Teoremi sulle funzioni derivabili
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- Elisa Cosentino
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1 Teoremi sulle unzioni derivili Inizimo con l deinizione di punto di mssimo o minimo reltivo di un unzione. Deinizione: D è un punto di mssimo reltivo se esiste un intorno I tle che : I Deinizione: D è un punto di minimo reltivo se esiste un intorno I tle che : I NOTA : Un punto di mssimo minimo ssoluto è nche un punto di mssimo minimo reltivo m il vicevers non è vero. e sono punti di minimo reltivo ; è punto di minimo ssoluto. e sono punti di mssimo reltivo e è punto di mssimo ssoluto. Per studire il rico di un unzione è ondmentle l ricerc di punti di mssimo minimo reltivi. Per cpire come possno essere individuti vedimo lcuni teoremi riurdnti le unzioni derivili. Prtiremo d un teorem riurdnte i mssimi minimi reltivi interni l dominio per es. e nel rico dell esempio precedente in cui l unzione è derivile e poi dimostreremo tre teoremi Rolle Cuchy Lrne che ci permetternno di dimostrre il leme tr l ndmento di un unzione unzione crescente decrescente e il seno dell su derivt. 5
2 Teorem sui punti di mssimo minimo reltivo interni l dominio Si :[ ] R continu in [ ] e derivile in. Se è un punto di mssimo minimo reltivo interno l dominio ' cioè l tnente l rico è prllel ll sse Dimostrzione Supponimo che si un punto di mssimo reltivo interno l dominio vedi iur. Allor I o : I e quindi I Clcoo : ' + perché e > mentre perché e < M se è derivile in i due iti devono coincidere e quindi l unic possiilità è che sino entrmi uuli '. Osservzione: è importnte che se è un punto di mssimo o minimo reltivo m non è interno l dominio per es. e nell iur non è detto che in l derivt si null vedi iur. NOTA : il vicevers del teorem non è vero perché se in si h ' siniic che l tnente l rico è orizzontle e potree nche essere un punto di lesso tnente orizzontle. 6
3 Teorem di Rolle mtemtico rncese Si :[ ] R continu in [ ] e derivile in e se : ' cioè esiste lmeno un punto : '. Dimostrzione Se è costnte llor '. Se non è costnte per il teorem di Weierstrss h mssimo e minimo ssoluti. Poiché però il mssimo e il minimo ssoluti non possono essere ssunti entrmi neli estremi dell intervllo e quindi lmeno uno deve essere interno l dominio per il teorem precedente : ' NOTA : se l unzione non osse derivile in il teorem non sree vero. Considerimo per esempio il cso in iur: m non c è nessun punto con tnente l rico prllel ll sse cioè con derivt null In non è derivile. 7
4 Esempi Proetto Mtemtic in Rete Consider 4 Veriic le ipotesi del teorem di Rolle in I []? h come dominio 4 è continu in [ ]. Clcoo ' 4 4 Quindi non è derivile in ± punti tnente verticle m nelle ipotesi del teorem non si richiede l derivilità neli estremi dell intervllo. Veriichimo inine se cioè e quindi nche quest ipotesi è veriict. Quindi veriic tutte le ipotesi del teorem di Rolle in [ ] Qul è o quli sono il punto '? : Bst porre ' e risolvere l equzione. Aimo 4 Quindi Del resto disenndo il rico di 4 elevndo l qudrto + y 4 semicirconerenz di centro e rio si osserv che in si h l tnente orizzontle. 8
5 Consider nell intervllo [ ] I. L unzione veriic le ipotesi del teorem di Rolle? Quindi qundo qundo ' < < < > Disenndo il rico imo: Considerimo l intervllo ssento I [ ] : in questo intervllo l unzione è continu e si veriic cilmente m in interno I non è derivile perché ' mentre ' + Quindi le ipotesi del teorem di Rolle non sono veriicte ed intti osservndo il rico nessun punto interno I h derivt null. 9
6 Esercizi sul teorem di Rolle Consider l unzione Si può pplicre il teorem di Rolle in I [4]? Disen il rico di. [no perché ] Consider +. Si può pplicre il teorem di Rolle in I [ ]? Disen il rico di. [si; ] 3 Consider. Si può pplicre il teorem di Rolle in Disen il rico di. 3 3 I 4? [no perché ] 4 Consider rct. Si può pplicre il teorem di Rolle in I [ ]? Disen il rico di. [no perché ] 5 Consider e. Si può pplicre il teorem di Rolle in I [ ]? [si; ] 6 Consider 3. Si può pplicre il teorem di Rolle in [ ] Disen il rico di. I? [si; ] 3
7 3 Teorem di Cuchy mtemtico rncese Sino R ] [ : e R ] [ : due unzioni continue in ] [ e derivili in e inoltre si ' ' ' : Dimostrzione Osservimo innnzitutto che perché se osse per il teorem di Rolle ' : e questo è contrrio ll ipotesi che '. Considerimo l unzione F così deinit: F Poiché F è continu in ] [ e derivile in e come si può veriicre cilmente F F per il teorem di Rolle ' : F M ' ' ' F e quindi ' ' ' F e quindi : ' ' Dl teorem di Cuchy seue suito il seuente teorem di Lrne mtemtico torinese.
