Equazioni di Maxwell, Propagazione radio, Materiali conduttori e dielettrici

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1 quaioni di Mawell, Popagaione adio, Mateiali conduttoi e dielettici bevi note accolte da q di Mawell, Popagaione adio, Mateiali conduttoi e dielttici

2 Agenda: quaioni di Mawell e popagaione pe onde elettomagnetiche piane nel vuoto Unità di misua logaitmiche nelle tasmissioni adio Definiione dell attenuaione di tatta pe un collegamento adio Popagaione dei segnali adio nella ionosfea, applicaione al caso dei segnali povenienti da satelliti pe il seviio GPS Supefici selettive in fequena Linee di Tasmissione Conduttoi e Dielettici Conduione elettica dal punto di vista atomico Popagaione Libea Note sulla matice di Scatteing (Diffusione) nelle tasmissioni a micoonde Genealità sulle Guide D onda Metalliche q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici

3 Beve stoia James Clek Mawell (3 giugno 83-5 novembe 879) fu il fisico scoese del XIX secolo elaboò la pima teoia modena dell'elettomagnetismo compendiando in poche equaioni tutte le noioni di questa sciena. Mawell tuttavia imase legato ad una conceione di campo elettomagnetico la cui popagaione avviene attaveso un meo eteeo; dappima egli identificò l'etee luminifeo con quello elettomagnetico e poi unificò i due fenomeni, quelli ottici e quelli elettomagnetici, infatti dalle sue equaioni tali onde sono immediatamente deducibili. Mawell eesse il suo monumento alla sciena patendo dalle basi gettate da illusti scieniati ta cui non possiamo dimenticae il gande chimico-fisico speimentale Michael Faada e il fisico teoico Ampèe. Inolte Mawell è anche noto pe i suoi lavoi effettuati nel campo della meccanica sui citei di esistena, in paticolae nel 856 popose il così detto: "Citeio della massima enegia di distosione". Ta i 6 e i 9 anni studia letteatua e filosofia pesso William Hamilton e poi si iscive all'univesità di Cambidge. Nel '5 conosce Stokes e pubblica un lavoo, quilibio dei solidi elastici, nel quale icava le equaioni di Stokes e le applica a casi conceti pe conoscee le popietà fisiche della mateia, mostando la sua indole di uomo patico della ivoluione industiale. Sempe a Cambidge conosce Whewell e ne studia la filosofia. Nello stesso anno si ealia l'inconto con William Thomson (poi Lod Kelvin) che avà gande ilevana sulla fomaione del giovane Mawell e avà impotanti isvolti pe la sua attività di iceca. Ta i tanti pesonaggi le cui iceche e le cui inteaioni con Mawell hanno fonito una base e man mano un aiuto pe elaboaione dell'elettomagnetismo, due sembano essee state le figue più luminose: Thomson e Faada. Le pincipali linee guida del pensieo di Mawell sono identificabili in iceca dell'unità (unificaione) ifiuto di ipotesi micoscopiche enfasi sui isultati speimentali. Come metodo di indagine teoica Mawell pemia quello dell'analogia come il miglioe peché è in gado di getta luce su campi della sciena meno noti, patendo dalle leggi che govenano fenomeni meglio conosciuti. Tuttavia questo metodo, sebbene efficace, dev'essee usato con consapevolea pe non vanificae gli sfoi tasfomando utili aiuti in fuochi fatui ("useful helps into Wills of the Wisp", da "sse fo the Apostles on Analogies in Natue"). q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 3

4 CONCTTO DI CAMPO LTTRICO Fenomeni Staionai ( gandee nel sistema MKS) La foa cui sono soggette due caiche elettiche puntifomi nel vuoto è: q q F qq 4π ˆ k 9 k 9 4π q q Nm C ˆ dove F si misua in [ N] C Nm Il Coulomb è definito come quella caica che attavesa in un secondo un conduttoe pecoso dalla coente di un Ampee. Data una caica Q fema nello spaio, alloa se una seconda caica q viene posta, fema, in pesena della pima, essa subisce una foa dipendente dalla posiione occupata q; ed in modulo popoionale a q. Il appoto ta la foa F e la caica q viene detto Campo lettico geneato nella posiione dalla caica Q: q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 4

5 q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 5 CONCTTO DI CAMPO LTTRICO Il campo elettico può avee linee di flusso entanti o uscenti a seconda del segno della caica Q, pe convenione si pone: m V C m J m m C N C N Q k q Qq q F in misua si dove ˆ ˆ 4 π - Q q

6 CONCTTO DI CAMPO LTTRICO Pe la appesentaione gafica dei campi è usuale l uso delle linee di foa. Le linee di foa sono linee di flusso tali che in ogni punto il campo elettico è tangeniale alle linee di foa. In ogni egione del campo viene disegnato un numeo di linee di foa tale che la loo densità sia popoionale all intensità del campo. bisogna pecisae che la caica q di pova deve essee abbastana piccola da podue una petubaione tascuabile nella configuaione delle caiche Q cicostanti che geneano il campo, più pecisamente deve isultae: F ( ) lim q q Si può intepetae questa situaione supponendo che la caica Q modifichi lo spaio ad essa cicostante, poducendo nel punto occupato dalla caica q, uno stato fisico, che chiamiamo campo di foa elettico, a causa del quale q subisce una foa popoionale alla sua caica e invesamente popoionale al quadato della distana. q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 6

7 CONCTTO DI CAMPO LTTRICO Supponendo vea questa ipotesi si può concludee che l intensità del campo elettico in un punto individuato da è indipendente dal fatto che esista o meno la caica q; l esistena del campo è infatti legata alla pesena della sogente Q e non a quella della caica sul quale il campo agisce. Il concetto di campo è utile peché elimina la necessità di icoee all ipotesi di aioni a distana fa paticelle; tuttavia occoe pecisae che finchè si imane in condiioni statiche, come quelle consideate (paticelle feme), le due desciioni: aione a distana o aione locale del campo sono del tutto equivalenti. soltanto in condiioni dinamiche che l esistena del campo acquista un significato fisico indipendente dalle caiche sulle quali agisce, in quanto si manifestano fenomeni fisici legati alla pesena del campo anche nello spaio pivo di mateia. Da notae che uno spaio pivo di mateia ma sede di un campo (elettico, magnetico, gavitaionale) non è uno spaio vuoto in quanto è possibile associae al campo quantità fisiche misuabili come enegia e quantità di moto. q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 7

8 CONCTTO DI CAMPO LTTRICO Inolte, e questo è molto impotante, poiché l inteaione ta due paticelle sepaate spaialmente non è mai istantanea (in quanto la velocità di popagaione non è infinita), la foa che agisce su una paticella dipende dalla posiione dell alta in un istante pecedente; Si osseva sempe un itado fa l istante in cui cambia la foa agente su una paticella e l istante in cui cambia la posiione dell alta paticella, itado che il campo impiega a popagasi da una paticella all alta. Gli effetti podotti dalle caiche sogenti, possono manifestasi con intensità significativa, anche in poioni di spaio molto lontane da quelle occupate dalle caiche sogenti; ed il itado con cui tali effetti si manifestano può essee intepetato in temini del tempo che il campo impiega a popagasi nello spaio. q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 8

9 DIPOLO LTTRICO La più semplice ta le configuaioni di caica è: Q Q - Le linee di foa nello spaio si ottengono pe otaione intono all asse q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 9

10 DIPOLO LTTRICO Lo studio delle aioni elettostatiche subite da un dipolo elettico, è di paticolae ilievo peché ad esse sono iconducibili le inteaioni elettostatiche più semplici cui sono soggetti i sistemi micoscopici elettonicamente neuti (atomi e molecole non ioniati). Ogni dipolo elettico è caatteiato da una gandea detta momento di dipolo: v P q v q - q q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici

11 CONCTTO DI CAMPO MAGNTICO FNOMNI STAZIONARI L esistena di foe magnetiche pota alla intoduione di un campo vettoiale, detto campo magnetico, analogo al campo elettico. Tuttavia il campo magnetico pesenta caatteistiche sostanialmente divese da quelle del campo elettico; ciò è conseguena del fatto che mente esistono caiche elettiche positive sepaate da quelle negative, non è pe conto possibile sepaae monopoli magnetici. N N N S N S Rompendo una calamita si fomano due calamite, sempe con due poli S N N S S S N S N S q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici

12 CONCTTO DI CAMPO MAGNTICO Queste diffeene hanno come conseguena che le linee di flusso del campo magnetico sono sempe linee chiuse, ovveo il flusso uscente da una qualunque supeficie chiusa è nullo. Vicevesa nel caso del campo elettico le linee di foa escono dalle caiche positive (sogenti del campo) e finiscono sulle caiche negative (poi del campo). Tale diffeena è ossevabile dal momento che le foe subite dall ago magnetico della bussola ha l andamento tipico dell aione subita da un dipolo e non da aioni subite da caiche puntifomi. In paticolae un ago magnetico si dispone all equilibio, paallelamente al campo, cosicché con la sua dieione esso individua in ogni punto la tangente alle linee di foa del campo magnetico. q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici

13 CONCTTO DI CAMPO MAGNTICO Un passo decisivo pe la compensione dei fenomeni magnetici è l ossevaione di Oesteed (8), secondo cui un filo pecoso da coente genea, su un ago magnetico esploatoe, effetti oientanti analoghi a quelli esecitati da una calamita. In alti temini un filo pecoso da coente elettica genea un campo magnetico. Nell ambito di uno studio sistematico ( compiuto fa gli alti da Coulomb, Biot, F.Savat, Faada, Loents, Ampee, Mawell) fu evideniata l esistena di mutue aioni meccaniche fa fili pecosi da coente. Poiché le coenti elettiche sono definite in temini di caiche in movimento: IdQ/dt tutti i fenomeni magnetici fuono così icondotti ad una comune base secondo cui essi sono geneati in elaione al movimento di caiche; anche le aioni fa mateiali magnetici sono intepetabili in temini di movimento di caiche micoscopiche che sono le coenti atomiche. q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 3

14 CAMPO MAGNTICO: foa do Loents Si può sintetiae ipotiando che i cicuiti pecosi da coente geneino nel loo intono un campo B che chiameemo di induione magnetica dipendente dalla posiione, il quale detemina sul tatto dl pecoso da coente I ed oientato secondo il veso di cicolaione di I una foa espessa dalla legge: df df Idl B dnqv d B ma : Idl dsdl nqv d dsdl dnqv d n paticelle pe unità di volume B campo di induione magnetica I coente elettica densità di coente vd velocità di deiva delle caiche elettiche dn numeo di potatoi pesenti nel tatto dl q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 4

15 CAMPO MAGNTICO: foa do Loents Petanto ci si aspetta che una singola caica puntifome che si muova con velocità v nel campo di induione magnetica B subisca una foa detta foa di Loents pai a: F qv B F B Secondo tale eq, una caica fema con v ispetto al ifeimento del campo B, non è soggetta ad alcuna foa ad opea di un campo magnetico, mente quando si muove, essa è sottoposta ad una foa otogonale alla sua velocità v. Le dimensioni fisiche del vettoe induione magnetica sono: foa N N m s J s V s Wb B caicavelocità C m C m m Cmm m m m s V [ T] q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 5

16 CAMPO MAGNTICO: foa do Loents Dunque un Tesla (T) è un campo di induione magnetica B tale che una caica di un Coulomb, in moto con velocità di un m/s, è soggetta alla foa di un N se tale velocità è otogonale a B. Se in una ceta egione dello spaio agisce olte al campo di induione magnetica B (le cui sogenti sono coenti elettiche) anche un campo elettico (le cui sogenti sono caiche elettiche) Alloa una paticella caica q è sottoposta alla foa: F q qv B q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 6

17 CAMPO MAGNTICO: foa do Loents Consideando un cicuito filifome l pecoso da coente I; alloa si tova speimentalmente che il campo di induione magnetica B geneato nello spaio cicostante è dato dalla eq di Laplace: ' µ dl 7 Ω s 7 Hen db I con µ 4π π π m m è la pemeabilità magneticadel vuoto dl - db (P) I P(,,) q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 7

18 CAMPO MAGNTICO: foa do Loents In paticolae in base alla pecedente si può tovae che una spia cicolae di aggio R pecosa da coente I staionaia, genea in un punto P del suo asse un campo di induione magnetica B pai a: B µ I R nˆ n I R q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 8

19 Induione elettomagnetica Legge Faada Neumann Consideiamo un cicuito (a) costituito da una linea chiusa l ealiata mediante un filo conduttoe. Disponiamo in seie al cicuito un galvanometo G mediante il quale è possibile constatae l eventuale passaggio di coente in (a). Si isconta speimentalmente che il galvanometo indica passaggio di coente nei seguenti casi: ) chiusua del tasto T L G I a T I (a) f (b) q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 9

20 Induione elettomagnetica Legge Faada Neumann ) ll cicuito (b) si sposta dal cicuito (a) con velocità v b pe esempio in modo amonico L G I a I (a) f (b) V b q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici

21 Induione elettomagnetica Legge Faada Neumann 3) Il magnete pemanente (b) si sposta dal cicuito (a) con velocità v b pe esempio in modo amonico N L G I a (a) V b S (b) q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici

22 Induione elettomagnetica Legge Faada Neumann Faada spiegò queste ed alte analoghe ossevaioni speimentali dicendo: Se un cicuito è immeso in un campo di induione magnetica il cui flusso Ф(B) concatenato con il cicuito stesso sia vaiabile nel tempo, alloa in esso si genea una foa elettomotice indotta data da: f indotta dφ ( B ) dt d dt B ds S B(t) I i (t) B i (t) Quando nel cicuito si genea una foa elettomotice indotta da un campo di induione magnetica B vaiabile, concatenato con il cicuito stesso, alloa in esso cicola coente. Questa coente genea a sua volta un campo magnetico indotto B i il cui flusso concatenato con il cicuito è diveso da eo. Il segno meno davanti al secondo membo indica che il flusso del campo magnetico indotto B i, concatenato con il cicuito, tende a compensae la vaiaione di flusso esponsabile del fenomeno di induione stesso. q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici

23 Induione elettomagnetica: Legge di Lents Questa legge conosciuta come legge di Lents affema che: il veso della foa elettomotice indotta, è tale da opposi alla vaiaione di flusso che la genea Si considei un cicuito elettico in condiioni staionaie; cioè tale che il tempo impiegato dai segnali elettomagnetici pe attavesalo sia molto piccolo ispetto al tempo che caatteia le vaiaioni di densità caica ρ e densità di coente. Ovveo all istante (t) la coenti I(t) è la stessa in tutti i punti del cicuito. B B I(t) f I(t) I ai (t) f B ai Tale coente genea nello spaio cicostante un campo di induione magnetica B diveso da eo. Se I(t) vaia nel tempo vaa paimenti B(t) e quindi anche Ф(B): si genea petanto una foa elettomotice autoindotta che si oppone alla foa elettomotice esponabile di B(t) q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 3

24 q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 4 Induione elettomagnetica: Induttana L ) ( 4 4 l 3 ' 3 ' dl t I B dl I B d π µ π µ Ossevando la I fomula di Laplace scitta sopa si nota che: B è popoionale ad I(t); Ф(t) concatenato con il cicuito è popoionale a B Petanto segue che Ф(t) è popoionale a I(t): ) ( 4 ) ( 4 ) ( l 3 ' l 3 ' t I ds dl ds dl t I ds B I L B S S S Φ π µ π µ Il coefficiente di popoionalità L è definito coefficiente di autoinduione o induttana del cicuito stesso

25 Induione elettomagnetica: Induttana L Il valoe dell induttana L è deteminato unicamente dalla geometia del cicuito e dal mateiale utiliato. Nel sistema intenaionale si misua in: Webe V s L Ampee A [ Ω s] [ Hen] Dalla legge di Faada segue che: f indotta dφ( B ) dt d ( L I( t) ) dt L di dt q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 5

26 I) equaione di Mawell Consideiamo il teoema di GAUS: Il flusso del campo elettostatico attaveso una qualunque supeficie chiusa S, è pai alla somma algebica delle caiche contenute all inteno di S, divisa pe la costante. ventuali caiche disposte estenamente alla supeficie non potano alcun contibuto al flusso di. S ds n Φ( v ) ds qint. S τ ρ(,,, t) dτ La sommatoia si ifeisce ad una distibuione di caica disceta; mente l integale di volume su τ si ifeisce a duna distibuione di caica continua con densità: ρ nq τ q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 6

27 q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 7 I) equaione di Mawell ( ) ( ) ),, ( ),, ( ) ( d d ds d ds S S ρ τ ρ τ τ τ τ τ Φ v v Dal teoema della divegena: L eguagliana degli integandi segue dal teoema di Gaus che vale pe qualunque supeficie chiusa S di integaione e dunque anche pe qualunque volume di integaione in essa acchiuso.

28 I) equaione di Mawell Pe la validità è necessaio che le gandee siano continue ed il campo deivabile in ogni punto con continuità altimenti occoe applicae tale equaione locale in ogni punto usando eventualmente le condiioni di accodo: t t ; D n D n con D cioè Si osseva che il teoema di Gauss collega ta loo gandee fisiche calcolate in posiioni divese: il campo elettico sulla supeficie S alla densità di caica ρ in punti inteni alla supeficie S stessa. Questo non è un poblema fino a che le gandee in gioco sono costanti nel tempo; tuttavia la genealiaione al caso non staionaio non è immediata, consideato che una eventuale vaiaione di caica nel tempo, ad esempio della densità ρ(,,) dento la supeficie non può tadusi in una simultanea vaiaione del campo elettico sulla supeficie in quanto nessun fenomeno fisico si popaga con velocità infinita. Al contaio la equaione di Mawell lega fa loo gandee fisiche divese calcolate nella stessa posiione. q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 8

29 I) equaione di Mawell ssa si pesta petanto alla immediata genealiaione al caso non staionaio intoducendo semplicemente la dipendena dal tempo delle gandee che il essa compaiono: I) ρ(,,, t) q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 9

30 II) equaione di Mawell Applicando l opeatoe divegena alla fomula di Laplace: Si tova che: ' µ dl B I( t) 3 4π l II) B Che si enuncia dicendo che il vettoe B è solenoidale, come conseguena si icava la popietà di B : Sia S una qualunque supeficie chiusa, e sia τ il volume in essa acchiuso, alloa il flusso del campo di induione magnetica B attaveso una qualunque supeficie chiusa è nullo; q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 3

31 II) equaione di Mawell S ds n Φ B ) B ds ( B ) dτ s( S τ Si è applicato il teoema della divegena: l S B ds τ ( B ) dτ Ovveo sia anche il flusso di B attaveso due supefici S e S aventi lo stesso contono l e oientamento discode è uguale ed opposto. ds n n l ds q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 3

32 II) equaione di Mawell Tenendo conto che cambiando il veso di oientamento delle supefici il flusso cambia segno si ottiene alloa immediatamente l alta popietà spesso usata: ds n n ds l Il flusso di B attaveso due supefici qualunque aventi lo stesso contono ed oientamento concode è uguale, pe cui si può palae semplicemente di flusso concatenato con quel contono; Se il contono l appesenta una spia alloa il flusso Ф(B) si dice concatenato con quella spia. q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 3

33 II) equaione di Mawell Si considei pe semplicità una supeficie come quella indicata in figua: n s Φ( B) S v B ds S v B ds B ds B ds3 S S v 3 v s 3 n 3 ds 3 Poiché in un cicuito magnetico il vettoe induione magnetica si dispone paallelamente alla supeficie ne consegue che: s v v Φ3 ( B) B ds 3 S 3 n Petanto: Φ( B) S v B ds S v B ds B ds S v q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 33

34 II) equaione di Mawell Impostando quindi il veso di n come quello negativo entante si ottiene: n s Φ( B) S v B ds S v B ds S v B ds S v B ds S v B ds se la seione S è costantealloa B S B S s B S B S n B B Φ( B) BS cost Ovveo il flusso entante attaveso una supeficie s flusso uscente attaveso la supeficie s s del cicuito del cicuito è uguale al q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 34

35 III) equaione di Mawell Come è noto il campo elettostatico è, in condiioni staionaie, un campo consevativo ovveo esiste una funione poteniale V tale che: V V (a)-v (b) Se il campo è consevativo tale integale non dipende dal cammino di integaione l ma soltanto dal punto iniiale a e dal punto finale b ; ovveo l equaione imane identicamente soddisfatta qualunque sia il pecoso l che pota dal punto a al punto b puchè l non passi pe i punti di singolaità di. Il paticolae se a coincide con b, qualunque sia la linea chiusa l di integaione si ha: b a dl a l b a b l V (a)-v (b) dl b a q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 35

36 III) equaione di Mawell Questa è una condiione necessaia e sufficiente affinché il campo consevativo e cioè che la cicuitaione di sia nulla. Applicando il teoema di Stokes si ha: ) ds dl ( l S sia Dal momento che tale elaione vale pe ogni linea chiusa l e pe ogni supeficie S che abbia l come contono, segue che deve essee nullo l integando. Questa espime la III) equaione di Mawell nel caso staionaio, ovveo espime in foma locale la consevatività del campo elettostatico; si dice anche che il campo elettostatico è iotaionale. q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 36

37 q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 37 III) equaione di Mawell b a b a b a b a b a Q d Q d Q d Q d Q alloaintegandota due punti ˆ con 4 ) ( π π π π π v v v Questo isultato mosta che il campo elettico geneato da una caica puntifome è un campo consevativo in quanto il suo integale di linea fa due posiioni non dipende dalla paticolae taiettoia. Il poteniale elettostatico in un punto (,,) della cuva di integaione geneato dalla caica puntifome Q è: Applicando tale ossevaione al campo elettico geneato da una caica Q puntifome si ha: [ ] V C J m C N V (a) dl V (,,) a ),, (

38 III) equaione di Mawell Il poteniale V (,,) coisponde all enegia poteniale già intodotta pe i campi consevativi con la pecisaione che ci si ifeisca ad una caica unitaia Dalla legge di Faada Newmann segue pe un cicuito chiuso: dφ( B) d v f B ds isulta anche : f dl dt dt S l ( pe Stokes ) S ( ) ds eguagliand o le due espession i : d B ds ( ) ds dt S S S db dt ds S ( ) ds eguagliand o gli itegandi si ottienela III) equaione di Mawell nel caso non staionai o : se il campo magnetico non è staionai o alloa è pesente un campo elettico non consevati vo db III) dt III) eq. Mawell q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 38

39 IV) equaione di Mawell Una popietà fondamentale di B iguada la sua cicuitaione: ovveo in temini diffeeniali locali si dimosta che la cicuitaione di B è in geneale divesa da eo: è detto Teoema della cicuitaione di Ampee l v B dl n µ I l La cicuitaione di B lungo una qualunque linea chiusa oientata L è pai alla coente I con la quale la linea chiusa si concatena moltiplicata pe µ moltiplicata a sua volta pe il numeo di concatenaioni n. Se il campo B è geneato da più di un solo cicuito alloa tenendo pesente che pe le sue popietà il campo B così come è additivo, alloa si ha: L v B dl µ µ l ( I n ) I I I ) i i ( 3 I4 l l 3 l L l 4 q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 39

40 IV) equaione di Mawell Le coenti vanno pese con il segno positivo o negativo a seconda che esse vedano cicolae intono a se la linea oientata L in senso antioaio o in senso oaio. Poiché la coente I èpai a: l I i S v J ds Φ( J) B dl µ I µ Dal teoema del otoe segue: l v v v v B dl ( B) ds ( B) ds µ J ds S S S i S J ds Poiché questa elaione deve valee qualunque sia la linea chiusa L e qualunque sia la supeficie apeta avente L come contono, alloa l eguagliana degli integali implica quella degli integandi: Bµ J Questa è la Quata equaione di Mawell nel caso staionaio la Quata equaione di Mawell nel caso staionaio mosta che ameno che sia J, il campo B non è consevativo, e dunque non è possibile intodue, in analogia col poteniale elettostatico, un poteniale scalae magnetostatico. ds L n q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 4

41 IV) equaione di Mawell Pe una popietà matematica geneale si ha che la divegena di un otoe è nulla: ( ) ( ) A B B A A ( B) ( B) B ( ) ( B) ( B) ( µ J) J Questa è l equaione di continuità nel caso staionaio: Questa è l equaione di continuità ne caso non staionaio: ρ J t La dimostaione di questa equaione è ipotata più avanti. Pe oa la si applica pe deteminae le coenti. q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 4

42 IV) equaione di Mawell Il teoema della cicuitaione di Ampee ovveo la sua espessione locale appesentata dalla quata equaione di Mawell può essee adattata al caso non staionaio. Si pate dalla equaione di continuità delle coenti: ρ ρ J t Sostituendo al posto della densità di caica ρ la sua espessione locale fonita dalla I eq. Di Mawell si ottiene: ρ v J t ( ) Invetendo l odine di deivaione come consentito dal teoema di Schwat: v v J J t t Densità di coente di spostamento q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 4

43 IV) equaione di Mawell Confontando le equaioni nei casi staionaio e non staionaio si vede che la divegena di una ceta quantità vettoiale è sempe nulla: J v J t Si deduce che la quantità dento paentesi è ancoa una densità di coente, data dalla somma di due temini, il pimo è la coente di conduione e il secondo è chiamato coente di spostamento è dovuta alla vaiaione nel tempo del campo elettico che è nulla nel caso staionaio. Patendo da questo agionamento si può sostituie in temine compensivo della densità di coente genealiata nella quata equaione di Mawell già vista, ottenendone la genealiaione al caso non staionaio: IV) B v v J J t µ µ t µ IV eq Mawell q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 43

44 IV) equaione di Mawell Integando entambi i membi di questa equaione su una supeficie S delimitata dalla linea chiusa L si ottiene il teoema della cicuitaione di Ampee nel caso non staionaio: S L ( B) ds S conduione v J ds µ S t pe il teoemadi Stokessi ottiene: B dl µ I µ I µ spostamento ds µ I conduione µ I spostamento Teoema della cicuitaione di Ampee Dal teoema della divegena segue il pincipio di Kichoff pe le coenti : S v f ds τ v ( f ) dτ τ volumedefinito dalla supeicie S q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 44

45 Legge di Hopkinson: cicuiti elettici e magnetici So considei un tubo di flusso pe il campo di induione magnetica B, e le due equaioni: n l v B dl Φ(B) µ NI S B ds ds dl S Poiché B è paallelo a dl e a ds alloa i ispettivi podotti scalai foniscono le seguenti: v B dl B ndl Bdl e B Φ( B) S B ds S B nds B S ds BS B Φ S q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 45

46 Legge di Hopkinson: cicuiti elettici e magnetici Sostituendo nel pimo integale si ottiene: l v B dl l Bdl l Φ S dl Φ l S dl µ NI NI Φ ponendo : l µ S dl F NI Foa magnetoti ce misuata [ Ampee spi e] si ottinene R : l µs dl Riluttana magnetica misuata Ampee spi Webe e F RΦ detta legge di Hopkinson analoga alla V RI detta legge di Ohm q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 46

47 Continuità della caica Si considei l equaione di Mawell: B µ J ϑ µ ϑt Applicando l opeatoe divegena ad entambi i membi si ottiene: ( ) ϑ B µ J µ ϑt ϑ µ J µ ϑt ma la divegenadi un otoe è nulla petanto L opeaione di divegena è un opeaione di deivata nello spaio (,,). Il tempo è la quata vaiabile indipendente, petanto è possibile invetie l odine di deivaione: ϑ µ J µ ma dalla I) eq. Mawell ϑt ρ q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 47

