CAPITOLO 14. Quadriche. Alcuni esercizi di questo capitolo sono ripetuti in quanto risolti in maniera differente.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "CAPITOLO 14. Quadriche. Alcuni esercizi di questo capitolo sono ripetuti in quanto risolti in maniera differente."

Transcript

1 CAPITOLO 4 Quadriche Alcuni esercizi di questo capitolo sono ripetuti in quanto risolti in maniera differente. Esercizio 4.. Stabilire il tipo di quadrica corrispondente alle seguenti equazioni. Se si tratta di una quadrica a centro determinare inoltre le coordinate del centro. a) x +y +z xy +yz +4x y = b) xy +xz yz x = c) 4x +y +3z +4xz 4yz +6x+4y +8z + = d) 5x 4y z 4yz x 5 = e) x +3y +4yz 6x+8y +8 = f) y z +4xy 4xz 6x+4y +z +8 = g) 4x +5y +5z yz +8x+8y +8z + = h) x +y z xz +4y 4z = i) x +y xz +yz 4x+4y = l) x +3y +3z +yz +y z 4 = Esercizio 4.. Determinare la forma canonica delle seguenti quadriche. Se si tratta di una quadrica a centro determinarne il centro e gli assi di simmetria. a) x +y +z yz 4y +3z + = b) 5x +8y +5z +6xz 8 = c) x +y z +4z = d) 5x y +8xy +5z 5z = Esercizio 4.3. Determinare la forma canonica delle seguenti quadriche, ricavando le relazioni che permettono di passare dalle coordinate della forma iniziale alle coordinate della forma canonica e viceversa: a) 5x 4y z 4yz x 5 = b) x +3y +3z +yz +y z 4 = Esercizio 4.4. Determinare la forma canonica della seguente quadrica, ricavando le relazioni che permettono di passare dalle coordinate della forma iniziale alle coordinate della forma canonica e viceversa: x +y +z yz 4y +3z + = Esercizio 4.5. Sia Q la quadrica di equazione Q : 3x +3y z xy 4z =. a) Stabilire se Q é degenere o meno, e di quale tipo di quadrica si tratti. Se é una quadrica a centro determinare le coordinate del centro. a) Trovare gli assi o l asse) di simmetria di Q e determinare coordinate omogenee dei punti all infinito degli assi di simmetria. Esercizio 4.6. Sia Q la quadrica di equazione Q : xz y 4z = a) Riconoscere la quadrica b) Se la quadrica è a centro, determinare coordinate del centro di simmetria ed equazioni degli assi di simmetria.

2 4. QUADRICHE c) L intersezione di Q con il piano π di equazione y = è una conica del piano π. Stabilire il tipo di conica. Esercizio 4.7. Sia Q la quadrica di equazione Q : x y +yz = a) Riconoscere la quadrica b) Se la quadrica è a centro, determinare coordinate del centro di simmetria ed equazioni degli assi di simmetria. c) L intersezione di Q con il piano π di equazione x = è una conica del piano π. Stabilire il tipo di conica. Esercizio 4.8. Sia Q la quadrica di equazione Q : x +z +xz + x+ z +y +4 = a) Riconoscere la quadrica. b) Studiare la conica che si ottiene intersecando la quadrica Q con il piano z = tipo, forma canonica,...). Esercizio 4.9. Sia Q la quadrica di equazione Q : +k)x +y +z +kyz kz = +k a) Per quali valori del parametro reale k la quadrica Q è un paraboloide? b) Per i valori di k determinati al punto a), stabilire il tipo di paraboloide ellittico o iperbolico). c) Per i valori di k determinati al punto a), stabilire il tipo di coniche che si ottengono intersecando Q con il piano z =. Esercizio 4.. Sia Q la quadrica di equazione Q : x ++k)y +z +kxz kz = +k a) Per quali valori del parametro reale k la quadrica Q è un paraboloide? b) Per i valori di k determinati al punto a), stabilire il tipo di paraboloide ellittico o iperbolico). c) Per i valori di k determinati al punto a), stabilire il tipo di coniche che si ottengono intersecando Q con il piano z =.. Suggerimenti Equazione A ogni quadrica fx,y,z) =, possiamo associare due matrici quadrate: la matrice A M 3 3 relativa alla forma quadratica associata alla quadrica, e la matrice A M 4 4 : coeff. di x / coeff. di xy / coeff. di xz A = / coeff. di xy coeff. di y / coeff. di yz, / coeff. di xz / coeff. di yz coeff. di z [ ] / coeff. della x A A h = dove h = / coeff. della y, k = termine noto dell equazione h T k / coeff. della z Di conseguenza l equazione della quadrica è fx,y,z) = [x,y,z,] A [x,y,z,] T = Invarianti. Il polinomio caratteristico di A è così formato p A λ) = λ 3 +I λ I λ+i 3

3 . SUGGERIMENTI 3 con I = tra) = λ +λ +λ 3, I = λ λ +λ λ 3 +λ λ 3 I 3 = deta) = λ λ λ 3, I 4 = deta ) Classificazione: quadriche non degeneri Una quadrica è non degenere se deta ), ovvero rga ) = 4. Inoltre è Ellissoide: rga) = 3, ovvero deta), e autovalori di A concordi oppure I 3, I > e I I 3 > ). Inoltre: I 4 = deta ) > : ELLISSOIDE IMMAGINARIO: ax +by +cz + = I 4 = deta ) < : ELLISSOIDE REALE: ax +by +cz = Iperboloide: rga) = 3, ovvero deta), e autovalori di A discordi oppure I 3 e I o I I 3 ). Inoltre: I 4 = deta ) > : IPERBOLOIDE IPERBOLICOa falda): ax +by cz =. I 4 = deta ) < : IPERBOLOIDE ELLITTICO a falde): ax by cz =. Paraboloide: rga), cioè deta) =, cioè un autovalore nullo oppure I 3 = ). Inoltre: I 4 = deta ) > : PARABOLOIDE IPERBOLICO: ax by z =. Analogamente è un paraboloide iperbolico se i due autovalori non nulli di A sono discordi. I 4 = deta ) < : PARABOLODE ELLITTICO: ax +by z =. Analogamente è un paraboloide ellittico se i due autovalori non nulli di A sono concordi. Classificazione: quadriche degeneri Una quadrica è degenere se deta ) =. Inoltre: Se rga ) = 3, allora è degenere irriducibile. Se rga ), allora è degenere riducibile. In particolare: Cono quindi irriducibile): rga) = rga ) = 3 oppure I 4 = e I 3 ). Inoltre: Auotovalori di A concordi oppure I > ): cono a un unico punto reale ax +by +cz =, Auotovalori di A discordi oppure I ): cono reale ax +by cz = Cilindro quindi irriducibile): Se rga) =, ma rga ) = 3 oppure I 3 = e rga ) = 3). Inoltre: I > : cilindro ellittico: ax +by ± =, I < : cilindro iperbolico: ax by =, I = : Cilindro parabolico: x py =. Se rga ) allora è una quadrica degenere riducibile. Inoltre Se rga ) = e rga) = : due piani incidenti reali o complessi), Se rga ) = e rga) = : due piani distinti e paralleli reali o complessi), Se rga ) = : un piano doppio. I, I, I 3, I 4 sono invarianti. Mentre I, I 3, I 4 possono essere calcolati direttamente da A e A, I può essere calcolato solo da p A λ) Centro e assi Ellissoide e iperboloide sono quadriche a centro. Come per le coniche il centro si trova risolvendo il sistema A h. Come per le coniche gli assi di una quadrica non degenere a centro sono le rette passanti per il centro e di direzione corrispondente agli autovettori della matrice A della quadrica.

4 4 4. QUADRICHE - Rotazione. La matrice A è simmetrica, quindi esiste una matrice R ortogonale speciale detta matrice di rotazione tale che λ R T AR = D = λ dove λ i sono autovalori di A λ 3 Forme canonica con equazioni della trasformazione delle quadriche non degeneri: Per ottenere la forma canonica si procede esattamente come per le coniche: ) Rotazione: utilizzando una matrice ortonormale R di rotazione, ) Traslazioine. La matrice R si ottiene dagli autovettori di A normalizzati e con i segni in modo che il determinante sia ). - - Forma canonica versione semplice. Per ottenere la forma canonica di una quadrica non degenere senza cercare però l equazioni della trasformazione che permette di passare dall equazione originale alla forma canonica e viceversa, possiamo procedere nel seguente modo: Calcoliamo deta ) per verificare che la quadrica non sia degenere. Calcoliamo gli autovalori λ, λ, λ 3 di A e stabiliamo di quale quadrica si tratta. Consideriamo i diversi casi: Se si tratta di un ellissoide sappiamo che dobbiamo arrivare a una equazione del tipo ax +by +cz ± =, passando attraverso una equazione del tipo λ x +λ y +λ 3 z +t = B = λ λ λ con λ, λ, λ 3 autovalori di A t Poiché deta ) è un invariante, imponendo la condizione deta ) = detb) possiamo ricavare il valore di t. Dividendo infine per t o t si ottiene la forma canonica. Solo a questo punto possiamo stabilire se è reale o immaginaria. Se si tratta di un iperboloide sappiamo che dobbiamo arrivare a una equazione del tipo ax ±by cz =, passando attraverso una equazione del tipo λ x +λ y +λ 3 z +t = B = λ λ λ con λ, λ, λ 3 autovalori di A t Poiché deta ) è un invariante, imponendo la condizione deta ) = detb) possiamo ricavare il valore di t. Dividendo infine per t o t si ottiene la forma canonica. Solo a questo punto possiamo stabilire se è un iperboloide a una o a due falde. Se si tratta di un paraboloide sappiamo che dobbiamo arrivare a una equazione del tipo ax ±by z =, passando attraverso una equazione del tipo λ x +λ y +tz = B = λ λ t con λ, λ autovalori non nulli di A t Poiché deta ) è un invariante, imponendo la condizione deta ) = detb) possiamo ricavare il valore di t negativo). Dividendo infine per t si ottiene la forma canonica.

