RENDITE. Le singole rate possono essere corrisposte all inizio o alla fine di ciascun periodo e precisamente si ha:

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1 RENDITE. Pagamet rateal S defsce redta ua sere qualsas d somme rscuotbl (o pagabl a scadeze dverse, o, pù esattamete, u seme d captal co dspobltà scagloata el tempo. Tal captal soo dett rate della redta e soo dcat co R, R 2,., R. Il tempo che separa ua rata dall altra s dce perodo, metre l umero de perod costtusce la durata della redta. Ua redta s dce perodca quado è costate l tervallo d tempo che tercorre fra cascua scadeza e la successva. Facedo rfermeto al perodo, le redte s possoo dstguere : a redte aue (aualtà: l perodo è u ao, ossa le rate hao scadeza auale; b redte frazoate d frequeza m: l perodo è uguale ad m -esmo d ao, coè le rate scadoo og m-esmo d ao e qud u ao debboo essere versate m rate; c redte poleal: l perodo è uguale ad u certo umero d a, coè le rate scadoo og k a. Le sgole rate possoo essere corrsposte all zo o alla fe d cascu perodo e precsamete s ha: a redte atcpate: soo quelle per le qual, per cascu perodo, la rata vee pagata all zo del perodo stesso. Ad esempo è atcpata la redta che asce dall casso del caoe d locazoe d u mmoble; b redte postcpate: soo quelle per le qual, per cascu perodo, la rata vee pagata alla fe del perodo stesso. U esempo è l pagameto dello stpedo mesle d u lavoratore. Le rate che compogoo ua redta possoo essere costat, ossa tutte dello stesso mporto, oppure varabl (gl mport soo tutt dvers tra loro. A secoda della durata d ua redta s fa dstzoe fra redte temporaee (o lmtate quado soo composte da u umero lmtato d rate, e redte perpetue (o llmtate quado l umero delle rate è fto, coè versamet rateal o hao ma terme. Ua redta è certa quado l versameto delle sgole rate o è soggetto ad alcua codzoe, metre s dce vtalza quado è codzoata all essteza vta d ua o pù persoe. Ife, ua redta s dce mmedata se essa ha zo subto; è vece dfferta d m perod se debboo trascorrere m perod prma che s pagh la prma rata.

2 2. Valore globale d ua redta Accade spesso d dover determare l valore d u seme d pagamet rateal, coè l valore globale d tutt term costtuet ua redta. Per fare ua tale valutazoe occorre sommare tutte le rate della redta e poché ogua d esse ha ua scadeza propra, occorre rportarle tutte ad ua scadeza comue. Bsoga percò precsare l epoca alla quale deve essere rferta la valutazoe, oché l tasso base al quale vee fatta la valutazoe, coè l tasso d teresse fuzoe del quale devoo essere calcolat gl teress. Per quato rguarda l epoca alla quale va rferta la valutazoe, essa può essere ua data qualsas all tero della durata, o agl estrem (zo o terme della redta oppure ache aterormete o posterormete alla durata. Le valutazo possoo essere fatte: a Al terme dell ultmo perodo della redta. I questo caso l valore globale della redta prede l ome d motate o valore fale della redta ed è costtuto dalla somma de motat d tutte le rate. b All zo del prmo perodo rateale. I questo caso l valore globale della redta prede l ome d valore attuale della redta ed è costtuto dalla somma de valor attual d tutte le rate, scotata ogua per l tempo decorrete dall zo del prmo perodo alla scadeza d ogua. c Ad u epoca aterore all zo del prmo perodo. I questo caso s parla d valore attuale d ua redta dfferta. d Ad u epoca posterore alla fe dell ultmo perodo. I questo caso s parla d motate d ua redta calcolato per u tempo successvo al suo terme. e Ad u epoca termeda alla durata della redta. I questo caso l valore globale è costtuto dalla somma de motat d tutte le rate avet scadeza aterore a quell epoca aumetata della somma de valor attual d tutte le rate avet scadeza posterore a quell epoca. 3. Motate d ua redta postcpata S dce motate d ua redta la somma complessva che rsulta accumulata alla fe d u certo umero d perod a seguto d versamet rateal comput e degl teress compost maturat sulle somme versate. Il motate d ua redta, qud, deve essere calcolato captalzzado per cascua somma versata gl teress compost da essa prodott e sommado seme tutt motat così otteut. Determamo l motate d ua redta utara le cu rate sao pagabl postcpatamete. Detto motate utaro s dca co l smbolo s per mettere evdeza che esso dpede dal umero delle rate e dal tasso d teresse che vee captalzzato per cascu perodo. Per le redte aue a rate costat covee supporre, zalmete, che le rate costat sao d mporto utaro, successvamete prederemo esame le redte le cu rate soo costat e d mporto R. Esamamo lo schema seguete: 2

3 Dallo schema rsulta evdete che la prma rata, versata alla fe del prmo perodo, resta depostata per ( perod ed l suo motate rsulterà qud uguale a (+. La secoda rata, versata alla fe del secodo perodo, resterà depostata per ( 2 perod ed l suo motate è dato da (+ 2, la terza è (+ 3, e così va. La peultma rata resterà mpegata per u solo perodo e qud l suo motate è (+. l ultma rata, versata al terme dell ultmo perodo, o frutterà alcu teresse. Possamo qud scrvere che: oppure, vertedo l orde degl added: s = (+ + ( (+ + s = + (+ + + (+ 2 + (+. Come s osserva faclmete, gl added d questa somma costtuscoo ua progressoe geometrca formata da term la cu ragoe è (+. Rcordado che la somma de term d ua progressoe geometrca è data da: s trova che: S = a q q s ( + = ( + s ( + =. Quest ultma espressoe rappreseta l motate d ua redta utara d rate pagabl postcpatamete. Se l mporto d cascua rata lo dchamo co R e co S dchamo l motate, possamo scrvere: S = R s oppure S = R ( +. 3

