Regimi periodici non sinusoidali
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- Aloisio Manzoni
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1 Regm perodc non snusodal versone del -- Funzon perodche S dce che una funzone y è perodca se esse un > ale che per ogn e per ogn nero y y l pù pccolo valore d per cu è soddsfaa la relazone precedene è deo perodo d y
2 alore medo e valore cace alore medo nel perodo d una funzone perodca y med y d Se med, s dce che y è alernaa Per le grandezze alernae s consdera anche l valore medo del modulo med y d l valore cace o valore r.m.s roo mean square d una grandezza perodca y è dao dalla radce quadraa del valore medo nel perodo del quadrao d f y d 3 Faore d forma e faore d cresa S defnsce faore d forma d una grandezza perodca l rapporo ra l valore cace e l valore medo f med Per le grandezze alernae l faore d forma è defno con rfermeno al valore medo del modulo f med S defnsce faore d cresa l rapporo ra l valore massmo e l valore cace M c 4
3 Funzon snusodal S consdera una funzone snusodale d ampezza M y M cos l valore medo è nullo l valore medo del modulo è M med M cos d cos d M. 637 l valore cace è M M M cos d [ cos] d M M 5 Funzon snusodal Qund per una funzone snusodale l faore d forma vale f med. e l faore d cresa è M.44 c 6
4 Sere d Fourer S consdera una funzone y perodca d perodo che soddsfa le seguen condzon d Drchle ha un numero fno d dsconnuà all nerno d un perodo ha un numero fno d massm e d mnm all nerno d un perodo l negrale sul perodo del modulo d y è fno y può essere rappresenaa dalla sere d Fourer y a a cos b sen è dea pulsazone fondamenale cocen a, a e b sono a y d = valore medo a y cos d b y sen d 7 y è alernaa a Se y è par: y y Cas parcolar b per ogn la sere d Fourer conene solo ermn coseno Funzone par 8
5 Cas parcolar Se y è dspar: y y a, a per ogn la sere d Fourer conene solo ermn seno una funzone dspar è sempre alernaa Funzone dspar 9 Cas parcolar Se y ha smmera d semonda: y y/ a, a b per par la sere d Fourer conene solo ermn d ordne dspar una funzone con smmera d semonda è sempre alernaa Funzone con smmera d semonda
6 Esempo: onda reangolare cos 4 y c f med Esempo: onda rangolare cos 8 y c f med
7 3 Esempo: onda a dene d sega sen y c f med 4 Esempo: snusode raddrzzaa a semonda.57 c f med 4 cos cos y
8 5 Esempo: snusode raddrzzaa a onda nera.4. c f med 4 cos 4 y 6 Esempo: reno d mpuls reangolar cos sen y c f med
9 Seconda forma della sere d Fourer La sere d Fourer può essere espressa anche nella forma y cos dove b a a b g a La cosane è dea componene connua d y La funzone snusodale cos è dea componene fondamenale o prma armonca d y La funzone cos è dea -esma armonca d y Gl andamen d e n funzone d defnscono, rspevamene lo spero d ampezza e lo spero d fase d y 7 alore cace della sere d Fourer Per deermnare l valore cace occorre, n prmo luogo, valuare l quadrao della sere y h h cos cos h cos l secondo addendo della somma precedene può essere poso nella forma cos cos h cos h 8
10 alore cace della sere d Fourer Nell espressone precedene u ermn oscllan hanno valore medo nullo l valore cace è deermnao da ermn cosan presen ne prm due addend, qund s ha y d d dove l valore cace d una grandezza perodca è dao dalla radce quadraa della somma de quadra de valor cac delle sue componen armonche eorema d Parseval 9 Generaor perodc Un generaore d ensone v G, perodca con perodo, può essere rappresenao collegando n sere un generaore d ensone cosane G par al valore medo d v G nfn generaor d ensone snusodale, v G =,...,, con pulsazone / v G G G cos G vg
11 Generaor perodc Un generaore d correne G, perodca con perodo, può essere rappresenao collegando n parallelo un generaore d ensone cosane G par al valore medo d G nfn generaor d correne snusodale, G =,...,, con pulsazone / G G G cos G G Crcu lnear n regme perodco S consdera un crcuo lneare almenao da generaor perodc con perodo Se l crcuo è asnocamene sable, n condzon d regme ue le enson e le corren sono perodche con perodo regme perodco Se s rappresenano nel modo appena vso generaor, è possble deermnare la rsposa a regme medane l prncpo d sovrapposzone S valuano separaamene conrbu dovu a generaor che hanno la sessa pulsazone Normalmene è possble approssmare le funzon perodche ulzzando un numero lmao N d componen armonche La deermnazone della rposa perodca rchede un anals n connua N anals d rspose n regme snusodale
