Premessa. Abbiamo più volte enfatizzato come questo processo di sintesi comporta un prezzo da pagare in termini di perdita di informazioni.

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1 Le Msure d Cetraltà

2 Le msure d cetraltà Premessa Il passaggo da u eleco d modaltà alle dstrbuzo d frequeze co modaltà dstte (carattere qualtatvo o dscreto) e co class d modaltà (carattere cotuo o dscreto co molte modaltà), opera ua prma stes de dat che permette d compredere come l carattere esame s mafesta el collettvo statstco oggetto della rlevazoe. Abbamo pù volte efatzzato come questo processo d stes comporta u prezzo da pagare term d perdta d formazo. Tuttava, l processo d stes o può lmtars solo alle dstrbuzo d frequeze ma deve spgers oltre fo a stetzzare u uco dato umerco ua partcolare caratterstca delle popolazoe. L dea è quella d sostture tutte le modaltà del carattere esame co u uca modaltà che le rappreset Questa faltà può essere perseguta attraverso la determazoe d opportu dc stetc del feomeo cosderato.

3 Le msure d cetraltà Quest dc, data la loro fuzoe d stes, possoo essere mpegat per: Cofrotare tra d loro stuazo dverse stesso feomeo rlevato su collettv dvers; stesso feomeo rlevato temp dvers e/o luogh dvers; feome dvers tra d loro. Valutare l dato otteuto cofrotadolo co u valore stadard oto Qual soo le msure stetche che possoo essere calcolate su u seme d dat? La scelta dpede dalle caratterstche che descrvoo stetcamete u collettvo statstco. 3

4 Le msure d cetraltà Tra le possbl caratterstche d ua popolazoe, due soo d gra luga le pù mportat: LA CENTRALITÀ DELLA DISTRIBUZIONE LA VARIABILITÀ Msure d Cetraltà (o d Tedeza Cetrale) Esprmoo stetcamete l cetro deale della dstrbuzoe, ovvero l valore toro al quale tedoo a gravtare dat. Msure d Varabltà ( o d Dspersoe) Cosetoo d valutare l grado d dverstà delle modaltà del carattere, ovvero forscoo formazo sul grado d dspersoe de dat toro al loro cetro deale. 4

5 Le msure d cetraltà Le Mede La scelta d u dce (msura) d cetraltà è legato essezalmete a due fattor: tpologa del carattere esame, motvazo che ducoo a rassumere u uco valore rappresetatvo ua dstrbuzoe Per tal motvo, o è possble defre u uca msura d cetraltà. Ioltre, è bee teere presete che: dpedetemete dall dce adoperato, l valore d stes otteuto o è detto che cocda esattamete co ua delle modaltà osservate o co ua modaltà possble. Accade d frequete che tale valore è solo fttzo. 5

6 Le msure d cetraltà Covezoalmete le msure d cetraltà, dette geercamete mede, s suddvdoo due grad categore: Mede d Poszoe (o Mede Lasche) Gl dc che retrao questa categora s detfcao u valore della dstrbuzoe che rsulta prvlegato o perché pù frequete degl altr oppure perché occupa ua determata poszoe. Queste mede possoo essere determate per caratter quattatv e, parte, ache per caratter qualtatv. Mede Algebrche (o Mede Ferme) Gl dc che retrao questa categora soo l rsultato d ua sere d operazo algebrche effettuate su tutte le modaltà del carattere. Pertato, possoo essere determate solo per caratter quattatv. 6

7 Le msure d cetraltà La Moda Moda La moda d ua dstrbuzoe è la modaltà a cu è assocata la frequeza (assoluta o relatva) pù elevata. I altre parole, la moda rappreseta l valore prevalete ell seme de dat, ovvero quello che s preseta co maggore frequeza. Dalla defzoe appea data, s evce faclmete che la moda è u dce d poszoe che può essere determato per qualsas tpo d carattere. La defzoe o è applcable al caso cu s cosdera ua dstrbuzoe class d modaltà. I tale caso s parla d classe modale. Classe Modale E la classe a cu è assocata la frequeza pù elevata se le class presetao la stessa ampezza, ovvero la classe a cu compete la destà d frequeza pù elevata se la class presetao ampezza dversa. 7