4 Rappresetamo grafcamete la fuzoe s rportado ascsse l tempo ed ordate valor del fattore s cosderado costate e t varable. Il dagramma, aturalmete, lo lmtamo al prm quadrate. Possamo scrvere: s = ( + che, per t = 0, vale s = 0, per cu otamo che l grafco della fuzoe passa per l orge ed l suo adameto è l seguete: e s vede charamete che ha l adameto della fuzoe espoezale (è solo traslata verso l basso. Se s dovesse calcolare l motate u epoca posterore alla scadeza dell ultma rata, detto k l perodo d dffermeto (rferto a quello della redta occorre captalzzare l motate trovato per l tempo k, qud l motate della redta è dato da: M = s (+ k. 4. Redte a rate varabl progressoe artmetca Sa R la prma rata d ua redta aua mmedata postcpata temporaea per a le cu rate varao progressoe artmetca d ragoe d. S ha percò: R = R, R 2 = R+d,.., R+2d,.. Il motate d tale redta sarà dato da: S = R (+ + (R+d ( [R+( 2 d ] (+ + [R+( d ]. 4

5 Moltplcado ambo membr per (+ s ottee: S (+ = R (+ + (R+d (+ + + [R+( 2 d ] (+ 2 + [R+( d ] (+. Sottraamo da quest ultma uguaglaza la precedete: S (+ S = R (+ +[R+d R] (+ + [R+2d R d] ( [R+d d R d+2d] (+ [R+( d] S (+ S = R (+ + d (+ + d ( d (+ [R+( d ] S (+ S = R (+ + d (+ + d ( d (+ R d + d S (+ S = R (+ + d [(+ + ( (+ + ] R d S +S S = R (+ + d s R d S = R[(+ ] + d s R d S = R ( + d d + s da cu, fe: S = d d R+ s. 5. Redte a rate varabl progressoe geometrca Cosderamo ua redta postcpata, temporaea per perod, co rate varabl progressoe geometrca l cu prmo terme sa R e la ragoe q. Avremo percò: Il motate d tale redta è dato da: R = R, R 2 = Rq, R 3 = Rq 2,.. S = R(+ + Rq(+ 2 + Rq 2 ( Rq 2 (+ + Rq S = R[(+ + q(+ 2 + q 2 ( q 2 (+ + q ]. Ivertedo l orde degl added detro la paretes quadra s ottee: 5

6 S = R[q + q 2 (+ + + q 2 (+ 3 + q(+ 2 + (+ ] S osserva faclmete che term detro la paretes quadra formao ua progressoe geometrca d ragoe q (+ l cu prmo terme è q. Rcordado la formula che permette d calcolare la somma d term d ua progressoe q geometrca, coè la S = a, s ha: q ( S = R q q + q ( + = R q q ( + q ( +. Moltplchamo ora umeratore e deomatore d questa frazoe per q. S ha: S = R q ( + q q ( + q = R q ( + q q ( + q da cu fe s trae che: S = R ( + q ( + q 6. Valore attuale d ua redta temporaea a rate costat S defsce valore attuale d ua redta la somma de valor attual d tutte le rate pagabl futuro. I altre parole possamo dre che l valore attuale d ua redta rappreseta la somma che evetualmete s potrebbe corrspodere all zo della durata d ua certa redta luogo d tutte le rate d cu essa stessa è composta. Comcamo co l determare l valore attuale d ua redta utara postcpata e servamoc dello schema seguete:. 6

7 La prma rata è versata alla fe del prmo perodo, per cu l suo valore attuale s otterrà scotadola per u perodo, rsulterà coè uguale a (+. La secoda rata, versata alla fe del secodo perodo, dovrà essere scotata per due perod, ed l suo valore attuale rsulterà qud dato da (+ 2 e così d seguto fo all ultma rata l cu valore attuale sarà dato da (+. Se ora dchamo co a l valore attuale d ua redta utara postcpata della durata d rate al tasso, s ha: a = (+ + ( (+. Gl added d questa somma costtuscoo ua progressoe geometrca d ragoe (+ (che è more d perché è (+ = e avete come prmo terme + (+. Allora la somma de term d questa progressoe geometrca è data dalla: a = ( + ( + ( + e possamo scrvere ache: per cu, fe, è: a ( + = + ( + ( + = + ( + a 0 a ( + =. Se moltplchamo umeratore e deomatore d quest ultma frazoe per (+, s ottee: a = ( + ( + e rappreseta l valore attuale d ua redta utara d rate pagabl postcpatamete. Nel caso che l mporto della rata sa R s ha che: A = R a. 7

8 ( + La fuzoe a = è ua fuzoe del tempo e del tasso. Teuto fsso ( + l tasso, essa rsulta essere fuzoe della sola varable e rappreseta ua curva che, partedo dall orge degl ass preseta la cocavtà rvolta verso l basso. Ifatt è: a 0 = 0 ( + 0 ( + e ( + lm = + ( + x percò la retta d equazoe a = rappreseta u astoto orzzotale per la curva. Il suo grafco è del tpo: Nel caso che le rate sao versate o alla fe d cascu perodo ma all zo, valor attual rsulterao modfcat. Ifatt, servedos dello schema: s osserva che la prma rata, essedo versata el mometo stesso cu ha zo la redta, avrà u valore attuale uguale ad ; la secoda avrà valore attuale (+ e 8

9 così va fo all ultma rata l cu valore attuale è (+ (. Idcado co valore attuale d ua redta utara atcpata, s avrà: a l a = + (+ + ( (+ (. Gl added del secodo membro formao ua progressoe geometrca d ragoe (+ per cu la somma de suo term è data da: ( + ( + a =. Moltplcado umeratore e deomatore della frazoe a secodo membro per l fattore (+, s ottee: a ( + = (+ ( + = (+ ( + e qud è: a = (+ a. 7. Valore attuale d redte perpetue Abbamo gà osservato che ua redta s dce perpetua quado versamet delle rate s succedoo a tervall regolar d tempo ma seza avere ma fe, ossa quado è costtuto da u umero fto d rate. Soo esemp d redte perpetue gl afftt rscuotbl perodcamete su terre cocess uso perpetuo ad et o gl teress godut da possessor d ttol del debto pubblco rredmble (coè d prestt statal che lo Stato s rserva d rmborsare qualsas mometo o d o rmborsare affatto, come avvee el debto pubblco. Nel caso d redte perpetue è ovvo che o s preseta ma l problema d determare l motate della redta se o per u umero lmtato d rate. Cò che s preseta spesso è, vece, quello d determare l valore attuale. Sappamo che l valore attuale d ua redta è calcolable co la: a = ( + per ua redta perpetua detto valore è dato da: 9