48 Continuità della caica dove ρ è la densità di caica misuata in C/m 3 l equaione di continuità della caica: ϑρ µ J µ ϑt J sostituendo si ottiene ϑρ ϑt È impotante peché completa il SCONDO PRINCIPIO DI KIRCHOFF: la somma delle coenti entanti in un volume chiuso non è uguale a ; lo è solo se non vi è vaiaione tempoale di caica in questo volume I I Pe compendee il significato di tale equaione, si considei un volume τ chiuso da una supeficie S, coedato da una seie di conduttoi metallici in esso entanti: I4 Qcostante? S I 3 q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 48

49 Continuità della caica Calcolando l integale di volume della divegena di J si ottiene (pe il teoema della divegena) la somma delle coenti: τ ( J ) dτ J ds I Se la coente aivasse esclusivamente attaveso i conduttoi, integando ogni volta la densità di coente nella seione del conduttoe isulteebbe che l integale di volume della divegena di J saebbe la somma delle coenti uscenti: ( J ) dτ J ds J ds J ds J ds J ds I I I I I τ S S S S S a sua volta uguale a meno la deivata nel tempo della caica totale ( in quanto l integale di volume della densità di caica estituisce la caica totale contenuta all inteno del volume) e questo deiva diettamene dall equaione di continuità: 4 ρ Q t t t i τ ( J ) dτ dτ ρ dτ I I τ τ 3 s 4 i q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 49

50 Continuità della caica Si immagini una sfea dalla quale escano divesi conduttoi: Se si intega la elaione pecedente su questo volume la coente è eo, tanne dove ci sono i conduttoi. Integando la densità di coente attaveso la seione dei conduttoi si ottengono le vaie coenti. Domanda: all inteno del volume c è una caica Q che è, o quantomeno costante? Risposta: Non è affatto detto. Se la caica contenuta in un ceto volume è costante, non ci sono complicaioni. Pima di applicae Kichoff alle coenti, quindi, occoe icodae che Mawell affema che la somma delle coenti è uguale a meno la deivata nel tempo della caica, e non affema che è uguale a eo! I 4 I i i Q t q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 5

51 quaione delle onde elettomagnetiche Si considei un meo dielettico illimitato, isotopo e omogeneo, e tale che il dielettico sia ovunque eletticamente neuto (assena di caiche localiate ρ ; se si tatta di un dielettico pefetto (e dunque in paticolae pefettamente isolante, dotato cioè di esistena elettica infinita) sappiamo che è paimenti (assena di coenti macosopiche). Le equaioni di Mawell nel dielettico pefetto divengono quindi: I) ρ II) B III) ϑb ϑt IV) B ϑ µ µ ϑt ϑ µ ϑt Applichiamo l opeatoe otoe alla III di tali equaioni. Ricodando l identità matematica: ρ ( ) ( ) ma q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 5

52 quaione delle onde elettomagnetiche si icava l equaione delle onde: B ( ) ( B) t t µ t µ t t ovveo ma B µ t µ t Un equaione del tutto analoga vale pe B, applicando il otoe alla quata eq. e confontando con la deivata tempoale della tea. B B µ t q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 5

53 quaione delle onde elettomagnetiche Pima di poseguie si icodano alcune definiioni e nomenclatue elative alle onde. Una funione f(,t) appesenta un onda di ampiea costante che si popaga lungo l asse se in essa la dipendena dalla coodinata e dal tempo t compae solo nella combinaione ( ± vt) con v costante positiva. L onda si dice pogessiva o egessiva a seconda che compae il segno o il segno. f (, t) f ( m vt) Tale equaione appesenta un onda infatti la f( vt) definisce un pofilo; tale pofilo tasla sena cambiae foma lungo l asse con velocità ±v. infatti consideiamo un ceto valoe ( vt ), alloa all istante t (t t), lo stesso valoe si pesenta non più in ma in ( ) puchè sia legato a t dalla elaione: f m vt ( ) m v( t t) ( m vt ) f [( ) m ( vt v t) ] f [ m vt m v t] f [ m vt ( ± v t m v t) ] f [ m vt ( ) ] f ( m vt ) m vt m v t t ± v q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 53

54 quaione delle onde elettomagnetiche f f t t t vt Nella maggio pate dei fenomeni fisici (ad esclusione di una coda vibante) la popagaione ondosa è un fenomeno tidimensionale. Si chiama alloa fonte d onda il luogo dei punti in cui, ad un fissato istante, la vaiabile assume lo stesso valoe. Un onda bidimensionale si dice ettilinea o cicolae (ad esempio) se i suoi fonti d onda sono ettilinei o cicolai, analogamente un onda tidimensionale si dice piana se i suoi fonti d onda sono supefici piane; si dice sfeica se i suoi fonti d onda sono supefici sfeiche; ecc. q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 54

55 quaione delle onde elettomagnetiche Pe esempio, se consideata come un onda nello spaio la: f (, t) f ( m vt) Rappesenta un onda piana: l agomento, essendo indipendente da e, fissati e t assume infatti lo stesso valoe su tutto il piano pependicolae all asse passante pe il valoe di consideato. Fonte d onda piano q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 55

56 q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 56 quaione delle onde elettomagnetiche Se la f() è una funione peiodica del suo agomento, l onda è detta onda peiodica. In paticolae sono peiodiche le onde sinusoidali, cui pe endee adimensionale l agomento si da usualmente una delle seguenti espessioni ta loo equivalenti: ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] [ ] dell'onda fase fase iniialedell'onda sin sin sin sin sin ), ( sin sin sin sin ), ( sin sin sin sin ), ( ϕ ω ϕ ϕ ω ϕ π ϕ π ϕ λ π λ π ϕ λ π ϕ λ π ϕ λ π ϕ λ λ π ϕ λ π ϕ π ϕ π ϕ π ϕ λ π t k dove t k A ft k A vt f v k A vt A vt A t f T t A f v vt A vt A vt A t f t v T A v vt v vt A vt f v A vt A t f

57 quaione delle onde elettomagnetiche Un onda peiodica è tale sia nella vaiabile che nella vaiabile t. Il peiodo tempoale T e quello spaiale λ sono legati dalla elaione: v f λ λf T dove : ω πf / T ω ω λ π k π T è la è la pulsaione fequena Pe come è stata definita, la velocità ovveo, la velocità di un qualunque fonte d onda, non è alto che la velocità con cui si muove la fase dell onda. Tale velocità è appunto detta velocità di fase k λ π λ è il è la numeo lunghea d' onda d' onda t ± v è la velocità di fase d' onda q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 57

58 Onde elettomagnetiche piane L equaione delle onde è una equaione diffeeniale alle deivate paiali; come tale le sue soluioni sono deteminate a meno di funioni abitaie, che possono essee icavate solo imponendo le condiioni al contono e le condiioni iniiali. La configuaione cui coisponde l espessione più semplice pe le soluioni è una configuaione piana (esempio otogonale all asse ). In questo caso (caso di onda piana) tutte le componenti dei campi e B sono indipendenti da e da : Ad ogni istante, e B hanno lo stesso valoe in tutti i punti di ogni piano otogonale all asse. µ t Fonte d onda piano B B µ t q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 58

59 Onde elettomagnetiche piane Fisicamente, questa condiione non si veifica mai esattamente nella patica; tuttavia ad essa ci si appossima in molti casi (appossimaione di onda piana) in paticolae quando si sia inteessati ad una poione di spaio piccola, molto lontana dalla sogente (appossimaione di sogente puntifome). Dal momento che tutte le componenti dei campi e B sono indipendenti da e da tutte le deivate dei campi ispetto ad e sono nulle ed il laplaciano si iduce alla sola deivata seconda ispetto ad. Ciascuna delle sei componenti del campo elettomagnetico e B soddisfa la stessa equaione; del tipo equaione di d Alambet): f µ f t dove f f f f f q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 59

60 Onde elettomagnetiche piane La soluione geneale di questa equaione è del tipo: ϕ ( t) f ( vt) f ( vt) con: v, µ Dove f ef f sono due funioni abitaie che ammettono deivata seconda ispetto all agomento ±vt, cioè la soluione geneale è la somma di un onda pogessiva e di un onda egessiva popagantesi con velocità v lungo l asse. Se ci toviamo nel vuoto, la velocità v delle onde elettomagnetiche viene indicata con c: 8 c,998 m / µ s q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 6

61 q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 6 Onde elettomagnetiche piane s m c v / µ µ µ µ v c n In un dielettico pefetto qualunque, avemo: Il appoto: fa la velocità della luce nel vuoto e la velocità della luce nel meo mateiale taspaente è detto indice di ifaione di quel mateiale; poiché in un dielettico pefetto la pemeabilità magnetica elativa è µ alloa segue che: v c n µ µ µ µ

62 q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 6 Onde elettomagnetiche piane Ricaviamo ulteioi popietà delle onde elettomagnetiche piane utiliando le equaioni di Mawell cui devono soddisfae. Ricodiamo che tutte le componenti dei campi sono indipendenti da e e dunque sono nulle le ispettive deivate paiali ispetto a e : [] [] ( ) k t B t B i t B k i k t B t B i t B k i k t B t B i t B k i t B III B B B B B II I ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ) b ) a ) v v

63 Onde elettomagnetiche piane Ricaviamo ulteioi popietà delle onde elettomagnetiche piane utiliando le equaioni di Mawell cui devono soddisfae. Ricodiamo che tutte le componenti dei campi sono indipendenti da e e dunque sono nulle le ispettive deivate paiali ispetto a e : III) IV ) v B t v B µ t B t B t B t t B µ t B µ t [] c [] d [] e [] f [] g [ h] Dalla [a] e [f] e dalla [b] e [c] vediamo che e B sono costanti nel tempo ed unifomi nello spaio. sse petanto non contibuiscono al fenomeno della popagaione del campo, in alti temini le onde elettomagnetiche sono puamente tasvesali, la componente longitudinale paallela alla dieione di popagaione non contibuisce alla popagaione stessa. q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 63

64 Onde elettomagnetiche piane Ricaviamo ulteioi popietà delle onde elettomagnetiche piane utiliando le equaioni di Mawell cui devono soddisfae. Ricodiamo che tutte le componenti dei campi sono indipendenti da e e dunque sono nulle le ispettive deivate paiali ispetto a e : III) IV) v B t v B µ t B t B t B t t B µ t B µ t [] c [] d [] e [] f [] g [ h] Dalla [d] e [e] e dalla [g] e [h] vediamo che se l onda ha una componente deve avee anche una componente B (e vicevesa); e se ha una componente deve avee anche una componente B (e vicevesa) q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 64

65 Onde elettomagnetiche piane: polaiaione Pe la lineaità delle equaioni di Mawell, ogni combinaione lineae di soluioni è soluione; e se si sovappongono due soluioni, una con dietto secondo l asse ed una con dietto secondo l asse, si può ottenee qualunque soluione (con e dietto in una dieione n qualunque del piano ), eventualmente vaiabile con e t: nn(,t). Non si ha dunque alcuna pedita di genealità se si considea un onda il cui campo sia oientato in dieione fissa ad esempio secondo l asse ( ): una tale onda si dice possedee polaiaione piana o lineae ( secondo l asse ). La più geneale delle onde potà essee ottenuta come sovapposiione di un onda polaiata secondo e di un onda polaiata secondo. B B Fonte d onda piano q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 65

66 Onde elettomagnetiche piane Se le elaioni [d] e [h] divengono: III) IV ) v B v B t µ t B t B t B t t B µ t B [] c [] d [] e [] f [] g [ h] Dunque la componente B non dipende ne da ne da t: essa è unifome e costante, così come già visto pe e B Se il campo elettico è dietto secondo, il campo magnetico è dietto secondo : in un onda elettomagnetica, campo elettico e magnetico sono fa loo otogonali (oltechè tasvesali, cioè otogonali alla dieione di popagaione) q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 66

67 q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 67 Onde elettomagnetiche piane Se dalle elaioni [e] e [g] si ha:: ) ( ) ( ) ( ) ( B vt B B vt m m Le elaioni [e] e [g] contengono una ilevante infomaione concenente le ampiee elative dei campi e B. Ricodando infatti che e B sono vettoi dietti ispettivamente come e come alloa ponendo ( vt) si ha: [] [] [] [] [] [ ] h g f ) e d c ) B t B t t B IV t B t B t B t B III µ µ v v L equaione [e] diviene petanto: ( ) B v v B - t B - t B ± e m

68 Onde elettomagnetiche piane La pecedente è una equaione diffeeniale odinaia del pimo odine, che integata pe quadatua estituisce ±vb cost; dove la costante può essee posta uguale a eo: B v v B Ricodando che è dietto secondo e B secondo, alloa il modulo del appoto /B, appesenta il appoto dei moduli e B di e B. Tenuto conto di ciò, e del isultato più sopa stabilito a poposito delle dieioni elative di e B e v, possiamo sintetiae i isultati da noi ottenuti a poposito dei campi e B in un onda piana nelle elaioni: B ± v La seconda viene usualmente espessa in temini di e di H aniché in temini di e B. Sostituendo in essa BµH si ha: µ H µ Z q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 68

69 Onde elettomagnetiche piane La quantità Z ha le dimensioni di una impedena e viene detta impedena caatteistica del mateiale H µ Nel caso di onde elettomagnetiche nel vuoto l impedena caatteistica vale: Z H µ V/m V Z 377 [ Ω] A/m A In un onda piana non solo il campo elettico ed il campo magnetico devono essee otogonali, ma devono essee in fase ed inolte il loo appoto non dipende dalla fequena, ma dipende esclusivamente da µ e, cioè da come è fatto il meo in cui l onda si sta popagando. q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 69

70 Unità logaitmiche Applicaione ai segnali adioelettici q di Mawell, Popagaione adio, Mateiali conduttoi e dielttici 7

71 Unità Logaitmiche pe espimee le potene L unità adimensionale db espime il appoto in maniea logaitmica ta due gandee, pe esempio pe i livelli di potena P(W); di solito si sceglie un ifeimento: db Log P P Usando misue di tensione è necessaio tenee conto dell impedena attaveso cui ciascuna tensione viene misuata: Log Log P P P P V Log V V V Log R Log V V R se : R Log R R R q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 7

72 Unità Logaitmiche dbm e dbµv Consideando come gandee di ifeimento le seguenti: P V [ mw] [ µ V ] [ ] P[ db ] P db dove: mw Log Log m [ ] 3[ W ] P W Log ( P[ W ]) 3Log( ) Log( P[ W ]) ( P[ W ]) P[ dbw] Log 3 ( P[ W ]) Log( ) 3 [ ] P db µ V V Log 6 Log V dove: Log V [ V ] Log V 6 ( ) Log( ) ( ) Log( ) Log( V ) ( ) P[ dbv] q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 7

73 Unità Logaitmiche dbm e dbµv Le elaioni ecipoche sono : [ ] 3 Log( P[ W ]) P db P m [ db ] 3 Log P[ W ] m ( ) P[ W ] P[ dbm ] [ ] P W ( 3) / P [ db ] 3 P[ db ] m m 3 [ db ] P 3 m [ ] Log( V ) P db µ V P [ dbµ V ] Log( V ) ( ) P[ dbµ V ] [ ] P V / P [ dbµ V ] P[ dbµ V ] 6 P[ dbµ V ] 6 q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 73

74 Unità Logaitmiche: passaggio da dbµv a dbm da: P V R V PR V PR / 6 [ ] Log Log Log( PR) Log( ) P db µ V Log 6 ( PR) Log( P[ W] ) Log( R) [ ] P W Log 3 3 [ ] Log( R) P dbm 6 Log ( R) 3 [ ] P W Log 3 Log ( R) Log( 3 ) se R 5Ω alloasi ottiene: [ ] P[ dbm] Log( 5) 3 P[ dbm] P db µ V [ ] P[ dbm] 7 P db µ V 7 3 q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 74

75 Unità Logaitmiche: passaggio da dbµv a dbµv/m È necessaio intodue il fattoe di antenna K petanto consideando un onda incidente su un antenna collegata ad un caico L come in figua si ha: i (µv/m) Dipolo i campo elettico incidente L (Ω) V L (µv) Caico V L tensione ai mosetti di antenna chiusa su un caico specifico Pe definiione l Antenna Facto (AF) che si misua in [m - ] è dato da: AF i V i L [ ] - ( m AF dbm ) [ ] [ ] ( dbµ V / m V dbµ V AF dbm ) L Log i V [ µ V / m] [ µ V ] L i [ dbµ V / m] V [ dbµ V ] L q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 75

76 Unità Logaitmiche: passaggio da dbm a dbµv/m Il passaggio è immediato utiliando le elaioni già viste: i [ dbµ V / m] P[ dbm] 7 AF( dbm ) [ db V / m] P[ dbm] 7 AF ( dbm ) i µ V Log m 6 V Log m V m 6 6 P [ dbm] 7 AF ( dbm ) V m i 6 [ V / m] ( [ ] ( )) P dbm 7 AF dbm 6 P [ dbm] 7 AF ( dbm ) / P [ dbm] 7 AF ( dbm ) q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 76

77 Unità Logaitmiche: passaggio da dbm a dbµv/m Alla elaione pecedente si aiva anche mediante i seguenti passaggi: sia δ è la densità di potena geneata dall antenna tasmittente in un punto a distana d Pt Gt δ 4 π d In condiioni di campo lontano cioè pe un onda piana tale densità di potena è anche uguale a: δ η η è l impedena caatteistica del vuoto, λ è la lunghea d onda del segnale utile, P è la potena icevuta dal icevitoe nel punto consideato (W), G è il guadagno del icevitoe, feq è la fequena in H moltiplicando la densità di potena pe l aea efficace dell antenna icevente si ottiene si ottiene la potena icevuta: P δ Aeff. q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 77

78 Unità Logaitmiche: passaggio da dbm a dbµv/m si sa che l aea efficace di un antenna è legata al suo guadagno attaveso la seguente elaione: λ A eff. G 4 π sostituendo tale valoe nell espessione della potena icevuta si ha P δ λ λ G G 4 π η 4 π invetendo la elaione si ottiene: η P 4 π λ G q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 78

79 Unità Logaitmiche: passaggio da dbm a dbµv/m Dal momento che esiste una elaione che lega l Antenna Facto al guadagno si può scivee: AF λ η4π R G adiaione RX G RX λ R η4π adiaione AF sostituendo G RX nell'espessione del campo elettico si ha : η P 4π λ G λ η P 4 π η4π R AF λ adiaione R P adiaione AF AF P R adiaione miuato in W V m / A V A V m / A [ V / m] V / m 6 µ V m AF P R adiaione 6 V Log / m 6 Log AF P R adiaione 6 q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 79

80 Unità Logaitmiche: passaggio da dbm a dbµv/m [ µ V / m] db Log( AF) Log(P[ W]) Log( R adiaione ) Log 6 Log( AF) Log(P[ W] 3 3 ) Log( R adiaione ) Log( AF) P[ dbm] Log( 3 ) Log( R adiaione ) Log( AF) Log( AF) P[ dbm] 3 Log(5) P[ dbm] 7 [ ] P[ dbm] 7 AF dbm q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 8

81 Tatta adio Una tasmissione adio può essee schematiata mediante i seguenti blocchi fondamentali: TRATTA RADIO G G Mu Mo T A L A F A L R De Mu A A A T Mu: multiple A T : attenuaione complessiva di tatta hetiana Mo: modulatoe RF A: attenuaione di tatta T: tasmettitoe A : attenuaione fondamentale di tasmissione R: icevitoe A L : attenuaione delle connessioni di antenna De: demodulatoe A F : attenuaione aggiuntiva di fading G, : guadagno di antenna q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 8

82 Tatta adio: tasmissione in spaio libeo Pe la pate adio, l attenuaione complessiva di tatta hetiana si tova mediante la seguente: A A (G G ) AL AL AF ( db) T La pate di tatta che compende antenna tasmittente ed antenna icevente caatteia la tasmissione nello spaio che ipotiiamo essee spaio libeo icevitoe W RB tasmettitoe Θ B,Ф B R(B) W TA T(A) Θ A,Ф A W TA : potena tasmessa in ingesso all antenna A W TB : potena icevuta in uscita dall antenna B G(Θ,Ф): guadango delle antenne ispetto alla dieione di massima adiaione q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 8

83 Tatta adio: tasmissione in spaio libeo Su suppongono soddisfatte le seguenti ipotesi: Campo lontano (cioè distana > d /λ con ddimensione maggioe lineae dell antenna) Adattamento dei caichi ( in quanto si vuole il ma tasfeimento di potena sena effetti di potena iflessa) Adattamento di polaiaione (pe evitae pedite di potena dovute a polaiaione divesa delle ta tasmissione e iceione) WTA PB G densità di potena [ W/m ] icevuta a distana " " da A A(ΘA,ΦA ) 4π W RB P B A eff B(Θ B,Φ B ) potena [ W] ai mosetti dalla antenna dalla elaione che lega aea efficace al guadagno di antenna si ha : B A eff B(Θ B,Φ B ) 4π di conseguena la potena icevuta ai mosetti dell'antenna B G B(Θ B,Φ B ) λ è : W RB P B G B(Θ B 4π,Φ B ) λ W 4π TA G A(Θ A,Φ A ) G B(Θ B 4π,Φ B ) λ q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 83

84 Tatta adio: attenuaione fondamentale di tatta Petanto si ottiene l equaione di FRIIS: W W RB TA λ 4π G A(Θ,Φ A A ) G B(Θ,Φ B B ) l attenuaione fondamentale di tatta A di spaio libeo è: A W W TA RB 4πf c G G A B A W W TA RB c f A eff A A eff B pe antenneadapetual'aeaeffettivaè A eff η A geometica.5 η.75 q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 84

85 Tatta adio: attenuaione fondamentale di tatta spimendo l equaione di Fiis in decibel si ottiene: W ( db) W RB ( dbm) W TA ( dbm) Log 4 λ π G A(Θ A,Φ A ) ( db) G B(Θ B,Φ B ) ( db) Log Log c f 47,6 Log Log ( 4π ) () c Log( f ) Log( 4π ) Log( ) ( f ) Log( ) G G A(Θ A(Θ A A,Φ,Φ A A ) ) ( db) G ( db) G B(Θ G B(Θ,Φ A(Θ B B,Φ A B B,Φ ) ( db) ) A ) ( db) G ( db) B(Θ B,Φ B ) ( db) con : f [ m] [ H] q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 85

86 Tatta adio: attenuaione fondamentale di tatta In condiioni eali all attenuaione fondamentale di tatta A l attenuaione dovuta a fading (evanescena) A F : va aggiunta A A A ( db) con: A F F iflessione ifaione difaioneda ostacoli depolai assobimen aione to q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 86

87 Ionosfea Note sulla popagaione dei segnali adio q di Mawell, Popagaione adio, Mateiali conduttoi e dielttici 87

88 ionosfea La ionosfea è uno stato (con caatteistiche dispesive pe i segnali adio) dell atmosfea localiato nella egione compesa ta 7Km e Km sopa la supeficie teeste. Tale stato è così chiamato a causa dell elevato numeo di elettoni libei e di molecole ioniate (caiche positivamente) fomatesi a causa della adiaione poveniente dal sole; tali paticelle finiscono pe icombinasi, con velocità di icombinaione tanto maggioe quanto più è denso il gas ioniato. Il isultato è all equilibio, la pesena di un ceto numeo di elettoni libei e ioni. All aumentae della densità dell atmosfea, penetando quest ultima a patie dalle quote più elevate, la densità di ioniaione N (numeo di elettoni libei pe meto cubo) aumenta fino a aggiungee un massimo pe poi diminuie, sia pe la diminuione dell intensità delle adiaioni dovuta all assobimento nell attavesae l atmosfea, sia pe l aumento della velocità di icombinaione povocato dalla maggioe densità atmosfeica. La egione in cui il valoe di N è appeabile è detta appunto ionosfea. La densità di ioniaione N in funione della quota non pesenta un solo massimo ma più massimi elativi in coispondena dei quali si dice esistee uno stato ionosfeico Sia la quota che i valoi dei massimi di N, come il loo numeo, dipendono da vai fattoi, come la latitudine, l oa del giono, la stagione, il ciclo solae (con peiodo di anni). Si può comunque stabilie l esistena duante il giono di almeno quatto stati: stato D(h8 Km), stato (h Km), stato F (h Km), stato F(h3 Km) q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 88

89 Popagaione ionosfeica Si assumano le seguenti ipotesi: Plasma: Paticelle negative: Paticelle positive: Paticelle neute: è costituito da un insieme di paticelle caiche e neute; caiche e caiche ; elettoni podotti pe ioniaione dalla adiaione ultavioletta, dai aggi X del sole e dai aggi cosmici atomi ioniati atomi non ioniati La ionosfea è caatteiata dalla densità N di elettoni libei in funione dell altea sul livello del mae. Viene studiata pe stati (C,D,,F,F): Quota elevata: la adiaione ioniante è elevata, il gas è molto aefatto (il valoe di N è basso) Quota intemedia: vi è il miglioe appoto adiaione pessione atmosfeica (il valoe di N è massimo) Quota bassa: adiaione minima ( N diminuisce) q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 89

90 Popagaione di un onda.m. nel plasma Si assume un modello FLUIDODINAMICO: il plasma non più visto come un insieme disceto di paticelle, ma un continuo di paticelle caatteiato da gandee medie (N: numeo di paticelle pe unità di volume) Ipotesi:. Plasma feddo: cioè si tascuano gli effetti della pessione;. Assena di attito: non vi sono pedite dovute a collisioni, il tal caso la costante dielettica è eale, altimenti dovemmo consideae un coefficiente che tiene conto del numeo di collisioni pe unità di volume e pe unità di tempo e la costante dielettica saebbe complessa com ein un meo con pedite. 3. Foe tascuabili: gavità, in quanto le foe di tipo elettico sulle caiche stesse dovuta alla pesena dell onda.m nel plasma è sicuamente molto più gande ispetto alla foa di gavità che agisce sulla caica stessa. Inolte si tascua la mutua attaione ta le caiche, nel senso che si suppongono sufficientemente lontane da tascuae questo tipo di foa columbiana. q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 9

91 Popagaione di un onda.m. nel plasma. Solo gli elettoni si muovono: cioè gli ioni positivi molto più pesanti non si muovono sotto l effetto del campo.m. infatti il appoto ta massa di un potone e di un elettone è 836. Una molecola essendo costituita da tanti potoni e neutoni è sicuamente più pesante ispetto all elettone stesso ed alloa l accelleaione che subisce un elettone saà odini di gandea più elevata ispetto a quella subita dalla molecola stessa, tale da consideae paticamente feme le molecole ispetto all elettone stesso. m m potone 3 elettone Kg 836 Kg q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 9

92 Caatteiaione del plasma Si consideino le seguenti: N caiche pe unità di volume q caica della paticella [C] v velocità della paticella [m/s] m massa della paticella [Kg] Nq densità di caica [C/m 3 ] NqV densità di coente [A/m ] : elettoni messi in movimento dalla pesena delle onde ettomagnetiche e petanto il fenomeno è quantificabile tamite una densità di coente. Nm densità di massa delle paticelle [Kg/m 3 ] Consideiamo la tea e quata equaione di Mawell: v v H v III ) µ IV ) H NqV t t Consideiamo la legge di Newton cioè foa uguale massa pe acceleaione: v F d ( NmV ) ( v Nq µ V H ) densità di foa di Loen dt t q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 9