8 Le msure d cetraltà Tuttava, se s vuole vdare u uco valore rappresetatvo del collettvo, azché ua classe d valor, s può sceglere u valore all tero della classe. Covezoalmete s assume come moda della dstrbuzoe, l valore cetrale della classe modale: Osservazo ~ ~ Mo + +. la moda può rteers u buo crtero d stes quado s preseta co ua frequeza ettamete maggore d tutte le altre modaltà (almeo l 50% delle osservazo). I tal caso è ragoevole assumerla come valore tpco del feomeo, coè come quel valore pù doeo a rappresetarlo stetcamete;. se tutte le modaltà del carattere presetao all crca le stesse frequeze, allora o ha seso determare la moda; 3. la moda potrebbe o essere uca. I tal caso s parla d dstrbuzo plurmodal. Attezoe La moda o è la frequeza pù elevata!!!!! 8

9 Le msure d cetraltà La Medaa Medaa E l cetro ordale d u seme d valor, ovvero l valore che bpartsce l collettvo statstco due grupp d uguale umerostà. La determazoe della medaa rchede, come prerequsto, che l carattere esame sa almeo ordale. Pertato potrà essere determata per tutt tp d caratter trae quell scoess. La determazoe della medaa segue procedmet dvers a secoda d come soo orgazzat dat. Determazoe della medaa per eleco d modaltà Cosderamo ua successoe d valor ordat seso o decrescete: La medaa (Me) è defta come l valore cetrale della successoe coè come quel valore che è preceduto e seguto dallo stesso umero d dat. Per redere operatva questa defzoe occorre dstguere due cas: 9

10 Le msure d cetraltà è dspar Esste u uca modaltà che occupa la poszoe cetrale; tale poszoe è espressa dal umero tero (+)/. Pertato s avrà: Modaltà d rago (+)/ Me + I base alle defzoe data, la medaa dvde l collettvo due grupp d uguale umerostà. Al prmo gruppo appartegoo le utà statstche che presetao modaltà del carattere par al pù alla medaa, metre al secodo gruppo appartegoo le utà statstche che presetao modaltà par almeo alla medaa. Esempo 4. La Medaa, dspar Cosderamo seguet valor: 0-5 0, ,55 3 e ordamol seso o decrescete: medaa Valor -5-0,55 0, Rago poszoe cetrale Poché 9, esste u uca poszoe cetrale: la poszoe (9+)/5. Pertato: Me ( 5 ) 0

11 Le msure d cetraltà è par No esste ua sola poszoe cetrale (medaa) besì due: la poszoe P / e la poszoe P (/)+. I questo caso come medaa adrebbe bee, el seso della dvsoe del gruppo due part d uguale umerostà, u qualsas valore compreso fra due cetral (estrem clus). Covezoalmete, s assume come valore medao quello otteuto come semsomma delle due modaltà d rago cetrale: Me + +. Esempo 4. La Medaa, par Cosderamo la stessa successoe dell esempo precedete a cu aggugamo l valore 7. La successoe ordata, composta duque da 0 term, sarà: Modaltà cetral,5 Valor -5-0,55 0, Rago Poszo cetral: P 5, P 6 Me ( 5) + ( 6 ) + 3,5

12 Le msure d cetraltà Osservazo. l valore medao o cocde co essu valore rlevato;. poché le modaltà d rago cetrale soo dverse segue che esattamete l 50% de valor è ferore alla medaa, metre l rmaete 50% è superore alla medaa; 3. el caso cu s preseta la stessa stuazoe per caratter qualtatv, la medaa rsulta determata. Attezoe all errore tpco La medaa o è se è dspar Me!!!! se è par