10 lm + a ( + = lm =. + Nel caso che la redta sa composta da rate postcpate d mporto R, l valore attuale rsulterà dalla: A = R. 8. Valore attuale d redte progressoe artmetca e geometrca Il valore attuale d ua redta le cu rate varao progressoe artmetca s ottee scotado l motate per tutta la durata della redta stessa, coè s ha: da cu: A = ( d d + R+ s A = d d( + R+ a. Se la rata vara progressoe geometrca, s ha: A = R ( + q + q. 0

11 APPLICAZIONI DELLE RENDITE. Operazo d costtuzoe d u captale Le redte trovao applcazoe molte occaso. Tra l altro ctamo l operazoe d costtuzoe che cosste u vestmeto regolare allo scopo d costture u captale, e ell ammortameto cu s tratta d u prestto rmborsable progressvamete co rate equtervallate. L operazoe d costtuzoe s preseta quado l operatore ecoomco programma d costture gradualmete u determato captale per ua data fssata. Retra questo tpo d programmazoe ecoomca, sa d persoe fsche che d et pubblc, la prevsoe d determat fabbsog fazar a determate scadeze e qud s preseta la ecesstà d predsporre de mezz ecessar per farv frote. Il problema che maggormete s preseta ella pratca è quello d rcercare l mporto de versamet che occorroo per tale costtuzoe. Osservamo oltre che la formazoe d u captale dspoble futuro può avvere: a co versameto uco, ossa depostado ua somma uca mpego fruttfero; b ua successoe d versamet perodc ( che possoo essere costat o varabl. I etramb cas l tasso d frutto vee detto tasso d costtuzoe ed ach esso può essere mateuto costate per tutta la durata dell operazoe o può essere soggetto a varazo. Nel problema che rguarda la costtuzoe d u captale per ua data scadeza medate deposto d u uca somma, devoo essere ot l ammotare del captale che s vuole costture (e che dchamo co S, l regme d captalzzazoe, l tasso d teresse dell mpego fruttfero e la durata t dello stesso. S tratta,duque, d determare l valore attuale A d ua somma fruttfera S che, come sappamo, è dato da: S A = ( regme d captalzzazoe semplce +t A = S (+ t ( regme d captalzzazoe composta Poché questo tpo d problem d costtuzoe d u captale, geerale, vestoo u arco d tempo poleale, è ovvo che l applcazoe pù frequete è l regme d captalzzazoe composta. Se po s volesse cooscere, ad u dato tempo k (0 < k < t termedo alla durata, l fodo che s trova costtuto a quella data (e che dchamo co F k, basta trovare l motate al tempo k dal versameto zale computo, e s avrà: F k = A ( + k ( regme d captalzzazoe semplce F k = A (+ k ( regme d captalzzazoe composta

12 Abbamo osservato che l redmeto d mpego azché mateers costate durate tutto l perodo, può subre delle varazo, varazo che possoo essere prevste f dall zo dell operazoe (coè el mometo cu vee effettuato l vestmeto zale oppure o prevste. Nel caso d varazoe prevsta bsoga determare l mporto dell vestmeto zale teedo coto delle varazo che l tasso d costtuzoe potrà subre quel perodo. È charo che l tempo d costtuzoe dovrà essere scomposto elle vare part avet cascua l propro tasso d teresse e qud cosderare l captale S da costture come motate globale d quest var vestmet successv a tasso dverso. Esamamo, per ovvetà, solo l caso d regme d captalzzazoe composta. Suppoamo che la durata t debba scompors tre part d cu, la prma della durata t al tasso, la secoda t 2 al tasso 2 e la terza t 3 al tasso 3 (aturalmete è t + t t 3 = t. Voledo determare l mporto dell vestmeto zale A per costture l captale S al terme del tempo t, osservamo che questo altro o è che la somma de motat maturat al terme del prmo perodo t, del secodo perodo t 2 e del terzo perodo t 3. Deve percò essere: 2 S = A ( + t ( + t ( + t 2 3 dalla quale s deduce faclmete che l valore attuale della somma è: 2 3 A = S ( t ( t + + ( + t. 2 3 Esamamo ora l caso cu c sao delle varazo o prevste del tasso d costtuzoe. Se l tasso subsce ua dmuzoe occorrerà determare l mporto del versameto suppletvo che bsogerà effettuare per compesare la dmuzoe d redmeto. Suppoamo che la varazoe s verfch al tempo h (h < t e che l uovo tasso sa h ( h <. Il versameto suppletvo da effettuare al tempo h ( e che dcheremo co A h sarà rappresetato dalla dffereza tra l fodo costtuto ed l valore attuale d S scotato per l tempo t h base al uovo tasso h. Coè: 3 A h = S (+ h t h A (+ h. Nel caso vece che l tasso d teresse subsca u cremeto, allora s potrà beefcare, alla fe del perodo, d u captale maggore oppure s potrà abbrevare la durata d mpego. 2