12 Crcu lnear n regme perodco Per un bpolo lneare n regme perodco la ensone e la correne non sono deformae l una rspeo all alra se le funzon v e dfferscono per un faore d proporzonalà e una raslazone nel empo v Queso rchede che l mpedenza del bpolo soddsf le condzon Z argz nalogamene, n un crcuo con un solo generaore perodco, le forme d onda delle rspose non sono deformae rspeo alla forma d onda del generaore se le corrsponden funzon d rasfermeno soddsfano propreà analoghe H arg H Quese condzon sono sempre soddsfae ne crcu puramene ressv, menre n generale, le rspose de crcu dnamc sono deformae 3 Componen non lnear Un componene non lneare almenao con enson o corren snusodal genera armonche Esempo: conduanza non lneare S consdera un bpolo avene equazone caraersca del po f v dove f è una generca funzone non lneare S rappresena f medane uno svluppo n sere d aylor 3 f v c c v c v c v c v
13 Componen non lnear S assume che v sa snusodale v M cos S sosusce v nell espressone d f c c M cos c M cos c 3 cos c 3 cm c3m c c M cos cos 3cos cos3 4 4 c4m 3 4cos cos4 8 Le poenze d v d grado n dspar danno orgne ad armonche dspar d ordne n Le poenze d v d grado n par danno orgne ad armonche par d ordne n e a ermn cosan La correne è perodca con pulsazone fondamenale 3 3 M 4 4 M cos 4 5 Crcu non lnear n regme perodco n condzon d regme, n un crcuo non lneare almenao da generaor snusodal sofrequenzal, o pù n generale perodc con la sessa pulsazone fondamenale, ue le enson e le corren sono perodche con la sessa pulsazone fondamenale Menre le rspose d un crcuo lneare possono conenere solo componen armonche presen nella ensone o correne d almeno uno de generaor, le rspose de crcu non lnear possono conenere armonche non presen negl ngress n genere, se gl ngress sono snusodal, le rspose sono perodche, e qund dsore dfferenza de crcu lnear, crcu non lnear possono nrodurre dsorsone anche se sono puramene ressv 6
14 Dsorsone armonca oale L enà della dsorsone della forma d onda d una ensone o d una correne rspeo all andameno snusodale è rappresenaa medane un paramero deo dsorsone armonca oale o HD oal harmonc dsoron Per una funzone perodca y cos la HD è defna come rapporo ra la radce quadraa della somma de quadra de valor cac delle armonche superor e l valore cace della componene fondamenale HD HD % HD 7 Poenza assorba da un bpolo n regme perodco Condzon d regme perodco con pulsazone fondamenale v cos cos S ndca con lo sfasameno ra le -esme componen armonche della ensone e della correne 8
15 9 Poenza assorba da un bpolo n regme perodco La poenza sananea assorba dal bpolo è l secondo addendo può essere poso anche nella forma La poenza sananea è cosua da un ermne cosane par a e da un ermne oscllane avene valore medo nullo cos cos cos cos cos cos h h h h h v p cos cos cos 3 Poenza ava La poenza ava è defna come valore medo nel perodo della poenza sananea e qund concde con l ermne cosane Nell espressone compaono solo prodo ra armonche della ensone e della correne dello sesso ordne La poenza ava è par alla somma delle poenze ave assocae alle sngole componen armonche cos cos P P d v P
16 Poenza apparene e faore d poenza La poenza apparene è defna, come n regme snusodale, come prodoo de valor cac della ensone e della correne S S può dmosrare che rsula sempre S P e che S P se e solo se l bpolo è un ressore lneare S può defnre l faore d poenza rapporo ra la poenza ava e la poenza apparene P PF cos S La defnzone dell angolo è puramene convenzonale L angolo non rappresena uno sfasameno ra una ensone e una correne 3 racca della dmosrazone La dmosrazone d basa sul fao l valore medo del prodoo d due funzon perodche ha propreà analoghe al prodoo nerno ra due veor x y d x, y Qund l valore cace corrsponde alla norma d un veore X x x d x l faore d poenza PF è analogo al coseno dell angolo ra due veor v, PF cos v e qund assume valore unaro se e solo se due veor sono parallel, coè lega da una cosane scalare 3
