( 1+ i) (3.2) Se dalla (3.2) risulta u valore di itero allora il problema della determiazioe del umero delle rate è risolto. Ache i questo caso può risultare ivece = 0 + f. Pertato co 0 rate o si costituisce il capitale S si rede ecessario quidi ricorrere ache i questo caso a degli artifici; i pricipali soo i segueti: I. si modifica la rata R per eccesso per costituire il capitale i 0 periodi otteedo la rata R' = Sσ i co R' > R; II. si modifica la rata R per difetto per costituire il capitale i periodi otteedo la rata R" = Sσ + 1 i co R" < R; 0 III. si versao 0 rate di importo R otteedo u motate S' = Rs 0 i e si effettua u versameto itegrativo R"' dopo u tempo t sufficiete a costituire l itero capitale S; IV. si versao 0 rate di importo R e si effettua u versameto itegrativo alla fie del periodo 0 + f di importo pari a R IV = Rf.

5 74 ESEMPIO Capitolo Terzo Il valore attuale di ua redita immediata posticipata è pari a il tasso d iteresse effettivo auo è i = 005 e la rata è pari a 500. Calcolare la durata della redita e el caso i cui il umero teorico delle rate o risulti itero ricorrere agli accomodameti descritti. La durata della redita si ottiee applicado la formula (3.1) i cui il logaritmo al umeratore della frazioe ha seso se e solo se A i < 1; verificado i dati del problema: R Si applica ora la formula: = <. log = = log ( ) che equivale a 12 ai 6 mesi e 19 giori. No essedo itero il umero otteuto ma costituito dalla parte itera 0 = 12 e dalla parte decimale f = per risolvere il problema si ricorre alle covezioi descritte i questo paragrafo. I. Si può modificare la rata R per eccesso otteedo la rata R' che ammortizza il debito di i 12 ai e che si ottiee dalla relazioe: R ' = α Dalle tavole si desume che α = pertato la rata R' è pari a: R' = = II. Si può modificare la rata R per difetto otteedo la rata R" che ammortizza il debito di i 13 ai e che si ottiee dalla relazioe: R" = α Dalle tavole si desume che α = per cui la rata R" è pari a: R" = = III. Il valore al tempo zero del debito estito alla fie del dodicesimo ao versado la rata posticipata costate R = 500 è pari a: A' = 500 a = = Il debito residuo è pari a = Pertato alla fie del tredicesimo ao per estiguere il debito sarà effettuato u versameto itegrativo di importo pari a: R"' = ( ) 13 = 27977

6 Problemi sulle redite 75 IV. Si versao 12 rate di importo R = 500 e dopo 12 ai 6 mesi e 19 giori si effettua u versameto itegrativo di importo pari a: R IV = = La fuzioe NUM.RATE di Excel cosete di risolvere il problema della ricerca del umero delle rate oti: il tasso d iteresse effettivo di periodo della redita; l importo di ciascua rata; il valore attuale della redita che può ache essere omesso se è dato il valore futuro ossia il motate della redita all istate fiale; la scadeza dei vari pagameti che può verificarsi all iizio di ciascu periodo (allora si digita 1) o alla fie di ciascu periodo (allora si digita 0 o o si digita alcuché come el ostro caso). La sua sitassi è NUM.RATE(tasso_it;pagam;val_attuale;val_futuro;tipo). Relativamete all ESEMPIO dato il foglio elettroico è illustrato di seguito. Il valore risultate è o itero. Per ovviare all icoveiete si usao gli artifici visti.