13 2. Costtuzoe medate versamet perodc I questo caso la formazoe del captale verrà attuata medate ua successoe d versamet perodc e qud l captale da costture è rappresetato dal motate fale d quella successoe, coè d quella redta. I versamet perodc possoo essere costat o varabl così pure potrà essere costate o varable l tasso d costtuzoe. È charo che, el caso d rate varabl, dovrà essere stablta la legge secodo cu esse varao. Il problema che s preseta pù frequetemete ella vta pratca è quello d rcercare l mporto della rata costate. La rcerca della rata costate vee effettuata come el caso delle redte. L mporto della rata va rcavato dalla: S = R s R = S s da cu, fe: R = S ( +. S può presetare ache l problema d determare l ettà del fodo costtuto ad ua certa epoca k (k < termeda alla durata della costtuzoe del captale. Tale fodo sarà rappresetato dal motate, all epoca k, delle rate gà versate, coè: F k = R ( + k ed essedo R = S s, s ha ache: F k = S ( + ( k + F k = S ( k + ( Pao d costtuzoe d u captale Nel caso d costtuzoe d u captale medate versamet perodc, soltamete s stede u prospetto detto pao d costtuzoe del captale el quale vegoo regstrat (per cascu perodo rateale. 3

14 a l mporto del versameto da esegurs (che, el caso d rate costat è uguale per tutt perod; b l fodo che rsulta costtuto alla fe d cascu perodo; c gl teress maturat el perodo stesso. Il fodo che rsulterà costtuto al terme dell ultmo perodo dovrà cocdere co quello che s vuole formare. Può ache captare che a u determato mometo dell operazoe avvega ua varazoe el tasso d redmeto. I questo caso la rata che era stata precedetemete determata o corrspode pù all esgeza d formare, alla scadeza, quel captale. Occorrerà qud provvedere a delle modfche. Queste possoo avvere tre mod: a modfca delle ulteror rate da versare modo da avere, dspoble alla scadeza, l captale prefssato; b modfca del captale da costture; c modfca del umero delle rate. I og caso bsoga determare l fodo costtuto al mometo della varazoe del tasso, determare l motate d detto fodo alla scadeza della costtuzoe del captale base al uovo tasso d redmeto e calcolare la dffereza fra questo ed l captale da costture. Dopo d che s tratta d rempostare l problema della costtuzoe relatvamete alla dffereza d captale determata base al uovo tasso. 4. Ammortameto d mpat dustral U altra applcazoe delle redte la trovamo u procedmeto che è fodametale molte mprese dustral per cu ua parte degl utl, og ao, deve essere accatoata allo scopo d far frote alla perdta d valore (coè al deprezzameto del captale vestto dovuto, ad esempo, all usura. L ammortameto degl mpat dustral è u procedmeto cotable molto mportate per la determazoe del reddto d eserczo. Gl elemet che devoo essere pres cosderazoe soo: a l costo zale, che dchamo co C; b la durata (probable utle dell mpato a e che dcheremo co ; c l rcavo (probable, detto d elmazoe, che può realzzars co la vedta del rottame, e che dchamo co E. È charo che la durata ed l rcavo d elmazoe soo stmat da espert e, soprattutto, E dpede dal mercato dell usato. Sa: W = C E 4

15 l deprezzameto totale ed dchamo co Q la quota che deve essere accatoata og ao per l deprezzameto. Suppoedo che l fodo d deprezzameto o frutt teress e che le quote che vegoo accatoate og ao sao costat, dovedo essere: s ha che: Q = C E Q = C E. Questo procedmeto è detto metodo dell ammortameto leare. È da osservare però che questo procedmeto ella pratca è poco applcato per due motv: gl mpat hao l massmo deprezzameto durate l prmo ao d uso per po decrescere d ao ao (metre ell ammortameto leare s presume che questo sa costate og ao; 2 essu teresse vee accredtato al fodo. Allora ella pratca, s rcorre al seguete metodo. Se Q è la quota d costtuzoe d u captale d cu s dovrebbe dsporre fra a per rovare l mpato, s ha: Da cu: C E = Q s C E = Q ( + Q = (C E ( + Q = W ( Gl acqust a rate Per alcue operazo a breve scadeza s fa uso d formule relatve a redte costat regme d captalzzazoe semplce (e scoto commercale. È questo l caso degl acqust a rate. Sa P l prezzo d acqusto d u bee che s covee d pagare cotat per u mporto A e la parte rmaete, per u mporto B, a rate ugual, postcpate ed equtervallate. S ha percò: Ora dchamo co: P = A + B. 5

16 R l mporto d og rata; l umero complessvo delle rate; m l umero delle rate comprese u ao. Poamo I = R B. Alla fe dell operazoe s dovrà avere uguaglaza tra l motate del debto B, espresso da M B = B + m ed l motate geerato dalle rate, espresso da: M R = R + ( m + R ( 2 + m + + R + m + R M R = R + ( + + ( m m m che, scrtt gl elemet detro la paretes orde verso, dà: M R = R ( ( m m m. L espressoe detro la paretes quadra del secodo membro è ua progressoe artmetca d ragoe per cu la somma de term è data da: m Possamo percò scrvere l uguaglaza: + + ( m M R = R 2 M R = R + 2m. B + m = R + 2m B + B 2 m = R + R R 2m 2m 6

17 R R B + m 2 2 = R B B R m 2 = I. Da quest ultma formula s può rcavare l tasso d teresse mplcto ell operazoe. Ifatt s ha: 2B R+ R = I m 2 B ( R B + R = I m 2 B+ B R+ R = I m 2 B I + R = I m 2 ( B I + R = 2 I m = 2mI. B I+ R 6. Il rmborso de prestt Nelle operazo d prestto l mutuataro assume verso l mutuate due mpeg: quello d restture alla scadeza predetermata l captale mutuato e quello d corrspodere l teresse sulle somme avute uso al tasso pattuto. Le forme d rmborso d u prestto soo umerevol, tpc soo: rmborso, alla scadeza, del captale e pagameto degl teress; rmborso rateale, ossa medate ua successoe d pagamet avet scadeza dversa. Il rmborso uco, come è stato gà osservato, d orma avvee per prestt d breve durata (feror all ao e l teresse vee calcolato regme d captalzzazoe semplce. Per prestt poleal la forma d rmborso rateale è quella maggormete seguta. 7. L ammortameto Co l terme ammortameto s defsce l estzoe graduale d u debto, etro u certo perodo d tempo, medate ua sere d versamet perodc sa per l rmborso del captale che per l pagameto degl teress. I mod d estzoe graduale d u debto possoo essere dvers e dpedoo da quato pattuto fra le part. Ioltre versamet perodc possoo essere costat o varabl; og caso 7