8 Teorem di Lrne Se :[ ] R è continu in [ ] e derivile in : ' Interpretzione eometric: poiché è l inclinzione dell rett pssnte per li estremi del rico il teorem erm che esiste lmeno un punto P in cui l tnente l rico è prllel ll rett pssnte per li estremi del rico. Dimostrzione Bst considerre come second unzione pplicre il teorem di Cuchy. continu derivile e con ' ed Intti poiché ' e vremo che : ' cioè quello che volevmo dimostrre. 3
9 Esempi Proetto Mtemtic in Rete Considerimo 3 nell intervllo [ ] I. Veriic le ipotesi del teorem di Lrne? Poiché è continu e derivile in R lo è sicurmente nche in I e quindi veriic le ipotesi del teorem di Lrne. Determin il punto o i punti : ' Nel nostro cso e quindi essendo ' 3 devo risolvere: 3 3 ± 3 I vlori sono interni ll intervllo I e quindi entrmi ccettili. Gricmente intti si veriic che esistono due punti del rico in cui l tnente è prllel ll rett per A e B Considerimo in I []. Si può pplicre il teorem di Lrne? Poiché ' < < < > Poiché ' e ' + e quindi il teorem di Lrne non si può pplicre. si h che non è derivile in interno I 33
10 Esercizi sul teorem di Lrne Consider 3 8. Si può pplicre il teorem di Lrne in I []? Disen il rico di. [si; + ] 3 Consider 3 Si può pplicre il teorem di Lrne? Disen il rico di. [si; ] 3 Consider e + < Si può pplicre il teorem di Lrne in I [ ]? [si; ln e ] 4 Consider e Si può pplicre il teorem di Lrne in I [ ]? [si; + e ] 4e 5 Consider > Si può pplicre il teorem di Lrne in I []? [si; 3 ] 34
11 3 6 Consider 3 Si può pplicre il teorem di Lrne in I []? 7 Consider [si; ± 3 ] + 4 < Si può pplicre il teorem di Lrne in I []? Disen il rico di. 3 [si; ; ] 8 Consider. Si può pplicre il teorem di Lrne in I [3 ]? + Disen il rico di. [si; ] 9 Consider. Si può pplicre il teorem di Lrne in I [49]? [si; 5 4 ] Consider ln. Si può pplicre il teorem di Lrne in I [ e]? [si; e ] Consider +. Si può pplicre il teorem di Lrne in I []? [no perché ] Consider ln < Si può pplicre il teorem di Lrne in I []? 3 Consider < [si; ] ln + Si può pplicre il teorem di Lrne in I []? [si; ; ] 35
12 Se Teorem di De l Hospitl senz dimostrzione si present in orm indetermint e se esiste ' inito o ininito ' ' l dimostrzione si s sul teorem di Cuchy ' NOTA : se Esempi '' ecceter ' ' sen cos ' si present ncor in orm indetermint possimo cercre di clcolre ' H H e e H ln H ln In enerle se α > : + α + α α Si dice che l unzione y α α > qundo +. H H e e e y ln è un ininito di ordine ineriore rispetto ll unzione e In enerle se α > : α Si dice che l unzione y e è un ininito di ordine superiore rispetto ll unzione y α α > qundo +. 36
13 5 + + sen + cos + cos Derivndo trovimo : questo ite non esiste e quindi non possimo + sen pplicre il teorem di De l Hospitl. In questo cso il ite dto può essere clcolto dividendo numertore e denomintore per : + sen + + cos + sen + cos 6 Il teorem di De l Hospitl può essere utilizzto nche per determinre iti che si presentno nell orm indetermint del prodotto m solo dopo ver scritto il prodotto come un quoziente opportuno. Per esempio: e si present in orm indetermint Se scrivimo e H e e Attenzione: se vessimo scritto e e non sremmo riusciti clcolre il ite con l Hospitl perché derivndo l orm sree rimst indetermint: e e H e che è ncor un orm indetermint Occorre quindi re ttenzione come si trsorm il prodotto. 37
14 Esercizi sul teorem di De l Hospitl Clcol i seuenti iti ln + [ + ] 3 [ ] + e 3 ln + ln [ ] [ ] 5 e [ ] π 6 t π [ ] 7 rct π + [ ] 8 e + [ ] 9 + ln cot [ ] ln + sen3 + t [ ] [ ] ln + [ ] ln e [ + ] [ ] 38