5 . SOLUZIONI 5 - Quadriche degeneri riducibili. Se rga ) si possono trovare i piani risolvendo una equazione di secondo grado in una incognita le altre due incognite vengono considerate parametri), oppure in generale scomponendo il polinomio fx, y, z) nel prodotto di due polinomi di primo grado. -. Soluzioni Esercizio 4.. Stabilire il tipo di quadrica corrispondente alle seguenti equazioni. Se si tratta di una quadrica a centro determinare inoltre le coordinate del centro. a) x +y +z xy +yz +4x y = b) xy +xz yz x = c) 4x +y +3z +4xz 4yz +6x+4y +8z + = d) 5x 4y z 4yz x 5 = e) x +3y +4yz 6x+8y +8 = f) y z +4xy 4xz 6x+4y +z +8 = g) 4x +5y +5z yz +8x+8y +8z + = h) x +y z xz +4y 4z = i) x +y xz +yz 4x+4y = l) x +3y +3z +yz +y z 4 = Soluzione: a) Consideriamo l equazione x +y +z xy +yz +4x y = e la matrice A associata: A = Cominciamo a stabilire se è degenere calcolando il determinante di A. Poiché ci interessa solo stabilire se il determinante si annulla ovvero se rga ) < 4 possiamo in alternativa ridurre la matrice parzialmente) a gradini per semplificare i conti. Inoltre la riduzione a gradini è utile quando successivamente calcoliamo il rango di A. Per tale ragione è conveniente non scambiare le righe di A o almeno non scambiare la IV riga con le precedenti, in modo da tenere la matrice A, formata dalle prime tre righe, distinta. Inoltre il metodo introdotto nelle prime lezioni, che consiste nell utilizzare solo le righe precedenti una riga per modificare quest ultima, ci garantisce che la matrice A non sia modificata con l uso della IV riga. II +I III II IV I rga ) = 3 deta ) = quadrica degenere In particolare rga ) = 3 quindi si tratta o di un cono o di un cilindro. Dalla riduzione si nota che rga) = cilindro non parabolico).

6 6 4. QUADRICHE Per stabilire il tipo di cilindro dobbiamo calcolare I : p A λ) = λ 3 +5λ 6λ I = 5, I = 6, I 3 = Poichè I 3 = si tratta in effetti di un cilindro; inoltre I > quindi è un cilindro ellittico. b) Consideriamo l equazione xy +xz yz x = e la matrice A associata: A = In questo caso è immediato calcolare il determinante sviluppando rispetto all ultima riga: Inoltre deta ) = ) 4 quadrica non degenere deta) = rga) = 3 ellissoide o iperboloide. 4 Per stabilire se si tratta di un ellissoide o di un iperboloide dobbiamo determinare se gli autovalori di A sono concordi o discordi. p A λ) = λ λ ) 4 λ+ ) ) λ = λ λ ) λ+ ) + λ ) = λ ) λ + λ ) = λ ) λ +λ ) Quindi gli autovalori sono λ = λ =, λ 3 = discordi iperboloide Inotre deta ) >, quindi è un iperboloide iperbolico. In alternativa potevamo usare gli invarianti: p A λ) = λ λ 4 I =, I = 3 4, I 3 = 4,. Poichè I 3 è una quadrica a centro; inoltre I <, quindi è un iperboloide. Infine I 4 = deta ) >, quindi è un iperboloide iperbolico. Determiniamo le coordinate del centro risolvendo il sistema associato a: III II II I I x = ) y = C III II z =,, Anche se non è richiesto dall esercizio notiamo che gli assi della quadrica sono le rette per C di direzione parallela agli autovettori di A.

7 . SOLUZIONI 7 c) Consideriamo l equazione 4x +y +3z +4xz 4yz +6x+4y +8z + = e la matrice A associata: 4 3 A = Inoltre Calcoliamo il rango di A e A riducendo A a gradini: /II III I III +4II 9 4IV 3I 8 IV 8II 8 9 rga ) = 4 quadrica non degenere rga) = paraboloide p A λ) = 4 λ)[ λ)3 λ) 4] 4 λ) Quindi gli autovalori oltre a λ = ) sono = λ 3 +9λ 8λ = λλ 9λ+8) λ = 3, λ 3 = 6 concordi paraboloide ellittico d) Consideriamo l equazione 5x 4y z 4yz x 5 = e la matrice A associata: 5 5 A = Calcoliamo il rango di A riducendo la matrice a gradini: 5 5 /4II 3 III 3II 5 IV +I Inoltre rga ) = 4 quadrica non degenere rga) = 3 ellissoide o iperboloide. Per stabilire se si tratta di un ellissoide o di un iperboloide dobbiamo determinare se gli autovalori di A sono concordi o discordi. Quindi gli autovalori sono p A λ) = 5 λ)[ 4 λ) λ) 44] = 5 λ) [ λ 5λ ] λ = λ = 5, λ 3 = discordi iperboloide In alternativa potevamo usare gli invarianti: p A λ) = λ 3 +λ +5λ 5 I =, I = 5, I 3 = 5. Poichè I 3 è una quadrica a centro; inoltre I <, quindi è un iperboloide. Infine I 4 = deta ) >, quindi è un iperboloide iperbolico.

8 8 4. QUADRICHE Determiniamo le coordinate del centro risolvendo il sistema associato a: /4II 3 III 3II 5 x = y = C,, ) z = Notiamo che potevamo considerare direttamente la matrice ridotta a gradini, pur di cambiare il segno ai termini della colonna dei termini noti. Anche se non è richiesto dall esercizio notiamo che gli assi della quadrica sono le rette per C di direzione parallela agli autovettori di A. e) Consideriamo l equazione x +3y +4yz 6x+8y +8 = e la matrice A associata: 3 A = Calcoliamo il rango di A riducendo la matrice a gradini: 3 3 /III III 3 4 III 3II 4 IV +3I 4 IV 4II rga ) = 4 quadrica non degenere rga) = 3 ellissoide o iperboloide. Per stabilire se si tratta di un ellissoide o di un iperboloide dobbiamo determinare se gli autovalori di A sono concordi o discordi. p A λ) = λ) [ λ 3λ 4 ] Quindi gli autovalori sono λ =, λ =, λ 3 = 4 discordi iperboloide Inoltre I 4 = deta ) >, quindi è un iperboloide iperbolico. In alternativa potevamo usare gli invarianti: p A λ) = λ 3 +4λ +λ 4 I = 4, I =, I 3 = 4. Poichè I 3 è una quadrica a centro; inoltre I <, quindi è un iperboloide. Infine I 4 = deta ) >, quindi è un iperboloide iperbolico. Determiniamo le coordinate del centro risolvendo il sistema Ax = h e considerando direttamente la matrice ridotta a gradini: 3 x = 3 y = C3,, ) 4 z = Anche se non è richiesto dall esercizio notiamo che gli assi della quadrica sono le rette per C di direzione parallela agli autovettori di A. f) Consideriamo l equazione y z +4xy 4xz 6x+4y +z +8 = e la matrice A associata: 3 A = 3 8

9 . SOLUZIONI 9 Calcoliamo il rango di A e A riducendo A a gradini: III II +I I III II 9 IV 3III IV III rga ) = 4 quadrica non degenere, e rga) = paraboloide Inoltre p A λ) = λ λ) λ) λ) λ) = λ +λ )+8λ = λλ 9) Quindi gli autovalori oltre a λ = ) sono λ = 3, λ 3 = 3 discordi paraboloide iperbolico In alternativa potevamo usare gli invarianti: p A λ) = λ 3 +9λ I =, I = 9, I 3 =. Poichè I 3 = è un paraboloide; inoltre I 4 = deta ) >, quindi è un paraboloide iperbolico. g) Consideriamol equazione4x +5y +5z yz +8x+8y +8z + = elamatricea associata: 4 4 A = /4I 5III +II IV I Calcoliamo il rango di A e A riducendo A a gradini: IV 4II 4 3 /4III IV III rga ) = 4 quadrica non degenere, e rga) = 3 ellissoide o iperboloide Inoltre Quindi gli autovalori sono p A λ) = 4 λ)λ λ+4) λ = λ = 4, λ 3 = 6 concordi ellissoide Inoltre I = deta ) <, quindi è un ellissoide reale. In alternativa potevamo usare gli invarianti: p A λ) = λ 3 +4λ 64λ+96 I = 4, I = 64, I 3 = Poichè I 3 è una quadrica a centro; inoltre I >, quindi è un ellissoide. Infine I 4 = deta ) <, quindi è un ellissoide reale. Determiniamo le coordinate del centro risolvendo il sistema Ax = h e considerando direttamente la matrice ridotta a gradini: x = 5 4 y = C,, ) z = Anche se non è richiesto dall esercizio notiamo che gli assi della quadrica sono le rette per C di direzione parallela agli autovettori di A. h) Consideriamo l equazione x +y z xz +4y 4z = e la matrice A associata: A =

10 4. QUADRICHE Calcoliamo il rango di A e A riducendo A a gradini: /II III +I IV II IV III rga ) = 3 quadrica degenere, erga) = 3 cono Anche il cono è una conica a centro, quindi risolviamo il sistema A h: x = y = C,, ) III +I z = i) Consideriamo l equazione x +y xz +yz 4x+4y = e la matrice A associata: A = Calcoliamo il rango di A e A riducendo A a gradini: III I III II IV III Infatti: rga ) = quadrica degenere rga) = rga ) = due piani incidenti x +y xz +yz 4x+4y = x y +xz yz +4x 4y = x y)x+y)+zx y)+4x y) = x y)x+y +z +4) = Quindi la quadrica corrisponde alla coppia di piani x y =, x+y +z +4 = l) Consideriamo l equazione x +3y +3z +yz +y z 4 = e la matrice A associata: A = Inoltre Calcoliamo il rango di A e A riducendo A a gradini: 3 3III II /4III IV III 4 3 IV +III rga ) = 4 quadrica non degenere rga) = 3 ellissoide o iperboloide p A λ) = λ)λ 6λ+8)

11 . SOLUZIONI Quindi gli autovalori sono λ = λ =, λ 3 = 4 concordi ellissoide Determiniamo le coordinate del centro risolvendo il sistema Ax = h e considerando direttamente la matrice ridotta a gradini: x = 3 y = C, ) z =, Anche se non è richiesto dall esercizio notiamo che gli assi della quadrica sono le rette per C di direzione parallela agli autovettori di A. Esercizio 4.. Determinare la forma canonica delle seguente quadriche. Se si tratta di una quadrica a centro determinarne il centro e gli assi di simmetria. a) x +y +z yz 4y +3z + = b) 5x +8y +5z +6xz 8 = c) x +y z +4z = d) 5x y +8xy +5z 5z = Soluzione: a) Consideriamo la quadrica x +y +z yz 4y +3z + = le cui matrici associate sono: A = 3, A =, 3 Poiché deta ) = si tratta di una quadrica non degenere. Calcoliamo gli autovalori di A per stabilire la rotazione: p A λ) = λ λ)λ ) Quindi gli autovalori di A sono λ =, doppio, e λ =. Poiché A ha un autovalore nullo si tratta di un paraboloide; inoltre gli autovalori non nulli sono concordi, quindi si tratta di un paraboloide ellittico. Sappiamo che la forma canonica sarà del tipo ax + by z =, cerchiamo quindi una equazione del tipo a cui è associata la matrice λ x +λ y +tz = x +y +tz = B = t t Sappiamo inoltre che deta ) è un invariante, quindi detb) = deta ): 4t = t = 8 Infine possiamo ricavare la forma canonica: x +y t = z = x + y z = b) Consideriamo la quadrica 5x +8y +5z +6xz 8 = le cui matrici associate sono: 5 3 A = , A = 8, 3 8 Poiché deta ) = 8 8 si tratta di una quadrica non degenere.