18 tal versamet costao d due part: ua serve a rmborsare l captale avuto prestto metre l altra serve a corrspodere gl teress sul debto resduo. La prma parte da o elecata prede l ome d quota captale, metre la secoda quota teress. La somma della quota captale e della quota teress prede l ome d rata d ammortameto. Gl elemet che compogoo l ammortameto soo: mporto delle sgole rate d ammortameto (che possoo essere costat o varabl; mporto della quota captale; mporto della quota teress; debto che progressvamete rsulta estto; debto resduo. A cascu elemeto dell ammortameto va assocato u smbolo. I geerale c servremo d: A per dcare l mporto totale del prestto da rmborsare; R per dcare la rata postcpata d ammortameto (se è atcpata la dchere- mo co R ; R k per dcare la k-esma rata; C k per dcare la quota captale coteuta ella k-esma rata; I k per dcare la quota teresse coteuta ella k-esma rata; E k per dcare l debto che rsulta estto dopo l pagameto della k-esma rata; D k per dcare l debto resduo dopo l pagameto della k-esma rata; per dcare l tasso utaro d teresse; per dcare l umero delle rate. Le relazo che tercorroo fra quest elemet soo le seguet: la somma d tutte le quote captal rmborsate, dpedetemete dagl teress, deve essere uguale ad A, coè: A = C + C C 2 l debto estto dopo l versameto della k-esma rata è: E k = C + C C k 3 l debto resduo dopo la k-esma rata è dato dalla dffereza tra l debto zale e quello estto, coè: D k = A C k 8

19 4 poché og rata è composta dalla quota captale e dalla quota teresse, è: R k = C k + I k 5 la quota teresse va calcolata sul debto resduo dell ao precedete, e qud è: I k = D k. I var elemet che abbamo espost, determat per cascu perodo, vegoo regstrat u prospetto che vee chamato pao d ammortameto. Dvers soo tp d ammortameto. 8. Ammortameto a quote costat d captale (o ammortameto talao Co questo metodo s stablsce che l debtore rmbors ad og perodo ua quota costate del captale rcevuto prestto ed oltre che pagh gl teress dovut per quel perodo sul debto resduo. È evdete che la quota captale che deve essere versata ad og perodo è data dal captale da rmborsare dvso per l umero de perod. Idcado co A la somma avuta uso e co C la quota captale e co l umero delle rate, s ha: C = A. Cosderamo, ad esempo, u prestto d che deve essere rmborsato 5 a al tasso del 5%. Come è ovvo la quota captale è d euro, e qud possamo passare a redgere l relatvo pao d ammortameto: Ao Quota Cap. Quota It. Rata Debto Est. Debto Res S può otare faclmete che questo tpo d ammortameto le quote teresse dmuscoo progressoe artmetca d cu c propoamo d calcolare la ragoe. Per dmostrarlo bsoga far vedere che la dffereza fra cascua quota teresse è costate. S ha: 9

20 I k+ I k = D k D k = ( D k D k = ( D k D k. Ma la dffereza (D k D k o è altro che l mporto della rata quota captale, coè è D k D k = C, per cu possamo scrvere: o ache: I k+ I k = C I k+ I k = A. Possamo percò dre che le quote teresse dmuscoo pregressoe artmetca d ragoe A. Dall osservazoe del pao d ammortameto s ota che ache le rate decrescoo progressoe artmetca. Cò rsulta evdete perché queste s ottegoo sommado alle quote d captale (che soo costat le quote teresse che soo progressoe artmetca. Può accadere che o s abba a dsposzoe l pao d ammortameto d u prestto, ed allora s rede ecessaro, per l calcolo d ua rata termeda o d altr dat, stablre delle relazo che cosetao d determare mmedatamete uo de suddett valor seza dover rcorrere alla costruzoe del pao d ammortameto. a l debto estto ad u determato state, tero alla durata del prestto, è uguale alla somma delle quote d captale gà rmborsate. Allora, alla fe del geerco k-esmo perodo, l debto estto sarà dato da: E k = k A b l debto resduo, essedo la dffereza tra l debto zale e quello estto alla fe del k-esmo perodo, sarà dato da: D k = A k A D k = A k A D k = A ( k c la quota teresse che deve essere corrsposta cascua rata è l teresse per u perodo coteggato sul debto resduo, qud la quota teresse coteuta ella k-esma rata è uguale al debto resduo rsultate alla fe del (k -esmo ao per l tasso, coè s ha I k = D k. Essedo: 20

21 D k = A ( (k D k = A ( k + s ha fe che: I k = A ( k + ( d la rata complessva da pagare cascu perodo è uguale alla somma della quota captale co la quota teresse, ed è qud: C k = C + I k C k = A + A C k = A ( + ( k + ( ( k + Il dato pù mportate da determare è seza dubbo l mporto del debto resduo perché talvolta, el corso dell ammortameto, occorre modfcare l pao stesso d ammortameto per avveut cambamet el tasso, o per la varazoe della durata o per qualsas altro motvo. Dalle formule precedet possamo rcavare quelle verse. Così, per esempo, possamo determare l valore zale del prestto quado sao ot gl altr elemet. Ifatt, dalla ( s rcava che: così come dalla ( s rcava che: C A = k + ( k + Ik =. A ( k + 9. Ammortameto progressvo ( o a rate costat o fracese Co questo metodo s stablsce che l debtore pagh, alla scadeza d cascu perodo, ua rata sempre uguale compresva d quota captale e quota teresse. Nella pratca commercale questo è quello pù utlzzato. I questo caso s tratta d determare l ammotare della rata che dovrà essere corrsposta alla fe d cascu perodo, ossa bsoga determare la rata costate d ua redta d cu è oto l valore attuale, poché u debto da estguere o è altro che la somma de versamet che servoo per detta estzoe, coè: 2