93 Caatteiaione del plasma Consideiamo l equaione di continuità della caica che non è utiliata ma è ipotata pe completea: ρ J t Nq t ( NqV ) Sono equaioni non lineai in N,V,H!!! Nel senso che vi sono podotti di vaiabili dipendenti, ad esempio H è moltiplicato pe la velocità che a sua volta dipende dal cmpo e.m. indotto dall onda estena. pe isolvee tali equaioni si può icoee ad una lineaiaione facendo l ipotesi di piccoli segnali ovveo ad una situaione di equilibio con piccole vaiaioni dovute all inteaione del plasma con il campo elettomagnetico.m. Sostanialmente il citeio di lineaiaione si basa su uno sviluppo in seie di queste gandee: q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 93

94 Caatteiaione del plasma N N è la densità media di paticelle in assena di campo elettomangetico è la petubaione dovuta alla pesena del campo elettomagnetico Lo stesso pe le alte gandee: N V v H N V v H N V v H con : con : con : N V v H densità media delle paticelle ; eventuale velocità impessa da un movimento iniiale delle caiche; campo ( campo magnetico statico impesso magnetico teeste ); q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 94

95 Caatteiaione del plasma Segue che sostituendo i temini alle vaiaioni si possono semplificae in quanto sono piccoli ispetto agli alti; supponiamo inolte che siamo in uno stato di quiete cioè che non ci sia velocità di diift delle paticelle cioè V e che H sia il campo magnetico teeste costante: NV N N V V N V N V N V N V N V v N ( )( ) N v v N N v v v v NV H ( N V N V N V N V ) ( H H ) v v v v NV H N V H N V H N V H v v v v NV H N V H NV H N V H v N V H con v N, H costanti in tutto lo spaio V N, V piccole vaiaioni q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 95

96 q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 96 Caatteiaione del plasma Inolte dall ipotesi di lineaiaione isulta che la vaiaione di V funione dello spaio e del tempo si iduce ad una funione solo del tempo: t V V V V V V V t V dt dv t V V v v v v v v v ),,, ( Tascuabile pe lineaiaione Alla luce della lineaiaione le equaioni dell inteaione Campo-Plasma sono: t V q N t NqV t H IV t H III v v v ) ) µ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) H V qn q N H V q N H V Nq dt V d m N dt V m V N N d dt NmV d F v v v v µ µ µ

97 Caatteiaione del plasma Rappotandoci ai fasoi pe un onda sinusoidale, ovveo icodando che : d dt e ωt ω e ωt Alloa le equaioni dell inteaione Campo-Plasma sono: III) IV ) Legge di Newton ) v v H v µ ωµ H t v H Nq V N t v ω m V q qµ V H q V ω Dalla eq di Newton si icava V che sostituito nelle alte equaioni dei otoi pemette di icavae e H. q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 97

98 q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 98 Caatteiaione del plasma B B H ˆ µ µ Ipotesi : Cioè il campo magnetico teeste è costante ed è dietto lungo l asse ; segue che: V qb V m H V q V m q v ˆ Newton ) di Legge µ ω ω Annotaione: ( ) ( ) [ ] V V V V V V V V V ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

99 q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 99 Caatteiaione del plasma [ ] V V V qb m q ˆ ˆ ˆ ω Segue che la legge di Newton può essee iscitta come: [ ] V V V qb V V V m q ˆ ˆ ˆ ω Ovveo: V V V qb qb m m m q ω ω ω

100 q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici Caatteiaione del plasma [ ] q A V v q m m qb qb m V V V V V V m m qb qb m q ω ω ω ω ω ω 3 3 b a a ab b a a b a b a a ab b a ab a a a b b a Segue che la legge di Newton può essee iscitta come: Ovveo: Annotaione: ω ω ω ω c m qb a b qb b m a a b a b a b a b a a a b b a con :

101 q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici Caatteiaione del plasma [ ] q A V v c c c c m q m m qb qb m q V V V ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω La quantità : èla pulsaione di ciclotone Alla luce delle annotaioni fatte il vettoe velocità diviene: m qb c ω

102 q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici Caatteiaione del plasma V q N H IV v ) ω Poiché dalle eq di Mawell si ha: Alloa sostituendo il temine tovato pe la velocità si ottiene: m N q H IV c c c c v ) ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω

103 q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 3 Caatteiaione del plasma Alloa sostituendo il temine tovato pe la velocità si ottiene: m q N m q N m q N m q N m q N m q N H IV c c c c c c c c c c c c v ) ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω

104 q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 4 Caatteiaione del plasma Ponendo: H IV m q N p c p c c p c c p c p p v ) ha : plasmaalloasi comela pulsaionedi ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω Tensoe di pemittività

105 q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 5 Caatteiaione del plasma tà. pemittivi tensoe di ~ ~ ω con H Petanto l equaione di Mawell diviene: Gli elementi fuoi dalla diagonale pincipale del tensoe pemittività non sono nulli e si dimosta in tal caso che il meo (plasma) è anisotopo, l anisotopia nasce dal fatto che vi è la pesena di un campo magnetico esteno quello teeste. Poste le quantità: ; ; ; 3 ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω p c c p c p

106 q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 6 Caatteiaione del plasma Alloa le equaioni di Mawell nel plasma divengono: H IV H III H B II D I 3 3 ) ) ) ~ ) ω ωµ ρ

107 Caatteiaione del plasma Fequena di ciclotone: f c qb.3 π m MH 9 q.6 C 4 B.46 Wb 3 m 9. Kg / m ( nosta latitudine ) Fequena di plasma: f p π Nq m 9 N MH ( se l' angolod' incidena è di ) N elettoni/ m 3 q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 7

108 q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 8 Caatteiaione del plasma Facendo l ipotesi di lavoae a fequene f >> f c il tensoe di pemittività si può appossimae ad una matice diagonale in cui tutti i temini sono uguali. L onda.m. vede petanto un meo isotopo caatteiato da una ceta fequena di taglio che è detta fequena di plamsa ed il tensoe di pemittività diviene uno scalae che è la costante dielettica elativa. f f f f f f H IV p p p p c p c c p c c p c p v ) ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω

109 q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 9 Caatteiaione del plasma f f H IV p v ω ω ) L equaione di Mawell petanto è: La costante di fase pe la popagaione delle onde piane nel plasma unifome dipende dalla fequena in modo non lineae ed il meo ionosfeico è petanto dispesivo. velocitàdi fase u f f K f f f f n f n f n n n c f u p p µ π µ ω µ π µ π µ π β λ π π ω β

110 Caatteiaione del plasma Se f < f p β diviene immaginaia e non si ha popagaione attaveso la ionosfea: l onda elettomagnetica iflessa dalla ionosfea itona a tea attenuata. ( β ) e β e attenuaione delsegnalelungola dieione di popagaione ẑ Se f > f p β diviene eale e l onda pefoa la ionosfea e non ienta a tea: ( β ) β e e popagaione delsegnalelungola dieionedi popagaione ẑ q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici

111 Caatteiaione del plasma Se f < f p, l onda.m. vede un caico eattivo e viene iflessa, non si tatta di pedite in quanto si è esclusa la pesena di collisioni, la collisione ta elettoni e molecole è un meccanismo di pedita peché l enegia cinetica acquistata viene pesa come enegia assobita. Nel caso di iflessione, il appoto ta campo elettico e campo magnetico da un impedena immaginaia, come un una guida d onda sotto la fequena di taglio che nella ionosfea è la fequena di plasma. Se f > f p β diviene eale e l onda pefoa la ionosfea e non ienta a tea: V fase Se ff p l indice di ifaione si annulla è la Velocità di fase tende ad infinito c µ f plasma f q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici

112 Caatteiaione del plasma Nel caso si voglia sfuttae la iflessione ionosfeica alloa f < fp. Il gafico è ipotato pe un onda che viene lanciata veticalmente, nomalmente tuttavia l onda viene lanciata ad una ceta inclinaione che è funione della distana che si vuole aggiungee. Il lancio obliquo iduce il limite stingente sulla massima fequena usabile che diviene cica 3 o 4 volte la f p ionosfea f < f p f > f p Tea q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici

113 q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 3 Caatteiaione del plasma pe le velocità di fase e di guppo si ha: and ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω µ π ω ω β β ω µ µ µ µ µ µ π π β ω p p p p p p g p p p p c c d d c f f f d d d d d d u n c c c u f f c f f f f u La velocità di fase non ha un significato fisico in quanto ad essa non è associato nessun taspoto di enegia o contenuto infomativo del segnale, dalla fomula si nota che può essee anche supeioe alla velocità della luce c. La velocità di guppo non è mai maggioe della velocità della luce ed è con tale velocità che si popaga il segnale associato all onda.m. Dall equaione si nota che all aumentae di ω la velocità di guppo u g aumenta. Di conseguena le fequene più alte viaggiano più velocemente nella ionosfea.

114 Caatteiaione del plasma Ipotesi:. Dieione di popagaione lungo l asse longitudinale, cioè paallela alla dieione del campo di induione magnetica esteno B. Le popietà di popagaione ionosfeica vengono appesentate bene da questa ipotesi. scopo:. Deteminae la costante di popagaione β cioè vedee come un onda elettomagnetica si popaga all inteno della ionosfea e H H e dove, t t β, H β, H con con cost t H t ˆ ˆ H ˆ H ˆ Fonte d onda piano t H t H H q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 4

115 q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 5 Caatteiaione del plasma H IV H III 3 ) ) ω ωµ ( ) ( ) ( ) ( ) t t t e H H e e e e e β β β β β β β β β ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Sostituendo nelle equaioni di Mawell si ha: Sostituendo nelle equaioni di Mawell tovate pe il plasma: t t H e H e β β

116 q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 6 Caatteiaione del plasma Consideando le componenti tasvesali ( ONDA T..M.) e sostituendo la III nella IV equaione si ha: ( ) ( ) ( ) ( ) t t t t t t t H IV H H III ˆ ˆ ˆ ) ˆ ˆ ) ω ωµ β β β ωµ β ωµ β ( ) ( ) t t t t e e H H IV e H e III β β β β ω β ωµ β 3 ˆ ) ˆ )

117 q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 7 Caatteiaione del plasma ( ) [ ] [ ] ) ) ma lo scalaeè - ) ma ˆ ˆ - ) t t t t t t t K K K K IV K K K K IV K IV K IV β β β β β β β β β µ ω µ ω β

118 q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 8 Caatteiaione del plasma Una soluione mediante gli autovaloi della matice si tova ponendo il deteminante della matice uguale a eo: ( ) ( ) ( ) ± ± det β β β β β β β K K K K K K K K K K K Petanto si hanno due possibili costanti di popagaione.

119 q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 9 Caatteiaione del plasma ( ) ( ) ) t K K K K K K K K K K K K IV β β β β β β Pe deteminae il tipo di polaiaione che l onda che attavesa il plasma ottiene, è sufficiente tovae le elaione ta le componenti tasvese del campo elettico ovveo gli autovettoi della matice: Consideando pe esempio la pima delle eq. ottenute e sostituendo le due costanti di popagaione β e β - tovate si ottiene: ( ) ( ) K K K K β β

120 q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici Caatteiaione del plasma Segue che: Petanto un campo elettomagnetico tasveso che si popaga nel plasma è caatteiato dall avee una polaiaione cicolae in un senso o nell alto a seconda dell autovaloe β con la quale si popaga ( ) ( ) K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K β β Polaiaione cicolae In un caso le componenti del campo sono uguali in ampiea e sfasate di 9, nell alto caso sono uguali in ampiea e sfasate di - 9

121 popagaione onda T..M. nel Plasma qualitativamente la polaiaione cicolae che vede la otaione dei vettoi campo elettico e di quello magnetico H si può immaginae come disegnato: H Fonte d onda piano q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici

122 Onda polaiata lineamente nel Plasma Un campo.m. polaiato lineamente sul piano può essee lanciato da un antenna filifome. Si supponga che il campo elettico sia polaiato su tale piano lungo la dieione, questo campo può essee visto come la somma di due onde polaiate cicolamente in modo tale che le due componenti lungo la dieione si elidano. petanto si può immaginae come la somma di due vettoi contootanti e tali che la loo composiione vettoiale dia un campo elettico sempe polaiato lungo l asse con delle componenti oiontali che si elidono e delle componenti veticali che si sommano lungo la dieione. β β ˆ ( ˆ ˆ) ( ˆ ˆ e ) e sulpiano / / β - β q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici

123 Onda polaiata lineamente nel Plasma Nel plasma ionosfeico è stato detto nelle ipotesi iniiali che si consideano solo le caiche appentate dagli elettoni q.6* -9 C,. quando l onda elettomagnetica investe la ionosfea, la caica q è sottoposta al campo elettico, petanto esisteà una foa di Loent che agisce sulla caica nella dieione del campo: F qˆ. è pesente anche il campo magnetico B teeste, e dal momento che la caica è accelleata ed acquista una veloctà V alloa sulla caica stessa si eseciteà anche la foa di Loent dovuta al campo magnetico esteno: F v qv B che è un foa dietta otogonalmente sia ad F (podotta da ) sia a B, petanto il movimento isultante sul piano tasveso saà otatoio mente più in geneale desciveà una spiale q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 3

124 Onda polaiata lineamente nel Plasma F q ˆ F v qv B B Moto a spiale lungo l asse In un caso la otaione della caica saà solidale con la otaione del campo elettico in una delle due polaiaioni, e nell alto caso saà contootante. Pendiamo in consideaione solo il campo magnetico teeste in quanto nella lineaiaione si è fatta l ipotesi di piccoli segnali, petanto le foe di Loent dovute al campo magnetico dell onda incidente sono tascuabili. q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 4

125 q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 5 Onda polaiata lineamente nel Plasma Dopo un tatto di lunghea l di cammino pecoso dall onda lineamente polaiata si ha: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ˆ sin ˆ cos ˆ sin ˆ cos ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ - ˆ ˆ ˆ dopoun tatto ˆ ˆ ˆ ˆ Φ Φ Φ e l l e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e l e e l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l β β β β β β β β β β β β β β β β β β β β β β β β β β β β β β β β β β β β β β β β

126 Onda polaiata lineamente nel Plasma Dopo un tatto di lunghea l di cammino pecoso dall onda lineamente polaiata si ha: e ( β β ) l e Φ e Φ β è il itado di fase lungo ˆ Φ l ( β β ) vaia in funione della distana pecosa l Dopo un tatto l si ha ancoa un onda polaiata lineamente in quanto le componenti in e sono in fase (non compae il davanti al seno) ma hanno ampiee diffeenti date dal valoe del coseno e del seno di Ф ispettivamente. Il itado di fase è la media delle costanti di popagaione pe la lunghea l pecosa q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 6

127 Onda polaiata lineamente nel Plasma Si è ottenuto che il campo elettomagnetico si tova ad oscillae su un nuovo piano di polaiaione che foma con l asse un angolo pai a: l θ actg actg - tg β ( β β ) ( ) β Petanto l onda.m. mente si popaga lungo all inteno del plasma ionosfeico, cambia il piano di polaiaione. Tale otaione che si ha anche in alti mei anisotopi come le feiti, è chiamata Rotaione di Faada. Tale otaione non esisteebbe se non fosse pesente il campo magnetico teeste. l θ θ q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 7

128 Onda polaiata lineamente nel Plasma Conseguene della Rotaione di Faada: L onda polaiata lineamente si divide in due onde polaiate cicolamente (aggio odinaio e aggio staodinaio) con taiettoie diffeenti e divesi indici di ifaione: Se il plasma avesse delle popietà tutte costanti alloa l onda.m. cambieebbe semplicemente il piano di polaiaione Putoppo la ionosfea non è una stuttua a densità di caica costante, i due indici di ifaione e le due costanti di popagaione vaiano in modo diveso in funione della quota, come conseguena l onda polaiata lineamente si suddivide in due onde polaiate cicolamente ognuna della quali subisce un popio destino Gli indici di ifaione sono n ( ).5 e n - ( - ).5. Tali indici di ifaione sono funione della quota, ovveo si ha una statificaione dell indice di ifaione che povoca la cuvatua del aggio singolo, i due aggi hanno cammini e destini diffeenti in funione della quota. Di conseguena l onda è completamene alteata nella popagaione all inteno della ionosfea e genealmente pede completamente le caatteistiche di polaiaione lineae L onda polaiata lineamente, dopo ifaione ionosfeica pesenta in geneale una polaiaione ellittica : q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 8

129 Onda polaiata lineamente nel Plasma Conseguene della Rotaione di Faada: N(h) Raggio odinaio Raggio staodinaio Polaiaione iniiale lineae q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 9

130 Onda.M. nel plasma, condiione di iento a tea Si vuole analiae la condiione pe il iento a tea di un onda.m. lanciata obliquamente, ispetto al piano tangente alla sup. teeste, nella ionosfea. Si supponga che la ionosfea sia un meo statificato in cui ogni stato è caatteiato da un indice di ifaione vaiabile con la quota. Negli stati bassi dell atmosfea si suppone un indice di ifaione unitaio, l indice di ifaione pe gli alti stati, tovato pecedentemente è funione della quota (h) e quindi dello stato peso in consideaione: n( h) c v fase 8.6 N( h) f f p f Nq m f Nq m f la velocità di fase cesce all aumentae della densità N pe ogni fequena f, l indice di ifaione n decesce all aumentae della densità N quando n si annulla l onda viene iflessa pe disadattamento del caico Pe ogni quota a cui coisponde una ceta densità N si ha che maggioe è la fequena f, più è possimo ad l indice di ifaione n, cioè l onda elettomagnetica tende a popagasi come se fosse nel vuoto, cioè pefoa la ionosfea. q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 3

131 Onda.M. nel plasma, condiione di iento a tea Immaginando di inviae un segnale da tea veso il satellite, e supponendo che la taiettoia iniiale sia veticale, alloa iniialmente il segnale inconteà stati dell atmosfea nei quali N e quindi la popagaione avveà come nel vuoto in modo ettilineo. All aumentae della concentaione N con la quota, si avà che la velocità di fase v f cesce ed n decesce, quindi il segnale passa attaveso egioni con indice di ifaione più piccolo e ciò poduce un aumento dell angolo fomato ta la veticale e la dieione di popagaione. L indice di ifaione si annulla quando: N q f f n p m f questa espime la condiione di iflessione del segnale che non si popaga in avanti, di conseguena pe ogni N e quindi pe ogni quota, esiste una fequena f c o fequena citica che espime la massima fequena che può essee iflessa, pe esempio egione D dove N 3 /cm 3 si ha f c 8 KH egione F dove N 6 /cm 3 si ha f c 3 Mh q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 3

132 Onda.M. nel plasma, condiione di iento a tea Un modello statificato di indice di ifaione è adatto pe applicae la legge di Snell, supponendo la popagaione pe aggi si ha petanto: n( h) senφ( h) n() senφ ( ) hp : n() n( h) senφ( h) senφ ( ) Φ( h) senφ acsen n( h) ( ) q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 3

133 Onda.M. nel plasma, condiione di iento a tea Aumentando la quota h aumenta la densità N di elettoni fino a aggiungee una quota h ma in coispondena della quale si ha la massima densità N ma, dopodichè N tende di nuovo a diminuie. Se N aumenta, alloa dalla espessione dell indice di ifaione si vede che l indice di ifaione n si iduce, cioè si passa da un meo più denso ad uno meno denso di conseguena l angolo Ф con la veticale aumenta e la taiettoia del aggio si inclina veso il basso. h Ф(h i ) Ф(h n ) Ф() q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 33

134 Onda.M. nel plasma, condiione di iento a tea Si possono analiae oa due casi: f < f p e f > f p ) f < f p alloa l onda e.m. vede sempe un caico puamente eattivo e quindi l onda comunque itona veso tea. Il valoe dell indice di ifaione n(h) petanto aggiunge sempe il valoe eo ad una quota infeioe a quella pe cui si ha il massimo valoe di N(h)N ma cioè nn min. Di conseguena esisteà sicuamente una quota dove il aggio è oiontale cioè Фπ/. L onda in coispondena di tale punto viaggia oiontalmente pe poi ientae a tea in quanto continuando a salie tale angolo aumenta ancoa. Se ienta veso tea un onda lanciata veticalmente a maggio agione ienta un onda lanciata obliquamente. q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 34

135 Onda.M. nel plasma, condiione di iento a tea ) f >f p Se l onda fosse lanciata veticalmente pefoeebbe la ionosfea. Dal momento che l onda viene lanciata obliquamente alloa la condiione di iento a tea cioè onda viaggiante oiontalmente Фπ/ deve veificasi ad una quota minoe alla quota dove si aggiunge la massima densità N ovveo il minimo indice di ifaione n. Infatti in ogni stato l onda subisce una deflessione in quanto l indice di ifaione è via via decescente, e quindi aumenta l angolo di popagaione, si hanno i seguenti casi: Se non aggiungo la popagaione oiontale pima che n divenga minimo alloa in coispondena di stati supeioi a quello con n minimo, l angolo di deflessione si iduce di nuovo peché si invete la tendena di n, ed in tal caso l onda non ienta più a tea. h Ф(h n ) n minimo Ф() Ф(h i ) n massimo q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 35

136 Onda.M. nel plasma, condiione di iento a tea Se l onda aggiunge la popagaione oiontale pima che si aggiunga la quota dello stato con n minimo alloa, continuando a salie, l indice di ifaione si iduebbe ulteiomente pechè lo stato supeioe è maggioe densità e quindi l angolo aumenta ancoa e l onda ienta veso il basso. n minimo Ф(h n ) h Ф(h i ) Ф(h) aumenta n massimo Ф() modello a aggi delle onde elettomangetiche ed applicaione della legge di Snell q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 36

137 Onda.M. nel plasma, condiione di iento a tea Dalla legge di Snell segue : n( h) senφ( h) n() senφ ( ) hp: n() Φ( h M ) π / h M deve essee infeioe alla quota pe cui nn min n( h M ) sen ( π / ) senφ( ) ssendo n min pai a: n( h M ) senφ ( ) nmin n 8N f f f ma p min senφ() f f p q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 37

138 Onda.M. nel plasma, condiione di iento a tea: massima fequena usabile La massima fequena usabile è pai a: senφ() f f p sen Φ() f f p -sen Φ() f f p cos Φ() f f p f ma cos f p Φ() Maimum Usable Fequenc La fequena di lavoo deve essee minoe della f ma al fine di ottenee il iento a tea. La f ma dipende dalla fequena di plasma e dall angolo di incidena, quando l angolo di incidena è nullo la massima fequena usabile diviene minoe di quella di plasma, qualoa invece l onda e.m. incida obliquamente la fequena usabile può essee maggioe della fequena di plasma q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 38

139 Onda.M. nel plasma, condiione di iento a tea: massima fequena usabile La fequena di lavoo deve essee la più elevata possibile pe : idue le pedite Ridue la dispesione Ridue l anisotopia che dipende dalla fequena di ciclotone, petanto più la fequena è maggioe della fequena di ciclotone tanto più idotta è l anisotopia del plasma. q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 39

140 Onda.M. nel plasma, condiione di iento a tea: massima fequena usabile: esempio di onda adente Si supponga di lanciae un onda elettomagnetica tangenialmente ispetto alla supeficie teeste; Si deve tenee pesente la cuvatua della supeficie teeste; Si supponga che la statificaione ionosfeica sia concentica ispetto alla cuvatua teeste L angolo di incidena è fomato ta la dieione di popagaione dell onda e la veticale della tea e vale: Φ acot ( h) senφ ( 637 Km 3 Km ) acsen R h 73 MUF senφ α ( 8 9 Φ) ( ) Km f p cos Φ 3.5 f p T 9 α Ф h R q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 4

141 Onda.M. nel plasma, condiione di iento a tea: massima fequena usabile: esempio di onda adente Questo è il motivo peché Maconi fu fotunato nel suo espeimento di comunicaione ta l Inghiltea e l isola di teanova: lavoò a fequene sufficientemente basse pe sfuttae questo fenomeno di ifaione ionosfeica. La cosa non saebbe avvenuta se avesse utiliato delle fequene dell odine di quelle usate da Het nei suoi espeimenti in cui dimosto la veidicità delle equaioni di Mawell veificando l esistena delle onde elettomagnetiche. L espeimento di Maconi getto in subbuglio il mondo scientifico di alloa in quanto Het aveva dimostato che l onda elettomangetica esisteva e si popagava in linea etta; Maconi con il suo espeimento mostò che le onde elettomagnetiche appaentemente seguivano la supeficie teeste in quanto lanciate con un ceto angolo eano aivate, seguendo la ionosfea in un alto punto della tea ispettando la cuvatua teeste invece di poseguie in modo ettilineo. Heaviside fu uno dei pimi a suppoe che ci fosse qualche cosa nell atmosfea che spiegasse il compotamento delle onde elettomagnetiche che vi si popagavano q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 4

142 Onda.M. nel plasma, ionogammi Può essee comodo definie aniché una cuvatua ad opea della ifaione degli stati della ionosfea, una cuvatua dovuta alla iflessione totale degli stati. Sena ulteiomente appofondie tale metodo di calcolo di tatta, si mette tuttavia in evidena la possibilità di definie l altea vituale di ogni stato. Si immagini di lanciae l onda veticalmente con angolo Ф alloa se τ g è il tempo di itado di guppo, la quota vituale h vit e la densità degli elettoni N(h vit ) si detemina nel modo sotto: c τ g c τ g c τ g hvit cos( Φ ) cos( ) f p f p M. U. F f p cos( Φ ) cos( ) f p 9 N( h vit ) N( h vit ) f p 9 q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 4

143 Onda.M. nel plasma, ionogammi Utiliando vaie fequena da lanciae veticalmente si può isalie dal tempo di itado τ g di iflessione pe ogni fequena, coispondenti alla quota alla quale si tovano gli stati iflettenti. Dal momento che olte la fequena di plasma l onda pefoa la ionosfea e non ienta più a tea, alloa è possibile deteminae la fequena di plasma come la massima fequena tasmessa olte la quale il segnale non è più icevuto a tea. Una volta nota f p si può poi studiae la densità N di elettoni pesenti nei vai stati della ionosfea (ionogammi) In tale studio si fa l ipotesi che la velocità di popagaione nella ionosfea sia pai a quella della luce nel vuoto c, in ealtà tale velocità è più bassa. q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 43

144 Ionosphees The vetical stuctue of the ath ionosphee. The figue shows the main souce of ioniing adiation at each lae (D,, F,F), the main ionied species and the plasma densit n. Ma densit Tpical tempeatues of the ionospheic plasma: KT ev T. 66 K q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 44

145 Vetical Incidence Soundings (Ionogams) Ionogams ae ecoded tacings of eflected high fequenc adio pulses geneated b an ionosonde. Unique elationships eist between the sounding fequenc and the ioniation densities which can eflect it. As the sounde sweeps fom lowe to highe fequencies, the signal ises above the noise of commecial adio souces and ecods the etun signal eflected fom the diffeent laes of the ionosphee. These echoes fom chaacteistic pattens of "taces" that compise the ionogam. Radio pulses tavel moe slowl within the ionosphee than in fee space, theefoe, the appaent o "vitual" height is ecoded instead of a tue height. Fo fequencies appoaching the level of maimum plasma fequenc in a lae, the vitual height tends to infinit, because the pulse cosses the ionosphee and does not come back. The fequencies at which this occus ae called the citical fequencies Chaacteistic values of vitual heights (designated as h', h'f, and h'f, etc.) and citical fequencies (designated as fo, fof, and fof, etc.) of each lae ae scaled, manuall o b compute, fom these ionogams. Tpicall, an ionosonde station obtains one ionogam ecoding eve 5 minutes.. The esulting numeical values, along with the oiginal ionogams and station epots, ae achived at five Wold Data Centes (WDCs) fo Ionosphee. The National Geophsical Data Cente (NGDC), which is co-located with the Wold Data Cente fo Sola-Teestial Phsics, Boulde (WDC fo STP, Boulde), has assembled some 4, station-months of scaled digital Ionospheic vetical incidence paametes fom about 3 sites woldwide and offes them on CD-ROM q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 45

