II-8 Integrale di Riemann

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1 II-8 INTEGRALE DI RIEMANN DEFINIZIONE DI INTEGRALE DI RIEMANN II-8 Integrle di Riemnn Indice Definizione di integrle di Riemnn Condizioni di esistenz dell integrle di Riemnn 3 3 Proprietà dell integrle di Riemnn 4 4 Clcolo dell integrle 5 4. L funzione integrle Il teorem fondmentle del clcolo Integrle di un f definit trtti Funzione integrle di un f definit trtti L integrle di Riemnn generlizzto 9 5. Integrle generlizzto su intervllo non limitto Criteri di convergenz Soluzioni degli esercizi 4 Definizione di integrle di Riemnn Definizione Si [, b] in intervllo chiuso e limitto. Chimimo prtizione di [, b] un sottoinsieme finito {,,,..., N, N } di punti di [,b] tli che = < <... < N < N = b. Indichimo con P[,b] l insieme di tutte le possibili prtizioni di [, b] (ovvimente sono infinite). b 3... N N Definizione Supponimo che in [,b] si definit un funzione f : [,b] R e che f si limitt. Ad ogni prtizione P = {,,,..., N } di [,b] possimo ssocire l somm inferiore s(p) e l somm superiore S(P) di Riemnn, definite d N ( ) s(p) = m i i i i= N ( ) e S(P) = M i i i, i= dove m i = inf f() e M i = sup f(). [ i, i] [ i, i] Si leggno ttentmente le definizioni ppen dte e si riflett sul loro significto: le differenze i i sono le mpiezze dei sottointervlli [ i, i ] individuti dll prtizione e le quntità m i e M i sono rispettivmente gli estremi inferiori e superiori dell funzione in tli sottointervlli. Le figure che seguono illustrno l costruzione di un somm inferiore e di un somm superiore di Riemnn di un funzione, reltive d un prtizione dell intervllo in 5 sottointervlli. È chiro che l insieme {,,..., N, N } è ftto d N + punti e che questi punti, con le crtteristiche richieste, suddividono [, b] in N sottointervlli. A. Peretti Corso di Mtemtic UNIVR Sede di Vicenz

2 DEFINIZIONE DI INTEGRALE DI RIEMANN 3 4 b 3 4 b Somm inferiore di Riemnn Somm superiore di Riemnn Osservzione Sono rppresentte l somm inferiore e l somm ( superiore ) di un funzione positiv, reltive ll prtizione {,,, 3, 4,b}. Si osservi che ( le quntità ) m i i i forniscono l re dei rettngoli inscritti dell figur di sinistr, mentre le quntità M i i i forniscono l re dei rettngoli circoscritti dell figur di destr. Quindi l somm inferiore di Riemnn fornisce l re dell unione di tutti i rettngoli inscritti, reltivi ll dt prtizione, e l somm superiore l re dell unione di tutti i rettngoli circoscritti. Entrmbe le somme dnno un pprossimzione, un per difetto e l ltr per eccesso, dell re dell regione che st tr l sse e il grfico dell funzione. È chiro che tle pprossimzione è piuttosto scrs se l prtizione è di pochi intervlli. Nell figur qui sotto vengono rffigurte l somm inferiore e l somm superiore di Riemnn dell stess funzione precedente, reltive quest volt d un prtizione dell intervllo in 5 sottointervlli. b b Somm inferiore di Riemnn Somm superiore di Riemnn Osservzione Qui è chiro che l pprossimzione fornit dlle somme inferiore e superiore è molto migliore. Si definiscono or integrle inferiore f e integrle superiore f di Riemnn di f in [,b] rispettivmente f = sup P P[,b] s(p) e f = inf P P[,b] S(P). Osservzione Quindi l integrle inferiore si ottiene prendendo l estremo superiore dell insieme di tutte le possibili somme inferiori. Invece l integrle superiore si ottiene prendendo l estremo inferiore dell insieme di tutte le possibili somme superiori. Nturlmente nessuno ci grntisce che così fcendo ottenimo l stess quntità, cioè che integrle inferiore e integrle superiore sino uguli. Si consideri nche che lmeno uno dei due potrebbe essere infinito. Si può dimostrre che in generle f Ecco or l conclusione dell definizione: dicimo che f è integrbile secondo Riemnn nell intervllo [, b] se f = f. In tle cso chimimo integrle di Riemnn di f in [,b] il vlore comune degli integrli inferiore e superiore di f e lo indichimo con f. Per distinguerlo dll integrle indefinito, questo viene spesso detto integrle definito. Qundo nell scrittur di f ppre esplicitmente l indiczione dell vribile si us scrivere f()d, come già visto con gli integrli indefiniti. f. A. Peretti Corso di Mtemtic UNIVR Sede di Vicenz

