Trasformate al limite

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1 Bozza Data 6/0/007 Trasormate al limite La unzione generalizzata delta di Dirac Funzioni, unzionali e distribuzioni Prima di deinire la delta di Dirac conviene ricordare le seguenti deinizioni: unzione ordinaria: associa ad un numero un altro numero ed uno soltanto (ad esempio la unzione coseno); unzionale: associa ad una unzione un numero (ad esempio il valore medio); operatore associa ad una unzione un'altra unzione (ad esempio l operatore derivata). Ciò premesso le distribuzioni, o unzioni generalizzate, sono dei unzionali dotati delle proprietà di essere lineari e continui, operanti su delle unzioni dotate di particolari proprietà di regolarità dette unzioni di prova [,]. Il numero che una distribuzione T associa alla unzione di prova ϕ è indicato con < ϕ,t>. Si noti che < > è lo stesso simbolo utilizzato normalmente per il prodotto scalare, o prodotto interno, di due unzioni ordinarie. Deinizione La distribuzione delta di Dirac, non è unzione ordinaria ma appartiene alla categoria delle distribuzioni, ovvero alle unzioni generalizzate. In particolare, data una unzione x(t) continua in t=0 (unzione di prova), la distribuzione δ associa ad essa il valore x(0), ovvero campiona la unzione x(t) nell origine < x, δ >= x( o) (.) Analogamente si può deinire la distribuzione δ t0 come la distribuzione che associa a x(t) continua in t 0 il valore x(t o ), ovvero che campiona la unzione in t 0 < x, δ >= x( t ) (.) t0 o Le deinizioni ora date risultano utilissime per ricavare in modo rigoroso alcune ondamentali proprietà. Tuttavia, prima di procedere è necessario introdurre una diversa rappresentazione simbolica, utilizzatissima in letteratura per la sua comodità, anche se intrinsecamente ambigua. Rappresentazione simbolica e valutazione come limite in senso integrale Il valore x(0) di una unzione x(t) continua nell origine può essere ricavato anche acendo ricorso a amiglie di unzioni ausiliarie (t). In particolare se vale la seguente espressione x( o) = lim x( t) ( t) (.3)

2 Bozza Data 6/0/007 si suole indicare δ ( t) = lim ( t) (.4) da interpretare non in senso ordinario, ma in senso integrale, ovvero sulla base della seguente δ = x( t) ( t) lim x( t) ( t) (.5) Al contrario, se il limite (.4) osse interpretato in senso ordinario, il primo membro della (.5) si annullerebbe, mentre invece si deve avere x(0) = x( t) δ ( t) (.6) Conrontando inine l espressione sopra con la deinizione di distribuzione delta si ha < x, δ >= x( o) = x( t) δ ( t) (.7) La prima uguaglianza rappresenta la deinizione della distribuzione δ, la seconda un modo alternativo di ottenere il medesimo risultato, utile perché permette di operare con il simbolo δ(t) in modo analogo ad una unzione ordinaria. Si noti inoltre la corrispondenza ormale ra il simbolo <> e l integrale a destra, identico al prodotto interno di due unzioni. Nel seguito utilizzeremo entrambe le uguaglianze a seconda delle convenienza. Quanto detto si estende ovviamente anche alle distribuzioni delta ritardate, per le quali t0 0 δ 0 0 (.8) < x, δ >= x ( t ) = x ( t ) ( t t ) = lim x ( t ) ( t t ) Fra le amiglie di unzioni ausiliarie (t) si ricorda, per il suo immediato signiicato intuitivo, l impulso rettangolare di durata ed ampiezza / (intensità unitaria), nel seguito indicato con D(t, ). Alcune proprietà Parità x( t) δ ( t to) = x( t) δ ( to t) (.9) ( ) ( ) lim ( ) (, ) lim ( ) ( ) to x t δ to t = x t D to t = x t = x to to (.0) Convoluzione La unzione generalizzata delta rappresenta l elemento neutro dell integrale di convoluzione

