RELAZIONE DI IDRAULICA

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1 Politecnico di Torino RELAZIONE DI IDRAULICA Relazione esercitazioni. Anno Accademico 2011/2012 Corso di Idraulica Professore: L. Ridolfi Studente: Eleonora Magnotta Matricola:

2 INDICE ESERCITAZIONE 8 PAGINA 3 ESERCITAZIONE PAGINA 17 ESERCITAZIONE 11. PAGINA 24 ESERCITAZIONE 12. PAGINA 29 2

3 ESERCITAZIONE 8 Moto uniforme nelle correnti a pelo libero. Un corso d'acqua scorre in un alveo costituito da una parte centrale, trapezia, larga al fondo 4,10 m e sponde inclinate di 1/1 fino ad un'altezza di 2,05 m e da 2 aree golenali laterali larghe ciascuna 5,00 m e con sponde inclinate di 2/3. L'alveo centrale e rivestito con blocchi di pietra naturale ben sistemati (n=0,022m 1/3 / s ), mentre le golene sono in terra regolarizzata e ricoperta d'erba ( n =0,025m 1/3 /s ). La pendenza del fondo e del Tracciare l'andamento della scala di deflusso Q(y); 2. Calcolare la portata di moto uniforme con un'altezza d'acqua di 1 m sulle golene. 3

4 Svolgimento: Il tracciamento della scala di deflusso, cioè l'andamento della portata con l'altezza dell'acqua nell'alveo, si ricava in modo iterativo. Per ogni incremento dell'altezza abbiamo ragionato come segue: per prima cosa notiamo, dal fatto che l'alveo centrale e rivestito con blocchi di pietra naturale e le golene sono in terra regolarizzata e ricoperta d'erba, che la sezione presenta 2 scabrezze diverse. Questo dato ci suggerisce di suddividere la sezione a seconda del coefficiente di Manning in 2 parti: la parte centrale con n = 0,022 m 1/3 /s, e le zone golenali con n = 0,025 m 1/3 / s. Calcoleremo la portata dell intera sezione come somma della portata dell alveo centrale e delle portate delle due parti laterali golenali. Lo schema seguente chiarisce la suddivisione: 4

5 Per tracciare l andamento della scala di deflusso tracceremo una tabella su un foglio elettronico mediante la quale calcoleremo il perimetro bagnato (P), l ampiezza del fiume in corrispondenza della superficie libera (b), l area della sezione in oggetto (Ω), il raggio idraulico (R), il coefficiente di scabrezza (χ), la velocità media (U) e la portata (Q), tutto ovviamente in funzione della profondità (Y). Sezione 1: Innanzitutto effettuiamo alcuni passaggi geometrici per poter esprimere l'area della sezione in funzione dell'altezza. Base dell'alveo: b=4,10m ; Larghezza della superficie libera: b1(y)=4,10+2 y L'area di fluido in funzione dell'altezza y e data dall'area del trapezio con basi b e b1 ed altezza y: (area del trapezio ABCD) 5

6 Il perimetro bagnato della sezione 1 e dato dalla somma della base dell'alveo b e dai 2 tratti laterali inclinati di 45. Per conoscere la lunghezza delle parti inclinate occorre effettuare un semplice ragionamento trigonometrico che esprime l'ipotenusa in funzione di uno dei due cateti. cateto=ipotenusa cos(α) Quindi il perimetro bagnato è dato da: P1= *AB =4.10+(2y/cosα). Calcoliamo la portata con la formula di Chezy: Q1(y)= χ * Ω * (R*iF) in cui: χ: lo esprimiamo con il coefficiente di Manning n come: χ = (1/n)*R 1/6 ; R: è il raggio idraulico, che esprimiamo come rapporto tra l area e il perimetro bagnato: R= Ω/P; If : è la pendenza del fondo, che in questo caso è costante e vale 3 : if= Avremo dunque per la sezione 1: per Y < 2,05 m per Y > 2,05 m 6

7 per Y < 2,05 m per Y > 2,05 m per Y < 2,05 m per Y > 2,05 m Sezione 2: Superata l altezza di 2.05 metri, l acqua non occupa solo più la parte principale, ma inizia a muoversi anche nelle due zone golenali laterali. Anche in questo caso possiamo ricavare la portata di acqua in funzione dell altezza con alcune considerazioni geometriche. La base della golena è fissa ed è pari a b=5m, mentre la larghezza della superficie libera è in funzione dell altezza e di calcola come: b2=5+(2/3)*(y-2.05). 7