3 II-8 INTEGRALE DI RIEMANN CONDIZIONI DI ESISTENZA DELL INTEGRALE DI RIEMANN 3 Osservzione Dt l definizione di integrle di Riemnn e lcune considerzioni già ftte, è chiro che l integrle h che fre con l re dell regione di pino sottes dl grfico di f. È bene ricordre che l re è un quntità positiv e che quindi qunto detto è vero solo se l f è non negtiv nell intervllo. Quindi l integrle di un f non negtiv è l re dell regione sottes dl grfico di f (può essere quest un interpretzione geometric dell integrle). Se l f cmbi segno, non è vero che l integrle si l re dell regione sottes dl grfico di f. In tli csi si può comunque dire che l integrle è l re con segno di quest regione, intendendo con re con segno l re, eventulmente cmbit di segno nelle regioni in cui l funzione è negtiv. Esempi b Vedimo un esempio molto semplice in cui possimo clcolre l integrle con l definizione. Considerimo l funzione costnte f() = h, dove h è un numero rele, definit nell intervllo [,b]. Prendimo un generic prtizione P dell intervllo [, b] dt dll insieme di punti { =,,, 3,..., N, N = b} e costruimo l reltiv somm superiore S(P) = = N ( ) M i i i i= N h ( ) i i i= = h( N N ) = h( N ) = h(b ). c b Se h è positivo ottenimo l formul dell re del rettngolo di bse b e ltezz h. Osservimo che il vlore dell somm superiore non dipende dll prtizione scelt. Si vede immeditmente or che nche tutte le somme inferiori sono uguli h(b ) e che quindi l funzione è integrbile e l integrle vle h(b ). Può sorgere l domnd se tutte le funzioni, nell intervllo in cui risultno definite, sino integrbili secondo Riemnn in tle intervllo. L rispost è negtiv e qui fornisco un esempio di funzione non integrbile. Per certi spetti si trtt di un funzione strn. Si f : [,] R definit d f() = { se Q se / Q. Si può provre che f non è integrbile secondo Riemnn. Inftti, per le proprietà dei rzionli e dei reli, si può provre che per ogni prtizione P di [,] si h che s(p) = e S(P) =, per cui f f e quindi f non è integrbile secondo Riemnn. L integrbilità secondo Riemnn non è quindi un proprietà che tutte le funzioni hnno e si pone il problem di come poter spere se un funzione si integrbile oppure no. Condizioni di esistenz dell integrle di Riemnn Dt l complessità dell definizione, non è fcile cpire se un funzione è integrbile secondo Riemnn. Si pone llor l seguente questione: ci sono proprietà di un funzione che ssicurno l su integrbilità? L rispost è ffermtiv. Teorem Supponimo che si f : [,b] R. Se vle un delle condizioni seguenti: (i) f è continu in [,b]; (ii) f è monoton in [,b]; A. Peretti Corso di Mtemtic UNIVR Sede di Vicenz

4 II-8 INTEGRALE DI RIEMANN 3 PROPRIETÀ DELL INTEGRALE DI RIEMANN 4 (iii) f è limitt e h un numero finito di punti di discontinuità in [,b], llor f è integrbile secondo Riemnn. Osservzione Ribdisco che queste condizioni sono singolrmente sufficienti per l integrbilità. Ciscun quindi, indipendentemente dlle ltre, grntisce l integrbilità secondo Riemnn dell funzione. Osservzione Il teorem permette di ffermre che un grndissim prte delle funzioni, definite in un intervllo, che solitmente incontrimo sono integrbili secondo Riemnn. Ad esempio un qulunque polinomio, considerto in un qulunque intervllo [, b], lo è. Tutte le funzioni elementri, considerte in un intervllo [, b] in cui risultno definite, lo sono (sono funzioni continue). 3 Anche l funzione f() =, pur non essendo un funzione elementre, è continu in qulunque intervllo chiuso e limitto e quindi integrbile secondo Riemnn in tle intervllo. L funzione { [,) f() = [,] è integrbile secondo Riemnn in [,], dto che, pur non essendo continu né monoton, è limitt e h un solo punto di discontinuità. 3 Proprietà dell integrle di Riemnn Teorem Supponimo che [,b] si un intervllo chiuso e limitto e che f,g sino integrbili secondo Riemnn in [, b]. Allor vlgono le proprietà seguenti: (i) (linerità) se c,c sono due costnti, llor c f +c g sono integrbili secondo Riemnn in [,b] e si h (ii) (monotoni) se f g, llor (iii) se < c < b, llor f (c f +c g) = c f +c g; g; 4 f = c f + c f; (iv) se f() M, llor f M (b ); (v) fg è integrbile secondo Riemnn in [,b]; (vi) f è integrbile secondo Riemnn in [,b] e f f. Osservzione Il punto (vi) ribdisce quindi che se f è integrbile llor nche f lo è e ggiunge un disuguglinz tr gli integrli. Osservzioni Supponimo che > e che f si integrbile secondo Riemnn in [,]. Si intuisce, e non srebbe difficile dimostrrlo, che se f è dispri, llor f = ; se f è pri, llor f = f. 3 Si fcci ttenzione: l intervllo deve essere chiuso e limitto, lmeno per or. Quindi non possimo dire d esempio che ln in (,) si integrbile. 4 Non si confond l monotoni di un funzione con l monotoni dell integrle. Qui si prl di monotoni dell integrle. A. Peretti Corso di Mtemtic UNIVR Sede di Vicenz