7 76 4. RICERCA DEL TASSO Capitolo Terzo Tra i problemi relativi alle redite quello cocerete la ricerca del tasso d iteresse è seza dubbio il più discusso. Quado si cerca di valutare l effettiva gravosità di u credito al cosumo l uso di u uica espressioe aalitica permette il cofroto tra diverse tipologie di credito offerte sul mercato. Di tale argometo ci occuperemo dettagliatamete el capitolo settimo cocerete la valutazioe delle operazioi fiaziarie certe. Nelle (1.1) siao oti l importo della rata R il umero delle rate e il motate o il valore attuale della redita. Si cosideri la determiazioe del tasso i della redita. Dalla prima delle (1.1) si ha: A R i i = 1 ( 1+ ) da cui moltiplicado ambo i membri per (1 + i) si ottiee l equazioe di grado + 1 ella icogita i: A R i i i ( 1+ ) ( 1+ ) + 1= 0 I modo aalogo dalla secoda delle (1.1) si ottiee l equazioe di grado ell icogita i: S ( 1+ i) 1= 0 R i Il problema della determiazioe del tasso cosiste el risolvere ua delle due ultime equazioi. I geerale per valori elevati di tali equazioi o soo risolvibili facilmete per cui si ricorre a metodi di approssimazioe: i più utilizzati soo l iterpolazioe e l iterazioe. ESEMPIO 1 Sia data ua redita periodica di 10 rate di 270 il cui valore attuale è pari ad A = Determiare il tasso della redita attraverso: a) u procedimeto di iterpolazioe lieare; b) u procedimeto iterativo. Dai dati del problema si ha che: da cui: Il valore trovato o è tabulato = 270 a 10 i a 10 i =

8 Problemi sulle redite 77 a) Sulle tavole per i valori di a i alla riga corrispodete a = 10 si leggoo al variare dei tassi diversi valori di a 10 i fio a trovare due che soo più vicii possibile a Si prederao quello immediatamete più grade cioè i corrispodeza del tasso del 6% e quello immediatamete più piccolo cioè i corrispodeza del tasso del 625%. a i D A 006 Fig. 1 C E i Si sostituisce all arco di curva AB illustrato ella figura u segmeto lieare. I due triagoli ADB e CEB soo simili; quidi: dove: AD = ; CE = ; DB = ; EB = i. Pertato la proporzioe è la seguete: AD : CE = DB : EB ( ) : ( ) = ( ) : (00625 i) da cui: : = : (00625 i) Si divide il prodotto dei medi per il primo estremo e si ha: ossia: da cui: b) Si ricorre ora all iterazioe. Si è già trovato: = i = i i = a 10 i = Attraverso le tavole fiaziarie è possibile scegliere u valore di a 10 i prossimo alla radice positiva della (4.3) del secodo capitolo; sia 0 i il valore trovato lo si sostituisce ell equazioe B i

9 78 Capitolo Terzo suddetta. Se il valore otteuto è pari a allora i 0 è il valore di i richiesto. Poedo a = a ella (4.3) si ottiee u primo valore i i 1 approssimato del tasso d iteresse: i 1 ( 0 ) 1 1 i a Si scelga i 0 = i quato a esso corrispode u valore approssimato per difetto del valore di a 10 i pertato: i 1 ( ) 10 = Proseguedo lugo l algoritmo di iterazioe si sostituisce il valore del tasso d iteresse appea trovato otteedo: i 2 che sostituito i a 10 i dà: a Proseguedo ulteriormete si ha: i 3 che sostituito i a 10 i dà: a ( ) 10 = ( 10 ) ( ) 10 = ( 10 ) Il procedimeto si ripete otteedo i tassi: i 4 = ; i 5 = ; = = Il procedimeto si arresta dopo diverse iterazioi al tasso i = per il quale si ha: a ( 10 ) che è u valore molto vicio al valore a 10 i = =

10 Problemi sulle redite 79 La fuzioe TASSO di Excel cosete di risolvere il problema della ricerca del tasso d iteresse di ua redita dati: il umero di periodi della redita; l importo di ciascua rata; il valore attuale della redita che può ache essere omesso se è dato il valore futuro ossia il motate della redita all istate fiale; la scadeza dei vari pagameti che può verificarsi all iizio di ciascu periodo (allora si digita 1) o alla fie di ciascu periodo (allora si digita 0 o o si digita alcuché). La sua sitassi è TASSO(periodi;pagam;val_attuale;val_futuro;tipo). Relativamete all ESEMPIO il foglio elettroico è illustrato di seguito. ESEMPIO 2 Calcolare il tasso auo effettivo d iteresse di ua redita posticipata costituita da 7 rate aue ogua di 1300 sapedo che il valore attuale di tale redita è pari a Dai dati del problema si ha che: da cui: a i = a 7 i = =