15 Corollri del teorem di Lrne [ ] R è continu in [ ] derivile in k cioè è un unzione costnte. Se : e ' Dimostrzione Si : poiché è continu nche in teorem di Lrne questo intervllo. : ' M ' e quindi [ ] e derivile in posso pplicre il Poiché questo ccde comunque si scel unzione è costnte. si è dimostrto che k cioè l Se :[ ] R e :[ ] R sono continue in [ ] derivili in e se ' ' [ ] k Dimostrzione Considerimo F Poiché F' ' ' pplicndo il primo corollrio si h F k e quindi k cioè le due unzioni dieriscono per un costnte. 3 M l conseuenz più interessnte del teorem di Lrne è rppresentt dl seuente teorem: 39
16 Teorem Relzione tr il seno dell derivt e ndmento dell unzione Dt :[ ] R continu in [ ] e derivile in imo che: se ' > è crescente in se ' < è decrescente in Dimostrzione Considerimo [ ] con <. Poiché è continu in [ ] ll intervllo [ ] e derivile in pplicndo il teorem di Lrne con < < : ' M ' > per ipotesi e > > > Quindi poiché questo vle comunque scel < imo dimostrto che l unzione è crescente. Anlomente si dimostr che se ' < è decrescente. NOTA Osservimo che se è crescente in [ ] ' poiché può esserci nche un lesso tnente orizzontle. Questo teorem è ondmentle per lo studio del rico di un unzione poiché come vedremo ci permette di individure i punti di mssimo minimo e lesso tnente orizzontle. 4
17 Ricerc dei punti di mssimo minimo lesso tnente orizzontle Considerimo un punto D in cui ' cioè un punto in cui l tnente è prllel ll sse. Potree essere un punto di mssimo o un punto di minimo o un punto di lesso tnente orizzontle. Per cpirlo studimo il seno di '. Se il seno dell derivt h questo ndmento cioè netivo e poi positivo poiché l prim di decresce e poi cresce è un punto di MINIMO. Se il seno dell derivt h questo ndmento l unzione prim di cresce e poi decresce è un punto di MASSIMO. 3 Se ' non cmi seno in è un punto di FLESSO A TANGENTE ORIZZONTALE scendente o discendente Flesso scendente Flesso discendente 4
18 Studio del rico di un unzione Esempio Provimo studire il rico di 3 4 Per prim cos determinimo il dominio: D R \{ ±} Studimo il seno dell unzione per cpire qundo il rico si trov sopr ll sse e qundo si trov sotto ll sse. Studimo: 3 4 > Quindi > < < < Comincimo d einre con un leero trtteio le zone dove non si trov il rico: Determinimo le eventuli intersezioni con li ssi ponendo se è nel dominio e y. Nel nostro cso trovimo solo ; Veriichimo se l unzione è pri o dispri cioè clcoo 4
19 3 4 3 l unzione è dispri cioè il rico risulterà 4 simmetrico rispetto ll oriine. Pssimo llo studio dei iti e ll ricerc deli sintoti se ci sono. Nel nostro cso imo: sintoto verticle sintoto verticle m +... q y sintoto oliquo 3 Clcoo desso ' studimo in quli punti si nnull e il suo seno: 3 ' Ponimo ' 3 ± 3 Studimo ' > 4 > > 3 < < 3 m M F 3; ; 3 3 ; 43
20 Riportimo i nostri risultti nel diseno: il rico dovrà necessrimente vere il seuente ndmento OSSERVAZIONI Nello studio di un rico è importnte determinre nche l concvità del rico e i punti in cui c è un cmio di concvità punti di lesso. Per r questo doimo dimostrre un teorem che le l concvità l seno dell derivt second di. 44
21 Deinimo cos si intende per concvità verso l lto o verso il sso del rico di un unzione in : Deinizione: dicimo che in il rico di vole l concvità verso l lto qundo esiste un intorno di I in cui il rico si trov sopr ll tnente in P ; Poiché l equzione dell tnente risult t : y ' y + ' possimo nche dire che in il rico vole l concvità verso l lto se I : I + ' Deinizione: dicimo che in il rico di vole l concvità verso il sso qundo esiste un intorno di I in cui il rico si trov sotto ll tnente in P ; cioè se I I + ' : 45