3 Bozza Data 6/0/007 x( t) = x( τ ) δ ( t τ ) dτ = x( t)* δ ( t) (.) E suiciente sostituire t con τ, e t o con t, nella (.0) Vale anche la seguente x( t t ) = x( t)* δ ( t t ) (.) 0 0 la cui dimostrazione è immediata. Cambio di argomento δ ( t) δ ( αt) = α 0 (.3) α δ ( ξ ) δ ( t) δ ( αt) = dξ = α α (.4) La presente proprietà risulta utile nel passaggio dalle descrizioni nelle pulsazioni a quelle in requenza, o viceversa, per le quali vale la seguente δ ( ) δ ( ω) = δ ( π ) = (.5) π Trasormata di Fourier δ j t ( t) e ω = (.6) Dalla espressione sopra deriva che la trasormata di una delta nell origine dei tempi corrisponde ad una costante nel dominio delle requenze. Immediata dalla deinizione di distribuzione, in quanto la unzione esponenziale campionata nell origine vale. Veriica Si noti, come veriica, che lo steso risultato poteva essere ottenuto utilizzando la unzione ausiliaria D(t, ). Ricordando che ω sin F D t = (.7) j [ (, )] e ω si ha ω 3

4 Bozza Data 6/0/007 [ ] jωt lim D( t, ) e = lim F D( t, ) = (.8) Gradino unitario t U ( t) = δ ( τ ) dτ (.9) La unzione U(t), o gradino unitario è deinita dalla seguente 0 < t U ( t) = 0 0 > t (.0) Una possibile dimostrazione si basa sull introduzione della seguente unzione ausiliaria aux( τ ) = 0 τ < t τ > t (.) che permette di riscrivere la (.9) in modo da avere di nuovo il limite superiore ad ininito, permettendo di dimostrare il risultato t 0 < t δ ( τ ) = aux( τ ) δ ( τ ) dτ = aux(0) = 0 0 > t (.) Altre relazioni con le unzioni a gradino Operando ormalmente sulla (.9), come se rappresentasse un integrale ordinario si ottiene, du ( t) = δ ( t) (.3) Si noti tuttavia che entrambi i membri sono da intendersi nel senso delle distribuzioni, ovvero che du ( t) < x( t), >=< x( t), δ ( t) >= x( o) (.4) Per il gradino ritardato si ha: t t0 ( 0) δ ( τ ) U t t = dτ (.5) du ( t t0) = δ ( t t0) (.6) Proprietà analoghe valgono anche per altri tipi di gradino, ra cui il gradino (t) 4

5 Bozza Data 6/0/ < t ( t) = = U ( t) 0 > t (.7) e la unzione segno + 0 < t sign( t) = = U ( t) = ( t) 0 > t (.8) Trasormata di Fourier di unzioni periodiche La trasormata di Fourier di unzioni periodiche non esiste nell ambito delle unzioni ordinarie, mentre esiste lo sviluppo in serie di Fourier. Sarebbe tuttavia utile, per non dovere duplicare ogni dimostrazione, poter deinire una trasormata di Fourier anche per le unzioni periodiche. Ciò è possibile utilizzando le distribuzioni, o unzioni generalizzate, ed in particolare la distribuzione δ. La trattazione può essere atta utilizzando sia le pulsazioni che le requenze, tuttavia quest ultima è spesso preerita nella redazione di tabelle riassuntive di trasormate notevoli perché consente una maggiore simmetria dei risultati. Trasormate nelle requenze anziché nelle pulsazioni Dato che in letteratura vengono utilizzate sia le rappresentazioni nelle pulsazioni che nelle requenze, conviene avere un minimo di amiliarità con entrambe. A questo scopo si ricordano le deinizioni di trasormata nelle requenze (indicata qui con un pedice ) ed antitrasormata jπ t X ( ) = x( t) e jπ t x( t) = X ( ) e d (.9) Vale la seguente relazione ra trasormate nelle requenze e trasormate nelle pulsazioni X ( ) = X ( π ) = X ( ω) (.30) Trasormate elementari La trasormata di una costante nei tempi è una delta nell origine delle requenze. La trasormata di un esponenziale nei tempi è una delta ritardata. Utilizzando le requenze si ha: F [ ] = δ ( ) F e = δ jπ 0t [ ] ( 0) (.3) Queste proprietà non sono ottenute in modo diretto, applicando la trasormata al primo membro, ma in maniera inversa, cioè inserendo i secondi membri nelle ormule di antitrasormazione: 5