22 A = R (+ + R ( R (+ da cu: A = R ( + A = R a R = A a A o ache R =. ( + Dopo aver calcolato la rata s può stedere l relatvo pao d ammortameto. Esempo S suppoga l ammortameto del debto d euro ammortzzable 5 a al tasso del 5% medate aualtà costat. S rcerca aztutto l ammotare della rata d ammortameto. S ha: ,05 R = 5 (+ 0,05 = 2309,75. Tale rata è compresva della quota captale e della quota teress. È evdete che el prmo ao gl teress vao corrspost sull tero debto d 0.000, e qud la quota teresse è I = ,05 = 500, metre la quota captale rsulta dalla dffereza fra l ammotare della rata e la quota teress, coè è C = 2309, = 809,75. Il debto estto rsulta essere d 809,75 metre quello resduo è D = ,75 = 890,25. Allo stesso modo s procede per perod successv. Il pao d ammortameto è l seguete: A Rata Quota It. Quota Cap. Debto Est. Debto res , ,75 809,75 890, ,75 409,5 900, , , ,75 34,50 995, , , ,75 24, ,0 7800, ,75 09,99 299, ,0 Nell ammortameto progressvo, dato che le rate soo costat e le quote teress decrescet, è ovvo che le quote captale rsultao crescet. S può dmostrare che le quote captale soo crescet progressoe geometrca. Ifatt co questo tpo d ammortameto, per og pagameto, la somma della quota teresse e della quota captale è costate, e deve qud avers: 22

23 I k + C k = I k+ + C k+ C k+ C k = I k I k+ o ache: I k I k+ = D k D k = ( D k D k = C k e qud, fe: C k+ C k = C k C k+ = C k (+I Ck C k Questa relazoe c permette d determare l valore d ua qualsas quota captale cooscedo l ammotare d quella relatva al perodo precedete (basta moltplcare la rata per l fattore +. Ache questo caso è mportate rcavare le relazo che legao var dat relatv all adameto dell ammortameto seza dover rcorrere alla costruzoe del pao. a Rata e quota captale. Sappamo che la rata è data dalla R = A ( +. Rcordado che la quota captale è uguale alla rata dmuta dell teresse I = A, possamo scrvere: A C = R I = ( + A = A A + A ( + ( + = A ( + ( + Moltplcado umeratore e deomatore d quest ultma frazoe per l fattore (+, s ottee: C = A ( +. Ora sappamo che le quote captale, questo tpo d ammortameto, varao progressoe geometrca d ragoe (+, qud possamo passare a determare tutte le altre: C 2 = A ( + (+ C 2 = A ( + (+2 C k = A ( + (+k 23

24 La quota captale C k può ache essere espressa fuzoe della rata d ammortameto. Ifatt: C k = k A ( + ( + ( + ( + = A ( + ( + + k A Ma l espressoe ( + o è altro che l mporto della rata, per cu s ha fe: C k = R (+ +k. b Debto estto Il debto estto dopo u certo umero d versamet è uguale alla somma delle quote captale rmborsate, coè s ha: E k = C + C C k E k = A ( + + A ( + (+ + + A ( + (+k E k = A ( + [ + (+ + (+2 + (+ k ]. I term detro la paretes quadra costtuscoo l motate d ua redta utara d k term, per cu s ha: E k = A ( + ( k + E k = A ( k + ( + Ache questo caso possamo esprmere E k fuzoe della rata. Ifatt, dalla A E k = ( + ( k +, (moltplcado e dvdedo per l fattore (+, s trae: A ( + E k = ( + ( + k 24

25 A Rcordado acora ua volta che l espressoe ( + possamo scrvere: altro o è che la rata, E k = R ( k + (+. c Debto resduo Il debto resduo è aturalmete dato dalla somma delle rate che debboo acora essere versate valutate l quel mometo, coè rappreseta l valore attuale d ( k rate postcpate che dovrao essere acora pagate, qud è: D k = A ( + ( + ( ( + k D k = R. ( k S può calcolare l debto resduo ache co altro procedmeto. Ifatt l debto D k, dopo k versamet, è dato dalla dffereza tra l prestto zale ed l debto estto, ossa: D k = A A ( k k + ( + = A ( + ( + k ( + ( + = A ( ( = + + k ( + ( + = A ( + ( k ( + ( + + ( + = A ( + ( + D k = A ( + ( k. d Quota teress La quota teresse d cascu perodo, essedo calcolata sul debto resduo dell ao precedete, è data da: I k = D k ( + k + I k = R I k = R [ (+ +k ]. 25

26 0. Ammortameto ad teress atcpat (o tedesco Nell Europa Cetrale è uso rmborsare prestt a luga scadeza pagado atcpatamete l teresse relatvo a cascu perodo. Co questo metodo, detto ache tedesco, l debtore, el mometo stesso cu accede al prestto, paga gl teress relatv al prmo perodo d ammortameto (aturalmete calcolat sull tero ammotare del debto. Alla fe del prmo perodo verserà la prma quota captale e l teresse relatvo al secodo perodo (questa volta coteggato sul debto resduo dopo l rmborso della prma quota captale e così va. Alla fe dell ultmo perodo versa soltato la quota captale quato gl teress relatv all ultmo perodo erao stat versat seme al versameto della peultma quota captale. Per stedere u pao d ammortameto d u prestto ammortzzable secodo questo metodo, occorre aztutto determare, col metodo progressvo, l mporto della rata costate pagable alla fe d cascu perodo, ma occorre fare qualche ulterore cosderazoe dal mometo che l teresse vee pagato atcpatamete. Sa allora j l tasso utaro d teresse pagable atcpatamete per og perodo ( geere l ao. Cò vuol dre che per og euro prestato ad zo ao, l debtore deve pagare subto j euro e restture po euro alla fe dell ao. Cò equvale a dre che all zo dell ao la somma presa prestto o è d euro ma ( j euro ed alla fe dell ao deve essere resttuto l motate d euro. Cooscedo l valore zale e quello fale d u captale utaro, è possble rcavare l tasso d teresse equvalete al tasso j. Ifatt l valore attuale, captalzzato per u perodo, dà l motate alla fe dello stesso perodo, ossa è: ( j (+ = + = j j =. j = j = + j j Questa relazoe c permette d covertre l tasso d teresse atcpato u tasso equvalete pagable postcpatamete. Cerchamo ora d determare la rata d ammortameto. Sa A l mporto del prestto stpulato e j l tasso d teresse atcpato. Il mutuataro, dovedo pagare subto l teresse atcpato, che è I = A j, rceve uso o l mporto A ma l mporto (A A j=a ( j. S tratta qud d determare la rata costate ecessara ad estguere perod u debto par a A ( j ad u tasso d teresse postcpato j =. Qud la rata sarà data dalla solta relazoe. I questo caso: j R = A ( j ( +. 26