13 Le msure d cetraltà Può accadere che dvers valor cocdao co l valore medao. I questo caso s ha che: l umero delle osservazo co testà strettamete ferore alla medaa è ferore al 50% d tutte le osservazo; l umero delle osservazo co testà strettamete superore alla medaa è ferore al 50% d tutte le osservazo. Cosderamo, ad esempo, le seguete successoe: Valor -5-0,55 0, Rago gruppo gruppo La medaa è 3. S hao 4 valor co testà pù pccola della medaa e 3 valor co testà maggore. Tuttava, la medaa bpartsce ugualmete le 0 osservazo due grupp d uguale umerostà cu le testà el prmo gruppo soo feror o ugual alla medaa e quelle el secodo gruppo soo superor o ugual alla medaa. 3

14 Le msure d cetraltà Determazoe della medaa per ua dstruzoe d frequeze Il modo d procedere pù semplce cosste el cosderare le frequeze cumulate relatve. La medaa (Me) è defta come quella modaltà -esma che soddsfa la doppa dsuguaglaza: F < 05. e F 05. Esempo 4.3 La Medaa Rpredamo l esempo relatvo al carattere Numero d Fgl el collettvo A. X f Medaa Me F 0 5 0,0 0,0 0,4 0,34 9 0,38 0, ,8 0, ,08 0,98 5 0,0,00 Totale 50 Iterpretazoe?!? 4

15 Le msure d cetraltà Determazoe della medaa per ua dstrbuzoe class d modaltà L espressoe che permette d determare la medaa s rcava dopo aver dvduato la classe medaa e sotto l potes d uforme dstrbuzoe delle utà all tero della classe. La classe medaa è defta come quella classe -esma per cu vale la doppa dsuguaglaza elle frequeze cumulate relatve: F < 05. e F 05. Dopo aver dvduato la classe che la cotee, la medaa è data dalla seguete espressoe: Me E + ( 0,5 F) Es Fs E F dove: Es estremo superore della classe medaa E estremo ferore della classe medaa Fs frequeza cumulata relatva della classe medaa F frequeza cumulata relatva della classe che precede quella medaa 5

16 Le msure d cetraltà Esempo 4.4 Moda e Medaa Prospetto relatvo al carattere Altezza + f N , 0 0, 30 0,0033 0, , ,35 0 0,008 0, , ,5 0 0,0045 0, ,35 0 0, ,008, ,05 3 0, ,005, ,5 76 0,88 0 0,03, , ,0060, Totale 00 F Classe modale Moda 90 Classe medaa Me 40 + (0,5 0,5 ) 65,39. 0,55 0,5 a h H 6

17 Le msure d cetraltà Dmostrazoe della formula per l calcolo della medaa La dmostrazoe s artcola due pass:. Costrure l ogva delle frequeze;. Focalzzare l attezoe solo sulla classe medaa F Fs C 0,5 B F A E D E Me Es I tragol ACD e ABE soo sml per cu lat corrspodet soo proporzoal. Vale duque la seguete dettà: AE BE. AD CD 7

18 Le msure d cetraltà Sosttuedo la lughezza de segmet otteamo: Rappreseta la quattà cogta da determare Me E Es E 0,5 Fs F F da cu segue che: 0,5 F Me E ( Es E ). Fs F Da quest ultma s rcava mmedatamete l espressoe d Me: Me 0,5 E + Fs F ( Es E ). F 8