6 Bozza Data 6/0/007 δ e jπ t ( ) δ ( ) d = jπ t jπ 0t 0 e d = e (.3) Allo stesso modo utilizzando le pulsazioni si ha [ ] F = πδ ( ω) F e ω = πδ ω ω j 0t [ ] ( 0) (.33) Inatti: π π + jω t πδ ( ω) e dω = jωt πδ ( ω ω ) e dω = e 0 jω0t (.34) Si noti che le (.33) potevano essere dedotte immediatamente dalle (.3) utilizzando la (.5), e viceversa. Dalla conoscenza delle trasormate elementari si possono ricavare immediatamente le trasormate dei segnali periodici, per cui ci limitiamo a riportare i risultati. Trasormata di un segnale sviluppabile in serie di Fourier jn ot x( t) = c e ω (.35) n= n X ( ω) = c πδ ( ω nω ) n 0 (.36) n= nδ 0 (.37) n= X ( ) = c ( n ) Trasormata del coseno jωot jωot e + e cosω0t = (.38) X ( ω) = δ ( ω ωo) π + δ ( ω + ωo)π (.39) X ( ) = δ ( o) + δ ( + o) (.40) Trasormata del seno jωot jωot e e sinω0t = j (.4) 6

7 Bozza Data 6/0/007 X ( ω) = δ ( ω ωo) π + δ ( ω + ωo)π = j j = j δ ( ω ωo) π + j δ ( ω + ωo)π (.4) X ( ) = j δ ( o) + j δ ( + o) (.43) Trasormata di Fourier delle unzioni gradino A partire dalla trasormata del gradino (t) (ormula non dimostrata) F [ ( t) ] = (.44) jω Dalle deinizioni Errore. L'origine rierimento non è stata trovata. e Errore. L'origine rierimento non è stata trovata. si ha rispettivamente [ ( )] F U t [ ( )] F sign t πδ ( ω) = + (.45) jω = (.46) jω Analogamente per le trasormate nelle requenze si ha (basta sostituire come al solito a ( ω) = ( ) / π ). F F F [ ( t) ] [ U ( t) ] [ sign( t) ] = jπ (.47) δ ( ) = + (.48) jπ = jπ (.49) Trasormata di Fourier di un integrale Poiché t (.50) y( t) = x( ξ ) dξ = x( ξ ) U ( t ξ ) dξ = x( t)* U ( t) Trasormando il prodotto di convoluzione e acendo uso della (.45) si ottiene dalla l espressione generale della trasormata di un integrale, X ( ω) πδ ( ω) X ( ω) X ( ω) πδ ( ω) X (0) Y ( ω) = X ( ω) F[ U ( t)] = jω + = jω + (.5) 7

8 Bozza Data 6/0/007 Si noti che l espressione sopra si riduce alla nota Y ( ω) = X ( ω) / jω per X(0)=0. Analogamente per le trasormate in requenza si ha: X ( ) δ ( ) X (0) Y ( ) = + (.5) jπ Bibliograia [] Gian Carlo Corazza, Campi Elettromagnetici, Zanichelli, [] E.Belardinelli, C. Bonivento, Teoria delle distribuzioni Patron, 968 8