12 4. QUADRICHE Calcoliamo gli autovalori di A per stabilire la rotazione: p A λ) = 8 λ)λ λ+6) Quindi gli autovalori di A sono λ = 8, doppio, e λ =. Poiché A ha 3 autovalori concordi si tratta di un ellissoide. Per stabilire se è reale dobbiamo trovare la forma canonica. Sappiamo che la forma canonica sarà del tipo ax +by +cz ± =, cerchiamo quindi una equazione del tipo λ x +λ y +λ 3 z +t = 8x +8y +z +t = a cui è associata la matrice 8 B = 8 t Sappiamo inoltre che deta ) è un invariante, quindi detb) = deta ): 64 t = 8 8 t = 8 Infine possiamo ricavare la forma canonica: 8x +8y +z 8 = x +y + 4 z = Si tratta quindi di un ellissoide reale. Poichè è una conica a centro possiamo determinare centro e assi. Il centro è dato dalla soluzione del sistema A h: 5x+3z = 8y = C,,) 3y +5z = Per trovare gli assi dobbiamo prima determinare gli autospazi: 3 3 x = t E8) = NA 8I) : x+z = y = s 3 3 z = t E8) =,,),,,) 3 3 { E) = NA I) : 6 3x+3z = x = t y = 3 3 6y = z = t E) =,, ) Infine gli assi sono le rette per il centro di direzione parallela agli autovettori: x = t x = x = t a : y = a : y = t a 3 : y = z = t z = z = t c) Consideriamo la quadrica x +y z +4z = le cui matrici associate sono: A =, A =, Poiché deta ) = si tratta di una quadrica non degenere. Calcoliamo gli autovalori di A per stabilire la rotazione. Notiamo che A è diagonale, quindi non è necessario effettuare la rotazione. Inoltre gli autovalori di A sono gli elementi della diagonale: λ =, doppio, e λ =. Poiché A ha autovalori disconcordi si tratta di un iperboloide. Per stabilire se è a una o a due falde dobbiamo ricavare la forma canonica.

13 . SOLUZIONI 3 Sappiamo che la forma canonica sarà del tipo ax ±by ±cz =, cerchiamo quindi una equazione del tipo λ x +λ y +λ 3 z +t = x +y z +t = a cui è associata la matrice B = t Sappiamo inoltre che deta ) è un invariante, quindi detb) = deta ): t = t = 6 Infine possiamo ricavare la forma canonica: x +y z 6 = 6 x + 6 y 3 z = Si tratta quindi di un iperboloide iperbolico, o a una falda. Poichè è una conica a centro possiamo determinare centro e assi. Il centro è dato dalla soluzione del sistema A h: x = y = C,,) z = Per trovare gli assi dobbiamo prima determinare gli autospazi: x = t E) = NA I) : 3z = y = s 3 z = E) =,,),,,) { 3 E ) = NA+I) : 3 3x = x = y = 3y = z = t E ) =,,) In realtà, non avendo effettuato alcuna rotazione, sapevamo già che gli autovettori sono i vettori della base canonica. Infine gli assi sono le rette per il centro di direzione parallela agli autovettori: x = +t x = x = a : y = a : y = t a 3 : y = z = z = z = t d) Consideriamo la quadrica 5x y +8xy +5z 5z = le cui matrici associate sono: 5 4 A = , A = 4, 5 5 Poiché deta ) = 65 si tratta di una quadrica non degenere. 4 Calcoliamo gli autovalori di A per stabilire la rotazione: p A λ) = 5 λ)λ 4λ ) Quindi gli autovalori di A sono λ = 5,λ = 7 e λ = 3. Poiché A ha autovalori disconcordi si tratta di un iperboloide. Per stabilire se è a una o a due falde dobbiamo trovare la forma canonica. Sappiamo che la forma canonica sarà del tipo ax ±by ±cz =, cerchiamo quindi una equazione del tipo λ x +λ y +λ 3 z +t = 5x +7y 3z +t =

14 4 4. QUADRICHE a cui è associata la matrice 5 B = 7 3 t Sappiamo inoltre che deta ) è un invariante, quindi detb) = deta ): 5t = 65 4 Infine possiamo ricavare la forma canonica: t = 3 4 5x +7y 3z = 3 x y 3 z + = 3 x 8 3 y + 3 z = Effettuando infine la rotazione che lascia fisso y, manda x in z e z in x otteniamo: 3 x 8 3 y 3 z = Si tratta quindi di un iperboloide ellittico, o a due falde. Poichè è una conica a centro possiamo determinare centro e assi. Il centro è dato dalla soluzione del sistema A h: 5x+4y = 4x y = 5z = 5 C,, ) Per trovare gli assi dobbiamo prima determinare gli autospazi: { 4 E5) = NA 5I) : 4 6 4y = x = y = 4x 6y = z = t E5) =,,) { 4 E7) = NA 7I) : 4 8 x+4y = x = t y = t z = z = E7) =,,) 8 4 { E 3) = NA+3I) : 4 4x+y = x = t y = t 8 8z = z = E 3) =,,) Infine gli assi sono le rette per il centro di direzione parallela agli autovettori: x = x = t x = t a : y = z = a : y = t +t z = a 3 : y = t z = Esercizio 4.3. Determinare la forma canonica delle seguenti quadriche, ricavando le relazioni che permettono di passare dalle coordinate della forma iniziale alle coordinate della forma canonica e viceversa: a) 5x 4y z 4yz x 5 = b) x +3y +3z +yz +y z 4 = Soluzione:

15 . SOLUZIONI 5 a) Consideriamo la conica 5x 4y z 4yz x 5 = e le matrici associate: 5 5 A = 4 5 A = Calcoliamo il determinante di A che ci servirà per trovare la forma canonica): deta ) = 5 5)44 44)+5 5)44 44) = Quindi si tratta di una conica non degenere. Inoltre deta) = ) ellissoide o iperboloide. Per stabilire se si tratta di un ellissoide o di un iperboloide dobbiamo determinare se gli autovalori di A sono concordi o discordi. p A λ) = 5 λ)[ 4 λ) λ) 44] = 5 λ) [ λ 5λ ] Quindi gli autovalori sono λ = λ = 5, λ 3 = discordi iperboloide Sappiamo che la forma canonica della quadrica è del tipo ax ±by ±cz =, cerchiamo quindi una equazione del tipo λ x +λ y +λ 3 z +t = 5x +5y z +t = a cui è associata la matrice 5 B = 5 t Sappiamo inoltre che deta ) è un invariante, quindi detb) = deta ): 5t = t = Infine possiamo ricavare la forma canonica: 5X +5Y Z = 4 X + 4 Y Z = Si tratta quindi di un iperboloide iperbolico, o a una falda. Determiniamo le coordinate del centro risolvendo il sistema associato a A h: x = 4 /4II 3 y = III 3II 5 z = C,, ) Per determinare la matrice di rotazione dobbiamo trovare gli autospazi: x = t E5) = NA 5I) : 9 /3II 3 4 y = 4s 6 /4III 4 3 z = 3s E5) =,,),, 4 ) 5, x = E ) = NA+I) : 6 /4II 4 3 y = 3t 9 /3III + /4II z = 4t E ) =, 3 5, 4 ) 5 La matrice di rotazione ortonormale speciale è R =

16 6 4. QUADRICHE Le rototraslazioni per passare dalla forma iniziale a quella canonica e viceversa sono x X x C X + y = R Y + y C = 5 4Y +3Z) z Z z C 5 3Y +4Z) X x x C x Y = R T y y C = 5 4y 3z) Z z z C 3y 4z) b) Consideriamo la quadrica x +3y +3z +yz +y z 4 = e le matrici associate A = 3 3 A = Calcoliamo il determinante di A che ci servirà per trovare la forma canonica): deta ) = [3 3) 3)+ 4)] = 8 quindi I 4 e si tratta di una quadrica non degenere. Inoltre deta) = 8 = 6 Calcoliamo gli autovalori di A Quindi gli autovalori sono 5 ellissoide o iperboloide p A λ) = λ)λ 6λ+8) λ = λ =, λ 3 = 4 concordi ellissoide reale) Possiamo ora ricavare la forma canonica. Sappiamo infatti che la forma canonica della quadrica è del tipo ax +by +cz ± =, cerchiamo quindi una equazione del tipo a cui è associata la matrice λ x +λ y +λ 3 z +t = x +y +4z +t = B = 4 t Sappiamo inoltre che deta ) è un invariante, quindi detb) = deta ): Infine la forma canonica è: 6t = 8 t = 5 X +Y +4Z 5 = 5 X + 5 Y Z = Si tratta in effetti di ellissoide reale. Determiniamo le coordinate del centro risolvendo il sistema Ax = h: x = 3 3 y = C, ) 3 3III II 8 4 z =, Per determinare la matrice di rotazione dobbiamo trovare gli autospazi: x = t E) = NA I) : y = s E) =,,),,, ) z = s x = E4) = NA 4I) : y = t E4) =,, ) z = t

17 . SOLUZIONI 7 La matrice di rotazione ortonormale speciale è R = Le rototraslazioni per passare dalla forma iniziale a quella canonica e viceversa sono x X x C X y = R Y + y C = Y +Z) z Z z C Y +Z)+ X x x C x Y = R T y y C = y z +) Z z z C y +z) Esercizio 4.4. Determinare la forma canonica della seguente quadrica, ricavando le relazioni che permettono di passare dalle coordinate della forma iniziale alle coordinate della forma canonica e viceversa: x +y +z yz 4y +3z + = Soluzione: Consideriamo l equazione x +y +z yz 4y +3z + = e la matrice A associata: A = 3 3 E immediato verificare che deta ) e rga) =, quindi si tratta di un paraboloide. Per determinare la forma canonica dobbiamo effettuare le due operazioni di ROTAZIONE e TRASLAZIONE. ROTAZIONE. Dobbiamo determinare una base ortonormale di R 3 formata da autovettori di A. λ p A λ) = det λ = λ)λ λ) λ Quindi gli autovalori sono λ = λ =, λ 3 = Calcoliamo ora l autospazio E) risolvendo il sistema omogeneo associato a A I: x = t y = s z = s E) =,,),,, ) Analogamente calcoliamo l autospazio E) risolvendo il sistema omogeneo associato a A: x = y = t z = t E) =,,) Notiamo che i vettori presi come generatori degli autospazi sono già tra loro ortogonali, quindi per ottenere una base ortonormale è sufficienti renderli di norma : E) =,,),,, ) E) =,, )