8 L area di fluido in funzione dell altezza y è data dall area del trapezio con basi b e b2 ed altezza (y-2.05): Per calcolare il perimetro bagnato, in questo caso, dobbiamo fare attenzione al fatto che il liquido da una parte e a contatto con il terreno, mentre dall'altra parte e a contatto con l'acqua della parte di alveo centrale, quindi quest'ultima parte non va considerata come superficie bagnata. Anche in questa situazione per calcolare l'unica parte inclinata ci viene in aiuto la trigonometria: calcoliamo l'angolo tra l'orizzontale e il segmento inclinato 2/3 come: α = arctg (2/ 3) = 33,69 ; calcoliamo il segmento inclinato come: x =y sin(α) =y sin (arctg (2/3)) =y sin (33,69 ) ; il perimetro bagnato e dato da: P2 ( y ) =5+x = 5+ y sin (33,69 ). Calcoliamo la portata, come visto nel caso precedente, con la formula di Chezy: Q1=χ * Ω * (R*iF), con l accortezza di cambiare il coefficiente di Manning da n=0.022 m -1/3 /s ad n= m -1/3 /s. per Y < 2,05 m per Y > 2,05 m per Y < 2,05 m per Y > 2,05 m per Y < 2,05 m per Y > 2,05 m 8

9 Segue il processo iterativo svolto con un foglio elettronico: 9

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16 Per ottenere infine la portata complessiva: Il foglio di calcolo che ne risulta costituisce l allegato 1. Abbiamo inoltre, guardando la tabella, che la portata di moto uniforme con un altezza a 1 metro sulle golene, ovvero a Y = 2,05 m + 1 m = 3,05 m è Q(3,05 m) = 107,5. 16

17 ESERCITAZIONE 10 MOTO PERMANENTE DELLE CORRENTI A PELO LIBERO: Integrazione numerica Un corso d acqua con sezione rettangolare ha una larghezza b = 50 m, una pendenza del fondo i f = e un coefficiente di scabrezza n = 0.04 m-1/3s (Manning). Lungo il corso d acqua e presente un ponte che, con una portata di piena Q = 600 m3/s. Determinare la distanza del risalto idraulico dal ponte sotto la seguente condizione: Profondità all uscita del ponte = 1.2 m Per prima cosa occorre calcolare l altezza critica. A questo punto è possibile ricavare l altezza di moto uniforme: definiamo la funzione implicita, esplicitando la portata tramite la formula pratica di Chezy. Dove R è il raggio idraulico della sezione che sto considerando e χ è il coefficiente di scabrezza secondo Manning. Ricaviamo lo zero della nostra funzione implicita tramite un metodo di calcolo impostato sui parametri noti. Consideriamo. 17

18 Y Ω = b Y P = b + 2Y R = Ω/P Fu 0,05 2,50 50,10 0,05 599,54 0,10 5,00 50,20 0,10 598,53 0,15 7,50 50,30 0,15 597,11 0,20 10,00 50,40 0,20 595,34 0,25 12,50 50,50 0,25 593,25 0,30 15,00 50,60 0,30 590,87 0,35 17,50 50,70 0,35 588,21 0,40 20,00 50,80 0,39 585,29 0,45 22,50 50,90 0,44 582,12 0,50 25,00 51,00 0,49 578,72 0,55 27,50 51,10 0,54 575,09 0,60 30,00 51,20 0,59 571,24 0,65 32,50 51,30 0,63 567,17 0,70 35,00 51,40 0,68 562,91 0,75 37,50 51,50 0,73 558,44 0,80 40,00 51,60 0,78 553,78 0,85 42,50 51,70 0,82 548,93 0,90 45,00 51,80 0,87 543,90 0,95 47,50 51,90 0,92 538,69 1,00 50,00 52,00 0,96 533,30 1,05 52,50 52,10 1,01 527,74 1,10 55,00 52,20 1,05 522,02 1,15 57,50 52,30 1,10 516,13 1,20 60,00 52,40 1,15 510,08 18

19 1,25 62,50 52,50 1,19 503,87 1,30 65,00 52,60 1,24 497,51 1,35 67,50 52,70 1,28 490,99 1,40 70,00 52,80 1,33 484,32 1,45 72,50 52,90 1,37 477,51 1,50 75,00 53,00 1,42 470,55 1,55 77,50 53,10 1,46 463,46 1,60 80,00 53,20 1,50 456,22 1,65 82,50 53,30 1,55 448,84 1,70 85,00 53,40 1,59 441,33 1,75 87,50 53,50 1,64 433,68 1,80 90,00 53,60 1,68 425,90 1,85 92,50 53,70 1,72 417,99 1,90 95,00 53,80 1,77 409,96 1,95 97,50 53,90 1,81 401,79 2,00 100,00 54,00 1,85 393,51 2,05 102,50 54,10 1,89 385,10 2,10 105,00 54,20 1,94 376,57 2,15 107,50 54,30 1,98 367,91 2,20 110,00 54,40 2,02 359,14 2,25 112,50 54,50 2,06 350,26 2,30 115,00 54,60 2,11 341,26 2,35 117,50 54,70 2,15 332,14 2,40 120,00 54,80 2,19 322,91 2,45 122,50 54,90 2,23 313,57 2,50 125,00 55,00 2,27 304,12 2,55 127,50 55,10 2,31 294,57 19