27 j Ora sosttuamo al posto d l espressoe. S ha: j j j R = A ( j j + j da cu, fe: = A ( j j j j+ j j j = A ( j j R = A ( + j. Possamo cocludere che la rata costate ecessara ad estguere u debto può essere calcolata co due mod: R = A ( j ( + ( j R = A ( + j ( Esempo U prestto d è ammortzzable 5 a al tasso del 5% auo col metodo tedesco. Determare la rata d ammortameto e stedere l relatvo pao. Determamo la rata d ammortameto applcado etrambe le formule trovate. Il tasso postcpato equvalete al 5% auo atcpato è: = j 0,05 j = 0,05 = 0,0526. Per l calcolo della rata s ha: R = A ( j ( + 0, 0526 = ( 0,05 5 ( + 0,0526 = 220,08 j R= A ( + j 0,05 = (+ 0,05 = 220,23 Come s ota valor (almeo per la parte tera cocdoo. 27

28 Procedamo qud a stlare l pao d ammortameto. A Rata Quota Cap. Quota It. Debto Est. Debto Res ,2 800,22 409,98 800,22 899, ,2 894,97 35, , , ,2 994,70 25, ,0 4309, ,2 2099,69 0,5 7789,80 220, ,2 220, Per stedere u pao d ammortameto co questo metodo è coveete zare dall ultmo ao (el ostro caso l quto perché alla fe d tale ao la rata è uguale alla quota captale. Detta quota deve ache corrspodere al debto resduo rsultate all ao precedete (el ostro caso l quarto. Ed è su tale debto resduo che s calcola la quota teresse. S ha: La quota captale C 4 sarà qud data da: Il debto resduo all ao terzo è dato da: S ha po: I 4 = 220,2 0,05 = 0,5 C 4 = R I 4 = 220,2 0,5 = 2099,69 D 4 = ,2 = 7789,8 D 3 = C 4 + D 4 = 2099, ,2 = 4309,89 I 3 = 4309,89 0,05 = 25,495 C 3 = 220,2 25,495 = 994,70 E 3 = E 4 C 3 = 7789,8 994,7 = 5795, D 2 = C 3 + D 3 = 994, ,89 = 6304,59 I 2 = D 2 = 6304,59 0,05 = 35,23 C 2 = 220,2 35,23 = 894,97 D = C 2 + D 2 = 894, ,59 = 899,56 I = 899,56 0,05 = 409,98 C = 220,2 409,98 = 800,22. 28

29 . Ammortameto a due tass ( o amercao Co questo tpo d ammortameto s covee che l debtore pagh al credtore, aualmete, gl teress semplc sull tero debto e che l captale ecessaro per l rmborso vega costtuto medate deposto d aualtà costat presso u sttuto d credto. L sttuto, aturalmete, captalzzerà le aualtà ad u tasso d teresse che, geeralmete, è dverso da quello che l debtore del mutuo corrspode al suo credtore. L seme delle aualtà che servoo a costture la somma da restture vee detto fodo d ammortameto del prestto. Co questo metodo, qud, og ao l mutuataro deve mettere a dsposzoe due quote costat: ua che serve a pagare l teresse sul debto al tasso pattuto per l mutuo (è ovvo che tale quota è sempre uguale ad A e l altra che serve a costture, egl a della durata del prestto, l captale mutuato, rata che verrà coteggata ad u tasso, dverso da, e che dcheremo co j. L ammotare della rata aua ecessara a costture u captale uguale ad A a, come gà sappamo, è data da: j R = A ( + j per cu l debtore dovrà versare og ao (parte al credtore e parte el fodo d ammortameto ua rata costate data da: che possamo scrvere ache ella forma: j R = A + A ( + j j R = A +. ( + j Nel caso che l tasso j applcato al fodo d ammortameto rsultasse uguale al tasso corrsposto sul mutuo, s rcadrebbe ella formula trovata per l calcolo dell ammotare della rata secodo l ammortameto progressvo. Esempo S è presa prestto la somma d per la durata d 5 a mpegados a versare aualmete al credtore gl teress sul debto al 5%. Per costture l captale ecessaro ad estguere l debto alla scadeza, l debtore verserà u aualtà costate presso u sttuto d credto che esegue la captalzzazoe al 4%. Determare la rata complessva e redgere l relatvo pao d ammortameto. 29

30 Itato calcolamo la rata complessva che dovrà pagare aualmete: j R = A + ( + j 0,04 = ,05 + (,04 5 = 2346,296. D tale rata ua parte servrà al pagameto degl teress sul debto e l altra ad almetare l fodo d ammortameto. La quota teresse (costate è: I = ,05 = 500 e la quota per l fodo d ammortameto è percò: Il pao d ammortameto è l seguete: F = 2346, = 846, 296. A Quota It. Quota Cap. Rata Glob. F.d amm.zo ao It.sul F. F. amm. fe ao , , , , , ,296 73, , , , ,444 50, , , , , , , , , ,230 33, ,35 F amm.fe ao = 2C + I = 2 846, ,852 = 3766,444 I 2 = 3766,444 0,04 = 50,658 F 2 amm.fe ao = F + C + I 2 = 3766, , ,658 = 5763,398 I 3 = 5763,398 0,04 = 230,536 F 3 amm.fe ao = F 2 + C + I 3 = 5763, , ,536 = 7840,23 I 4 = 7840,23 0,04 = 33,609 F 4 amm.fe ao = F 3 + C + I 4 = 7840, , ,609 = 0.000,35 2. Valutazoe d u prestto U prestto, u qualuque state del perodo d ammortameto, può essere regozato e per fare cò, deve essere valutato. I motv della regozazoe possoo essere pù svarat. Ad esempo l credtore può decdere d cedere l suo credto ad ua terza persoa: questo caso occorre fssare la somma che l credtore tede rcavare dalla cessoe; oppure l debtore decde d estguere atcpatamete l suo 30