18 8 4. QUADRICHE La matrice R di cambiamento di base, di determinante, ovvero la matrice di rotazione, è la matrice che ha tali vettori come colonne: R = R T = Introducendo delle nuove coordinate X,Y e Z si ha che X x x X Y = R T y e y = R Y Z z z Z Da quest ultimo cambio di coordinate otteniamo: x = X X = x y = Y +Z) e Y = y z) z = Y +Z) Z = y +z) Sostituendo tali valori nell equazione della quadrica e semplificando otteniamo l equazione: X +Y 7 Y Z + = TRASLAZIONE. Dobbiamo ora effettuare la traslazione. Completiamo i quadrati: X + Y 7 ) Y Z + = X + Y 7 ) ) 7 Y 4 Z = X + Y 7 ) 4 Z 33 6 = X + Y 7 ) ) 4 Z 33 = 6 Infine il cambiamento di coordinate è x = X x = x y = Y 7 4 y = y z 7 ) 6 z = Z 33 z = y +z 33 ) 6 8 L equazione della quadrica parabolide ellittico) diventa quindi: x +y z = x + y z = Notiamo che il cambio inverso di coordinate è x = x y = y +z ) z = y +z )+ 9 6 Esercizio 4.5. Sia Q la quadrica di equazione Q : 3x +3y z xy 4z =. a) Stabilire se Q é degenere o meno, e di quale tipo di quadrica si tratti. Se é una quadrica a centro determinare le coordinate del centro. a) Trovare gli assi o l asse) di simmetria di Q e determinare coordinate omogenee dei punti all infinito degli assi di simmetria. Soluzione:

19 . SOLUZIONI 9 a) Consideriamo le matrici associate alla quadrica: 3 A = 3 3 A = 3 Riducendo A a gradini otteniamo: 3 3II +I 8 IV III 4 Quindi rga ) = 4 e rga) = 3, e si tratta di una quadrica non degenere a centro. Per stabilire se si tratta di un ellissoide o di un iperboloide dobbiamo determinare gli autovalori di A. Quindi gli autovalori sono p A λ) = λ)λ 4)λ ) λ =, λ = 4, λ 3 = discordi iperboloide Notiamo inoltre che deta ) = 8 <, quindi si tratta di iperboloide a falde o ellittico. Determiniamo le coordinate del centro risolvendo il sistema associato a A h e considerando la matrice giá ridotta 3 x = 8 y = C =,, ) z = b) Gli assi della quadrica sono le rette per il centro con direzione data dagli autovettori della matrice A. Calcoliamo l autospazio E ) risolvendo il sistema omogeneo associato a A + I: 4 x = 4 y = E ) =,,) z = t Calcoliamo l autospazio E) risolvendo il sistema omogeneo associato a A I: x = t y = t E) =,,) 3 z = Calcoliamo l autospazio E4) risolvendo il sistema omogeneo associato a A 4I: x = t y = t E4) =,,) 5 z = Gli assi sono quindi: x = x = t x = t a = y = a = y = t a 3 = y = t z = +t z = z = Inoltre i punti all infinito degli assi sono: P =,,,), P =,,,), P 3 =,,,) Esercizio 4.6. Sia Q la quadrica di equazione Q : xz y 4z = a) Riconoscere la quadrica b) Se la quadrica è a centro, determinare coordinate del centro di simmetria ed equazioni degli assi di simmetria.

20 4. QUADRICHE c) L intersezione di Q con il piano π di equazione y = è una conica del piano π. Stabilire il tipo di conica. Soluzione: La matrice A associata alla quadrica è A = 4 a) Poiché deta ) = la quadrica è degenere. Inoltre deta) = 4, quindi rga) = 3 e si tratta di un cono. b) Risolviamo il sistema A h per determinare il centro della quadrica z = y = C,,) 4 x 4z = Per determinare gli assi dobbiamo prima trovare gli autospazi di A: λ p A λ) = det λ 4 λ = λ) 4λ+λ ) 4 = λ λ) 4 λ) 4 λ) Quindi gli autovalori di A sono λ =, λ = 4+ 7, λ = 4 7 Inoltre I E ) = NA+I) : 3 II I E ) =,,) ) ) 7 E = N A 4+ 7 : I II III x = t y = z = 7 4)t E x = y = t z = )III I 4+ ) 7 =,, 7 4)

21 . SOLUZIONI E I II III 4 ) ) 7 = N A 4 7 : x = t y = z = 7 4)t E )III I 4 ) 7 =,, 7 4) Infine gli assi sono le rette per il centro di direzione parallela agli autovettori: x = x = t x = t a : y = t a : y = z = z = a 3 : y = 7 4)t z = 7 4)t c) Intersechiamo Q con il piano π di equazione y =, ottenendo la conica 4z +xz =. La matrice B associata a tale conica è: 4 Poiché detb ) è una conica non degenere. Inoltre [ ] λ p B λ) = det = λ +4λ 4 λ 4 Quindi B ha autovalori λ = 4+ 7, λ = 4 7 discordi e si tratta di un iperbole. Esercizio 4.7. Sia Q la quadrica di equazione Q : x y +yz = a) Riconoscere la quadrica b) Se la quadrica è a centro, determinare coordinate del centro di simmetria ed equazioni degli assi di simmetria. c) L intersezione di Q con il piano π di equazione x = è una conica del piano π. Stabilire il tipo di conica. Soluzione: La matrice A associata alla quadrica è A = a) Poiché deta ) = la quadrica è degenere. Inoltre deta) = 4, quindi rga) = 3 e si tratta di un cono. b) Risolviamo il sistema A h per determinare il centro della quadrica x = y + z = C,,) y =

22 4. QUADRICHE Per determinare gli assi dobbiamo prima trovare gli autospazi di A: λ [ p A λ) = det λ = λ) λ λ) ] = λ) λ +λ ) 4 4 λ Quindi gli autovalori di A sono λ =, λ = + 5, λ = 5 Inoltre x = t E) = NA I) : 3 y = E) =,,) z = ) ) 5 E = N A + 5 I : 5 5 I 4 5 II III )III +II x = + ) 5 y = t z = + E =,, + 5) 5)t E I II III ) ) 5 = N A 5 I x = y = t z = 5)t E 4+ 5 : )III +II ) 5 ==,, 5) Infine gli assi sono le rette per il centro di direzione parallela agli autovettori: x = t x = x = a : y = a : y = t z = z = + a 3 : y = t 5)t z = 5)t c) Intersechiamo Q con il piano π di equazione x =, ottenendo la conica y +yz =. Anche senza determinare la matrice associata a tale conica è immediato verificare che è una conica degenere che si spezza nelle due rette y = e y +z =, ovvero nelle rette di R 3 { x = x = { x = x = r : y = r : y = t y = y +z = z = t z = t Notiamo che le due rette si intersecano nel centro C della quadrica. Esercizio 4.8. Sia Q la quadrica di equazione Q : x +z +xz + x+ z +y +4 = a) Riconoscere la quadrica.

23 . SOLUZIONI 3 b) Studiare la conica che si ottiene intersecando la quadrica Q con il piano z = tipo, forma canonica,...). Soluzione: La matrice A associata alla quadrica è A = 4 a) Notiamo che A ha due righe uguali, quindi deta ) = e si tratta di una quadrica degenere. Calcoliamo il rango di A : III I IV I quindi rga ) = 3 e si tratta di una quadrica degenere irriducibile. Inoltre deta) =, quindi si tratta di un cilindro. Per stabilire il tipo di cilindro dobbiamo calcolare gli autovalori di A: λ p A λ) = det λ = λ λ) λ Quindi A ha autovalori λ = λ = e λ 3 = e I = λ λ +λ λ 3 +λ λ 3 = Si tratta infine di un cilindro parabolico. b) Intersecando la quadrica con il piano z = otteniamo la conica C : x + x+y +4 = Notiamo che l equazione può essere riscritta nella forma nota dalle superiori) y = x x Si tratta quindi di una parabola con asse verticale di vertice V, ) e asse x =. In alternativa per calcolare asse e vertice possiamo studiare complicando un po le cose) le matrici associate alla conica. A = 4 Poiché deta ) = si tratta di una conica non degenere. Inoltre deta) = quindi si tratta di una parabola. Per calcolare asse e vertice dobbiamo calcolare gli autovalori di A: [ ] λ p A λ) = det = λ λ) λ Quindi gli autovalori sono λ =,. L asse ha direzione parallela all autovalore relativo a λ =. Calcoliamo quindi E): [ ] { x = E) =,) y = t La direzione ortogonale all asse è quindi, ) e una retta ortogonale all asse è { x = t y = y = Calcoliamo i punti D e E di intersezione di tale retta con la parabola e quindi il loro punto medio M: x + x+4 = x, = ±

24 4 4. QUADRICHE Quindi x M = e y M =. L asse è quindi la retta di direzione,) passante per M: { x = x = y = t Infine il vertice è dato dall intersezione tra asse e parabola: V, ). Sappiamo che la forma canonica di una parabola è del tipo x py =, cerchiamo quindi una equazione del tipo λ x +ty =. Sapendo che λ = la matrice associata a tale equazione è B = t t Poichè I 3 = deta ) = detb) otteniamo t = ±. Infine la forma canonica è x y =. Esercizio 4.9. Sia Q la quadrica di equazione Q : +k)x +y +z +kyz kz = +k a) Per quali valori del parametro reale k la quadrica Q è un paraboloide? b) Per i valori di k determinati al punto a), stabilire il tipo di paraboloide ellittico o iperbolico). c) Per i valori di k determinati al punto a), stabilire il tipo di coniche che si ottengono intersecando Q con il piano z =. Soluzione: La matrice A associata alla quadrica è +k A = k k k k k a,b) Q è un paraboliode se è non degenere e deta) =. Cominciamo a calcolare il determinante di A: deta) = +k) k ) = k =,, Consideriamo i tre casi Se k = una riga di A si annulla, quindi deta ) = e si tratta di una conica degenere. Se k =, la matrice A diventa 3 A = deta ) = In questo caso si tratta di una conica non degenere. Inoltre p A λ) = 3 λ) [ λ) ] = 3 λ)λ λ) quindi gli autovalori non nulli di A sono λ = 3,. Poiché sono concordi si tratta di un paraboloide ellittico. Se k =, la matrice A diventa A = deta ) = 4 In questo caso si tratta di una conica non degenere. Inoltre p A λ) = λ) [ λ) ] = λ)λ λ) quindi gli autovalori non nulli di A sono λ =,. Poiché sono discordi si tratta di un paraboloide iperbolico.

