R k = I k +Q k. Q k = D k-1 - D k

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Costanza Napolitano
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1 1 AMMORTAMENTO AMMORTAMENTO Dbito inizial D 0 si volv (al tasso fisso t) D k = D k-1 (1+t) R k [D k dbito (rsiduo) al tmpo k, R k pagamnto al tmpo k ] Condizioni [D n =0 : stinzion dl dbito in n priodi ] [ D k dcrscnt : non vngono mai contratti nuovi dbiti ] Ogni pagamnto R k si dcompon [I k quota intrssi, Q k quota capital ] R k = I k +Q k I k = t D k-1, Q k = R k - I k [S D k non crscnt D k = D k-1 (1+t) R k = D k-1 Q k D k-1 R k I k, Q k 0 ] L rat, gnralmnt qull iniziali, pr cui val R k = I k si chiamano anch di prammortamnto. Proprita Q k D k = D k-1 (1+t) R k D k = D k-1 (1+t) - ( I k +Q k ) = D k-1 + t D k-1 - I k -Q k = D k-1 - Q k Q k = D k-1 - D k (Q k ) = (D k-1 - D k ) = D 0 ( sgu da D n =0) Quindi R k = I k +Q k = t D k-1 +D k-1 - D k = (1+t) D k-1 - D k Valor attual al tasso t k=1,n R k (1+t) -k = k=1,n ( (1+t) D k-1 - D k ) (1+t)-k = k=1,n (1+t)-(k-1) D k-1 - D k (1+t) -k (somma tlscopica ) k=1,n R k (1+t) -k = D 0 - D n (1+t) -n = D 0 Il dbito inizial corrispond sia all rat (attualizzat) R k ch all somm (non attualizzat) dll quot di capital Q k

k = D k-1 (1+t) R k = D k-1 Q k D k-1 R k I k, Q k 0 ] L rat, gnralmnt qull iniziali, pr cui val R k = I k si chiamano anch di prammortamnto.

2 2 AMMORTAMENTO SCHEMI CLASSICI DI AMMORTAMENTO a) pagamnto solo intrssi (prammortamnto) rimborso final dl dbito k=1,..n-1 Q k = 0 ( D k = D 0 ) R k = I k = t D k = t D 0 Pr n Q n = D 0 R n = I n + D 0 = td n-1 + D 0 = (1+ t) D 0 b) (schma francs) pagamnto di una rata costant ch stingu il dbito [ = rndita priodica a front di un capital D 0 ] Si ricava anch da D k = D k-1 (1+t) R k Pr una rata costant si ha D 1 = (1+t) D 0 - R D 2 = (1+t) D 1 - R = (1+t) 2 D 0 - (1+t) R - R in gnral D k = (1+t) k D 0 R i=1,k-1 (1+t) i = (1+t) k D 0 (R/t) ( (1+t) k -1 ) D n = 0 0 = (1+t) n D 0 (R/t) ( (1+t) n -1) D 0 = (R/t) (1-(1+t) n ) R = (t D 0 ) (1+t) n / ( (1+t) n -1 ) risulta D k = D 0 ( (1+t) n - (1+t) k ) / ( (1+t) n -1 ) { schma tipico di mutuo a tasso fisso. In un mutuo a tasso variabil s il contratto dtrmina i dbiti rsidui D k si calcola ogni rata con il tasso tx corrnt com R k = D k-1 (1+tx) D k E anch possibil ricalcolar ogni volta con il nuovo tasso tx un nuovo sistma di dbiti rsidui ch rnda l rat sucssiv, cosi calcolat, coincidnti } c) (schma italiano) il capital vin rimborsato in n quot uguali Q k = (D 0 ) / n D k = (1-k/n) D 0 R k = t D k-1 + Q k = t (n-k+1) D 0 / n + (D 0 ) / n = D 0 (1+nt-(k-1)t) / n In qusto caso D k > D k+1 R k > R k+1.

front di un capital D 0 ] Si ricava anch da D k = D k-1 (1+t) R k Pr una rata costant si ha D 1 = (1+t) D 0 - R D 2 = (1+t) D 1 - R = (1+t) 2 D 0 - (1+t) R - R in gnral D k = (1+t) k D 0 R i=1,k-1

