Dal modello a quark alla QCD

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1 Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare Prof. A. Andreazza Lezione 14 Dal modello a quark alla QCD

2 Il modello a quark alla QCD Il modello a quark permette di classificare gli adroni (mesoni e barioni): basato su una simmetria SU() di isospin forte...estesa a SU(3) con l introduzione dell s, SU(4) con il c Ma non fornisce una descrizione della dinamica dell interazione Inizialmente solo un ipotesi matematica: Evidenza di costituenti elementari all interno degli adroni è venuta solo negli esperimenti di scattering profondamente inelastico (DIS) nei primi anni 70. Accompagnata dall evidenza: di un grado di libertà interno dei quark: il colore della presenza di particelle mediatrici sensibili alla carica di colore: i gluoni CromoDinamica Quantistica (QCD) A. Andreazza - a.a. 015/16

3 Dal modello a quark alla QCD Modello a partoni Descrizione degli adroni come costituiti da quark reali Cinematica delle interazioni elettrone-nucleone ad alto momento trasferito: definizione di funzioni di struttura interpretazione come scattering su partoni puntiformi: i quark concetti di libertà asintotica e confinamento applicazione agli esperimenti a collisori Quantum Cromo-Dynamics Dinamica delle interazioni tra quark Evidenza del grado di libertà di colore: (anti)simmetria della funzione d onda dei barioni Molteplicità degli stati finali in interazioni elettro-deboli Evidenza dei gluoni, mediatori delle interazioni forti: indiretta dalla struttura degli adroni diretta in collisioni e + e - Concetto di simmetria di gauge 3 A. Andreazza - a.a. 015/16

4 Scattering e-p ad alta energia Seguendo le linee dell esperimento di Hofstadter Per sondare dimensioni sotto il fm, sono necessarie sonde più energetiche. Costruzione di nuovi acceleratori Esperimento SLAC-MIT Studio dei fattori di forma in collisioni e-p ad alta energia Complicazione: la maggior parte delle interazioni sono inelastiche. 4 A. Andreazza - a.a. 015/16

5 Stanford Linear Accelerator Fasci di elettroni, 7-17 GeV 5 A. Andreazza - a.a. 015/16

6 Cinematica Consideriamo un elettrone incidente su un nucleo a riposo. Definiamo il moto lungo l asse z. Trascuriamo la massa dell elettrone. m N massa del nucleone. L elettrone scambia con il nucleo un fotone di tetramomento q: ( ) q = E E" E " sin 0 E E " cos Invarianti relativistiche (solo tre indipendenti): Energia nel centro di massa s = p + k Momento trasferito q = k k" ( ) = m N + m N E k = ( E 0 0 E )! p = ( m N ) ( ) = ( k k" ) = E " Per comodità si definisce Q =-q come quantità positiva. ( ) k = E! E! sin 0 E! cos E (1 cos) = 4E E" sin 1 Frazione di energia trasferita x B ω W y = ( pq ) ( pk) = E E" 0 < y <1 x = Q E ω = ( pq ) W = ( p + q) = m ( pq) Q N + ( pq) + q 6 A. Andreazza - a.a. 015/16

7 Ripasso: il caso di scattering elastico Caso elastico: un vincolo aggiuntivo Sezioni d urto: 7 W = p + q W = m N ( ) = m N + ( pq) + q m N = m N + ( pq) + q x = q ( pq) =1 E E!(1 cos) m N E E! ( ) =1 " Rutherford (non considera spin) (considera solo lo spin dell e) Dirac (particelle puntiformi spin 1/) Rosenbluth (bersaglio non puntiforme) dσ dω = dσ dω E E = 1 1+ ( E / m N )(1 cos) = 1 1+ ( E / m N )sin 1 dσ dω dσ dω dσ dω Rutherford Dirac F (Q ) + Q m F 1(Q )tan 1 N α Eʹ = 4E sin 4 1 E = α cos 1 Eʹ 4E sin 4 1 E = dσ dω m tan 1 N 1+ Q N.B.:la definizone di F 1 ed F è diversa da quella usata per l esperimento di Hofstadter. A. Andreazza - a.a. 015/16