25 . SOLUZIONI 5 c) Intersecando Q con il piano z = otteniamo la conica C : +k)x +y = +k Consideriamo ora i due valori di k trovati ai punti precedenti. Se k = otteniamo la conica C : 3x +y 3 = x + y = In questo caso otteniamo quindi un ellisse. Se k = otteniamo la conica C : x +y = x+y)x+y) = Si tratta quindi di una conica degenere data dalle due rette { { x y = x+y = r :, r : z = z = Esercizio 4.. Sia Q la quadrica di equazione Q : x ++k)y +z +kxz kz = +k a) Per quali valori del parametro reale k la quadrica Q è un paraboloide? b) Per i valori di k determinati al punto a), stabilire il tipo di paraboloide ellittico o iperbolico). c) Per i valori di k determinati al punto a), stabilire il tipo di coniche che si ottengono intersecando Q con il piano z =. Soluzione: La matrice A associata alla quadrica è k A = +k k k k k a,b) Q è un paraboliode se è non degenere e deta) =. Cominciamo a calcolare il determinante di A: deta) = +k) [ k ] = k =,, Consideriamo i tre casi Se k = una riga di A si annulla, quindi deta ) = e si tratta di una conica degenere. Se k =, la matrice A diventa A = 3 deta ) = 3 4 In questo caso si tratta di una conica non degenere. Inoltre p A λ) = 3 λ) [ λ) ] = 3 λ)λ λ) quindi gli autovalori non nulli di A sono λ = 3,. Poiché sono concordi si tratta di un paraboloide ellittico. Se k =, la matrice A diventa A = deta ) = 4 In questo caso si tratta di una conica non degenere. Inoltre p A λ) = λ) [ λ) ] = λ)λ λ) quindi gli autovalori non nulli di A sono λ =,. Poiché sono discordi si tratta di un paraboloide iperbolico.

26 6 4. QUADRICHE c) Intersecando Q con il piano z = otteniamo la conica C : x ++k)y = +k Consideriamo ora i due valori di k trovati ai punti precedenti. Se k = otteniamo la conica C : x y = x y)x+y) = Si tratta quindi di una conica degenere data dalle due rette { { x y = x+y = r :, r : z = z = Se k = otteniamo la conica C : x +3y = In questo caso otteniamo quindi un ellisse. x + 3 y =

Esercizi sulle coniche (prof.ssa C. Carrara)

Esercizi sulle coniche (prof.ssa C. Carrara) Esercizi sulle coniche prof.ssa C. Carrara Alcune parti di un esercizio possono ritrovarsi in un altro esercizio, insieme a parti diverse. È un occasione per affrontarle più volte.. Stabilire il tipo di

Dettagli

1. Calcolare gli invarianti ortogonali e riconoscere le seguenti quadriche.

1. Calcolare gli invarianti ortogonali e riconoscere le seguenti quadriche. Algebra Lineare e Geometria Analitica Politecnico di Milano Ingegneria Quadriche Esercizi 1. Calcolare gli invarianti ortogonali e riconoscere le seguenti quadriche. (a) x + y + z + xy xz yz 6x 4y + z

Dettagli

Endomorfismi e matrici simmetriche

Endomorfismi e matrici simmetriche CAPITOLO Endomorfismi e matrici simmetriche Esercizio.. [Esercizio 5) cap. 9 del testo Geometria e algebra lineare di Manara, Perotti, Scapellato] Calcolare una base ortonormale di R 3 formata da autovettori

Dettagli

Noi ci occuperemo esclusivamente dei casi n = 2 e n = 3. Se n = 2, la quadrica Q p sarà detta conica di equazione p, e indicata con C p.

Noi ci occuperemo esclusivamente dei casi n = 2 e n = 3. Se n = 2, la quadrica Q p sarà detta conica di equazione p, e indicata con C p. Durante il corso abbiamo studiato insiemi (rette e piani) che possono essere descritti come luogo di zeri di equazioni (o sistemi) di primo grado. Adesso vedremo come applicare quanto visto per studiare

Dettagli

Esercizi per Geometria II Geometria euclidea e proiettiva

Esercizi per Geometria II Geometria euclidea e proiettiva Esercizi per Geometria II Geometria euclidea e proiettiva Filippo F. Favale 8 aprile 014 Esercizio 1 Si consideri E dotato di un riferimento cartesiano ortonormale di coordinate (x, y) e origine O. Si

Dettagli

RICETTE INDICE. Capitolo 1 Come trovare forme di Jordan. Pagina 2. Capitolo 2 Come studiare coniche e quadriche. Pagina 6

RICETTE INDICE. Capitolo 1 Come trovare forme di Jordan. Pagina 2. Capitolo 2 Come studiare coniche e quadriche. Pagina 6 RICETTE In questo file fornisco ricette per determinare forme di Jordan, polinomi minimi e per studiare coniche e quadriche, limitandomi al come si fa, senza fornire troppe spiegazioni sui perche. Per

Dettagli

CONICHE. Esercizi Esercizio 1. Nel piano con riferimento cartesiano ortogonale Oxy sia data la conica C di equazione

CONICHE. Esercizi Esercizio 1. Nel piano con riferimento cartesiano ortogonale Oxy sia data la conica C di equazione CONICHE Esercizi Esercizio 1. Nel piano con riferimento cartesiano ortogonale Oy sia data la conica C di equazione 7 2 + 2 3y + 5y 2 + 32 3 = 0. Calcolare le equazioni di una rototraslazione che riduce

Dettagli

LEZIONE 23. ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f

LEZIONE 23. ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f LEZIONE 23 23.1. Riduzione delle coniche a forma canonica. Fissiamo nel piano un sistema di riferimento Oxy e consideriamo un polinomio di grado 2 in x, y a meno di costanti moltiplicative non nulle, diciamo

Dettagli

1 Cambiamenti di coordinate nel piano.

1 Cambiamenti di coordinate nel piano. Cambiamenti di coordinate nel piano.. Coordinate cartesiane Coordinate cartesiane su una retta. Sia r una retta: dare un sistema di coordinate su r significa fissare un punto O di r e un vettore u = U

Dettagli

Lezione 24 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico

Lezione 24 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico CONICHE in A ~ (C) Punti propri (x P,y P ) hanno coordinate omogenee [(x P,y P, )], Punti impropri hanno coordinate omogenee [(l,m, )]. L equazione di una conica in coordinate non omogenee (x,y) C: a,

Dettagli

Studio generale di una quadrica

Studio generale di una quadrica Studio generale di una quadrica Manlio De Domenico 19 Giugno 2003 Definizione 1 Si definisce quadrica Q un equazione algebrica F (x 1, x 2, x 3, x 4 ) = 0 del secondo ordine omogenea. Detta A la matrice

Dettagli

CLASSIFICAZIONE DELLE CONICHE AFFINI

CLASSIFICAZIONE DELLE CONICHE AFFINI CLASSIFICAZIONE DELLE CONICHE AFFINI Pre-requisiti necessari. Elementi di geometria analitica punti e rette nel piano cartesiano, conoscenza delle coniche in forma canonica). Risoluzione di equazioni e

Dettagli

Ingegneria Civile. Compito di Geometria del 06/09/05. E assegnato l endomorfismo f : R 3 R 3 mediante le relazioni

Ingegneria Civile. Compito di Geometria del 06/09/05. E assegnato l endomorfismo f : R 3 R 3 mediante le relazioni Ingegneria Civile. Compito di Geometria del 06/09/05 E assegnato l endomorfismo f : R 3 R 3 mediante le relazioni I f(,, 0) = (h +,h+, ) f(,, ) = (h,h, h) f(0,, ) = (,h, h) con h parametro reale. ) Studiare

Dettagli

Appunti ed esercizi sulle coniche

Appunti ed esercizi sulle coniche 1 LA CIRCONFERENZA 1 Appunti ed esercizi sulle coniche Versione del 1 Marzo 011 1 La circonferenza Nel piano R, fissati un punto O = (a, b) e un numero r > 0, la circonferenza (o cerchio) C di centro O

Dettagli

10 dicembre Soluzione esame di geometria - Ingegneria gestionale - a.a COGNOME... NOME... N. MATRICOLA...

10 dicembre Soluzione esame di geometria - Ingegneria gestionale - a.a COGNOME... NOME... N. MATRICOLA... 10 dicembre 003 - Soluzione esame di geometria - Ingegneria gestionale - a.a. 003-004 COGNOME.......................... NOME.......................... N. MATRICOLA............. La prova dura 3 ore. ISTRUZIONI

Dettagli

LEZIONE 27. C = { P = (x, y) x 2 /a 2 y 2 /b 2 = 1 }. C si dice iperbole di semiassi a e b (in forma canonica). L equazione

LEZIONE 27. C = { P = (x, y) x 2 /a 2 y 2 /b 2 = 1 }. C si dice iperbole di semiassi a e b (in forma canonica). L equazione LEZIONE 27 27.1. Ellisse, iperbole, parabola. Nelle prossime lezioni illustreremo come la teoria delle forme quadratiche e della riduzione ortogonale si applichi allo studio di alcuni oggetti geometrici

Dettagli

Esercizi sui sistemi di equazioni lineari.

Esercizi sui sistemi di equazioni lineari. Esercizi sui sistemi di equazioni lineari Risolvere il sistema di equazioni lineari x y + z 6 x + y z x y z Si tratta di un sistema di tre equazioni lineari nelle tre incognite x, y e z Poichè m n, la

Dettagli

FONDAMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA

FONDAMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA Cognome Nome Matricola FONDAMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA Ciarellotto, Esposito, Garuti Prova del 21 settembre 2013 Dire se è vero o falso (giustificare le risposte. Bisogna necessariamente rispondere

Dettagli

Geometria BATR-BCVR Esercizi 9

Geometria BATR-BCVR Esercizi 9 Geometria BATR-BCVR 2015-16 Esercizi 9 Esercizio 1. Per ognuna delle matrici A i si trovi una matrice ortogonale M i tale che Mi ta im sia diagonale. ( ) 1 1 2 3 2 A 1 = A 2 1 2 = 1 1 0 2 0 1 Esercizio

Dettagli

Prodotto scalare e ortogonalità

Prodotto scalare e ortogonalità Prodotto scalare e ortogonalità 12 Novembre 1 Il prodotto scalare 1.1 Definizione Possiamo estendere la definizione di prodotto scalare, già data per i vettori del piano, ai vettori dello spazio. Siano

Dettagli

(x B x A, y B y A ) = (4, 2) ha modulo

(x B x A, y B y A ) = (4, 2) ha modulo GEOMETRIA PIANA 1. Esercizi Esercizio 1. Dati i punti A(0, 4), e B(4, ) trovarne la distanza e trovare poi i punti C allineati con A e con B che verificano: (1) AC = CB (punto medio del segmento AB); ()

Dettagli

Esercizi di MATEMATICA PER RCHITETTURA prima parte: Algebra Lineare e Geometria

Esercizi di MATEMATICA PER RCHITETTURA prima parte: Algebra Lineare e Geometria Esercizi di MATEMATICA PER RCHITETTURA prima parte: Algebra Lineare e Geometria Avvertenze In quanto segue tutti i vettori hanno il medesimo punto d origine O l origine dello spazio cartesiano. Possiamo

Dettagli

15 luglio Soluzione esame di geometria - Ing. gestionale - a.a COGNOME... NOME... N. MATRICOLA... ISTRUZIONI