22 Per studire l concvità utilizzeremo l derivt second. Intti imo il seuente teorem: Teorem : si continu in I con ' '' continue e I. Se '' > in il rico di vole l concvità verso l lto. Se '' < in il rico di vole l concvità verso il sso. Dimostrzione Supponimo che '' > Considerimo ϕ [ + ' ] Osservimo che ϕ rppresent lo scrto unzione-tnente: per dimostrre che l concvità è rivolt verso l lto sterà dimostrre che I in cui ϕ Determinimo: ϕ' ' ' ϕ'' '' Poiché quindi ϕ'' '' > I in cui ϕ'' > per l continuità di '' Possimo scrivere ϕ'' Dϕ' > e llor vendo derivt positiv ϕ' è un unzione crescente. M sostituendo imo ϕ' e quindi il seno di ϕ' srà il seuente poiché ϕ' deve essere crescente: M llor ϕ h un minimo in cioè I : I ϕ ϕ M sostituendo ϕ e quindi I : I ϕ Cioè il rico vole l concvità verso l lto in. L dimostrzione dell second prte è nlo. 46
23 Flessi di un unzione Deinizione: si dice un punto di lesso per se in il rico dell unzione cmi concvità e quindi il rico ttrvers l tnente in P ;. A second dell inclinzione dell tnente possimo vere lesso tnente verticle : in questo cso non è derivile in e ' + o ' lesso tnente orizzontle : in ' m ' non cmi seno in Cmi seno invece '' in perché cmi l concvità e ''. lesso tnente oliqu : in m c è un cmio di concvità e quindi '' e '' cmi seno. ' 47
24 Possimo inlmente studire nche l concvità di un rico e li eventuli punti di lesso utilizzndo ''. 3 Riprendimo il nostro esempio Clcoo '' Quindi '' e studindo '' > imo: Quindi vremo il seuente ndmento del seno di '' : e quindi il rico vole l concvità verso l lto per < e < < verso il sso per < < e > e F; è un lesso. Nturlmente ± non sono punti di lesso perché non pprtenono l dominio. Osservimo che F; è un lesso tnente orizzontle poiché ' ed intti l vevmo ià individuto. Lo studio di '' conerm quindi il nostro rico. NOTA Lo studio di '' è indispensile per individure eventuli lessi tnente oliqu mentre può essere omesso nei csi in cui per l presenz di sintoti o per lo studio di ' si chiro come risulti il rico come nel nostro esempio. 48
25 Esempio Studimo il rico di D R 3 3 Proetto Mtemtic in Rete > 3 > y y Quindi le intersezioni con li ssi sono 3; ; 3; 3. 3 ± 3 3 Osservimo che e quindi l unzione è dispri cioè simmetric rispetto ll oriine. ± m non ci sono sintoti oliqui + ± ± 3 y' 3 y' 3 3 ± y '> M ; m; 4 y' ' 6 y '' y '' > > F; lesso tnente oliqu 49
26 Mssimi minimi e lessi con lo studio di ' ' Per individure mssimi e minimi possimo utilizzre lo studio di '' piuttosto dello studio del seno di '. Se in imo ' e '' > concvità verso l lto è un punto di MINIMO Se in imo ' e '' < concvità verso il sso è un punto di MASSIMO Se in ' e '' doimo studire il seno di '' : se cmi in llor è un punto di lesso tnente orizzontle. Si può dimostrre che Se in e ' '''... e n cioè se l derivt n-esim è ' ' l prim derivt divers d in : se n è pri è un punto di mssimo se n < è un punto di minimo se n > se n è dispri è un punto di lesso tnente orizzontle Se in m ' '''... e n cioè l derivt n-esim è ' l prim derivt divers d in : ' se n è pri in il rico vole l concvità verso l lto se n > il rico vole l concvità verso il sso se n < se n è dispri è un punto di lesso tnente oliqu 5
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