17 Poenza non ava n regme perodco non snusodale la quanà P N S è ndcaa con l nome d poenza non ava La poenza non ava assorba da un bpolo s annulla se e solo se l bpolo è lneare e puramene ressvo n queso caso s ha R e qund S P R R P 33 Poenza non ava Un bpolo generco che assorbe poenza ava P e poenza non ava P N, può essere rappresenao collegando n parallelo un ressore R P e un bpolo N che assorbe solo poenza non ava 34
18 35 Correne ava e non ava La correne nel ressore R è dea correne ava La correne ne bpolo N è dea correne non ava R v N 36 Poenza sananea ava e non ava La poenza sananea assocaa ad è dea poenza sananea ava La poenza sananea assocaa ad N è dea poenza sananea non ava Qund s ha l valore medo sul perodo d p vale P e qund concde con l valore medo sul perodo d p l valore medo sul perodo d p N è nullo v P R v v p N N v v p N p p p
19 Orogonalà delle componen della correne valor cac della correne e delle componen ava e non ava sono lega dalla relazone nfa s ha d N N Qund valgono anche le relazon P N P R N v R p N N N N d d N N d 37 Compensazone d un carco dsorcene Nel caso perodco non sono suffcen le ecnche d rfasameno vse nel caso snusodale Per rdurre la poenza non ava compensazone del carco è possble ulzzare flr passv per elmnare le armonche collegare n parallelo al carco un bpolo realzzao medane un crcuo eleronco che erogh una correne uguale alla correne non ava n queso modo la correne s denfca con la correne ava 38
20 Poenza reava e poenza deformane Per la poenza reava n regme perodco non snusodale è saa nrodoa la seguene defnzone formale Q sen sen Q è defna come somma delle poenze reave assocae alle sngole armonche Dversamene del caso snusodale, con quesa defnzone rsula Q P Q S Per chudere l blanco delle poenze, s nroduce un ulerore ermne deo poenza deformane D S P Q 39 Poenza reava e poenza deformane L espressone della poenza deformane n ermn d armonche d ensone e d correne è D h cos h h h h h h D s annulla se sono verfcae le condzon h h h, h e qund, n parcolare, nel caso d un ressore lneare n queso caso la ensone e la correne del bpolo non sono deformae l una rspeo all alra 4
21 Poenza reava e poenza deformane Le defnzon d poenza reava e poenza deformane possono rsulare prve d sgnfcao e qund d scarsa ulà praca n presenza d regm foremene dsor ualmene quesa suazone è puoso frequene n seguo allo svluppo delle ecnologe eleronche d poenza La poenza reava s annulla anche se le poenze assocae alle dverse armonche non sono nulle, ma loro valor s compensano La poenza deformane non rsula sreamene correlaa alla deformazone della correne rspeo alla ensone può annullars anche n presenza d deformazon o assumere valor dvers da zero con enson e corren solo sfasae ra loro 4 Lnee con carch non lnear Se l carco non è lneare, n generale la ensone e la correne sono dsore Se le cadue d ensone lungo la lnea sono rascurabl, la ensone può essere consderaa pracamene snusodale v M cos cos s assume che sa 4
22 Faore d poenza d un carco non lneare Se la ensone è snusodale, le armonche superor della correne non danno conrbuo alla poenza ava che vale P cos l valore cace della correne nella lnea, e qund la poenza dsspaa dpende anche dalle armonche superor della correne La poenza dsspaa nella lnea aumena all aumenare dello sfasameno ra la ensone e la componee fondamenale della correne all aumenare del conenuo armonco della correne l faore d poenza può essere espresso nel modo seguene cos P S cos coscos 43 Faore d sfasameno e d dsorsone l faore cos, che ha sgnfcao analogo al faore d poenza defno n regme snusodale, è deo faore d sfasameno l prmo ermne è deo faore d dsorsone ed è defno dalla relazone cos Dao che è sempre compreso ra e è possble rappresenarlo come coseno d un angolo deo angolo d dsorsone l faore d dsorsone è legao alla dsorsone armonca oale della correne HD, dalla relazone cos HD 44
23 Faore d dsorsone 45 Poenza reava e poenza deformane Se la ensone del carco è snusodale la poenza reava è dovua solo allo sfasameno ra la ensone e la componene fondamenale della correne Q sen ha sgnfcao analogo a quello vso n regme snusodale la poenza deformane e dovua solo alla presenza d armonche nella correne D S P Q 46
24 Relazon ra le poenze P Q S cos sen P Q P S cos S P Q D S S S cos P S coscos S cos 47
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