146 Definition of the Ionospheic Regions (Stuctues) Fo convenience, we divide the Ionosphee into fou boad egions called D,, F, and topside. These egions ma be futhe divided into seveal egulal occuing laes, such as F o F. D-Region: The egion between about 75 and 95km above the ath in which the (elativel weak) ioniation is mainl esponsible fo absoption of high-fequenc adio waves. -Region: The egion between about 95 and 5km above the ath that maks the height of the egula datime - lae. Othe subdivisions, isolating sepaate laes of iegula occuence within this egion, ae also labeled with an pefi, such as the thick lae,, and a highl vaiable thin lae, Spoadic. Ions in this egion ae mainl O. F-Region: The egion above about 5km in which the impotant eflecting lae, F, is found. Othe laes in this egion ae also descibed using the pefi F, such as a tempeate-latitude egula statification, F, and a low-latitude, semi-egula statification, F.5. Ions in the lowe pat of the F-lae ae mainl NO and ae pedominantl O in the uppe pat. The F-lae is the egion of pima inteest to adio communications. Topside: This pat of the Ionosphee stats at the height of the maimum densit of the F lae of the Ionosphee and etends upwad with deceasing densit to a tansition height whee O ions become less numeous than H and He. The tansition height vaies but seldom dops below 5km at night o 8km in the datime, although it ma lie as high as km. Above the tansition height, the weak ioniation has little influence on adio signals. q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 46

147 ionogams q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 47

148 ionogams q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 48

149 Ionosfea itado di popagaione nei segnali GPS Da Mawell si ha nel caso di segnali sinusoidali si ha: I) ρ II).M. nel plasma ionosfeico B III) dove ϑb ϑt ϑ e ϑt ωt ω e -ωµ H ωt ϑ ϑt ω IV) B H ϑ µ µ ϑt ϑ ϑt µ ωµ ω l equaione del moto pe un elettone libeo è: F ma q qu B F foa a cui e soggetta la paticella in moto 9 q.6 Coulomb caica elettone 3 con : m 9. Kg massa elettone u velocità della paticella campo elettico B campo di induione magnetica q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 49

150 Ionosfea itado di popagaione nei segnali GPS Si considei un gas ioniato o plasma in cui si popaghi un onda piana di pulsaione ω polaiata cicolamente. Tascuando l effetto del campo magnetico teeste, cosa possibile facendo l appossimaione di popagaione QL (quasi longitudinale) ovveo popagaione paallela al campo magnetico teeste, alloa l equaione del moto pe un elettone libeo si semplifica e diviene dipendente dal solo campo elettico: ma du m dt ωum q u q m ω Se N è il numeo di elettoni pe meto cubo (densità di elettoni), si ha dunque la seguente densità di coente J: J Nqu Nq q m Nq ω m ω q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 5

151 Ionosfea itado di popagaione nei segnali GPS La IV eq di Mawell diviene alloa: IV) H ω Nq m ω ω ω Nq m ( ω) ω Nq m ω ω ~ ~ 8.86 tensoe [ Faad / m] di pemittività c. dielettica ( è una vuoto matice che indica un meo anisotopo) Definita la fequena di ciclotone f c e la fequena di plasma f p come: f f c c qb π m.3 con : [ MH] q.6-9 B.46 3 m 9. 4 [ C] [ Wb / m ] [ Kg] (alla nosta latitudine) f f p p π Nq m [ MH ] 9 N con N [ e / m ] 3 q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 5

152 q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici f N f N n Il plasma ionosfeico è dunque un meo dispesivo con indice di ifaione n vaiabile con la fequena Se la fequena f è maggioe di f c alloa il tensoe di pemettività (matice) diviene uno scalae dipendente dalla fequena, ed il plasma da meo anisotopo diventa un meo isotopo: 8.6 ~ f N f N m q f f f m Nq m Nq p π π ω l indice di ifaione è petanto: la fequena di plasma è appunto quella fequena pe cui l indice di ifaione si annulla: [ ] MH m e N N f p / Ionosfea itado di popagaione nei segnali GPS

153 Ionosfea itado di popagaione nei segnali GPS L indice di ifaione n può essee espesso come si è visto: N n 8.6 n X 8. 6 f N f dove N è la densità di elettoni. Nel caso dell appossimaione QL (Quasi Longitidinal) X <<, quindi si può assumee ( pimo temine dello sviluppo in seie ): n p X 4.3 N f Alloa la diffeena di pecoso dovuto a itado ionosfeico è ottenuta da: R phase iono icevitoe Satellite icevitoe Satellite ( n p ) d 4.3 N f icevitoe Satellite 3 elettoni/ m 4.3 N ( f 4.3 d f elettoni/ m icevitoe elettoni/ m N Satellite 3 ) d 3 d 4.3 TC f q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 53

154 Ionosfea itado di popagaione nei segnali GPS dove N è la densità di elettoni (e - /m 3 ), e TC (Totale lecton Content) è il contenuto di elettoni in una colonna di seione pai a m In ealtà andebbe consideato il itado di guppo con il coispondente indice di ifaione di guppo n g, si dimosta che questo è: n g X 4.3 Quindi la diffeena di pecoso isulta: N f R guppo iono 4.3 ( TC) f Che si taduce in una vaiaione di fase data da φ R β R π πf 7 R 8.44 λ c ( TC) f ad q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 54

155 Ionosfea itado di popagaione nei segnali GPS L eoe di distana dovuto all effetto ionosfeico è pepondeante ispetto a quello toposfeico ed è dell odine dei m sulla misua di distana. L attavesamento della ionosfea da pate del segnale GPS compota sullo pseudoange basato sulla coelaione di codici, un itado di guppo, mente le misue di fase sono caatteiate da un anticipo di fase. In entambi i casi si appesenta il itado ionosfeico come una coeione della misua di distana che va sommata nel caso dello pseudoange oppue sottatta nel caso della fase al ange geometico nelle equaioni delle ossevabili. R fase iono Neldl TC sinφ f sinφ f TC Totale sin Φ Fattoe f fequena elettoni di obliquità utiliata contati [H] TC (Totale lecton Content) è il contenuto di elettoni in una colonna di seione pai a m lungo il cammino di popagaione [ m] q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 55

156 Ionosfea itado di popagaione nei segnali GPS Il fattoe di obliquità (/sen Ф) tiene conto dell incemento di cammino di popagaione del segnale all inteno della ionosfea qualoa la dieione di popagaione non sia veticale ispetto alla supeficie teeste (enit). L angolo Ф viene nomalmente peso alla quota geogafica dove il cammino di popagaione Path Lenght inteseca l altea media della ionosfea cica 35 Km. Dieione veticale GPS satellite ionosfea Ф R tea Altea media Ionosfea 35 Km q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 56

157 Ionosfea itado di popagaione nei segnali GPS ffettuando una coppia di misue su due distinte fequene L e L si ottiene la diffeena di ange (m) causata dal itado ionosfeico sui segnali a fequene L e L: ( R fase ) iono 4.3 sinφ f 4.3 Neld- sinφ f Neld 4.3 TC sin Φ f f Quanto più le fequene sono diffeenti ta loo tanto è più appeabile la misua di itado. Dividendo pe la velocità media di popagaione, all inteno del plasma ionosfeico, alle due fequene L e L, si ottiene l eoe sul tempo di itado causato dalla ionosfea. q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 57

158 Ionosfea itado di popagaione nei segnali GPS Alla fequena di L 575 MH la ionosfea può itadae l onda adio anche pe più di 3 ns ispetto alla popagaione nello spaio libeo, tale itado si taduce in m di ange eo. Al fine di idue tali effetti è stata intodotta come visto una seconda fequena L7 MH che pemette al icevitoe di calcolae il itado ionosfeico elativo e quindi di coeggee gli eoi intodotti nelle misue di ange e ange ate. Alcuni icevitoi tuttavia non hanno la possibilità di fae misue su entambe le fequene e quindi pe la stima del itado ionosfeico utiliano un modello che si seve di 8 coefficienti tasmessi come pate di un messaggio satellitae. Tale sistema consente di coeggee appossimativamente il 5 % del ange eo causato dalla ionosfea. Coeioni sul ange ate eo vicevesa non sono possibili a causa dell impossibilità di pedie se non in modo statistico le scintillaioni della ionosfea che causano eoi di ate ange su fineste tempoali da pochi secondi a qualche minuto. q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 58

159 Ionosfea itado di popagaione nei segnali GPS la pecentuale del 5 % di coeione del valoe quadatico medio dell eoe ionosfeico è stato un compomesso con il numeo dei coefficienti che devono essee tasmessi dal satellite. Pe ottenee infatti una coeione supeioe fino al 7% occoeebbeo molti coefficienti. Tale compomesso dipende più pecisamente da: Complessità computaionale del icevitoe; Conoscena attuale della vaiaione tempoale, diuna, e geogafica del TC (Total lecton Content); in paticolae si è tenuto conto della conoscena del TC a latitudini medie escluse cioè le one polai ed equatoiali dove i icevitoi GPS a singola fequena sono meno diffusi, e dove la conoscena della distibuione TC è meno conosciuta. Pe esempio si è constato che il TC ma non si ha all equatoe ma a latitudini di ± 5 dall equatoe, inolte il itado a 5 di elevaione diviene 3 volte quello allo enith. Si è visto anche che mediando i dati diuni di divese pati della tea si ha un valoe medio massimo pe il TC alle oe 4. oa locale con una deviaione standad dalla media mensile compesa ta il % e il 5% pe ogni oa del giono. q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 59

160 Ionosfea itado di popagaione nei segnali GPS Numeo dei coefficienti disponibili nel messaggio di navigaione pe la coeione del itado ionosfeico L algoitmo incopoato nel sistema GPS pe icevitoi a singola fequena, consiste in una appesentaione a coseno della cuva diuna del TIM DLAY la cui ampiea è laghea(peiodo) dipendono dalla latitudine. COSIN MODL ACTUAL DATA 35 DC tem TIM DLAY (ns at.6 GH) AMPLITUD PHAS PRIOD / LOCAL TIM q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 6

161 Ionosfea itado di popagaione nei segnali GPS La cuva a coseno pe icevitoi a singola fequena pesenta 4 pincipali paameti: Il temine continuo è costante duante la notte (DC tem) L ampiea del temine coseno La fase del temine coseno Il peiodo del temine coseno Lo studio del temine continuo e della fase ha mostato che entambi i temini possono essee consideati costanti con un piccolo incemento dell eoe quadatico medio commesso dall algoitmo. Così il temine continuo è stato fissato a 5 ns e la fase alle oe 4. oa locale. I imanenti paameti di ampiea e peiodo sono funione della latitudine e sono appesentati nell algoitmo da un polinomio di teo gado. I coefficienti di tale polinomio sono tasmessi come pate del messaggio satellitae. Tali coefficienti sono calcolati tamite un modello empiico del compotamento ionosfeico su scala mondiale pe ciascun peiodo di gioni dell anno e pe divesi valoi di condiioni di flusso solae. Questi coefficienti sono tasmessi dal satellite GPS e sono aggionati ogni gioni o a volte più fequentemente in funione del flusso solae. q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 6

162 Supefici selettive in fequena Applicaione ai segnali RF q di Mawell, Popagaione adio, Mateiali conduttoi e dielttici 6

163 Note su filti RF: Intoduione Supponiamo che un elettone giaccia su un piano. Supponiamo che un onda M piana con una polaiaione lineae incida su tale paticella. La paticella, se libea, iniieà a muovesi secondo la foa esecitata dal Campo M. L equaione che lega il Campo M in foa agente sulla paticella è quella della foa di Loents F q qv B Ipotiiamo due casi di analisi iniiali: a) l elettone all inteno del filto è libeo di muovesi secondo la dieione del campo elettico incidente b) L elettone all inteno del filto si può muovee solo lungo una dieione che è pependicolae a quella del campo elettico incidente q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 63

164 Note su filti RF: Intoduione a) l elettone è libeo di muovesi nella dieione del campo elettico agente petanto, l enegia dell onda M incidente è utiliata pe il movimento dell elettone. L elettone muovendosi cea una coente elettica vaiabile il quale genea a sua volta un campo M. Se a valle del filto il Campo M geneato è in opposiione di fase ispetto a quello incidente, alloa l intefeena distuttiva tendeà a cancellae il Campo M tasmesso complessivamente a valle del filto. L onda M eiadiata a monte del filto, cioè veso la sogente di emissione è chiamata Campo M iflesso Filto Filto B B Caso a) Caso b) q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 64

165 Note su filti RF: Intoduione b) l elettone non è libeo di muovesi nella dieione del campo elettico agente petanto, l enegia dell onda M incidente non è utiliata pe il movimento dell elettone. In questo caso tutta l enegia dell onda incidente si tasmette alla pota di uscita del filto. Filto Filto B B Caso a) Caso b) q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 65

166 Note su filti RF: Intoduione Nel caso di filti basati su supefici metalliche, alcune fequene saanno pefeite ovveo faanno oscillae gli elettoni con una maggioe efficiena ispetto ad alte fequene. Il isultato è la fequena di isonana del filto che detemina la fequena di massima attenuaione dell onda M incidente e quindi detemina la tasmittana e la iflettana. Questa fequena dipende pincipalmente da: Mateiali utiliati pe la costuione dei filti; Dimensioni ispetto alle lunghee d onda utiliate; Foma dei pecosi pemessi agli elettoni; q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 66

167 Geometia dei filti e cicuiti equivalenti A livello geneale vi sono pincipalmente te geometie che di base possono essee utiliate pe compendee il funionamento dei filti: STRIP GRATING FILTRS MASH FILTRS CROSS-MASH FILTRS Il pimo tipo di filti sono efficaci solo su una polaiaione del campo M incidente. Gli alti sono efficaci su qualunque polaiaione lineae e sono usati come filti passa banda ed elimina banda. q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 67

168 STRIP GRATING FILTRS La geometia è la seguente: Stip Gating Induttivo Stip Gating Capacitivo g a g a I I I I v Z L v v Z C v Z L ωl Z C ωc q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 68

169 q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 69 STRIP GRATING FILTRS Quando un Campo lettico vaiabile viene applicato alloa: a g a g Stip Gating Induttivo Stip Gating Capacitivo

170 STRIP GRATING FILTRS Analiiamo lo Stip Gating Capacitivo. Consideiamo due fequene pe l onda M: F con lunghea d onda λ >> a F con lunghea d onda λ << a Stip Gating Capacitivo ssendo F sufficientemente bassa alloa è come se gli elettoni imanesseo pe un tempo abbastana lungo in una situaione staionaia ovveo sena muovesi. Se non ci sono movimenti di caiche alloa non vi è neppue assobimento di enegia e l onda M si popagheà veso la pota di uscita del filto. ssendo F sufficientemente alta alloa il moto oscillatoio delle caiche elettiche saà molto più veloce. Il passaggio di coente dovuto al veloce movimento di caiche testimonia che l enegia dell onda M incidente viene assobita maggiomente ispetto al caso pecedente con F Le alte fequene vengono attenuate. a g a g q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 7

171 STRIP GRATING FILTRS Analiiamo lo Stip Gating Induttivo. Consideiamo due fequene pe l onda M: F con lunghea d onda λ gande F con lunghea d onda λ piccolo Stip Gating Induttivo g Con F bassa, se il tempo che intecoe ta i cambi di polaità di è sufficientemente lungo, alloa gli elettoni hanno il tempo di muovesi lungo tutto il pecoso conduttivo. In questo caso essi utiliano l enegia dell onda M incidente che viene petanto attenuata. Con F alta, se il peiodo di oscillaione è sufficientemente beve, alloa gli elettoni non hanno il tempo di pecoee lunghe distane. In questo modo ad un limitato movimento è associato un limitato assobimento di enegia. Di conseguena l onda M incidente si popaga veso la pota di uscita del filto. Le basse fequene vengono attenuate a q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 7

172 MASH FILTRS I Mash Filtes sono filti che possono utiliae qualunque polaiaione lineae dell onda incidente. Lo scheda di questo tipo di filti è il seguente: Mash filte Induttivo g Mash filte Capacitivo a g I a I I I Z C v Z L v Z C Z L v v R R q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 7

173 MASH FILTRS Il pincipio di funionamento di questi filti è lo stesso dei filti già visti in quanto appesenta la loo combinaione. In paticolae un onda M polaiata lineamente in una qualunque dieione può essee consideata come la somma vettoiale di due onde M polaiate lineamente ta loo sfasate di 9. Ogni componente dell onda petanto vedà un sistema più semplice basato su STRIP GRATING. q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 73

174 Linee di tasmissione Note sulla popagaione dei segnali adio q di Mawell, Popagaione adio, Mateiali conduttoi e dielttici 74

175 q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 75 RICHIAMO SULL LIN DI TRASMISSION Fissato un sistema di ifeimento su una linea di tasmissione ( LdT ) con impedena caatteistica, chiusa su un geneico caico, possiamo scivee le equaioni che descivono l andamento spaiale dei fasoi di tensione e coente. Facciamo l ipotesi che la linea sia non dispesiva (e quindi che le sue popietà non vaiano con f) e piva di pedite ( non c è pedita di potena lungo la linea ). Ripendiamo l equaione dei telegafisti supponendo una linea sena pedite: ( ) ( ) ( ) ( ) l l l l l l e Z V e Z V l I e V e V l V e Z V e Z V I e V e V V β β β β β β β β -l Z l Z V(l) - I(l)

176 RICHIAMO SULL LIN DI TRASMISSION Dove: ω π β ω v λ µ λ v F f v F c R V V fasoe dell onda di tensione incidente fasoe dell onda di tensione iflessa β costante di fase V F velocità di fase dell onda Sul piano di ifeimento ( l ) si ha: Costante dielettica I(l) V(l) Z Z l - -l V I ( ) ( ) V V Z V V Z q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 76

177 RICHIAMO SULL LIN DI TRASMISSION Il coefficiente di iflessione sul piano L vale Γ L ( ) V V Z Z L L Z Z La potena media che tansita sulla linea alla geneica ascissa, sotto le ipotesi fatte, isulta costante con L e la sua espessione valutata in L è: P L R V Z { } ( ) V I R V V V V V Z Z I podotti incociati danno un contibuto nullo in quanto sono l uno il complesso coniugato dell alto e la loo somma fonisce un fasoe immaginaio puo. q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 77

178 q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 78 RICHIAMO SULL LIN DI TRASMISSION ( ) ( ) è un numeocomplesso dove β α γ γ γ γ γ e Z V e Z V I e V e V V Consideando la linea con pedite, le equaioni ai fasoi dei telegafisti divengono α appesenta l attenuaione causata dalle pedite β costituisce il temine di popagaione tensione egessiva (iflessa) di onda tensione di pogessiva onda e e V e e V dove e e V e e V V β α β α β α β α coente egessiva (iflessa) di onda coente di pogessiva onda e e Z V e e Z V dove e e Z V e e Z V I β α β α β α β α

179 q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 79 RICHIAMO SULL LIN DI TRASMISSION [ ] [ ] [ ] [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) L L L L L L L L L i L L l l l l l L l l l l l L l l L l l L l l L l l L l L L l l L L l l l l l l l l l l l l l l l i Z Z Z Z Z l Z Z l Z Z Z l l Z Z l l Z Z Z l Z l Z l Z l Z Z Z l Z l Z l Z l Z Z e e Z e e e Z e e Z e e e Z Z e Z e Z e Z e Z e Z e Z e Z e Z Z e Z Z Z Z e e Z Z Z Z e Z e e e e Z e V V e e V V e Z e V e V e V e V Z e Z V e Z V e V e V I V Z caico iflessione sul è in coefficiente di dove tanh tanh cosh sinh cosh sinh sinh cosh sinh cosh cosh sinh sinh cosh ) ( ) ( Γ Γ Γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ Pe calcolae l impedena d ingesso si pocede facendo il appoto tensione su coente nel punto -l

180 RICHIAMO SULL LIN DI TRASMISSION Pe tenee conto delle pedite una linea eale si appesenta con: Una esistena in seie ad una induttana pe tenee conto dell effetto pelle, Una conduttana in paallelo ad una capacità pe tenee conto delle pedite nel dielettico (tgδ) I I L R dell effetto pelle, V V pedite nel dielettico (tgδ) C G G C σ d d S d S d G ωc S σ d d S ω d d σ d ω d tgδ Le pedite nel dielettico (tgδ) aumentano con la fequena e bisogna tenene conto in quanto la potena dissipata sul dielettico aumenta con il quadato della fequena q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 8

181 q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 8 Analogia Linee di Tasmissione e Popagaione libea Consideando un modo T..M (Tasvesale lettico, Tasvesale Magnetico) che si può assumee quando un onda M si popaga patendo da una sogente elativamente lontana, alloa si possono assumee le seguenti analogie:. Tensione V con Campo lettico (V);. Densità di Coente J con Campo Magnetico H (JH); 3. Impedena caatteistica della linea Z con Impedena d onda η (Z η); 4. Cotocicuito conduttoe ideale ( ) ( ) () ( ) () ( ) [ ] ± k k i tot k k i tot e e H e e e Z V e Z V I e V e V V v ˆ ˆ η η β β β β

182 Analogia Linee di Tasmissione e Popagaione libea 3 β ω Z LC L C k ω η µ µ pe un dielettico eale con pedite η ωµ σ ω q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 8

183 Mateiali isolanti o dielettici q di Mawell, Popagaione adio, Mateiali conduttoi e dielttici 83

184 Mateiali dielettici o isolanti: intoduione I mateiali si possono classificae in due categoie a seconda della loo isposta ad un campo elettico (costante o vaiabile ma con fequena molto bassa) I solidi nei quali un campo elettico costante poduce una coente elettica, fatta di ioni, nel caso di conduttoi ionici, o fatta di elettoni, nel caso di conduttoi elettonici, sono chiamati conduttoi elettici. Al contaio, gli isolanti elettici, in cui non può cicolae coente ionica o elettonica, sono dielettici, in cui la unica isposta delle caiche legate (ioni o elettoni) ad una coente o ad un campo elettico, e uno spostamento spaiale, statico, che causa un cambiamento in un momento di dipolo oppue induce un momento di dipolo indotto. Le popietà dielettiche dei solidi sono petanto deteminate da elettoni localiati o caiche legate, che fomano dei momenti di dipolo elettostatici. I mateiali dielettici tovano molte applicaioni sopattutto nell industia elettonica, aeospaiale, delle micoonde, Infatti, i mateiali dielettici sevono pe la popagaione della adiaione elettomagnetica (dalle adio fequene al visibile), pe la dispesione della luce nei mei ottici, e sono usati nei congegni basati sulla pieoeletticita q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 84

185 Mateiali dielettici o isolanti: intoduione L espeimento fondamentale su un dielettico e la misua della costante dielettica, che si ottiene misuando la capacita di un condensatoe con e sena il dielettico inseito fa le amatue Consideiamo un condensatoe isolato ad amatue piane e paallele caicato con una ceta caica q. La tensione (o diffeena di poteniale) V che si misua ta le due amatue saà pai a dove C è detta capacità e dipende solo dalla geometia e dal meo compeso ta le due amatue. Nel vuoto, q VC C dove A è l aea delle amatue e d la loo distana. Se si infila un mateiale dielettico ta le due amatue, si osseva che la tensione ta le due amatue cala. Macoscopicamente, si descive tale fenomeno dicendo che il meo ha una costante dielettica pai a el quella del vuoto. A d q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 85

186 Mateiali dielettici o isolanti: intoduione La capacità in pesena di dielettico diventa quindi C C ssendo q costante, deve calae la tensione V Questo compotamento si spiega dicendo che il dielettico, in pesena di un campo elettico (in questo caso geneato dalle caiche poste sulle due amatue), si polaia, ossia si fomano dei dipoli elettici micoscopici come illustato schematicamente in figua. A d q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 86

187 Mateiali dielettici o isolanti: Polaiaione La capacità in pesena di dielettico diventa quindi C C ssendo q costante, deve calae la tensione V Questo compotamento si spiega dicendo che il dielettico, in pesena di un campo elettico (in questo caso geneato dalle caiche poste sulle due amatue), si polaia, ossia si fomano dei dipoli elettici micoscopici come illustato schematicamente in figua. A d q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 87

188 Indice di ifaione e costante dielettica Sviluppando le equaioni di Mawell del campo elettomagnetico si può dimostae che la velocità c m della adiaione elettomagnetica in un meo è uguale a Dove µ µ c m costante dielettica elativa costante dielettica del vuoto pemeabilità magnetica elativa pemeabilità magnetica del vuot µ µ Nel vuoto, µ petanto la velocità della luce nel vuoto isulta c µ q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 88

189 Indice di ifaione e costante dielettica Se oa consideiamo un mateiale non magnetico alloa µ e quindi il appoto ta la velocità della luce nel vuoto e la velocità della luce nel meo diventa:: c c m µ µ Il appoto c/c n è chiamato indice di ifaione n Da questa espessione ci si aspetta che speimentalmente si possa confemae la elaione n c c n q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 89

190 Indice di ifaione e costante dielettica In ealtà le misue mostano una discepana ovveo si tova genealmente che n Ad esempio la costante dielettica del NaCl misuata con campi vaiabili di bassa fequena è cica 5.9 mente si tova che n ècica.5 L H O è il caso più estemo, la costante dielettica misuata con campi vaiabili di bassa fequena è cica 8 mente si tova che n ècica,75 Solo mateiali come il diamante, dove l unico meccanismo di polaiaione è quello elettonico, mostano un ottimo accodo di 5.68 ed n 5.66 la agione di queste discepane è che l indice di ifaione è misuato a fequene ottiche ( 5 H) mente la costante dielettica è misuata a fequene molto più basse. q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 9

191 spessione complessa di e dipendena in feq. Convenionalmente si pala di costante dielettica (o pemittività) pe basse fequene dello spetto elettomagnetico e si pala di indice di ifaione pe la luce. Se si misua in funione della fequena, si tova che esso cala, ma non in modo gaduale. n finché non si aiva al valoe di n, idealmente Associata a ciascuna di queste cadute c è una egione di dissipaione L andamento mosta una seie di busche vaiaioni (cadute), in coispondena di pecise fequene, pai a dell enegia o pedita dielettica (dielectic Loss) q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 9

192 spessione complessa di e dipendena in feq. La figua mosta due componenti della costante dielettica: e queste due quantità sono la pate eale e la pate immaginaia della costante dielettica che nella sua foma più geneale è un numeo complesso: ~ ' '' L andamento geneale delle componenti eale ed immaginaia di è sempe quello mostato in figua: vaia apidamente in possimità di cete fequene; mosta pe le stesse fequene dei picchi Le divese sogenti di polaiaione costituiscono alla costante dielettica in divese egioni di fequena, a seconda che siano gli elettoni o gli atomi (ioni) esponsabili. La massa ineiale più piccola degli elettoni implica che il meccanismo elettonico domina alle fequene elevate. Le polaiaioni legate allo spostamento di atomi o ioni contibuiscono solo alle fequene più basse. q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 9