19 Le msure d cetraltà Osservazo coclusve sulla medaa Il valore della medaa, essedo questa ua meda d poszoe, dpede solo dalle modaltà d rago cetrale. Tutte le altre modaltà del carattere vegoo completamete gorate. Cò può costture u dfetto e, allo stesso tempo, u prego. Prego: la medaa o rsete de valor aomal. Dfetto: vee pregudcata la capactà della medaa d stetzzare l tera dstrbuzoe. La peculartà della medaa è quella d stare mezzo a tutte le modaltà. S può allora rteere che la stes sa tato pù soddsfacete quato pù l umero delle utà co modaltà ferore alla medaa s avvca al umero delle utà co modaltà superore alla medaa. Così, ad esempo, relatvamete alla dstrbuzoe del umero d fgl per famgla (s veda l esempo 4.3), la medaa può essere cosderata ua buoa stes della dstrbuzoe. 9

20 Le msure d cetraltà Cosderamo, vece, la seguete tabella cu è rportato l Numero d occupat d sesso femmle ella provca d Treto ell ao 999 classfcat base al grado d struzoe. Ttolo d studo f F Seza ttolo d studo e lceza elemetare ,36 0,36 Lceza meda ferore ,475 0,6 Lceza meda superore 600 0,33 0,94 Laurea ,058,000 Totale La medaa è la lceza meda ferore. Le doe co u grado d struzoe ferore alla lceza meda ferore soo 8900 (3,6%) metre quelle co u grado d struzoe superore soo 5400 (38,9%). I questo caso la medaa o effettua ua buoa stes, quato sembra sottostmare l grado d struzoe delle doe occupate. 0

21 Le msure d cetraltà I quartl Come abbamo vsto, la medaa è quel valore che dvde l collettvo statstco due part ugual ogua coteete l 50% delle utà. Estededo l dscorso, possamo mmagare d suddvdere l collettvo 00 part, ogua delle qual coteete lo stesso umero d utà. I valor che suddvdoo la dstrbuzoe 00 part d uguale umerostà soo dett percetl (o quatl, o frattl). I percetl che vegoo maggormete mpegat soo l 5- esmo, l 50-esmo e l 75-esmo, dett rspettvamete prmo quartle (Q ), secodo quartle (Q ) e terzo quartle (Q 3 ). Come è facle ture, quartl dvdoo l collettvo statstco quattro part ugual. A cosa equvale l secodo quartle (Q )???

22 Le msure d cetraltà Q Q Q 3 5% 5% 5% 5% Q Q Q 3 5% 75% Q Q Q 3 50% 50% Q Q Q 3 75% 5%

23 Le msure d cetraltà Calcolo de quartl I quartl s determao allo stesso della medaa. Semplfcado la trattazoe, e tralascado l eleco semplce delle modaltà, s ha: Prmo quartle (Q ) F < 05. e F 05. Q E + ( 0,5 F) Es Fs E F Terzo quartle (Q 3 ) F < 075. e F 075. Q 3 E + ( 0, 75 F) Es Fs E F dove, co ovvo sgfcato della otazoe, E, Es, F e Fs soo rfert alla classe che cotee l quartle. 3

24 Le msure d cetraltà Esempo 4.6 I Quartl Carattere: Numero d Fgl Q Q 3 X f F 0 5 0,0 0,0 0,4 0,34 9 0,38 0, ,8 0, ,08 0,98 5 0,0,00 Totale 50 Attezoe, è solo u caso che Q e Q 3 3!!!! 4

25 Le msure d cetraltà Carattere: Altezza Classe coteete Q Classe coteete Q 3 + F , 0, ,35 0, ,5 0, ,55 0, ,655 0, ,88 0, ,0060 Totale 00 h r Q 40 + (0,5 0,5 ) 4,307 0,55 0, Q (0, 75 0,655 ) 88,44 0,88 0,655 ATTENZIONE: l valore otteuto deve apparteere alla classe coteete l quartle!! 5

26 Le msure d cetraltà Eserczo Suppoedo che la dstrbuzoe del carattere Numero d Fgl sa data da X f 0 0,0 0,5 0,4 3 0,5 4 0,05 5 0,05 Totale e quella relatva alla varable Altezza da + F , , , , , , calcolare quartl delle due dstrbuzo e commetare valor. Ioltre, per la secoda dstrbuzoe, rcavare le frequeze relatve, dsegare l ogva e determare la percetuale d dvdu che soo alt: () al pù 37 cm, () pù d 85 cm. 6