5 II-8 INTEGRALE DI RIEMANN 4 CALCOLO DELL INTEGRALE 5 Quindi, nche se non sppimo ncor come clcolre gli integrli, possimo dire che 3 d =, dto che l funzione 3 è integrbile (in qunto monoton, o continu) e dispri, cioè simmetric rispetto ll origine. Possimo nche dire che d = d, m quest ultimo non lo sppimo ncor clcolre. È importnte il seguente Teorem (dell medi integrle). Supponimo che f si continu in [,b]. Allor esiste c [,b] tle che Il numero b f(c) = b f oppure, nlogmente, f si chim medi integrle di f in [,b]. Osservzione Il teorem h un semplice interpretzione geometric: scrivendo l tesi nell form f = (b )f(c). f = (b )f(c) f(c) vi si legge che l integrle è ugule ll re del rettngolo di bse l intervllo [, b] e ltezz f(c). Attenzione che quest interpretzione geometric vle se possimo identificre l integrle con l re, cioè se l f è positiv. Osservzione L tesi può essere fls in ssenz dell ipotesi di continuità di f. Considerimo l funzione f : [,] R definit d c b f() = L medi integrle di f in [,] è { se se <. 3/ f = 3, m non esiste nessun punto c dell intervllo [,] in cui f(c) = 3. Osservzione Un interessnte questione è se l nnullrsi dell integrle comport necessrimente che l funzione si sempre null. Qulche studente forse dirà subito che questo è flso, ricordndo uno degli esempi inizili di clcolo dell integrle con l definizione (lo si cerchi). E noterà che in quell esempio l funzione non er continu. Inftti l continuità è importnte in questo spetto. Si potrebbe dimostrre che, se f è continu e non negtiv in [,b] e se f =, llor f è identicmente null in [,b]. Per esercizio lo studente verifichi che l conclusione può essere fls se si omette l ipotesi di non negtività di f o quell di continuità. 4 Clcolo dell integrle L definizione di integrle non è comod per il clcolo opertivo degli integrli. Occorre un metodo di clcolo più efficce, e tr poco lo ottenimo. 4. L funzione integrle Si f un funzione integrbile nell intervllo [, b]. A prtire d f possimo definire un nuov funzione, che ssoci d ogni [,b] l integrle di f tr e, cioè F() = f, per ogni [,b]. Se voglimo scrivere esplicitmente nell integrle nche l vribile di integrzione è bene fre in modo di non confondere quest con l vribile dell funzione F, cioè. Si scrive llor F() = f(t)dt, per ogni [,b]. A. Peretti Corso di Mtemtic UNIVR Sede di Vicenz

6 4 CALCOLO DELL INTEGRALE 6 L si ved così: per ogni fissto in [,b], t vri tr e ed è l vribile di integrzione. Quest nuov funzione F si chim funzione integrle di f in [, b] ed è un funzione molto importnte. b L figur qui sopr illustr che il vlore dell funzione integrle in (di un funzione non negtiv) è l re sottes dl grfico tr e, l vrire di. Osservzione Si può dimostrre che l funzione integrle F di un funzione integrbile f è un funzione continu (nell intervllo in cui è definit). Quindi, nche se f non è continu, l su funzione integrle lo è. Si potrebbe dire che l funzione integrle è più regolre dell funzione d cui proviene. Quest prticolrità dell funzione integrle è confermt nche dl seguente importntissimo teorem. 4. Il teorem fondmentle del clcolo Teorem (fondmentle del clcolo). Supponimo che f si integrbile in [, b] e che F si l su funzione integrle. Vlgono le proprietà seguenti: (i) se f è continu in [,b], llor F è derivbile e F = f in [,b]; (ii) se f è continu in [,b] e G è un qulunque primitiv di f in [,b], llor f = G(b) G(). Osservzione Il punto (i) del teorem fferm quindi che se f è continu llor l su funzione integrle è un su primitiv. L funzione costruit con l integrle di f è un funzione che h per derivt f (legme profondo tr derivt e integrle). Il punto (ii) del teorem fondmentle fornisce invece un comodo metodo per il clcolo dell integrle di Riemnn f()d. Dice inftti che, se conoscimo un primitiv G di f in [,b], llor l integrle è dto d G(b) G(). È chiro che l prte difficile st nel clcolo dell primitiv che, bbimo visto, può non essere bnle. Osservzione Nel clcolo dell integrle f()d, dopo ver trovto un primitiv G di f, per indicre che si pplic il teorem fondmentle e si clcol l vrizione dell primitiv gli estremi dell intervllo, si scrive f()d = G(), che st d indicre ppunto G(b) G(). Vedimo llor qulche esempio di clcolo di integrle definito. Esempi b Clcolimo d. Si h d = 3 3 = ( 3 ) = Clcolimo 3 d. Si h 3 d = /3 d = 4/3 4/3 = Per qunto detto in precedenz sugli integrli di funzioni pri o dispri, si potev nche fre d = d = 3 3 = 3. A. Peretti Corso di Mtemtic UNIVR Sede di Vicenz