193 spessione complessa di e dipendena in feq. Si sono già anticipate almeno intuitivamente le agioni della diminuione della pate eale di, ma come si più invece spiegae la pesena di picchi nella pate immaginaia? Intepetaione intuitiva: le molecole hanno fequene natuali a causa dei legami nel cistallo e tasfeianno il massimo dell enegia da un onda elettomagnetica che abbia la stessa fequena. Queste due caatteistiche della costante dielettica, ovveo La dipendena dalla fequena del campo elettico applicato Il fatto che a cete fequene l enegia può essee dissipata ento il dielettico, Costituiscono gli aspetti più impotanti ed inteessanti nella teoia dei mateiali dielettici. Il apido cambiamento nella pate eale della costante dielettica che si ha con l aumentae della fequena del campo elettico applicato, suggeisce che in possimità di ciascuna delle fequene caatteistiche, uno dei meccanismi di polaiaione si spegne. Questo accade peché la polaiaione non iesce a seguie la vaiaione di campo elettico. q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 93

194 spessione complessa di e dipendena in feq. sistono due possibili meccanismi che oiginano il fenomeno della dipendena della costante dielettica dalla fequena: Assobimento di isonana Rilassamento dei dipoli. Ogni volta che esiste una configuaione di equilibio della specie polaiabile (cioè la polaiaione iesce a seguie il campo elettico applicato), alloa ha luogo l assobimento di isonana. L unica caso in cui questo meccanismo non è opeativo è quello della oientaione dei dipoli, peché questo coinvolge dei dipoli che sono libei di uotae e che quindi non hanno una configuaione di equilibio. In questo caso la dinamica oientaionale è govenata da equaioni di ilassamento ed il meccanismo che opea è il ilassamento dei dipoli. q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 94

195 Assobimento di isonana Ogni tipo di dipolo indotto può essee pensato come costituito da due caiche di segno opposto che sono legate ta loo da una foa elastica. Questo sistema avà una fequena angolae di oscillaione natuale pai ad ω. Se il sistema è sottoposto ad un campo elettico altenato con fequena ω, alloa il sistema non saà in gado di seguie questo campo se ω > ω. Questo poblema è l analogo del poblema di meccanica classica di una vibaione foata di un semplice sistema amonico, e la quanto meccanica non cambia essenialmente il isultato. Pe tale motivo si può continuae a seguie la tattaione semi-clcassica sena timoe di commettee eoi gavi. Il poblema si può espimee in una foma matematica semplice che pota il nome di quaione di Loent pe un Oscillatoe Foato Smoato (Diven dumped Oscillato). m && mb& k q Temine foante m a Temine dissipativo Temine Amonico q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 95

196 Assobimento di isonana Dove: m è la massa della specie oscillante di caica q, e è la sepaaione ta le caiche associata con la polaiaione. Nell equaione è stato anche incluso un temine di spegnimento (dissipativo), con coefficiente b che è popoionale alla velocità della paticella. Questo temine è necessaio in quanto affinché si abbia dissipaione di enegia del campo elettomagnetico (ovveo assobimento di enegia nel mateiale dielettico), occoe che ci sia un meccanismo di inteaione. k è la costante di foa che caatteia la isposta del sistema ad un campo oscillante ep(ωt). Consideando come esempio il moto di un elettone di massa m e caica e (ovveo specialiandosi nel casi di polaiaione elettonica) si può scivee l equaione di Loent come segue: m d dt d mb mω e ep dt ( ωt) m a Temine dissipativo Temine Amonico Temine foante q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 96

197 Assobimento di isonana La soluione staionaia dell equaione pecedente, dimenticando effetti tansienti, è: ep m ( ωt) e {( ω ω ) bω} ssendo complesso isulta conveniente sepaalo nelle componenti eale ed immaginaia, alloa moltiplicando il numeatoe ed il denominatoe pe il numeo complesso coniugato del denominatoe: e m ( ω ) ω bω ( ) ( ) ω ω b ω ω ω b ω q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 97

198 Assobimento di isonana Oa lo spostamento,, delle caiche, è popoionale alla polaiabilità α, e quindi vaieà allo stesso modo: p q α α q e m ( ω ) ω bω ( ) ( ) ω ω b ω ω ω b ω La pate immaginaia della polaiabilità ha un picco di foma Loentiano in coispondena della fequena di isonana ω, coispondente all assobimento isonante dell enegia. La laghea del picco cesce al cescee del coefficiente di spegnimento b. q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 98

199 Assobimento di isonana La pate eale di mosta una discontinuità in coispondena della fequena di isonana ω. Infatti ha un valoe molto elevato poco pima della isonana e diventa molto basse poco dopo la isonana. Pe fequene lontane da ω, la pate eale cambia ancoa e mosta un massimo ed un minimo ai fianchi della isonana. α α α α Pe inciso la tattaione quanto meccanica pota ad una espessione della polaiabilità analoga a quella vista ma dove compaiono le tansiioni fa stati pemessi del sistema. (vedi espessioni usate pe la spettoscopia Raman) q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 99

200 Assobimento di isonana Gli andamenti appena descitti sono applicabili anche alla costante dielettica peché se ci si dimentica degli effetti del campo locale, alloa questa è popoionale alla polaiabilità: α se inolte si tiene conto anche di divesi meccanismi che geneano polaiaione dovuti ad n i specie pe unità di volume alloa, sommando tutti questi meccanismi si può scivee: ' '' ( ) i niq m i niq m ( ω ω ), i ( ω ), i ω ( ) ω ω b b, i i ω b i ω i ω La sommatoia ci dice che pe mateiali complessi, in cui le molecole possono avee divese fequene di isonana, la dipendena di dalla fequena può essee molto complicata. Petanto si è dimostato che la espessione più completa dalla costante dielettica è ~ ' '' q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici

201 Assobimento di isonana Pe compendee l impotana del temine Loentiano, ovveo la pate immaginaia della costante dielettica complessa, si può dimostae che esso da luogo alla dissipaione di enegia nel dielettico. Infatti si può dimostae che la potena dissipata è data da: '' ω Ovveo dipende solo dalla pate immaginaia della costante dielettica Nel disegno sta pe ed sta pe q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici

202 Rilassamento dei dipoli Rilassamento dielettico: Geneicamente il temine ilassamento definisce un fenomeno pe meo del quale un sistema petubato tende all equilibio. Pe un dielettico, si definisce RILASSAMNTO DILTTRICO il gaduale oientamento di tutti i dipoli del mateiale, a seguito della epentina applicaione di un campo elettico (continuo o altenato). Tale oientamento avviene duante un deteminato intevallo tempoale, al temine del quale il mateiale dielettico manifesta la massima polaiaione e la massima pemittività dielettica. Tempo di ilassamento dielettico: è la costante di tempo caatteistica τ che quantifica il itado con cui la polaiaione dielettica P o lo spostamento dielettico D seguono il campo elettico applicato. Ossevaione: il ilassamento dielettico può avvenie mediante diffeenti iaangiamenti molecolai, ciascuno caatteiato da una popia costante di tempo caatteistica. q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici

203 Rilassamento dei dipoli si supponga di applicae ad un dielettico un campo elettico statico (costante) in un ceto istante t, ossia si supponga di applicae una funione campo elettico (t) a gadino: () t con u() ( t) u t pe t < pe t A seguito del ilassamento dielettico la polaiaione del mateiale aumenteà gadatamente da un valoe P (polaiaione istantanea), posseduta dal mateiale all istante t, ad un valoe di egime P S (polaiaione statica). Conseguentemente, la pate eale della costante dielettica elativa (ω), passeà da un valoe ', istantaneo (in t) ad un valoe,s statico (pe t ). Risulta inolte ', <,s in quanto il valoe istantaneo è legato solo ad effetti di polaiaione pe defomaione e non ad effetti di oientamento, essendo questi ultimi intinsecamente più lenti. q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 3

204 Rilassamento dei dipoli (t) P S P s P(t) t t voluione tempoale qualitativa della polaiaione e del valoe della pemittività dielettica, pe un dielettico con pedite pe ilassamento dielettico, sollecitato da un gadino di campo elettico. t q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 4

205 Rilassamento dei dipoli meccanismo di oientaione dei dipoli, può essee calcolata con il polaiaione P che è istantanea sulla scala dei tempi della otaione di campo elettico infinitamente gandi (sulla scala delle fequene La dipendena dalla fequena della costante dielettica pe il modello del ilassamento dipolae di Debe. L applicaione impovvisa di un campo elettico, causa una dipolae. La costante dielettica associata è ( ) cioè coispondente a fequene otaionali. ( ) ( ) P [ ] il ilassamento dei dipoli a questo punto causa un aumento della polaiaione con una componente dipendente dal tempo P (t) finché non si aggiunge il valoe statico P S ( () o s è il valoe a campo statico della costante dielettica.) P S [ ( ) ] dove si ha : P P P' ( ) t S q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 5

206 Rilassamento dei dipoli La cescita istantanea di polaiaione al tempo t è dovuta meccanismi elettonici e ionici. La polaiaione pe oientamento causa una cescita lenta al valoe statico P S. L equaione di ilassamento di Debe è: Dove la polaiaione totale al tempo t è: dp' dt P P S ( t) P P' ( t) P τ D ( t) () τ D è il tempo di ilassamento di Debe che si assume essee indipendente dal tempo La dipendena tempoale di P si tova integando l equaione () e tenendo pesente l espessione di P appena vista. q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 6

207 q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 7 Rilassamento dei dipoli () ( ) () () () () ( ) ( ) () ( ) ( ) () ( ) [ ] () ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) () ( ) () ( ) D D t S t S S D S S D D S S t D t S t D t S S t D t S D S D S D S e P P t P e P P t P P P P t P P P t P P P t P P P t P P P t t P P P dt dp d t P P P dp d dp d t P P P if dt t P P P dp dt t P P P dp t P P P t P P dt dp τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ ' ' ' dove ' ' ln ' ln ' - ln ' - ln ' ln ' ' ' ln then ' ' ' ' ' ' '

208 Rilassamento dei dipoli P' () t ( P P ) e t τ S D Questa elaione mosta la dipendena tempoale dalla polaiaione, che cesce da P a P S Altenativamente si può die che la polaiaione decesce esponenialmente nel tempo da P s a P se il campo elettico viene imosso. Dalla espessione della polaiaione funione del campo elettico si può ottenee la dipendena tempoale della costante dielettica P' () t ( P P ) τ D e χ() t ep( ωt) ~ ( () t ) ep( ωt) el S t el, è solo la componente dovuta alla oientaione dei dipoli el el (t) q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 8

209 Rilassamento dei dipoli La elaione funione del tempo appenea icavata può essee tasfomata in una elaione funione della fequena facendo uso della tasfomata di Fouie f ωt ( ω) K F( t) e dt Con questa opeaione si giunge alla espessione finale della costante dielettica complessiva che è ancoa una volta espessa come un numeo complesso: ( ) ( ) ~ el ( ω) ( ) ' '' ωτ La pate eale ed immaginaia si ottiene moltiplicando e dividendo pe il complesso coniugato del denominatoe: D ' ( ω) ( ) pate eale ( ) ( ) ω τ D '' ( ω) ( ( ) ( ) ) ω τ D ωτ pate immaginaia D q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 9

210 Rilassamento dei dipoli L andamento di ed in funione della pulsaione ωτ D è mostata ni gafici seguenti: pate eale ' ( ω) ( ) ( ) ( ) ω τ D pate immaginaia '' ( ω) ( ( ) ( ) ) ω τ D ωτ D q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici

211 Rilassamento dei dipoli È da notae in paticolae il diveso andamento di ispetto al caso dell oscillatoe smoato descitto in pecedena. In paticolae si nota che mancano il massimo e il minimo ai fianchi della isonana, caatteistica che è veificata speimentalmente. La cuva di, mosta un valoe centato ad ω/τ D, e in geneale è molto più allagato ispetto al caso di assobimento pe isonana. pate eale ln(ωτ) pate immaginaia ln(ωτ) q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici

212 Costante dielettica complessa Possiamo concludee ossevando che i fenomeni che abbiamo appena discusso si applicano al mateiale dielettico di piu gande impotana pe la nosta esistena: l atmosfea teeste Dello spetto eletto-magnetico quasi completo emesso dal sole, solo poca adiaione aggiunge la tea Fequene al di sotto di 8 H sono assobite o iflesse dalla ionosfea Le fequene nell intevallo - 4 H spaiscono pe assobimento di isonana da pate di molecole come H O, CO, O, N. Al di sopa di 5 H c e un elevato scatteing da pate delle molecole e paticelle di polvee La egione del visibile ( 4-5 H) e stata di fondamentale impotana pe l evoluione della vita sulla tea Potemmo chiedeci come saebbe stata la vita sulla tea se, con un po piu di polvei in gio, avessimo potuto utiliae solo la egione 8 - H della adiaione eletto-magnetica, pe la nosta visione. q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici

213 Rigidità dielettica Un alta gandea impotante nell uso coetto dei dielettici è la cosiddetta igidità dielettica. Questa coisponde al valoe massimo del campo elettico che si può applicae al mateiale, olte il quale si innesca una scaica distuttiva. Se il campo è sufficientemente intenso, è in gado di libeae le caiche legate le quali possono ioniae atomi poducendo alte caiche con un effetto valanga devastante. Anche la igidità dielettica dipende dalla natua del mateiale e si può tovae tabulata come nella tabella seguente: q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 3

214 DILTTRICI CON PRDIT PR RILASSAMNTO DILTTRICO: applicaione di un campo elettico altenato q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 4

215 ffetto applicaione campo elettico altenato Applicando ad un dielettico con pedite un campo elettico avente una vaiaione tempoale di tipo sinusoidale: X& cos ( ωt) L oientamento dei dipoli subià un itado (ispetto ad ) tanto maggioe quanto maggioe saà la pulsaione ω (ωπf, ffequena), che si manifesteà con uno sfasamento δ(ω) dello spostamento dielettico D ispetto ad : ( ωtφ ) ( ω, t) X e X cos( ωt Φ) X sin( ωt Φ) ha : () t Re{ X& ( ω, t) } petanto si D D cos t ( ω δ ( ω) ) Intoducendo il concetto di fasoe, data una gandea sinusoidale ( t) X cos( ωt Φ) Si definisce fasoe otante associato ad (t) la quantità: dove q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 5

216 ffetto applicaione campo elettico altenato Petanto i fasoi associati alle gandee Campo elettico Spostamento dielettico D sono: & D& ( ωt ) ( ω, t) { ( )} e Re & ω, t ( ωtδ ( ω )) ( ω, t) D e D Re D& ( ω, t) { } e Come è stato visto, la costante dielettica o pemittività dielettica elativa complessa di un dielettico con pedite pe ilassamento del dielettico, sottoposto ad un campo elettico tempo-vaiabile è: ~ ' ( ) '' ω ( ω) Il fasoe del vettoe spostamento elettico D del dielettico è: D& ~ &, ( ω, t) ( t) ω Questo fasoe lo possiamo iscivee tenendo conto delle elaioni viste: q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 6

217 ffetto applicaione campo elettico altenato ( ) ( ) ( ' ( ) '' D& ω, t ~ ( )) ( ) & ω, t ω ω & ω, t ωtδ ( ω ) ~ ωt ' '' ωt D e e ω ω e D D e D e ( ) ( ) ( ' '' ) ( ωt ) ω ω e ( ' '' ω ω ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ωt ) δ ( ω ) cos cos e ( ) ( ) ( ) ( δ ( ω )) ( ) ( ) ( ( )) ( ( )) ' ( ) '' δ ω D ( ) sin δ ω ω ω Sepaando la pate eale da quella immaginaia abbiamo: D D ( ( )) ' δ ω ( ω) sin ( ( )) '' δ ω ( ω) & & '' ( ω) ( ω) D D cos sin ( δ ( ω) ) ( δ ( ω) ) Come già detto appesenta il fattoe di pedita del dielettico q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 7

218 ffetto applicaione campo elettico altenato Ossevaioni: pe ω campo statico, se il dielettico è pivo di pedite si ha : Q ( ω) tg δ δ ( ) ( ω) ( δ ( ω) ) ' '' ' '' ( ω) ( ω) ( ω) ( ω) D D Pe confontae le pedite di dielettici diffeenti si usa la quantità tg(δ): ( δ ( ω) ) tg Pe il fattoe di qualità del dielettico si usa invece la espessione Q(ω): '' ' ( ω) ( ω) q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 8

219 ffetto applicaione campo elettico altenato Significato fisico di: ' '' ( ω), ( ω), tg( δ ( ω) ) si supponga di applicae una tensione altenata ad un condensatoe planae con elettodi aventi aea A e distana V V cos ( ωt) Definiione: Capacità complessa del Condensatoe planae sollecitato in altenata V V cos ( ωt) ~ C ( ω) C ( ω) dove : C ~ A Condensatoe planae sollecitato in altenata q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 9

220 ffetto applicaione campo elettico altenato Utiliando nuovamente i fasoi si ottiene: V& I& ( ω, t) ( ω, t) ωc Ve V& ωc ( ω, t) ~ ωc ( ω) V ( ω, t) ωc ( ω) V ( ω, t) ωc( ω) ( ' ( ) ''( )) ( ) '' ω ω V, t C ( ω) ' & ω ω ( ω) '' ω & ~ ( ) ( ) ' ω V ω, t ωc ( ω) V ( ω, t) & & ( ) V& ( ω, t) ~ & I I R I C R C V V cos ( ωt) Y R ωc Tale espessione è compatibile con il seguente CIRCUITO LTTRICO QUIVALNT: un dielettico con pedite pe ilassamento dielettico è eletticamente equivalente al paallelo ta un esistoe ed un condensatoe ideali q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici

221 q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici ffetto applicaione campo elettico altenato ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t CV t I R t V t I t I t I t I C R C R,,,, dove :,,, ω ω ω ω ω ω ω ω & & & & & & & Le coenti espesse mediante i fasoi otanti sono: Confontando tali espessioni con le espessioni della pate eale ed immaginaia del fasoe della coente tovato in pecedena si ha: ( ) t V V ω cos C R I R I C I ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t CV t ω V C t I R t V t ω V C t I t CV R t V t ω V C t ω V C t I t I t I C R C R,,,,,,,,,,,,, ' '' ' '' ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω & & & & & & & & & & & & &

222 ffetto applicaione campo elettico altenato Le coenti espesse mediante i fasoi otanti sono: R C ' σ ( ω) ( ω) V& ( ω, t) ( ω, t) ( ω) ( ω) V& ' ( ω, t) ωcv& ( ω, t) C ( ω) ( ω) ( ω) ' ' ( ω) C ( ω) ( ω) ( ω) ac ωc ωc > '' ' ωc '' ( ω) ρ( ω) V& lunghea seione R '' R ( ω) A C ωc R C C ωc ( ω) '' ( ω) pe ogni dielettico diveso dal vuoto, pe il vuoto vale ω '' ( ω) R C Resistena Capacità quivalente quivalente q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici

223 ffetto applicaione campo elettico altenato Ossevaioni La componente I R dissipa enegia nel dielettico, La componente I C del dielettico accumula enegia nel dielettico, tg ( δ ( ω) ) '' ' ( ω) ( ω) ωc C C R( ω) enegia dissipata/ciclo ( ω) ( ) ( ) enegia immagainata/ciclo ωc ω R ω All aumentae del tg(δ(ω)), aumentano petanto le pedite di enegia dissipata nel dielettico, È possibile schematiae il cicuito equivalente di un dielettico anche con un esistoe ed una condensatoe in seie e deteminae poi ed in funione della esistena e capacità in seie. q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 3

224 Dielettici con pedite ohmiche q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 4

225 Dielettici con pedite ohmiche In un dielettico eventuali caiche libee possono essee acceleate dal campo elettico applicato pe essee taspotate all inteno del dielettico, dando luogo ad una conducibilità in egime continuo (σ dc ), così chiamata peché si manifesta anche in continua (dc), e non soltanto in egime sinusoidale (ac), a diffeena di quanto accade pe la conducibilità deivante da pedite pe ilassamento dielettico (σ ac (ω) ). Ne consegue il seguente CIRCUITO LTTRICO QUIVALNT: un dielettico con pedite puamente ohmiche è eletticamente equivalente al paallelo ta un condensatoe e un esistoe avente esistena (R ) indipendente dalla fequena: R C Z σ dc R A R C q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 5

226 Dielettici con pedite sia pe ilassamento dielettico sia ohmiche q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 6

227 Dielettici con pedite ohmiche Nel caso più geneale un dielettico può pesentae contempoaneamente pedite pe ilassamento dielettico e pedite ohmiche. Assumendo un cicuito elettico equivalente di tipo esistoe/condensatoe in paallelo, il esistoe deve essee itenuto a sua volta come il paallelo ta un esistoe R, deivante dalla schematiaione delle pedite pe puo ilassamento dielettico, ed un esistoe R, deivante dalla schematiaione delle pedite puamente ohmiche: V V cos ωt ( ) I I R I C R C R ( ω) R( ω) // R // R ( ω) R R I R q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 7

228 Dielettici con pedite ohmiche Pe un tale dielettico si definisce: Costante (o pemeabilità o pemittività) dielettica elativa complessa efficace di un dielettico con pedite sia pe ilassamento dielettico sia ohmiche: ~ ' '' pocedendo come pima si ottiene : σ, eff ac '', eff ', eff ( ω) ( ω) ( ω) ( ω) ( ω), eff, eff ( ω) C ωc R( ω) '' ( ω) ( ω) ' ' ( ω) ( ω) ( ω) ~ ' '' σ dc eff ( ) ( ) ( ω), ω ω ω Ossevaione : Conducibilitàquivalente R // ωr C C // A ( ω) R ( ω) // C ω R '', eff '',eff,eff '' ( ω) ω ( ω) σdc q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 8 σdc ω

229 Pemittività dielettica complessa di un mateiale composito costituito da due fasi dielettiche: q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 9

230 Pemittività dielettica complessa di un mateiale composito costituito da due fasi dielettiche: sistono vaie elaioni (deivanti da modelli divesi o empiiche) che quantificano la pemittività complessa * di una mescola ottenuta da una fase dielettica di pemittività dispesa * con una faione volumetica v, in una matice dielettica di pemittività *. sempi: q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 3

231 Pemittività dielettica complessa di un mateiale composito costituito da due fasi dielettiche: sempi di mateiali che pesentano intefacce di discontinuità dielettico/dielettico: Dielettico con cepe e vuoti: può essee schematiato in pima appossimaione come un mateiale eteogeneo costituito da inclusioni dielettiche di pemittività in una matice dielettica di pemittività >. Dalle equaioni pecedenti si ha che la pemittività di un mateiale con cepe e vuoti isulta infeioe a quella del mateiale puo e omogeneo. Dielettico semicistallino: può essee schematiato tenendo conto della pesena di inclusioni cistalline in una matice amofa. q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 3

232 Pemittività dielettica complessa di un mateiale composito dielettico contenente sfee paialmente conduttici q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 3

233 Dielettico contenente sfee paialmente conduttici Modello di Wagne: supponendo che il dielettico contenga sfee paialmente conduttici (, σ dc ), con una faione di volume v, immese nella matice dielettica ( ) con conducibilità tascuabile (σ dc << σ dc ), il modello di Wagne pevede la seguente espessione della pemittività complessa elativa del composto: q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 33

234 Dielettico contenente sfee paialmente conduttici Modello di Wagne: Da tali espessioni isulta che il composito mosta un ilassamento dielettico con foma indistinguibile da quello dovuto all oientamento dipolae. Può accadee petanto che un dielettico che non possegga un accentuato ilassamento dipolae, in ealtà possa pesentae ugualmente un effetto di ilassamento dovuto, peò, a fenomeni di polaiaione intefacciale. Concludendo, possiamo die che un mateiale composito che pesenti al suo inteno intefacce ta due mateiali dielettici e/o conduttoi pesenta in possimità delle intefacce accumuli di caica di polaiaione ed eventualmente anche di caica libea. q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 34

235 Dielettico contenente sfee paialmente conduttici Modello di Wagne: Le caiche di polaiaione deteminano una vaiaione (ispetto al mateiale puo) della polaiaione ed una conseguente vaiaione della costante dielettica. In paticolae si ha: Pe intefacce dielettico/dielettico: in agione della dieletticità delle inclusioni, la costante dielettica del composito può isultae diminuita (inclusioni di aia) o accesciuta (inclusioni altamente dielettiche) ispetto a quella della matice. sistono vai modelli pedittivi pe la costante isultante. Pe intefacce dielettico/conduttoe: la costante dielettica del composito isulteà tendenialmente accesciuta, secondo il modello di Wagne. Si noti (dalle equaioni del modello di Wagne) che la pesena di inclusioni conduttici accesce sia che : ciò significa che ad un auspicabile (in molte applicaioni) aumento dell enegia immagainata, coisponde uno svantaggioso aumento dell enegia pesa pe dissipaione. q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 35

236 Metodi di misua di popietà dielettiche q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 36

237 Metodi di misua di popietà dielettiche Ai fini della misua della pate eale e della pate immaginaia della costante dielettica complessa di un dielettico, esistono i due seguenti metodi: metodi a cicuito a paameti concentati; metodi a cicuito a paameti distibuiti. Metodi di misua a cicuito a paameti concentati: Tali tipi di metodi sono utiliati sempe a bassa fequena (da -4 a 6 H cica) e consistono nella deteminaione del cicuito elettico a paameti concentati equivalente al campione ad una deteminata fequena. Tipicamente il campione è schematiato con un cicuito equivalente esistoe/condensatoe in paallelo o in seie e, misuando i paameti incogniti costituiti dalla esistena R e dalla capacità C, si isale ai valoi di,eff e di,eff, ossia alle componenti eale ed immaginaia della pemittività efficace: q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 37

238 Metodi di misua di popietà dielettiche Metodi di misua a cicuito a paameti concentati: Uno dei metodi di misua a paameti concentati ta i più usati è il Metodo a ponte q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 38

239 Metodi di misua di popietà dielettiche. Metodi di misua a cicuito a paameti distibuiti: Al cescee della fequena, la lunghea d onda elettomagnetica del campo applicato diminuisce, divenendo sempe più confontabile con le dimensioni del campione. Risulta quindi necessaio adottae una schematiaione del dielettico a paameti distibuiti. Uno dei metodi a paameti distibuiti, tipicamente usato nell intevallo delle micoonde, è il seguente: Metodo a linea di tasmissione (o a tasmissione d onda): in tale metodo il campione costituisce il meo di popagaione di un onda elettomagnetica confinata in una linea di tasmissione coassiale (costituita da un conduttoe centale incluso in un tubo cavo conduttoe), o, a fequene maggioi, in una semplice guida d onda (tubo cavo conduttoe di seione ettangolae o cicolae. q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 39

240 Metodi di misua di popietà dielettiche. Metodi di misua a cicuito a paameti distibuiti: Metodo a linea di tasmissione (o a tasmissione d onda): q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 4