3 3 AMMORTAMENTO Esistono schmi divrsi ch richidono analisi divrsa SCHEMA INGLESE (a du tassi) A front di un dbito D 0 si paga priodicamnt (fino al tmpo n ) la rata di intrssi t(d 0 ) Il capital vin ricostruito invc attravrso pagamnti (uguali?) ch capitalizzati al tasso s ricostruiscono la somma D 0. k=1,n a k (1+s) n-k = D 0 [s tasso di ricostruzion, t tasso di rmunrazion, si suppon 0 < s < t ] Pr chi prsta il tasso dll oprazion dato dalla soluzion x* di F(x) = 0 con F(x) = - D 0 + k=1,n a k (1+x) -k + k=1,n t(d 0 )(1+x) -k F(x) dcrscnt in x lim x F(x) <0 ; S F(t) >0 allora t < x* (unica soluzion) Pr x > 0 si ha ( td 0 una rndita ) F(x) = - D 0 + k=1,n a k (1+x) -k + (t/x)(d 0 ) (1- (1+x) -n ) pr x=t F(t) = - D 0 + k=1,n a k (1+t) -k + (D 0 ) (1- (1+t) -n ) F(t) = k=1,n a k (1+t) -k - D 0 (1+t) -n (1+t) -n F(t) = k=1,n a k (1+t) n-k - D 0 = k=1,n a k ( (1+t) n-k - (1+s) n-k ) Allora t > s F(t) > 0 x* > t > s [ s foss t < s si avrbb F(t) < 0 t > x* ] N.B. In qusto caso non bn dfinito il dbito rsiduo al tmpo k (<n). E possibil calcolarlo sia com D0 - valor ricostruito (tasso s) al tmpo k sia com valor attual di pagamnti futuri (rsidui) prvisti pr intrssi pr ricostruzion Non comunqu chiaro qual il tasso di attualizzazion da applicar ( = s, t, x *? )

k=1,n a k (1+s) n-k = D 0 [s tasso di ricostruzion, t tasso di rmunrazion, si suppon 0 < s < t ] Pr chi prsta il tasso dll oprazion dato dalla soluzion x* di F(x) = 0 con F(x) = - D 0 + k=1,n a k

4 4 AMMORTAMENTO Calcolato l ammortamnto di un dbito D 0 ad un tasso t (rmunrazion ) intrssa valutarlo ad un tasso x (attualizzazion), pr smpio in caso di vndita, trasfrimnto cc.. [ Formul analogh s si part al tmpo k con il dbito rsiduo D k ] Si dfiniscono [ attualizzazion di pagamnti, valor ] W(x) = k=1,n R k (1+x) -k U(x) = k=1,n I k (1+x) -k [ attualizzazion quot intrss, usufrutto] P(x) = k=1,n Q k (1+x) -k [ attualizzazion quot capital, nuda proprita ] Con il tasso t si ha W(t) = U(t)+P(t) = D 0 pr ogni altro tasso si U(x)+P(x) = W(x) =? Pr x>t si ha banalmnt U(x) < U(t) P(x) < P(t) Val smpr x U(x) + t P(x) = t D 0 Infatti xu(x) = k=1,n x I k (1+x) -k = k=1,n (x t) D k-1 (1+x) -k t P(x) = k=1,n t Q k (1+x) -k = k=1,n t (D k-1 - D k ) (1+x) -k xu(x) + t P(x) = t k=1,n (1+x) -(k-1) D k-1 - D k (1+x) -k = t (D 0 - D n (1+t) -n ) = t D 0 In alcuni casi P(x) di facil calcolo noto P(x) dalla formula si ricavano (pr smpio) U(x) W(x) com U(x) = (t/x) (D 0 -P(x)) W(x) = U(x)+P(x) = P(x) + (t/x) (D 0 -P(x)) = P(x)(1-t/x) + (t/x) D 0 [W(x) dipnd dal tasso x, dal dbito D 0, dal tasso t usato pr conti dall sol quot capital Q k ] Invc noti x, D 0,W(x) pr l du quantità U(x) P(x) basta risolvr il sistma linar (dtrminant = t-x) U(x) + P(x) = W(x) xu(x) + tp(x) = t D 0 Noti W(x) (vndita /acquisto dbito) P(x) si puo stimar x (implicito) con la tcnica ( punto fisso) x = (W(x)) -1 ( t (D 0 -P(x) ) + x P(x) ) Da x U(x) + t P(x) = t D 0 = t U(t)+ t P(t) sgu x U(x) - t U(t) = t (P(t)- P(x)) quindi un bound pr U(x) x>t P(t)- P(x) > 0 x U(x)> t U(t) U(t) > U(x) > (t/x)u(t) cc...