7 4 CALCOLO DELL INTEGRALE 7 Clcolimo e lnd. Si h (ricordo che l integrzione di ln si f per prti) e lnd = (ln ) e =. Clcolimo e d. Ricordndo che e d = ( )e d = e +c, si h e d = e =. Il risultto er prevedibile, dto che l funzione è dispri e l intervllo è simmetrico rispetto ll origine. Esempio Per concludere quest sezione vedimo come si può ottenere l espressione di un funzione integrle. 6 Considerimoncorlfunzionef() = e nell intervllo[,]. Trovimol espressionedellfunzioneintegrle di f in tle intervllo. Dll definizione di funzione integrle bbimo F() = te t dt = ( )te t dt = e t = ( e e ). A verific del teorem fondmentle, possimo osservre che clcolndo l derivt di F ottenimo F () = e ( ) = e = f(). Non pprofondisco questo spetto, m per evitre che qulche studente perd inutilmente del tempo nel clcolo di qulche integrle (tlvolt per fre qulche esercizio in più ci si invent un funzione e si prov d integrrl) vverto che ci sono funzioni che non si possono integrre. Chirisco il significto: ci sono funzioni che non hnno primitive elementri. Ogni funzione continu h primitive, in conseguenz del teorem fondmentle del clcolo: se f è continu in [,b] llor F() = f è un primitiv di f. Non è detto però che se f è un composizione di funzioni elementri tle primitiv si ncor un funzione esprimibile ttrverso funzioni elementri. Ci sono funzioni elementri per cui si può dimostrre che l primitiv non è elementre. Tr queste l più fmos è f() = e. 7 Quindi possimo certmente dire che F() = e t dt è un primitiv di e in tutto R, m non possimo esprimere F medinte funzioni elementri (per esprimerl non possimo fre meno di usre l integrle o ltre forme ncor più complicte e comunque non elementri). Esercizio 4. () (c) (e) (g) (i) (k) e 3 Clcolre i seguenti integrli di Riemnn. d (b) 7/ e d (d) 3 d (f) d lnd (+) d (h) (j) (l) / 4 e d + d e d ln d + d ( ) d 6 Per chirire il significto di questo fccio osservre che con espressione dell funzione integrle si potrebbe senz ltro intendere l espressione fornit dll definizione stess di funzione integrle, cioè f(t)dt. Però quest è un espressione che coinvolge l integrle e quindi esprime l F() in un modo che non è l composizione di funzioni elementri. Allor l dicitur corrett potrebbe essere: vedimo come ottenere l espressione di un funzione integrle in termini di funzioni elementri. 7 Nemmeno e h primitive elementri, m quell col meno è più fmos, essendo un funzione fondmentle nell teori dell probbilità. A. Peretti Corso di Mtemtic UNIVR Sede di Vicenz

8 II-8 INTEGRALE DI RIEMANN 4 CALCOLO DELL INTEGRALE Integrle di un f definit trtti Se dobbimo clcolre l integrle di un funzione definit trtti bst utilizzre l proprietà (iii) dell integrle di Riemnn, quell che fferm che se ho un prtizione dell intervllo di integrzione, il clcolo dell integrle può essere scomposto nell somm di più integrli, ciscuno dei quli su di un sottointervllo dell prtizione. Vedimo llor come si procede in un pio di semplici esempi. Se dobbimo clcolre d, dobbimo nzitutto osservre che l funzione cmbi segno nell intervllo di integrzione e quindi (dll definizione di vlore ssoluto) si h { se (,] [,+ ) f() = se (,). Pertnto, usndo l proprietà (iii) dell integrle, possimo scrivere d = ( )d+ ( )d ( ) = 3 ( ) = ( ) ( 3 ) =. Se dobbimo clcolre l integrle in [, ] dell funzione f() = + < <, (lo studente dic perché quest funzione è integrbile) possimo scrivere y y f()d = = = 3. (+)d+ ( ) + ( )d+ Un utile esercizio è verificre il risultto utilizzndo il grfico di f e clcolndo con l geometri elementre le ree dei tringoli/qudrti individuti nell figur. + d Osservzione Si potrebbe dimostrre rigorosmente, m mi limito d enuncire quest semplice ed intuitiv questione: il vlore dell integrle non dipende di singoli vlori che l funzione ssume in qulche punto (dicimo in un numero finito di punti). Ad esempio, nel cso ppen visto dell funzione definit trtti, noi potremmo cmbire il vlore di f in e in, cioè gli estremi degli intervlli, senz modificre con questo il vlore dell integrle. E forse si intuisce nche che frlo in due punti o in mille non f differenz, il vlore dell integrle resterebbe sempre lo stesso. Divers è l questione se cmbimo il vlore di f in un numero infinito di punti, m qui non vdo oltre. 4.4 Funzione integrle di un f definit trtti Nel corso di Sttistic gli studenti incontrernno nche questo problem: scrivere l espressione di un funzione integrle di un funzione definit trtti. A. Peretti Corso di Mtemtic UNIVR Sede di Vicenz