241 Metodi di misua di popietà dielettiche. Metodi di misua a cicuito a paameti distibuiti: Metodo a linea di tasmissione (o a tasmissione d onda): Fattoe di popagaione di un onda elettomagnetica in un mateiale dielettico (non magnetico): è il seguente numeo complesso, funione della pemittività complessa del mateiale: ~ γ ( ω) ω ( ω) µ ω µ ( ω) γ ~ ( ω) ( ω) β ( ω) ( ω) α( ω) β ( ω) ~ dove : π π ω β ( ω) β( ω) ω µ λ( ω) λ( ω) c c velocità della luce α( ω) attenuaione dell'onda nel meo (nel vuotoα ) λ( ω) lunghea d'onda nel meo λ( ω) lunghea d'onda nel vuoto µ pemeabilità magnetica del vuoto ~ ~ q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 4

242 Metodi di misua di popietà dielettiche. Metodi di misua a cicuito a paameti distibuiti: Metodo a linea di tasmissione (o a tasmissione d onda): quaioni dei fasoi del campo elettico e magnetico: pe un onda elettomagnetica piana, che si popaga in dieione in un meo unifome e infinito, valgono le seguenti espessioni: & H& H e ωtγ e ωtγ Pincipio di misua: sfuttando la elaione che lega il fattoe di popagaione dell onda nel dielettico con la sua pemittività dielettica complessa, è possibile icavae la pate eale ed immaginaia di quest ultima da una misua (non descitta in questa sede) dei paameti di popagaione dell onda nel meo stesso: q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 4

243 Metodi di misua di popietà dielettiche. Metodi di misua a cicuito a paameti distibuiti: Metodo a linea di tasmissione (o a tasmissione d onda): quaioni dei fasoi del campo elettico e magnetico: pe un onda elettomagnetica piana, che si popaga in dieione in un meo unifome e infinito, valgono le seguenti espessioni: ~ ' '' ( ω) ( ω) ( ω) ~ γ γ ( ω) ( ω) β α ~ γ β ( ω) α ( ω) β ( ω) ( ω) β ( ω) ( ω) β ( ω) ( ω) β ( ω) β β β ( ω) ( ) β ω ( ω) α ( ω) ( ω) β ( ω) ( ω) β ( ω) α( ω) β ( ω) ( α ) α β Indice di ifaione del meo: n( ) λ λ ( ω) ( ) ω ( ω) ( ω) λ λ ω α β ( ω) ( ω) ( ω) ( ω) ( ω) ( ω) λ λ α β ( ω) ( ω) q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 43

244 Definiione di conduione elettica dal punto di vista atomico Obitali do Bloch q di Mawell, Popagaione adio, Mateiali conduttoi e dielttici 44

245 Conduione elettica nei metalli: obitali di Bloch Obitali delocaliati nei metalli Le popietà e la stuttua dei metalli ivelano che gli elettoni di valena dei loo atomi sono delocaliati, cioè diffusi pe tutta l esenione del eticolo cistallino, libei di muovesi sotto l aione di un campo elettico anche molto debole. Quando gli obitali atomici degli atomi componenti una molecola si sovappongono appeabilmente l uno con l alto, la loo combinaione detemina un sistema di obitali molecolai delocaliati, estendentesi cioè su un insieme di più atomi o addiittua su tutti gli atomi della molecola. A B C D Obitali s di un filae di atomi di litio del suo eticolo cistallino Fomaione di un obitale molecolae delocaliato esteso su tutto il filae medesimo q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 45

246 Conduione elettica nei metalli: obitali di Bloch Obitali delocaliati nei metalli Un cistallo metallico, può essee consideato come una molecola gigante fomata da un numeo gande di atomi pe la quale vale lo stesso pinicpio. In tal caso data la compattea della stuttua si ealia un esteso icopimento degli obitali di valena dei singoli atomi così che gli obitali cistallini o eticolai sono completamente delocaliati ed abbaciano tutto il eticolo Questi obitali delocaliati che descivono la distibuione degli elettoni di valena degli atomi nel eticolo cistallino di un metallo sono genealmente designati come funioni d onda di Bloch, dal nome dell autoe che li intodusse. q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 46

247 Conduione elettica obitali di Bloch Bande di enegia Gli obitali molecolai di un cistallo, cioè di un insieme di un numeo gandissimo di atomi, diffeiscono da quelli popi di una molecola di pochi atomi pe una caatteistica molto impotante elativa ai livelli enegetici ad essi coispondenti. Pe endecene conto immaginiamo di costuie il eticolo di un cistallo, pe esempio di Sodio (Na), addiionando successivamente un atomo all alto. Quando ad un pimo atomo A se ne addiiona un secondo, B, costituendo l aggegato biatomico A-B (Na ), i due obitali di valena dei due atomi si combinano insieme deteminando due obitali molecolai, ciascuno con una sua popio enegia. : ψ A ψ B e negia più alta di quella degli obitali atomici oiginai pe il pimo, più bassa pe il secondo. Se oa addiioniamo un teo atomo, ealiando l aggegato Na 3, gli obitali di valena dei te atomi deteminano te obitali molecolai, i cui livelli enegetici distinti si agguppano attono al livello oiginaio di ψ A. ψ A ψ B q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 47

248 Conduione elettica: obitali di Bloch Bande di enegia L aggiunta di ogni nuovo atomo fa aumentae di uno il numeo degli obitali molecolai isultanti e dei coispondenti livelli enegetici. Pe un insieme di N atomi si avanno dunque N obitali molecolai ed N livelli enegetici. Pe N molto gande, dell odine di 3, i livelli sono così avvicinati l uno all alto da costituie una banda continua Ad ogni obitale atomico di un singolo atomo isolato coisponde, nel cistallo, una banda di livelli enegetici (tanti quanti sono gli atomi dell insieme). q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 48

249 Conduione elettica: obitali di Bloch Bande di enegia Le popietà del cistallo sono deteminate dalla diffeena di enegia fa le successive bande e dalla distibuione in esse degli elettoni: La laghea di queste bande isultanti dalla inteaione ta gli atomi nel cistallo e la sepaaione ta l una e l alta dipendono dalla distana intenucleae (). A mano a mano che () diminuisce, aumenta la Laghea e si iduce la sepaaione ta bande. negia Sepaaione ta bande Banda di conduione 3p 3s Banda di valena Na: s, s, p 6,3s 3p 3s conduione valena p s Bande s intene satue 3.7 s s Successione delle bande pe il sodio metallico ( Distana inteatomica in Angstom 3.7 Angstom) p q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 49

250 Conduione elettica: obitali di Bloch Bande di enegia Quando gli atomi sono a distana molto gande l uno dall alto e non inteagiscono, i livelli enegetici degli elettoni sono quelli popi degli obitali dell atomo isolato. Diminuendo la distana inteatomica, ogni livello oigina una banda che si allaga con l aumentae della ecipoca inteaione ta gli atomi. Quanto più estesi sono gli obitali atomici che si consideano, tanto maggioe è la distana intenucleae alla quale la loo inteaione tasfoma i livelli enegetici degli atomi isolati in bande: Pe questa agione i livelli degli obitali 3s e 3p si allagano in bande già pe valoi di pe i quali i livelli degli obitali s e p non isultano ancoa petubati e il livello dell obitale inteno s esta inalteato fino a distane intenucleai molto piccole. Conseguentemente pe una data distana fa gli atomi le bande son tanto più allagate quanto più alta è la loo enegia. Il pogessivo allagamento delle bande col dimiuie della distana inteatomica può deteminae la loo sovapposiione: Nel caso del sodio a cui si ifeisce la figua, alla distana alla quale si tovano gli atomi del eticolo (3.7 Angstom) ciò accade pe le bande 3s e 3p, che si fondono in un unica banda q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 5

251 Conduione elettica: obitali di Bloch Bande di enegia: distibuione degli elettoni Gli elettoni degli atomi del cistallo si distibuiscono negli obitali coispondenti ai livelli enegetici delle vaie successive bande, secondo il pincipio di Pauli, cominciando da quelli a più bassa enegia. Rifeendoci al caso del sodio, gli elettoni inteni degli obitali s,s,p satuano le coispondenti (bande intene), mente gli elettoni di valena 3s (N in tutto) satuano i pimi N/ livelli della banda 3s (detta peciò banda di valena; in chimica è la banda inteessata alla cessione, acquisto, condivisione di elettoni pe fomae legami chimici) La successione delle vaie bande a enegia cescente è intevallata da fasce di valoi di enegia poibiti pe gli elettoni del cistallo, come poibiti pe gli elettoni di un atomo isolato sono i valoi di enegia intemedi fa quelli dei successivi livelli quantiati. Gli elettoni che occupano le bande intene sono paticamente localiati ento gli atomi a cui appatengono; quelli della banda di valena, invece, sono delocaliati, nel senso che possono muovesi pe tutta l estensione del eticolo. Pe endesene conto si può ossevae l esempio che segue, elativo ad un atomo di sodio isolato (figua sinista) e nel eticolo (figua desta) q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 5

252 Conduione elettica: obitali di Bloch Bande di enegia: distibuione degli elettoni Pe un atomo isolato, è ipotata la cuva di enegia poteniale di un elettone nel campo attattivo del nucleo in funione della distana ( Coulomb -Ze / -e /). Sulla cuva sono indicati i livelli enegetici elativi agli elettoni dell atomo: quanto più alto è il livello dell obitale occupato, tanto più questo è esteso e cesce la distana media dell elettone dal nucleo. negia 3p 3s p s s Distana dal nucleo q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 5

253 Conduione elettica: obitali di Bloch Bande di enegia: distibuione degli elettoni In figua è appesentato l andamento schematico dell enegia poteniale di un elettone nel campo peiodico dei nuclei in un filae atomico monodimensionale, e sono indicate le bande di enegia pemesse: Ta atomo e atomo il campo detemina una baiea di enegia che isola soltanto gli elettoni delle bande più intene, caatteiati da enegia toppo bassa pe valicala, mente gli elettoni della banda di valena non ne sono impigionati e possono libeamente spostasi attaveso il eticolo. negia baiea di enegia Banda di conduione Banda di valena 3p 3s p s s Campo peiodico dei nuclei in un filae atomico monodimensionale di sodio q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 53

254 Conduione elettica: obitali di Bloch Conduttoi, Isolanti, Semiconduttoi il modello a bande si applica a tutti i solidi cistallini, metallici o no, ed è paticolamente efficace pe l intepetaione delle loo popietà di conduttoi o isolanti. Consideiamo un cistallo ideale, supponendo che le bande elettoniche siano tutte speate, sena ecipoche sovapposiioni. Distibuendo gli elettoni sui livelli pemessi, cominciando da quelli infeioi, si possono veificae le situaioni limite schematiate nella figua sotto: caso a) caso b) Banda vuota Banda vuota Banda Di valena non satua negia Banda Di valena satua Bande Intene satue Bande Intene satue q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 54

255 Conduione elettica: obitali di Bloch Conduttoi, Isolanti, Semiconduttoi La banda di valena del caso a) è solo in pate occupata e contiene livelli ancoa libei, nel caso b) essa è totalmente iempita. Gli obitali coispondenti ai livelli della banda di valena sono, in entambi i casi, delocaliati e gli elettoni che li occupano sono peciò libei di spostasi da un atomo all alto, in questa o in quella dieione, ma l effetto dell applicaione di un campo elettico è ben diveso nelle due situaioni. Il campo elettico applicato tende a convogliae gli elettoni libei in un flusso unidieionale che compota un aumento dell enegia degli elettoni che vi patecipano: Nel caso a) questo può essee ealiato, peché la banda di valena ha livelli enegetici disponibili al di sopa di quelli occupati in assena del campo elettico. In questi livelli libei, un campo anche debole, può pomuovee un gan numeo di elettoni, deteminandone un flusso odinato nella popia dieione. Nel caso b) invece questa pomoione è impossibile essendo la banda di valena del tutto satua, con un gan numeo di elettoni,in media, che si muovono in tutte le dieioni, sena possibilità di essee tascinati pefeenialmente enlla dieione del campo, pe la mancana di livelli più alti disponibili a cui dovebbeo tasfeisi pe seguine la sollecitaione. q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 55

256 Conduione elettica: obitali di Bloch Conduttoi, Isolanti, Semiconduttoi Nel caso a), il cistallo è un conduttoe (conduttoe elettonico), peché un campo elettico anche debole detemina un flusso di elettoni attaveso la sua massa, e quindi il passaggio di una coente elettica IdQ/dt. Nel caso b), invece, è un isolante. Infatti l unico mdo pe ottenee un flusso unidieionale di elettoni, saebbe l imposiione di un campo elettico tanto intenso da fonie ad una pate degli elettoni di valena un enegia sufficiente pe tasfeili dalla banda satua alla banda successiva libea (che può essee definita banda di conduione peché quando gli elettoni passano ad essa si ha un flusso di coente: Questo meccanismo spiega la tensione di ottua dei dielettici. Concludendo, si può die in geneale che se un cistallo è caatteiato da bande elettoniche solo paialmente piene, esso è un conduttoe; Se invece è caatteiato da bande completamente piene o bande completamente vuote, sena ecipoche sovapposiioni, è isolante. q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 56

257 Conduione elettica: obitali di Bloch Conduttoi, Isolanti, Semiconduttoi: SMPI Nel LITIO cistallino (s, s ), le bande s e p si sovappongono paialmente, fomando insieme una banda unica in cui se N è il numeo degli atomi del cistallo, potebbeo distibuisi 8N elettoni (ad ogni livello della banda p coispondono infatti 3 obitali degenei p, p,p ). Gli elettoni di valena sono in tutto N e satuano i pimi N/ livelli della banda s, lasciando completamente vuoti gli alti N/ livelli della banda stessa e tutti i livelli della banda p: Immediatamente al di sopa del più alto livello occupato ci sono dunque molti alti livelli libei disponibili pe la conduione sotto l aione di un campo elettico. negia Atomo isolato p cistallo p s s s s q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 57

258 Conduione elettica: obitali di Bloch Conduttoi, Isolanti, Semiconduttoi: SMPI il Cabonio sottofoma di diamante, silicio e gemanio, sono caatteiati, da un sistema di bande nel quale quella più alta occupata è satua e quella successiva vuota è sepaata da un intevallo più o meno lago di valoi di enegia poibiti. Ad esempio nel caso del Diamante, gli atomi di cabonio sono legati l uno all alto in un eticolo covalente, con coodinaione tetaedica deteminata da obitali ibidi Sp 3. Gli obitali molecolai isultano in due agguppamenti, di legame ed antilegame i cui livelli enegetici si accolgono in due bande sepaate da un lago intevallo poibito (pai a 5.6 ev). negia Atomi di cabonio isolati Obitali atomici sp3 (N atomi) Cistallo di diamante 5.6 ev N obitali di anti legame N obitali di legame I 4N elettoni di valena degli atomi del eticolo satuano completamente la banda infeioe lasciando vuota quella supeioe alla quale tuttavia nessun elettone può essee tasfeito sotto l aione di un campo elettico pe la gande distana ta le due bande. q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 58

259 Conduione elettica: obitali di Bloch Conduttoi, Isolanti, Semiconduttoi: SMPI Nel silicio e gemanio, i cui cistalli sono coodinati tetaedicamente, la situaione è simile tuttavia l ampiea della bandgap ta banda di valena piena e quella di conduione vuota è ispettivamente di. (Si) e.7 ev (Ge). La bandgap è molto più piccola di quella del diamante ed è possibile il tasfeimento di un ceto numeo di elettoni dall una all alta, o pe eccitaione temica o pe iaggiamento con adiaioni di adatta lunghea d onda. In queste condiioni il cistallo diventa conduttoe e nel pimo caso si pala di temoconduione mente nel secondo di fotoconduione. negia Atomi di silicio i gemanio isolati Obitali atomici sp3 (N atomi) Cistallo Le sostane cistalline con gli elettoni di entambe le queste caatteistiche sono N obitali di dette semiconduttoi anti legame intinseci. È da consideae che con il tasfeimento di elettoni. (Si) e.7 ev (Ge). dalla banda di valena alla successiva, vengono a patecipae alla conduione N obitali di bande, peché entambe legame vengono ad avee livelli vacanti. q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 59

260 Conduione elettica: obitali di Bloch Conduttoi, Isolanti, Semiconduttoi: SMPI La conduione deteminata dagli elettoni della banda che pima ea vuota è detta di tipo n, peché viene tattata come moto di caiche negative, mente la conduione dovuta agli elettoni della banda di valena non più satua è data di tipo p, peché pu essendo conduione anch essa dei elettoni, è pefeibile tattala come moto delle lacune positive lasciate dagli elettoni (eccitati) pomossi alla banda supeioe di cnduione: Il movimento degli elettoni della banda di valena sotto l aione del campo equivale alla migaione, in dieione opposta, delle lacune. elettone lacuna Banda di conduione Banda di valena Il meccanismo della conduione elettonica nei semiconduttoi lascia intendee peché, a diffeena dai metalli, la loo conducibilità aumenta con l aumentae della tempeatua (ossia diminuisce la loo esistena): Infatti, cescendo la tempeatua si esalta pe eccitaione temica il numeo degli elettoni che dalla banda di valena si tasfeiscono a quella di conduione. q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 6

261 Conduione elettica: obitali di Bloch Semiconduttoi dogati La conducibilità di un cistallo semiconduttoe può essee notevolmente influenata dall aggiunta di piccolissime quantità (dell odine di qualche pate pe milione) di elementi estanei, i cosiddetti doganti. Anche un cistallo nomalmente isolante, se oppotunamente dogato, può acquisie le caatteistiche di un semiconduttoe. Il caso più comune di doganti è dato da impuee sostituionali, cioè di atomi di alti elementi che vanno a sostituisi ad atomi del eticolo cistallino in cui sono intodotti. Pe il silicio o il gemanio i doganti più tipici sono il B, Al, Ga, In, Ti e P, As, Sb, Bi. Con l intoduione degli atomi del dogante nuovi livelli elettonici pemessi (livelli di impuea) vengono ad inteposi ta la banda di valena e quella di conduione nell intevallo vietato, giocando uoli divesi secondo la natua del dogante. Se gli atomi intodotti hanno più elettoni di valena di quelli del eticolo ospitante, (come pe esempio accade dogando il silicio o il gemanio con il fosfoo) essi agiscono da donatoi di elettoni; se invece ne ahnno di meno (come il boo), agiscono da accettoi di elettoni. q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 6

262 Conduione elettica: obitali di Bloch Semiconduttoi dogati Se il semiconduttoe agisce da donatoe di elettoni alloa l eccesso di elettoni si distibuisce in livelli situati in possimità della banda di conduione, dai quali possono ad essa tasfeiisi pe assobimento di una piccola quantità di enegia. Il semiconduttoe è in tal caso detto di tipo n. Se il semiconduttoe agisce da accettoe, invece, si endono disponibli, in possimità della banda di valena, nuovi livelli vacanti, a cui possono tasfeisi elettoni della banda medesima, deteminando in essa delle lacune, e il semiconduttoe è detto di tipo p. Semiconduttoi intinseci. Semiconduttoe di tipo n Semiconduttoe di tipo p enegia Banda di conduione Livelli enegetici degli atomi doganti Banda di valena q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 6

263 Definiione secondo Mawell di mateiale conduttoe e di mateiale dielettico ffetto pelle q di Mawell, Popagaione adio, Mateiali conduttoi e dielttici 63

264 q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 64 ffetto pelle [ ] Ω J H H t J H t B m A J ω ωµ σ σ : pe segnalisinusoidali II e IIIeq Mawell: Siemens conducibilità dove: OHM: di Legge Cosa succede al campo elettomagnetico nei conduttoi? Pe ispondee si pate dalla definiione di coente di conduione mediante la legge di Ohm in un conduttoe, e dalla seconda equaione di Mawell: Densità Coente Spostamento m A m s C m V Vm s C m V m s F t D t t Densità Coente di Conduione Densità Coente di Spostamento

265 ffetto pelle Sostituendo la legge di Ohm nella seconda eq di Mawell si ottiene: J σ σ H J ω σ ω ( σ ω ) ω ω~ ω Nello spaio la coente di conduione e di spostamento sono paallele, Nel tempo coente di conduione e di spostamento sono sfasate di 9 infatti e (π /) quindi la coente di spostamento è in anticipo di fase di 9 ispetto alla coente di conduione. DOMANDA: secondo MAXWLL che cosa è un conduttoe? Il ame è sempe un conduttoe oppue no? L unica definiione coetta di conduttoe è la seguente: Conduttoe è quel mateiale pe cui la coente di conduione èmolto gande ispetto alla coente di spostamento: σ >> ω q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 65

266 ffetto pelle Pe il ame: σ Cu 6 7 S - ω π fequena m A fequene basse (ω piccola) il ame isulteà cetamente un conduttoe e lo imaà fintanto che: 6 7 σ >> ω cioè ω << ad / s cioè f << π Mano a mano che aumenta la fequena f, la coente di conduione esta costante, mente la coente di spostamento cesce con la fequena: dunque esiste una fequena olte la quale il ame non isulta più essee conduttoe. Petanto la pecedente definiione va ettificata: Conduttoe è quel mateiale pe cui la coente di conduione èmolto gande ispetto alla coente di spostamento, fino alla fequena f pe cui vale ancoa la elaione σ >>ω 7 H q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 66

267 ffetto pelle Si ipotano alcuni esmpi con dei mateiali diffusi in natua: Il Rame a conducibilità σ S/m si compota come conduttoe fino a fequene ottiche. L acqua di mae è un buon conduttoe fino a cica 89 MH. Un tansisto di silicio che lavoa a GH fa capie che a tale fequena il silicio non può più essee tattato come semiconduttoe ma diventa un dielettico come tutti gli alti. Petanto in geneale non esistono né conduttoi pui, né dielettici pui: esistono esclusivamente dielettici con pedite, cioè dielettici in cui c è una coente di conduione; ed alloa, se pevale ω vengono chamati DILTTRICI, mente se pevale il temine σ, vengono chiamati CONDUTTORI, altimenti vengono definiti DILTTRICI con PRDIT. q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 67

268 ffetto pelle Data la definiione coetta di conduttoe si considei oa l alta equaione di Mawell: ωµ H Applicando l opeatoe di otoe ad entambi i membi si ottiene: ωµ ( ) ( H ) Ricodando che in un conduttoe, la coente di spostamento è tascuabile ispetto alla coente di conduione, alloa sostituendo il secondo membo si ottiene: ( ) ωµ ( H ) ωµ ( σ) ovveo: ( ) ( ) ωµ ( σ) Il otoe di un otoe è uguale al gadente della divegena meno il laplaciano q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 68

269 ffetto pelle ma H σ ( ) ( H ) ( ) ( ) ωµ σ ( ωµ σ) σ Nel caso di mei CONDUTTORI l equaione d onda è: ωµσ Nel caso delle onde piane, l equaione d onda nel caso di mei DILTTRICI è: k dove k ω µ q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 69

270 q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 7 ffetto pelle ( ) ( ) k J J i J k J J J J J J i J J J k J J i J k J J i J ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ωµσ ωµσ J J ωµσ ωµσσ σ Moltiplicando entambi i membi pe σ, e iconoscendo che J σ si ha: ssa è una equaione vettoiale, che dunque si compone nelle 3 componenti J,J,J. Il laplaciano è la somma delle deivate seconde ispetto ad, ispetto ad, ispetto a. Questa è l equaione d onda pe la densità di coente in un conduttoe.

271 ffetto pelle J σ σ e Studiamo un caso semplice, si supponga che il conduttoe sia un piano indefinito ovveo un semispaio in ed ; la coente su tale piano, sia tutta unifome, e dietta in una sola dieione : questo peché si suppone l esistena di una sogente che genea una coente unifome (ad esempio un onda piana che incide nomalmente). Supponiamo il caso sinusoidale ovveo; t J ω e σ σ Si vuole sapee cosa accade alla coente in pofondità, tenendo pesente che la coente viene mantenuta costante e paallela a se stessa sulla supeficie di quel semispaio infinito. J ha una unica componente J. q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 7

272 ffetto pelle La coente non vaia né lungo, né lungo e si vuole vedee cosa succede andando in pofondità lungo la dieione. Delle te componenti,, l unica non nulla è ; la deivata seconda (nel Laplaciano) ispetto a è nulla (peché è costante lungo ), così come ispetto ad (peché è costante ispetto ad ) Il laplaciano diviene petanto la deivata di ispetto ad due volte: ωµσ d d ωµσ τ L equaione diffeeniale della coente è identica: con τ C J ωµσj d J d ωµσj τ J con τ C q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 7

273 q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 73 ffetto pelle µσ π δ f Pe tovae quanto vale τ occoe fae la adice quadata: Nella elaione tovata la quantità è chiamata pofondità di penetaione. Si misua in m. ( ) µσ π τ π π µσ π µσ π ωµσ τ τ τ ωµσ π π f e e ma f f C ± ± ± ± 4 sin 4 cos : con 4

274 ffetto pelle La soluione dell equaione diffeeniale omogenea d d ( ) τ τ ce ce doveτ ± δ lim τ Avendo deciso di pendee la adice con pate eale positiva si ha che il temine moltiplicato pe c all infinito tende a eo mente l alto temine isulta non essee limitato (ossia divegente pe ). c e τ eq lim diffeeniale omogenea È data da due esponeniali, uno positivo (esponente τ) e l alto negativo (esponente - τ). c e τ La condiione di Sommefeld dice che ogni campo elettomagnetico fisicamente ealiabile deve andae a eo almeno come / e quindi non può divegee, ne segue che c, in questo modo il temine divegente moltiplicato pe c è nullo e la condiione di Sommefeld è veificata. q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 74

275 ffetto pelle Petanto la soluione è c e δ e δ e δ È da questa ultima elaione che si deduce che δ si misua in meti, infatti se nell esponeniale c è /δ questo implica che δ deve avee le dimensioni di cioè meti. Ogni mateiale conduttoe, ad ogni fequena ha una pofondità di penetaione che è quella pe la quale il campo elettico si iduce di /e di quello in supeficie (cioè la coente si iduce di /e) La coente dunque è massima in supeficie, poi, man mano che si va in pofondità, essa si mantiene sempe paallela a se stessa, peò diminuisce in ampiea come e -/δ e si sfasa in itado come e -/δ. Petanto un peo di conduttoe non è mai una esistena pua, ma saà una esistena più un induttana che povoca la coente in itado in pofondità. q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 75

276 q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 76 ffetto pelle ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) e e ) ( J J e J e d J d e d d J d e J I δ δ δ δ δ δ δ δ δ σ J Inteessa oa calcolae una quantità chiamata esistena pe quado. Pe calcolae tale quantità è necessaio calcolae pima la coente totale facendo un integale della densità di coente: ) ( d e e J I δ δ Cioè: Poiché J σ Si può calcolae il campo elettico:

277 ffetto pelle A questo punto si può intodue il concetto di esistena quado. Si supponga di pendee un quadato di conduttoe con le seguenti dimensioni: m lunghea, m laghea (si pala di esistena pe quado popio peché il conduttoe viene peso quadato!). L impedena in una mattonella è data dalla tensione diviso pe la coente. La tensione è data dal campo elettico pe m, ovveosia. La coente è l integale fatto in pecedena. Facendo il appoto tensione coente si ha: Z s I( ) J J σ Rs δ σδ ωl Quindi un conduttoe di m pe m non si compota come una esistena pua, ma come una esistena con in seie una induttana. s q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 77

278 ffetto pelle Nella equaione pecedente l impedena non è tascuabile, la esistena è /σδ, mente la eattana è /σδ, (sono identiche!) Z s R σδ s ωls ϕ tg 45 σδ σδ σδ σδ R S L S La pate immaginaia dell impedena poduce uno sfasamento dell onda M di 45 in itado Ricodando che : δ π fµσ Si ha: Rs σδ σ π fµσ π fµσ σ π fµ σ [ Ω] Quindi in un blocco di conduttoe, la esistena cesce con la adice quadata della fequena! q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 78