15 luglio Soluzione esame di geometria - Ing. gestionale - a.a COGNOME... NOME... N. MATRICOLA... ISTRUZIONI 15 luglio 01 - Soluzione esame di geometria - Ing. gestionale - a.a. 01-01 COGNOME.......................... NOME.......................... N. MATRICOLA............. La prova dura ore. ISTRUZIONI Ti sono

Dettagli

Esercizi di Complementi di Matematica (L-Z) a.a. 2015/2016

Esercizi di Complementi di Matematica (L-Z) a.a. 2015/2016 Esercizi di Complementi di Matematica (L-Z) a.a. 2015/2016 Prodotti scalari e forme bilineari simmetriche (1) Sia F : R 2 R 2 R un applicazione definita da F (x, y) = x 1 y 1 + 3x 1 y 2 5x 2 y 1 + 2x 2

Dettagli

EQUAZIONE DELLA RETTA

EQUAZIONE DELLA RETTA EQUAZIONE DELLA RETTA EQUAZIONE DEGLI ASSI L equazione dell asse x è 0. L equazione dell asse y è 0. EQUAZIONE DELLE RETTE PARALLELE AGLI ASSI L equazione di una retta r parallela all asse x è cioè è uguale

Dettagli

Coniche metriche e affini

Coniche metriche e affini Coniche metriche e affini Carlo Petronio Dicembre 2007 Queste note riguardano le coniche non degeneri, le loro equazioni metriche e la loro classificazione affine. 1 Piano euclideo, isometrie e trasformazioni

Dettagli

Sapienza Università di Roma Corso di laurea in Ingegneria Energetica Geometria A.A ESERCIZI DA CONSEGNARE prof.

Sapienza Università di Roma Corso di laurea in Ingegneria Energetica Geometria A.A ESERCIZI DA CONSEGNARE prof. Sapienza Università di Roma Corso di laurea in Ingegneria Energetica Geometria A.A. 2015-2016 ESERCIZI DA CONSEGNARE prof. Cigliola Consegna per Martedì 6 Ottobre Esercizio 1. Una matrice quadrata A si

Dettagli

3. Vettori, Spazi Vettoriali e Matrici

3. Vettori, Spazi Vettoriali e Matrici 3. Vettori, Spazi Vettoriali e Matrici Vettori e Spazi Vettoriali Operazioni tra vettori Basi Trasformazioni ed Operatori Operazioni tra Matrici Autovalori ed autovettori Forme quadratiche, quadriche e

Dettagli

1.1 Intersezione di un piano e una quadrica. I punti d intersezione di una quadrica con un piano hanno coordinate fornite dalle soluzioni del sistema

1.1 Intersezione di un piano e una quadrica. I punti d intersezione di una quadrica con un piano hanno coordinate fornite dalle soluzioni del sistema 1 Quadriche Studieremo le quadriche nello spazio riferito ad un sistema di riferimento cartesiano ortogonale fissato, oppure nel completamento proiettivo di questo spazio, ottenuto con l introduzione delle

Dettagli

PROBLEMI DI GEOMETRIA

PROBLEMI DI GEOMETRIA PROBLEMI DI GEOMETRIA Lucio Guerra 1994 v. 1 2001 v. 2.7 Dipartimento di Matematica e Informatica - Università di Perugia Indice 1. EQUAZIONI LINEARI 1 2. SPAZI VETTORIALI 2 3. APPLICAZIONI LINEARI 4 4.

Dettagli

Esercitazione n 6. Esercizio 1: Determinare i punti di massimo e minimo relativo delle seguenti funzioni: (b)f(x, y) = 4y 4 16x 2 y + x

Esercitazione n 6. Esercizio 1: Determinare i punti di massimo e minimo relativo delle seguenti funzioni: (b)f(x, y) = 4y 4 16x 2 y + x Esercitazione n 6 1 Massimi e minimi di funzioni di più variabili Esercizio 1: Determinare i punti di massimo e minimo relativo delle seguenti funzioni: (a)f(x, y) = x 3 + y 3 + xy (b)f(x, y) = 4y 4 16x

Dettagli

Università degli Studi di Bergamo Matematica II (5 e 7,5 crediti) 18 febbraio 2010 Tema A

Università degli Studi di Bergamo Matematica II (5 e 7,5 crediti) 18 febbraio 2010 Tema A Università degli Studi di Bergamo Matematica II (5 e 7,5 crediti) 18 febbraio 21 Tema A Tempo a disposizione: 2 ore. Calcolatrici, libri e appunti non sono ammessi. Ogni esercizio va iniziato all inizio

Dettagli

ax 1 + bx 2 + c = 0, r : 2x 1 3x 2 + 1 = 0.

ax 1 + bx 2 + c = 0, r : 2x 1 3x 2 + 1 = 0. . Rette in R ; circonferenze. In questo paragrafo studiamo le rette e le circonferenze in R. Ci sono due modi per descrivere una retta in R : mediante una equazione cartesiana oppure mediante una equazione

Dettagli

Studio generale di una conica

Studio generale di una conica Studio generale di una conica Manlio De Domenico 19 Giugno 2003 Definizione 1 Si definisce conica C un equazione algebrica F (x 1, x 2, x 3 ) = 0 del secondo ordine omogenea. Detta A la matrice simmetrica

Dettagli

Prodotto scalare, ortogonalitá e basi ortonormali

Prodotto scalare, ortogonalitá e basi ortonormali CAPITOLO 0 Prodotto scalare, ortogonalitá e basi ortonormali Esercizio 0.. Dati i seguenti vettori di R si calcoli il prodotto scalare (v i,v j per i,j =,,...,6: v = (6,3 v = (,0 v 3 = (, v 4 = (,0 v 5

Dettagli

Esame di Geometria - 9 CFU (Appello del 14 gennaio A)

Esame di Geometria - 9 CFU (Appello del 14 gennaio A) Esame di Geometria - 9 CFU (Appello del 4 gennaio 24 - A) Cognome: Nome: Nr.matricola: Corso di laurea: Esercizio. Si considerino le rette s : { x x 2 2x 3 = 2 3x x 2 =, { x + x s 2 : 2 x 3 = x 2 =.. Stabilire

Dettagli

1 Ampliamento del piano e coordinate omogenee

1 Ampliamento del piano e coordinate omogenee 1 Ampliamento del piano e coordinate omogenee Vogliamo dare una idea, senza molte pretese, dei concetti che stanno alla base di alcuni calcoli svolti nella classificazione delle coniche. Supponiamo di

Dettagli

Corso di Geometria Ing. Informatica e Automatica Test 1: soluzioni

Corso di Geometria Ing. Informatica e Automatica Test 1: soluzioni Corso di Geometria Ing. Informatica e Automatica Test : soluzioni k Esercizio Data la matrice A = k dipendente dal parametro k, si consideri il k sistema lineare omogeneo AX =, con X = x x. Determinare

Dettagli

Parte 12a. Trasformazioni del piano. Forme quadratiche

Parte 12a. Trasformazioni del piano. Forme quadratiche Parte 12a Trasformazioni del piano Forme quadratiche A Savo Appunti del Corso di Geometria 2013-14 Indice delle sezioni 1 Trasformazioni del piano, 1 2 Cambiamento di coordinate, 8 3 Forme quadratiche,

Dettagli

DERIVATE SUCCESSIVE E MATRICE HESSIANA

DERIVATE SUCCESSIVE E MATRICE HESSIANA FUNZIONI DI DUE VARIABILI 1 DERIVATE SUCCESSIVE E MATRICE HESSIANA Derivate parziali seconde e matrice hessiana. Sviluppo di Taylor del secondo ordine. Punti stazionari. Punti di massimo o minimo (locale

Dettagli

La riduzione a gradini e i sistemi lineari (senza il concetto di rango)

La riduzione a gradini e i sistemi lineari (senza il concetto di rango) CAPITOLO 4 La riduzione a gradini e i sistemi lineari (senza il concetto di rango) Esercizio 4.1. Risolvere il seguente sistema non omogeneo: 2x+4y +4z = 4 x z = 1 x+3y +4z = 3 Esercizio 4.2. Risolvere

Dettagli

Esercizi sulle affinità - aprile 2009

Esercizi sulle affinità - aprile 2009 Esercizi sulle affinità - aprile 009 Ingegneria meccanica 008/009 Esercizio Sono assegnate nel piano le sei rette r : =, s : =, t : =, r : =, s : =, t : = determinare l affinità che trasforma ordinatamente

Dettagli

SISTEMI LINEARI. x y + 2t = 0 2x + y + z t = 0 x z t = 0 ; S 3 : ; S 5x 2y z = 1 4x 7y = 3

SISTEMI LINEARI. x y + 2t = 0 2x + y + z t = 0 x z t = 0 ; S 3 : ; S 5x 2y z = 1 4x 7y = 3 SISTEMI LINEARI. Esercizi Esercizio. Verificare se (,, ) è soluzione del sistema x y + z = x + y z = 3. Trovare poi tutte le soluzioni del sistema. Esercizio. Scrivere un sistema lineare di 3 equazioni

Dettagli

RETTE E PIANI. ove h R. Determinare i valori di h per cui (1) r h e α sono incidenti ed, in tal caso, determinare l angolo ϑ h da essi formato;

RETTE E PIANI. ove h R. Determinare i valori di h per cui (1) r h e α sono incidenti ed, in tal caso, determinare l angolo ϑ h da essi formato; RETTE E PIANI Esercizi Esercizio 1. Nello spazio con riferimento cartesiano ortogonale Oxyz si considerino la retta r h ed il piano α rispettivamente di equazioni x = 1 + t r h : y = 1 t α : x + y + z

Dettagli

MATRICI E SISTEMI LINEARI

MATRICI E SISTEMI LINEARI - - MATRICI E SISTEMI LINEARI ) Calcolare i seguenti determinanti: a - c - d - e - f - g - 8 7 8 h - ) Calcolare per quali valori di si annullano i seguenti determinanti: a - c - ) Calcolare il rango delle

Dettagli

CAPITOLO 2. Rette e piani. y = 3x+1 y x+z = 0

CAPITOLO 2. Rette e piani. y = 3x+1 y x+z = 0 CAPITOLO Rette e piani Esercizio.1. Determinare l equazione parametrica e Cartesiana della retta del piano (a) Passante per i punti A(1,) e B( 1,). (b) Passante per il punto C(,) e parallela al vettore

Dettagli

Analisi Matematica 1 e Matematica 1 Geometria Analitica: Coniche

Analisi Matematica 1 e Matematica 1 Geometria Analitica: Coniche Analisi Matematica 1 e Matematica 1 Geometria Analitica: Coniche Annalisa Amadori e Benedetta Pellacci amadori@uniparthenope.it pellacci@uniparthenope.it Università di Napoli Parthenope Contenuti Coniche