9 II-8 INTEGRALE DI RIEMANN 5 L INTEGRALE DI RIEMANN GENERALIZZATO 9 Il problem è per molti spetti simile quello ppen incontrto, con l piccol difficoltà ggiuntiv dovut ll presenz dell vribile. Considerimo d esempio l funzione f() = < <. Quest funzione è integrbile nell intervllo [, ] (lo studente dic perché) e quindi possimo scrivere l funzione integrle di f in tle intervllo, che per definizione è F() = f(t)dt. Evidentemente è un problem nlogo quello già incontrto poco f qundo bbimo trovto l espressione di un funzione integrle. L unic differenz è che or l f è definit trtti e quindi non bbimo un unic espressione di f, m in questo cso tre espressioni distinte, ciscun vlid in un certo intervllo. Allor dobbimo distinguere tutti i csi possibili circ l posizione dell, che può stre nel primo ([, ]), nel secondo ((,]) o nel terzo intervllo ((, ]). Quindi bbimo: se [, ] se (,] se infine (,] F() = F() = f(t)dt = F() = f(t)dt = dt+ Quindi rissumendo possimo scrivere F() = f(t)dt = dt = ; dt+ = ( t)dt t ( t)dt+ dt = t se + se < + se <. = + ; +t = +. Nelle due figure qui sotto ho riportto nuovmente sinistr il grfico di f e destr quello di F. y y Osservzione Il grfico di F rende evidente un proprietà (perltro già individubile nell espressione di F()) e cioè l continuità di F nell intervllo considerto. Si noti che invece f non è continu. Questo non deve sorprendere: ho già prlto in precedenz di quest proprietà: se f è integrbile, llor F è continu. Lo studente ttento noterà questo punto che F non è invece derivbile (in e in ), e si intuisce che ciò dipende dll non continuità dell f. Osservzione Metto quindi in gurdi lo studente su questo punto: se, in un esercizio nlogo l precedente, ll fine dei clcoli ottenimo un funzione integrle che non è continu, bbimo sicurmente commesso un errore. 3/ / y 5 L integrle di Riemnn generlizzto L integrle di Riemnn richiede, come bbimo visto, che l funzione si limitt in un intervllo limitto. Nel cso cdno queste ipotesi, si prl di integrle di Riemnn generlizzto. Esistono quindi due possibili situzioni d considerre tle proposito: funzione non limitt o intervllo non limitto. Mi limito d illustrre soltnto l situzione dell intervllo non limitto, perché quest è l tipologi di integrle generlizzto che gli studenti utilizzernno nel corso di Sttistic. A. Peretti Corso di Mtemtic UNIVR Sede di Vicenz

10 5 L INTEGRALE DI RIEMANN GENERALIZZATO 5. Integrle generlizzto su intervllo non limitto Definizione Si f : [,+ ) R e si f continu in [,+ ). Dicimoche f èintegrbile in senso generlizzto in [,+ ) Se lim b + integrle generlizzto di f in [, + ) il numero rele f esiste finito. In tl cso chimimo f = lim b + f (figur sotto sinistr). Anlogmente, se f : (,b] R ed f è continu in (,b], dicimo che f è integrbile in senso generlizzto in (,b] se lim f esiste finito. In tl cso chimimo integrle generlizzto di f in (,b] il numero rele f = lim f (figur l centro). Infine dicimo che f : R R è integrbile in senso generlizzto in (,+ ) (in R) se f è integrbile in senso generlizzto in (,] e in [,+ ). Chimimo integrle di f in (,+ ) (in R) il numero rele f = f + f (figur destr). Si fcci ttenzione che quindi entrmbi gli integrli destr dell ugule devono essere finiti. Se un funzione f è integrbile in senso generlizzto in qulche intervllo, si dice nche che il corrispondente integrle generlizzto converge. Altrimenti dicimo che l integrle generlizzto diverge. b b b Le figure qui sopr illustrno che, se f, il suo integrle generlizzto è l re dell regione (or non limitt) sottes dl grfico di f. Quest re può essere finit (se l integrle converge) oppure infinit (se l integrle diverge). Dll definizione di integrle generlizzto e dll linerità dell integrle di Riemnn, si deduce l proprietà seguente: se f e g sono integrbili in senso generlizzto in [,+ ) lo stesso vle per c f +c g, e si h (c f +c g) = c f +c g (nlogmente se l intervllo è (, b] o (, + )). Vle inoltre l seguente importnte proprietà: se f è continu in [,+ ) e se f è integrbile in senso generlizzto in [,+ ), 8 llor nche f lo è e f f. Esempio L funzione e è integrbile in senso generlizzto in [,+ ) e e d =. 8 Enunciti nloghi si hnno nturlmente per funzioni definite in intervlli del tipo (,b] o (,+ ). A. Peretti Corso di Mtemtic UNIVR Sede di Vicenz