11 80 Capitolo Terzo Il valore appea trovato o è tabulato per cui per la ricerca del tasso d iteresse si ricorre al procedimeto d iterazioe. Si sceglie iazitutto sulle tavole u valore di a 7 i prossimo a quello otteuto; il valore è cui corrispode u tasso i 0 = 475%. Quidi si sostituisce questo tasso ell algoritmo di iterazioe otteedo il tasso 1 i : Adado a calcolare a si ha: i 1 a ( ) 7 = ( 7 ) = che è u valore più piccolo di Se ci si vuole avviciare maggiormete al tasso d iteresse cercato si procede acora co l iterazioe sostituedo il tasso i 1 ell algoritmo di iterazioe. Si ottiee così la successioe di tassi: i 2 = ; i 3 = ; Il procedimeto si arresta dopo diverse iterazioi al tasso i = per il quale si ha: Questioario a ( 7 ) = Calcolare la rata aua aticipata costate i regime di iteressi composti da versare per 5 ai per costituire u capitale di al tasso d iteresse i = 58%. (par. 2) 2. Calcolare la rata mesile posticipata costate i regime di iteressi composti da corrispodere per 14 ai per estiguere u prestito di al tasso effettivo auo del 55%. (par. 2) 3. Calcolare la rata aua aticipata costate i regime di iteressi composti da corrispodere tra 2 ai ecessaria per costituire tra 10 ai u capitale di al tasso effettivo auo del 66%. (par. 4.4 cap. 2 e par. 2 cap. 3) 4. Quati semestri occorroo per costituire i regime di iteressi composti u capitale di versado rate semestrali costati posticipate di 400 al tasso d iteresse effettivo auo del 5%? (par. 3) 5. Quale tasso d iteresse effettivo mesile è corrisposto per estiguere u debito di se si paga ua rata mesile di 238 per 6 ai? (par. 4)

12 CAPITOLO QUARTO IL LEASING SOMMARIO: 1. Itroduzioe Caoe di leasig Tasso di ua operazioe di leasig. - Questioario. 1. INTRODUZIONE I questo capitolo ci occuperemo di ua particolare operazioe fiaziaria il leasig o locazioe fiaziaria che applica i pricipi e i metodi propri delle redite studiate ei capitoli precedeti. Attraverso tale operazioe u impresa detta locatrice cede i uso per u certo periodo di tempo u dato bee a u altra detta locataria o coduttrice che ecessita della dispoibilità del bee e che o itede acquistare la proprietà se o altro iizialmete dietro la corresposioe di somme dette caoi a epoche stabilite. La durata di ua operazioe di leasig geeralmete o supera la durata ecoomico-tecica del bee. Il coduttore si impega a corrispodere al locatore u caoe che può essere bimestrale trimestrale ma che solitamete è mesile ed è calcolato sulla base di diversi fattori tra cui il costo di ammortameto del bee e gli utili spettati all impresa locatrice. Al termie dell operazioe il locatario può assumere ua delle segueti decisioi: restituire il bee; riovare il cotratto per u ulteriore periodo; riscattare il bee e divetare proprietario pagado u importo stabilito detto prezzo di riscatto; richiedere la sostituzioe co altro bee; agire secodo altre previsioi cotrattuali. Geeralmete co il termie leasig si fa riferimeto alla tipologia più diffusa i Italia del leasig fiaziario; esistoo tuttavia altre forme di leasig: leasig operativo che o prevede u opzioe di riscatto e può essere posto i atto o da u itermediario fiaziario o direttamete dal produttore del bee; lease-back che è u cotratto i base al quale u azieda idustriale o commerciale vede alla società di leasig il bee e la società di leasig cocede lo stesso bee i leasig all azieda veditrice. 2. CANONE DI LEASING Le parti covegoo geeralmete u caoe di leasig costate per tutta la durata dell operazioe ache se è frequete la pratica del leasig idicizzato.

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