8 Scattering inelastico Caso inelastico: parte dell energia trasferita viene usate per creare nuove particelle: W > m N W = Sezione d urto: ( p + q ) = m N + ( pq ) + q > m N ( pq ) + q > 0 x = q ( pq ) < 1 EE ʹ(1 cos) m N E Eʹ ( ) < 1 ʹ Si perde il vincolo tra E e : E E < 1 1+ ( E / m N )(1 cos) = 1 1+ ( E / m N )sin 1 sezione d urto doppia-differenziale in energia ed angolo x e Q sono variabili indipendenti i fattori di forma possono dipendere da entrambi. d σ dωde ʹ = dσ dω 1 E Eʹ F (x,q ) + F m 1 (x,q )tan 1 N 8 A. Andreazza - a.a. 015/16

9 Interludio: riconduzione allo scattering elastico Verifichiamo che la formula d σ dωde ʹ = dσ dω si riconduce alla formula di Rosenbluth per lo scattering elastico. 1 E Eʹ F (x,q ) + F m 1 (x,q )tan 1 N Per scattering elastico, x=1 ed i fattori di forma bi-dimensionali si riducono a: Q F(x,Q ) = F(Q )δ(x 1) = F(Q )δ m N (E E ʹ) 1 ( ) / ʹ usiamo le proprietà della δ: δ ( f (α) ) = δ α f 1 (0) f (α) per trasformarla in una δ su E e poi integrare sull energia: Q δ m N (E E ʹ) 1 = δ Eʹ E + Q m N d Q deʹ m N (E E ʹ) 1 = δ Eʹ E + Q m N Q m N (E E ʹ) dσ dω = deʹ d σ dωdeʹ = dσ dω deʹ m N (E E ʹ) F Q (Q ) + 4(E ʹ Q E ) F 1 (Q )tan 1 δ Eʹ E + Q m N dσ dω = dσ dω F (Q ) + Q m F 1(Q )tan 1 N 9 A. Andreazza - a.a. 015/16

10 L area sperimentale 10 A. Andreazza - a.a. 015/16

11 Lo spettromento da 8 GeV Rivelatore Bersaglio Spettrometro Fascio 11 A. Andreazza - a.a. 015/16

12 Misura della sezione d urto Bloom et al., Phys. Rev. Lett (1969) E = 7 GeV = 6 0.<Q <0.5 GeV E = 16 GeV = 6 0.7<Q <.6 GeV E = 17.7 GeV = <Q <7.3 GeV 1 Fissati E e, si fa variare la selezione energetica dello spettrometro: E E varia tra la soglia dello spettrometro (E min ~3 GeV) e E max ʹ = E 1+ ( E / m N )sin 1 Coprendo un range 4EE min ʹ sin 1 < Q < 4EE max ʹ sin 1 W < m N + m N (E E min ʹ ) 4EE min ʹ sin 1 Nella regione delle risonanze, la sezione d urto decresce fortemente con Q. Ad alto W non si osserva una variazione così marcata Fenomenologia simile all esperimento di Rutherford: eccesso di eventi ad alto momento trasferito. A. Andreazza - a.a. 015/16

13 Funzioni di struttura F F =6 =10 Si possono ricavare le funzioni di struttura F a partire dalla sezione d urto storicamente graficate in funzione di ω=1/x invece che x A e x fissato, diverse E corrispondono a diversi Q Indipendentemente dal valore di Q, tutti i punti sembrano giacere sulla stessa curva: F(x,Q ) F(x) 13 A. Andreazza - a.a. 015/16