usufrutto] P(x) = k=1,n Q k (1+x) -k [ attualizzazion quot capital, nuda proprita ] Con il tasso t si ha W(t) = U(t)+P(t) = D 0 pr ogni altro tasso si U(x)+P(x) = W(x) =?

5 5 AMMORTAMENTO Ammortamnto matrici L ammortamnto si basa sulla rlazion D k = D k-1 (1+t) R k con R k rata D k, D k-1 dbiti rsidui. Assgnato un vttor D =(D 0, D 1,, D n-1 ) R n ( si suppon smpr D n =0 ) l rat R k drivano dall quazioni R k = (1+t) D k-1 - D k Sia R il vttor dll rat, R = ( R 1, R 2,, R n ) R n si ha la rlazion R=M t D dov M t la matric (dimnsion n) dl tipo (struttura) 1+t -1 1+t t L ultima riga sprim R n = (1+t) D n-1 ovvro D n = 0 = D n-1 (1+t) R n Assgnato un vttor D di dbiti ( inizial D 0 + dbiti rsidui ) si ha pr l rat R = M t D S t>-1 M t invrtibil (M t ) -1 (vrifica immdiata ) (1+t) -1 (1+t) -2 (1+t) -3 (1+t) -n (1+t) -1 (1+t) -2.. (1+t) -2 (1+t) -1 Assgnato qualunqu vttor di pagamnti R i dbiti rsidui D vrificano D =(M t ) -1 R. La prima riga sprim il dbito rsiduo inizial com v.a di futuri pagamnti k=1,n R k (1+t) -k = D 0 Ovvro i pagamnti R stinguono ni tmpi 1,..,n un dbito inizial D0 =( (M t ) -1 R ) 1 ( prima componnt di D calcolato). La gnrica riga j sprim il dbito rsiduo al tmpo j-1 com k=j,n R k (1+t) -(k-j +1) = D j-1 valor attual (rifrito al tmpo j-1 ) di succssivi (rimannti) pagamnti.

t D dov M t la matric (dimnsion n) dl tipo (struttura) 1+t -1 1+t -1.

6 6 AMMORTAMENTO S si indica con F la matric allora M t = (1+t)I - F M t D = (1+t) D - F D L quot intrssi QI corrispondono al vttor td. L diffrnz Q = R-tD = (I-F) D corrispondono all quot capital. La matric M 0 = I - F ha struttura invrsa ( invrsa di M t con t = 0 ) Quindi l quot capital vrificano Q = (I-F) D (M 0 ) -1 Q gnra i dbiti rsidui da cui l altr formul (prima riga ) k=1,n (Q k ) = D 0 (scond riga) k=2,n (Q k ) = D 1 cc

La matric M 0 = I - F ha struttura 1-1 1-1.. -1 invrsa ( invrsa di M t con t = 0 ) 1 1 1 1 1 1 1 1.