Dettagli

ESERCIZI SVOLTI SU: GEOMETRIA TRIDIMENSIONALE. 2. Fissato un sistema di riferimento cartesiano dello spazio euclideo O, i, j, k,

ESERCIZI SVOLTI SU: GEOMETRIA TRIDIMENSIONALE. 2. Fissato un sistema di riferimento cartesiano dello spazio euclideo O, i, j, k, ESERCIZI SVOLTI SU: GEOMETRIA TRIDIMENSIONALE 1. Fissato un sistema di riferimento cartesiano dello spazio euclideo O, i, j, k, determinare un equazione omogenea del piano parallelo al vettore v = i+j,

Dettagli

Esercizi svolti. Geometria analitica: rette e piani

Esercizi svolti. Geometria analitica: rette e piani Esercizi svolti. Sistemi di riferimento e vettori. Dati i vettori v = i + j k, u =i + j + k determinare:. il vettore v + u ;. gli angoli formati da v e u;. i vettore paralleli alle bisettrici di tali angoli;

Dettagli

Esercitazioni di Geometria A: curve algebriche

Esercitazioni di Geometria A: curve algebriche Esercitazioni di Geometria A: curve algebriche 24-25 maggio 2016 Esercizio 1 Sia P 2 il piano proiettivo complesso munito delle coordinate proiettive (x 0 : x 1 : x 2 ). Sia r la retta proiettiva di equazione

Dettagli

Quadriche Maurizio Cornalba 7/6/2016

Quadriche Maurizio Cornalba 7/6/2016 Quadriche Maurizio Cornalba 7/6/2016 Sia K un campo. Informalmente, una ipersuperficie (algebrica) nello spazio proiettivo P n K è il luogo dei punti [t 0 : t 1 : : t n ] tali che (t 0, t 1,..., t n )

Dettagli

Piano cartesiano e Retta

Piano cartesiano e Retta Piano cartesiano e Retta 1 Piano cartesiano e Retta 1. Richiami sul piano cartesiano 2. Richiami sulla distanza tra due punti 3. Richiami punto medio di un segmento 4. La Retta (funzione lineare) 5. L

Dettagli

Metodi per la risoluzione di sistemi lineari

Metodi per la risoluzione di sistemi lineari Metodi per la risoluzione di sistemi lineari Sistemi di equazioni lineari. Rango di matrici Come è noto (vedi [] sez.0.8), ad ogni matrice quadrata A è associato un numero reale det(a) detto determinante

Dettagli

REGISTRO DELLE LEZIONI

REGISTRO DELLE LEZIONI UNIVERSITA DEGLI STUDI DI GENOVA Facoltà di INGEGNERIA REGISTRO DELLE LEZIONI Del Corso Geometria 2 (Parte del corso Analisi matematica e Geometria) - Codice 56586 - Laurea Magistrale in Ingegneria Navale

Dettagli

Ferruccio Orecchia. esercizi di GEOMETRIA 1

Ferruccio Orecchia. esercizi di GEOMETRIA 1 A01 102 Ferruccio Orecchia esercizi di GEOMETRIA 1 Copyright MCMXCIV ARACNE editrice S.r.l. www.aracneeditrice.it info@aracneeditrice.it via Raffaele Garofalo, 133 A/B 00173 Roma (06) 93781065 ISBN 978

Dettagli

Applicazioni lineari e diagonalizzazione. Esercizi svolti

Applicazioni lineari e diagonalizzazione. Esercizi svolti . Applicazioni lineari Esercizi svolti. Si consideri l applicazione f : K -> K definita da f(x,y) = x + y e si stabilisca se è lineare. Non è lineare. Possibile verifica: f(,) = 4; f(,4) = 6; quindi f(,4)

Dettagli

In un triangolo un lato è maggiore della differenza degli altri due, pertanto dal triangolo si ha > dividendo per =1.

In un triangolo un lato è maggiore della differenza degli altri due, pertanto dal triangolo si ha > dividendo per =1. L iperbole L iperbole è il luogo geometrico dei punti del piano per i quali è costante la differenza delle distanze da due punti fissi detti fuochi. Come si evince del grafico, la differenza delle distanze

Dettagli

Anno 3 Equazione dell'ellisse

Anno 3 Equazione dell'ellisse Anno Equazione dell'ellisse 1 Introduzione In questa lezione affronteremo una serie di problemi che ci chiederanno di determinare l equazione di un ellisse sotto certe condizioni. Al termine della lezione

Dettagli

Parte 11. Geometria dello spazio II

Parte 11. Geometria dello spazio II Parte 11. Geometria dello spazio II A. Savo Appunti del Corso di Geometria 2010-11 Indice delle sezioni 1 Il prodotto scalare, 1 2 Distanze, angoli, aree, 4 3 Il prodotto vettoriale, 6 4 Condizioni di

Dettagli

Tempo a disposizione: 150 minuti. 1 È dato l endomorfismo f : R 3 R 3 definito dalle relazioni

Tempo a disposizione: 150 minuti. 1 È dato l endomorfismo f : R 3 R 3 definito dalle relazioni Università degli Studi di Catania Anno Accademico 2014-2015 Corso di Laurea in Informatica Prova in itinere di Matematica Discreta (12 CFU) 17 Aprile 2015 Prova completa Tempo a disposizione: 150 minuti

Dettagli

Analisi Matematica 1 e Matematica 1 Geometria Analitica: Rette

Analisi Matematica 1 e Matematica 1 Geometria Analitica: Rette Analisi Matematica 1 e Matematica 1 Geometria Analitica: Rette Annalisa Amadori e Benedetta Pellacci amadori@uniparthenope.it pellacci@uniparthenope.it Università di Napoli Parthenope Contenuti Nel Piano

Dettagli

PIANI E RETTE NELLO SPAZIO / ESERCIZI SVOLTI

PIANI E RETTE NELLO SPAZIO / ESERCIZI SVOLTI M.GUIDA, S.ROLANDO, 01 1 PIANI E RETTE NELLO SPAZIO / ESERCIZI SVOLTI L asterisco contrassegna gli esercizi meno basilari (perché più difficili o di approfondimento). Sarà sempre sottinteso che nello spazio

Dettagli

GEOMETRIA LINEARE E CONICHE - GIUGNO 2002. 1. Nello spazio ordinario, assegnato un riferimento ortonormale si considerino le rette: x = z 2 y = z

GEOMETRIA LINEARE E CONICHE - GIUGNO 2002. 1. Nello spazio ordinario, assegnato un riferimento ortonormale si considerino le rette: x = z 2 y = z GEOMETRIA LINEARE E CONICHE - GIUGNO 2002 1. Nello spazio ordinario, assegnato un riferimento ortonormale si considerino le rette: r : x = z y = 0 x = z 2, s : y = z. Dopo aver provato che r ed s sono

Dettagli

(P x) (P y) = x P t (P y) = x (P t P )y = x y.

(P x) (P y) = x P t (P y) = x (P t P )y = x y. Matrici ortogonali Se P è una matrice reale n n, allora (P x) y x (P t y) per ogni x,y R n (colonne) Dim (P x) y (P x) t y (x t P t )y x t (P t y) x (P t y), CVD Ulteriori caratterizzazioni delle matrici

Dettagli

Autovalori e autovettori, matrici simmetriche e forme quadratiche (cenni) (prof. M. Salvetti)

Autovalori e autovettori, matrici simmetriche e forme quadratiche (cenni) (prof. M. Salvetti) Autovalori e autovettori, matrici simmetriche e forme quadratiche (cenni) (prof. M. Salvetti) April 14, 2011 (alcune note non complete sugli argomenti trattati: eventuali completamenti saranno aggiunti)

Dettagli

Geometria analitica piana

Geometria analitica piana Capitolo 4 Geometria analitica piana 4.1 Il riferimento cartesiano Un sistema di riferimento cartesiano del piano è costituito da una coppia di rette orientate, dette asse x o asse delle ascisse e asse

Dettagli

SISTEMI LINEARI MATRICI E SISTEMI 1

SISTEMI LINEARI MATRICI E SISTEMI 1 MATRICI E SISTEMI SISTEMI LINEARI Sistemi lineari e forma matriciale (definizioni e risoluzione). Teorema di Rouché-Capelli. Sistemi lineari parametrici. Esercizio Risolvere il sistema omogeneo la cui

Dettagli

R. Capone Analisi Matematica Calcolo Differenziale Funzioni di due variabili

R. Capone Analisi Matematica Calcolo Differenziale Funzioni di due variabili Richiami teorici Sia una funzione di due variabili definita in un insieme A e sia un punto interno ad A. Se R è un dominio regolare di centro e di dimensioni e la funzione della sola variabile x, risulta

Dettagli

Esercizi di GEOMETRIA e ALGEBRA LINEARE (Ingegneria Ambientale e Civile - Curriculum Ambientale)

Esercizi di GEOMETRIA e ALGEBRA LINEARE (Ingegneria Ambientale e Civile - Curriculum Ambientale) Esercizi di GEOMETRIA e ALGEBRA LINEARE (Ingegneria Ambientale e Civile - Curriculum Ambientale). Tra le seguenti matrici, eseguire tutti i prodotti possibili: 2 ( ) A = 0 3 4 B = C = 2 2 0 0 2 D = ( 0

Dettagli

POTENZE DI MATRICI QUADRATE

POTENZE DI MATRICI QUADRATE POTENZE DI MATRICI QUADRATE In alcune applicazioni pratiche, quali lo studio di sistemi dinamici discreti, può essere necessario calcolare le potenze A k, per k N\{0}, di una matrice quadrata A M n n (R)

Dettagli

CdL in Ingegneria Informatica (Orp-Z)

CdL in Ingegneria Informatica (Orp-Z) CdL in ngegneria nformatica (Orp-Z) Prova scritta di Algebra Lineare assegnata il 22 Novembre 2004 - A Usare solo carta fornita dal Dipartimento di Matematica e nformatica, riconsegnandola tutta. Sia f

Dettagli

CONI, CILINDRI, SUPERFICI DI ROTAZIONE

CONI, CILINDRI, SUPERFICI DI ROTAZIONE CONI, CILINDRI, SUPERFICI DI ROTAZIONE. Esercizi x + z = Esercizio. Data la curva x, calcolare l equazione del cilindro avente γ y = 0 come direttrice e con generatrici parallele al vettore v = (, 0, ).

Dettagli

Geometria BIAR Esercizi 2

Geometria BIAR Esercizi 2 Geometria BIAR 0- Esercizi Esercizio. a Si consideri il generico vettore v b R c (a) Si trovi un vettore riga x (x, y, z) tale che x v a (b) Si trovi un vettore riga x (x, y, z) tale che x v kb (c) Si

Dettagli

determinare le coordinate di P ricordando la relazione che permette di calcolare le coordinate del punto medio di un segmento si

determinare le coordinate di P ricordando la relazione che permette di calcolare le coordinate del punto medio di un segmento si PROBLEMA Determinare il punto simmetrico di P( ;) rispetto alla retta x y =0 Soluzione Il simmetrico di P rispetto ad una retta r è il punto P che appartiene alla retta passante per P, perpendicolare ad

Dettagli

Condizione di allineamento di tre punti

Condizione di allineamento di tre punti LA RETTA L equazione lineare in x e y L equazione: 0 con,,, e non contemporaneamente nulli, si dice equazione lineare nelle due variabili e. Ogni coppia ; tale che: 0 si dice soluzione dell equazione.