27 Le msure d cetraltà La meda artmetca Cosderamo u collettvo statstco costtuto da utà sulle qual rlevamo le modaltà d u carattere quattatvo X. Vale la seguete defzoe Meda Artmetca Semplce La meda artmetca M d ua successoe d valor s,,..., ottee dvdedo la somma degl stess per l umero d osservazo: M La meda artmetca covolge el suo calcolo tutte le osservazo. Pertato, rsulta estremamete sesble a valor aomal. 7

28 Le msure d cetraltà L terpretazoe della meda artmetca Se la somma de valor ha u sgfcato (carattere addtvo), allora la meda artmetca, essedo u rapporto, dca quella parte del totale - - che spetterebbe a cascua utà qualora questo vesse suddvso part ugual. Così, ad esempo, cosderamo u gruppo d 5 amc che s reca al rstorate per ua cea. Sa X la varable dcate l costo della cea, espresso euro, d og sgolo amco. Suppoamo, duque, che alla fe della serata 5 amc, base a quello che hao ordato, debbao pagare oguo per la propra cea, seguet mport: , 5, 0, 8,. Ma, se 5 amc decdoo d dvdere equamete l coto, quato dovrebbe pagare cascuo? La rsposta è baale: Coto complessvo. Ha u seso logco!! Il valore trovato o è altro la meda de sgol mport! 8

29 Le msure d cetraltà Dall esempo s evce che La meda artmetca cocde co quella modaltà del carattere che dovrebbe possedere og utà statstca se l ammotare complessvo del carattere fosse rpartto eguale msura tra tutte le utà. I altre parole, preseza d u carattere addtvo, vale a dre d u carattere per l quale ha seso la somma delle sue modaltà, la meda artmetca cocde co quella quattà che realzza l equa rpartzoe dell ammotare complessvo del carattere tra le utà statstche che compogoo la popolazoe statstca. 9

30 Le msure d cetraltà Meda Artmetca Poderata Data la dstrbuzoe d frequeze {(, ),,,..., } la meda artmetca M del carattere X è espressa come: M La meda artmetca, questa formulazoe cu compaoo le frequeze, è detta ache meda artmetca poderata pochè og sgola modaltà vee pesata per la frequeza corrspodete. Faccamo otare, tuttava che quest ultma espressoe cocde esattamete co la defzoe d meda artmetca data zalmete. Ifatt, el caso cu la sgola modaltà s rpete volte (,,,), per defzoe d meda artmetca avremo: M volte volte volte ( ) + ( ) ( )

31 Le msure d cetraltà E possble, oltre, esprmere la meda artmetca poderata term d frequeze relatve. Ifatt, rprededo la defzoe, s ha: M f. Dstrbuzoe class d modaltà Se la dstrbuzoe è suddvsa class d modaltà, l calcolo della meda vee effettuato sotto l potes d uforme dstrbuzoe delle utà all tero delle class. Il procedmeto d calcolo è smle a quello relatvo alle dstrbuzo d frequeze, co l uca dffereza che le sgole modaltà vegoo sosttute da valor cetral delle class. Pertato avremo: cu, rcordamo M c e M c f + c + è l valore cetrale della -esma classe (,,,) 3

32 Le msure d cetraltà Esempo 4.7 La Meda Carattere: Numero d Fgl X f f 0 5 0,0 0 0,00 0,4 0,4 9 0, , ,8 7 0, ,08 6 0,3 5 0,0 5 0,0 Totale 50 98,96 M( X ) [( 0 5) + ( ) + ( 9) + ( 3 9) + ( 4 4) + ( 5 ) ],96 M( X ) + ( 0 0,) + ( 0,4) + ( 0,38) ( 3 0,8) + ( 4 0,08) + ( 5 0,0),