279 ffetto pelle La esistena pe quado dipende solo dal mateiale e dalla fequena, si considei infatti un quado di (m m), la esistena vale: R ρ l S dove ρ σ esistività e S seioneattavesata dalla coente. ma S l t R ρ l l t σ t t S l l q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 79

280 ffetto pelle Tenendo pesente che la coente sul conduttoe diminuisce come : e t δ Si hanno due casi: ) se lo spessoe fisico del conduttoe è molto piccolo ispetto a δ (che è funione della fequena ed aumenta a basse fequene) alloa la coente è unifomemente distibuita su tutta la seione del conduttoe. δ π fµσ ) aumentando la fequena, se lo spessoe è gande ispetto a δ, la coente in definitiva si mantiene sullo spessoe esteno (in pofondità non c è più) q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 8

281 q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 8 ffetto pelle ( ) ( ) ( ) ( ) δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ t t t t t t e J e J e J e d J d e J d e J t I ) ( Integando la pate eale della densità di coente in uno spessoe t di conduttoe (non ta e ) si ha: [ ] [ ] [ ] ( ) ( ) Ω f f t e f e f e f e e J J t I t Z R t t t t t s pe pe /Quado ) ( ) ( Re σδ σ σ µ π µ π σ µσ π σ σδ δ σ δ δ δ δ δ Petanto la esistena pe quado in funione della fequena f è:

282 ffetto pelle Si osseva dalle pecedenti che la esistena pe quado dipende dallo spessoe t del mateiale. Facendo il limite pe f (alte fequene), ci si accoge che la esistena pe quado tende a /(σδ): vuol die che supponendo di avee una seione ettangolae del mateiale in esame, a fequene molto basse esso è tutto pieno di coente, mente a fequene alte c è solo uno spessoe δ in cui la coente è significativa. Al cescee dalla fequena la esistena va come /(σδ) peò δ è invesamente popoionale alla f; quindi la esistena del conduttoe aumenta con la adice quadata della fequena. Giacché la eattana intena è uguale ad R, alloa anche la eattana intena delle piste conduttici aumenta con la adice quadata della fequena. q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 8

283 ffetto pelle Come esempio si ipota la esistena pe quado al vaiae della fequena pe due conduttoi in ame di spessoe 8 e 36 micon. f δ t 8 µm t 36 µm kh. mm.96 mω/.48 mω/ MH 66 µm. mω/.6 mω/ MH µm.4 mω/. mω/ MH 6.6 µm.8 mω/.6 mω/ MH. µm 4. mω/ 4. mω/ A MH la δ è 6.6 µm, pe cui gosso modo lo spessoe effettivo è δ, e non più t; dunque la pista da 8 micon oppue 36 micon paticamente hanno la stessa esistena, Andando più su in fequena ci si accoge che è pefettamente inutile ealiae piste più spesse della pofondità di penetaione. q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 83

284 Popagaione libea: Onde M in Dielettici eali q di Mawell, Popagaione adio, Mateiali conduttoi e dielttici 84

285 q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 85 Onde M in Dielettici eali J J H H t J H t B σ ω ωµ µ µ ( ) ( ) [ ] ( ) J H ω σ ω ω σ ω ω ω ω σ ω ω σ ω ω ω σ ω Pe dielettico eale si intende un dielettico con pedite. Tutti i dielettici hanno una conducibilità σ non nulla Dalle equaioni di Mawell pe segnali sinusoidali si ha:

286 Onde M in Dielettici eali Definiamo petanto la costante dielettica complessa: ' ~ e H '' σ ω ω σ ω ω [ ' ''] [ ' ''] è la costantedielettica complessa ω~ Ci si iconduce la caso sena pedite (σ ) a condiione di utiliae nei calcoli una complessa, la cui pate eale è la costante dielettica elativa, e la cui pate immaginaia dipende dalla conducibilità σ e dalla fequena f. Nomalmente, pe espimee la bontà di un dielettico si fonisce il tg δ, espesso da: pe un buon dielettico eale tg δ < -3 σ '' ω σ σ tgδ cioè '' << ' ' ' ω ω q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 86

287 Onde M in Dielettici eali La pemittività, è una quantità comunemente usata pe descivee le popietà elettiche che influenano la iflessione di un onda elettomagnetica all intefaccia ta due mei divesi e l assobimento dell enegia all inteno dei mateiali. La pemittività elativa di un mateiale (data dal appoto ta la pemittività del mateiale e quella del vuoto ) è un numeo complesso espesso secondo la elaione: - La pate eale (detta anche costante dielettica) influena la distibuione del campo elettico e la fase delle onde all inteno del mateiale. Il coefficiente della pate immaginaia, (chiamato non a caso fattoe di pedita ) influena, invece, l assobimento da pate del mateiale dell enegia taspotata dal campo. popio che detemina la quantità di enegia che viene dissipata all inteno di un mateiale e, di conseguena, di quanto iesce ad aumentane la tempeatua intena. q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 87

288 Onde M in Dielettici eali Pe pote utiliae la teoia delle linee di tasmissione occoe tovae l impedena del meo. Pe deteminae l impedena di un dielettico eale si pate come sempe dalla definiione: η η µ ωµ µ µ σ ω µ se σ [ ω σ ] [ ω σ ] ω η ωµ ω [ ω σ ] [ ω ] µ µ alloa µ µ µ µ indipendente da ω Se σ aumenta, le pedite aumentano e così la dissipaione di potena. L impendena η si iduce e aumenta pe esempio il salto di impedena nel caso che i dielettici siano aia e dielettico del meo. Di conseguena aumenta il coefficiente di iflessione e l onda incidente viene maggiomente iflessa. q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 88

289 Onde M in Dielettici eali Si possono oa iscivee le eq delle onde piane; la costante di fase è: ~ k ω µ~ ω µ~ ω µ ( ' '') ω µ ' '' ' ω ma icodandoche dallosviluppodi Talo al aestatoal pimo tem.: µ ' '' ' ~ k ω µ ' '' ' ω µ ' '' ' β α Dielettici eali se : '' << ' β ω µ ' '' α ω µ ' ' k k '' ' q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 89

290 Onde M in Dielettici eali L onda si popaga come: e ~ mk e mα m e β Ovveo si popaga con la stessa velocità di fase come se non ci fosseo pedite, vedi temine in β, peò l ampiea si iduce secondo il temine in α peché, essendoci pedite nel dielettico, una pate della potena dell onda si dissipa, e si tasfoma in caloe. Si tova pe α la stessa espessione delle linee di tasmissione: α WL W T W L potena dissipata pe unità di lunghea W T potena tasmessa q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 9

291 Onde M in Dielettici eali Il coefficiente di iflessione sul caico L non vaia in pesena di pedite qualunque sia η o η L e fomalmente è sempe dato da: V V t η η L V - η η L (i) (t) Z i () L v i η L L ηl Z ρ η η η Il coefficiente di iflessione ad una distana dal caico invece isente del fatto che l onda si popaga con attenuaione: ρ V V ( ) ( ) V V () e () e α α β α β ( ) e e ρ e e α e e β β V V () () L q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 9

292 Onde M in Dielettici eali Il coefficiente di iflessione ad una distana -l dal caico dove supponiamo il punto eo di ifeimento pe la lunghea è petanto: ρ ( ) α β α l β l l ρ e e ρ e e L L L onda si popaga in una linea di tasmissione con pedite e viene attenuata in modulo. La fase del coefficiente di iflessione cambia mano a mano che ci si sposta lungo la dieione di popagaione secondo il temine β. Questo pincipio viene utiliato pe esempio nel caso di mateiali assobenti. Ad esempio una camea anecoica i coni attenuano le iflessioni dovute alle paeti che si suppongono metalliche. Ogni cono può essee visto come una linea di tasmissione, all inteno della quale si popaga un onda M che subisce quel tipo di attenuaione. Questi coni sono fatti di mateiale che pesenta delle pedite Yp nel dielettico. q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 9

293 q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 93 Onde M in Dielettici eali ( ) ( ) αλ π λ α λ λ π λ α β α λ α π λ α λ λ π λ α β α ρ ρ ρ ρ λ ρ ρ ρ ρ ρ λ ρ λ λ λ π β e e e e e e e e e e e e e e l l L L L L L L L L / 4 / / 4 / supponiamodue casi: che sappiamo Supponiamo di consideae come distana quella pai ad una ceta lunghea d onda; Il coefficiente di iflessione (num complesso) a queste distane è costituito dalla sola pate eale Al vaiae dalla distana o paimenti della fequena il coefficiente di iflessione vaia sia in modulo che in fase

294 Onde M in Dielettici eali Pate Reale del Coefficiente di iflessione sul caico e a distana m con pedite nel dielettico Coeff Rifless sul caico e Coeff Rifless a distana m Coeff Rifless sul caico. Coeff Rifless dist L(m) Pate eale impedena del caico ZL q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 94

295 Onde M in Dielettici eali quivalente linea di tasmissione di una camea anecoica (i) Coni assobenti η 3_paete metallica Paete metallica η _aia η _dielettico η 3_paete metallica Z i η l Coni assobenti η L η _aia η _dielettico v i η Paete metallica Z-l l Z ρ η ( l ) ρ e α l ηl η ρl η η η ( ) ( ) 3 cosh k l η sinh k l ( l ) η ( ~ ) ( ~ η cosh k l η sinh k l ) q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 95 L e L β l ~ 3 ~

296 Onde M in Dielettici eali Supponiamo un onda piana che incide nomalmente, su 3 dielettici. Questo poblema pe analogia con le linee di tasmissione è pefettamente iconducibile al poblema di incidena di un onda di tensione da una linea con una ceta impedena caatteistica ad un alta linea con un impedena caatteistica divesa, si possono dunque utiliae tutti gli stumenti usati pe le linee. η η η 3 l (i) () (t) - η η η 3 Z i l Supponiamo il sistema con pedite. Consideiamo come caico della linea l impedena isultante della linea e 3 insieme v i η l η3 q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 96

297 Onde M in Dielettici eali Il cicuito equivalente isultante diviene petanto: η η η 3 (i) - (t) η η η 3 () Z i l v i η η3 η Zi l (i) () - (t) η Zi q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 97

298 Onde M in Dielettici eali Si pocede calcolando il coefficiente di iflessione all ingesso della linea pecedente, nonché il coefficiente di iflessione sulla l di impedena η. Allo scopo bisogna pima calcolae l impedena Z i : dato che si tatta di una linea lunga l e di impedena caatteistica η chiusa su un caico concentato η 3, l impedena di ingesso Z i sulla seione i èdata da: Z i ρ η3 cosh η η cosh Z Z i i i ( ) () i ( ) () i Zi τ Z η P ρ P P τ P η η S ~ ( k ) ( ) l η sinh k l ( ~ ) ( ~ k l η sinh k l ) ( ) () i ( ) () i ρ V V V V ( ) () i ( ) () i ~ (potena iflessa alla pima intefaccia i) S 3 S S (coefficiente di iflessione sulla pima intefaccia i) (coefficiente di tasmissione sulla pima intefaccia i) (potena tasmessa alla pima intefaccia i) q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 98

299 Onde M in Dielettici eali La somma delle potene iflessa e della potena tasmessa è pai alla potena incidente meno la potena dissipata a causa delle pedite sul dielettico. Nel caso di assena di pedite utiliando la matice di Scatteing S si ha: S S (assena di pedite) S S < (pesena di pedite) dove: P ρ P P τ P ( ) () i ( ) () i S ρ (potena iflessa alla pima intefaccia i) S (potena tasmessa alla pima intefaccia i) q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 99

300 Onde M in Dielettici eali Gaficando un esempio in cui si ipota un dielettico con un impedena nomaliata a quella dell aia si ha Refelction and Tansmission coefficient in (linea) as a function of Nomalied impedance. Reflection coefficient(linea).5 Tansmission coefficient (linea) S (linea) and S(linea) Nomalied impedance q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 3

301 Onde M in Dielettici eali Gaficando un esempio in cui si ipota un dielettico con un impedena nomaliata a quella dell aia si ha Refelction and Tansmission coefficient in db as a function of Nomalied impedance S (db) and S(dB) Reflection coefficient(db) Tansmission coefficient (db) Dielectic to Ai nomalied impedance q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 3

302 Onde M in Dielettici eali Supponiamo pe esempio che al vaiae della fequena, una linea chiusa su un ceto caico, pesenti queste caatteistiche: Riflessione Tasmissione I i V i Z i S S Z L In coispondena della fequena di isonana di questo filto, si ha la minima iflessione (min S) e la massima tasmissione (ma S). Z-l Z Z La potena pesa ispetto a quella incidente, è dissipata nel dielettico q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 3

303 Onde M in Dielettici eali Supponiamo pe esempio che al vaiae della fequena, una linea chiusa su un ceto caico, pesenti queste caatteistiche: Riflessione Tasmissione V i Z-l I i S η η η S Z Z Avvicinandosi alla fequena di isonana la linea tende a podue uno sfasamento delle onde M sia tasmesse sia iflesse. q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 33

304 Onde M in Dielettici eali Supponiamo pe esempio che al vaiae della fequena, una linea chiusa su un ceto caico, pesenti queste caatteistiche: Pemittività lettica Pemeabilità Magnetica µ La pate immaginaia della Pemittività lettica, appesenta le pedite nel dielettico. La pate immaginaia della Pemeabilità Magnetica tende mediamente a eo ovveo il cicuito non ha pedite di tipo feomagnetico. q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 34

305 Onde M in Dielettici eali Se gli alti paameti S ed S sono simili ad S ed S alloa il cicuito può definisi simmetico eletticamente S V η i Z-l I i η η S Z Z Un cicuito simmetico è anche ecipoco, non vale il vicevesa. Nell esempio visto il -pote si compota eletticamente simmeticamente alla pota () e (). q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 35

306 Popagaione libea: Onde M in Dielettici ideali q di Mawell, Popagaione adio, Mateiali conduttoi e dielttici 36

307 Onde M in Dielettici ideali Se la linea di tasmissione diventa ideale alloa la impedena d ingesso assume un valoe diffeente: V(l) - I(l) Z Z L Z Z i ( l) L C Z Z Z L µ cos cos ( β l ) Z sin( β l ) ( β l ) Z sin( β l ) L Z i Z Z i -l ( l) L C Z Z Z µ cos cos ( β l ) Z sin( β l ) ( β l ) Z sin( β l ) ρ L Z Z ) Caso paticolae di linea adattata: Z Z L vale sia pe linee con pedite che sena pedite. L L Z Z Z In questo caso il geneatoe v(-l) o l onda incidente (i), vedono sempe la stessa impedena in qualunque punto della linea. Il coefficiente di iflessione è nullo, non ci sono onde iflesse. q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 37

308 Onde M in Dielettici ideali ) Caso paticolae di linea in coto cicuito: Z L (STUB) V(l) - I(l) Z Z L Z Z i ( l) L C Z Z Z L µ cos cos ( β l ) Z sin( β l ) ( β l ) Z sin( β l ) L Z Z Z i i ( l) -l L C Z Z Z cos µ sin( β l ) ( β l ) Z ρl Z Z tg ( β l ) a pescindee dalla lunghea della linea l impedena è sempe puamente eattiva L impedena di questa linea, in vitù della funione tangente, cambia natua a seconda della lunghea dello STUB. Può assumee natua capacitiva o induttiva. q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 38

309 Onde M in Dielettici ideali ) Caso paticolae di linea in coto cicuito: Z L (STUB coto cicuito) In possimità di l cioè sul caico, l impedena totale saà pai a Mano a mano che ci si sposta lungo la linea la tg(βl) cambia: λ V fase /f e dipende dal meo in cui l onda si popaga con fequena fω/π π β λ Z i ) ) 3) 4) ( l) se se se se dove λ l Ztg π λ l λ 4 ovveo l 4 λ ovveo l 4 λ ovveo l λ ovveo è la lunghea d'onda sul meo l λ l 4 l l λ 4 λ λ 4 λ tg positiva tg negativa tg tende a impedena immaginaia induttuva impedena immaginaia capacitiva tg tende ad cicuito apeto stessa impedena del caico q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 39

310 Onde M in Dielettici ideali ) Caso paticolae di linea in coto cicuito: Z L (STUB coto cicuito) Reattana al vaiae di l/lambda Reattana induttiva Reattana induttiva Reattana induttiva Reattana 4. Reattana L Lλ/4 Lλ/ Lλ Reattana capacitiva Reattana capacitiva Reattana capacitiva -. l/lambda q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 3

311 Onde M in Dielettici ideali 3) Caso paticolae di linea in coto cicuito: Z L (STUB coto cicuito con linea lunga λ/4) Da quanto visto quando ci si avvicina alla fequena tale che la lunghea fisica della linea è pai a λ/4, l impedena di una linea chiusa in cotocicuito è in ealtà quella di un cicuito apeto, tende cioè ad infinito. 4) Quando invece ci si avvicina alla fequena tale che la lunghea fisica della linea èpai a λ/, l impedena di una linea chiusa in cotocicuito coisponde al caico di coto cicuito, ovveo la linea tende ad essee taspaente, non intoduce quindi alteaioni della impedena complessiva. Quest ultimo caso è utile pe esempio quando si deve costuie una copetua (adome) di poteione pe un antenna. Se si tasmette ad una fequena pefeeniale alloa se lo spessoe del adome è esattamente pai a λ/, esso non ifletteà nessuna potena veso l antenna e quindi tutta la potena emessa dall antenna saà iadiata. q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 3

312 Onde M in Dielettici ideali Volendo fae un gafico dell impedena di ingesso Z i al vaiae della fequena f, essa saà qualitativamente una funione di questo tipo: Z i f isonana λ/4 f Z i q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 3

313 Popagaione libea: Schemi pe onde piane incidenti nomalmente sulla supeficie di un conduttoe q di Mawell, Popagaione adio, Mateiali conduttoi e dielttici 33

314 Onde M in conduttoi eali con pedite Un conduttoe eale è un meo in cui la coente di conduione èmolto più gande della coente di spostamento: giacché la coente di spostamento aumenta con ω, i mateiali che sono consideati buoni conduttoi (ad esempio il ame) continuano ad essee consideati tali finchè la conducibilità σ imane molto più gande della quantità ω. Pe un conduttoe eale si ha: siste dunque una pulsaione ω olte la quale un mateiale non può più essee consideato un buon conduttoe. In tale situaione il temine k diviene: ~ k ~ k poiché ~ k ~ k ω ω µ µ ( ' '') ma si è supposto che: σ ω µ ω ' ' << '' petanto si ha : σ ω ( '') ω µ ω ω ( ωµσ ) alloa : ( ωµσ ) ( ωµσ ) [ ] ( ωµσ ) [ ] ( π fµσ ) [ ] ( π fµσ ) [ ] ( π fµσ ) σ '' >> ' ω µσ ω µσ ω q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 34

315 Onde M in conduttoi eali con pedite ssendo: ~ k ~ k δ [ ] ( π fµσ ) α β δ pofondità di penetaione, si ha : π fµσ δ [ ] δ α δ β δ A(,t) L onda dunque si popaga nel meo con velocità di popagaione ()/δ con αβ ovveo la costante di popagaione coincide con la costante di attenuaione. ω c La velocità di fase vale: v f ωδ π fδ π δ << c β Ci si accoge facilmente che la costante di penetaione δ è più piccola di λ, e quindi la velocità di fase nei mei conduttoi è più piccola della velocità della luce c. Poiché la velocità di fase cesce con la fequena alloa si è in pesena di dispesione anomala. A e ~ k A e λ α e β A e δ e δ q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 35

316 Onde M in conduttoi eali con pedite L impedena d onda η in un conduttoe eale è in tal caso data da: η η η η H η ( ) ( ) µ µ ~ ( '') π fµ σ R S µ ( ' '') µ σ ω [ ' è tascuabile] ωµ σ ωµ σ π fµ dove : RS (impedenape quado) σ poichein un coduttoeσ è gandealloa RS è piccolo ( ) R è piccoloe η << η 377Ω S H π fµ σ π fµ σ La moltiplicaione pe () significa che l impedena d onda η ha una pate eale ed un coefficiente dell immaginaio che coincidono. Inolte essendo l impedena d onda pai al appoto ta campo elettico e campo magnetico, se questo appoto è un numeo complesso vuol die essi che sono sfasati, nel nosto caso di 45 con in anticipo ispetto ad H. Se invece il appoto ea un numeo eale alloa ed H saebbeo stati in fase ta loo. q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 36

317 Onde M in conduttoi eali con pedite Dunque nei mateiali buoni conduttoi il appoto /H (vettoi), è molto più piccolo di quello che si ha nel vuoto ( da π Ω, si aiva ad / di Ohm); Inolte campo elettico e campo magnetico non sono in fase come in un onda piana nel vuoto (in un dielettico ideale), ma sono sfasati di 45, sottintendendo natualmente che ed H sono pependicolai ta loo. H45 Se il mateiale conduttoe è usato come schemo alloa In funione del tipo sogente che si vuole schemae va scelto il tipo di schemo più appopiato. Pe un onda piana (sogente lontana), l onda iflessa è popoionale al salto di impedena η - η come in una linea. Pe un onda piana il appoto /H, che nel vuoto vale cica 377 Ω, scende a.4 Ω se c è il metallo, ed il coefficiente di iflessione è quasi uguale ad ovveo paticamente tutta l onda viene iflessa. Pe tale motivo se ci si deve poteggee da un onda che poviene da lontano, non conviene ealiae gandi schemi: è sufficiente un foglio di alluminio, peché pesenta un impedena bassissima, e l onda che viene da lontano tovando un salto di impedena viene quasi completamente iflessa. Lo spessoe dello schemo in questo caso non influisce molto l impotante è che ci sia un salto di impedena più gande possibile) q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 37

318 Onde M in conduttoi eali con pedite Pe una sogente di distubo vicina (sogente vicina), come pe esempio un Pesonal Compute, non siamo in condiioni di campo lontano. Pe tale tipo di sogente l unico effetto impotante da consideae è l effetto pelle. L effetto pelle pesuppone tuttavia schemi gandi (spessoe più elevato) e ealiati con mateiali feomagnetici. q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 38

319 Riflessione da un conduttoe eale Un conduttoe ideale iflette tutto. Un conduttoe eale invece quanto iflette? Il poblema è il seguente: si ha un onda che incide su un conduttoe con conducibilità σ, ad esempio σ σ Cu. Si avà un onda tasmessa ed un onda iflessa L onda tasmessa si attenueà come ep(-/δ), dove: δ A t pofondità di penetaione π fµσ attenuaione onda tasmessa e δ e δ e π fµσ e π fµσ (i) () σ Cu (t) δ e Si ha un doppio effetto di schemo del mateiale: il pimo effetto di schemo da pate del mateiale consiste nel fatto che l onda viene paialmente iflessa; il secondo effetto consiste nel fatto che l onda tasmessa si attenua pe effetto pelle. q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 39

320 Tasmissione dento un conduttoe eale: eff. pelle L attenuaione dell onda pe la pate di iflessione è dovuta alle due supefici del conduttoe; ciascuna supeficie appesenta un salto di impedena elevato ta il vuoto ed il metallo. Pe tale agione il maggioe effetto di attenuaione pe un onda piana è dovuto alla iflessione sulle supefici del mateiale metallico. Pe quanto iguada invece l attenuaione dovuta a tasmissione nel metallo ovveo all effetto pelle, si ha a che fae con un campo elettico che si popaga all inteno di un conduttoe secondo una legge del tipo: δ pofondità di penetaione π fµσ e t δ e t δ () () t q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 3

321 Tasmissione dento un conduttoe eale: eff. pelle Un onda con campo elettico, incide sullo schemo di spessoe finito t, l onda iemege dall alta pate (la si indichi con ). Si tascuino pe oa i poblemi di condiioni al contono (deve infatti essee soddisfatta la continuità dei campi, ecc) e si supponga che TUTTA l onda incidente venga tasmessa all intefaccia di spessoe t Il appoto ta ta ed viene definito efficiena di schematua (shielding effectiveness) e consideando i moduli dei vettoi campo elettico si ha dove ' t t δ δ e e t t t ' δ δ δ ( ) Log Log Log e Log [] e A db ' e t δ Se lo schemo avesse uno spessoe infinito non aiveebbe nulla dall alta pate. Nella ealtà non ha senso uno spessoe infinito: di conseguena se stiamo costuendo uno schemo, una pate del campo elettico incidente oltepasseà lo schemo, dando luogo ad un ceto distubo. Pe quantificae l efficiena di schematua si utilia la seguente: e q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 3 e t δ t 8,686 δ

322 Tasmissione dento un conduttoe eale: eff. pelle Si stanno tascuando i fenomeni di iflessione pesenti nell intefaccia: l onda che aiva viene in pate iflessa, ed in pate tasmessa, pe cui in ealtà la poione che attavesa lo schemo saà leggemente infeioe all onda incidente. La elaione è lineae con lo spessoe t del mateiale. A ( db) t 8, 686 δ La elaione in db è lineae con lo spessoe t del mateiale. È ovvio che in temini di numei natuali, la etta diveà un esponeniale. Petanto all aumentae dello spessoe t del mateiale l efficiena di attenuaione aumenta esponenialmente. Olte al fenomeno della popoionalità con t esiste anche la dipendena dalla fequena f: δ π fµσ ( ) 8,686[ t π fµσ ] A db q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 3

323 Tasmissione dento un conduttoe eale: eff. pelle L attenuaione espessa in db è popoionale alla adice quadata della fequena f ed alla adice podotto µσ. Analiando due mateiali conduttoi come Feo e Rame ci si accoge che il Rame ha una conducibilità σ, cica volte supeioe al Feo ma il Rame ha una pemeabilità magnetica µ, cica volte infeioe ispetto al Feo. Petanto la adice del podotto µσ pe il Feo è cica volte quella del Rame. Di conseguena pe l effetto pelle, uno schemo di ame di mm equivale ad uno schemo feomagnetico di / di mm. In conclusione se si vuole sfuttae maggiomente l effetto pelle pe sogenti vicine da schemae, alloa conviene utiliae un mateiale feomangetico, vicevesa se si vuole maggiomente sfuttae la iflessione pe schemae sogenti lontane, alloa conviene utiliae un mateiale maggiomente conduttoe in quanto aumenta il salto di impedena η e la Resistena supeficiale o Resistena quado Rs del Rame è in tal caso cica volte infeioe a quella del Feo π fµ η ( ) dove Rs σ ( db) 8,686[ t π fµσ ] A π fµ σ q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 33

324 Tasmissione dento un conduttoe eale: eff. pelle Occoe icodae infine che i mateiali non hanno le stesse caatteistiche al vaiae della fequena ed al vaiae dei campi che li attavesano. Nel gafico sotto è ipotata la pemeabilità magnetica elativa µ di un mateiale feomagnetico al vaiae della fequena: k k k µ Mateiale feomangetico A Mateiale feomagnetico B Acciaio tipico k k k M f fequena aumenta petanto al La pemeabilità magnetica elativa feomagnetico µ di un si iduce mateiale ad dasticamente quando la di sopa di una ceta fequena tali mateiali non sono più feomangetici e pesentano una µ. Petanto all aumentae della fequena le caatteistiche schemanti di un mateiale feomagnetico si iducono. q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 34