31 debto: ed allora bsoga stablre quale sa la somma che l debtore deve versare al credtore per essere lberato atcpatamete dall mpego assuto. I quest ultmo caso s parla ache d rscatto e l ammotare della somma prede l ome d prezzo d rscatto. Quado s procede alla valutazoe d u prestto, gl elemet che o vao pres cosderazoe soo, evdetemete, le somme gà versate e le codzo alle qual l prestto era stato egozato. Soo mportat però le somme che devoo essere pagate futuro perché la valutazoe del prestto s rfersce a quella parte o acora estta. La valutazoe vee pertato eseguta scotado l mporto d dette rate base ad u certo tasso (geeralmete dverso da quello corrsposto dal debtore che vee defto tasso d valutazoe del prestto. Possamo duque affermare che l valore d u prestto è l valore attuale delle rate rmaste da pagare calcolato secodo u certo tasso d valutazoe. Nella valutazoe è opportuo fare dstzoe fra cass coto captale e cass coto teresse. Gl cass quota captale dao luogo alla uda propretà (la uda propretà è l valore attuale, calcolato al tasso d valutazoe, delle restat quote captale. Gl cass quota teress dao luogo all usufrutto che è duque l valore attuale, calcolato sempre al tasso d valutazoe, delle quote teresse da corrspodere ulterormete. La dstzoe fra uda propretà e usufrutto è ecessara quado queste debbao essere assegate a persoe dverse. Effettuamo la valutazoe d u prestto per valor ter del tempo ter alla durata dell ammortameto. Idcheremo valor del prestto all zo co: V 0 P 0 U 0 l valore resduo la uda propretà l usufrutto metre quell relatv all ao k (0, l dcheremo co: V k P k U k l valore resduo la uda propretà l usufrutto. a Valutazoe d u prestto rmborsable alla scadeza co teress corrspost aualmete. La uda propretà è l valore è l valore attuale del mutuo, coè: e l usufrutto: ( + U 0 = C P 0 = C (+ = C ( + = C C ( + 3

32 da cu fe: U 0 = ( C P0. La uda propretà al k-esmo ao è data da: P k = C (+ ( k e l usufrutto: e qud: ( + k U k = C ( = C [ (+ ( k ] = [C C (+ ( k ] U k = (C P k. Da queste s rcavao le formule d Makeham: V k = P k + dalle qual s rcavao po le: V 0 = P 0 + ( C P0 (C P k V 0 = C (+ + (C C (+ = C (+ + C (+ C V 0 = V k = C + C (+ C + C (+ ( k. b Valutazoe d u prestto el caso d ammortameto progressvo. 32

33 Il valore attuale d rate costat è uguale, come gà sappamo, al seguete prodotto: A = R ( + per cu, dcado acora co V k l valore del prestto al terme d k perod, co R la rata d ammortameto e co l tasso d valutazoe, s ha: ( + k V k = R ( oppure, poché la rata d ammortameto è data dalla R = A ( +, s ha: ( + V k = A ( + ( k. Come abbamo gà osservato, talvolta s rede ecessaro scomporre le due part, uda propretà e usufrutto, soprattutto per quelle operazo fazare elle qual l drtto d rscuotere gl teress d u determato prestto sa attrbuto a persoa dversa da quella autorzzata a percepre le quote d rmborso del captale avuto uso. Alla scadeza del k-esmo perodo, l valore del prestto sarà scuramete dato dalla somma della uda propretà e dell usufrutto, coè: V k = P k + U k. Determamo P k. Per defzoe, la uda propretà è uguale al valore attuale delle ( k quote d captale che debboo essere pagate al credtore. Sappamo oltre che ell ammortameto progressvo le quote captale compogoo ua progressoe geometrca d ragoe (+ ella quale l prmo terme è: C = A ( +. Da o, però, soo da predere cosderazoe solamete le ( k quote che debboo essere rmborsate d cu la prma è data da: Q = A ( + (+ k. 33

34 Ora l valore attuale, al tempo k, d queste quote è l valore attuale d ua redta costtuta da ( k rate varabl progressoe geometrca d ragoe (+ ed l cu prmo terme è A (+ k ; applcado drettamete la formula che ( + c permette d calcolare l valore attuale d ua redta co rate progressoe geometrca, coè la A = R ( + q, possamo scrvere: + q P k = A ( + (+ k ( k ( + ( + + ( + k Moltplcado e dvdedo per (+, s ottee: P k = A ( + = A ( + (+ k ( ( + ( + ( + + ( + ( + k k ( ( + ( ( k k k P k = A ( + k ( + ( + ( ( k. Questa relazoe c permette d calcolare mmedatamete e faclmete l valore della uda propretà. Dal valore P k della uda propretà s può passare faclmete a quello dell usufrutto. Ifatt, dalla V k = P k + U k s deduce che U k = V k P k. 34

In questo capitolo vedremo solamente un caso di rendita, che useremo poi per generalizzare le rendite e dedurre tutti gli altri casi.

In questo capitolo vedremo solamente un caso di rendita, che useremo poi per generalizzare le rendite e dedurre tutti gli altri casi. 7. Redte I questo captolo edremo solamete u caso d redta, che useremo po per geeralzzare le redte e dedurre tutt gl altr cas. S defsce redta ua successoe d captal (rate) tutte da pagare, o tutte da rscuotere,

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