33 Le msure d cetraltà Carattere: Altezza + f c c c f , , , , , , , , , , , , , , Totale , M ( X ) [( 85 0) + ( 0 7) ( 0 4) ] 60, 75 ( 85 0,) + ( 0 0,035) ( 0 0,) 60, 75 M ( X ) Il valore medo dell altezza calcolato cosderado l valore cetrale delle class è u valore approssmato. Il valore precso può otteers solo se s coosce l totale del carattere all tero d og classe. 33

34 Le msure d cetraltà Propretà della meda artmetca La meda artmetca preseta u ambto applcatvo molto ampo. I motv della sua popolartà possoo essere brevemete rassut e seguet put: a) è rferta a caratter addtv che soo molto dffus ella realtà; b) è molto facle da calcolare; c) è semplce da terpretare; d) tede a correggere, aulladol, gl error d msurazoe; e) gode d apprezzabl propretà. Focalzzamo l attezoe sull ultmo aspetto. Le propretà che seguoo verrao presetate relazoe ad ua dstrbuzoe d frequeze. La trattazoe relatva ad u eleco d modaltà è estremamete facle ed è lascata come eserczo (da fare!!!!). 34

35 Le msure d cetraltà ) Propretà d varaza La meda artmetca, se sosttuta a cascua delle sgole modaltà osservate, lasca varata la somma delle modaltà. Dmostrazoe La propretà è stata parte gà dmostrata quado soo state defte le mede potezate d orde s. La somma delle modaltà è data da T. Partedo da questa espressoe, se sosttuamo alle sgole modaltà la meda M, otteamo: ma M M M M M da cu segue che: M. 35

36 Le msure d cetraltà ) Propretà d teraltà La meda artmetca è sempre compresa tra l valore pù pccolo e quello pù grade della dstrbuzoe. Dmostrazoe Per comodtà sao m e ma rspettvamete l valore pù pccolo e quello pù grade della dstrbuzoe. Allora, avremo: m ma m ma... m ma... m ma Ma og sgola modaltà compare el collettvo volte, per cu avremo: 36

37 Le msure d cetraltà 37 ma m ma m ma m ma m e, sommado membro a membro, otteamo:. ma m ma m ma m Da quest ultma dsuguaglaza, dvdedo tutt membr per, otteamo:. M ma m ma m

38 Le msure d cetraltà 38 3) Propretà d ulltà degl scart La somma degl scart delle modaltà dalla loro meda artmetca è ulla: 0 M ) ( Dmostrazoe 0. M M M ) M ( M ) (

39 Le msure d cetraltà La propretà, appea dmostrata è tpca della meda artmetca, el seso che se la somma degl scart da ua quattà c è uguale a zero, allora c cocde co la meda artmetca. Ifatt, mpoedo che s rcava mmedatamete che: ( c ) 0 c 0 c 0 da cu segue che: c M. 39

40 Le msure d cetraltà 40 4) Propretà d mmo La somma degl scart al quadrato delle modaltà da ua costate c assume valore mmo quado cm: M ) ( c ) (. Dmostrazoe Il valore della sommatora c ) ( o camba se ella paretes s agguge e togle ua stessa quattà. Suppoamo che questa quattà sa la meda M. Allora avremo: [ ] [ ] M ) ( c ) M ( c ) M ( M ) ( M ) c )( M ( c ) M ( M ) ( M ) c )( M ( c ) M ( M ) ( c ) M ( M ) ( M ) M c ( c ) ( E ua quattà ulla per la 3 a propretà della meda

41 Le msure d cetraltà I deftva, abbamo provato la seguete uguaglaza: ( c ) ) 0 0 da cu segue mmedatamete che: ( M ) + ( M c ( c ) ( M ) valedo l sego d uguaglaza solo el caso cu cm. Ache questa propretà caratterzza ucamete la meda artmetca, el seso che se ( c ) mmo allora cm. 4