14 Modello a partoni L osservazione di questo particolare scaling: F(x, Q ) F(x) si può spiegare assumendo che le interazioni siano dovute a scattering elastico dell elettrone con i quark contenuti nel nucleone. Consideriamo il caso di energie in gioco molto alte, in modo che si possa trascurare la massa del protone: p 0 Indichiamo f q (ξ) la probabilità di trovare nel nucleone un quark q con una frazione ξ della quantità di moto del nucleone. Per scattering elastico: La sezione d urto per questa interazione è: dσ dω q ( ξ ) = dσ dω dove e q è la carica del quark espressa in forma doppio differenziale: d σ dωdeʹ q ( ξ ) = dσ dω (ξ p) = ( ξ p + q ) ξ p = ξ p + ξ pq e q 1+ Q ξ m tan 1 N e q 1+ Q ξ m tan 1 N δ Eʹ E + ( ) + q ξ = q Q ξm N ( ) = x pq 14 A. Andreazza - a.a. 015/16

15 Modello a partoni La sezione d urto per collisione elastica con un quark con frazione ξ del momento del protone: d σ dωdeʹ Il contributo di questo tipo di quark alla sezione d urto totale si ottiene integrando i possibili valori di ξ, pesati con la rispettiva probabilità : d σ dωdeʹ q esplicitando la δ rispetto a ξ q = dξ f q (ξ) = dξ f q (ξ) = dξ f q (ξ) ( ξ ) = dσ dω dσ dω dσ dω dσ dω e q e q 1+ Q ξ m tan 1 N δ e q 1+ Q ξ m tan 1 N δ Eʹ E + Eʹ E + Q ξm N Q ξm N e q 1+ Q ξ m tan 1 N ξ m N Q δ ξ Q m N (E ξ m N + 1 tan 1 Q m N δ ξ Q m N (E E ʹ) E ʹ) 15 e integrando: d σ dωdeʹ q = dσ dω Q e q f q m N (E E ʹ) Q m N (E E ʹ) + 1 tan 1 m N A. Andreazza - a.a. 015/16

16 Modello a partoni Il contributo di un singolo quark alla sezione d urto è: d σ = dσ Q e dωdeʹ dω q f Q q m N (E E ʹ) m N (E E ʹ) + 1 tan 1 m N ricordando che d σ dωdeʹ q Sommando su tutti i tipi di quark: dal confronto con: q = dσ dω Q m N (E e q f q ( x ) E ʹ) = x E d σ dωde ʹ = Q ( pq ) = x E ʹ + 1 dσ dω F (x,q ) = x e q f q ( x ), F 1 (x,q ) = 1 q tan 1 m N = q d σ dωde ʹ = 1 E e q f q dσ dω dσ dω xe q f q x E E ʹ ( ) x e q f q x q E Eʹ ( ) Eʹ F (x,q ) + F m 1 (x,q )tan 1 N ( x ) F (x) = xf 1 (x) + + e q f q ( x ) m N q e q f q m N ( x ) tan 1 tan 1 Relazione di Callan-Gross, verificata sperimentalmente! 16 A. Andreazza - a.a. 015/16

17 Libertà asintotica Dallo studio di diverse interazioni: e + p, e + n, µ ± + N, ν + N, ν + N, p + p, p + p si trova in maniera consistente che le sezioni d urto: possono venire espresse in termini di sezioni d urto elementari pesate per le densità di probabilità dei quark interessati per un dato adrone sono universali e valide per tutti i processi In questi calcoli si trascura ogni interazione tra i quark all interno dell adrone: il fatto che questa approssimazione funzioni bene prende il nome di libertà asintotica. 17 A. Andreazza - a.a. 015/16

18 Confinamento L osservazione della libertà asintotica fornisce una prova convincenta dell effettiva esistenza dei quark come entità reali. Sembra però in contraddizione con un altra osservazione: i quark non si osservano mai liberi, ma solo in stati legati. Fenomeno che prende il nome di confinamento. Come possono coesistere questi fenomeni? 18 A. Andreazza - a.a. 015/16