11 5 L INTEGRALE DI RIEMANN GENERALIZZATO Inftti, Si verifichi che invece non è finito e d. e d = lim b + e d ( e ) b (teorem fond. clcolo) = lim b + ( = lim e b ) b + =. Esempio Considerimo l integrle di un funzione potenz, in prticolre considerimo distinguendo i vri csi. Se α =, si h Se α, bbimo d = lim b + d (teorem fond. clcolo) = lim ln b b + = lim lnb b + α d = = +. lim b + (teorem fond. clcolo) = lim b + = α d α+ b α+ ( b α ). α lim b + 9 d con α >, α Il limite è infinito se < α < ed è invece finito se α >. Quindi, rissumendo, l integrle converge se α > e diverge se < α. Ad esempio, d converge, dto che α = >. Invece in entrmbi α. 5. Criteri di convergenz d e d non convergono, dto che Lo studio dell integrbilità in senso generlizzto di un funzione ttrverso l definizione, cioè ttrverso il clcolo del limite dell integrle, risult tlvolt imprticbile, perché richiede il clcolo di un primitiv dell funzione, cos non sempre possibile. Sono utili llor criteri che permettno di stbilire l convergenz dell integrle generlizzto senz dover clcolre un primitiv. In quest sezione presento lcuni criteri di convergenz per integrli generlizzti. Per brevità enuncio i criteri reltivi gli integrli generlizzti del tipo f; criteri nloghi vlgono per integrli del tipo f. Criteri del confronto. Sino f, g funzioni continue in [, + ), vlori non negtivi. Vlgono le ffermzioni seguenti: (i) se f g, e g è integrbile in senso generlizzto in [,+ ), llor nche f è integrbile in senso generlizzto in [,+ ); (ii) se f g, e g non è integrbile in senso generlizzto in [, + ), llor nemmeno f è integrbile in senso generlizzto in [, + ); 9 Si noti che il cso più significtivo è quello di un funzione potenz che tend zero qundo +, e quindi il modello più rgionevole è ppunto α con α >. Se l potenz tende ll infinito l integrle non può convergere. Per ricordre più fcilmente il risultto: l integrle converge se l potenz per + tende zero rpidmente, quindi con α >. A. Peretti Corso di Mtemtic UNIVR Sede di Vicenz

12 5 L INTEGRALE DI RIEMANN GENERALIZZATO (iii) se f() è trscurbile rispetto g(), per +, e g è integrbile in senso generlizzto in [,+ ), llor nche f è integrbile in senso generlizzto in [, + ); (iv) se f() h lo stesso ordine di grndezz di g(), per +, llor f e g hnno lo stesso crttere, cioè un è integrbile se e solo se è integrbile l ltr. Osservzione Si fcci ttenzione che i criteri si pplicno, come detto, funzioni vlori non negtivi. Osservzione Si noti che, se vessimo il cso di f() equivlente g(), per +, e ricordo che signific che f() =, llor si ricde nel cso (iv). g() lim + Osservzione In reltà(iii) e (iv) sono conseguenze di (i). Questo perché(punto (iii)), se f() è trscurbile rispetto g() per +, llor f è definitivmente minore o ugule g, 3 I criteri presentti hnno utili conseguenze (confronti con le potenze). Supponimo che f si continu e positiv in [,+ ). Corollrio Se f() è trscurbile rispetto α, per + e α >, llor f è integrbile in senso generlizzto in [,+ ). È conseguenz dell (iii) e del ftto che, essendo α >, /α è integrbile. Corollrio Se è trscurbile rispetto f(), per + e α, α llor f non è integrbile in senso generlizzto in [,+ ). È conseguenz dell (ii) e del ftto che, essendo α, / α non è integrbile. Corollrio Se f() è dello stesso ordine di grndezz di α, per +, e α >, llor f è integrbile in senso generlizzto in [,+ ); è conseguenz dell (iv) e del ftto che, essendo α >, / α è integrbile. Qundo invece l relzione vle con α, llor f non è integrbile in senso generlizzto in [,+ ). Osservzione Si fcci ttenzione. Se per un cert funzione f bbimo che f() è dello stesso ordine di grndezz di / α per +, possimo sempre stbilire se l funzione f è integrbile in senso generlizzto oppure no. Se bbimo invece che f() è trscurbilerispetto / α per +, possimo concludere solo se α >. Quindi, d esempio, se trovo che f() è trscurbile rispetto / per +, non posso concludere null sull integrbilità di f. 4 Esempi ln Considerimo 3 d.5 Dopo ver osservto che l funzione integrnd è continu e non negtiv nell intervllo di integrzione, ricordndo che ln per ogni >, possimo dire che ln 3 = 3. Quindi, essendo / integrbile in senso generlizzto in [, + ), per l (i) dei Criteri del confronto il nostro integrle converge. Considerimo l integrle d. Questo non si può clcolre con l definizione in qunto ln ln è un delle funzioni che non hnno primitiv elementre. L integrle non converge. Inftti in [,+ ) l funzione è continu e positiv, si h ln, e quindi ln. Dto che / non è integrbile in senso generlizzto in [, + ), dll (ii) dei Criteri del confronto segue llor che nemmeno f() = ln è integrbile in senso generlizzto in [,+ ). f() Ricordo che signific che lim + g() =. f() Ricordo che l scrittur signific che lim + esiste finito e diverso d zero. 3 g() Ricordo che definitivmente signific d un certo punto in poi. Quindi dire che un proprietà vle definitivmente vuol dire che non vle dppertutto m vle d un certo punto (vlore rele) in poi. 4 Si considerino d esempio le due funzioni f () = / e f () = /(ln) nell intervllo [,+ ). Entrmbe sono o(/), per +. L prim è integrbile in senso generlizzto in [,+ ), l second no. 5 Per l verità questo integrle si potrebbe clcolre nche con l definizione, dto che di quest funzione simo in grdo di trovre un primitiv (lo studente provi per esercizio: il risultto è 4 ). A. Peretti Corso di Mtemtic UNIVR Sede di Vicenz