42 Le msure d cetraltà 5) Propretà assocatva La meda artmetca complessva d pù grupp parzale è uguale alla meda artmetca poderata delle mede parzal, co pes par al umero d osservazo d cascu gruppo. Suppoamo che la popolazoe sa suddvsa H grupp, oguo d umerostà N (,,,H). Sa M la meda artmetca del carattere esame sull -esmo gruppo (,,,H). Così, ad esempo, el caso d sol tre grupp avremo ua stuazoe del tpo: ( ) N 3, M ( 3 ) N, M ( ) N, M ( ) 4

43 Le msure d cetraltà La propretà afferma che la meda complessva del carattere oggetto d studo è esprmble ella forma: M M ( ) N + M ( ) N M N ( ) N M ( H ) N H N H M ( ) N dove H N N rappreseta l umero complessvo d uta della popolazoe. Il rapporto N / N rappreseta la frazoe d popolazoe che appartee all -esmo gruppo (,,,H). 43

44 Le msure d cetraltà Dmostrazoe Sao: S l totale del carattere esame ell -esmo gruppo della popolazoe (,,,H); ( ) M S / N la meda del carattere esame ell -esmo gruppo (,,,H). Il totale del carattere su tutta la popolazoe sarà dato da S sarà: H S. Pertato, la meda del carattere sulla popolazoe M S N S + S S N H S N N + S N N N S N H H N H M ( ) N + M ( ) N N M ( H ) N H N H M ( ) N. 44

45 Le msure d cetraltà 6) Propretà d leartà Sao a e b due costat. Se valor vegoo trasformat e valor y a + b, allora tra le meda artmetca delle y e quella delle esste la stessa relazoe (leare) che esste tra le y e le, ovvero: M (Y ) a + bm( X ). Dmostrazoe La meda della varable Y è data da M (Y ) y. Ma y a + b per cu, sosttuedo ell espressoe d M(Y), avremo: M(Y ) y ( a + b ) ( a + b ) a + b Cas partcolar: a + b a + bm( X ). Se a0 la trasformazoe YbX defsce u cambameto d scala; 45

46 Le msure d cetraltà Se b la trasformazoe Ya+X defsce ua traslazoe. Esempo 4.8 Verfca delle Propretà Verfchamo la propretà d ulltà degl scart e quella d mmo per la dstrbuzoe relatva al carattere Numero d Fgl Per verfcare quest ultma propretà poamo c0. M(X),96 X M ( M ) ( M ) ( M ) ( c ) 0 5 -,96-9,80 3,84 9, ,96 -,5 0,9, ,04 0,76 0,00 0, ,04 9,36,08 9, ,04 8,6 4,6 6, ,04 3,04 9,4 9,46 5 Totale 50 3,4 0 9,5 65,9 398 S osserva mmedatamete che: 6 ( M ) 0; 6 ( c ) 398 > 65,9 6 ( M ). 46

47 Le msure d cetraltà Esempo 4.9 Propretà Assocatva La gorata lavoratva d u azeda metallurgca è orgazzata su tre tur. Il prmo turo d lavoro è composto da 00 opera che medamete realzzao 50 prodott ft a settmaa; l secodo turo è composto da 75 opera che realzzao ua produzoe meda d 46, metre l ultmo turo è composto da 45 opera co produzoe meda d 37. Determare l umero medo d prodott ft per settmaa da tutt gl opera che lavorao ell azeda. Orgazzamo, per semplctà, dat el seguete prospetto: Tur Numerostà Turo Produzoe meda settmaale Prmo Turo Secodo Turo Terzo Turo Il umero complessvo N d opera è Il umero medo d prodott ft de 0 opera è data da: ( ) + ( ) + ( ) 05 M 45,