Dettagli

Mutue posizioni della parabola con gli assi cartesiani

Mutue posizioni della parabola con gli assi cartesiani Mutue posizioni della parabola con gli assi cartesiani L equazione di una parabola generica è data da: Consideriamo l equazione che definisce i punti di intersezione della parabola con l asse delle ascisse

Dettagli

2. APPUNTI SUI FASCI DI CIRCONFERENZE (raccolti dal prof. G. Traversi)

2. APPUNTI SUI FASCI DI CIRCONFERENZE (raccolti dal prof. G. Traversi) 2. APPUNTI SUI FASCI DI CIRCONFERENZE (raccolti dal prof. G. Traversi) La circonferenza è la curva di 2^ grado che viene individuata univocamente da tre punti non allineati e possiede la seguente proprietà:

Dettagli

I. Foglio di esercizi su vettori linearmente dipendenti e linearmente indipendenti. , v 2 = α v 1 + β v 2 + γ v 3. α v 1 + β v 2 + γ v 3 = 0. + γ.

I. Foglio di esercizi su vettori linearmente dipendenti e linearmente indipendenti. , v 2 = α v 1 + β v 2 + γ v 3. α v 1 + β v 2 + γ v 3 = 0. + γ. ESERCIZI SVOLTI DI ALGEBRA LINEARE (Sono svolti alcune degli esercizi proposti nei fogli di esercizi su vettori linearmente dipendenti e vettori linearmente indipendenti e su sistemi lineari ) I. Foglio

Dettagli

Esercizi Riepilogativi Svolti. = 1 = Or(v, w)

Esercizi Riepilogativi Svolti. = 1 = Or(v, w) Universita degli Studi di Roma - "Tor Vergata" - Facolta Ingegneria Esercizi GEOMETRIA (Edile-Architettura e dell Edilizia FORMULE DI GEOMETRIA IN R TRASFORMAZIONI DI R CIRCONFERENZE Docente: Prof F Flamini

Dettagli

Note di geometria analitica nel piano

Note di geometria analitica nel piano Note di geometria analitica nel piano e-mail: maurosaita@tiscalinet.it Versione provvisoria. Novembre 2015. 1 Indice 1 Punti e vettori spiccati dall origine 3 1.1 Coordinate......................................

Dettagli

Sistemi differenziali 2 2: esercizi svolti. 1 Sistemi lineari Stabilità nei sistemi lineari

Sistemi differenziali 2 2: esercizi svolti. 1 Sistemi lineari Stabilità nei sistemi lineari Sistemi differenziali : esercizi svolti 1 Sistemi lineari Stabilità nei sistemi lineari 14 1 Sistemi differenziali : esercizi svolti 1 Sistemi lineari Gli esercizi contrassegnati con il simbolo * presentano

Dettagli

Esercizi di Geometria Affine

Esercizi di Geometria Affine Esercizi di Geometria Affine Sansonetto Nicola dicembre 01 Geometria Affine nel Piano Esercizio 1. Nel piano affine standard A (R) dotato del riferimento canonico, si consideri la retta τ di equazione

Dettagli

1.1 Coordinate sulla retta e nel piano; rette nel piano

1.1 Coordinate sulla retta e nel piano; rette nel piano 1 Sistemi lineari 11 Coordinate sulla retta e nel piano; rette nel piano Coordinate sulla retta Scelti su una retta un primo punto O (origine) ed un diverso secondo punto U (unita ), l identificazione

Dettagli

Circonferenze del piano

Circonferenze del piano Circonferenze del piano 1 novembre 1 Circonferenze del piano 1.1 Definizione Una circonferenza è il luogo dei punti equidistanti da un punto fisso, detto centro. La distanza di un qualunque punto della

Dettagli

Esercitazione di Geometria I 13 dicembre Esercizio 1. Esercizio 2. Esercizio 3

Esercitazione di Geometria I 13 dicembre Esercizio 1. Esercizio 2. Esercizio 3 Esercitazione di Geometria I 13 dicembre 2008 a. Completa la seguente definizione: i vettori v 1, v 2,..., v n del K-spazio vettoriale V si dicono linearmente dipendenti se... b. Siano w 1, w 2, w 3 vettori

Dettagli

Corso di Matematica II Anno Accademico Esercizi di Algebra Lineare. Calcolo di autovalori ed autovettori

Corso di Matematica II Anno Accademico Esercizi di Algebra Lineare. Calcolo di autovalori ed autovettori Esercizio 1 Corso di Matematica II Anno Accademico 29 21. Esercizi di Algebra Lineare. Calcolo di autovalori ed autovettori May 7, 21 Commenti e correzioni sono benvenuti. Mi scuso se ci fosse qualche

Dettagli

ottenuta scambiando in A, le righe con le colonne, così, ad esempio, posto

ottenuta scambiando in A, le righe con le colonne, così, ad esempio, posto MATRICI Si chiama matrice di m righe ed n colonne una tabella costituita da m n numeri (detti elementi), disposti in m righe orizzontali ed in n colonne verticali, racchiusi tra due parentesi tonde. (1)

Dettagli

SISTEMI LINEARI: APPROFONDIMENTI ED ESEMPI

SISTEMI LINEARI: APPROFONDIMENTI ED ESEMPI SISTEMI LINEARI: APPROFONDIMENTI ED ESEMPI Appunti presi dalle lezioni del prof. Nedo Checcaglini Liceo Scientifico di Castiglion Fiorentino (Classe 4B) January 17, 005 1 SISTEMI LINEARI Se a ik, b i R,

Dettagli

Esercizi svolti sui sistemi lineari

Esercizi svolti sui sistemi lineari Esercizio 1. Risolvere il seguente sistema lineare al variare del parametro reale t: t x + (t 1)y + z = 1 (t 1)y + t z = 1 2 x + z = 5 Soluzione. Il determinante della matrice dei coefficienti è t t 1

Dettagli

REGISTRO DELLE LEZIONI

REGISTRO DELLE LEZIONI UNIVERSITA DEGLI STUDI DI GENOVA FACOLTA DI SCIENZE MATEMATICHE, FISICHE E NATURALI REGISTRO DELLE LEZIONI del Corso UFFICIALE di GEOMETRIA B tenute dal prof. Domenico AREZZO nell anno accademico 2006/2007

Dettagli

Alcuni esercizi: funzioni di due variabili e superfici

Alcuni esercizi: funzioni di due variabili e superfici ANALISI MATEMATICA T- (C.d.L. Ing. per l ambiente e il territorio) - COMPL. DI ANALISI MATEMATICA (A-K) (C.d.L. Ing. Civile) A.A.008-009 - Prof. G.Cupini Alcuni esercizi: funzioni di due variabili e superfici

Dettagli

Geometria analitica di base. Equazioni di primo grado nel piano cartesiano Funzioni quadratiche Funzioni a tratti Funzioni di proporzionalità inversa

Geometria analitica di base. Equazioni di primo grado nel piano cartesiano Funzioni quadratiche Funzioni a tratti Funzioni di proporzionalità inversa Equazioni di primo grado nel piano cartesiano Funzioni quadratiche Funzioni a tratti Funzioni di proporzionalità inversa Equazioni di primo grado nel piano cartesiano Risoluzione grafica di un equazione

Dettagli

DERIVATE E LORO APPLICAZIONE

DERIVATE E LORO APPLICAZIONE DERIVATE E LORO APPLICAZIONE SIMONE ALGHISI 1. Applicazione del calcolo differenziale 1 Abbiamo visto a lezione che esiste un importante legame tra la continuità di una funzione y = f(x) in un punto x

Dettagli

Alcuni esercizi sulla diagonalizzazione di matrici. campo dei reali. Se lo è calcolare una base spettrale e la relativa forma diagonale di A.

Alcuni esercizi sulla diagonalizzazione di matrici. campo dei reali. Se lo è calcolare una base spettrale e la relativa forma diagonale di A. Alcuni esercii sulla diagonaliaione di matrici Eserciio Dire se la matrice A 4 8 è diagonaliabile sul 3 3 campo dei reali Se lo è calcolare una base spettrale e la relativa forma diagonale di A Svolgimento

Dettagli

Compito di Meccanica Razionale M-Z

Compito di Meccanica Razionale M-Z Compito di Meccanica Razionale M-Z 11 giugno 213 1. Tre piastre piane omogenee di massa m aventi la forma di triangoli rettangoli con cateti 4l e 3l sono saldate lungo il cateto più lungo come in figura

Dettagli

Sistemi di equazioni di secondo grado

Sistemi di equazioni di secondo grado 1 Sistemi di equazioni di secondo grado Risoluzione algebrica Riprendiamo alcune nozioni che abbiamo già trattato in seconda, parlando dei sistemi di equazioni di primo grado: Una soluzione di un'equazione

Dettagli

Forme quadratiche e coniche. Nota Bene: Questo materiale non deve essere considerato come sostituto delle lezioni.

Forme quadratiche e coniche. Nota Bene: Questo materiale non deve essere considerato come sostituto delle lezioni. Forme quadratiche e coniche. Nota Bene: Questo materiale non deve essere considerato come sostituto delle lezioni. Argomenti: Prodotto scalare. Matrici simmetriche e forme quadratiche. Diagonalizzazione

Dettagli

Si consideri il sistema a coefficienti reali di m equazioni lineari in n incognite

Si consideri il sistema a coefficienti reali di m equazioni lineari in n incognite 3 Sistemi lineari 3 Generalità Si consideri il sistema a coefficienti reali di m equazioni lineari in n incognite ovvero, in forma matriciale, a x + a 2 x 2 + + a n x n = b a 2 x + a 22 x 2 + + a 2n x

Dettagli

QUADERNI DIDATTICI. Dipartimento di Matematica

QUADERNI DIDATTICI. Dipartimento di Matematica Università ditorino QUADERNI DIDATTICI del Dipartimento di Matematica E Abbena, G M Gianella Esercizi di Geometria ealgebralinearei AA / Quaderno # 8 - Settembre Gli esercizi proposti in questa raccolta

Dettagli

Appunti di Geometria - 5

Appunti di Geometria - 5 Appunti di Geometria - 5 Samuele Mongodi - s.mongodi@sns.it Segnatura di un prodotto scalare Richiami Sia V uno spazio vettoriale reale di dimensione n; sia, : V V R un prodotto scalare. Data una base

Dettagli