13 5 L INTEGRALE DI RIEMANN GENERALIZZATO 3 Considerimo e d. 6 L funzione f() = e è continu e non negtiv nell intervllo considerto. Confrontndo f() con / possimo osservre che f() 3 lim + / = lim + e = (confronto stndrd). Pertnto f() è trscurbile rispetto /, per +. Dll integrbilità di / in [,+ ), per l (iii) dei Criteri del confronto, llor nche f è integrbile in senso generlizzto in [,+ ), e quindi in [,+ ). +ln +ln L integrle 3 +ln 3 d converge. Inftti, f() = è continu e non negtiv in [,+ ) e, trscurndo i logritmi, f() risult equivlente 3 +ln 3, cioè equivlente 3, per +. Quindi, dto che / è integrbile in senso generlizzto in [,+ ), nche f lo è (per l (iv)). Considerimo e d e si trtt di un esempio importnte (fondmentle nell teori dell probbilità). L funzione f() = e non h primitive elementri, cioè le sue primitive non si possono esprimere ttrverso funzioni elementri o loro composizioni. Quindi non simo in grdo di clcolre l integrle con l definizione. Possimo però provre che l integrle in questione è finito, cioè che f è integrbile in senso generlizzto in (, + ). Vedimo perché. Si trtt di un funzione continu in tutto R, positiv e pri (simmetric rispetto ll sse y). Possimo considerrl nell intervllo [, + ). Possimo or osservre che e lim + / = lim + e t = lim t + e t = (confronto stndrd). Pertnto e è trscurbile rispetto /, per +. Dto che l funzione / è integrbile in senso generlizzto in [, + ), per i Criteri del confronto nche f è integrbile in senso generlizzto in [, + ), e quindi è integrbile in senso generlizzto in [,+ ), dto che tr e l integrle è certmente finito. Dll simmetri segue che nche l integrle generlizzto in (, ] esiste (ed è ugule quello in [, + )). Quindi f() = e è integrbile in senso generlizzto in (,+ ). È un funzione (e un integrle) ssolutmente fondmentle nel clcolo delle probbilità (li incontrerete nuovmente nel corso di Sttistic). Si può dimostrre che e d = π. Osservzione Fccio nuovmente osservre che con i Criteri del confronto possimo studire l integrbilità in senso generlizzto di funzioni di cui non simo in grdo di trovre un primitiv. 7 Osservzione Se f è un funzione integrbile in senso generlizzto, è possibile scrivere l su funzione integrle con primo estremo, cioè l funzione F() = f(t)dt. Ad ess è pplicbile il teorem fondmentle del clcolo integrle, che grntisce, nel cso f si continu, l derivbilità di F e l uguglinz F () = f(). Ritroverete nche quest prticolre situzione nel corso di Sttistic. Per gli scopi del clcolo delle probbilità è d esempio importnte l funzione e t dt. 6 Anche questo integrle si potrebbe clcolre con l definizione, dto che simo in grdo di trovre un primitiv dell funzione (lo studente provi per esercizio: il risultto è ). 7 È chiro che, in questi csi, con i criteri di confronto si può dire solo se l integrle è finito o infinito. Per clcolrlo, qundo converge, occorrono ltre tecniche. A. Peretti Corso di Mtemtic UNIVR Sede di Vicenz

14 6 SOLUZIONI DEGLI ESERCIZI 4 Qui l ppliczione del teorem fondmentle port dire fcilmente che quest funzione è monoton crescente. Inoltre ess è positiv e limitt. Le due figure qui sotto illustrno f() = e e l su funzione integrlef() = e t dt. f F π π Esercizio 5. () (c) Esercizio 5. () (c) (e) (g) e d Clcolre i seguenti integrli generlizzti, utilizzndo l definizione. e d (b) (d) 4 d ln d Stbilire se i seguenti integrli generlizzti convergono, utilizzndo i criteri di convergenz d + d +e d d + (h) 6 Soluzioni degli esercizi (b) (d) (f) d 3 ++ d +e e d d Esercizio 4. () d. Si h 3/ d = 3/ = 3. (b) 7/ 3 + d. Si h 7/ 3 + d = (+) /3 /3 7/ = 3 4 (8/3 ) = 9 4. (c) (d) / e d. Si h + d. Si h / e d = e = /e. + d = ln(+) / = 8 ln. 8 Il vlore ssoluto qui si può omettere dto che l rgomento è positivo nell intervllo di integrzione. A. Peretti Corso di Mtemtic UNIVR Sede di Vicenz