48 Le msure d cetraltà Esempo 4.0 Propretà d Leartà Suppoamo che l carattere umero d fgl per famgla, gà pù volte aalzzato, rport l esto dell dage svolta all tero d u azeda cu lavorao 50 opera. S suppoga che el 008 tutt rcevao u bous d produttvtà par a 000 euro e ua quota aggutva d 00 euro per og fglo a carco. Determare l mporto medo dell cetvo cocesso agl assut dell azeda. Idchamo co X l umero d fgl per famgla, la cu meda cocde co M(X).96, e co Y l cetvo degl assut. La relazoe leare esstete è: Y X I base alla propretà d leartà, avremo che: M(Y ) M( X ) * Il procedmeto è certamete pù agevole rspetto al calcolo della meda basato su valor y X Y Totale 50 M (000*5+00*+400*9+600*9+800*4+000*)/

49 Le msure d cetraltà La Meda Geometrca Quado s cosderao caratter moltplcatv, ovvero caratter per qual ha seso agre sul prodotto delle modaltà, la meda artmetca o s rvela u dce d stes approprato. I questa stuazoe è opportuo cosderare u altra msura d stes. Meda Geometrca La meda geometrca, Mg, d ua successoe d valor postv,..., s ottee estraedo la radce -esma del prodotto d, tutt valor: Mg... Espresso equvalet alla precedete soo date da: / Mg. 49

50 Le msure d cetraltà 50 L estesoe della defzoe precedete al caso d ua dstrbuzoe d frequeze co modaltà dstte è semplce:.... Mg f / Le stesse espresso s utlzzao per ua dstrbuzoe class d modaltà, sosttuedo alle sgole modaltà valor cetral delle class

51 Le msure d cetraltà 5 Propretà varate della meda geometrca La meda geometrca gode della propretà d equrpartre l prodotto delle modaltà. I tal seso, la meda geometrca cocde co quel valore che sosttuto a tulle le modaltà d u carattere e lasca alterato l prodotto. Il prodotto delle modaltà è dato da:... P. Se sosttuamo el prodotto alle sgole modaltà la meda geometrca, avremo: P. Mg Mg Mg... Mg Mg

52 Le msure d cetraltà Metodo dretto per l calcolo della meda geometrca Il calcolo della meda geometrca basato sul prodotto delle modaltà può rsultare poco agevole se le modaltà presetao valor troppo elevat. Esste u espressoe alteratva della meda geometrca basata sul logartmo delle modaltà che rsulta computazoalmete pù semplce. Per semplctà, la defzoe che segue è basata su logartm atural (log). Tuttava, essa rmae valda qualuque sa la base del logartmo. Meda Geometrca La meda geometrca, Mg, d ua successoe d valor postv,..., è uguale all atlogartmo della meda artmetca de, logartm de valor: Mg ep log. 5

53 Le msure d cetraltà Ovvamete, per ua dstrbuzoe d frequeza, avremo: Mg ep ( log ) Per dmostrare quest ultma espressoe, rchamamo prelmarmete alcue propretà de logartm. y a. Se > 0 dremo che y log a ;. Per a,788.e (umero d Nepero) s parla d logartmo aturale: y 3. log( αβ ) logα + log β ; 4. log α β β logα. log y e ; 53

54 Le msure d cetraltà Dmostrazoe Abbamo vsto che Mg /. Applcado l operatore logartmo aturale ad ambo membr dell uguaglaza, otteamo: per la propretà 3 per la propretà 4 log Mg log log / log (log ) / M(Y) Se poamo Y log X, abbamo provato che log Mg M(Y ), da M (Y cu segue, per defzoe, che Mg e ep{ M(Y )} rappreseta l espressoe che volevamo otteere. ), che Faccamo osservare che abbamo mplctamete dmostrato che l logartmo della meda geometrca è uguale alla meda artmetca de logartm delle modaltà: log Mg M(Y ) (log ) 54