20 2,60 130,00 55,20 2,36 284,90 2,65 132,50 55,30 2,40 275,13 2,70 135,00 55,40 2,44 265,25 2,75 137,50 55,50 2,48 255,27 2,80 140,00 55,60 2,52 245,19 2,85 142,50 55,70 2,56 235,00 2,90 145,00 55,80 2,60 224,72 2,95 147,50 55,90 2,64 214,33 3,00 150,00 56,00 2,68 203,85 3,05 152,50 56,10 2,72 193,27 3,10 155,00 56,20 2,76 182,59 3,15 157,50 56,30 2,80 171,82 3,20 160,00 56,40 2,84 160,95 3,25 162,50 56,50 2,88 149,99 3,30 165,00 56,60 2,92 138,93 3,35 167,50 56,70 2,95 127,79 3,40 170,00 56,80 2,99 116,55 3,45 172,50 56,90 3,03 105,23 3,50 175,00 57,00 3,07 93,81 3,55 177,50 57,10 3,11 82,31 3,60 180,00 57,20 3,15 70,71 3,65 182,50 57,30 3,18 59,04 3,70 185,00 57,40 3,22 47,27 3,75 187,50 57,50 3,26 35,42 3,80 190,00 57,60 3,30 23,49 3,85 192,50 57,70 3,34 11,47 3,90 195,00 57,80 3,37-0,63 20

21 3,95 197,50 57,90 3,41-12,81 Il valore che approssima meglio lo zero risulta dunque essere Y = 3,9 m. Considerando questa altezza come quella di moto uniforme notiamo subito che. Siamo dunque in presenza di un alveo a debole pendenza con corrente veloce. Poiché questa corrente deve raccordarsi ad una corrente di moto uniforme che è lenta, avremo un profilo di tipo D3 fino al raggiungimento di un altezza Y che risulta essere coniugata nel risalto con, vale a dire avente lo stesso valore di spinta S. Ho dunque: Definiamo allora una nuova funzione implicita Che esprimiamo in funzione di fino a ricavare per successivi incrementi di, il valore di spinta indicato. 21

22 sempre considerando Y [m] Ω [m 2 ] P [m] R [m] χ K s [m] Spinta [N] 1,20 60,00 52,40 1,15 25,57 0, , ,00 1,25 62,50 52,50 1,19 25,74 0, , ,88 1,30 65,00 52,60 1,24 25,90 0, , ,04 1,35 67,50 52,70 1,28 26,05 0, , ,21 1,40 70,00 52,80 1,33 26,20 0, , ,14 1,45 72,50 52,90 1,37 26,35 0, , ,12 Come si nota dalla tabella il valore della spinta totale che eguaglia quello all'altezza y u si trova tra un'altezza di 1,40 m e 1,45 m. Il risalto si trova ad una distanza di circa 13 metri a valle del ponte. I parametri zf, h, hc e hu servono per il tracciamento dell'andamento del profilo a valle del ponte e sono: zf indica la quota geometrica del fondo, calcolata come: zf= i F s ; h rappresenta l'andamento del profilo, ricavato come: h=y+zf (fino al risalto), successivamente dopo il risalto h corrisponde all'altezza di moto uniforme che ha una quota geometrica hu; hc e la quota critica: h=zf+2,45m ; hu e la quota di moto uniforme: hu=zf+3,90m. Lo schema e il seguente: 22

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24 Moti a potenziale ESERCITAZIONE 11 Un acquifero di spessore unitario e caratterizzato da un moto orizzontale con velocità U0 = m/h e da un valore di porosità n = 0.3. All interno dell acquifero e presente una zona inquinata delimitata dai punti A (10 m; 10 m), B(40; 10), C(40; -10) e D(10; -10), come mostrato in fig.2. Per isolare la zona ABCD viene creata una barriera idraulica medianti i due pozzi di immissione (q1 > 0) e prelievo (q2 = - q1 < 0). Le coordinate dei due pozzi sono rispettivamente P1 (0;0) e P2 (50;0). Verificare che la portata q1 = 4 m2/h e sufficiente ad isolare idraulicamente la zona inquinata ABCD; Determinare il valore minimo di portata che permetta di isolare la zona e tracciare la relativa traiettoria. [Suggerimento: e sufficiente tracciare un unica traiettoria passante per uno degli estremi, per es. per A] Scriviamo il potenziale complesso delle velocità. Questo sarà, per il principio di sovrapposizione degli effetti: dove z 1= 0 mentre z 2= x+ iy= 50+ i 0= 50 Quindi otteniamo W (z)= u 0 z+ q 1 2π ln (z z 1) q 2 2π ln ( z z 2) Derivando: W (z)= u 0 z+ q q ln (z) ln (z 50) 2π 2π 24