15 6 SOLUZIONI DEGLI ESERCIZI 5 (e) d. Si h d = d = 4 ln(+4 ) = 4 ln. (f) 4 e d. Si h 4 e 4 d = e d = e 4 = e(e ). L integrle è stto risolto riconducendolo d un integrle immedito del tipo e f Df. Si potev nche risolverlo con un cmbio di vribile. A tle proposito, ricordo che un buon procedur è l seguente: risolvere nzitutto l integrle indefinito, operndo il cmbio di vribile. Un volt trovt l primitiv, clcolre l integrle definito. Alterntivmente si può nche operre il cmbio di vribile sull integrle definito, m in questo cso occorre ricordrsi di cmbire nche gli estremi di integrzione. Ad esempio, nell integrle in questione, questo secondo modo di procedere porterebbe scrivere (con l sostituzione = t, d cui = t e quindi d = tdt) (g) (h) (i) 4 e e t d = t tdt = Così fcendo non c è ovvimente l necessità di tornre ll vribile. e e + 3 d. Si h ln d. Si h + 3 d = 3 e ln d = e t dt = e t = (e e) d = (+ 3 ) 3/ 3 3/ e (ln) / d = (ln)3/ 3/ e = 9 ( ). = 3. lnd. Qui serve prim un integrzione per prti per risolvere l integrle indefinito. lnd = ln = 3 3 ln 3 9 +c = 9 3 (3ln )+c. Quindi e ( lnd = 9 3 (3ln ) e = 9 (e3 +). (j) (k) d. L integrle si riconduce fcilmente d un integrle immedito: + 3 d. Si h (+) 3 + d = (+) d = + 3 (+) d = 3 + d = ln(+ ) = ln 5. ( ) ( d = ln ln = ln ln Si noti che in questo cso non si può omettere il vlore ssoluto nelle primitive, poiché l funzione è negtiv nell intervllo di integrzione. A. Peretti Corso di Mtemtic UNIVR Sede di Vicenz

16 6 SOLUZIONI DEGLI ESERCIZI 6 (l) 3 d. Anche qui si può rrivre ll soluzione con il solito trucco di ggiungere e togliere: ( ) ( ) = + ( ) = ( ) + ( ). Or si può scomporre il primo termine nuovmente con l ggiungere e togliere e si ottiene Pertnto 3 ( ) d = 3 ( ) = + ( ) + ( ) = + ( ). ( ) ( + ( ) d = ln ln 3 = ln3 ln+/. Esercizio 5. () e d. Si h e d = lim e d = lim e = lim ( e ) =. (b) (c) 4 d. Si h 4 e d. Si h b d = lim d = lim b = lim ( b 4) = +. b + 4 b + 4 b + e d = = lim = lim e d+ e d e d+ lim b + ( /e + lim b + e d ( /e b = / lim ( e ) / lim b + (e b ) =. (d) d. Si noti che l funzione è continu in tutto l intervllo di integrzione. ln Quindi l integrle diverge. b d = lim d = lim ln b + ln lnln b = lim ( ) lnlnb lnln = +. b + b + Si noti che l funzione è dispri. Attenzione! Non è vero in generle che l integrle generlizzto di un funzione dispri è sempre, in qunto l integrle potrebbe non essere finito. È vero però che, se un funzione dispri è integrbile in senso generlizzto, llor l integrle è zero. A. Peretti Corso di Mtemtic UNIVR Sede di Vicenz

17 6 SOLUZIONI DEGLI ESERCIZI 7 Esercizio 5. () (b) (c) (d) 3 ++ d. L funzione è continu e positiv in [,+ ). Trscurndo denomintore + rispetto d 3 possimo dire che 3 ++ è equivlente 3, per +. Quindi per il criterio del confronto, dto che l funzione / 3 è integrbile ll infinito, l integrle dto converge d. L funzione è continu e positiv in [, + ). Trscurndo tutte le quntità trscurbili possimo dire che è equivlente ++ 3 =, per +. Quindi per il criterio del confronto, dto che l funzione / non è integrbile ll infinito, l integrle dto non converge. + d. Funzione continu e positiv nell intervllo di integrzione. Trscurndo l rdice bbimo che Quindi l integrle converge d. + è equivlente, per +. Funzione continu e positiv nell intervllo di integrzione. Trscurndo, sotto rdice, + rispetto d, possimo dire che 3 ++ è equivlente /3, per +. Dto che 3 < l integrle diverge. +e (e) d. L funzione è positiv nell intervllo di integrzione e, trscurndo l esponenzile(che tende zero per + ), possimo dire che +e è equivlente, per +. Quindi l integrle dto diverge. (f) (g) +e d. Trscurndo l esponenzile bbimo che Quindi l integrle dto converge. +e è equivlente, per +. d. + L funzione è positiv nell intervllo di integrzione e, trscurndo l esponenzile, bbimo che Quindi l integrle dto converge. + è equivlente, per +. A. Peretti Corso di Mtemtic UNIVR Sede di Vicenz

18 6 SOLUZIONI DEGLI ESERCIZI 8 (h) e d. Possimo osservre che l funzione è pri. Allor considerimo funzione /. Si h e 4 t lim + / = lim = lim + e t + e t =. e d. Fccimo un confronto con l Quindi bbimo che e è trscurbile rispetto /, per +. Allor per il criterio del confronto l integrle dto converge. A. Peretti Corso di Mtemtic UNIVR Sede di Vicenz