7 7 AMMORTAMENTO Ammortamnto francs Nl caso dll ammortamnto francs (R costant) la prima riga sprim la solita condizion (dlla rndita) D 0 = R i=1,n (1+t) -i da cui D 0 = (R/t) (1-(1+t) n ) = (R/t) ( (1+t) n -1 ) / (1+t) n R = (t D 0 ) (1+t) n / ((1+t) n -1 ) La riga j+1 sprim la condizion dbito rsiduo D j = v.a. (n-j) rat succsssiv D j = (R/t) ( (1+t) n-j -1 ) / (1+t) n-j ovvro D j =(t D 0 ) (1+t) n /((1+t) n -1 ) (1/t) ( (1+t) n-j -1 ) / (1+t) n-j = ( D 0 ) (1+t) j ( (1+t) n-j -1 ) /((1+t) n -1 ) = ( D 0 ) ( (1+t) n - (1+t) j ) / ((1+t) n -1 ) Usufrutto & Nuda Proprità S Z un qualsiasi vttor di (futuri) pagamnti il suo valor attual (al tasso x) sprsso da ( (M x ) -1 Z) 1 ( prima componnt dl vttor (M x ) -1 Z ) Si calcolano dal vttor Z di pagamnti prvisti (ottnuti al tasso t) l du quantita (calcolat al tasso gnrico x ) Usufrutto U(x) (=valor attual al tasso x dll quot intrssi (calcolat al tasso t ) ) Nuda prorita P(x) (=valor attual al tasso x dll quot di capital calcolat al tasso t ) Si ha xu(x)+ t P(x) = t D 0 Infatti xu(x) = x( (M x ) -1 td ) 1 = t ( (M x ) -1 xd) 1 t P(x) = t ( (M x ) -1 Q) 1 = t ( (M x ) -1 (I-F) D ) 1 xu(x)+ t P(x) = t ( (M x ) -1 (I-F+ xd) D ) 1 = t( (M x ) -1 (M x ) D ) 1 = t( D) 1 = t D 0

riga j+1 sprim la condizion dbito rsiduo D j = v.a. (n-j) rat succsssiv D j = (R/t) ( (1+t) n-j -1 ) / (1+t) n-j ovvro D j =(t D 0 ) (1+t) n /((1+t) n -1 ) (1/t) ( (1+t) n-j -1 ) / (1+t) n-j = ( D 0

8 8 AMMORTAMENTO FUNZIONI EXCEL UTILI { Notazion : t tasso, k anno, n numro anni, D 0 dbito inizial, D n dbito rsiduo final (abitualmnt D n = 0) } 1) Ammortamnto italiano Facil il calcolo di dbiti rsidui dll quot Q k La quota capital Q k (costant) puo ssr ottnuta com = SLN (D 0, D n, n) [in italiano SLN = AMMORT.COST] La quota intrssi I k (anno k) si ottin com =ISPMT (t, k-1, n, -D 0 ) N.B. gli intrssi I k si calcolano partir dall anno k-1. Esistono schmi ch prvdono pagamnto anticipato dgli intrssi ( a inizio di priodo) [in italiano ISPMT= INTERESSE.RATA] 2) Ammortamnto francs La rata (costant) R si ottin com =PMT(t,n,-D 0 ) [in italiano PMT = RATA] Calcolo Q k (quota capital ) = PPMT(t, k, n, -D 0 ) [in italiano PPMT = P.RATA] Calcolo I k (quota intrssi) = IPMT(tasso,k,n, -D 0 ) [in italiano IPMT = INTERESSI ] 3) Valor attual ( Calcolo di W(x), U(x), P(x) ) Valor attual =NPV(t, valori ) valori puo ssr un vttor di arbitraria lunghzza [ s NPV(5%, A1:A44) ] piu singoli valori (max 29) [s NPV(5%, A1,100,A4,.) ].Ogni singolo valor puo ssr un intrvallo [s NPV(5%, A31:A41, A51:A59, A71:A81)] [in italiano NPV =VAN] L componnti di valori rapprsntano i tmpi 1,2,.. 4) Tasso intrno di rndimnto (pr ammortamnto a du tassi) funzion IRR argomnto di IRR puo ssr intrvallo s IRR( A1:A10) un vttor spcificato s IRR({-10000,5000,6000}) un ultrior argomnto puo ssr un tasso t0 ch si suppon prossimo alla soluzion ( xcl applica un mtodo itrativo) s IRR ( A1:A10, 1%)

gli intrssi I k si calcolano partir dall anno k-1. Esistono schmi ch prvdono pagamnto anticipato dgli intrssi ( a inizio di priodo) [in italiano ISPMT= INTERESSE.

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