19 Confinamento: potenziale q-q Lo studio degli stati legati di quark pesanti permette di avere delle informazioni circa il potenziale quark-antiquark. Il problema consiste nel ricavare dalle posizioni dei livelli la struttura del potenziale che li genera Le osservazioni fatte in questo sistema ci dicono che a distanze ~fm il potenziale è della forma: V(r) kr cc bb 19 A. Andreazza - a.a. 015/16

20 Confinamento V(r) kr Il potenziale non è superiormente limitato: non è possibile estrarre un quark da un adrone fornendogli un energia maggiore di quella di legame. Nel caso di un interazione fortemente anelastica, qualitativamente: il quark riceve un tetraimpulso che ne modifica la traiettoria man mano che si allontana l energia potenziale cresce ad un certo punto è conveniente estrarre dal vuoto una coppia quark-antiquark e chiudere le linee di forza creando nuovi mesoni e barioni questo processo avviene: su scale di lunghezza pari alle dimensioni degli adroni ~1 fm ed in tempi dell ordine di 1 fm/c = 10-3,-4 s. 0 A. Andreazza - a.a. 015/16

21 Confinamento: getti Il processo di annichilazione e + e - con produzione di adroni può venire trattato come produzione di una coppia di quark: e + + e q + q Ad alta energia il processo di stiramento delle linee di forza e loro taglio può avvenire multiple volte: si generano getti di adroni sistema tracciante calorimetro elettromagnetico Evento e + e - adroni s = 91 GeV calorimetro adronico 1 A. Andreazza - a.a. 015/16

22 Applicazioni: produzione di W e Z Uno dei maggiori successi del modello a partoni è la predizione del tasso di eventi in collisioni di adroni. Esempio: produzione dei mediatori delle interazioni deboli, W e Z W + è prodotto dal processo di annichilazione: u + d W + Consideriamo collisioni protone-antiprotone s = (p p + p p ) = m p + p p p p p p p p Collisioni avvengono tra quark con momento: p u = x u p p p d = x d p p Perché avvenga la produzione è necessario che : (p u + p d ) = (x u p p + x d p p ) = m W x u x d (p p p p ) = x u x d s La sezione d urto si ottiene integrando su tutte le configurazioni elementari: σ (pp W + ) = 1 m dx u f u (x u ) f W d σ (ud W + ) x u s x min Sezione d urto per quark liberi A. Andreazza - a.a. 015/16

23 Il colore Dopo aver descritto le caratteristiche delle interazioni forti si pone il problema di definirne la natura. deve esserci qualcosa di analogo ad una carica forte che però non ha la stessa natura della carica elettromagnetica: genera un potenziale V(r) kr, r e permettere la creazione di stati neutri qq, qqq il breve range delle forze nucleari è dovuto al fatto che due adroni devono avvicinarsi perché i quark di uno vedano le cariche dell altro fenomeno simile a quello degli atomi: a breve distanza possono interagire elettromagneticamente tramite forze di dipolo o di van der Waals, sebbene siano elettricamente neutri. Evidenza di un grado di libertà interno ai quark può assumere tre stati diversi chiamato colore per analogia al fatto che esistono tre colori fondamentali 3 A. Andreazza - a.a. 015/16

24 Evidenza del colore: i barioni Consideriamo il decupletto dei barioni: stato fondamentale: L=0 spin totale = 3/ I vertici del triangolo (Δ -, Δ ++, Ω - ) contengono risonanze con tre quark identici: la funzione d onda deve essere anti-simmetrica per scambio di quark Ma: funzione orbitale con L=0 è simmetrica funzione di spin, con tutti gli spin allineati a dare 3/ è pure simmetrica Possiamo assumere che i quark possano esistere in tre stati: r=red, g=green, b=blue, e costruire una combinazione antisimmetrica: ( ) Δ ++ = 1 6 u ru g u b + u g u b u r + u b u r u g u g u r u b u r u b u g u b u g u r 4 A. Andreazza - a.a. 015/16

