Esercitazione VI - Leggi della dinamica III

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1 Esercitazione VI - Leggi della dinamica III Esercizio 1 I corpi 1, 2 e 3 rispettivamente di massa m 1 = 2kg, m 2 = 3kg ed m 3 = 4kg sono collegati come in figura tramite un filo inestensibile. Trascurando ogni attrito, si calcolino L accelerazione a del sistema. Le tensioni dei due fili. Soluzione Introduciamo un sistema di coordinate come quello in figura. Siano R 1, R 2 ed R 3 le risultanti delle forze agenti rispettivamente sui corpi 1, 2 e 3. Le componenti x e y delle risultanti sono R 1x = T 1, R 1y = m 1 g N 1, R 2x = T 2 T 1, R 2y = m 2 g N 2, R 3x = 0, R 3y = m 3 g T 2. Imponendo che R 1y = R 2y = 0 si ottiene N 1 = m 1 g, N 2 = m 2 g. Dato che per ipotesi non c è forza d attrito, la conoscenza di N 1 ed N 2 non è particolarmente utile in questo problema. Poiché R 1x = m 1 a 1x, R 2x = m 2 a 2x, R 3y = m 3 a 3y, e poiché, essendo il filo inestensibile, si ha 1

2 a 1x = a 2x = a 3y, le equazioni che rimangono da risolvere risultano essere m 1 a = T 1, m 2 a = T 2 T 1, m 3 a = m 3 g T 2. Manipolando il sistema di equazioni si ottiene Attrito Esercizio 2 a = T 1 = m 3 g = 4.4 m m 1 + m 2 + m 3 s 2, m 1 m 3 g = 8.7N, m 1 + m 2 + m 3 T 2 = (m 1 + m 2 )m 3 m 1 + m 2 + m 3 g = 21.8N. Un corpo di massa m = 100kg si muove su di un piano orizzontale liscio alla velocità v 0 = 10m/s. Al tempo t = 0 la superficie su cui esso si muove diviene scabra con coefficiente d attrito µ = 0.4 e sul corpo agisce inoltre una forza F di verso opposto a quello del moto e di modulo F = 108N. Si calcolino L accelerazione a cui è sottoposto il corpo. Il tempo t f impiegato dal corpo per fermarsi. Soluzione Scegliamo l asse x con la stessa direzione e verso di v 0. Quando il corpo giunge sul piano scabro su di esso agiscono, oltre alla forza peso P e la reazione vincolare N anche la forza F e la forza d attrito F a, entrambe opposte al moto. La risultante delle forze agenti sul corpo è perciò R = P + N + F + F a, che riscritta in componenti risulta essere R x = F x + F ax = F F a, R y = P y + N y = mg + N. Si osservi che in questo esercizio non dobbiamo preoccuparci di studiare se le varie forze in gioco riescono a battere la forza d attrito e quindi a far muovere 2

3 il corpo: una delle ipotesi del problema è proprio che il corpo sia inizialmente in moto! Dato che sappiamo che il corpo è in moto nella direzione e verso di v 0 questo fissa immediatamente la direzione e verso della forza d attrito F a che per definizione è sempre opposta al moto. Imponendo R y = 0 si ottiene N = mg da cui F a = µmg e Poiché R x = ma x si ha R x = F µmg. a x = F + µmg m = 5 m s 2. Il corpo è sottoposto ad un moto uniformemente accelerato, con accelerazione negativa, e la sua velocità v, che ha solo componente x, è descritta dalla legge v x (t) = v 0 + a x t. Il tempo t f per cui v x = 0 è dato da t f = v 0 a x = mv 0 F + µmg = 2s. Si osservi che in assenza di attrito, µ = 0, il tempo impiegato dal corpo per fermarsi sale fino a 9.3s. Esercizio 3 Un corpo di massa m = 2Kg è premuto contro un muro con una forza F ortogonale al muro, come in figura. Sapendo che fra il corpo e il muro c è un coefficiente d attrito µ = 0.3 calcolare il minimo valore del modulo di F tale per cui il corpo non cade. Soluzione 3

4 Introduciamo un sistema di coordinate come in figura. Sul corpo agiscono quattro forze: La forza F che preme il corpo contro il muro, la reazione vincolare del muro N, la forza peso P e la forza d attrito F a. Sia R la risultante delle forze, R = F + N + P + F a. Le componenti x e y della risultante R delle forze agenti sul corpo, sono R x = F x + N x + P x + F ax = F N, R y = F y + N y + P y + F ay = mg + µn. Poiché vogliamo che il sistema sia in quiete dobbiamo imporre R = 0. Da R y = 0 si ottiene che sostituito in R x = 0 da N = mg µ, F = mg µ = 65.3N. Questo rappresenta il valore minimo del modulo di F. Si rifletta sul fatto che applicando un forza di modulo maggiore il corpo rimane ancora in quiete. Si provi ad esempio a rifare questo esercizio nel caso in cui F = 80N. Esercizio 4 Un corpo di massa m = 2Kg è premuto contro un muro con una forza F che forma un angolo ϑ con l orizzontale, come in figura. Sapendo che fra il corpo e il muro c è un coefficiente d attrito µ = 0.3 calcolare il minimo valore del modulo di F tale per cui il corpo non cade rispettivamente nei casi ϑ = 45 e ϑ = 5. 4

5 Soluzione Introduciamo un sistema di coordinate come in figura. Sul corpo agiscono quattro forze: La forza F, la reazione vincolare del muro N, la forza peso P e la forza d attrito F a. Sia R la risultante delle forze, R = F + N + P + F a. Le componenti x e y della risultante R delle forze agenti sul corpo, sono R x = F x + N x + P x + F ax = F cos ϑ N, R y = F y + N y + P y + F ay = F sin ϑ mg + µn. Ovviamente se ϑ = 0 ci riduciamo alla situazione studiata nell esercizio 3. Poiché vogliamo che il sistema sia in quiete dobbiamo imporre R = 0. Da R y = 0 si ottiene N = mg F sin ϑ µ, che sostituito in R x = 0 da F = mg sin ϑ + µ cos ϑ. Si rifletta sul fatto che non ci sono soluzioni se sin ϑ + µ cos ϑ < 0, cioè tan ϑ < µ. Per ϑ = 45 si ha F = 21.3N. Per ϑ = 5 si ha F = 92.6N. L angolo critico, diminuendo il quale non si trovano più soluzioni, è ϑ c = 16.7 Si osservi che per ϑ = 90 si ha F = mg, che significato ha questo risultato? Moto circolare uniforme Esercizio 5 A quale velocità deve ruotare attorno al Sole un satellite di massa m = 100 tonnellate per mantenersi su di un orbita circolare con raggio R T pari a quello terrestre. La massa del Sole è circa M = g R T = km 11 m3 La costante di gravitazione universale è G = kgs 2 5

6 Soluzione Iniziamo col convertire i dati nel Sistema Internazionale (kg, m e s): M = kg, R T = m. La forza di gravità fra satellite e Sole mantiene il satellite in moto circolare uniforme con velocità v attorno al Sole: m v2 = G mm R T RT 2 v = G M. R T Si osservi che v non dipende dalla massa del satellite ed è quindi la stessa velocità con cui anche la Terra ruota attorno al Sole, v m s km h. Si può ottenere lo stesso risultato calcolando che la lunghezza dell orbita terrestre è la quale è percorsa in un anno L = 2πR T = m, 1anno = s, da cui v = L 1anno m s. 6

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