25 dw dz = u 0 + q 2πz q 2π( z 50) dw dz = u q 0+ 2π( x+ iy) q 2π( x+ iy 50) chiamo b= x 50 dw dz = u 0+ q x iy 2π( x+ iy) x iy q b iy 2 π(b+ iy) b iy dw dz = u 0+ dw dz = u 0+ q(x iy) 2π( x 2 + y 2 ) q(x 50 iy) 2π[( x 50) 2 + y 2 ] qx 2π( x 2 + y 2 ) i qy 2 π(x 2 + y 2 ) q(x 50) 2π[( x 50) 2 + y 2 ] + i qy 2π[(x 50) 2 + y 2 ] siccome dw dz = u iv Allora avremo: e u= u 0 + v= qx 2π( x 2 + y 2 ) q( x 50) 2π[( x 50) 2 + y 2 ] qy 2π(x 2 + y 2 ) qy 2π[( x 50) 2 + y 2 ] Avendo trovato le equazioni di u e v in funzione di x e y, posso calcolare la traiettoria passante per il punto A e verificare che questa passi anche per il pozzo 2. Ciò significa infatti che la zona inquinata è completamente isolata. Nessuna traiettoria passante per la zona inquinata può superare il pozzo 2. Per il calcolo della traiettoria in una tabella excel inserisco le coordinate del punto A iniziale e calcolo la x e la y ogni 5 ore. Le formule utilizzate sono: Δ x i = u i n Δ t Δ y i = v i n Δ t e x i+ 1 = x i + Δ x i Otteniamo questa traiettoria: y i+ 1 = y i + Δ y i 25

26 La traiettoria passa proprio per il secondo pozzo. Nel pozzo abbiamo una singolarità, non vale l'equazione di potenziale complesso delle velocità, per questo la traiettoria segnata è confusa intorno a x=50. Per determinare il valore minimo di portata procediamo allo stesso modo,cambiando la portata, diminuendola gradualmente. In questo grafico è rappresentata la traiettoria passante per il punto A corrispondente ad una portata pari a 3m 2 / h. 26

27 Anche in questo caso la portata 3m 2 / h permette di isolare idraulicamente la zona inquinata poiché la traiettoria termina nel pozzo 2. Analizziamo quindi il caso di una portata pari a 2m 2 /h : In questo caso invece la traiettoria passante per A non termina nel pozzo ma prosegue, ciò significa che questa portata non è sufficiente a isolare idraulicamente la zona. Servirà una portata maggiore. Tentiamo una portata pari a 1,1m 2 /h : 27

28 Anche in questo caso la portata 1,1m 2 /h non è sufficiente, la traiettoria non passa per il secondo pozzo. Tentiamo la portata 1,2m 2 /h : La portata 1,2m2/h è la portata minima che permette di isolare idraulicamente la zona inquinata poiché la traiettoria termina nel pozzo 2. 28

29 MOTI DI FILTAZIONE ESERCITAZIONE 12 Una galleria drenante viene progettata per prelevare da una sorgente la portata Q necessaria ad alimentare l acquedotto di un centro urbano di abitanti (si consideri una domanda pari 300 litri/giorno per abitante). L acquifero freatico è caratterizzato dal coefficiente di conducibilità idraulica K = 2.6 * 10-3 m/s e dal carico indisturbato H = 7.8 m ad una distanza L = 300 m dalla galleria. Calcolare la lunghezza l della galleria assumendo il livello h0 = 0.5 m all interno della galleria stessa. [l =130 m] Considerando il valore di l ottenuto con nel punto precedente, determinare la riduzione di portata nel caso in cui il livello indisturbato della falda si riduca a H = 6.8 m, mentre gli altri parametri non subiscono variazioni. [Q = m3/s]. Per prima cosa dobbiamo calcolare la portata necessaria ad alimentare il centro urbano: Q=domanda * (n abitanti)=300*10000= litri/giorno=35l/s=0.035 m 3 /s. Consideriamo che il campo di moto, per l'ipotesi di Dupuit, u può essere considerato orizzontale, cioè caratterizzato da una sola componente orizzontale. Anche se in realtà varia anche in verticale perché ho la cosiddetta tavola d acqua nella falda freatica. 29

30 Considerando il valore di l = 133 m appena ottenuto, ci e richiesto di determinare la riduzione di portata nel caso in cui il livello indisturbato della falda si riduca a H = 6.8 m, mantenendo costanti gli altri parametri. Riutilizziamo lo stesso integrale di prima, cambiando gli estremi di integrazione e considerando la portata Q come incognita: 30