25 SU(3) di colore Il grado di libertà interno si trasforma usando lo stesso gruppo di simmetria SU(3) usato per la simmetria di sapore L unica differenza è che ora gli operatori F i =½λ i agiscono sul grado di libertà di colore invece che sul sapore dei quark. Gli stati neutri di colore sono quelli che non cambiano per trasformazioni di colore: exp iαλ j λ j ψ = 0, ( ) ψ = ψ, j 1,,,8 Nel caso dei mesoni lo stato neutro: λ 1 = λ 4 = λ 7 = λ = λ 5 = i 0 i 0 (qq) = 1 ( 3 q rq r + q g q g + q b q b ) 0 i 0 i i i 0 0 λ 8 = 1 3 λ 3 = λ 6 = j 1,,, (o bianco per continuare ad usare la terminologia dei colori) 5 A. Andreazza - a.a. 015/16

26 _ La sezione d'urto e + + e - f + f Il processo di annichilazione e + e - per produrre una coppia fermioneantifermione nello stato finale è un processo elettromagnetico. L intensità è dipende dalla carica del fermione prodotto. Se s m f valgono le formule: dσ dω = α 4s Q f " # 1+ cos $ % σ = 4πα 3s Q f 10 sdσ/d Ω [nb GeV /sr] σ [nb] cos s [GeV] 6 A. Andreazza - a.a. 015/16

27 La sezione d'urto e + + e - adroni Il processo di annichilazione e + e - per produrre adroni può venire interpretato come produzione di coppie quark-antiquark ρ ω σ ( e + e adroni) = 4πα 3s φ ρ J/ψ ψ(s) Υ m q < s e q Z σ[mb] s [GeV] J/ψ Υ A. Andreazza - a.a. 015/16

28 Rapporto e + + e - adroni / e + + e - µ + + µ - σ[mb] È di più immediata interpretazione il rapporto: Sotto la soglia del charm: Il valore misurato è ~: e q = = 3 m q < s R = σ (e+ e adroni) σ (e + e µ + µ ) compatibile con il fatto che per ogni sapore ci siano 3 colori di quark Z = e q m q < R = σ (e+ e adroni) σ (e + e µ + µ ) = N colori e q s m q < s 10 3 J/ψ ψ(s) Υ Z R ω φ ρ Figure 49.5: ρ u, d, s: R= u, d, s, c: R=10/3 s [GeV] u, d, s, c, b: R=11/ s [GeV] A. Andreazza - a.a. 015/16 World data on the total cross section of e + e hadrons and the ratio R(s) =σ(e + e hadrons, s)/σ(e + e µ + µ,s).

29 I gluoni Se è valido il modello: interazioni scambio di particelle mediatrici Devono esserci mediatori delle interazioni forti: i gluoni neutri elettricamente dotati invece di carica di colore: rg, gr,rb, br, gb, bg, 1 (rr gg), 1 (rr + gg bb) d b d r g rb sb s r Una prima evidenza della presenza di gluoni nel protone è data dalla frazione di momento trasportata dai quark: p quark = dxf p (x) p = dx x f q (x) 1 Valore misurato metà del momento del protone è portato da particelle neutre, che non contribuiscono a F. q 9 A. Andreazza - a.a. 015/16

30 I gluoni Il fatto che il momento mancante venga portato da gluoni è confermato dalle sezioni d urto in collisioni adroniche. La sezione d urto di molti processi è dominata dalle collisioni gluone-gluone. Esempio: a LHC σ (pp tt ) riceve il contributo maggiore da dx g1 dx g f g (x g1 ) f g ( x g ) σ (gg tt ) x g1 x g >4m t /s Se tale termine non esistesse non si potrebbe avere accordo tra predizioni ed osservazioni sperimentali 30 A. Andreazza - a.a. 015/16

31 Osservazione del gluone Anche per il gluone, come per i quark, si pone il problema del confinamento. In collisioni ad alte energie può venire messa in evidenza la sua esistenza tramite il processo: e + + e q + q + g caratterizzato dalla presenza di 3 getti coplanari nel sistema del centro di massa dell annichilazione e + e A. Andreazza - a.a. 015/16