325 Tasmissione dento un conduttoe eale: eff. pelle Nel gafico sotto è ipotata la pemeabilità magnetica elativa µ di un mateiale feomagnetico al vaiae dell intensità del flusso magnetico che lo attavesa: k k k µ Satuaione di µ La pemeabilità magnetica elativa µ di un mateiale feomagnetico si iduce ad dasticamente quando la intensità del flusso magnetico B aumenta. Petanto all aumentae della intensità di flusso mangetico B le caatteistiche schemanti di un mateiale feomagnetico si iducono. kgaus q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 35

326 Matice di diffusione (scatteing) in micoonde Metodi utiliati nella caatteiaione dei mateiali sottoposti a micoonde q di Mawell, Popagaione adio, Mateiali conduttoi e dielttici 36

327 PARAMTRI S Un possibile set di paameti utiliato pe caatteiae completamente un quadipolo lineae, come i paameti h, Z, Y, ABCD, sono i paameti S. Tale set di paameti è paticolamente sfuttato nelle adiofequene [ MH GH ], dove non si possono più usae modelli cicuitali a paameti concentati e gli stimoli hanno natua ondulatoia. sistono ovviamente fomule di convesione pe passae dai paameti S a quelli di alto tipo. q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 37

328 Matice di Scatteing o di Diffusione La matice ABCD, isulta comoda pe appesentae la connessione in cascata. Tuttavia essa non è indicata pe descivee le ampiee dei segnali in ingesso ed in uscita. Infatti in alta fequena, è difficile fae misue di tensione e di coente: esiste una difficoltà opeativa. Infatti nella loo misua si dovebbeo inseie i puntali dello stumento, atto alla misua, i quali, data la fequena elevata, diveebbeo uno stub che petuba il sistema e falsa la lettua. Vicevesa esistono degli analiatoi (analiatoi vettoiali di ete) che misuano, una volta inviato un segnale unitaio, la iflessione e la tasmissione del segnale, in ampiea e fase. La matice di scatteing è l unica deteminabile con misue diette di tasmissione e di iflessione ed è pe questo che è molto impotante. Z viene assunta, in geneale pai a 5 Ω, q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 38

329 Matice di Scatteing o di Diffusione Consideiamo un onda ti tensione (o di campo elettico tasveso) a che enta alla pota () del cicuito lineae, e cechiamo di valutae l onda iflessa b che esce da questa pota. Analogamente alla pota (). a Cicuito lineae () () tempo-invaiante a b b Il cicuito deve essee lineae altimenti non si può definie globalmente la matice del cicuito. Inolte la lineaità è esseniale pe avee una desciione del fenomeno indipendentemente dal segnale dal segnale di ingesso (fequena). Pe un cicuito non lineae si può ancoa definie una matice, ma solo in un intono di un punto (punto di polaiaione o di lavoo del cicuito) ottenendo dei paameti indipendenti dal segnale. q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 39

330 Matice di Scatteing o di Diffusione Nel valutae b e b (conviene usae le ampiee di Fouie V(ω)e ωt I(ω)e ωt ), dobbiamo consideae le pote del cicuito adattate (cioè con la stessa impedena di ingesso). In questo modo l unica onda che enta nel cicuito è quella della sogente (e non onde iflesse dal caico). In questo modo si evitano iflessioni ulteioi che complicheebbeo il fenomeno non pemettendo di distinguee il segnale ta pate incidente e pate iflessa. La matice di scatteing è così definita: b b a S a b b S S S S a a b b S S a a S S a a Dove i paameti S sono complessi. S a Cicuito lineae () Z Z () tempo-invaiante a a b b b b S S S a q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 33

331 Matice di Scatteing o di Diffusione S b a a Misua la iflessione alla pota () quando alla stessa l incidena è unitaia e non c è segnale sogente alla pota (). La pota () è adattata al caico. (a non significa quindi coto cicuito). S b a a Misua la tasmissione del segnale dalla pota () alla pota () quando la pota () è piva di sogente. S b a a Misua la tasmissione del segnale dalla pota () alla pota () quando la pota () è piva di sogente. S b a a Misua la iflessione alla pota () quando alla stessa l incidena è unitaia e non c è segnale sogente alla pota (). La pota () è adattata al caico. (a non significa quindi coto cicuito). S e S appesentano dei coefficienti di iflessione S e S appesentano dei coefficienti di tasmissione ssendo i coefficienti S complessi dobbiamo consideae 8 paameti eali, pe ogni coefficiente. q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 33

332 q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 33 PARAMTRI S Z I Z V b Z I Z V a Dato un geneico quadipolo lineae Q mettiamo in evidena le sue due pote e definiamo pe ciascuna di esse le gandee: Q I V - I V - Z I Z V b Z I Z V a i i i i i i, i Z I Z V b Z I Z V a Z viene assunta, in geneale pai a 5 Ω,

333 q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 333 PARAMTRI S Ricaviamo V i e I i in funione di a i e b i : sommando e sottaendo le due pecedenti equaioni si ha: i i i i i i I Z V b Z I Z V a Z ( ) ( ) i i i i i i I b a Z V b a Z Da cui si tova: ( ) ( ) i i i i i i b a Z I b a Z V

334 q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 334 PARAMTRI S Pe passae dalle gandee a i alle b i, si definiscono i paameti : In foma maticiale: La matice S caatteia completamente un quadipolo lineae, così come lo fa la matice Z, la Y, la H e la ABCD. Se un quadipolo e ecipoco ( le matici Z e Y sono simmetiche ) alloa anche la matice S e simmetica. a S a S b a S a S b a a S b b a a S S S S b b

335 q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 335 APPLICAZION DI PARAMTRI S Supponiamo di collegae il quadipolo a due linee di tasmissione con impedena caatteistica Z : Possiamo scivee: Q I () V () - I () V () - Z Z ( ) ( ) Z V Z V I V V V ( ) ( ) Z V Z V I V V V

336 q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 336 APPLICAZION DI PARAMTRI S Confontiamo tali espessioni, con quelle scitte in funione di a i e b i e : ( ) ( ) Z V Z V I V V V ( ) ( ) Z V Z V I V V V ( ) ( ) ( ) ( ) b a Z I b a Z V ( ) ( ) ( ) ( ) b a Z I b a Z V Confontando le otto equaioni si ottiene: b Z V a Z V b Z V a Z V Toviamo dunque le elaioni che legano a i e b i ai fasoi delle onde di tensione: Z V b Z V a Z V b Z V a

337 q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 337 APPLICAZION DI PARAMTRI S Confontiamo tali espessioni, con quelle scitte in funione di a i e b i e : ( ) ( ) Z V Z V I V V V ( ) ( ) Z V Z V I V V V ( ) ( ) ( ) ( ) b a Z I b a Z V ( ) ( ) ( ) ( ) b a Z I b a Z V Confontando le otto equaioni si ottiene: b Z V a Z V b Z V a Z V Toviamo dunque le elaioni che legano a i e b i ai fasoi delle onde di tensione: Z V b Z V a Z V b Z V a a b a b onda di potena incidente sulla pota onda di potena iflessa sulla pota onda di potena incidente sulla pota onda di potena iflessa sulla pota

338 APPLICAZION DI PARAMTRI S La potena che tansita sulla linea può essee espessa in funione di a i e b i : [ ] a b PIN P V V Z che coincide con la potena entante nel quadipolo dalla pota. Analogamente, quella sulla linea, può essee espessa come: P Z V [ ] a b POUT V Da queste due fomule si icava una indicaione impotante: La potena netta ad una pota è pai alla diffeena ta la potena entante ed uscente da quella pota. cco petanto una dimostaione della comodità della matice S. q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 338

339 APPLICAZION DI PARAMTRI S Se si suppone che non vi siano sogenti né elementi dissipativi all inteno del sistema alloa la potena si conseva e quindi la diffeena ta la potena che enta nel cicuito e quella che esce (cioè la potena netta P, appunto) deve necessaiamente essee nulla. In temini di matice di scatteing questo significa: S S S S S S * * * * S * SS * SS S La pima e la quata elaione hanno u n significato fisico ben peciso. S S Consideiamo lo schema a -pote e supponiamo che a e a cioè il -pote è pivo di sogente alla pota. Questo implica che S b e anche che S b e quindi anche che: S S S * * S S S S S che espimela potena iflessa alla pota che espimela potena tasmessa alla pota essendola potena entante unitaia: S b b S spime la consevaione della potena alla pota (). Cioè la potena iflessa e tasmessa sono in somma eguali alla potena entante alla pota (). Analogamente si ipete il agionamento pe la pota. q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 339

340 APPLICAZION DI PARAMTRI S Se una matice S appesentante un -pote è Recipoca alloa S S : Ovveo stessi coefficienti di tasmissione alle due pote () e (). Se una matice S appesentante un -pote è Simmetica alloa S S S S : Ovveo stessi coefficienti di tasmissione alle due pote () e (). Ovveo stessi coefficienti di iflessione alle due pote () e (). È evidente che la ecipocità è deivesa ed è meno fote della simmetia. Nel caso di simmetia scambiando le due pote di un -pote dobbiamo ottenee le stesse isposte cioè si hanno pote uguali sia in tasmissione che in iflessione. Nel caso di mateiali pivi di feite la simmetia fisica implica la simmetia elettica. Nel caso di tansiione Cavo_coa-Guida_d onda, il cicuito è ecipoco in quanto non si hanno mateiali giotopici, ma tuttavia non è simmetico in quanto S S : 5Ω 75Ω S S Z ρ Z ρ L L Z Z L L Z Z Z Z q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 34

341 APPLICAZION DI PARAMTRI S La matice S pemette dunque di espimee le onde di potena iflessa, sia in ingesso che in uscita (b e b ), in funione delle onde di potena incidenti in ingesso e in uscita ( a e a ). Ad esempio: b V S a a V è il appoto ta la potena iflessa in uscita e la potena incidente sulla pota d ingesso Possiamo dunque vedee il quadipolo come in gado di elaboae, tamite i paameti (S), le onde di potena che iceve in ingesso alla pota (a ), e alla pota (a ), combinale lineamente con i coefficienti (S), in modo da ottenee due onde di potena uscenti (b e b ), ispettivamente dalla pota e dalla pota. S b a a V V S è il appoto ta la potena iflessa dal quadipolo sulla pota e quella che incide sulla pota stessa q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 34

342 APPLICAZION DI PARAMTRI S La condiione a equivale a poe V Z I, questo accade chiudendo la pota su un impedena Z : V - I Q I V Z - In questo caso si ha infatti V Z I Dunque pe valutae i coefficienti della matice S è necessaio: Chiudee la pota su Z, in modo da tovae S ed S Chiudee la pota su Z, in modo da tovae S ed S infatti S b a a S b a a q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 34

343 Popagaione guidata Genealità sulle guide d onda metalliche q di Mawell, Popagaione adio, Mateiali conduttoi e dielttici 343

344 Genealità sulle guide d onda Una guida d onda ettangolae è una scatola a seione ettangolae, pefettamente metallica (si considea un metallo conduttoe ideale, cioè σ Si assume la dieione di popagaione lungo l asse σ b σ a ssendo fomata da un solo conduttoe non si popagano modi T..M. Ricodiamo infatti che il numeo di modi T..M. che si popagano è pai al numeo dei conduttoi meno cioè: n modi_t..mn cond - q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 344

345 Genealità sulle guide d onda I modi che si possono popagae in una guida d onda ettangolae sono solo modi T..(Tasvesale lettico) e modi T.M.(Tasvesale Magnetico). La guida d onda pemette la popagaione di questi modi a fequene maggioi ispettivamente della fequena di taglio [f c ] caatteistica di ciascun modo. I modi che si popagano non sono alto che le soluioni dell equaione D onda pe i modi T.M. e pe i modi T.. alle quali sono applicate le condiioni al contono pe i campi elettici e magnetici sulle faccie intene conduttici della guida d onda. La fequena di taglio pe una guida d onda ettangolae di lati ab isulta essee: [ f ] c m. n [ f ] m 4n c m. n π a µ µ mπ a nπ b se a b alloa I modi in popagaione sono identificati dai pedici m,n che sono numei intei ta e. q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 345

346 Genealità sulle guide d onda I modi in popagaione sono identificati dai pedici m,n che sono numei intei ta e. Pe i modi T.. m, n i pedici m, n non possono essee contempoaneamente uguali a eo in quanto questa configuaione coisponde a quella di un campo magnetico statico longitudinale che non si popaga nella guida d onda. Il modo T.. con fequena minima che si popaga è quello coispondente ad m ed n cioè io modo T.. anche chiamato modo fondamentale Pe i modi T.M. m, n i pedici m, n non possno essee uguali a eo. Il modo T.M. con fequena minima che si popaga è quello coispondente ad m ed n cioè io modo T.M. Alimentando un tatto di guida d onda ettangolae di lati ab, con un geneatoe che pate da fequena eo, non si popaga nulla fino a che non si inconta la pima fequena di taglio, ovveo sia la [fc] m,n del modo fondamentale con fequena di taglio più bassa. Salendo in fequena, mente il pimo modo continua a popagasi, patià il secondo modo; e cosi via con l aumentae degli indici m,n. q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 346

347 Genealità sulle guide d onda Il modo T.. è l unico modo che può popagasi da solo: Modi T.. T Modo 3 Modi 5 Modi T.. T.. T.M. T.. T.M. La guida ettangolae con lati ab è una geometica che pemette di distaniae sufficientemente in fequena il modo T... da tutti gli alti modi in popagaione. Dal momento che ogni modo viene dispeso in fequena, ampiea, e fase in modo diffeente, si compende come pote popagae un solo modo semplifica nelle telecomunicaioni il compito di equaliae la linea di tasmissione. f c [ f ] c T.. Modi in popagaione in una guida d onda ettangolae. Ogni modo taspota una enegia. In un fono a Micoonde a diffeena di una linea di tasmissione, pe aumentae ed unifomae la potena all inteno della camea ivebeante è ichiesto che si popaghino il maggio numeo dei modi Modi q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 347

348 Genealità sulle guide d onda La fequena di taglio fondamentale pe una guida d onda ettangolae di lati ab con a vaiabile da nm a cm isulta essee: Fequena di taglio in (H) di una guida d'onda ettangolae di lati ab al vaiae della dimensione di a in (m) fc(h) f c. a µ µ [ ] dove pe una guida cava vuota c 3 m/s fc(h) [ab] Zoom in the net slide lato a (m) q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 348

349 Genealità sulle guide d onda La fequena di taglio fondamentale pe una guida d onda ettangolae di lati ab con a vaiabile da cm a 8 cm isulta essee: Fequena di taglio in (H) pe guide ettangolae con llto ab dove a vaia ta cm e 8 cm Fequena taglio (H) 8 f c. a µ µ [ ] dove pe una guida cava vuota c 3 m/s fc(h) [ab] a(m) q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 349

350 Genealità sulle guide d onda Le velocità di fase v f e la velocità di guppo v g sono date dalle seguenti equaioni valide sia pe modi T.. che T.M. v f ω β - µ f f c m/s v g dω dβ µ - f f c m/s v f v g µ c Poiché la fequena di taglio dipende dal modo che si sta popagando ne consegue che ogni modo avà una popia v f e v g. Ogni modo ha cioè una popia cuva di dispesione ωω(β). Fomalmente tutte le velocità di fase sono uguali peò gaficamente ogni diagamma v f v f (f), è taslato ispetto agli alti, ed ha l asintoto pe ff c, dove la fequena di taglio f c vaia da modo a modo. q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 35

351 Genealità sulle guide d onda v f T.. T.M. T.. T.. T.. 5 Modo c µ Modi 3 Modi 5 Modi Dispesione di una guida d onda: (vaiaione di v f ) in funione della fequena. f c [ fc ] T.. q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 35

352 Genealità sulle guide d onda Nei sistemi di telecomunicaione le guide d onda, pu essendo dispesive, possono essee utiliate sono nell intevallo di fequene fa quella di taglio del modo fondamentale e quella del pimo modo supeioe, che in questo caso paticolae è il modo T.. e T... Pe f tale che: f f < f < f c c T.. T.. T.. T. M c f c. Il sistema è anche se dispesivo, pefettamente definito, quindi può essee equaliato in iceione, itadando le componenti spettali che hanno viaggiato più velocemente. Quando le cuve di dispesione alla stessa fequena sono,3,4, n, evidentemente questo non è più possibile. Pe le telecomunicaioni in genee viene consigliato di utiliae la guida d onda ad un 5 % di fequena al di là della fequena di taglio. q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 35

353 Genealità sulle guide d onda Pe f tale che: f > f c f c T.. T. M. Le guide d onda possono essee usate se si deve taspotae enegia, potena, e NON segnali: ani, se si usa un fono a micoonde più modi si hanno e meglio è, peché ogni modo ha una distibuione divesa di campo elettico, e quindi dissipeà massima potena dove il campo elettico è massimo pe cui con pochi modi il fono a micoonde iscaldeà in maniea disunifome: più modi si hanno, più il campo elettico tende ad essee unifome. q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 353

354 Genealità sulle guide d onda Le impedene modali Z T.. e Z T.M. a diffeena di una linea di tasmissione dipendono da: Fequena, Fequena di taglio, dimensione e dielettico: Z Z Z T.. M. T.. T. M. η L C η η f f c η f f c µ H t t H t t (Lineedi Tasmissione) (G.Onda, t (G.Onda, sta pe componentetasvesa) t sta pe componentetasvesa) In geneale pe le guide d onda (cioè popagaione guidata), pe ogni modo (si lavoa solitamente con il T.. ) si può definie una linea di tasmissione equivalente, e quindi si possono utiliae tutti i concetti studiati pe le linee di tasmissione, a condiione di icodae che la lunghea d onda in guida λ g è divesa dalla lunghea d onda nel vuoto: λ q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 354

355 q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 355 Genealità sulle guide d onda La lunghea d onda in guida e la costante di popagaione in guida sono definite nel modo seguente: popagaione in guida d'onda) (costantedi (lunghead'onda in guida) g g g f f f f f f f f f f c f f f f f v c c c c c c f β λ π λ π λ π β λ µ λ

356 Genealità sulle guide d onda Pe analogia con le linee di tasmissione supponendo di lavoae con due tatti di guida d onda diffeente denominati e, possiamo tovae il coefficiente di iflessione sull intefaccia di sepaaione : ρ ρ - V Z Z (coefficiente iflessione pe Linea di tasmissione) V Z Z ( ) Z t T.. Z T.. () (coefficiente iflessione pe guida d' onda) i Z Z t T.. T.. q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 356

357 Genealità sulle guide d onda Un poblema classico è consideae una guida d onda così suddivisa: una pate è in aia, ed una alta pate 3 contiene un ceto dielettico; si vuole fae l adattamento in λ/4: 3 λ g /4 Z Z Z3 La lunghea del peo è λ g /4 calcolato in guida, cioè λ g /4 L impedena modale della guida deve essee la adice quadata del podotto fa l impedena modale del meo e l impedena modale del meo 3. si usa la Z T.. o la Z T.M. a seconda del modo che sista consideando q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 357

358 Fo a TM wave guided b a tansmission line, α R R πa R C L πa G πfµ c σ c L C (low-loss line) (-wie line) αis popotional to f. The attenuation ma be pohibitivel high in the micowave fequencies. q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 358

359 q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 359 Geneal Behavios Phaso: ( ) ( ) H H e v v v v v v &,,, γ γ γ Conside waves popagating along staight guiding stuctues with a unifom coss section v Homogeneous Helmholt s equations: H k H k v v v v ( ) µ ω k

360 q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 36 Conside in ectangula coodinates: ( ) ( ) k k k k k v v v v v v v γ γ Similal, ( ) H k H v v γ (a) (b)

361 q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 36 Inteelationships of the 6 field components Fom H v v ωµ H v ωµ ˆ ˆ ˆ H H H H H H ωµ ωµ ωµ γ ωµ ωµ γ ωµ (a) (b) (c)

362 q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 36 Similal, fom,we have H v v ω H H H H H H ω ω γ ω γ (3a) (3b) (3c) H k H k H k H H k H ωµ γ γ ωµ γ γ ω γ γ ω γ γ (4a) (4b) (4c) (4d) We have

363 Hence, we can solve the scala Helmholt s equations fo and H, and use the above fomulas to detemine othe components. Popagating waves in a unifom waveguide divide into 3 tpes accoding to whethe o H eists.. Tansvese electomagnetics (TM) waves and H. Tansvese magnetic (TM) waves and H 3. Tansvese electic (T) waves and H q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 363

364 Thee tpes of popagating waves: () Tansvese electomagnetic (TM) waves: H Fom (4), fo the eistence of non-tivial solutions, γ Define, TM γ (fom (3a) & (b)) TM k ω u p( TM ) k wave impedance ZTM H k ω ωµ γ µ µ γ ω µ η (5a) q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 364

365 [fom (a)] Notes : H ωµ γ µ Z TM. the wave impedance is the same as the intinsic impedance of the dielectic medium.. The phase velocit and wave impedance fo TM waves ae independent of fequenc of the wave (5b) Combining (5a) & (5b), H ˆ Hˆ ˆ Z TM v v H ˆ Z TM Z TM ˆ q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 365

366 Single conducto hollow (o dielectic filled) waveguides of an shape cannot suppot TM waves. Reason : Waveguide H v If a TM wave wee to eist in a waveguide, the H v field lines would fom closed loops in a tansvese plane. v v H dl c v v v Q J & D v v D v J ds s t Contadiction to Ampee s Law!! * No inne conducto no longitudinal conduction cuent (J ) ** TM wave, no longitudinal displacement cuent (D ) q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 366

367 q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 367 () Tansvese Magnetic (TM) Waves: ( ) k H γ Fom (4): k H k H k k γ ω γ ω γ γ γ γ k γ γ ˆ ˆ ˆ ˆ

368 i.e. v T γ γ k T Wave impedance : H Z TM H H ( Qγ γ ω µ ) Z TM TM ˆ Hˆ ˆ Z v H TM Z TM γ ω Z TM TM v ˆ ˆ ωµ γ q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 368

369 Afte solving the Helmholt equation subect to the bounda conditions of a waveguide, we will have discete values of h mn whee: h mn γ γ h k mn k ( eigenvalue poblem) h mn ω µ ach eigenvalues of h mn detemines the chaacteistic popeties of a paticula TM mode of the given waveguide. Define : ω µ h c f c π mn h mn µ cutoff fequenc q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 369

370 ω c hmn µ : angula cutoff fequenc γ h mn k h mn ω c ω µ ω c Note γ β, if h mn h mn ω > f > < ω µ π h h f f mn µ mn c µ q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 37

371 q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 37 (i) Fo f > f c f f k f f k f f k h k c c c mn β µ π µ π β γ Guide wavelength: f f k c g π β π λ ( fom βπ )

372 λ λ g > λ f c f (*) whee λ π k f µ u f u µ λ is the wavelength of a plane wave with a fequenc f. Fom (*): λ λ g λ λc λ λ λc λ g λ c u f c cutoff wavelength q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 37

373 q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 373 g c λ λ λ c g λ λ λ Phase velocit: u u f f u f f f f k u g c c c p > λ λ µ ω ω ω β ω

374 The phase velocit within a waveguide is fequenc dependent. i.e. single-conducto waveguides ae dispesive naow BW, low loss * Compae with -wie tansmission line (fequenc independent) non-dispesive, moe BW, high loss Goup velocit u g d β dω u f f c λ u λ g < u note: u u p g u * In a lossless waveguide, the velocit of signal popagation is equal to the goup velocit. q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 374

375 Z TM γ ω k ω f f c µ f f c η f f c. The wave impedance of popagating TM modes in waveguide with a lossless dielectic is puel esistive. Z TM is alwas less than the intinsic impedance of the dielectic medium q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 375

376 (II) Fo f < fc γ α h mn k h mn h mn The wave diminishes apidl with (evanescent) Waveguide ehibits the popet of a high-pass filte Onl wave with f > f c can popagate in the guide f f c v Z TM γ ω h ω mn f f c Note:. Puel Reactive no powe flow associated with evanescent waves.. When f f c, then << H as (/H ) eneg stoed in H-field in waveguide q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 376

377 q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 377 (3) Tansvese lectic (T) Waves: ( ) H k H γ H k H H k H H k H k γ γ γ γ γ ωµ γ ωµ H k H H γ γ ˆ ˆ ˆ ˆ T T H k H γ γ v

378 Define A) Fo f > fc Z T ωµ γ Z v T γ T ω H Z β µ η ωµ γ v ˆ H T k ωµ f c T f c f f f c f Puel esistive and lage than the intinsic impedance of the dielectic medium µ f f c q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 378

379 B) Fo f < fc Z T γ To summaie, fo Z TM η λtm λ u f µ α ωµ γ f > fc Z λ TM TM h mn h mn η f f ωµ c f fc λ f f c f c f Z λ neg stoed in -field in waveguide T T η f f λ c f c f q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 379

380 u p ω c ω-β diagam ( fo popagating modes ) ω P Notes : T, TM TM u g β slope TM ω u β µ ω βu ω ωc. When opeating fequenc inceases much above the cutoff fequenc, u p and u g appoach u asmptoticall. At point P is the goup velocit, u g and u g u p u holds velocit : fo T, TM q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 38

381 q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 38 () Rectangula Waveguides a b TM waves ( ) ( ) e γ,,, ( ) h, B method of sepaation of vaiable, let ( ) ( ) ( ) Y X, h Y Y X X d d d d function of onl function of onl both sides must equal a constant in ode fo the equation to hold fo all values of and.

382 q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 38 hence ( ) Y k h d Y d k h k Y k d Y d X k d X d Bounda conditions: ( ) ( ) ( ) ( ),,,, b a () () (3) (4)

383 X ( ) C k C cosk sin Fom B.C. (), C Fom B.C. (), sink a k mπ/a mπ X( ) sin k with k (m,,,3,.) a Similal, Y( ) sin k nπ with k (n,,,3,.) b ( ) mπ nπ, o sin sin a b h k k h mπ a nπ b q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 383

384 q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 384 ( ) ( ) ( ) ( ) b n a m a m h H b n a m b n h H b n a m b n h b n a m a m h o o o o π π π ω π π π ω π π π γ π π π γ sin cos, cos sin, cos sin, sin cos, b n a m π π µ ω β γ ve combination of the integes m and n defines a possible mode that ma be designated as the TM mn mode.

385 Notes :. Thee ae infinite combination of m and n. m define the vaiation in -diection (m ) 3. n define the vaiation in -diection (n ) Cutoff fequenc : ( f ) Cutoff wavelength : c ( λ ) c mn mn π m a µ m n b π a π b TM modes has the lowest cutoff fequenc of all TM modes H b a q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 385 n (H) (m)

386 q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 386 T waves ( ) ( ) ( ) ( ),,,, H h e H H γ Bounda condition: a b H H a H H b

387 q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 387 ( ) π π b n a m H H o cos cos, m,,,. n,,,. b n a m h π π ( ) π π ωµ π b n a m H b n h o sin cos, ( ) π π ωµ π b n a m H a m h o cos sin, ( ) π π π γ b n a m H a m h H o cos sin, ( ) π π π γ b n a m H b n h H o sin cos,

388 ( f ) c mn π µ m π a n π b If a>b, f c is the lowest when m & n: v ( fc ) T a µ a ( λ ) a c T T mode is the dominant mode of a ectangula waveguide with a > b lineal polaied q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 388

389 Suface cuent on guide wall fo T mode. & H field fo T mode. q di Mawell, Popagaione libea, mateiali conduttoi e dielttici 389